Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll"

Átírás

1 Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Műveletek mátrixokon: ) számmal szorzás: Def: A = B, ha a kettő egyforma méretű, és a megfelelő helyeken ugyanazok a számok állnak c A = [c a i j m x n ) mátrixok összeadása: Ha A és B azonos méretű mátrixok, akkor A +/ B = [a i j +/ b i j m x n ) mátrixok szorzása Ha u egy n elemből álló sorvektor, és v egy ugyanennyi elemből álló oszlopvektor, akkor u v = u v +u v +...+u n v n Megj: ha n= és n=, akkor a sík és térvektorok skaláris szorzása Def:Ha A mxn-es, és B nxr-es mátrix, tehát A oszlopainak a száma megegyezik B sorainak a számával, akkor a két mátrix ebben a sorrendben összeszorozható n C = A B mxr-es mátrix lesz, és c i k = a i b k +a i b k +...+a in b nk = a ij b jk j= Tétel: Műveleti szabályok a) A + B = B +A b) A + (B + C) = (A + B) + C c) (a+b) A = aa + ba d) a(a + B) = aa + ab e) (ab)a = a(ba) f) A(BC) = (AB)C g) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC h) a(bc) = (ab)c = B(aC) Furcsaságok ) AB BA ) ( A + B) A + AB + B ) A nem következik, hogy A 4) AB =, A nem következik, hogy B = 5) AB = AC; A nem következik, hogy B = C Def: elemi sortranszformációk mátrixokon: a) A mátrix egyik sorának szorzása egy számmal a többit hagyjuk b) Az i-ik és j-ik sor cseréje c) Az i-ik sorban j-ik sor számszorosának hozzáadása Def: Elemi oszloptranszformációk: ugyanaz mint a sortranszformációknál, csak oszlopokkal Def: Egységmátrix: E négyzetes mátrix a főtlóban -esek, a többi

2 Tétel: Ha X olyan, hogy XE létezik, akkor XE = X Ha X olyan, hogy EX értelmes, akkor EX = X Spec: minden a-hoz létezik olyan b, hogy ab = Def: Ha A -hoz létezik olyan B, hogy AB = BA = E, akkor B = A (inverz mátrix) Köv: csak négyzetes mátrixnak van inverze és az inverz is ugyanolyan méretű Tétel: Ha van A -nak inverze, akkor az egyértelmű Biz: B A = E = AB B = (B A)B = B (AB ) = B =E = E [ a b = c d ad bc [ d c b a pl.: [ = 4 [ 4 Az invertálható mátrixszal lehet egyszerűsíteni Tétel: Ha A invertálható, akkor a) AB = AC B = C b) BA = CA B = C c) AB = B = d) BA = B = Biz: AB = AC létrehozzuk A - -gyel A - AB = A - AC = E = E B = C Megj: AB = CA B = C Inverz mátrix kiszámítása: Sortranszformációkkal [A[E [E[A - [ Pl.: 5 = 8, ha (ad bc), csak x-es mátrixra [ 5 8 A E [ 5 [ [ Tétel: Ha A,B négyzetes mátrix, akkor AB = E B = A -

3 BA = E B = A - [A E [ S A S E [ S S A S S [S n S n- S A S n S n- S = E = A - Mátrixinvertálás elméleti kérdései: ) A-ban az első oszlop rendbetétele (sortranszformációkkal létrehozzuk az E első sorát) a) Ha A első oszlopa csupa, akkor A nem invertálható b) Ha van szám az első oszlopban, de a n =, akkor sorcserével elérhető, hogy (;)-en legyen c) A sor szorzásával elérhető lesz, hogy (;)-en álljon d) Az első sor számszoroasait az alatta lévő sorokból kivonva elérhető, hogy (;) alatt csak legyen ) A. oszlop rendezése a) ha (;) alatt csak van, akkor a mátrix nem invertálható b) sorcserével elérhető, hogy (;)-n álljon c) a sort szorozva elérhető, hogy (;)-n legyen d) a. sor számszorosait kivonva a többi sorból elérhető, hogy az oszlopban a többi sorban csak legyen Def: Az A n x m-es mátrix transzponáltja az m x n-es mátrix, amelynek (i;j)-edik eleme a j i Jele: [A T A tükrözése a főátlóra Pl.: [ 5 4 =[ 5 4 Tétel: A transzponálás tulajdonságai: a) (ca) T = ca T b) (A + B) T = A T + B T c) (AB) T = B T A T Biz: c) (B T A T ) i j = (B T i-ik sora)(a T j-ik oszlopa) = (A j-ik sora)(b i-ik oszlopa) = = (AB) j i = ((AB) T ) i j Def: Vektortér (bináris tér) Egy V halmaz (elemei síkvektorok), ha ) Minden v, w vektorhoz tartozik egy v + w-vel jelölt vektor ) u + v = v + u minden V-beli u, v-re ) (u + v) + w = u + (v + w) minden u, v, w 4) létezik V, melyre u + = u minden u 5) minden u-hoz létezik u (-u benne van a V halmazban), melyre u + (-u) = 6) minden c valós vagy komplex számra, és minden V-beli v vektorra létezik V-beli cv (a vetkortér valós, ha c valós szám, komplex, ha c komplex szám 7) c(u + v) = cu + cv minden c, u, v 8) (c + d)u = cu + du minden c, d, u 9) c(du) = (cd)u ) u = u Pl.: minden vektortérben a) a egyértelmű b) -u = (-)u c) u =

4 Példák: ) V = {[a;b-n értelmezett összes valós értékű függvény} ) V = { x -es valós mátrixok} ) V = {(c n ) valós sorozatok} Pl.: (ca) - = (/c)a - (AB) - = B - A - Def: altér: A W V-beli részhalmazt altérnek nevezzük, ha W is vektortér a V-beli műveletekre Áll: A W V-beli részhalmaz altér a két vektorművelet nem vezet ki W-ből W-beli w ; w esetén c w és w + w is elem W-nek Biz: a műveleti azonosságok továbbra is fennállnak létezik, mert W-beli w miatt w =, ami eleme W-nek létezik -w = (-)w, ami szintén eleme W-nek Pl.: - a sorozatok vektorterében altér a konvergens sorozatok összessége nem altér viszont a divergens sorozatok összessége - a függvények vektorterében altér ([a;b (a;b szakaszon folytonos függvények) összessége - altér a {legfeljebb -ad fokú polinomok összessége} nem altér a [-ad fokú polinomok összessége Def: A v ;v ; ; v n eleme V vektorok lineáris kombinációja c v + c v + + c n v n A lineáris kombináció triviális, ha c = c = = c n = Def: A v ; ; v n vektorok lineárisan függetlenek, ha c v + + c n v n = c = = c n = v ; ; v n lineárisan összefüggő, ha nem lineárisan független, ilyenkor c v + c n v n = miatt minden c i esetén v i a vektor lineáris kombinációja Pl.: v lineárisan összefüggő v = {v ; v } lineárisan összefüggő c v = v c v = v Tétel: Ha v ; ; v n V-beli vektorok, akkor a W = {c v + + c n v n ; c ; ; c n valós számok}, W V részhalmaza, W részhalmaz altere V-nek W = Lin(v ; ; v n ), a v ; ; v n által generált (kifeszített) altere V-nek Biz: Két lineáris kombináció összege, és egy lineáris kombináció konstansszorosa is lineáris kombináció Def: {v ; ; v n } vektorrendszer generátorrendszer V-ben, ha V = Lin{ v ; ; v n }, azaz ha minden V-beli v felírható v = c v + + c n v n alakban Pl.: {; x; x ; x } generátor rendszer a legfeljebb -adfokú polinomok vektortérben, sőt bázis, mert c + c x + c x + c 4 x = Def: {v ; ; v n } bázis V-ben, ha lineárisan független generátorrendszer Tétel: {v ; ; v n } bázis V-ben minden V-beli v egyértelműen felírható v = c v + +c n v n alakban Biz: generátorrendszer van felírás lineáris függetlenség nincs egynél több felírás

5 [ [ Pl.: [ ; [x x = x x x4 [ ; [ + [ ; x [ + [ bázis x R4 -en [ + x 4 [ Módszer lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázistulajdonság eldöntésére: Legyen V-ben bázis {e ; ; e n }. Felírjuk v ; ; v n -t ; v j = α j e + α j e + + α nj e n [α ij = [αi αi... αn αn αn... αnn Sortranszformációk: minél több oszlop legyen egy -sel és n -val, az -esek különböző magasságokban (szabályos oszlopok). Ha több szabályos oszlop nem készíthető [az eddigi -esek sorain kívül minden sor, akkor: a) A szabályos oszlopoknak megfelelő v i -ik lineárisan függetlenek, a többi v j felírható ezen v i -ik lineáris kombinációjaként, melynek együtthatói a v j oszlopában vannak b) {v ; ; v n } lineárisan független minden oszlop szabályos generátorrendszer n db szabályos oszlop van bázis m = n és n db szabályos oszlop van között? Pl.: Hány független van v = [ ; v = [ 5 ; v = 6 ; v 4 = 7 vektorok [ 6 7 ' ' 5 [ 8 ' ' 5 [ 9 ' ' 7 9 [ 79 A kiindulási v ; v ; v 4 lineárisan függetlenek, v pedig felírható velük 79 v = v v 9 v 4

6 Van n = szabályos oszlop v ; v ; v 4 generátorrendszer, lineárisan függetlenek is {v ; v ; v 4 } bázis R -ban Tétel: Ha van n elemű bázis, akkor: a) bármely lineárisan független vektorrendszer legfeljebb n elemű b) bármely n elemű lineárisan független rendszer bázis c) bármely generátorrendszer legalább n elemű d) bármely n elemű generátorrendszer bázis Köv: V-ben bármely két bázis ugyanolyan elemszámú Def: A vektortér dimenziója bármely bázisának elemszáma, dim (V) Tétel: dim (V) = n van n db független vektor, de n + már nincs van n elemű generátorrendszer, de n elemű már nincs Pl.: A x -as valós mátrixok vektorterének dimenziója 6 [ a a a b b b [ = a [ + a [ + a + + b [ + b [ + b [ Pl.: R n dimenziója n, egy bázis [. i.. i-edik pozíción van az -es, i-edik bázisvektor Def: Az A m x n-es mátrix oszloprangja a lineárisan független oszlopvektorok maximális száma Az A sorrangja a lineárisan független sorvektorok maximális száma Tétel: Az oszloprang nem változik a sor- és oszloptranszformáció során. A sorrang sem Pl.: [' ' 4 5 s o r [' ' o s z l o p [ ' 7 ' Tétel: s o r [ 4/7 [ sorrang = az első sor független, az azonos sor nem számít oszloprang =

7 a) Bármely m x n-es mátrixra: sorrang = oszloprang rang (A) b) Elemi sor- és oszloptranszformációkkal bármely m x n -es A mátrix olyan alakra hozható, ahol a bal felső sorok k x k-s E, a többi pozíció, ilyenkor a rang (A) = k Biz: Szabályos oszlopok, az -esek sorában a többi tag -vá tehető oszloptranszformációkkal. Sor- és oszlopcserével a szabályos oszlopok az első k oszlopba, az -esek a főátlóba vihetők [ [ [ [ [ Pl.: x-as mátrix, rang = A = [ rang = A bármely két sora párhuzamos vagy bármely két oszlopa párhuzamos [ c c αc αc αc [, c = c = c > vagy αc αc αc c c c Lineáris egyenletrendszerek: rang = van két független sor, de nincs van két független oszlop, de nincs rang = ilyen nincs, mert nem lehet független sora, mert csak van a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m Ha A = [a J m x n ; x = [x... ; b = xn [ b..., akkor Ax = b bm Pl.: x + y = x + y = 5x + y = 8 [ 5 [ x y [ 8 = A x b

8 Pl.: Legyenek A oszlopai a ; a ; ; a n, azaz A = [a ; a ; ; a n. Akkor Ax = b alakja x a + + x n a n = b Pl.: x [ 5 + y [ 4 = [ 8 A) Mikor van megoldás? Tétel: Ax = b lineáris egyenletrendszer megoldható rang (A) = rang ( A; b) Biz: létezik megoldás b eleme dim (a ; a ; ; a n ) dim ( a ; a ; ; a n ) dim = rang (A) dim ( a ; a ; ; a n, b) rang (A, b) Megj.: - rang (A) < rang (A, b) esetén az egyenletek ellentmondásosak - rang (A, b) = k van k db független egyenlet - rang (A) < rang (A, b) miatt egyszerre k sor A-ban már összefüggő. Ezen összefüggés szerint lineárisan kombinálva a k db egyenletet minden változó kiesik C = (ez ellentmondás) B) Mikor egyértelmű a megoldás? Áll.: Ax = b A(x x*) = Ax* = b Ezért Ax = b -nek megoldása van Ax = -nak csak x = a megoldása Tétel: Ax = b egyértelműen megoldható rang (A) = rang (A,b) = n Biz: x a + + x n a n = b egyértelmű a ; ; a n lineárisan függetlenek rang (A) =n Azaz a megoldás egyértelmű van n db független egyenlet C) Hogyan számoljuk ki a megoldásokat? [ A b- sortranszformációkat végzünk, A-ban minél több szabályos oszlop legyen. Ezen oszlopok -eseit sorcserével az első k sorba visszük Ilyenkor A-ban a k-ik sor alatt csupa van α)b oszlopában a k-ik pozíciók alatt van. Akkor Ax = b-nek nincs megoldása β)ha b oszlopában a k-ik pozíció alatt csupa van, akkor van megoldás A nem szabályos A oszlopoknak megfelelő x i -k szabadon választhatók, a szabályos oszlopok változói kifejezhetők az -eseknek megfelelő sorból Pl.: 5 [[ 5 [[ [ 4 [ 4 nincs megoldás x paraméter x = x

9 [[ 5 4 x = x 5x x 5 x 4 = - x x x 6 = + x 4x x = 4 5x [ A, 4, 6 oszlop szabályos x ; x ; x 5 szabad paraméter Magyarázat: Ax = b BAx = Bb [ A b [BA Bb Megj: Ha A invertálható, akkor Ax = b x = A - b Pl.: x y + 4z = x + y z = x + z = x + y = -4 4 [[ ' ' [ [ [ [ 4 ' ' 4 [[ x = 9 4 [ [[ 4 [ y = = 5 4 Pl.: x + y z + 4u = x y + z + u = x + 7y 4z + u = a z= 7 [' ' 4 a 7 4 [ a 5 a = 5 [ a [ /5 6/5 4/5 /5 7/5 /5

10 z; u paraméter x = y = z 6 5 u 5 5 z 7 5 u D) Hány szabad paraméter lesz a megoldásban? Tétel: Ha A m x n-es, akkor Ax = homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai vektorteret alkotnak R n -en, dim = n rang (A) Köv: Ha Ax = b megoldható, akkor megoldásai az n -rang(a) szabad paraméter lesz [ [x u [ y 7 Pl.: = z + u z 5 5 x = 5 z 6 5 u y = 5 z 7 5 u dim = = n rang(a) = 4 = Def: p: {;;...; n} {; ; ; n} permutációi p(); ; p(n) az ; ; n számok egy felsorolása A p(i) és p(j) inverzióban áll, ha (i j)(p(i) p(j)) <. A p inverziószáma I(p), az inverzióban álló párok. A p permutációi páros, ha I(p) páros páratlan, ha I(p) páratlan Pl: I(p) = 4 I(p) = 4 I(p) = Áll: Ha p-ben két elemet felcserélünk, a paritás megváltozik Def: Az A n x n-es mátrix determinánsa A = det(a) = (-) I(p) a p() a p() a np(n) p p permutációi ; ; ; n -nek Pl.: det[a = a az egy elemű determináns egy szám det a b c d = ad bc, mert ad = a a p = (;); I(p) = bc = a a p = (;); I(p) =

11 det [a a a b b b c c c = a b c + a b c + a b c a b c a b c a b c a b c = a a a p = (;;); I(p) = Tétel: A determináns tulajdonságai a) det(a T ) = det(a) b) Sortranszformációknál: b) egy sort c-vel szorozva a determináns c-szeresére változik b) két sort felcserélve a determináns (-)-szeresére változik b) egyik sorhoz egy másik sor konstans szorosát adva a determináns nem változik c) Oszloptranszformációknál: ugyanígy d) Ha a mátrixnak van sora, vagy oszlopa, a det = e) Ha a mátrixnak van két egyforma sora, vagy oszlopa, a det = f) Ha a mátrix egyik oszlopa két vektor összege, akkor det[a ; ; a j ; b + c; a j+ ; ; a n = = det[a ; ; a j ; b; a j+ ; ; a n + det[a ;... ; a j ; c; a j+ ; ; a n g) Ha a főátló alatt, vagy a főátló fölött csupa van, akkor det(a) = a a a nn h) det(e) = i) det(ab) = det(a)det(b) j) det(a - ) = det A Pl.: Biz: b) p permutációban i és j helyet cserél j) det(a)det(a - ) = det(aa - ) = det(e) = 5 = 4 Pl.: (-)**5**4*(-)I(p) = - p = (5 4 ); I(p) = 6 9 = (-) 5 = - 5 = = = = -***(-55) = 65 Pl.: 7 6 = = -6* = Def: Ha A n x n -es mátrixból elhagyjuk az i-edik sort és a j-ik oszlopot, a keletkező (n )x(n )-es mátrix determinánsát (-) i+j -vel szorozzuk, A i j az i, j-hoz tartozó előjeles determináns A-ban

12 Tétel: a) Determináns kifejtése i-ik sora szerint det(a) = a i A i + a i A i + + a in A in b) Determináns kifejtése a j-ik oszlop szerint det(a) = a j A j + a j A j + + a n j A n j Pl.: kifejtése a). sor szerint: det = b). oszlop szerint: det = 9 + (-6) = *5 + 5 = 65 = = 65 Tétel: Ferde kifejtési tétel a) Ha egy sor elemeit egy másik sorhoz tartozó előjeles aldeterminánsokkal szorozzuk; az összeg a r A i + a r A i + + a rn A in = ha r b) oszlopokra hasonlóan a r A j + a r A j + + a nr A nj = ha r j Def: Legyen A n x n-es  = [A j i n x n (nem A i j!!!) Tétel: a) Kifejtés és ferde kifejtés sorszerint: A  = det(a)e b) Kifejtés és ferde kifejtés oszlop szerint: ÂA = det(a)e Tétel: Ha A négyzetes, akkor A invertálható det(a) és A - = (/det(a))*â Biz: Ha det(a), akkor A = det(a)e miatt A((/det(A))*Â) = E Ha det(a) =, akkor A nem lehet invertálható, mert det(a)det(a - ) = Tétel: Cramer-szabály: lineáris egyenletrendszer megoldása determinánsokkal x = det b ;a ;... ;a n det= A x = det a ;b ;... ;a n det A x n = det a ;... ;b det A

13 Pl.: x + y = x + 4y = 4 x = 4 = 5 y = 4 = 5 Pl.: A = [ a b c d [ Â = d b c a Pl.: A = A - = (/det(a))â = [ 4 5 esetén 6 ad bc [ d b c a (Â) ; = A = - = Tétel: Ha A n x n -es, akkor det(a) <=> rang(a) = n Biz: rang = n <=> az összes oszlop független <=> lehet E-t létrehozni sortranszformációkkal <=> A invertálható <=> det(a) Tétel: Ha A m x n-es mátrix, akkor rang(a) = k <=> van k x k-as nemnulla aldetermináns, de minden (k+)x(k+)-es aldetermináns [aldetermináns: tetszőleges k sor, és tetszőleges k oszlop találkozási pontjaiban adódó k x k-as mátrix determináns Pl.:det(cA) c det(a), helyette det(ca) = c n det(a) det(a+b) det(a) + det(b) det(ab) = det(a)det(b) Lineáris operátorok: Def: V és V valós vagy komplex vektortér. Egy V V leképezés lineáris operátor, ha v,w eleme V esetén A(v + w) = Av + Aw A(cv) = cav Áll: Lineáris operátornál A v = v A(-v) = -Av A(cv + + cv n ) = cav + + cav n

14 Def: Az A V V lineáris operátor magtere: Ker A = {v eleme V : Av = } képtere: Im A = {Av: v eleme V } Áll: Ker A altere V -nek, Im A altere V -nek Biz: Ker A esetén: Av = = Aw esetén A(cv) = cav = c =, tehát cv eleme Ker A A(v + w) = Av + Aw = + =, tehát v + w eleme Ker A Im A hasonló Pl.: R R lineáris operátor a) körüli α szögű forgatás b) középpontú hasonlóság (nyújtás) c) tükrözés egy -n átmenő egyenesre d) merőleges vetítés egy -n átmenő egyenesre Pl.: d/dx: C (R) C(R) lineáris operátor (cf)' = c f'; (f +g)' = f' + g' Ker A (d/dx) = {f: d/dx f } = konstans fügvények Im A (d/dx) = {f': f eleme C (R)} = C(R) x f folytonos => d/dx f = f(x) Pl.: A m x n -es valós mátrix definiál egy lineáris leképezést A: R n R m A(cx) = cax Ax = Ax A(x + y) = Ax + Ay Ker A = {x: Ax = } Im A = {Ax: x eleme R n } A oszlopai által kifeszített altér dim = n rang(a) dim = rang(a) Tétel: Dimenziótétel: Ha A V V lineáris, dim V véges, akkor dim V = dim Ker A + dim Im A Pl.: A m x n -es mátrix által definiált lineáris leképezés esetén: dim V = n dim Ker A = n rang(a) dim Im A = rang(a) Műveletek lineáris operátorok között: Def: A,B: V V esetén ca: V V, (ca)v = c(av) A+B: V V, (A + B)v = Av + Bv Tétel: Az összes V V lineáris operátor vektortér. Tehát például A+B = B+A; A+(B+C) = (A+B)+C stb. Def: A: V V ; B: V V lineáris leképzés, akkor AB: V V

15 (AB)v = A(Bv) Pl.: BAv = B(Av) A: V V B: V V AB: V V BA: V V Tétel: A(BC) = (AB)C A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC + BC c(ab) = (ca)b = A(cB) Def: A V V injektív v w esetén Av Aw Áll: Ha A leképezés lineáris, akkor injektív <=> Ker A = {} Biz: Av = Aw <=> A(v w) = <=> v w elem Ker A Def: A: V V lineáris operátor invertálható, ha injektív és szürjektív, azaz Ker A = {} és Im A = V Ilyenkor minden V -beli v -höz van pontosan egy V -beli v, hogy Av = v, és akkor A - : V V lineáris operátor A - : v = v, amire Av = v Áll: Ha A: V V és B: V V lineáris leképezés invertálható, akkor AB: V V is invertálható és (AB) - = B - A - Tétel: Legyen V ;V valós vagy komplex legyen {b ; ; b n } bázis V -ben {f ; ; f n } tetszőleges V -ben Akkor van pontosan egy A: V V lineáris leképezés, amelyre Ab i = f i ; i= ; ; n Biz: minden V -beli v egyértelműen felírható v = α b + + α n b n alakban => Av = α Ab + + α n Ab n = α f + α n f n Az α b + + α n b n α f + α n f n leképezés lineáris Def: Legyen A: V V lineáris operátor E={e ; ; e n } bázis V -ben F={f ; ; f n } bázis V -ben Ae j -t felírjuk az F bázisban: Ae j = a j f + a j f + + a mj f m A = [a ij m x n -ben a j-ik oszlop az Ae j együtthatói az F bázisban A az A lineáris operátor mátrixa az E;F bázispárban; jele: A E;F Formálisan: [f ; ; f m A E;F = [Ae ; ; Ae n Def: E bázis V -ben, v eleme V, v = α e + + α n e n [α Akkor v E =... αn Tétel: Ha A: V V lineáris, E bázis V -ben, F V -ben, akkor v eleme V esetén Av F = A E;F v E

16 Biz: [f ; ; f m A E;F v E = A[e ; ; e n v E = Av = [f ; ; f n Av F Mi lesz AB mátrixa?: Tétel: A: V V B: V V lineáris operátorok V -ben bázis E, V -ben bázis F, V -ban G Akkor AB E;G = A F;G B E;F Mi lesz A - mátrixa? Biz: ABv G = A(Bv) G = A F;G Bv F = A G B F v E = AB E;G v E AB E;G = A F;G B E;F Tétel: Ha A: V V invertálható, akkor A - F;E = (A E;F ) - Pl.: A: R R, körüli pozitív forgásirányba való α szögű elforgatás F = {i; j} i= [ ; j= A E;E = [ cosα sin α sin α cosα A n (A n ), azaz [ n cosα sin α sin α cosα cosnα sin nα = [ sin nα cosnα Hogyan változik meg egy vektor felírása báziscserénél? a) Egyetlen bázisvektort cserélünk: [b b E =... ; v bn [v E =... vn A b bevihető a bázisba olyan e i helyre, melyre b i Speciel, ha b n, akkor b = b e + + b n e n e = v = v e + v e + + v n e n = v b b + (v - v bn b - b b e - - b b ) e bn + + (v n - v b ) e n bn b e n

17 [b b v bn[v vn [ vn bn v [... v b b v b v b... v E v koordinátái a {b; e ; ; e n } bázisban Sorcsere nélkül! Pl.: {e ; e ; e ; e 4 } b = e e + e + 4e 4 v = e + e + e + e 4 b bevonható-e e helyére? [ = 4 b E v E [ 7 azaz v = -e + 7e + b e 4 b E' v E' b) több bázisvektor (akár egész bázis) cseréje [ [ sortranszformációk b E b ke v E v E' Pl.: {e ; e ; e } bázis b = e + e e b = e +e b = e + 4e e v = e + e +e [ [ ' ' 7 [ 7 ' ' ' 4 ' 5 b E b E b E v E b b b v b b b v {e ; b ; e }-ban {b ; b ; e } -ban [ tehát b; b; b is bázist alkot, mert sikerült őket bevonni a bázisba v = 4 b + 6 b b

18 [b E ; b E ; b E ; v E sortr [E, v B [b E ; b E ; b E ; E [E, B E - => v B = B E - v E Tétel: Ha B E - = [b E ;... ; b ne, akkor a) v E = B E v B b) E b = (B E ) - b) biz: a) miatt v B = B E - v B v B = E b v E => B E - = E B Tétel: Báziscsere az operátor mátrixában A: V V lineáris operátor V -ben bázis E és E' V -ben bázis F és F' => A E';F' = ( F' F ) - E' E A E';F' = [Ae' F' ; ; Ae' nf F F' = [f F',, f nf' Spec: A: V V lineáris operátor, V-ben bázis E és E'. Akkor A E',E' = (E' E ) - A E,E E' E rövidebb jelölés: A E Def: P n {legfeljebb n-edfokú valós együtthatójú polinomok} Pl.: P P lineáris operátor mátrixa az {x +x+; x+; -x +} bázisban b b b [ E={; x; x }-ben T E = [ [ ' ' ' ' b b b Tb Tb Tb b b b Tb Tb Tb E-ben {e ; e ; b}-ben [ ' ' 4 [ b b b Tb Tb Tb b b b Tb Tb Tb {b ; e ; b }-ben {b ; b ; b }

19 T B = 4 [ 4 4 T B = (B E ) - T E B E = [ [ [ = [ [ = [ [Tb E, Tb E, Tb E Def: A: V V lineáris operátor. Ha van egy olyan v úgy, hogy Av párhuzamos v-vel, tehát Av = λv egy v -ra ekkor λ az A lineáris operátor sajátértéke, és v a λ-hoz tartozó sajátvektor Megj: Ha v =, akkor Av = λv minden λ-ra. Viszont λ = lehet sajátértéke: Av = v = A λ = -hoz tartozó sajátvektorok összessége Ker A\{} Áll: A λ-hoz tartozó sajátvektorok összessége Ker (A λe)\{} Biz: Av λv <=> (A λe)v = Pl.: E: V V egységoperátor sajátértéke, sajátvektor minden v : V V null-operátor sajátértéke sajátvektor minden v T: R r R az origó körüli forgatás α szöggel, < α < π, nincs sajátérték Def: A λ sajátértékhez tartozó sajátaltér: Ker (A λe), az összes λ-hoz tartozó sajátvektorból és a -ból áll Miért hasznosak a sajátvektorok? Tétel: T: V V lineáris operátor B bázisbeli mátrixa diagonális <=> B a T sajátvektoraiból áll, ilyenkor a diagonálisban a sajátértékek vannak Tétel: A különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek Tb i = λ i b i, λ i λ j esetén b ; ; b n lineárisan független Biz: Indukció a) n = b lineárisan független, mert b b) n n I. α b + α b + + α n b n = II. = T(α b + + α n b n ) = α Tb + + α n Tb n az I egyenletet λ n -nel beszorozzuk, majd a két egyenletet kivonjuk egymásból I II: α (λ n λ )b + + α n (λ n λ n )b n - = => α = α = = α n = => α n = Tétel: Legyen T: V V lineáris, V-ben bázis B.

20 Akkor λ sajátértéke T-nek <=> det(t B λe) = λ-ban n-ed fokú polinom Tétel: λ sajátértéke A-nak <=> (A B λe) = A sajátvektorok Tétel: A λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok As = λs <=> (A λe) = <=>(A B λe)s B = p Pl.: T: P P, T p = (x+) p [ B={; x; x ; x } T B = T Tx Tx Tx T = ; Tx = x+; Tx = x +x; Tx = x +x λ λ λ = det(t B λe) = = λ sajátérték:,,, b) sajátvektorok λ =, (T B λe)s B =, azaz [ [ [ s B = s = λ = ; s B = y y z u = [ [ ; s = +x [ y=; [ [ -x+y λ(λ )(λ )(λ ) y+z=; z+u=; u= =; =; z=; u=

21 λ =; s B = λ 4 = ; s 4B = [ ; [ ; [ s = + x + x [ -x+y=; s 4 = (x+) -x+y=; -y+z=; u=; u= -y+z=; -z+u=; =; Tétel: Ha T: V V lineáris, B egy n elemű bázis V-n, akkor p(λ) = det(t B λe) λ-ban n-ed fokú polinom, amely független B-től Biz: Ha áttérünk C bázisra, akkor T C λe = (C B ) - (T B λe) C B => det(t C λe) = = det((c B )- ) det(t B λe) det(c B ) => det (T B λe) = det(t C λe) det CB p(λ) a T operátor karakterisztikus polinomja Def: Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik olyan C n x n-es invertálható mátrix, hogy B = C - A C Tétel: Hasonló mátrixok sajátértékei megegyeznek, sőt karakterisztikus polinomjaik is Biz: A = A E, ahol E =... {[ [......[ } standard bázis Ha C = [c ; ; c n, akkor C oszlopai bázist alkotnak R n -ben és C = C E. Ezért B = (C E ) - A E C E, ezért B = A C => det(b λe) = det(a λe) Hasonló mátrixok ugyanazon operátor különböző bázisokban vett mátrixai Kapcsolat a determináns és a sajátértékek között Tétel: det(a) = λ λ... λ n, ahol a sajátértéket annyiszor kell venni, ahányszoros gyöke ő a karakterisztikus polinomnak Pl.: E sajátértéke csak a λ=, de det(e) = n, det(e λe) = ( λ) n Köv: Hasonló mátrixok determinánsai megegyezik

22 [ Pl.: T = sajátértékei:, -, - => det(t) = n Def: Az n x n-es A mátrix nyoma tr(a) = a ii, a főátlóban szereplő elemek összege i= Pl.: tr(t)= 6 Áll.: Ha A m x n-es és B n x m-es, akkor tr(ab) = tr(ba) n n [Biz: tr(ab) = tr(ba) = a ij b i j i= j= Tétel: Ha T:V V lineráris, akkor tr(t B ) nyoma független a B bázis választásától tr(t), operátor nyoma Biz: tr(t C ) = tr (C - T B C B ) = tr(t B C B C B - ) = tr(t B E) = tr(t B ) Köv: Hasonló mátrixok nyoma is megegyezik Tétel: tr(t) = λ + + λ n (sajátértékek összege), ahol minden λ i annyiszor szerepel ahányszoros gyöke a karakterisztikus polinomnak A determináns mint előjeles térfogat: Pl.: a b c d [ a a b [ d és c pozitív, ha [ a b [ d -ből c által kifeszített paralelogramma előjeles területe, akkor -be pozitív forgásirányon jutunk el a a a Pl.: b b b c c c [a az a, a [b b és b [c c által kifeszített paralelepipedon c előjeles térfogata, akkor pozitív, ha a, b, c jobbsodrású rendszer Tétel: a) A = [ a b c d definiál egy A:R R lineáris operátort. Bármely síkidom képének területe az eredeti terület deta -szerese és deta> esetén a körüljárás megmarad [a a a b) A = b b b esetén az A:R c c c R operátornál minden térfogat deta -szeresére változik, és deta> esetén a jobbsodrású rendszert alkotó vektorok által képezett rendszer a leképezés után is jobbsodrású marad c) Többdimenziós determinánsra hasonló Köv: det(ab) = det(a) det(b)

23 det(a - ) = det A Euklideszi terek: Skaláris szorzás általánosítása u = [u u v = u Tulajdonságai: ) v u = u v ) (u + v) w = u w + v w ) (c u)v = c u v 4) u u, és csak akkor =, ha u = [v v => <u;v> = u v = u v v + u v + u v Áll: a) u = u = b) (α u + + α n u n ) v = α u v + + α n u n v Def: Egy valós V vektortér valós euklideszi tér, ha van benne egy VxV R skaláris szorzás ()-4) tulajdonság) Def: Egy komplex V vektortér komplex euklideszi vektortér, ha van benne egy VxV C (a ) és a 4) teljesül, ') v u = (konjugált) v u Áll: Skaláris szorzásnál: a) u (c v) = c(u v) [u(cv) = c u v valós euklideszi térben b) v = v = c) (α u + + α n u n ) v = α (u v)+ + α n (u n v) u(α v + + α n v n ) = α (u v) + + α n (u n v) Pl.: R n -ben x y = x y + + x n y n C n -ben x y = x y + + x n y n (x x = x + + x n ) Pl.: C[a;b-n b (=> <f;f> = f ) a b <f;g> = f(x) g(x) dx (valós függvények) a b <f;g> = f(x) g(x) dx (komplex függvények) a Vektor hossza Def: v = v v (a vektor euklideszi normája) Pl.: R n -ben x = x... x n b

24 C[a;b-n f = a a b f Tétel: Cauchy-Bunyakovszky-Schwarz (CBS) egyenlőtlenség euklideszi térben u v u v és egyenlőség <=> ha u és v párhuzamos Biz: ( u c v) (u c v) = u u c v u u c v c v c v u c u v c v u v Legyen c = v v rendezve u v u - v, akkor u u v v u v u v v u v u v v 4 v = u u v v egyenlőség <=> u c v = => u és v párhuzamos Pl.: x... x n n x... x n n, mert + x +...+x n n x... x n Áll.: A norma tulajdonságai: a) u és = <=> u = b) cu = c u c) u + v u + v Pl.: x y... x n y n x... x n y... y n Def: u és v merőleges, ha u v = u v = u v cosα Def: Valós euklideszi térben az u és v vektorok hajlásszöge α π, ha cos α = - u v u v a CBS miatt u v u v π Pl.: C[; π-ben <f;g> = fg α és sin α szöge cos α = x sin x dx x ;sin x x ; x sin x ;sin x = = π x dx π sin x dx cos x π π π π = 6 π

25 π π x sin x dx = [-x cos x π + cos x dx = -π cos π = π Pl.: Pithagorasz-tétel Ha u és v merőleges, akkor u+v = u + v Biz: Ha u v =, akkor u + v = <(u + v); (u + v)> = < u; u > <u ; v> u Def: {e ; e ; ; e n } bázis ortogonális bázis, ha e i e j = (i j) ortonormált bázis, ha ortogonális bázis és e i = minden i-re Tétel: Ha {e ; e ; ; e n } ortogonális bázis, akkor v = v e e e... v e n e n e n Biz: v = α e + + α n e n / e (skaláris szorzás) v e = α e e + α e e + +α n e n e e => α = v e e Spec: Ortonormált bázisban v = (v e ) e + + (v e n ) e n < u ;v < v ;v > v Áll: Bármely v felírható egy b-re párhuzamos és egy b-re merőleges vektor összegeként v = v b b b b v v b b b b Tétel: Legyen S altér a V euklideszi térben. Akkor bármely V-beli v felbontható egy S-beli és S- re merőleges vektor összegére. Ha S-ben {e ; ; e n } ortogonális bázis, akkor n v e v = k k = e k e v v e k k k e k e Megj.: v e k e k e k eső komponense a v vektor merőleges vetülete az S altérre, azaz a v vektor S altérbe Tétel: Projekció tétel: Ha v nem eleme az S altérnek, akkor S-nek a v-hez legközelebb eső pontja éppen a v-nek az S-re vett merőleges vetülete. Azaz v s minimális akkor, ha s = [(v e i )/ e i e i Pl.: V = C[-; e x merőleges vetülete P -re {; x} bázis P -ben <f;g> = f g -

26 <; x> = x dx = => {; x} ortogonális báziscsere - vetület = < e x ; > < ex ;> x= x x e x dx=[x e x Hogyan készítünk ortogonális bázist? Tétel: Gram Schmidt ortogonalizáció: c = b c = c = b b c c c b c c c... k b c k = b k k c i i= c i c i e x dx dx e x dx=[ x e x = e x e x dx x dx e e = e Ha {b ; ; b n } bázis a V euklideszi térben Def: Az n x n-es mátrixnak az adjungáltja A* = A T Áll: (A + B)* = A* + B* (c A)* = c A* (A B)* = B* A* Def: A T: V V lineáris operátor adjungáltja az a T*: V V lineáris operátor, amelyre <Tv, w> = <v, T*w> minden V-beli v, w-re Tétel: Ha E ortonormált bázis, akkor T* E = (T E )* Biz: ONB-ban v = <v;e > e + + <v; e n > e n Spec: Te i = <Te i, e > e + <Te i, e > e + + <Te i, e n > e n => T E = (<Te j ; e i >) n i j= Def: Legyen V egy komplex euklideszi tér és T: V V lineáris operátor. T unitér, ha T* = T -, azaz T*T = TT* = E Ha V valós euklideszi tér, akkor T: V V lineáris operátor ortogonális, ha T T = T -, azaz TT T = T T T = E Megj: Tv = <Tv; Tv> = <v; T*Tv> = <v, v> = v Az unitér vagy ortogonális operátor a vektor hosszát nem változtatja meg Tétel: Az unitér (ortogonális) operátorok jellemzése Legyen V komplex (valós) euklideszi tér, T: V V lineáris operátor Akkor ekvivalensek: a) T unitér (ortogonális)

27 b) bármely ONB-ben T*=T - (T T = T - ) c) bármely ONB-ben T oszlopai ortonormáltak d) bármely ONB-ben T sorai ortonormáltak e) T skaláris szorzattartó: <Tu; Tv> = <u; v> minden V-beli u,v-re f) T normatartó: Tu = u minden V-beli u-ra g) Komplex V esetén van olyan <e ; e ; ; e n > ONB V-ben, hogy Te i = λ i e i λ i = minden i-re Megj: g) valós vektortérben nem igaz pl.: R -en egy forgatásnak nincs sajátértéke, ortogonális transzformáció Pl.: R R ortogonális transzformációi forgatás körül és/vagy tükrözés egy -n átmenő egyenesre [ cosα sin α sin α cosα [ vagy cosα sin α sin α cosα g) helyett valós vektortérben: Tétel: A T: V V lineáris operátor ortogonális <=> ha van olyan ONB, hogy T E a főátló mentén legfeljebb x-es blokkokra bomlik, amelyek önmagukban is ortogonális mátrixok x-es blokkban vagy (-) A blokkokon kívül minden elem Def: Ha V komplex (valós) euklideszi tér, A: V V lineáris operátor A önadjungált (szimmetrikus) A* = A (A T = A) Tétel: önadjungált operátor jellemzői: Legyen V komplex (valós), A: V V lineáris operátor, akkor ekvivalens: a) A önadjungált (szimmetrikus) b) Bármely ONB-ben A*=A (A T = A) c) Van olyan {e ; ; e n } ONB, hogy Ae = λ i e i λ i eleme R; i =,, n Tétel: A: V V önadjungált (szimmetrikus) <Au; u> = <u; Av> minden u;v-re Pl.: R szimmetrikus transzformációi c) alapján létezik s ; s, a két vektor merőleges, s irányában λ -szeres nyújtás, s irányában λ - szeres nyújtás A s = [ λ λ Pl.: R szimmetrikus és ortogonális, ha transzformációi <=>merőleges sajátvektorok; +/- sajátértékek λ = λ = => A= E = - => A = -E λ = ; λ = - => A tükrözés s egyenesére Def: Az A valós, szimmetrikus mátrixhoz tartozó kvadratikus alak n n <Ax, x> = x T Ax = a i j x i x j i= j=

28 Pl.: [ 5 -hoz tartozó kvadratikus alak [x,y [ 5 [ x y [ = [x, y x y x 5y = x + xy + xy + 5y = x + 6xy + 5y Pl.: x + xy + y + 4yz + 6xz + 8z kvadratikus alakot adó mátrixa 8 [ Tétel: Főtengelytétel: Ha A valós szimmetrikus mátrix, akkor van olyan {e ; ; e n } ONB, amelyben az A-hoz tartozó kvadratikus alak négyzetösszeggé válik, azaz n x T Ax = α i λ i, ahol x = α i e i és Ae i = λ i e i i= i=; ; n Biz: x = α i e i => Ax = α i λ i e i => x T Ax - <Ax, x> = < α i λ i e i, α i e i > = α i λ i Pl.: 5x 4xy + 8y = milyen görbe egyenlete? A = [ 5 8 [, 5 λ 8 λ = (λ 5)(λ 8) -4 = λ λ + 6 = (λ 4)(λ 9) λ = 4 [ 4 s = / 5 [

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.) Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Diszkrét Matematika II.

Diszkrét Matematika II. Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika II. példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.

Részletesebben

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet). Vektortér A vektortér (lineáris tér, lineáris vektortér) két, már tanult algebrai struktúrát kapcsol össze. Def.: Legyen V nemüres halmaz, amelyben egy összeadásnak nevezett művelet van definiálva, és

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly

Matematika MSc Építőmérnököknek. Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek Szerző: Simon Károly Matematika MSc Építőmérnököknek A jegyzet nagyobb részét Dr. Simon Bakos Erzsébet gépelte Latex szövegszerkesztőben. Tartalomjegyzék 1. Az A-ben tanult

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Matematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak

Matematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak Matematika Plus építőmérnök hallgatóknak Simon Károly.5. Tartalomjegyzék. I. előadás 3.. Kiegészítés az A-ben tanultakhoz: Determináns....... 3... Elemi sor transzformációk hatása a determinánsra:. 5...

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1

BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1 Wiener Gábor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1 FELADATGYŰJTEMÉNY 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 BME SZIT Készült a Budapesti Műszaki és

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem, 2005

Széchenyi István Egyetem, 2005 Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Alkalmazott algebra - skalárszorzat

Alkalmazott algebra - skalárszorzat Alkalmazott algebra - skalárszorzat Ivanyos Gábor 2011 sz Skalárszorzat Skalárszorzat Ebben a részben: a standard skalárszorzat: u T v = n µ i ν i i=1 és a kapcsolódó lineáris algebra absztrakt tárgyalással

Részletesebben

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I. A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz,

Részletesebben

Diszkrét matematika feladatok

Diszkrét matematika feladatok gyakorlat Diszkrét matematika feladatok 205/6 tanév, I. félév. Bizonyítsa be teljes indukcióval az alábbi állításokat! n(n + ) (a) + 2 + + n = 2 (b) 2 + 2 2 + + n 2 n(n + )(2n + ) = 6 ( ) 2 n(n + ) (c)

Részletesebben

Juhász Tibor. Lineáris algebra

Juhász Tibor. Lineáris algebra Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:

Részletesebben

1. Transzformációk mátrixa

1. Transzformációk mátrixa 1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Lineáris algebrai alapok

Lineáris algebrai alapok Lineáris algebrai alapok Will 2010 június 16 Vektorterek, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek A lineáris programozási feladat, szimplex algoritmus Vektorterek Jellemzés: Vektorok tulajdonságai Két vektor

Részletesebben

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1. DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2011. november 29. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben