Szepesvári Csaba ápr. 11
|
|
- András Boros
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Gépi tanulás III. Szepesvári Csaba MTA SZTAKI 2005 ápr. 11 Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
2 1 Döntési fák 2 Felügyelet nélküli tanulás Klaszter-anaĺızis EM algoritmus Gauss Mixture Models Főkomponens anaĺızis 3 Összefoglalás Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
3 Döntési fák Ötlet: input tér partícionálása Oszd meg és uralkodj (divide and conquer)! Top-down partícionálás; lehetőségek: Egyszerre egy attibútum (ID3, C4.5) vs. általános helyzetű egyenesek mentén (CART) Melyik attribútum? Hol vágjunk? Hány részre? Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
4 Döntési fák Fogalmak Csúcspontok, ágak, levelek Nem levél csúcspontok: egy-egy attribútumra vonatkozó teszt Ág: a teszt egy kimenetele (pl. Szín=piros) Levél: Címke, vagy eloszlás a címkéken Klasszifikáció: A fa gyökerétől egy levélig egy út bejárása Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
5 Példa: Teniszezzünk? Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
6 Döntési fák építése (Quinlan, 93) Top-down építkezés Induláskor minden példa a gyökérhez tartozik Lépésenként egy attribútumot választva rekurzívan partícionáljuk a példákat Bottom-up nyírás (pruning) Részfákat/ágakat teszteljünk és dobjuk ki őket, ha a CV-vel becsült hibaarányon ez javít Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
7 Melyiket válasszam..? Melyik a legalkalmasabb attribútum? Amelyik a legkisebb fához vezet Heurisztika: Válasszunk olyan attribútumot, amelyik a legegyszerűbb alfeladathoz (nódushoz) vezet Jóság: amelyik attribútumnál a legnagyobb, azt választjuk ki Legismertebb mértékek: Information gain (ID3/C4.5) Information gain ratio Gini index Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
8 Információ nyereség I. X, Y val.változók Y entrópiája: Várható kódhossz, optimális kódolás mellett: ( H(Y ) = E[log 2 p(y )] = i P(Y = y i ) log 2 P(Y = y i ) Individuális feltételes entrópia: Y entrópiája azokban az esetekben, amikor X = x: ). H(Y X = x) = i P(Y = y i X = x) log 2 P(Y = y i X = x) azaz Y kódhossza, feltéve, hogy X = x. (Megj.: H(Y X = x) E[log 2 P(Y ) X = x]!) Feltételes entrópia: H(Y X ) = E[H(Y X )] = x P(X = x)h(y X = x); Y várható kódhossza, feltéve, hogy X értéke felhasználható a kódoláskor. (Megj.: H(Y, X ) = H(X ) + H(Y X ) = (H(Y ) + H(X Y ))) Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
9 Információ nyereség II. X miatti információ nyereség Y -ra nézve: várhatólag mennyivel csökken Y entrópiája, azáltal, hogy X -et felhasználhatjuk a kódoláskor: I (Y, X ) = H(Y ) H(Y X ). (Megj. I (Y, X ) = I (X, Y ), ezért nem I (Y X )-et használunk a jelölésben) Köv: Ha X hasznos információt hordoz Y -ra nézve, akkor I (Y, X ) nagy! Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
10 Példa biztosításmatematikából Feladat Adott ügyfél megéri-e a 80-at? Y = 1 hosszú életű, Y = 0 nem hosszú életű. Múltbeli adatok alapján a következőt találjuk: I (Y Hajszín) = 0.01 I (Y Dohányos) = 0.2 I (Y Nem) = 0.25 I (Y SzSzUtolsóSzJegye) = Melyik attribútumokat érdemes figyelembe venni? IG: mennyire érdekes egy 2D-s kontingencia tábla. Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
11 Sok-értékű attribútumok Probléma: Ha az attribútum extrém sok értéket vesz fel.. (pl. sz.sz.) Y X = x nagyobb eséllyel egyszerű, így: IG jó eséllyel sok értéket felvevő attribútumot választ.. ez túltanításhoz vezethet Megoldás? Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
12 Túltanítás elkerülése.. pl. relativizáljuk az információ nyereséget: IR(Y X ) def = I (Y, X )/H(Y X ) = Arányosított információ nyereség Más jóság mértékek; pl. Gini index: G(Y ) = 1 i P(Y = y i) 2 ; G(Y X = x) = 1 i P(Y = y i X = x) 2 ; G(Y X ) = E[G(Y X )] Early stopping: Álljunk le a fa növesztésével (pl. ha a tanítási minták száma egy adott ágban már kicsi) Tanítsunk túl, majd vagdossuk le a részfákat/ágakat független validációs adatokon mért teljesítmény segítségével (+++) A leveleknél használjunk Laplace korrekciót.. Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
13 Egyéb praktikus kérdések Hiányzó attribútum értékek Klasszifikációs költségek Számításigény = Quinlan s C4.5 (1993), majd C5.0 Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
14 Felügyelet nélküli (unsupervised) tanulás Adatok: X 1,..., X n ; X i p( ), p nem ismert Kérdések: p =? sűrűségfüggvény becslés Milyen természetes csoportok különíthetőek el a adatban? klaszterezés Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
15 Klaszter-analízis Klaszterező függvény: C : R d {1, 2,..., k}, C =?, k =? Kvantáló függvény: Q : R d {x 1, x 2,..., x k }, Q =?, x 1,..., x k =?, k =? Objektumok csoportosítása úgy, hogy.. a hasonlóbbak kerüljenek azonos csoportba.. kvantálási hiba minimális legyen Alapprobléma: Hogy definiáljuk a hasonlóságot/kvantálási hibát? Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
16 Klaszterező algoritmusok alaptípusok Kombinatorikus módszerek Közvetlenül az adatokkal dolgoznak Keverék-eloszlások modellezése (Mixture Modeling) Valamilyen keverék-eloszlást feltételez Módusz-keresés Sűrűségfüggvények móduszának keresése Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
17 Kombinatorikus módszerek Klaszteren belüli különbözőség (dissimilarity) minimalizálása ekvivalens: klaszterek közötti különbözőség maximalizálása Miért? Klaszteren belüli különbözőség: W (C) = I(C(X p ) = C(X q )) d(x p, X q ) p q Klaszterek közötti különbözőség: B(C) = I(C(X p ) C(X q )) d(x p, X q ) p q Teljes különbözőség: T (C) = W (C) + B(C) const. Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
18 k-means Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
19 k-medoids Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
20 Mennyi legyen k értéke? Néha a problémával jön k értéke is!:) Ha k nem adott, akkor W k (Ck )-ot megvizsgáljuk.. Ha k nő, W k (Ck ) csökken.. Büntessük a nagyobb k értéket (MDL, MAP/BIC,..) Validációs adat: cross-validation pl. X-means (D. Pelleg, A. Moore, 2000) Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
21 EM algoritmus sűrűségfüggvény becslés D n = (X 1, X 2,..., X n ); X i p p =? Maximum likelihood: p = p( ; θ); L(θ) = log p(d n ; θ) = i log p(x i; θ) függetlenség θ ML = argmax θ log p(x i ; θ) i Rejtett változók: (X i, Z i ) p Miért? Keverék eloszlások Hidden-Markov Models (rejtett Markov modellek) Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
22 Modellezés keverék eloszlásokkal Példa: Gaussok keveréke Keverék: p(x) = N (x; µ, Σ) = Generatív szemlélet: r w j N (x; µ j, Σ j ); w j 0, j=1 r w j = 1 j=1 ( 1 (2π) d/2 Σ exp 1 ) 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) Z i (w 1,..., w r ), i = 1,..., n X i N (x; µ Zi, Σ Zi ) Paraméterek: θ = (w 1, µ 1, Σ 1,..., w r, µ r, Σ r ) =? Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
23 Keverékek - II. D n = (X 1, X 2,..., X n ); X i p p = p(x, z; θ) =? Marginalizálás: p(x; θ) = E[p(x, Z; θ)] Maximum likelihood: θ ML = argmax θ log p(x i ; θ) =? Rejtett változók értékének dekódolása: argmax z p(z x; θ) =? (pl. HMM) i Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
24 Jensen egyenlőtlensége Tétel Ha f : D R konvex, és X D-értékű val.változó, akkor E[f (X )] f (EX ) (f konkáv, akkor E[f (X )] f (EX )) Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
25 EM algoritmus: első lépések Ha Z i -t megfigyeltük volna θ ML számolható lenne De Z i -t nem figyeltük meg.. Log-likelihood-ra alsó becslés: L(θ) = i log p(x i ; θ) = i log z p(x i, z; θ) = i i log z z Q i (z) p(x i, z; θ) Q i (z) Q i (z) log p(x i, z; θ) Q i (z) (Jensen :) aholis Q i ( ) egy tetszőleges eloszlás. Jensen: Y i (x) = p(x,z i ;θ) Q i (Z i ) -re, Z i Q i ( ), f (w) = log(w) mellett. Hogy válasszuk Q i -t? Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
26 EM algoritmus: Q i választása L(θ) = i log p(x i ; θ) = i log z p(x i, z; θ) = i i log z z Q i (z) p(x i, z; θ) Q i (z) Q i (z) log p(x i, z; θ) Q i (z) Hogy válasszuk Q i -t? Ötlet: Úgy, hogy fent egyenlőség legyen. Jensen: Y i const = egyenlőség Q i (z) p(x i, z; θ), spec. z Q i(z) = 1 miatt Q i (z) = p(x i, z; θ) z p(x p(z x; θ) i, z; θ) Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
27 EM algoritmus Algoritmus Input: (X 1,..., X n ) adatok; p(x, z; θ) modell t = 0 Konvergenciáig ismételni: E-step: Minden i-re, Q i (z) := p(z X i ; θ t ) M-step: θ t+1 := argmax θ i z Q i(z) log p(x i,z;θ) Q i (z) t := t + 1 Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
28 EM algoritmus: konvergencia Állítás Az EM algoritmus konvergál L(θ) egy lokális maximumhelyéhez Most csak: L(θ) sohasem csökken Def.: A(θ; θ ) = i Volt: L(θ t ) = A(θ t ; θ t ) z Q i (z; θ) log p(x i, z; θ ) Q i (z; θ) A(θ t ; θ t+1 ) = max θ A(θ t ; θ ) A(θ t ; θ t ) = L(θ t ) L(θ t+1 ) A(θ t ; θ t+1 )? igen; volt: L(θ) i z Q i (z) log p(x i, z; θ) Q i (z) spec. θ = θ t+1,q i (z) = Q i (z; θ t )-ra is áll. Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
29 EM algoritmus: egy másik interpretáció.. EM L(θ)-t nem csökkenti Leállási feltétel: L(θ) nem sokat változik Koordinátánkénti optimalizálás: Q = (Q 1,..., Q n ); z Q i(z) log p(x i,z;θ) Q i (z) J(Q, θ) = i Volt: L(θ) J(Q, θ) Interpretáció: E-step: Q-ban maximalizálás M-step: θ-ban maximalizálás Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
30 Inicializálás EM iteratív; nagyon érzékeny a kezdeti értékekre Rossz pontból indítva = rossz pontba konvergál Gyors és minőségi inicializálásra van szükség Gyakran: k-means (GMM-hez) Alternatívák: Gaussian splitting, hierarchikus k-means Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
31 Gauss Mixture Models Modell: p(x; θ) = N (x; µ, Σ) = r w j N (x; µ j, Σ j ); w j 0, j=1 r w j = 1 j=1 ( 1 (2π) d/2 Σ exp 1 ) 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) p(x, z; θ) = w z N (x; µ z, Σ z ) p(x) = z p(x, z; θ) Behelyettesítés.. Q i (z; θ) = p(z = z X i ; θ) = p(x i Z=z;θ)p(Z=z;θ) p(x i ;θ).. Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
32 Miért érdekesek a GMM-ek Univerzális approximátorok Diagonális GMM-ek is univerzális approximátorok Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
33 Főkomponens analízis Főkomponens anaĺızis = Principal Component Analysis (PCA) Példa Helikopter-vezetés távirányítással Képesség Élvezet karma - rejtett változó Feladat: keressük azt az irányt (alteret), amelyikben az adat legjobban változik Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
34 Főkomponens analízis - Modellek Modell-1 (nem-parametrikus): Projekció után az adatoknak a lehető legnagyobb legyen a varienciája Modell-2 (nem-parametrikus) P : R d R d projekció egy m dimenziós altérre Px = m j=1 v j(vj T x), vi T v j = δ ij. argmin P proj. E[ PX X 2 2 ] =? Modell-3 (parametrikus) X = AU + W U R m, W R d v.v. A R d m mátrix (X 1,..., X n )-t figyeljük meg, A =? Feltétel: U, W Gauss ( ellipszisek ) Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
35 Algoritmus Algoritmus Input: (X 1,..., X n ) Centrálunk: X i := X i m, m = (1/n) i X i. Empirikus kovariencia mátrix: C = (1/n) i X i (X i )T C sajátértékfelbontása: C = d i=1 λ iv i vi T, λ 1 > λ 2 >... λ d Output: P = m j=1 v jvj T Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
36 Főgörbék és felületek Principal curves and surfaces Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
37 Összefoglalás Döntési fák: top-down, mohó (information gain); ID3/C4.5 Felügyelet nélküli tanulás Klaszterezés (k-means, k-medoid) EM-algoritmus Gauss-keverékek Főkomponens anaĺızis Legközelebb: Független komponens anaĺızis Lineáris diszkriminánsok NMF Feature-selection Feature weighting; boosting Szepesvári Csaba (SZTAKI) Gépi tanulás III ápr / 37
Bemenet modellezése II.
Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási
RészletesebbenKockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai
RészletesebbenBecslési módszerek errors-in-variables környezetben
Becslési módszerek errors-in-variables környezetben PhD értekezés tézisei Hunyadi Levente Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék Témavezető: Dr.
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM KLASSZIFIKÁCIÓ AZ ADATBÁNYÁSZATBAN
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM KLASSZIFIKÁCIÓ AZ ADATBÁNYÁSZATBAN SZAKDOLGOZAT Készítette: Bényász Melinda Matematika Bsc Matematikai elemz szakirány Témavezet : Kósa Balázs Informatikai Kar Információs
RészletesebbenInferencia. ADOTTAK:! generatív modell: például: DAG + prior(ok) + likelihood(ok) P(X 1,X 2,,X n ) megfigyelések: D = {X i = x i, X j = x j, }
Street1931 Falk1975 Falk1975 Inferencia ADOTTAK:! generatív modell: például: DAG + prior(ok) + likelihood(ok) P(X 1,X 2,,X n ) megfigyelések: D = {X i = x i, X j = x j, }! KISZÁMOLANDÓK:! normalizáció
RészletesebbenStandardizálás, transzformációk
Standardizálás, transzformációk A transzformációk ugynúgy mennek, mint egyváltozós esetben. Itt még fontosabbak a linearitás miatt. Standardizálás átskálázás. Centrálás: kivonjuk minden változó átlagát,
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok 1. házi feladat
Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenInferencia valószínűségi modellekben
Statisztikai tanulás az idegrendszerben, 2016. Inferencia valószínűségi modellekben Bányai Mihály banyai.mihaly@wigner.mta.hu http://golab.wigner.mta.hu/people/mihaly-banyai/ Inferencia valószínűségi modellekben
RészletesebbenValószínűségi modellek
Statisztikai tanulás az idegrendszerben, 2015. Valószínűségi modellek Bányai Mihály banyai.mihaly@wigner.mta.hu http://golab.wigner.mta.hu/people/mihaly-banyai/ Hogyan kezeljük formálisan a bizonytalan
RészletesebbenPrincipal Component Analysis
Principal Component Analysis Principal Component Analysis Principal Component Analysis Definíció Ortogonális transzformáció, amely az adatokat egy új koordinátarendszerbe transzformálja úgy, hogy a koordináták
RészletesebbenPageRank algoritmus Hubs and Authorities. Adatbányászat. Webbányászat PageRank, Hubs and Authorities. Szegedi Tudományegyetem.
Webbányászat PageRank, Szegedi Tudományegyetem Miért akarjuk rangsorolni a Weboldalakat? Mert tudásra szomjazunk Mert a Google-nak megéri. Pontosan hogy is? Mert állatorvost keresünk, pizzázni akarunk,
RészletesebbenÖNJAVÍTÓ AGGREGÁLÁS SZENZORHÁLÓZATOKBAN ÉS AGGREGÁTOR NODE VÁLASZTÁS. Schaffer Péter. Tézisfüzet. Konzulens: Buttyán Levente, Ph.D.
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM HÍRADÁSTECHNIKAI TANSZÉK ÖNJAVÍTÓ AGGREGÁLÁS ÉS AGGREGÁTOR NODE VÁLASZTÁS SZENZORHÁLÓZATOKBAN Tézisfüzet Schaffer Péter Konzulens: Buttyán Levente, Ph.D.
RészletesebbenLoványi István vizsgakérdései kidolgozva (béta)
Loványi István vizsgakérdései kidolgozva (béta) 1. Morfológiai képfeldolgozás elmélete 1. Alapvető halmazműveletek, tulajdonságaik Műveletek: egyesítés (unió) metszet negált összetett műveletek... Tulajdonságok:
RészletesebbenMesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos
RészletesebbenBeadható feladatok. 2006. december 4. 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját!
Beadható feladatok 2006. december 4. 1. Feladatok 2006. szeptember 13-án kitűzött feladat: 1. Add meg az alábbi probléma állapottér-reprezentációját! Adott I 1,..., I n [0, 1] intervallumokból szeretnénk
RészletesebbenRejtett részcsoportok és kvantum-számítógépek
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI MTA, 2007 május 23. Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök Tartalom 1 Kvantum bitek és kvantum-áramkörök Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-ármakörök 2 Háttér Deníció,
RészletesebbenFélévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
RészletesebbenTávérzékelés Távérzékelt felvételek értelmezése (EENAFOTOTV, ETNATAVERV) Erdőmérnöki szak, Környezettudós szak Király Géza NyME, Erdőmérnöki Kar Geomatikai, Erdőfeltárási és Vízgazdálkodási Intézet Földmérési
RészletesebbenSzeleteljük fel úgy a tulajdonságteret, hogy az egyes szeletekbe lehetőleg egyfajta objektumok kerüljenek, de túl sok szelet se legyen.
KEMOMETRIA VIII-1/27 /2013 ősz CART Classification and Regression Trees Osztályozó fák Szeleteljük fel úgy a tulajdonságteret, hogy az egyes szeletekbe lehetőleg egyfajta objektumok kerüljenek, de túl
RészletesebbenEgyenlőtlenségi mérőszámok alkalmazása az adatbányászatban. Hajdu Ottó BCE: Statisztika Tanszék BME: Pénzügyek tanszék Budapest, 2011
Egyenlőtlenségi mérőszámok alkalmazása az adatbányászatban Hajdu Ottó BCE: Statisztika Tanszék BME: Pénzügyek tanszék Budapest, 2011 Adatbányászati feladatok 1. Ismert mintákon, példákon való tanulás (extracting
RészletesebbenÉrdekes informatika feladatok
K. L. Érdekes informatika feladatok XXVIII. rész A konvex burkoló (burok) Legyen S a Z sík egy ponthalmaza. S konvex, ha tetszőleges A, B S-beli pont esetén az AB szakasz is S-be esik. Legyen S a Z sík
RészletesebbenA TANTÁRGY ADATLAPJA
A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika Kar 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika Intézet 1.4
RészletesebbenSZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR BUDAPESTI CORVINUS EGYETEM KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR SZTOCHASZTIKUS MÓDSZEREK A NEM-ÉLETBIZTOSÍTÁSOK TARTALÉKOLÁSÁBAN MSc szakdolgozat Írta: Orbán Barbara
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 4. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint
RészletesebbenTómács Tibor. Matematikai statisztika
Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly
RészletesebbenMesterséges Intelligencia I.
Mesterséges Intelligencia I. 10. elıadás (2008. november 10.) Készítette: Romhányi Anita (ROANAAT.SZE) - 1 - Statisztikai tanulás (Megfigyelések alapján történı bizonytalan következetésnek tekintjük a
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 6. heti eladshoz
Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású
RészletesebbenOnline tanulás nemstacionárius Markov döntési folyamatokban
Online tanulás nemstacionárius Markov döntési folyamatokban Neu Gergely Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem PhD értekezés tézisei Témavezető:
Részletesebbenmatematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
Részletesebben1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?
Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenOrvosi diagnosztikai célú röntgenképfeldolgozás
Orvosi diagnosztikai célú röntgenképfeldolgozás Önálló labor zárójegyzkönyv Lasztovicza László VII. évf. vill. szakos hallgató 2002. Konzulens: dr. Pataki Béla docens Méréstechnika és Információs Rendszerek
RészletesebbenStatisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
RészletesebbenDinamikus rendszerek paramétereinek BAYES BECSLÉSE. Hangos Katalin VE Számítástudomány Alkalmazása Tanszék
Dinamikus rendszerek paramétereinek BAYES BECSLÉSE Hangos Katalin VE Számítástudomány Alkalmazása Tanszék 1 Bayes-becslések 1. A véletlen Bayes féle fogalma A "véletlen" Bayes féle értelmezése a megfigyelést
RészletesebbenGyakorlatok. P (n) = P (n 1) + 2P (n 2) + P (n 3) ha n 4, (utolsó lépésként l, hl, u, hu-t léphetünk).
Gyakorlatok Din 1 Jelölje P (n) azt a számot, ahányféleképpen mehetünk le egy n lépcsőfokból álló lépcsőn a következő mozgáselemek egy sorozatával (zárójelben, hogy mennyit mozgunk az adott elemmel): lépés
RészletesebbenBizonytalanság Valószín ség Bayes szabály. Bizonytalanság. November 5, 2009. Bizonytalanság
November 5, 2009 i következtetés Legyen az A t akció az, hogy t perccel a repül gép indulása el tt indulunk otthonról. Kérdés, hogy A t végrehajtásával kiérünk-e id ben? Problemák: 1. hiányos ismeret (utak
Részletesebben1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény
Részletesebbenp j p l = m ( p j ) 1
Online algoritmusok Online problémáról beszélünk azokban az esetekben, ahol nem ismert az egész input, hanem az algoritmus az inputot részenként kapja meg, és a döntéseit a megkapott részletek alapján
RészletesebbenMAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT. 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu
MAGYAR RÉZPIACI KÖZPONT 1241 Budapest, Pf. 62 Telefon 317-2421, Fax 266-6794 e-mail: hcpc.bp@euroweb.hu Tartalom 1. A villamos csatlakozások és érintkezôk fajtái............................5 2. Az érintkezések
RészletesebbenMikrohullámok vizsgálata. x o
Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia
RészletesebbenTémák Tudományos DiákKöri munkákhoz
Témák Tudományos DiákKöri munkákhoz Kovács György Debreceni Egyetem December 8, Áttekintés 1 2 3 4 5 6 7 Pozitron Emissziós Tomográfia Témák Tudományos DiákKöri munkákhoz 2/12 A PNG képformátum metaadatainak
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
RészletesebbenRobotika. 3. Érzékelés Magyar Attila. Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék
3. Érzékelés Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2011. február 24. 3. Érzékelés 2 3. Tartalom 1. Mobil
RészletesebbenRelációs algebrai lekérdezések átírása SQL SELECT-re (példák)
Relációs algebrai lekérdezések átírása SQL SELECT-re (példák) Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 Áttekintés: Rel.algebra és SQL Példák: Tk.Termékek
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenTermészetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5
1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat
RészletesebbenDigitális technika VIMIAA01
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek
RészletesebbenStrukturált Generátorrendszerek Online Tanulása és Alk-ai
Strukturált Generátorrendszerek Online Tanulása és Alkalmazásai Problémamegoldó Szeminárium 2010. nov. 5 Tartalomjegyzék Motiváció, példák Regressziós feladatok (generátorrendszer fix) Legkisebb négyzetes
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenMegerősítéses tanulás 9. előadás
Megerősítéses tanulás 9. előadás 1 Backgammon (vagy Ostábla) 2 3 TD-Gammon 0.0 TD() tanulás (azaz időbeli differencia-módszer felelősségnyomokkal) függvényapproximátor: neuronháló 40 rejtett (belső) neuron
RészletesebbenA médiatechnológia alapjai
A médiatechnológia alapjai Úgy döntöttem, hogy a Szirányi oktatta előadások számonkérhetőnek tűnő lényegét kiemelem, az alapján, amit a ZH-ról mondott: rövid kérdések. A rész és az egész: összefüggések
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
RészletesebbenBIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK
BIZONYTALAN ADATOK KEZELÉSE: FUZZY SZAKÉRTŐI RENDSZEREK Szakértői rendszerek, 14. hét, 2008 Tartalom 1 Bevezető 2 Fuzzy történelem A fuzzy logika kialakulása Alkalmazások Fuzzy logikát követ-e a világ?
RészletesebbenMesterséges Intelligencia MI
Mesterséges Intelligencia MI Valószínűségi hálók - alapok Dobrowiecki Tadeusz Eredics Péter, és mások BME I.E. 437, 463-28-99 dobrowiecki@mit.bme.hu, http://www.mit.bme.hu/general/staff/tade A szükséges
RészletesebbenKevei Péter. 2013. november 22.
Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus
RészletesebbenProbabilisztikus funkcionális modellek idegrendszeri adatok elemzésére
Probabilisztikus funkcionális modellek idegrendszeri adatok elemzésére Bányai Mihály! MTA Wigner FK! Computational Systems Neuroscience Lab!! KOKI-VIK szeminárium! 2014. február 11. Struktúra és funkció
RészletesebbenElektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom
Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenPénzügyi matematika. Medvegyev Péter. 2013. szeptember 8.
Pénzügyi matematika Medvegyev Péter 13. szeptember 8. Az alábbi jegyzet a korábbi ötéves gazdaságmatematikai képzés keretében a Corvinus egyetemen tartott matematikai el adásaim kib vített verziója. A
RészletesebbenHelyünk a világban Alföldi válaszok a globalizáció folyamataira IV. Alföld-konferencia, Békéscsaba, 2008. nov. 27-28.
A GLOBALIZÁCIÓ GAZDASÁGI HATÁSAI ÉS VÁRHATÓ TÉRBELI KÖVETKEZMÉNYEI AZ ALFÖLDÖN Helyünk a világban Alföldi válaszok a globalizáció folyamataira IV. Alföld-konferencia, Békéscsaba, 2008. nov. 27-28. Prof.
RészletesebbenHazánkban jelentõs múlttal rendelkeznek a klasszikus tesztelméleti módszerekkel
Iskolakultúra 2008/1 2 Molnár Gyöngyvér SZTE, Pedagógia Tanszék, MTA-SZTE Képességkutató Csoport A Rasch-modell kiterjesztése nem dichotóm adatok elemzésére: a rangskálás és a parciális kredit modell A
RészletesebbenInformációelmélet Szemináriumi gyakorlatok
Információelmélet Szemináriumi gyakorlatok. feladat. Adott az alábbi diszkrét valószínűségi változó: ( ) a b c d X = Számítsuk ki az entróiáját: H(X ) =?. feladat. Adott az alábbi diszkrét valószínűségi
RészletesebbenMITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenA dolgozatot a négy érdemi fejezetben tárgyalt eredményeket tartalmazó 9 oldalas Összefoglalás (86-94. o.) zárja le.
OPPONENSI VÉLEMÉNY Matyasovszky István Néhány statisztikus módszer az elméleti és alkalmazott klimatológiai vizsgálatokban című akadémiai doktori értekezéséről 1. ÁLTALÁNOS MEGJEGYZÉSEK Az értekezés 100
Részletesebbenstatisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007
A statisztikai menürendszere Dr. Vargha András 2007 2 tartalomjegyzék 1. Alapok (egymintás elemzések Alapstatisztikák Részletesebb statisztikák számítása Gyakorisági eloszlás, hisztogram készítése Középértékekre
RészletesebbenA lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István
A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos
RészletesebbenMatematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34
Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
RészletesebbenElektromágneses terek 2011/12/1 félév. Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0)
Elektromágneses terek 2011/12/1 félév Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0) 1 1 Bevezetés... 11 2 Vázlat... 11 3 Matematikai eszköztár... 11 3.1 Vektoranalízis... 11 3.2 Jelenségek színtere... 11 3.3 Mezők...
RészletesebbenVirtuális Egér. Horváth Zsolt, Schnádenberger Gábor, Varjas Viktor. 2011. március 20.
Számítógépes Látás Projekt Virtuális Egér Horváth Zsolt, Schnádenberger Gábor, Varjas Viktor 011. március 0. Feladat kiírás: Egy olyan rendszer megvalósítása, melyben kamera értelmezi a kéz és az ujjak
RészletesebbenNövényvédőszer maradékok eloszlásának vizsgálata egyedi terményekben
Növényvédőszer maradékok eloszlásának vizsgálata egyedi terményekben Horváth Zsuzsanna, Ficzere István, Ambrus Árpád Szakmai megbeszélés: A termék megfelelőség ellenőrzése A mintavétel és az analitikai
RészletesebbenGYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)
GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,
RészletesebbenKomáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS
OPERÁCIÓKUTATÁS No.2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Budapest 2005 Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Javított kiadás OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi
RészletesebbenMunkapiaci áramlások Magyarországon
Kónya István MTA-KRTK Közgazdaságtudományi Intézet és Közép-európai Egyetem 2015.11.13 MTA KRTK KTI Motiváció Munkapiaci áramlások központi szerepe Munkapiac keresési modellje Munkanélküliség és aktivitás
Részletesebben1: Idõ(tartam), frekvencia (gyakoriság) mérés
MÉRÉSTECHNIKA tárgy Villamosmérnöki szak, nappali II. évf. 4. szem. (tavaszi félév) Fakultatív gyakorlat (2. rész) A pdf file-ok olvasásához Adobe Acrobat Reader szükséges. További feladatokat a jegyzet:
RészletesebbenOktatási segédlet REZGÉSCSILLAPÍTÁS. Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József. Miskolci Egyetem
Oktatási segélet REZGÉSCSILLAPÍTÁS a Nemzetközi Hegesztett Szerkezettervező mérnök képzés hallgatóinak Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József Miskolci Egyetem 4 - - A szerkezeteket különböző inamikus hatások
Részletesebben1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos.
Az alábbi kiskérdéseket a korábbi Pacher-féle vizsgasorokból és zh-kból gyűjtöttük ki. A többségnek a lefényképezett hivatalos megoldás volt a forrása (néha még ezt is óvatosan kellett kezelni, mert egy
RészletesebbenX. Fénypolarizáció. X.1. A polarizáció jelenségének magyarázata
X. Fénypolarizáció X.1. A polarizáció jelenségének magyarázata A polarizáció a fény hullámtermészetét bizonyító jelenség, amely csak a transzverzális rezgések esetén észlelhető. Köztudott, hogy csak a
RészletesebbenMATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.
RészletesebbenFókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei
Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális
RészletesebbenIrányítástechnika 4. előadás
Iránítátechnika 4. előadá Dr. Kovác Levente 3. 4. 3. 3.5.. artalom ipiku tagok amplitúdó- é fázimenete Bode diagram példák Frekvencia átviteli függvén Hurwitz kritérium A zabálozái kör ugráválaza, minőégi
RészletesebbenÁ Ő ö Ö ő ú ő ö ő ú ö ő ö Á Ö ö Í ö ő ő ü ü ű ő Í ő ü ö ö ő ö ö ő Í ü ű Í Í Á Í Á Áú ú Í Ü ö ö É ú ü ö ú ö ü Í ő Á ő ü ő Á ú Ö Í Á Í ú Á ű Á ú ú Á ű ő ö ö ö ü ő Á Á Á Á Ő Á Á Ő É Á Á ö Í ő ü ü ü ö Á Í
RészletesebbenVektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).
Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és
RészletesebbenAz F# nyelv erőforrásanalízise
Az F# nyelv erőforrásanalízise Góbi Attila Eötvös Loránd Tudományegyetem Támogatta a KMOP-1.1.2-08/1-2008-0002 és az Európai Regionális Fejlesztési Alap. 2012. Június 19. Góbi Attila (ELTE) Az F# nyelv
RészletesebbenTöbbváltozós lineáris regresszió 3.
Többváltozós lineáris regresszió 3. Orlovits Zsanett 2018. október 10. Alapok Kérdés: hogyan szerepeltethetünk egy minőségi (nominális) tulajdonságot (pl. férfi/nő, egészséges/beteg, szezonális hatások,
Részletesebben1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?
1. Prefix jelentések. 10 1 deka 10-1 deci 10 2 hektó 10-2 centi 10 3 kiló 10-3 milli 10 6 mega 10-6 mikró 10 9 giga 10-9 nano 10 12 tera 10-12 piko 10 15 peta 10-15 fento 10 18 exa 10-18 atto 2. Mi alapján
RészletesebbenStatisztikai alapismeretek (folytatás)
Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai
RészletesebbenMáté: Számítógépes grafika alapjai
Téglalap kitöltése Kör, ellipszis kitöltése Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon) Megjeleníthetők a) Csak a határvonalat reprezentáló pontok kirajzolásával
RészletesebbenFunkcionálanalízis az alkalmazott matematikában
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Funkcionálanalízis az alkalmazott matematikában egyetemi jegyzet A jegyzet az ELTE IK 2010. évi Jegyzettámogatási pályázat támogatásával készült
RészletesebbenGAZDASÁGI STATISZTIKA
GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
RészletesebbenCsődvalószínűségek becslése a biztosításban
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenKombinatorikus problémák a távközlésben
Kombinatorikus problémák a távközlésben Tapolcai János BME Távközlési és Médiainformatikai Tanszék MTA-BME Lendület Jövő Internet Kutatócsoport High Speed Networks Laboratory Rónyai Lajos BME Algebra Tanszék,
RészletesebbenReiczigel Jenő, 2006 1
Reiczigel Jenő, 2006 1 Egytényezős (egyszempontos) varianciaelemzés k független minta (k kezelés vagy k csoport), a célváltozó minden csoportban normális eloszlású, a szórások azonosak, az átlagok vagy
RészletesebbenGAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó. 2010. június
GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-8/2/A/KMR-29-41pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén, az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi
Részletesebben