Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll
|
|
- Dezső Katona
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Műveletek mátrixokon: ) számmal szorzás: Def: A = B, ha a kettő egyforma méretű, és a megfelelő helyeken ugyanazok a számok állnak c A = [c a i j m x n ) mátrixok összeadása: Ha A és B azonos méretű mátrixok, akkor A +/ B = [a i j +/ b i j m x n ) mátrixok szorzása Ha u egy n elemből álló sorvektor, és v egy ugyanennyi elemből álló oszlopvektor, akkor u v = u v +u v +...+u n v n Megj: ha n= és n=, akkor a sík és térvektorok skaláris szorzása Def:Ha A mxn-es, és B nxr-es mátrix, tehát A oszlopainak a száma megegyezik B sorainak a számával, akkor a két mátrix ebben a sorrendben összeszorozható n C = A B mxr-es mátrix lesz, és c i k = a i b k +a i b k +...+a in b nk = a ij b jk j= Tétel: Műveleti szabályok a) A + B = B +A b) A + (B + C) = (A + B) + C c) (a+b) A = aa + ba d) a(a + B) = aa + ab e) (ab)a = a(ba) f) A(BC) = (AB)C g) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC h) a(bc) = (ab)c = B(aC) Furcsaságok ) AB BA ) ( A + B) A + AB + B ) A nem következik, hogy A 4) AB =, A nem következik, hogy B = 5) AB = AC; A nem következik, hogy B = C Def: elemi sortranszformációk mátrixokon: a) A mátrix egyik sorának szorzása egy számmal a többit hagyjuk b) Az i-ik és j-ik sor cseréje c) Az i-ik sorban j-ik sor számszorosának hozzáadása Def: Elemi oszloptranszformációk: ugyanaz mint a sortranszformációknál, csak oszlopokkal Def: Egységmátrix: E négyzetes mátrix a főtlóban -esek, a többi
2 Tétel: Ha X olyan, hogy XE létezik, akkor XE = X Ha X olyan, hogy EX értelmes, akkor EX = X Spec: minden a-hoz létezik olyan b, hogy ab = Def: Ha A -hoz létezik olyan B, hogy AB = BA = E, akkor B = A (inverz mátrix) Köv: csak négyzetes mátrixnak van inverze és az inverz is ugyanolyan méretű Tétel: Ha van A -nak inverze, akkor az egyértelmű Biz: B A = E = AB B = (B A)B = B (AB ) = B =E = E [ a b = c d ad bc [ d c b a pl.: [ = 4 [ 4 Az invertálható mátrixszal lehet egyszerűsíteni Tétel: Ha A invertálható, akkor a) AB = AC B = C b) BA = CA B = C c) AB = B = d) BA = B = Biz: AB = AC létrehozzuk A - -gyel A - AB = A - AC = E = E B = C Megj: AB = CA B = C Inverz mátrix kiszámítása: Sortranszformációkkal [A[E [E[A - [ Pl.: 5 = 8, ha (ad bc), csak x-es mátrixra [ 5 8 A E [ 5 [ [ Tétel: Ha A,B négyzetes mátrix, akkor AB = E B = A -
3 BA = E B = A - [A E [ S A S E [ S S A S S [S n S n- S A S n S n- S = E = A - Mátrixinvertálás elméleti kérdései: ) A-ban az első oszlop rendbetétele (sortranszformációkkal létrehozzuk az E első sorát) a) Ha A első oszlopa csupa, akkor A nem invertálható b) Ha van szám az első oszlopban, de a n =, akkor sorcserével elérhető, hogy (;)-en legyen c) A sor szorzásával elérhető lesz, hogy (;)-en álljon d) Az első sor számszoroasait az alatta lévő sorokból kivonva elérhető, hogy (;) alatt csak legyen ) A. oszlop rendezése a) ha (;) alatt csak van, akkor a mátrix nem invertálható b) sorcserével elérhető, hogy (;)-n álljon c) a sort szorozva elérhető, hogy (;)-n legyen d) a. sor számszorosait kivonva a többi sorból elérhető, hogy az oszlopban a többi sorban csak legyen Def: Az A n x m-es mátrix transzponáltja az m x n-es mátrix, amelynek (i;j)-edik eleme a j i Jele: [A T A tükrözése a főátlóra Pl.: [ 5 4 =[ 5 4 Tétel: A transzponálás tulajdonságai: a) (ca) T = ca T b) (A + B) T = A T + B T c) (AB) T = B T A T Biz: c) (B T A T ) i j = (B T i-ik sora)(a T j-ik oszlopa) = (A j-ik sora)(b i-ik oszlopa) = = (AB) j i = ((AB) T ) i j Def: Vektortér (bináris tér) Egy V halmaz (elemei síkvektorok), ha ) Minden v, w vektorhoz tartozik egy v + w-vel jelölt vektor ) u + v = v + u minden V-beli u, v-re ) (u + v) + w = u + (v + w) minden u, v, w 4) létezik V, melyre u + = u minden u 5) minden u-hoz létezik u (-u benne van a V halmazban), melyre u + (-u) = 6) minden c valós vagy komplex számra, és minden V-beli v vektorra létezik V-beli cv (a vetkortér valós, ha c valós szám, komplex, ha c komplex szám 7) c(u + v) = cu + cv minden c, u, v 8) (c + d)u = cu + du minden c, d, u 9) c(du) = (cd)u ) u = u Pl.: minden vektortérben a) a egyértelmű b) -u = (-)u c) u =
4 Példák: ) V = {[a;b-n értelmezett összes valós értékű függvény} ) V = { x -es valós mátrixok} ) V = {(c n ) valós sorozatok} Pl.: (ca) - = (/c)a - (AB) - = B - A - Def: altér: A W V-beli részhalmazt altérnek nevezzük, ha W is vektortér a V-beli műveletekre Áll: A W V-beli részhalmaz altér a két vektorművelet nem vezet ki W-ből W-beli w ; w esetén c w és w + w is elem W-nek Biz: a műveleti azonosságok továbbra is fennállnak létezik, mert W-beli w miatt w =, ami eleme W-nek létezik -w = (-)w, ami szintén eleme W-nek Pl.: - a sorozatok vektorterében altér a konvergens sorozatok összessége nem altér viszont a divergens sorozatok összessége - a függvények vektorterében altér ([a;b (a;b szakaszon folytonos függvények) összessége - altér a {legfeljebb -ad fokú polinomok összessége} nem altér a [-ad fokú polinomok összessége Def: A v ;v ; ; v n eleme V vektorok lineáris kombinációja c v + c v + + c n v n A lineáris kombináció triviális, ha c = c = = c n = Def: A v ; ; v n vektorok lineárisan függetlenek, ha c v + + c n v n = c = = c n = v ; ; v n lineárisan összefüggő, ha nem lineárisan független, ilyenkor c v + c n v n = miatt minden c i esetén v i a vektor lineáris kombinációja Pl.: v lineárisan összefüggő v = {v ; v } lineárisan összefüggő c v = v c v = v Tétel: Ha v ; ; v n V-beli vektorok, akkor a W = {c v + + c n v n ; c ; ; c n valós számok}, W V részhalmaza, W részhalmaz altere V-nek W = Lin(v ; ; v n ), a v ; ; v n által generált (kifeszített) altere V-nek Biz: Két lineáris kombináció összege, és egy lineáris kombináció konstansszorosa is lineáris kombináció Def: {v ; ; v n } vektorrendszer generátorrendszer V-ben, ha V = Lin{ v ; ; v n }, azaz ha minden V-beli v felírható v = c v + + c n v n alakban Pl.: {; x; x ; x } generátor rendszer a legfeljebb -adfokú polinomok vektortérben, sőt bázis, mert c + c x + c x + c 4 x = Def: {v ; ; v n } bázis V-ben, ha lineárisan független generátorrendszer Tétel: {v ; ; v n } bázis V-ben minden V-beli v egyértelműen felírható v = c v + +c n v n alakban Biz: generátorrendszer van felírás lineáris függetlenség nincs egynél több felírás
5 [ [ Pl.: [ ; [x x = x x x4 [ ; [ + [ ; x [ + [ bázis x R4 -en [ + x 4 [ Módszer lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázistulajdonság eldöntésére: Legyen V-ben bázis {e ; ; e n }. Felírjuk v ; ; v n -t ; v j = α j e + α j e + + α nj e n [α ij = [αi αi... αn αn αn... αnn Sortranszformációk: minél több oszlop legyen egy -sel és n -val, az -esek különböző magasságokban (szabályos oszlopok). Ha több szabályos oszlop nem készíthető [az eddigi -esek sorain kívül minden sor, akkor: a) A szabályos oszlopoknak megfelelő v i -ik lineárisan függetlenek, a többi v j felírható ezen v i -ik lineáris kombinációjaként, melynek együtthatói a v j oszlopában vannak b) {v ; ; v n } lineárisan független minden oszlop szabályos generátorrendszer n db szabályos oszlop van bázis m = n és n db szabályos oszlop van között? Pl.: Hány független van v = [ ; v = [ 5 ; v = 6 ; v 4 = 7 vektorok [ 6 7 ' ' 5 [ 8 ' ' 5 [ 9 ' ' 7 9 [ 79 A kiindulási v ; v ; v 4 lineárisan függetlenek, v pedig felírható velük 79 v = v v 9 v 4
6 Van n = szabályos oszlop v ; v ; v 4 generátorrendszer, lineárisan függetlenek is {v ; v ; v 4 } bázis R -ban Tétel: Ha van n elemű bázis, akkor: a) bármely lineárisan független vektorrendszer legfeljebb n elemű b) bármely n elemű lineárisan független rendszer bázis c) bármely generátorrendszer legalább n elemű d) bármely n elemű generátorrendszer bázis Köv: V-ben bármely két bázis ugyanolyan elemszámú Def: A vektortér dimenziója bármely bázisának elemszáma, dim (V) Tétel: dim (V) = n van n db független vektor, de n + már nincs van n elemű generátorrendszer, de n elemű már nincs Pl.: A x -as valós mátrixok vektorterének dimenziója 6 [ a a a b b b [ = a [ + a [ + a + + b [ + b [ + b [ Pl.: R n dimenziója n, egy bázis [. i.. i-edik pozíción van az -es, i-edik bázisvektor Def: Az A m x n-es mátrix oszloprangja a lineárisan független oszlopvektorok maximális száma Az A sorrangja a lineárisan független sorvektorok maximális száma Tétel: Az oszloprang nem változik a sor- és oszloptranszformáció során. A sorrang sem Pl.: [' ' 4 5 s o r [' ' o s z l o p [ ' 7 ' Tétel: s o r [ 4/7 [ sorrang = az első sor független, az azonos sor nem számít oszloprang =
7 a) Bármely m x n-es mátrixra: sorrang = oszloprang rang (A) b) Elemi sor- és oszloptranszformációkkal bármely m x n -es A mátrix olyan alakra hozható, ahol a bal felső sorok k x k-s E, a többi pozíció, ilyenkor a rang (A) = k Biz: Szabályos oszlopok, az -esek sorában a többi tag -vá tehető oszloptranszformációkkal. Sor- és oszlopcserével a szabályos oszlopok az első k oszlopba, az -esek a főátlóba vihetők [ [ [ [ [ Pl.: x-as mátrix, rang = A = [ rang = A bármely két sora párhuzamos vagy bármely két oszlopa párhuzamos [ c c αc αc αc [, c = c = c > vagy αc αc αc c c c Lineáris egyenletrendszerek: rang = van két független sor, de nincs van két független oszlop, de nincs rang = ilyen nincs, mert nem lehet független sora, mert csak van a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m Ha A = [a J m x n ; x = [x... ; b = xn [ b..., akkor Ax = b bm Pl.: x + y = x + y = 5x + y = 8 [ 5 [ x y [ 8 = A x b
8 Pl.: Legyenek A oszlopai a ; a ; ; a n, azaz A = [a ; a ; ; a n. Akkor Ax = b alakja x a + + x n a n = b Pl.: x [ 5 + y [ 4 = [ 8 A) Mikor van megoldás? Tétel: Ax = b lineáris egyenletrendszer megoldható rang (A) = rang ( A; b) Biz: létezik megoldás b eleme dim (a ; a ; ; a n ) dim ( a ; a ; ; a n ) dim = rang (A) dim ( a ; a ; ; a n, b) rang (A, b) Megj.: - rang (A) < rang (A, b) esetén az egyenletek ellentmondásosak - rang (A, b) = k van k db független egyenlet - rang (A) < rang (A, b) miatt egyszerre k sor A-ban már összefüggő. Ezen összefüggés szerint lineárisan kombinálva a k db egyenletet minden változó kiesik C = (ez ellentmondás) B) Mikor egyértelmű a megoldás? Áll.: Ax = b A(x x*) = Ax* = b Ezért Ax = b -nek megoldása van Ax = -nak csak x = a megoldása Tétel: Ax = b egyértelműen megoldható rang (A) = rang (A,b) = n Biz: x a + + x n a n = b egyértelmű a ; ; a n lineárisan függetlenek rang (A) =n Azaz a megoldás egyértelmű van n db független egyenlet C) Hogyan számoljuk ki a megoldásokat? [ A b- sortranszformációkat végzünk, A-ban minél több szabályos oszlop legyen. Ezen oszlopok -eseit sorcserével az első k sorba visszük Ilyenkor A-ban a k-ik sor alatt csupa van α)b oszlopában a k-ik pozíciók alatt van. Akkor Ax = b-nek nincs megoldása β)ha b oszlopában a k-ik pozíció alatt csupa van, akkor van megoldás A nem szabályos A oszlopoknak megfelelő x i -k szabadon választhatók, a szabályos oszlopok változói kifejezhetők az -eseknek megfelelő sorból Pl.: 5 [[ 5 [[ [ 4 [ 4 nincs megoldás x paraméter x = x
9 [[ 5 4 x = x 5x x 5 x 4 = - x x x 6 = + x 4x x = 4 5x [ A, 4, 6 oszlop szabályos x ; x ; x 5 szabad paraméter Magyarázat: Ax = b BAx = Bb [ A b [BA Bb Megj: Ha A invertálható, akkor Ax = b x = A - b Pl.: x y + 4z = x + y z = x + z = x + y = -4 4 [[ ' ' [ [ [ [ 4 ' ' 4 [[ x = 9 4 [ [[ 4 [ y = = 5 4 Pl.: x + y z + 4u = x y + z + u = x + 7y 4z + u = a z= 7 [' ' 4 a 7 4 [ a 5 a = 5 [ a [ /5 6/5 4/5 /5 7/5 /5
10 z; u paraméter x = y = z 6 5 u 5 5 z 7 5 u D) Hány szabad paraméter lesz a megoldásban? Tétel: Ha A m x n-es, akkor Ax = homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai vektorteret alkotnak R n -en, dim = n rang (A) Köv: Ha Ax = b megoldható, akkor megoldásai az n -rang(a) szabad paraméter lesz [ [x u [ y 7 Pl.: = z + u z 5 5 x = 5 z 6 5 u y = 5 z 7 5 u dim = = n rang(a) = 4 = Def: p: {;;...; n} {; ; ; n} permutációi p(); ; p(n) az ; ; n számok egy felsorolása A p(i) és p(j) inverzióban áll, ha (i j)(p(i) p(j)) <. A p inverziószáma I(p), az inverzióban álló párok. A p permutációi páros, ha I(p) páros páratlan, ha I(p) páratlan Pl: I(p) = 4 I(p) = 4 I(p) = Áll: Ha p-ben két elemet felcserélünk, a paritás megváltozik Def: Az A n x n-es mátrix determinánsa A = det(a) = (-) I(p) a p() a p() a np(n) p p permutációi ; ; ; n -nek Pl.: det[a = a az egy elemű determináns egy szám det a b c d = ad bc, mert ad = a a p = (;); I(p) = bc = a a p = (;); I(p) =
11 det [a a a b b b c c c = a b c + a b c + a b c a b c a b c a b c a b c = a a a p = (;;); I(p) = Tétel: A determináns tulajdonságai a) det(a T ) = det(a) b) Sortranszformációknál: b) egy sort c-vel szorozva a determináns c-szeresére változik b) két sort felcserélve a determináns (-)-szeresére változik b) egyik sorhoz egy másik sor konstans szorosát adva a determináns nem változik c) Oszloptranszformációknál: ugyanígy d) Ha a mátrixnak van sora, vagy oszlopa, a det = e) Ha a mátrixnak van két egyforma sora, vagy oszlopa, a det = f) Ha a mátrix egyik oszlopa két vektor összege, akkor det[a ; ; a j ; b + c; a j+ ; ; a n = = det[a ; ; a j ; b; a j+ ; ; a n + det[a ;... ; a j ; c; a j+ ; ; a n g) Ha a főátló alatt, vagy a főátló fölött csupa van, akkor det(a) = a a a nn h) det(e) = i) det(ab) = det(a)det(b) j) det(a - ) = det A Pl.: Biz: b) p permutációban i és j helyet cserél j) det(a)det(a - ) = det(aa - ) = det(e) = 5 = 4 Pl.: (-)**5**4*(-)I(p) = - p = (5 4 ); I(p) = 6 9 = (-) 5 = - 5 = = = = -***(-55) = 65 Pl.: 7 6 = = -6* = Def: Ha A n x n -es mátrixból elhagyjuk az i-edik sort és a j-ik oszlopot, a keletkező (n )x(n )-es mátrix determinánsát (-) i+j -vel szorozzuk, A i j az i, j-hoz tartozó előjeles determináns A-ban
12 Tétel: a) Determináns kifejtése i-ik sora szerint det(a) = a i A i + a i A i + + a in A in b) Determináns kifejtése a j-ik oszlop szerint det(a) = a j A j + a j A j + + a n j A n j Pl.: kifejtése a). sor szerint: det = b). oszlop szerint: det = 9 + (-6) = *5 + 5 = 65 = = 65 Tétel: Ferde kifejtési tétel a) Ha egy sor elemeit egy másik sorhoz tartozó előjeles aldeterminánsokkal szorozzuk; az összeg a r A i + a r A i + + a rn A in = ha r b) oszlopokra hasonlóan a r A j + a r A j + + a nr A nj = ha r j Def: Legyen A n x n-es  = [A j i n x n (nem A i j!!!) Tétel: a) Kifejtés és ferde kifejtés sorszerint: A  = det(a)e b) Kifejtés és ferde kifejtés oszlop szerint: ÂA = det(a)e Tétel: Ha A négyzetes, akkor A invertálható det(a) és A - = (/det(a))*â Biz: Ha det(a), akkor A = det(a)e miatt A((/det(A))*Â) = E Ha det(a) =, akkor A nem lehet invertálható, mert det(a)det(a - ) = Tétel: Cramer-szabály: lineáris egyenletrendszer megoldása determinánsokkal x = det b ;a ;... ;a n det= A x = det a ;b ;... ;a n det A x n = det a ;... ;b det A
13 Pl.: x + y = x + 4y = 4 x = 4 = 5 y = 4 = 5 Pl.: A = [ a b c d [ Â = d b c a Pl.: A = A - = (/det(a))â = [ 4 5 esetén 6 ad bc [ d b c a (Â) ; = A = - = Tétel: Ha A n x n -es, akkor det(a) <=> rang(a) = n Biz: rang = n <=> az összes oszlop független <=> lehet E-t létrehozni sortranszformációkkal <=> A invertálható <=> det(a) Tétel: Ha A m x n-es mátrix, akkor rang(a) = k <=> van k x k-as nemnulla aldetermináns, de minden (k+)x(k+)-es aldetermináns [aldetermináns: tetszőleges k sor, és tetszőleges k oszlop találkozási pontjaiban adódó k x k-as mátrix determináns Pl.:det(cA) c det(a), helyette det(ca) = c n det(a) det(a+b) det(a) + det(b) det(ab) = det(a)det(b) Lineáris operátorok: Def: V és V valós vagy komplex vektortér. Egy V V leképezés lineáris operátor, ha v,w eleme V esetén A(v + w) = Av + Aw A(cv) = cav Áll: Lineáris operátornál A v = v A(-v) = -Av A(cv + + cv n ) = cav + + cav n
14 Def: Az A V V lineáris operátor magtere: Ker A = {v eleme V : Av = } képtere: Im A = {Av: v eleme V } Áll: Ker A altere V -nek, Im A altere V -nek Biz: Ker A esetén: Av = = Aw esetén A(cv) = cav = c =, tehát cv eleme Ker A A(v + w) = Av + Aw = + =, tehát v + w eleme Ker A Im A hasonló Pl.: R R lineáris operátor a) körüli α szögű forgatás b) középpontú hasonlóság (nyújtás) c) tükrözés egy -n átmenő egyenesre d) merőleges vetítés egy -n átmenő egyenesre Pl.: d/dx: C (R) C(R) lineáris operátor (cf)' = c f'; (f +g)' = f' + g' Ker A (d/dx) = {f: d/dx f } = konstans fügvények Im A (d/dx) = {f': f eleme C (R)} = C(R) x f folytonos => d/dx f = f(x) Pl.: A m x n -es valós mátrix definiál egy lineáris leképezést A: R n R m A(cx) = cax Ax = Ax A(x + y) = Ax + Ay Ker A = {x: Ax = } Im A = {Ax: x eleme R n } A oszlopai által kifeszített altér dim = n rang(a) dim = rang(a) Tétel: Dimenziótétel: Ha A V V lineáris, dim V véges, akkor dim V = dim Ker A + dim Im A Pl.: A m x n -es mátrix által definiált lineáris leképezés esetén: dim V = n dim Ker A = n rang(a) dim Im A = rang(a) Műveletek lineáris operátorok között: Def: A,B: V V esetén ca: V V, (ca)v = c(av) A+B: V V, (A + B)v = Av + Bv Tétel: Az összes V V lineáris operátor vektortér. Tehát például A+B = B+A; A+(B+C) = (A+B)+C stb. Def: A: V V ; B: V V lineáris leképzés, akkor AB: V V
15 (AB)v = A(Bv) Pl.: BAv = B(Av) A: V V B: V V AB: V V BA: V V Tétel: A(BC) = (AB)C A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC + BC c(ab) = (ca)b = A(cB) Def: A V V injektív v w esetén Av Aw Áll: Ha A leképezés lineáris, akkor injektív <=> Ker A = {} Biz: Av = Aw <=> A(v w) = <=> v w elem Ker A Def: A: V V lineáris operátor invertálható, ha injektív és szürjektív, azaz Ker A = {} és Im A = V Ilyenkor minden V -beli v -höz van pontosan egy V -beli v, hogy Av = v, és akkor A - : V V lineáris operátor A - : v = v, amire Av = v Áll: Ha A: V V és B: V V lineáris leképezés invertálható, akkor AB: V V is invertálható és (AB) - = B - A - Tétel: Legyen V ;V valós vagy komplex legyen {b ; ; b n } bázis V -ben {f ; ; f n } tetszőleges V -ben Akkor van pontosan egy A: V V lineáris leképezés, amelyre Ab i = f i ; i= ; ; n Biz: minden V -beli v egyértelműen felírható v = α b + + α n b n alakban => Av = α Ab + + α n Ab n = α f + α n f n Az α b + + α n b n α f + α n f n leképezés lineáris Def: Legyen A: V V lineáris operátor E={e ; ; e n } bázis V -ben F={f ; ; f n } bázis V -ben Ae j -t felírjuk az F bázisban: Ae j = a j f + a j f + + a mj f m A = [a ij m x n -ben a j-ik oszlop az Ae j együtthatói az F bázisban A az A lineáris operátor mátrixa az E;F bázispárban; jele: A E;F Formálisan: [f ; ; f m A E;F = [Ae ; ; Ae n Def: E bázis V -ben, v eleme V, v = α e + + α n e n [α Akkor v E =... αn Tétel: Ha A: V V lineáris, E bázis V -ben, F V -ben, akkor v eleme V esetén Av F = A E;F v E
16 Biz: [f ; ; f m A E;F v E = A[e ; ; e n v E = Av = [f ; ; f n Av F Mi lesz AB mátrixa?: Tétel: A: V V B: V V lineáris operátorok V -ben bázis E, V -ben bázis F, V -ban G Akkor AB E;G = A F;G B E;F Mi lesz A - mátrixa? Biz: ABv G = A(Bv) G = A F;G Bv F = A G B F v E = AB E;G v E AB E;G = A F;G B E;F Tétel: Ha A: V V invertálható, akkor A - F;E = (A E;F ) - Pl.: A: R R, körüli pozitív forgásirányba való α szögű elforgatás F = {i; j} i= [ ; j= A E;E = [ cosα sin α sin α cosα A n (A n ), azaz [ n cosα sin α sin α cosα cosnα sin nα = [ sin nα cosnα Hogyan változik meg egy vektor felírása báziscserénél? a) Egyetlen bázisvektort cserélünk: [b b E =... ; v bn [v E =... vn A b bevihető a bázisba olyan e i helyre, melyre b i Speciel, ha b n, akkor b = b e + + b n e n e = v = v e + v e + + v n e n = v b b + (v - v bn b - b b e - - b b ) e bn + + (v n - v b ) e n bn b e n
17 [b b v bn[v vn [ vn bn v [... v b b v b v b... v E v koordinátái a {b; e ; ; e n } bázisban Sorcsere nélkül! Pl.: {e ; e ; e ; e 4 } b = e e + e + 4e 4 v = e + e + e + e 4 b bevonható-e e helyére? [ = 4 b E v E [ 7 azaz v = -e + 7e + b e 4 b E' v E' b) több bázisvektor (akár egész bázis) cseréje [ [ sortranszformációk b E b ke v E v E' Pl.: {e ; e ; e } bázis b = e + e e b = e +e b = e + 4e e v = e + e +e [ [ ' ' 7 [ 7 ' ' ' 4 ' 5 b E b E b E v E b b b v b b b v {e ; b ; e }-ban {b ; b ; e } -ban [ tehát b; b; b is bázist alkot, mert sikerült őket bevonni a bázisba v = 4 b + 6 b b
18 [b E ; b E ; b E ; v E sortr [E, v B [b E ; b E ; b E ; E [E, B E - => v B = B E - v E Tétel: Ha B E - = [b E ;... ; b ne, akkor a) v E = B E v B b) E b = (B E ) - b) biz: a) miatt v B = B E - v B v B = E b v E => B E - = E B Tétel: Báziscsere az operátor mátrixában A: V V lineáris operátor V -ben bázis E és E' V -ben bázis F és F' => A E';F' = ( F' F ) - E' E A E';F' = [Ae' F' ; ; Ae' nf F F' = [f F',, f nf' Spec: A: V V lineáris operátor, V-ben bázis E és E'. Akkor A E',E' = (E' E ) - A E,E E' E rövidebb jelölés: A E Def: P n {legfeljebb n-edfokú valós együtthatójú polinomok} Pl.: P P lineáris operátor mátrixa az {x +x+; x+; -x +} bázisban b b b [ E={; x; x }-ben T E = [ [ ' ' ' ' b b b Tb Tb Tb b b b Tb Tb Tb E-ben {e ; e ; b}-ben [ ' ' 4 [ b b b Tb Tb Tb b b b Tb Tb Tb {b ; e ; b }-ben {b ; b ; b }
19 T B = 4 [ 4 4 T B = (B E ) - T E B E = [ [ [ = [ [ = [ [Tb E, Tb E, Tb E Def: A: V V lineáris operátor. Ha van egy olyan v úgy, hogy Av párhuzamos v-vel, tehát Av = λv egy v -ra ekkor λ az A lineáris operátor sajátértéke, és v a λ-hoz tartozó sajátvektor Megj: Ha v =, akkor Av = λv minden λ-ra. Viszont λ = lehet sajátértéke: Av = v = A λ = -hoz tartozó sajátvektorok összessége Ker A\{} Áll: A λ-hoz tartozó sajátvektorok összessége Ker (A λe)\{} Biz: Av λv <=> (A λe)v = Pl.: E: V V egységoperátor sajátértéke, sajátvektor minden v : V V null-operátor sajátértéke sajátvektor minden v T: R r R az origó körüli forgatás α szöggel, < α < π, nincs sajátérték Def: A λ sajátértékhez tartozó sajátaltér: Ker (A λe), az összes λ-hoz tartozó sajátvektorból és a -ból áll Miért hasznosak a sajátvektorok? Tétel: T: V V lineáris operátor B bázisbeli mátrixa diagonális <=> B a T sajátvektoraiból áll, ilyenkor a diagonálisban a sajátértékek vannak Tétel: A különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek Tb i = λ i b i, λ i λ j esetén b ; ; b n lineárisan független Biz: Indukció a) n = b lineárisan független, mert b b) n n I. α b + α b + + α n b n = II. = T(α b + + α n b n ) = α Tb + + α n Tb n az I egyenletet λ n -nel beszorozzuk, majd a két egyenletet kivonjuk egymásból I II: α (λ n λ )b + + α n (λ n λ n )b n - = => α = α = = α n = => α n = Tétel: Legyen T: V V lineáris, V-ben bázis B.
20 Akkor λ sajátértéke T-nek <=> det(t B λe) = λ-ban n-ed fokú polinom Tétel: λ sajátértéke A-nak <=> (A B λe) = A sajátvektorok Tétel: A λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok As = λs <=> (A λe) = <=>(A B λe)s B = p Pl.: T: P P, T p = (x+) p [ B={; x; x ; x } T B = T Tx Tx Tx T = ; Tx = x+; Tx = x +x; Tx = x +x λ λ λ = det(t B λe) = = λ sajátérték:,,, b) sajátvektorok λ =, (T B λe)s B =, azaz [ [ [ s B = s = λ = ; s B = y y z u = [ [ ; s = +x [ y=; [ [ -x+y λ(λ )(λ )(λ ) y+z=; z+u=; u= =; =; z=; u=
21 λ =; s B = λ 4 = ; s 4B = [ ; [ ; [ s = + x + x [ -x+y=; s 4 = (x+) -x+y=; -y+z=; u=; u= -y+z=; -z+u=; =; Tétel: Ha T: V V lineáris, B egy n elemű bázis V-n, akkor p(λ) = det(t B λe) λ-ban n-ed fokú polinom, amely független B-től Biz: Ha áttérünk C bázisra, akkor T C λe = (C B ) - (T B λe) C B => det(t C λe) = = det((c B )- ) det(t B λe) det(c B ) => det (T B λe) = det(t C λe) det CB p(λ) a T operátor karakterisztikus polinomja Def: Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik olyan C n x n-es invertálható mátrix, hogy B = C - A C Tétel: Hasonló mátrixok sajátértékei megegyeznek, sőt karakterisztikus polinomjaik is Biz: A = A E, ahol E =... {[ [......[ } standard bázis Ha C = [c ; ; c n, akkor C oszlopai bázist alkotnak R n -ben és C = C E. Ezért B = (C E ) - A E C E, ezért B = A C => det(b λe) = det(a λe) Hasonló mátrixok ugyanazon operátor különböző bázisokban vett mátrixai Kapcsolat a determináns és a sajátértékek között Tétel: det(a) = λ λ... λ n, ahol a sajátértéket annyiszor kell venni, ahányszoros gyöke ő a karakterisztikus polinomnak Pl.: E sajátértéke csak a λ=, de det(e) = n, det(e λe) = ( λ) n Köv: Hasonló mátrixok determinánsai megegyezik
22 [ Pl.: T = sajátértékei:, -, - => det(t) = n Def: Az n x n-es A mátrix nyoma tr(a) = a ii, a főátlóban szereplő elemek összege i= Pl.: tr(t)= 6 Áll.: Ha A m x n-es és B n x m-es, akkor tr(ab) = tr(ba) n n [Biz: tr(ab) = tr(ba) = a ij b i j i= j= Tétel: Ha T:V V lineráris, akkor tr(t B ) nyoma független a B bázis választásától tr(t), operátor nyoma Biz: tr(t C ) = tr (C - T B C B ) = tr(t B C B C B - ) = tr(t B E) = tr(t B ) Köv: Hasonló mátrixok nyoma is megegyezik Tétel: tr(t) = λ + + λ n (sajátértékek összege), ahol minden λ i annyiszor szerepel ahányszoros gyöke a karakterisztikus polinomnak A determináns mint előjeles térfogat: Pl.: a b c d [ a a b [ d és c pozitív, ha [ a b [ d -ből c által kifeszített paralelogramma előjeles területe, akkor -be pozitív forgásirányon jutunk el a a a Pl.: b b b c c c [a az a, a [b b és b [c c által kifeszített paralelepipedon c előjeles térfogata, akkor pozitív, ha a, b, c jobbsodrású rendszer Tétel: a) A = [ a b c d definiál egy A:R R lineáris operátort. Bármely síkidom képének területe az eredeti terület deta -szerese és deta> esetén a körüljárás megmarad [a a a b) A = b b b esetén az A:R c c c R operátornál minden térfogat deta -szeresére változik, és deta> esetén a jobbsodrású rendszert alkotó vektorok által képezett rendszer a leképezés után is jobbsodrású marad c) Többdimenziós determinánsra hasonló Köv: det(ab) = det(a) det(b)
23 det(a - ) = det A Euklideszi terek: Skaláris szorzás általánosítása u = [u u v = u Tulajdonságai: ) v u = u v ) (u + v) w = u w + v w ) (c u)v = c u v 4) u u, és csak akkor =, ha u = [v v => <u;v> = u v = u v v + u v + u v Áll: a) u = u = b) (α u + + α n u n ) v = α u v + + α n u n v Def: Egy valós V vektortér valós euklideszi tér, ha van benne egy VxV R skaláris szorzás ()-4) tulajdonság) Def: Egy komplex V vektortér komplex euklideszi vektortér, ha van benne egy VxV C (a ) és a 4) teljesül, ') v u = (konjugált) v u Áll: Skaláris szorzásnál: a) u (c v) = c(u v) [u(cv) = c u v valós euklideszi térben b) v = v = c) (α u + + α n u n ) v = α (u v)+ + α n (u n v) u(α v + + α n v n ) = α (u v) + + α n (u n v) Pl.: R n -ben x y = x y + + x n y n C n -ben x y = x y + + x n y n (x x = x + + x n ) Pl.: C[a;b-n b (=> <f;f> = f ) a b <f;g> = f(x) g(x) dx (valós függvények) a b <f;g> = f(x) g(x) dx (komplex függvények) a Vektor hossza Def: v = v v (a vektor euklideszi normája) Pl.: R n -ben x = x... x n b
24 C[a;b-n f = a a b f Tétel: Cauchy-Bunyakovszky-Schwarz (CBS) egyenlőtlenség euklideszi térben u v u v és egyenlőség <=> ha u és v párhuzamos Biz: ( u c v) (u c v) = u u c v u u c v c v c v u c u v c v u v Legyen c = v v rendezve u v u - v, akkor u u v v u v u v v u v u v v 4 v = u u v v egyenlőség <=> u c v = => u és v párhuzamos Pl.: x... x n n x... x n n, mert + x +...+x n n x... x n Áll.: A norma tulajdonságai: a) u és = <=> u = b) cu = c u c) u + v u + v Pl.: x y... x n y n x... x n y... y n Def: u és v merőleges, ha u v = u v = u v cosα Def: Valós euklideszi térben az u és v vektorok hajlásszöge α π, ha cos α = - u v u v a CBS miatt u v u v π Pl.: C[; π-ben <f;g> = fg α és sin α szöge cos α = x sin x dx x ;sin x x ; x sin x ;sin x = = π x dx π sin x dx cos x π π π π = 6 π
25 π π x sin x dx = [-x cos x π + cos x dx = -π cos π = π Pl.: Pithagorasz-tétel Ha u és v merőleges, akkor u+v = u + v Biz: Ha u v =, akkor u + v = <(u + v); (u + v)> = < u; u > <u ; v> u Def: {e ; e ; ; e n } bázis ortogonális bázis, ha e i e j = (i j) ortonormált bázis, ha ortogonális bázis és e i = minden i-re Tétel: Ha {e ; e ; ; e n } ortogonális bázis, akkor v = v e e e... v e n e n e n Biz: v = α e + + α n e n / e (skaláris szorzás) v e = α e e + α e e + +α n e n e e => α = v e e Spec: Ortonormált bázisban v = (v e ) e + + (v e n ) e n < u ;v < v ;v > v Áll: Bármely v felírható egy b-re párhuzamos és egy b-re merőleges vektor összegeként v = v b b b b v v b b b b Tétel: Legyen S altér a V euklideszi térben. Akkor bármely V-beli v felbontható egy S-beli és S- re merőleges vektor összegére. Ha S-ben {e ; ; e n } ortogonális bázis, akkor n v e v = k k = e k e v v e k k k e k e Megj.: v e k e k e k eső komponense a v vektor merőleges vetülete az S altérre, azaz a v vektor S altérbe Tétel: Projekció tétel: Ha v nem eleme az S altérnek, akkor S-nek a v-hez legközelebb eső pontja éppen a v-nek az S-re vett merőleges vetülete. Azaz v s minimális akkor, ha s = [(v e i )/ e i e i Pl.: V = C[-; e x merőleges vetülete P -re {; x} bázis P -ben <f;g> = f g -
26 <; x> = x dx = => {; x} ortogonális báziscsere - vetület = < e x ; > < ex ;> x= x x e x dx=[x e x Hogyan készítünk ortogonális bázist? Tétel: Gram Schmidt ortogonalizáció: c = b c = c = b b c c c b c c c... k b c k = b k k c i i= c i c i e x dx dx e x dx=[ x e x = e x e x dx x dx e e = e Ha {b ; ; b n } bázis a V euklideszi térben Def: Az n x n-es mátrixnak az adjungáltja A* = A T Áll: (A + B)* = A* + B* (c A)* = c A* (A B)* = B* A* Def: A T: V V lineáris operátor adjungáltja az a T*: V V lineáris operátor, amelyre <Tv, w> = <v, T*w> minden V-beli v, w-re Tétel: Ha E ortonormált bázis, akkor T* E = (T E )* Biz: ONB-ban v = <v;e > e + + <v; e n > e n Spec: Te i = <Te i, e > e + <Te i, e > e + + <Te i, e n > e n => T E = (<Te j ; e i >) n i j= Def: Legyen V egy komplex euklideszi tér és T: V V lineáris operátor. T unitér, ha T* = T -, azaz T*T = TT* = E Ha V valós euklideszi tér, akkor T: V V lineáris operátor ortogonális, ha T T = T -, azaz TT T = T T T = E Megj: Tv = <Tv; Tv> = <v; T*Tv> = <v, v> = v Az unitér vagy ortogonális operátor a vektor hosszát nem változtatja meg Tétel: Az unitér (ortogonális) operátorok jellemzése Legyen V komplex (valós) euklideszi tér, T: V V lineáris operátor Akkor ekvivalensek: a) T unitér (ortogonális)
27 b) bármely ONB-ben T*=T - (T T = T - ) c) bármely ONB-ben T oszlopai ortonormáltak d) bármely ONB-ben T sorai ortonormáltak e) T skaláris szorzattartó: <Tu; Tv> = <u; v> minden V-beli u,v-re f) T normatartó: Tu = u minden V-beli u-ra g) Komplex V esetén van olyan <e ; e ; ; e n > ONB V-ben, hogy Te i = λ i e i λ i = minden i-re Megj: g) valós vektortérben nem igaz pl.: R -en egy forgatásnak nincs sajátértéke, ortogonális transzformáció Pl.: R R ortogonális transzformációi forgatás körül és/vagy tükrözés egy -n átmenő egyenesre [ cosα sin α sin α cosα [ vagy cosα sin α sin α cosα g) helyett valós vektortérben: Tétel: A T: V V lineáris operátor ortogonális <=> ha van olyan ONB, hogy T E a főátló mentén legfeljebb x-es blokkokra bomlik, amelyek önmagukban is ortogonális mátrixok x-es blokkban vagy (-) A blokkokon kívül minden elem Def: Ha V komplex (valós) euklideszi tér, A: V V lineáris operátor A önadjungált (szimmetrikus) A* = A (A T = A) Tétel: önadjungált operátor jellemzői: Legyen V komplex (valós), A: V V lineáris operátor, akkor ekvivalens: a) A önadjungált (szimmetrikus) b) Bármely ONB-ben A*=A (A T = A) c) Van olyan {e ; ; e n } ONB, hogy Ae = λ i e i λ i eleme R; i =,, n Tétel: A: V V önadjungált (szimmetrikus) <Au; u> = <u; Av> minden u;v-re Pl.: R szimmetrikus transzformációi c) alapján létezik s ; s, a két vektor merőleges, s irányában λ -szeres nyújtás, s irányában λ - szeres nyújtás A s = [ λ λ Pl.: R szimmetrikus és ortogonális, ha transzformációi <=>merőleges sajátvektorok; +/- sajátértékek λ = λ = => A= E = - => A = -E λ = ; λ = - => A tükrözés s egyenesére Def: Az A valós, szimmetrikus mátrixhoz tartozó kvadratikus alak n n <Ax, x> = x T Ax = a i j x i x j i= j=
28 Pl.: [ 5 -hoz tartozó kvadratikus alak [x,y [ 5 [ x y [ = [x, y x y x 5y = x + xy + xy + 5y = x + 6xy + 5y Pl.: x + xy + y + 4yz + 6xz + 8z kvadratikus alakot adó mátrixa 8 [ Tétel: Főtengelytétel: Ha A valós szimmetrikus mátrix, akkor van olyan {e ; ; e n } ONB, amelyben az A-hoz tartozó kvadratikus alak négyzetösszeggé válik, azaz n x T Ax = α i λ i, ahol x = α i e i és Ae i = λ i e i i= i=; ; n Biz: x = α i e i => Ax = α i λ i e i => x T Ax - <Ax, x> = < α i λ i e i, α i e i > = α i λ i Pl.: 5x 4xy + 8y = milyen görbe egyenlete? A = [ 5 8 [, 5 λ 8 λ = (λ 5)(λ 8) -4 = λ λ + 6 = (λ 4)(λ 9) λ = 4 [ 4 s = / 5 [
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
RészletesebbenMeghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0
Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf87 2017-11-21
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Kf81 2018-11-20
RészletesebbenLineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
RészletesebbenDiszkrét Matematika II.
Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser
Részletesebben1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenVektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).
Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és
Részletesebben(1) Vektorok koordinátavektora. 1/3. R A {b 1,b 2,b 3 } vektorhalmaz bázis a V R n altérben.
Az informatikus lineáris algebra dolgozat A részének főbb témái, pár mintafeladata Az alábbiakban tájékoztató jelleggel fölsoroljuk a vizsgadolgozat A részében szereplő főbb témaköröket néhány mintafeladattal,
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
RészletesebbenLineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
RészletesebbenElőadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz
Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.
RészletesebbenAlkalmazott algebra - SVD
Alkalmazott algebra - SVD Ivanyos Gábor 20 sz Poz. szemidenit mátrixok spektrálfelbontásának általánosítása nem feltétlenül négyzetes mátrixokra LSI - mögöttes szemantikájú indexelés "Közelít " webkeresés
RészletesebbenLineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
Részletesebben10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...
1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................
Részletesebben1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenMatematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly
Matematika MSc Építőmérnököknek Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek A jegyzet nagyobb részét Dr. Simon Bakos Erzsébet gépelte Latex szövegszerkesztőben. Tartalomjegyzék 1. Az A-ben tanult
Részletesebben