Fonatok csavarása és a Homfly polinom

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Fonatok csavarása és a Homfly polinom"

Ede Török
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 Fonatok csavarása és a Homfly polinom Kálmán Tamás Tokiói Egyetem MTA Rényi Intézet szemináriuma március 28.

2 Definíciók és a Morton Franks Williams egyenlőtlenség áttekintése A Homfly polinom bizonyos együtthatói A fő tétel Példák A bizonyítás vázlata

3 Szótár link framed skein relation writhe self-intersection braid braid index computation tree lánc tüskézett gubanc-egyenlet pöndörödés önmetszés fonat fonat-index számolófa

4 Konvenciók Legyen D egy irányított lánc-diagram. A hozzá rendelt tüskézett Homfly polinomot, H D (v, z)-t a következő, ún. gubanc-egyenletek definiálják. Maga a Homfly polinom pedig H H = zh H = vh H = v H H =. P D (v, z) = v w H D (v, z), ahol w a D pöndörödése (algebrai önmetszés-száma).

5 Newton poligon A Homfly polinom együtthatóit a vz síkon tüntetjük fel. Példa: A T (3, 5) tóruszcsomó Homfly polinomja P T (3,5) (v, z) = z 8 v 8 + 8z 6 v 8 z 6 v 0 + 2z 4 v 8 7z 4 v 0 + 2z 2 v 8 4z 2 v 0 + z 2 v 2 + 7v 8 8v 0 + 2v 2 = (z 8 +8z 6 +2z 4 +2z 2 +7)v 8 (z 6 +7z 4 +4z 2 +8)v 0 +(z 2 +2)v 2, amelyre a következőképpen gondolunk: z z=8 8! 2!7 2!4 z=0 7!8 2 v v= 8 v=2

2z 4 v 8 7z 4 v 0 + 2z 2 v 8 4z 2 v 0 + z 2 v 2 + 7v 8 8v 0 + 2v 2 = (z 8 +8z 6 +2z 4 +2z 2

6 A Morton Franks Williams (MFW) egyenlőtlenségek A híres egyenlőtlenség (nagyjából): fonat-index P nem-nulla oszlopainak száma. Ezt a következő két egyenlőtlenségből szokták levezetni. Legyen β egy fonat (-szó) n szálon úgy, hogy az együtthatók összege w. Jelölje P bβ (v, z) a β lezártjának Homfly polinomját. Ekkor alsó MFW becslés: w n + legkisebb v fokszám P bβ -ban felső MFW becslés: legnagyobb v fokszám P bβ -ban w + n.

Legyen β egy fonat (-szó) n szálon úgy, hogy az együtthatók összege w.

7 MFW egyenlőtlenség grafikusan z v v=w!n+ v=w+n! (A szürke sokszög a P bβ Newton poligonja.)

8 Egy példa Ha a T (3, 5) tóruszcsomót a β = (σ σ 2 ) 5 = fonat-szóval reprezentáljuk, akkor n = 3, w = 0, w n + = 8 és w + n = 2. Erre a fonatra az alsó és felső MFW becslés egyaránt éles. Valóban, a hozzá tartozó Homfly polinom 3 oszlopból áll, ami megegyezik a szálak számával.

Erre a fonatra az alsó és felső MFW becslés egyaránt éles.

9 A szélső oszlopok Az alsó MFW becslés akkor és csak akkor éles, ha a P baloldali oszlopa v = w n + -nél van. Hasonló igaz a felső becslésre és a jobboldali oszlopra. A szélső oszlopokban levő konkrét együtthatók is érdekesek lehetnek. Például, ha másként normalizálunk: H = helyett H = v v ; z akkor a szélső oszlopok előjel erejéig nem változnak. Akkor is ugyanazokat a számokat látjuk, ha más, szintén standard változókat használunk: a = v, l = v, m = z stb.

A szélső oszlopokban levő konkrét együtthatók is érdekesek lehetnek.

10 Variációk a Homfly polinomra Példa: a másik fajta normalizációban az előző tóruszcsomó Homfly polinomja így néz ki: z 8 2 2!!7!4 7!8 2 v z! 8!9 2! !35!5 5 0!!2 v

11 Kitérő: felbontások Van egy meggyőzőbb érv is a szélső oszlopok vizsgálata mellett. Rutherford (2005): Ha a K csomó-típus tartalmaz olyan Legendre-féle reprezentánsokat, amelyeknek kellően magas a Thurston Bennequin száma, akkor a P K (v, z) baloldali oszlopában található együtthatók ezen reprezentánsok úgynevezett irányított felbontásainak számát adják meg (génusz szerint csoportosítva). Hasonlóan, a jobboldali oszlop a K tükörképének irányított felbontásairól adhat információt.

Thurston Bennequin száma, akkor a P K (v, z) baloldali oszlopában található együtthatók ezen reprezentánsok úgynevezett

12 Csavarás hozzáadása Jelölje a Garside-féle fonatot (azaz pozitív félcsavart) n szálon n vagy egyszerűen csak. A teljes csavart reprezentáló 2 fonatban n(n ) darab pozitív kereszteződés van. Példa: 3 = és 2 3 =. Ha β-ban n szál van és a kitevők összege w, akkor β 2 -ben továbbra is n szál van de a kitevők összege már w + n(n ). Így a felső MFW korlát a β 2 -re w + n(n ) + n = w + n 2.

13 Ezek után azt vesszük észre, hogy... Tétel Bármely β fonat esetén az alsó MFW becslés akkor és csak akkor éles, ha a felső becslés éles a β 2 -re. Ha ez fennáll, akkor P bβ baloldali oszlopa = ( ) n P dβ 2 jobboldali oszlopa. () Megjegyzés Kicsit pontosabban, a következő igaz minden β-ra: v w n+ együtthatója P bβ -ban = ( ) n v w+n2 együtthatója P dβ 2-ban. (2) Ez vagy azt mondja, hogy 0 = 0, vagy pedig a kicsit értelmesebb ()-et. Ez attól függ, hogy az élességi feltétel teljesül-e.

Ha ez fennáll, akkor P bβ baloldali oszlopa = ( ) n P dβ 2 jobboldali oszlopa.

14 Pozitív és nem pozitív fonatok Ha β egy pozitív fonat, akkor ismert, hogy a két ekvivalens élességi feltétel fennáll, azaz (2) mindig értelmes. De a Morton Franks Williams egyenlőtlenség éles sok más csomóra is. 249 csomó-típus rajzolható le tíz vagy kevesebb kereszteződéssel, és ezek közül mindössze ötnek nincsen olyan fonat-reprezentációja, amelyre az (alsó) MFW egyenlőtlenség nem éles. Ezek szerint (2) sok nem-pozitív fonatra is használható információt nyújt.

249 csomó-típus rajzolható le tíz vagy kevesebb kereszteződéssel, és ezek közül mindössze ötnek nincsen olyan

15 A fő példánkban: z! = 8 2!!7 2!4 7!8 2 v 4! z 78!3 22!65!" 2 = !57! !05 2 5!2 7 v

16 Egy kapcsolódó példa (pozitív Markov stabilizáció): z " = 8 2 2!!7!4! 3 7!8 2 v 20! 7!9 87! !680 5 z 4458! ! ! "# 2 = 389! !794 39! !8!2!2 37!69 40!7 v

7!9 87!53 2395!680 5 z 4458!82 9 528!304 286!

17 Egy kevésbé sikeres példa (negatív Markov stabilizáció): z 0 " =!! !!7!4!8 2 v v= 6 8! 36!7 56!9 z 377! ! "# 2 = 837!66 924!792 23! ! v v= 24 Itt a β-ra vonatkozó alsó MFW korlát (0 ) 4 + = 6 és a β 2 -re vonatkozó felső (0 ) = 24. ( β 2 valójában a T (3, 0) tóruszcsomó.)

18 Számolófák Bármely fonathoz (nem egyértelműen) rendelhető egy ún. számolófa, amelyet azután a Homfly polinom meghatározására használhatunk. A fa a következő négy műveletből épül fel: Izotópia (a fonatcsoport relációi) Konjugálás: β β 2 β 2 β Pozitív Markov destabilizáció: ασ i B i+ -ből α B i lesz Kétfajta Conway elágazás: és A számolófa leveleinél triviális (kereszteződés nélküli) fonatok vannak, melyekben a szálak száma változhat.

A fa a következő négy műveletből épül fel: Izotópia (a fonatcsoport relációi) Konjugálás: β β 2 β 2 β

19 A bizonyítás terve A bizonyítandó lineáris volta ellenére a Hecke algebra elkerülhető. Elegendő a gubanc-elméletet használni. Legyen Γ egy β-hoz tartozó számolófa. Építünk egy Γ számolófát a β 2 -hez, amely Γ-t imitálja. Közelebbről, beiktatunk egy teljes csavart és megnézzük, hogy mi menthető meg Γ-ból. (A négyféle lépést kell elemeznünk.) A válasz: Γ megmarad, mint Γ rész-fája. (A konkrét részletek megértése után a formula könnyen leolvasható.)

Építünk egy Γ számolófát a β 2 -hez, amely Γ-t imitálja.

20 Három eset könnyű... Izotópia és Conway elágazás: Semmi gond! Ezek a lépések teljesen lokálisak. Konjugálás: Idézzük fel, hogy 2 a fonatcsoport centrumában van (annak generátora). Így aztán a Γ-béli β β 2 β 2 β konjugálás felcserélhető egy izotópia és egy konjugálás kompozíciójára Γ-ban: β β 2 2 β 2 β 2 β 2 β 2.

Konjugálás: Idézzük fel, hogy 2 a fonatcsoport centrumában van (annak

21 ... a negyedik egy kicsit nehezebb A Γ-béli Markov destabilizációk imitálásához Γ-ba egy Conway elágazást kell iktatni. Ha Γ-ban ezt látjuk:!!

22 Akkor Γ-ban a következőt tehetjük:! " 2!! " 2!! Ez egy új, úgymond szükségtelen ágat indít Γ-ban. De a fonat, amelytől az új ág indul, n szálon fut. (Pontosabban izotópiák, konjugálások és egy Markov destabilizáció sorozatával a szálak száma eggyel csökkenthető.) Ebből, éppen az MFW egyenlőtlenség által, az következik, hogy Γ új ága nem befolyásolja P dβ 2 bennünket érdeklő részét.

23 A bizonyítás vége Eddig azt láttuk, hogy Γ tartalmazza Γ egy másolatát és hogy ami azon kívül van, nem számít. Csakhogy Γ leveleinél, ahol eddig (Γ-ban) triviális fonatok voltak, most 2 példányai találhatóak. Viszont P c 2(v, z) (vagy ha tetszik, egy számolófa 2 -hez) jól ismert. Speciálisan, a jobboldali oszlop egyetlen -esből áll. Ebből az egyenlet kiolvasható.

24 Nyitott kérdések Alkalmazások? (Jones-sejtés) Általánosítás Khovanov Rozansky homológiára, vagy esetleg a Dunfield Gukov Rasmussen-féle szuperpolinomra?

Hasonló dokumentumok

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz