Az euklideszi algoritmusról

Átírás

1 Az euklideszi algoritmusról Ivanyos Gábor 2012 március 12

2 Fazekas Seress Ákos, IG

3 Elekes György Tablókép Tanárok a 70-es évekb l Surányi László gy jteményéb l

4 ELTE Lovász László Pelikán József

5 MTA SZTAKI 1983 Turchányi Gyula iwiw

6 MTA SZTAKI 1991; BME 1992 Babai László cs.uhicago.edu Sántha Miklós

7 Algoritmus Mi az? Algoritmus - mi is az (számítási) módszer, eljárás

8 Algoritmus Mi az? Algoritmus - mi is az (számítási) módszer, eljárás (számítógépes) program, programrészlet "lényege"

9 Algoritmus Mi az? Algoritmus - mi is az (számítási) módszer, eljárás (számítógépes) program, programrészlet "lényege" Rokonok: geometriai szerkesztés stratégia játékban, Rubik-kocka kirakása, papírhajtogatás, kijutás labirintusból, stb... konyhai vagy kémiai recept (pl. aranycsinálás) összeszerelési útmutató (pl. bútoré), gyártási eljárás, stb...

10 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi

11 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi Khwarezm: tartomány Kelet-Perzsia (ma Üzbegisztán)

12 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi Khwarezm: tartomány Kelet-Perzsia (ma Üzbegisztán) Élt kb ig Bagdadban

13 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi Khwarezm: tartomány Kelet-Perzsia (ma Üzbegisztán) Élt kb ig Bagdadban Harun al-rashid uralkodása:

14 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi Khwarezm: tartomány Kelet-Perzsia (ma Üzbegisztán) Élt kb ig Bagdadban Harun al-rashid uralkodása: Egy könyve latin átiratának (12. sz.) címe az els két szava után: Dixit Algorizmi = Al Khwarizmi mondta

15 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi Khwarezm: tartomány Kelet-Perzsia (ma Üzbegisztán) Élt kb ig Bagdadban Harun al-rashid uralkodása: Egy könyve latin átiratának (12. sz.) címe az els két szava után: Dixit Algorizmi = Al Khwarizmi mondta Másik cím: Algoritmi de numero Indorum

16 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi Khwarezm: tartomány Kelet-Perzsia (ma Üzbegisztán) Élt kb ig Bagdadban Harun al-rashid uralkodása: Egy könyve latin átiratának (12. sz.) címe az els két szava után: Dixit Algorizmi = Al Khwarizmi mondta Másik cím: Algoritmi de numero Indorum Al Khwarizmi a hindu számolás m vészetér l

17 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi Khwarezm: tartomány Kelet-Perzsia (ma Üzbegisztán) Élt kb ig Bagdadban Harun al-rashid uralkodása: Egy könyve latin átiratának (12. sz.) címe az els két szava után: Dixit Algorizmi = Al Khwarizmi mondta Másik cím: Algoritmi de numero Indorum Al Khwarizmi a hindu számolás m vészetér l

18 Algoritmus Névadó Algoritmus - a névadó Abu Dzsafar Muhammed ibn Musza al-khwarizmi Khwarezm: tartomány Kelet-Perzsia (ma Üzbegisztán) Élt kb ig Bagdadban Harun al-rashid uralkodása: Egy könyve latin átiratának (12. sz.) címe az els két szava után: Dixit Algorizmi = Al Khwarizmi mondta Másik cím: Algoritmi de numero Indorum Al Khwarizmi a hindu számolás m vészetér l A tízes számrendszerben történ (hindu eredet ) számolásról ( az iskolában tanult módszerek)

19 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l A helyiértékes számábrázolásról Lehet vé teszi igen nagy számok leírását

20 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l A helyiértékes számábrázolásról Lehet vé teszi igen nagy számok leírását és a velük való számolást

21 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l A helyiértékes számábrázolásról Lehet vé teszi igen nagy számok leírását és a velük való számolást Egy 100 jegy szám akkora, ameddig el sem tudunk számlálni

22 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l A helyiértékes számábrázolásról Lehet vé teszi igen nagy számok leírását és a velük való számolást Egy 100 jegy szám akkora, ameddig el sem tudunk számlálni Az univerzum atomjainak a száma: és között

23 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l A helyiértékes számábrázolásról Lehet vé teszi igen nagy számok leírását és a velük való számolást Egy 100 jegy szám akkora, ameddig el sem tudunk számlálni Az univerzum atomjainak a száma: és között Az univerzum kora: < másodperc

24 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l A helyiértékes számábrázolásról Lehet vé teszi igen nagy számok leírását és a velük való számolást Egy 100 jegy szám akkora, ameddig el sem tudunk számlálni Az univerzum atomjainak a száma: és között Az univerzum kora: < másodperc Várható leggyorsabb számítógép 2020-ban: lebeg pontos m velet/másodperc

25 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l Az iskolai módszerek költsége a, b: n jegy számok: n log 10 a

26 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l Az iskolai módszerek költsége a, b: n jegy számok: n log 10 a a + b és a b számolása: n-nel arányos

27 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l Az iskolai módszerek költsége a, b: n jegy számok: n log 10 a a + b és a b számolása: n-nel arányos számú m velet számjegyekkel

28 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l Az iskolai módszerek költsége a, b: n jegy számok: n log 10 a a + b és a b számolása: n-nel arányos számú m velet számjegyekkel a b és a : b számolása: n 2 -tel arányos

29 Algoritmus Az iskolai számolási módszerekr l Az iskolai módszerek költsége a, b: n jegy számok: n log 10 a a + b és a b számolása: n-nel arányos számú m velet számjegyekkel a b és a : b számolása: n 2 -tel arányos (vannak elvileg gyorsabb szorzó-osztó módszerek; ezek csak nagyon nagy számokra jobbak a gyakorlatban )

30 Euklidesz Elemek Az euklideszi algoritmus - lel hely Euklidesz: Elemek (Sztoicheia) (Alexandria, kb. i.e. 300)

31 Euklidesz Elemek Az euklideszi algoritmus - lel hely Euklidesz: Elemek (Sztoicheia) (Alexandria, kb. i.e. 300) Az Elemek 7. (és 11.) könyvében szerepel az eukl. alg.

32 Euklidesz Elemek Az euklideszi algoritmus - lel hely Euklidesz: Elemek (Sztoicheia) (Alexandria, kb. i.e. 300) Az Elemek 7. (és 11.) könyvében szerepel az eukl. alg. Jó on-line kiadás: David Joyce "fordítása": djoyce/java/elements/elements.html (a kép forrása: Bill Casselman: cass/euclid/papyrus/papyrus.html)

33 Euklidesz A legnagyobb közös osztó A legnagyobb közös osztó Legnagyobb közös osztó a legnagyobb közösen kiemelhet tényez

34 Euklidesz A legnagyobb közös osztó A legnagyobb közös osztó Legnagyobb közös osztó a legnagyobb közösen kiemelhet tényez Deníció:

35 Euklidesz A legnagyobb közös osztó A legnagyobb közös osztó Legnagyobb közös osztó a legnagyobb közösen kiemelhet tényez Deníció: legyenek a, b > 0 egészek

36 Euklidesz A legnagyobb közös osztó A legnagyobb közös osztó Legnagyobb közös osztó a legnagyobb közösen kiemelhet tényez Deníció: legyenek a, b > 0 egészek lnko(a, b) = a legnagyobb olyan d > 0 egész, amelyre d a és d b. Kiszámolható törzstényez s felbontás segítségével

37 Euklidesz A legnagyobb közös osztó A legnagyobb közös osztó Legnagyobb közös osztó a legnagyobb közösen kiemelhet tényez Deníció: legyenek a, b > 0 egészek lnko(a, b) = a legnagyobb olyan d > 0 egész, amelyre d a és d b. Kiszámolható törzstényez s felbontás segítségével Ez rossz esetben igen lassú

38 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése

39 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése M N esetén tovább M és N/M felbontásával

40 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése M N esetén tovább M és N/M felbontásával Naiv módszer: N-ig próbálkozás (osztás):

41 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése M N esetén tovább M és N/M felbontásával Naiv módszer: N-ig próbálkozás (osztás): 200-nál több jegy N-re N > , ennyi id nk nincs!

42 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése M N esetén tovább M és N/M felbontásával Naiv módszer: N-ig próbálkozás (osztás): 200-nál több jegy N-re N > , ennyi id nk nincs! Nem ismert (log N) nel arányos idej módszer sem

43 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése M N esetén tovább M és N/M felbontásával Naiv módszer: N-ig próbálkozás (osztás): 200-nál több jegy N-re N > , ennyi id nk nincs! Nem ismert (log N) nel arányos idej módszer sem Feltételezett nehézség kihasználása: RSA titkosírás

44 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése M N esetén tovább M és N/M felbontásával Naiv módszer: N-ig próbálkozás (osztás): 200-nál több jegy N-re N > , ennyi id nk nincs! Nem ismert (log N) nel arányos idej módszer sem Feltételezett nehézség kihasználása: RSA titkosírás 2007-ig díjak kit zve nagy konkrét N-ek felbontására

45 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése M N esetén tovább M és N/M felbontásával Naiv módszer: N-ig próbálkozás (osztás): 200-nál több jegy N-re N > , ennyi id nk nincs! Nem ismert (log N) nel arányos idej módszer sem Feltételezett nehézség kihasználása: RSA titkosírás 2007-ig díjak kit zve nagy konkrét N-ek felbontására Felbontó projektek: számítógépek önkéntes hálózatán+szuperszámítógépeken

46 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz (?) Érdemi rész: valódi osztó keresése M N esetén tovább M és N/M felbontásával Naiv módszer: N-ig próbálkozás (osztás): 200-nál több jegy N-re N > , ennyi id nk nincs! Nem ismert (log N) nel arányos idej módszer sem Feltételezett nehézség kihasználása: RSA titkosírás 2007-ig díjak kit zve nagy konkrét N-ek felbontására Felbontó projektek: számítógépek önkéntes hálózatán+szuperszámítógépeken 2009-es rekord: 235 jegy szám felbontása (két kb. 120 jegy prímszám szorzata)

47 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Az lnko a legjobb felbontó algoritmusokban a munka nehéz része: keressünk olyan N-nél kisebb M-et, amelyre lnko(n, M) > 1

48 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Az lnko a legjobb felbontó algoritmusokban a munka nehéz része: keressünk olyan N-nél kisebb M-et, amelyre lnko(n, M) > 1 a próbálgatásnál sokkal okosabb és gyorsabb módszerek vannak "szerencsés" M keresésére

49 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Az lnko a legjobb felbontó algoritmusokban a munka nehéz része: keressünk olyan N-nél kisebb M-et, amelyre lnko(n, M) > 1 a próbálgatásnál sokkal okosabb és gyorsabb módszerek vannak "szerencsés" M keresésére "szerencsés" M birtokában az euklideszi algoritmussal kiszámoljuk lnko(n, M)-et

50 Euklidesz Nagy N törzstényez s felbontása nehéz Az lnko a legjobb felbontó algoritmusokban a munka nehéz része: keressünk olyan N-nél kisebb M-et, amelyre lnko(n, M) > 1 a próbálgatásnál sokkal okosabb és gyorsabb módszerek vannak "szerencsés" M keresésére "szerencsés" M birtokában az euklideszi algoritmussal kiszámoljuk lnko(n, M)-et lnko(m, N) valódi osztója N-nek

51 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus alapötlete Legyenek a és b egészek. Észrevétel: Ha d közös osztója a-nak és b-nek, akkor d közös osztója a-nak és b ± a-nak.

52 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus alapötlete Legyenek a és b egészek. Észrevétel: Ha d közös osztója a-nak és b-nek, akkor d közös osztója a-nak és b ± a-nak. Biz.: Tegyük fel, hogy b = db, a = da. Ekkor b ± a = d(b ± a ).

53 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus alapötlete Legyenek a és b egészek. Észrevétel: Ha d közös osztója a-nak és b-nek, akkor d közös osztója a-nak és b ± a-nak. Biz.: Tegyük fel, hogy b = db, a = da. Ekkor b ± a = d(b ± a ). Következmény: {a és b közös osztói} = {a és b a közös osztói}

54 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus alapötlete Legyenek a és b egészek. Észrevétel: Ha d közös osztója a-nak és b-nek, akkor d közös osztója a-nak és b ± a-nak. Biz.: Tegyük fel, hogy b = db, a = da. Ekkor b ± a = d(b ± a ). Következmény: {a és b közös osztói} = {a és b a közös osztói} Következmény: lnko(a, b) = lnko(a, b a).

55 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - elegáns változat Tudjuk: b > a esetén lnko(a, b) = lnko(a, b a)

56 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - elegáns változat Tudjuk: b > a esetén lnko(a, b) = lnko(a, b a) Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek

57 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - elegáns változat Tudjuk: b > a esetén lnko(a, b) = lnko(a, b a) Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek (1) Ha a = 0, akkor kész; az eredmény b.

58 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - elegáns változat Tudjuk: b > a esetén lnko(a, b) = lnko(a, b a) Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek (1) Ha a = 0, akkor kész; az eredmény b. (2) Legyen b b a

59 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - elegáns változat Tudjuk: b > a esetén lnko(a, b) = lnko(a, b a) Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek (1) Ha a = 0, akkor kész; az eredmény b. (2) Legyen b b a (3) Ha a > b, akkor a b

60 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - elegáns változat Tudjuk: b > a esetén lnko(a, b) = lnko(a, b a) Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek (1) Ha a = 0, akkor kész; az eredmény b. (2) Legyen b b a (3) Ha a > b, akkor a b Újra (1)-t l.

61 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - elegáns változat Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek (1) Ha a = 0, akkor kész; az eredmény b. (2) Legyen b b a (3) Ha a > b, akkor a b Újra (1)-t l.

62 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - eredeti változat Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek (1) Ha a = 0, akkor kész; az eredmény b. (2') Ameddig b a, legyen b b a (3') a b Újra (1)-t l.

63 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az eredeti változat lassú lehet (2') Ameddig b a, legyen b b a

64 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az eredeti változat lassú lehet (2') Ameddig b a, legyen b b a El fordulhat, hogy a sokkal kisebb lesz, mint b

65 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az eredeti változat lassú lehet (2') Ameddig b a, legyen b b a El fordulhat, hogy a sokkal kisebb lesz, mint b Például a b és b 200 jegy

66 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az eredeti változat lassú lehet (2') Ameddig b a, legyen b b a El fordulhat, hogy a sokkal kisebb lesz, mint b Például a b és b 200 jegy Ekkor kb. b/a kivonás lenne

67 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az eredeti változat lassú lehet (2') Ameddig b a, legyen b b a El fordulhat, hogy a sokkal kisebb lesz, mint b Például a b és b 200 jegy Ekkor kb. b/a kivonás lenne Ez reménytelenül sok!

68 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - eredeti változat Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek (1) Ha a = 0, akkor kész; az eredmény a. (2') Ameddig b a, legyen b b a (3') a b Újra (1)-t l.

69 Az euklideszi algoritmus Az algoritmus Az euklideszi algoritmus - maradékos osztással Ciklus: Feltételek: 0 a b egészek (1) Ha a = 0, akkor kész; az eredmény b. (2) Legyen b b%a (3') a b Újra (1)-t l. (b%a = b a b/a )

70 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!)

71 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b

72 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l

73 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1

74 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l

75 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l < a l,

76 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l < a l, b l+1 = a l. a l+1 < a l, tehát el bb-utóbb véget ér

77 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l < a l, b l+1 = a l. a l+1 < a l, tehát el bb-utóbb véget ér Két lépés után (ha a l+1 0): a l+2

78 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l < a l, b l+1 = a l. a l+1 < a l, tehát el bb-utóbb véget ér Két lépés után (ha a l+1 0): a l+2 = b l+1 %a l+1

79 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l < a l, b l+1 = a l. a l+1 < a l, tehát el bb-utóbb véget ér Két lépés után (ha a l+1 0): a l+2 = b l+1 %a l+1 = a l %a l+1

80 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l < a l, b l+1 = a l. a l+1 < a l, tehát el bb-utóbb véget ér Két lépés után (ha a l+1 0): a l+2 = b l+1 %a l+1 = a l %a l+1 a l a l+1

81 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l < a l, b l+1 = a l. a l+1 < a l, tehát el bb-utóbb véget ér Két lépés után (ha a l+1 0): a l+2 = b l+1 %a l+1 = a l %a l+1 a l a l+1 Tehát a l+2 a l a l+1,

82 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése Jelölés: a l, b l az "a, b" értéke l lépés után. (Mostantól a, b az eredeti (a bemen ) a, b-t jelöli!) a 0 = a, b 0 = b Feltétel: 0 < a l b l Egy lépés eredménye: a l+1 = b l %a l < a l, b l+1 = a l. a l+1 < a l, tehát el bb-utóbb véget ér Két lépés után (ha a l+1 0): a l+2 = b l+1 %a l+1 = a l %a l+1 a l a l+1 Tehát a l+2 a l a l+1, azaz a l a l+1 + a l+2.

83 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése El z oldalról: a l a l+1 + a l+2.

84 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése El z oldalról: a l a l+1 + a l+2. Innen a l a l+1 + a l+2 a l+2 + a l+2 = 2a l+2,

85 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése El z oldalról: a l a l+1 + a l+2. Innen a l a l+1 + a l+2 a l+2 + a l+2 = 2a l+2, Azaz: a l a l.

86 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése El z oldalról: a l a l+1 + a l+2. Innen a l a l+1 + a l+2 a l+2 + a l+2 = 2a l+2, Azaz: a l+2 1a 2 l. a l két lépésben felez dik (vagy még kisebb lesz)

87 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése El z oldalról: a l a l+1 + a l+2. Innen a l a l+1 + a l+2 a l+2 + a l+2 = 2a l+2, Azaz: a l+2 1a 2 l. a l két lépésben felez dik (vagy még kisebb lesz) Ebb l: a 2l 1 a 2 l 0.

88 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése El z oldalról: a l a l+1 + a l+2. Innen a l a l+1 + a l+2 a l+2 + a l+2 = 2a l+2, Azaz: a l a l. a l két lépésben felez dik (vagy még kisebb lesz) Ebb l: a 2l 1 2 l a 0. Innen: a ciklus lefutásainak száma 2 log 2 a = konstans log 10 a

89 Az euklideszi algoritmus Elemzés Az euklideszi algoritmus elemzése El z oldalról: a l a l+1 + a l+2. Innen a l a l+1 + a l+2 a l+2 + a l+2 = 2a l+2, Azaz: a l a l. a l két lépésben felez dik (vagy még kisebb lesz) Ebb l: a 2l 1 2 l a 0. Innen: a ciklus lefutásainak száma 2 log 2 a = konstans log 10 a Összköltség: (log 10 a) 3 -nel arányos

90 Az euklideszi algoritmus Elemzés Pontosabb elemzés: a Fibonacci-számok Tudjuk: a l+2 a l a l+1,

91 Az euklideszi algoritmus Elemzés Pontosabb elemzés: a Fibonacci-számok Tudjuk: a l+2 a l a l+1, azaz a l a l+1 + a l+2

92 Az euklideszi algoritmus Elemzés Pontosabb elemzés: a Fibonacci-számok Tudjuk: a l+2 a l a l+1, azaz a l a l+1 + a l+2 Leglassabban csökken, ha egyenl ség teljesül: a l = a l+1 + a l+2

93 Az euklideszi algoritmus Elemzés Pontosabb elemzés: a Fibonacci-számok Tudjuk: a l+2 a l a l+1, azaz a l a l+1 + a l+2 Leglassabban csökken, ha egyenl ség teljesül: a l = a l+1 + a l+2 a Fibonacci-sorozat rekurziója, csak fordítva indexelve

94 Az euklideszi algoritmus Elemzés Pontosabb elemzés: a Fibonacci-számok Tudjuk: a l+2 a l a l+1, azaz a l a l+1 + a l+2 Leglassabban csökken, ha egyenl ség teljesül: a l = a l+1 + a l+2 a Fibonacci-sorozat rekurziója, csak fordítva indexelve Fibonacci-számok: F 1 = 1, F 2 = 2,

95 Az euklideszi algoritmus Elemzés Pontosabb elemzés: a Fibonacci-számok Tudjuk: a l+2 a l a l+1, azaz a l a l+1 + a l+2 Leglassabban csökken, ha egyenl ség teljesül: a l = a l+1 + a l+2 a Fibonacci-sorozat rekurziója, csak fordítva indexelve Fibonacci-számok: F 1 = 1, F 2 = 2, F l = F l 2 + F l 1 (l > 2)

96 Az euklideszi algoritmus Elemzés Pontosabb elemzés: a Fibonacci-számok Tudjuk: a l+2 a l a l+1, azaz a l a l+1 + a l+2 Leglassabban csökken, ha egyenl ség teljesül: a l = a l+1 + a l+2 a Fibonacci-sorozat rekurziója, csak fordítva indexelve Fibonacci-számok: F 1 = 1, F 2 = 2, F l = F l 2 + F l 1 (l > 2) Belátható, hogy a l 1 Fl+1 a 0.

97 Lánctörtek Lánctörtfejtés Lánctörtbe fejtés Elemek 11. könyv: Euklideszi algoritmus tetsz leges 0 < a b-re (1) b b a b/a (2) Ha b = 0, akkor kész. (3) Különben b a és folytatjuk (1)-t l

98 Lánctörtek Lánctörtfejtés Lánctörtbe fejtés Elemek 11. könyv: Euklideszi algoritmus tetsz leges 0 < a b-re (1) b b a b/a (2) Ha b = 0, akkor kész. (3) Különben b a és folytatjuk (1)-t l γ = b/a-val

99 Lánctörtek Lánctörtfejtés Lánctörtbe fejtés Elemek 11. könyv: Euklideszi algoritmus tetsz leges 0 < a b-re (1) b b a b/a (2) Ha b = 0, akkor kész. (3) Különben b a és folytatjuk (1)-t l γ = b/a-val (1) γ {γ} (2) Ha γ = 0, akkor kész (3) Különben γ 1/γ és folytatjuk (1)-t l

100 Lánctörtek Lánctörtfejtés Lánctörtbe fejtés Az el z eljárás átszervezve és tartalommal megtöltve (1) γ = γ + {γ} (*) feljegyezzük γ -t (2) Ha {γ} = 0, akkor kész (3) Különben folytatjuk γ helyett 1/{γ}-val

101 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ

102 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ = 1 +

103 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ = γ 1

104 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ = γ 1 =

105 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ = γ 1 = γ 2

106 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ = = = γ γ

107 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ = = = γ γ γ 3

108 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ = = = γ γ γ 3 1 = γ 4

109 Lánctörtek sqrt(2) Példa: 2 lánctört alakja 2 = γ = = = γ γ = γ 4 = γ

110 Lánctörtek sqrt(2) 2 lánctört alakja - bizonyítás Trükk: 2 helyett re bizonyítunk.

111 Lánctörtek sqrt(2) 2 lánctört alakja - bizonyítás Trükk: 2 helyett re bizonyítunk. Legyen x =

112 Lánctörtek sqrt(2) 2 lánctört alakja - bizonyítás Trükk: 2 helyett re bizonyítunk. Legyen x = Be kéne látni, hogy x =

113 Lánctörtek sqrt(2) 2 lánctört alakja - bizonyítás Trükk: 2 helyett re bizonyítunk. Legyen x = Be kéne látni, hogy x = Észrevétel: x = x,

114 Lánctörtek sqrt(2) 2 lánctört alakja - bizonyítás Trükk: 2 helyett re bizonyítunk. Legyen x = Be kéne látni, hogy x = Észrevétel: x = x, amib l x 2 = 2x + 1.

115 Lánctörtek sqrt(2) 2 lánctört alakja - bizonyítás x olyan pozitív szám, amelyre x 2 = 2x + 1

116 Lánctörtek sqrt(2) 2 lánctört alakja - bizonyítás x olyan pozitív szám, amelyre x 2 = 2x + 1 x 2 2x + 1 = 2 (x 1) 2 = 2 x 1 = ± 2 x = 1 ± negatív, tehát

117 Lánctörtek sqrt(2) 2 lánctört alakja - bizonyítás x olyan pozitív szám, amelyre x 2 = 2x + 1 x 2 2x + 1 = 2 (x 1) 2 = 2 x 1 = ± 2 x = 1 ± negatív, tehát x =

118 Lánctörtek Periodicitás Véges és periodikus lánctörtek γ lánctörtalakja véges γ racionális

119 Lánctörtek Periodicitás Véges és periodikus lánctörtek γ lánctörtalakja véges γ racionális Periodikus lánctört: 2 vagy pl

120 Lánctörtek Periodicitás Véges és periodikus lánctörtek γ lánctörtalakja véges γ racionális Periodikus lánctört: 2 vagy pl Tétel: γ lánctörtalakja periodikus γ pozitív kvadratikus szám: egy racionális együtthatós másodfokú egyenlet pozitív gyöke

121 Lánctörtek Közelítés 2 közelítése csonkított lánctörtekkel = 3 2 =

122 Lánctörtek Közelítés 2 közelítése csonkított lánctörtekkel = 7 5 =

123 Lánctörtek Közelítés 2 közelítése csonkított lánctörtekkel =

124 Lánctörtek Közelítés 2 közelítése csonkított lánctörtekkel =

125 Lánctörtek Közelítés 2 közelítése csonkított lánctörtekkel = 99 = Nicsak: 99 = és 210x297mm: az A4-es lap mérete

126 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört = 2 1 = 2

127 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört = 3 2 =

128 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört =

129 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört = 8 5 =

130 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört = 13 8 =

131 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört =

132 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört =

133 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört =

134 Lánctörtek Aranymetszés A leglassabban közelít lánctört =

135 Lánctörtek Aranymetszés Arany téglalap φ φ 1 = 1 φ 1 φ 1

136 Lánctörtek e lánctört alakja Az e szám lánctört-alakja e =

137 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

138 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

139 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

140 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

141 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

142 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

143 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

144 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

145 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

146 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

147 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

148 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

149 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

150 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

151 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

152 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

153 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

154 Kiegészítések A Fibonacci-spirál A Fibonacci-spirál

155 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Az lnko egy fontos tulajdonsága Tétel: Legyenek 0 < a, b egészek. Ekkor {ax + by alakú számok (x, y egészek)} = {lnko(a, b) többszörösei}.

156 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Az lnko egy fontos tulajdonsága Tétel: Legyenek 0 < a, b egészek. Ekkor {ax + by alakú számok (x, y egészek)} = {lnko(a, b) többszörösei}. Biz.: könny : ha d osztója a, b-nek, akkor ax + by -nak is.

157 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Az lnko egy fontos tulajdonsága Tétel: Legyenek 0 < a, b egészek. Ekkor {ax + by alakú számok (x, y egészek)} = {lnko(a, b) többszörösei}. Biz.: könny : ha d osztója a, b-nek, akkor ax + by -nak is., azaz lnko(a, b) el áll ax + by alakban:

158 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Az lnko egy fontos tulajdonsága Tétel: Legyenek 0 < a, b egészek. Ekkor {ax + by alakú számok (x, y egészek)} = {lnko(a, b) többszörösei}. Biz.: könny : ha d osztója a, b-nek, akkor ax + by -nak is., azaz lnko(a, b) el áll ax + by alakban: Azért, mert az euklideszi algoritmus során örökl dik, hogy a közbüls értékek (a l, b l ) ax + by alakúak.

159 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Az lnko egy fontos tulajdonsága Tétel: Legyenek 0 < a, b egészek. Ekkor {ax + by alakú számok (x, y egészek)} = {lnko(a, b) többszörösei}. Biz.: könny : ha d osztója a, b-nek, akkor ax + by -nak is., azaz lnko(a, b) el áll ax + by alakban: Azért, mert az euklideszi algoritmus során örökl dik, hogy a közbüls értékek (a l, b l ) ax + by alakúak. Kiegészített euklideszi algoritmus: Az eukl. algoritmust kiegészítjük a közbüls számok (a l, b l ) el állításával ax + by alakban.

160 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x

161 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x

162 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x

163 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x

164 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x x

165 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x x x

166 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x x x x

167 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x x x x x

168 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x x x x

169 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x x x

170 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x x

171 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x x

172 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x x

173 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x x

174 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13 8x

175 Kiegészítések A kiegészített euklideszi algoritmus Példa: a = 8, b = 13

176 Kiegészítések Az euklideszi játék Az euklideszi játék (ColeDavie 1969) Adott két egész hosszúságú madzag és 2 játékos, akik felváltva lépnek.

177 Kiegészítések Az euklideszi játék Az euklideszi játék (ColeDavie 1969) Adott két egész hosszúságú madzag és 2 játékos, akik felváltva lépnek. Egy lépés: a hosszabbik madzagból levágjuk a rövidebb egy többszörösét legalább 1-szeresét azért még maradjon valamennyi

178 Kiegészítések Az euklideszi játék Az euklideszi játék (ColeDavie 1969) Adott két egész hosszúságú madzag és 2 játékos, akik felváltva lépnek. Egy lépés: a hosszabbik madzagból levágjuk a rövidebb egy többszörösét legalább 1-szeresét azért még maradjon valamennyi Vesztes: aki nem tud lépni (azaz aki két egyforma madzagot kap).

179 Kiegészítések Az euklideszi játék Az euklideszi játék (ColeDavie 1969) Adott két egész hosszúságú madzag és 2 játékos, akik felváltva lépnek. Egy lépés: a hosszabbik madzagból levágjuk a rövidebb egy többszörösét legalább 1-szeresét azért még maradjon valamennyi Vesztes: aki nem tud lépni (azaz aki két egyforma madzagot kap). Kérdés: a kezdeti hosszúságoktól függ en a kezd nek mikor van nyer stratégiája?