II. forduló, országos döntő május 22. Pontozási útmutató

Átírás

1 Apáczai Nevelési és Általános Művelődési Központ 76 Pécs, Apáczai körtér 1. II. forduló, országos döntő 01. május. Pontozási útmutató 1. feladat: Két természetes szám összege 77. Ha a kisebbik számot megszorozzuk 8-cal, akkor ugyanannyit kapunk, mint ha a nagyobbikat 6-tal szorozzuk. Melyik a két szám közül a nagyobbik? 8p Jelöljük a két számot a-val illetve b-vel. Legyen a<b. A feltétel szerint 8 a 6 b. Egyszerűsítve az összefüggést 4 a b. Tehát 4 a a 77 4 b a a 4 a 1 7 a 1 a, b 44 Tehát a nagyobbik szám a 44.. feladat: A Kovács család kétféle ( vörös és szürke ) gránit kőlapból összesen 8 darabot vásárolt árleszállításkor, és 150 eurót fizetett. A vörös 40%-os árcsökkenés után 150 euróba, a szürke 5%-os árcsökkenés után 180 euróba került darabonként. Hány euróba került a 8 kőlap az árcsökkenés előtt? 8p Jelölje x a vörös kőlapok számát. Akkor a szürke kőlapok száma 8-x. A 8 kőlapért összesen 150 eurót fizetett, ezért felírhatjuk a x x egyenletet. 1

2 Felbontva a zárójelet 150 x x 150 A vörös kőlapok száma, a szürke kőlapok száma 5. 0 x 90 x A vörös kőlap árának 60%-a 105 euró, a szürke lap árának 75%-a 180 euró volt. Így a vörös lap eredeti ára ,6 a szürke kő eredeti ára euró volt. 0,75 Az árcsökkenés előtt a 8 kőlap ára ezért euró volt.. feladat: Egy sakkversenyen a város két iskolájából indultak versenyzők. Első körben minden versenyző csak a saját iskolatársával játszott; mindenki minden iskolatárssal egy játszmát. Ekkor a két iskolában összesen 6 játszmára került sor. Második körben mindenki csak a másik iskola versenyzőivel játszott. Ebben a körben 4 játékra került sor. Hány tanuló vett részt a versenyen iskolánként? 10p Legyen az iskolák versenyzőinek száma x és y. Ekkor 1 1 x x y y 6 az iskolán belüli, és xy=4 a két iskola tanulói közötti mérkőzések száma. p Mivel a megoldásokat a pozitív egész számok körében keressük, így csak az 1-4, -1, - 14, 6-7 számpárok jöhetnek szóba. Az első egyenletet átalakítva x y x y 7 alakba behelyettesítve látható, hogy csak az x=6, y=7 ( vagy fordított ) számpár ad megoldást. Az egyik iskolából 6, a másikból 7 tanuló vett részt a versenyen. Másik megoldás: Visszafelé gondolkodva, ha a tanulók a másik iskola tanulóival játszanak, akkor x y 4 a játékok száma. x illetve y egész szám, akkor a lehetőségek: 1-4, ami a feladat szövegét tekintve nem lehet.

3 -1, akkor a 1fős iskolában , ami több mint a 6-14, akkor a 14 fős iskolában , ami több mint a 6 6-7, akkor két iskolában összesen 6 mérkőzés, ami a feltételnek eleget tesz. Tehát a megoldás: az egyik iskolában 6 fő, a másik iskolában 7 fő indult a sakkversenyen 4. feladat: Az árán két téglalap látható, az ABD és a BEFD téglalapok. Az AB 4cm, az AD cm. Hány cm a DBEF téglalap területe? F D E A B 10p F cm D E A 4 cm B

4 Határozzuk meg a DB háromszög területét! DB DF tdbef tdb Az ABD téglalap területét a DB átló felezi, azaz tabd t DB A két egyenlet alapján az ábrán látható két téglalap területe megegyezik, azaz t t cm 4cm 1cm DBEF ABD Másik megoldás: Pitagorasz tétellel DB-t számoljuk ki, DB=5cm A DB háromszögnek magassága BE, A DB háromszög területét: cm 4cm 5cm BE Másik módón kiszámítva ezt a területet: BE=,4 cm 6cm 6cm Így a BEFD téglalap területet, 4cm 5cm 1cm 5. feladat: Péter elfelejtett egy háromjegyű kódszámot. Emlékezett viszont arra, hogy csupa különböző számjegyből állt, és az első jegye egyenlő volt a második és harmadik számjegy hányadosának a négyzetével. Hány kódszámot kell kipróbálnia, hogy biztosan meg tudja mondani a keresett kódszámot? 1 Az első számjegy egy egyjegyű, pozitív négyzetszám, így értéke lehet 1, vagy 4, vagy 9. A 0 számjegy nem lehet, mert akkor nem teljesül az a feltétel, hogy a számok különbözőek. Ha az értéke 1 lenne, akkora második és harmadik számjegy egyenlő lenne, ekkor viszont a szám nem három különböző számjegyből állna. Az első számjegy nem lehet 1. Ha az első számjegy 4, akkora második számjegy duplája a harmadiknak, és a két utolsó számjegy egyike sem 4. 4

5 Ilyen lehetőségek a 6 és a, illetve és az 1. Tehát két jó szám a 46 és a 41. Ha az első számjegy 9, akkor a második számjegy háromszorosa a harmadiknak, és a két utolsó számjegy egyike sem 9. Ilyen lehetőségek a 6 és a, illetve a és az 1. Tehát az újabb megoldások a 96 és a 91. Tehát 4 kódszám felel meg a feltételeknek. Mivel 4 kódszám lehetséges, elég hármat kipróbálni. Ha egyik sem jó, akkor a negyedik biztosan a megfelelő lesz. 6. feladat: A nagy kör sugara 4 cm. A körbe egy szabályos háromszöget rajzolunk az ábra szerint. Az ábrán látható módon a nagykört belülről érintő maximális sugarú kis kört rajzolunk, amely a háromszöget is érinti. Hányszorosa a kis kör kerülete a nagy kör kerületének? Mekkora a háromszög oldala? 1 A nagy kör átmérője egyben a háromszög szimmetria tengelye, a középpontja a háromszög súlypontja. A nagy kör középpontja a súlyvonalat :1 arányban osztja. B A 5

6 A nagy kör sugara ( jelölje R ) az AB fele, a háromszög súlyvonalának hossza, ami egyben a háromszög magassága is, a, ahol a a háromszög oldala. Jelöljük r-rel a kis kör sugarát. Az ábrából adódik, hogy r+m=r Tehát 8 cm = r+m R 4 R m m 6 cm A két összefüggésből adódik, hogy r=1 cm. A kis kör sugara negyede a nagy kör sugarának, ezért a kerülete negyede a nagy kör kerületének. m 6 1 A háromszög oldala: m a a cm Második megoldás: A E B Az AB= R, ahol R a nagy kör sugara. Jelöljük r-rel a kis kör sugarát. Az AB háromszög olyan derékszögű háromszög ( Thalész-tétel miatt), amelynek szögei AB =0 és AB = 60, AB =90. Ezért az oldalai közötti összefüggés: AB =R, A= R, B= R R 4 ( cm) p 6

7 Az E szakasz az AB derékszögű háromszöget merőlegesen metszi. Ott is keletkezik olyan derékszögű háromszög, amelynek szögei 0 és 60. Az oldalai közötti összefüggés: A=R, r = R Tehát r= 4 R, azaz r= 1 cm. A kerülete tehát negyede a nagy kör kerületének. A B=a, ahol a a háromszög oldala. Tehát a háromszög oldala a 4 cm. A versenyt a Nemzeti Tehetség Program támogatta. NTP-KTTV-11 7