Differenciálszámítás normált terekben
|
|
- Ferenc Deák
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 217
2 Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás 3 Bevezetés 4 Dolgozatomban használt jelölések 5 1. A normált tér Alapfogalmak Lineáris operátorok Dierenciálszámítás normált térben Bevezet fogalmak és Fréchet-derivált Gâteaux-derivált Gâteaux és Fréchet-derivált közti összefüggés Alkalmazás széls érték vizsgálatra Irodalomjegyzék 33
3 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Tarcsay Zsigmondnak, akinek segítsége és hasznos tanácsai nélkül nem jöhetett volna létre ez a dolgozat. Köszönettel tartozom családomnak, akik a tanulmányaim során mindvégig támogattak és mellettem álltak. Emellett köszönöm párom és barátaim biztatását. 3
4 Bevezetés A szakdolgozatom témája a normált térbeli dierenciálszámítás. A dolgozatom els felében ismertetem a normált térhez kapcsolódó alapfogalmakat és tételeket, valamint mutatok példát normára. Továbbá az els fejezet második részében bevezetem a korlátos lineáris operátor és az operátornorma fogalmát, és nem-triviális példát adok végtelen dimenziós tér felett nem korlátos lineáris transzformációra. A második fejezetben az alapfogalmak deniálása után els ként a Fréchet-deriváltat mutatom be, majd az R R lineáris transzformációk leírásának segítségével megmutatom, hogy a klasszikus értelemben vett dierenciálszámítás és a normált térbeli Fréchetderiválás lényegében ugyanaz. Ezt követ en - hasonlóan, mint az R R függvények esetében - ismertetem az összeg-, és skalárral megszorzott függvények, valamint a kompozíciófüggvény dierenciálási szabályát. Majd egy példán végigvezetem, hogy egy adott függvény dierenciálható-e, és mi a deriváltja. Ezután bemutatom a Gâteaux-deriváltat, valamint azt, hogy milyen összefüggés van a Gâteaux-derivált és a Fréchet-derivált között. Ezt követ en az egyváltozós dierenciálható függvényekhez hasonlóan szükséges feltételt mondok ki a lokális széls érték létezéséhez normált térben. Végül egy konkrét példa segítségével legrövidebb ívhosszúságú görbét keresek. 4
5 Dolgozatomban használt jelölések ˆ R + : Pozitív valós számok halmaza ˆ x n : Végtelen sor n N ˆ x n : Végtelen sor összege n= ˆ K számtest = R vagy C számtestek ˆ A(x) := Ax, ahol A lineáris operátor ˆ L(X, Y ): Lineáris leképezések halmaza ˆ : Maximum norma 5
6 1. fejezet A normált tér 1.1. Alapfogalmak Deníció. Legyen X vektortér K felett, ahol K = R vagy C. Normának nevezünk egy : X R + függvényt, ha teljesülnek rá a következ normaaxiómák: i) minden x X-re: x és x = x =, ii) minden λ K és minden x X esetén λ x = λ x, iii) minden x, y X-re x + y x + y. Ekkor az (X, ) párt normált térnek nevezzük. Nézzünk néhány példát normált terekre. ˆ Legyen X := R, mint önmaga feletti vektortér, ekkor R normált tér az x := x (x R) normára nézve. ˆ Az X = C komplex számtest ugyancsak normált tér az x := x (x C) normára nézve. ˆ Ha n N +, akkor az X := R n is normált tér az euklideszi normával, azaz n x = (x 1, x 2,... x n ) R n esetén: x 2 := x i2. i=1 ˆ Legyen adott egy I = [a, b] intervallum. Ekkor az X := C(I) = {f : I R folytonos függvények} is normált tér az f max := max I f normával Deníció. Legyen X normált tér. Adott egy x X pont, valamint egy r > szám. Ekkor az r sugarú, x középpontú nyílt és zárt gömböt a következ halmazokként deniáljuk: nyílt gömb: B(x, r) := {x X : x x < r}, zárt gömb: B(x, r) := {x X : x x r}. 6
7 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR Deníció. Legyen X normált tér. Egy G X halmazt nyíltnak nevezünk, ha minden x G esetén létezik r >, hogy B(x, r) G. Egy F X halmazt zártnak nevezünk, ha az F C := X\F komplementer halmaz nyílt. Nem nehéz belátni, hogy a normált térbeli B(x, r) nyílt (illetve a B(x, r) zárt) gömbök valóban nyíltak (illetve zártak) Állítás. Az F X halmaz akkor és csak akkor zárt, ha minden F -ben haladó (x n ) (n N) konvergens sorozatra x = lim n x n esetén x F is teljesül Deníció. Egy K X nem üres halmazt korlátosnak nevezünk, ha létezik x X és r >, hogy K B(x, r), vagyis minden k K-ra x k < r. Ekkor a K X nem üres, korlátos halmaz átmér je diam(k) := sup x y. x,y K Deníció. Legyen (X, ) normált tér, (x n ) X sorozat és x X vektor. Ekkor azt mondjuk, hogy i) az (x n ) sorozat az x vektorhoz konvergál (jelölésben x n x, vagy lim n x n = x), ha x n x. ii) a n N x n végtelen sor x n összege egyenl x-el, ha az s n := n=1 sorozat x-hez konvergál, vagyis s n x. n i=1 x i részletösszeg Deníció. Legyenek X és Y normált terek. Az f : X Y függvény folytonos valamely a X pontban, ha minden ε > -hoz létezik δ >, hogy ha x X és x a < δ, akkor f(x) f(a) < ε Deníció. Legyen f : X Y függvény (X és Y normált terek) és x X-beli pont. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az x pontban az a y Y vektor, ha minden ε > -hoz létezik olyan δ >, hogy < x x < δ esetén f(x) y < ε Lemma. Ha X normált tér, akkor minden x, y X esetén x y x y. Bizonyítás. Legyen x = (x y) + y. A normatulajdonságot használva: x x y + y x y x y. Az állítás szimmetriája miatt az is igaz, hogy y x y x = ( 1) (x y) = x y, amib l a bizonyítandó egyenl tlenség már adódik Állítás. Az : X R + normafüggvény folytonos, azaz ha x n x, akkor x n x.
8 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 8 Bizonyítás. Az el z lemmát használva kapjuk, hogy xn x xn x, ha n Állítás. Legyen X normált tér, (x n ) és (y n ) (n N) X-beli sorozat. Ha x n x, y n y és (λ n ) (n N) olyan K-beli, hogy λ n λ, akkor i) x n + y n x + y, ii) λ n x n λ x. Bizonyítás. i) A feltétel szerint x n x, illetve y n y, amib l a háromszögegyenl tlenség alapján x n + y n (x + y) = (x n x) + (y n y) x n x + y n y, ami éppen azt jelenti, hogy x n + y n x + y. ii) Ismét a háromszög-egyenl tlenséget alkalmazva kapjuk, hogy λ n x n λ x = λ n x n λ n x + λ n x λ x λ n x n λ n x + (λ n λ) x = = λ n x n x + λ n λ x. Mivel λ n λ, x n x és λ n λ, így a fenti kifejezés nullához tart Deníció. Az (x n ) (n N) X-beli sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden ε > -hoz létezik N N küszöbindex, hogy minden n, m N és n, m N esetén x n x m < ε Tétel. Egy X = R n -beli sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchysorozat Állítás. Normált térben minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat. Bizonyítás. Legyen (x n ) (n N) olyan X-beli sorozat, amely konvergál valamely x X vektorhoz, és legyen ε > rögzített szám. Ekkor létezik N N, hogy n N esetén x n x < ε. Ekkor n, m N esetén 2 x n x m = (x n x) + (x x m ). A normára vonatkozó háromszög-egyenl tlenséget használva: (x n x) + (x x m ) x n x + x x m < ε 2 + ε 2 = ε, amivel az állítást beláttuk Deníció. Az X normált teret Banach-térnek nevezzük, ha minden X-ben haladó Cauchy-sorozat konvergens.
9 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 9 Igazolható, hogy bármely véges dimenziós normált tér Banach-tér, illetve folytonos függvények C(I) tere is Banach-tér a max normára nézve Példa. Legyen [a, b] egy zárt intervallum és deniáljuk a 1 : C[a, b] R + függvényt az f 1 := b a f(x) dx egyenl séggel. Megmutatjuk, hogy 1 norma. Ehhez elegend azt igazolni, hogy az f 1 = felvetésb l f = következik, ugyanis a többi normaaxióma egyszer en ellen rizhet. Legyen f C([a, b]) olyan nemnegatív függvény, hogy f, megmutatjuk, hogy b f >. Legyen x [a, b] olyan, hogy f(x ) >. Feltehet, hogy a x ]a, b[. Az f folytonossága miatt az ε := f(x ) számhoz létezik olyan δ >, hogy ]x 2 δ, x + δ[ [a, b] és minden x ]x δ, x + δ[ esetén f(x ) ε f(x) f(x ) + ε, a azaz Emiatt 2δ ε = f(x) f(x ) 2 x +δ ε x +δ = ε. f b f, amivel igazoltuk, hogy b a f >. x δ Legyen ezek után f C[a, b] tetsz leges olyan függvény, hogy f 1 =, azaz b f =, akkor a fentiek szerint f =, azaz f =, amivel igazoltuk hogy f 1 = akkor és csak akkor, ha f =. x δ Az alábbiakban példát mutatunk nem teljes normált térre Állítás. A (C[a, b], 1 ) nem teljes, azaz nem Banach-tér. Bizonyítás. Az egyszer ség kedvéért tegyük fel, hogy [a, b] = [ 1, 1]. Rögzített n N esetén értelmezzük az f n C[a, b] függvényt a következ képp: f n (x) =, ha x [ 1, ] és f n (x) = 1, ha x [ 1, 1], illetve legyen f n n lineáris a [, n] 1 halmazon úgy, hogy folytonos legyen. Megmutatjuk, hogy az (f n ) függvénysorozat Cauchy-sorozat a fenti (C[ 1, 1], 1 ) térben, de nem konvergens. Ugyanis, bármely n, m N, n > m esetén: f n f m 1 = f n f m = 1 m f n f m a 1 m f n + f m 1 m 2 = 2 m, a 1
10 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 1 amib l látható, hogy (f n ) (n N) Cauchy-sorozat. Tegyük fel indirekt módon, hogy f n f 1 teljesül valamely f C[ 1, 1] folytonos függvényre. Ekkor f = f f n f f n = f f n 1, vagyis 1 f =, ezért f(x) = minden x [ 1, ] számra. Legyen m N tetsz leges, ekkor bármely n N, n m esetén f 1 = f f n f f n, 1 m 1 m 1 ezért f(x) = 1 minden x [ 1 m, 1] számra. Ez minden m-re igaz, amib l következik, hogy f(x) = 1 minden x ], 1], de ez lehetetlen, mert f folytonos függvény. A teljesség egy érdekes következményét mutatja be az alábbi eredmény Tétel. (Cantor-féle közöspont-tétel) Legyen X Banach-tér. Ha (F n ) X nem üres, zárt halmazok egymásba skatulyázott sorozata, vagyis F 1 F 2... F n, melyre diam(f n ), akkor a F n egy pont. Bizonyítás. Legyen x n F n ( n) esetén egy pont. Ezek a pontok egy Cauchy-sorozatot alkotnak, mert minden n, m N küszöbindexre m n esetén x n x m diam(f n ). Tudjuk, hogy X teljes, így a határértékre vonatkozó állításból következik, hogy létezik x * := lim x n. Az {x n, x n+1,...} sorozat is x * -hoz tart és része az F n -nek. Mivel F n zárt, így x * F n, amib l az x * F n következik. A metszetnek csak az x * pont az egyetlen eleme, mert a diam(f n ) feltétel miatt nem létezik másik pont, ami minden F n -nek eleme lenne Állítás. (Weierstass-kritérium) Legyen X Banach-tér. Ekkor n N x n konvergens, ha n N x n konvergens. Bizonyítás. Legyen a n := n x i és b n := n x i megfelel részletösszeg sorozat. Ekkor i=1 i=1 (b n ) Cauchy-sorozat a n N x n konvergenciája miatt. Továbbá felírható, hogy minden n, m N indexre, n > m esetén n a n a m = i=m+1 x i n i=m+1 x i = b n b m = b n b m.
11 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 11 Ebb l következik, hogy (a n ) is Cauchy-sorozat. A feltevés szerint X teljes, azaz Banachtér, ezért (a n ) konvergens is, ami éppen azt jelenti, hogy n N x n is konvergens. Megjegyezzük, hogy az olyan x n sorokat, amelyekre a x n numerikus sor konvergens, abszolút konvergens soroknak nevezzük. Ezzel a szóhasználattal a Weierstrass- n N n N kritérium úgy is átfogalmazható, hogy Banach-térben minden abszolút konvergens sor konvergens Deníció. Legyen X Banach-tér. Ekkor az f : X X leképezés kontrakció, ha létezik q < 1 szám, melyre f(x) f(y) q x y, minden x, y X esetén Tétel. (Banach-féle xponttétel) Legyen X Banach-tér és f : X X egy kontrakció. Ekkor teljesülnek a következ k: i) f-nek egyértelm en létezik xpontja, vagyis létezik egyetlen x * X pont, melyre x * = f(x * ); ii) bármely x X esetén az x n+1 := f(x n ) (n N) iterációval értelmezett (x n ) sorozat x * -hoz konvergál; iii) minden n N-re teljesül az alábbi becslés: x n x * qn 1 q x 1 x. Bizonyítás. Tekintsük az x n+1 = f(x n ), ( n N) rekurzióval el állított sorozatot, ahol minden x X. Ekkor a kontrakciós tulajdonságból felírható a következ : x n+1 x n = f(x n ) f(x n 1 ) q x n x n 1... q x 1 x. Legyen m > n tetsz leges index, ekkor x m x n = (x m x m 1 ) + (x m 1 x m 2 ) (x n+1 x n ) x m x m 1 + x m 1 x m x n+1 x n q m 1 x 1 x + q m 2 x 1 x q n x 1 x = = q n x 1 x (1 + q + q q m 1 n ) < q n < 1 q x 1 x. Tehát x m x n < qn 1 q x 1 x. Az n + esetén a jobb oldal határértéke nulla. Ebb l következik, hogy minden ε > -hoz létezik N = N(ε), hogy x m x n < ε, minden m > n > N esetén. Ekkor f(x n ) Cauchy-sorozat, így konvergens is.
12 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 12 Jelölje x * R n a határértéket, azaz lim n x n = x *. Mivel x n+1 = f(x n ) minden n-re, ennek véve a folytonosság miatt a határértékét: lim x n+1 = lim f(x n ) = f( lim x n ) = f(x * ). n n n Tehát x * = f(x * ). A becslés bizonyításához mindkét oldalon határértéket véve kapjuk, hogy lim x q n m x n lim m m 1 q x 1 x x * x n qn 1 q x 1 x. Végül megmutatjuk, hogy egyetlen xpont létezik. Indirekt tegyük fel, hogy x *, y * R n is xpontok és x * y *. Ekkor x * = f(x * ) és y * = f(y * ). Ebb l felírva a kontrakcióra vonatkozó deníciót: x * y * = f(x * ) f(y * ) q x * y *. Ez csak akkor lehetséges, ha x * y * =, ami ellentmond az indirekt feltevésünknek, hogy x * y * Lineáris operátorok Deníció. Legyen X és Y vektortér K számtest felett. Ha minden x, y dom A és c K esetén teljesül, hogy: i) A(x + y) = A(x) + A(y) ii) A(cx) = c A(x) akkor az A: X Y leképezés lineáris. Azaz minden x, y X és c, d K esetén teljesül A(cx + dy) = c A(x) + d A(y). A lineáris leképezéseket szokás lineáris operátoroknak is nevezni, valamint legyen a továbbiakban az Ax := A(x) Állítás. Ha X, Y normált tér és A: X Y lineáris operátor, akkor a következ állítások ekvivalensek egymással. i) Az A operátor folytonos, vagyis ha x n x, akkor Ax n Ax. ii) Az A leképezés folytonos a nullában, azaz ha x n, akkor Ax n. iii) Az A operátor folytonos minden x X pontban.
13 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 13 iv) Az A operátor korlátos, azaz A := sup{ Ax x X, x 1} <. v) Létezik olyan C, melyre Ax C x, minden x X. Bizonyítás. Az i) ii) iii) implikációk nyilvánvalóak. iii) i) Tegyük fel, hogy A folytonos x -ban. Be kell látni, hogy mindenütt folytonos. Legyen x X és x n x, ekkor az Ax n Ax igaz-e. Ha x n x, akkor x n x, amib l következik, hogy x + (x n x) x. Mivel A folytonos x -ban, ezért A(x + x n x) = Ax + Ax n Ax Ax. Ekkor Ax n Ax, így Ax n Ax. iv) v) Tegyük fel, hogy sup{ Ax x X, x 1} <. Ekkor van olyan C, hogy Ax C, minden x X és x 1. Legyen y X és y. Ekkor y -ra felírható y a következ : y y = 1 y y = 1 y = 1. y Így az ( ) y A = y 1 y Ay = 1 Ay C, y amib l következik, hogy Ay C y. Az y = eset triviális. v) iv) Ha x X és x 1, akkor Ax C x C. Ebb l következik, hogy sup{ Ax x X, x 1} C <. v) ii) Tegyük fel, hogy Ax C x és legyen (x n ) (n N) olyan X-beli sorozat, amelyre x n, akkor azt kell belátnunk, hogy Ax n. Ez viszont nyilvánvaló, hiszen Ax n C x n, így Ax n, ami miatt Ax n, tehát A folytonos nullában. ii) iv) Tegyük fel, hogy A folytonos a nullában és tegyük fel indirekt, hogy sup{ Ax x X, x 1} =. Legyen n N egy rögzített szám, ekkor létezik x n X, x n 1 és Ax n n. Ebb l felírható, hogy x n 1 n n, tehát x n n. Emiatt ( A xnn ). Viszont A ( xn n ) = 1 n Ax n 1 n n 1, és ez ellentmond annak, hogy az A ( xnn ) kifejezés a nullához tart.
14 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR Deníció. (Folytonos lineáris operátor normája) Ha A: X Y folytonos lineáris operátor, akkor az számot az A normájának nevezzük. A := sup{ Ax x X, x 1} Deníció. Jelölje L(X, Y ) az A: X Y korlátos lineáris operátorok halmazát Állítás. A L(X, Y ) valóban normált tér a operátornormára nézve: i) A = csak akkor teljesül, ha A =, ii) λ A = λ A, iii) A + B A + B. Bizonyítás. i) Ha A =, akkor A = sup{ Ax x X, x 1} = sup{} =. Ha A = abból következik-e hogy A =. Legyen x X, akkor x = 1. Ekkor ( ) x A sup{ Ay y X, y 1} =. x ( x Amib l következik, hogy A x ) =, továbbá Ax =, amib l kapjuk, hogy Ax =. Tehát A =. ii) Legyen λ K rögzített szám. λa := sup{ (λa)x x X, x 1} = = sup{ λ Ax x X, x 1} = = λ sup{ Ax x X, x 1} = = λ A. iii) Legyen A, B L(X, Y ) és alkalmazzuk a háromszög-egyenl tlenséget: A + B = sup{ (A + B)x x X, x 1} sup{ Ax + Bx x X, x 1} sup{ Ax + By x, y X, x 1, y 1} = = sup{ Ax x X, x 1} + sup{ By y X, y 1} = = A + B. Az állításokat beláttuk Állítás. Legyen A L(X, Y ). Ekkor teljesülnek a következ k: i) Ax A x, minden x X, x
15 1. FEJEZET. A NORMÁLT TÉR 15 ii) Legyen C := A a legkisebb olyan konstans, melyre Ax C x, minden x X- re fenn áll. Speciálisan: A = min{c Ax C x, x X} Állítás. Ha X normált tér és Y Banach-tér akkor az L(X, Y ) is Banach-tér Deníció. Lineáris funkcionáloknak nevezzük az A: X K lineáris leképezéseket Következmény. Ha X normált tér akkor L(X, K) = X * Banach-tér. X * -ot az X duális terének nevezzük és elemeit folytonos lineáris funkcionáloknak nevezzük Példa. Legyen f C[a, b] függvény, x [a, b] egy rögzített pont, valamint legyen f maximum normája a következ képp értelmezve: f := max f. Tekintsük a ϕ: C[a, b] R, ϕ(f) := f(x ) egyenl séggel értelmezett leképezést. Ekkor a ϕ folytonos lineáris funkcionál és ϕ = 1. Ugyanis bármely f C[a, b] mellett ϕ(f) = f(x ) max f =: f, vagyis ϕ folytonos (korlátos) és ϕ 1. Továbbá be kell látni, hogy ϕ 1. Legyen f C[a, b] a konstans f 1 függvény, akkor f 1, és f(x ) = ϕ(f) = 1 teljesül. Ebb l és a funkcionálnorma deníciójából látható, hogy ϕ 1 is teljesül, vagyis ϕ = 1. A következ ben arra láthatunk példát, amikor egy A: X Y lineáris operátor normája nem korlátos Példa. Legyenek X = C 1 [, 1] és Y = C[, 1] folytonosan dierenciálható függvények, és f = f. Legyen A: X Y lineáris operátor, melyre Af = f. Ekkor az A nem korlátos, azaz sup{ Af f X, f 1} =. A bizonyításhoz egy olyan (f n ) (n N) C[, 1]-beli függvénysorozat keresünk, melyre f n 1 és f n +. Vegyük az f n (x) = e nx függvénysorozatot. Vegyük a maximum normáját, azaz f n = max f n = 1. Deriváljuk le f n (x)-et, ekkor kapjuk, hogy f n (x) = n e nx. Vegyük ennek is a maximum normáját, azaz f n = max f n = max n e nx = n max e nx = n max f n = n. A megadott feltételek teljesülnek, tehát A nem korlátos.
16 2. fejezet Dierenciálszámítás normált térben 2.1. Bevezet fogalmak és Fréchet-derivált Az alábbiakban legyenek X és Y tetsz leges normált terek Deníció. (Kis rend függvény) Egy r : X Y függvényt az a X pontban kis rend függvénynek nevezzük, ha r(a) = és létezik a határérték. lim x a r(x) x a = Állítás. Az r : X Y kis rend függvény az a pontban akkor és csak akkor, ha r el áll az a pont egy U környezetében a következ alakban: r(x) = x a r * (x) (x U), ahol r * : X Y olyan függvény, mely folytonos az a pontban és r * (a) =. Bizonyítás. Legyen r * (x) := r(x), ha x U és x a, valamint x a r* (a) :=. Ekkor átalakítással kapjuk, hogy r(x) = r * (x) x a, ha x U. Továbbá be kell még látni, hogy r * folytonos az a pontban, vagyis létezik lim r * (x) = r * (a) =. Valóban, x a r(x) lim x a r* (x) = lim x a x a = = r* (a) Fordítva: Legyen r : U Y olyan függvény, hogy létezik r * : U Y függvény, melyre r * (a) =, r * folytonos az a pontban és r(x) = x a r * (x), ahol x U. Ekkor teljesülnie r(x) kell, hogy r kis rend függvény a-ban, azaz r(a) = és lim =. El ször az r(a) = x a x a feltételt bizonyítjuk a következ képp: r(a) = a a r * (a) =. 16
17 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 17 Végül a hátérték bizonyítása: lim x a r(x) x a = lim x a x a r* (x) x a = lim x a r * (x), ahol r * folytonos az a pontban és r * (a) =, ezért lim x a r * (x) = r * (a) =. Ebb l következik, hogy lim x a r * (x) = R Deníció. Legyenek f : X Y és g : X Y függvények, valamint a X pont. Azt mondjuk, hogy az f és g függvények érintkeznek az a pontban, ha f g kis rend függvény az a pontban, azaz f(x) g(x) lim x a x a Deníció. Az L(x) := Ax + y, (x X) egyenl séggel értelmezett L: X Y leképezést folytonos inhomogén lineáris leképezésnek nevezzük, ha A L(X, Y ) és y Y adott vektor Deníció. Fréchet-dierenciálhatónak (vagy röviden: dierenciálhatónak) nevezzük az f : X Y függvényt az a X pontban, ha a int(dom f) és létezik L: X Y folytonos inhomogén lineáris függvény, melyre f L kis rend függvény az a-ban, azaz L érintkezik az a pontban az f függvénnyel. A denícióból következik, hogy (f L)(a) =, vagyis L(a) = f(a), amib l az L függvényt a következ alakban tudjuk felírni: =. L(x) = f(a) + A(x a) (x X), ahol A L(X, Y ) Deníció. Az f függvény a pontbeli Fréchet-deriváltjának (vagy röviden: deriváltjának) nevezzük az L(x) = f(a) + A(x a), (x X) egyenl ségben szerepl A L(X, Y ) folytonos lineáris leképezést, és f (a)-val jelöljük. Tehát az f függvény dierenciálhatósága egy a int(dom f) pontban a következ t jelenti: létezik f (a) L(X, Y ) folytonos lineáris leképezés, melyre az L: X Y inhomogén lineáris folytonos függvény érintkezik az a pontban f-vel, azaz ahol L(x) az alábbi alakban áll el : f(x) L(x) lim x a x a =, L(x) := f(a) + f (a)(x a) (x X). Az el bbieket felhasználva a dierenciálhatóság egy ekvivalens denícióját írjuk le.
18 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN Deníció. Az f : X Y függvényt dierenciálhatónak nevezzük az a X pontban, ha létezik olyan f (a)-val jelölt L(X, Y )-beli folytonos lineáris leképezés, valamint létezik r : X Y kis rend függvény a-ban és az a pont egy U környezetében f(x) = f(a) + f (a)(x a) + r(x) (x U). Azaz, az f függvény f = L + r alakban áll el az a egy környezetében, ahol r kis rend függvény a-ban, valamint L az L(x) = f(a) + f (a)(x a) egyenl séggel értelmezett folytonos inhomogén lineáris függvény. Az el z denícióban az f(x)-re felírt egyenl séget a továbbiakban a következ alakban fogjuk használni: f(x) f(a) = A(x a) + r(x) (x U), ahol A := f (a). Az alábbiakban megvizsgáljuk egy f : R R függvény egy a R pontbeli (klasszikus értelemben vett) dierenciálhatóságának és az imént bevezetett Fréchet-dierenciálhatóságának, illetve a megfelel derivált fogalmak kapcsolatát. Ehhez el ször jellemezzük az R R lineáris operátorokat. Legyen M A : R R az a függvény (A R), melyre M A (x) = A x. Könnyen ellen- rizhet, hogy M A lineáris operátor. Megfordítva, legyen M : R R lineáris operátor és jelölje A := M(1). Ekkor M = M A, ugyanis bármely λ R esetén: M(λ) = M(λ 1) = λ M(1) = λ A = A λ = M A (λ). Ebb l következik, hogy az R R lineáris operátorok éppen a számmal való szorzások. Tegyük fel, hogy f függvény (klasszikus értelemben) dierenciálható az a pontban, akkor megmutatjuk, hogy Fréchet-dierenciálható és f (a) = M A, azaz létezik r kis rend függvény a-ban, hogy f(x) f(a) = M A (x a) + r(x), ahol r(x) := f(x) f(a) A (x a). Ekkor r(x) valóban kis rend függvény a-ban, ugyanis: r(x) lim = lim f(x) f(a) A (x a) x a x a x a x a = = lim f(x) f(a) x a A x a = = A A =. Megfordítva: Tegyük fel, hogy az f függvény Fréchet-dierenciálható az a pontban, azaz létezik M : R R lineáris operátor, és létezik r kis rend függvény a-ban, hogy f(x) f(a) = M(x a) + r(x).
19 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 19 Láttuk, hogy M = M A alkalmas A R-re. Megmutatjuk, hogy f (klasszikus értelemben) is dierenciálható az a pontban és f (a) = A, azaz létezik a következ határérték: Tudjuk, hogy melyb l átalakítással kapjuk, hogy: f(x) f(a) lim x a x a = A. f(x) f(a) = A(x a) + r(x), f(x) f(a) x a Vegyük mindkét oldal határértékét, azaz f(x) f(a) lim x a x a = A + r(x) x a. r(x) = A + lim x a x a = A. r(x) Itt kihasználtuk, hogy r kis rend függvény az a pontban, ezért lim x a x a =, ami csak r(x) akkor teljesül, ha lim =. Megmutattuk, hogy A = f (a). x a x a Állítás. Minden A L(X, Y ) folytonos lineáris leképezés bármely a X pontban dierenciálható és ekkor A (a) = A. Bizonyítás. Legyen f(x) = Ax és legyen a X tetsz leges pont. Meg kell mutatni, hogy f(x) f(a) = A(x a) + r(x) teljesül valamely r a-ban kis rend függvényre. f(x) f(a) = A(x a) + r(x) Ax Aa = A(x a) + r(x) A(x a) = A(x a) + r(x) Válasszuk r(x)-nek az azonosan nulla függvényt, azaz r(x) :, ekkor r nyilvánvalóan kis rend függvény, azaz f dierenciálható a-ban és f (a) = A. Tehát A (a) = A Példa. Legyen f : R R, melyre f(x) = x 2. Ismeretes, hogy az f függvény (klasszikus értelemben) minden a R pontban dierenciálható és f (a) = 2a. Ennek mintájára tekintsük az X normált tér esetén az f : L(X) L(X) leképezést, melyre f(a) = A 2. Megvizsgáljuk az f függvényt a dierenciálhatóság szempontjából. Ha T L(X) lineáris operátor, akkor M T : L(X) L(X) folytonos lineáris leképezés, melyre M T (A) = T A. M T valóban lineáris leképezés, mert teljesülnek a következ k: M T (A + B) = T (A + B) = T A + T B = M T (A) + M T (B) Továbbá M T folytonos is, mert M T (λa) = T λa = λ T A = λm T (A) M T (A) = T A T A
20 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 2 teljesül. Tehát M T korlátos és M T T. Választ keresünk arra, miszerint ha f(a) = A 2, akkor igaz-e, hogy f (A) = M 2A. A válasz tagadó, mert az összeg négyzetre emelése normált térben a L(X)-beli operátorszorzás nemkommutativitása miatt nem ugyanaz, mint K számtest felett. Ezért azt állítjuk, hogy az f : L(X) L(X) függvény dierenciálható minden A L(X) pontban és f (A) = M, ahol M L(L(X)) az a lineáris operátor, melyre M(S) = AS + SA. El ször megmutatjuk, hogy M folytonos lineáris operátor. Lineáris, mert teljesül rá, hogy összegtartó és skalár-szoros tartó, azaz Valamint M folytonos is, mert M(S + R) = A(S + R) + (S + R)A = = AS + AR + SA + RA = = (AS + SA) + (AR + RA) = = M(S) + M(R) M(λS) = λ AS + λ SA = λ (AS + SA) = λ M(S) M(S) = AS + SA AS + SA A S + S A = = 2 A S, vagyis M 2 A. Továbbá megmutatjuk, hogy teljesül a következ egyenl ség: f(b) f(a) = M(B A) + r(b), ahol r alkalmas kis rend függvény A-ban. Valóban, r(b) := (A B) 2 választással: M(B A) r(b) = A (B A) + (B A) A + (A B) 2 = = AB A 2 + BA A 2 + A 2 AB BA + B 2 = = B 2 A 2 = = f(b) f(a). Meg kell mutatnunk, hogy r kis rend A-ban, azaz Ehhez vegyük észre, hogy lim B A r(b) B A =. r(b) B A = (A B) (A B) B A A B 2 B A = B A, ahol B A tart a nullához. Ezzel tehát megmutattuk, hogy f minden A L(X)-ben dierenciálható és f (A) = M, vagyis f (A)B = AB + BA teljesül minden B L(X).
21 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN Állítás. Ha f és g : X Y dierenciálható függvények az a X pontban, akkor az f + g és a c f (c K) függvények is dierenciálhatók az a pontban és (f + g) (a) = f (a) + g (a), (c f) (a) = c f (a). Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f, g dierenciálható függvények az a pontban. Ekkor létezik U X nyílt halmaz, hogy a U dom f, és létezik olyan V X halmaz, melyre a V dom g, ekkor a U V dom f dom g =: dom (f + g). Ekkor U V is nyílt halmaz, valamint a bels pontja a dom (f + g)-nek. Bevezetjük a következ jelöléseket: A := f (a) és B := g (a), ahol A, B L(X, Y ), valamint A + B =: C L(X, Y ). Megmutatjuk, hogy f + g dierenciálható az a pontban és ekkor (f + g) (a) = C, azaz (f + g)(x) (f + g)(a) = C(x a) + r(x), ahol r kis rend függvény a-ban. Alkalmazzuk f és g dierenciálhatóságára vonatkozó deníciót, vagyis f(x) f(a) = A(x a) + r 1 (x), g(x) g(a) = B(x a) + r 2 (x), ahol r 1 és r 2 kis rend függvények a-ban. Ekkor (f + g)(x) (f + g)(a) = (f(x) f(a)) + (g(x) g(a)) = = A(x a) + B(x a) + r 1 (x) + r 2 (x) = = C(x a) + r 1 (x) + r 2 (x) = =: C(x a) + r(x). Meg kell mutatnunk, hogy r kis rend a-ban, azaz: lim x a r(x) x a lim r 1 (x) + r 2 (x) x a x a mivel r 1 és r 2 is kis rend függvények a-ban. A konstans-szoros deriváltja hasonlóan igazolható. r 1 (x) = lim x a x a + lim r 2 (x) x a x a =, Lemma. Ha g : X dom g Y dierenciálható az a Int(dom f) pontban, akkor létezik olyan U dom f nyílt környezet, hogy a h(x) := g(x) g(a), x U \ {a} x a függvény korlátos U \ {a}-n, azaz létezik olyan M, melyre h(x) M, minden x U \ {a}.
22 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 22 Bizonyítás. Tegyük fel, hogy létezik A(= g (a)) folytonos lineáris operátor, és a g dierenciálható a-ban, vagyis g(x) g(a) = A(x a) + r(x), ahol r kis rend függvény a-ban. r(x) Azaz lim =, ami csak akkor teljesül, ha minden ε > -hoz létezik olyan δ >, x a x a hogy x a < δ, x a esetén r(x) x a < ε. Válasszuk az ε = 1, ekkor létezik olyan δ >, hogy x a < δ, x a esetén r(x) < ε x a = x a. Jelölje U := B(a, δ), ekkor g korlátos az U\{a} halmazon. Legyen x U\{a}, ekkor az x a < δ, x a esetén h(x) = g(x) g(a) x a = A(x a) + r(x) x a A x a + r(x). x a A következ lépésben felhasználjuk az ε = 1 esetben r(x)-re kapott becslést: A x a + r(x) x a A x a + x a x a A + 1 =: M. Így a lemmát beláttuk Tétel. (Kompozíció-függvény dierenciálhatósága) Legyenek X, Y és Z normált terek, valamint g : X Y és f : Y Z függvények. Tegyük fel, hogy g függvény dierenciálható az a X pontban, és f dierenciálható a b := g(a) Y pontban, akkor az f g : X Z függvény dierenciálható az a pontban és (f g) (a) = f (g(a)) g (a). Bizonyítás. El ször megmutatjuk, hogy az a pont bels pontja az f g kompozíciófüggvény értelmezési tartományának. Tudjuk, hogy a Int(dom g), és legyen dom (f g) := {x dom g g(x) dom f}. Megmutatjuk, hogy a Int(dom (f g)). A bizonyításhoz felhasználjuk azt az állítást, mely szerint: ha g dierenciálható az a pontban, akkor g folytonos is a-ban. Valóban, a g függvény a pontbeli dierenciálhatósága miatt és a Állítás alapján g(x) g(a) = A(x a) + r(x) = A(x a) + r * (x) x a, ahol r * folytonos a-ban és r * (a) =, amib l lim(g(x) g(a)) = lim (A(x a) + x a x a r* (x) x a ) =, mert r * (x) és x a, valamint A(x a), ugyanis A folytonos és A() =. Tehát g folytonos az a pontban. Alkalmazzuk az el bbi állítás egy speciális esetét, vagyis
23 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 23 minden ε > -hoz létezik δ >, hogy x a < δ esetén g(x) g(a) < ε. Másképp fogalmazva x B(a, δ) esetén g(x) B(g(a), ε). Ha f dierenciálható a g(a)-ban, akkor létezik ε >, hogy B(g(a), ε) dom f. Mivel g folytonos az a pontban, ezért létezik olyan δ >, hogy minden x B(a, δ) esetén g(x) B(g(a), ε) dom f. Ekkor x B(a, δ) dom g, amib l következik, hogy g(x) dom f. Ezzel beláttuk, hogy minden x B(a, δ) esetén x dom (f g), amib l kapjuk, hogy B(a, δ) dom (f g), vagyis az a bels pont. A következ kben megmutatjuk, hogy (f g) (a) = f (g(a))g (a) valóban teljesül. Az f függvény b = g(a) pontbeli dierenciálhatósága és a Állítás alapján: f(g(x)) f(g(a)) = f (b)(g(x) g(a)) + g(x) g(a) r * (g(x)) = ahol legyenek = f (b)(g (a)(x a) + r(x)) + g(x) g(a) r * (g(x)) = = f (b) g (a)(x a) + f (b) r(x) + g(x) g(a) r * (g(x)), A := f (b)g (a), A L(X, Z) R(x) := f (b) r(x) + g(x) g(a) r * (g(x)). Ezeket behelyettesítve kapjuk a következ t: (f g)(x) (f g)(a) = A(x a) + R(x), (x U ), ahol azt kell még megmutatni, hogy R kis rend függvény a-ban. Az r * g : X Z függvény folytonos az a pontban, vagyis lim a (r * g) = r * (g(a)) = r * (b) =, ezért az R(x) f (b) r(x) + g(x) g(a) (r * g)(x) egyenl tlenségb l a Lemma felhasználásával kapjuk, hogy R kis rend függvény az a pontban. Ezzel megmutattuk, hogy f g kompozíció-függvény dierenciálható az a pontban és (f g) (a) = A = f (g(a))g (a) Példa. Legyen ϕ: R + R folytonos, dierenciálható függvény, melyre ϕ(t) := t p, ahol p R. Ekkor ϕ deriváltja: ϕ (t) = p t p 1. Legyen X = C([a, b]) normált tér, ahol értelmezzük a következ függvényt: f : C[a, b] C[a, b], melyre f(u) = u p. Mivel ez a függvény több helyen nincs értelmezve, ezért meg kell határozni a pontos értelmezési tartományt: dom f = {u C[a, b] u(t) >, t [a, b]}. Tehát f : C[a, b] dom f C[a, b] és u u p. Arra keressük a választ, hogy f dierenciálható-e, és ha igen, mi az f (a) értéke. Legyen g C[a, b] és M g : C[a, b] C[a, b] az a lineáris operátor, melyre M g u := g u, ahol u C[a, b]. Ekkor azt állítjuk, hogy M g folytonos lineáris operátor és M g = g. Könnyen látható, hogy M g valóban lineáris. Folytonos is, mert rögzített u C[a, b] esetén létezik olyan K, hogy M g u K u. Valóban: M g u = g u = max (gu)(t) = max g(t) u(t) t [a,b] t [a,b] g max u. t [a,b]
24 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 24 Tehát M g folytonos és M g g. Meg kell még mutatni, hogy M g g. Válasszuk u 1, ekkor M g = sup{ M g u u X, u 1} = = sup{ g u u X, u 1} g 1 = g. Tehát M g g is teljesül, amib l kapjuk, hogy M g = g. A következ kben megmutatjuk, hogy az f függvény minden a dom f pontban differenciálható és deriváltjára fennáll az f (a) = M g egyenl ség, ahol g = p a p 1, azaz g(t) = p a(t) p 1. Ehhez meg kell mutatni, hogy minden u dom f esetén f(u) f(a) = M g (u a) + r(u), ahol r kis rend függvény az a pontban. Helyettesítsük be mindkét oldalra a függvények ismert értékeit: M g (u a) = g (u a) = p a p 1 (u a), f(u) f(a) = u p a p. A kapott helyettesítéseket írjuk vissza az f(u) f(a) = M g (u a) + r(u) egyenl ségbe: u p a p = p a p 1 (u a) + r(u) = p a p 1 (u a) + u p a p p a p 1 (u a), ahol r(u) := u p a p p a p 1 (u a). Be kell látni, hogy r(u) valóban kis rend, azaz =. Ahhoz, hogy be tudjuk látni a kis rend séget térjünk vissza a kiindulási lim u a r(u) u a függvényünkhöz, ami a következ volt: ϕ(t) = t p, ahol t ], + [. Ez a függvény kétszer dierenciálható egy < α pontban, ezért felírhatjuk a maradéktagos Taylor-formula szerint a következ alakban: ϕ(t) = ϕ(α) + ϕ (α) 1! (t α) + ϕ (ξ) 2! (t α) 2, ahol ξ ]α, t[, ha α < t, illetve ξ ]t, α[, ha t < α. Helyettesítsük be az f függvény t pontbeli helyettesítési értékét a kapott Taylor-formulába: t p = α p + p α p 1 (t α) + amib l átalakítva kapjuk, hogy: t p α p p α p 1 (t α) = p (p 1) 2 p (p 1) 2 ahol ξ az α és t között van. Legyen x [a, b], t = u(x) és α = a(x), valamint jelölje K := ξ p 2 (t α) 2, ξ p 2 (t α) 2, p (p 1) 2. Ekkor: u p (x) α p (x) p a p 1 (x) (u(x) a(x)) = K ξ p 2 (x) (u(x) a(x)) 2,
25 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 25 ahol ξ(x) az u(x) és a(x) között van, vagyis < a p 2 (x) ξ p 2 (x) u p 2 (x), vagy < u p 2 (x) ξ p 2 (x) a p 2 (x). Ezeket felhasználva kapjuk, hogy: ξ p 2 (x) a p 2 (x) + u p 2 (x) a p 2 + u p 2, x [a, b]. Vegyük a szuprémumát ξ-nek: sup ξ p 2 (x) a p 2 + u p 2. x [a,b] Most már visszatérhetünk annak a bizonyításához, hogy r(u) kis rend függvény a-ban, azaz: amib l kapjuk, hogy: r(u) = max u p (x) a p (x) p a p 1 (x) (u(x) a(x)) = x [a,b] = max x [a,b] K ξp 2 (x) [u(x) a(x)] 2 max x [a,b] K [ a p 2 + u p 2 ] [u(x) a(x)] 2 = = K [ a p 2 + u p 2 ] u(x) a(x) 2, r(u) u a K [ a p 2 + u p 2 ] u a. Ebben az esetben ha u a, akkor u p 2 a p 2. Az el bbi u a esetén K 2 a p 2 r(u) =, azaz lim u a u a =, vagyis r kis rend függvény. Tehát megmutattuk, hogy f dierenciálható és f (a) = M g Példa. A következ kben megvizsgáljuk a skalártesten értelmezett normált tér érték fügvények dierenciálhatóságát. Ehhez el ször megmutatjuk, hogy egy A: K X folytonos lineáris leképezés azonosítható egy X normált térbeli vektorral. Ha v X vektor, akkor értelmezzük az A v : K X lineáris operátort, melyre A v (λ) = λ v. Nyilvánvaló, hogy A v lineáris operátor. Továbbá A v korlátos operátor, amelyre A v = v, ugyanis: A v (λ) = λ v = λ v, ( λ K), amib l már látható, hogy: A v = v.
26 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 26 Megfordítva, tekintsünk egy tetsz leges A: K X folytonos lineáris operátort, és legyen v := A(1). Megmutatjuk, hogy A = A v, vagyis minden K X folytonos lineáris operátor el áll A v alakban. Valóban, bármely λ K esetén: A(λ) = A(λ 1) = λ A(1) = λ v = A v (λ), amib l következik, hogy A = A v. Tehát X = L(K, X), ahol az azonosítás a fenti v A v leképezésen keresztül értend Tétel. Legyen x normált tér, f : K X függvény és a Int(dom f) egy bels pont, valamint v X vektor. Az f függvény pontosan akkor dierenciálható az a pontban, ha a f(x) f(a) x, (x, a K, x a) x a függvénynek az a pontban létezik határértéke és ez a határérték azonos az f (a) L(K, X) folytonos lineáris leképezéssel azonosított v vektorral. Az f függvény a pontbeli deriváltját a következ képp értelmezzük: f(x) f(a) lim =: v. x a x a f(x) f(a) Bizonyítás. Tegyük fel, hogy lim x a x a =: v, megmutatjuk, hogy ekkor f(x) f(a) = A v (x a) + r(x), ahol r(x) kis rend függvény a-ban. Rendezzük az egyenl séget r(x)-re: Meg kell mutatni, hogy lim x a r(x) x a =. r(x) x a = r(x) = f(x) f(a) A v (x a). f(x) f(a) x a ha x a, akkor az f(x) f(a) x a f(x) f(a) x a (x a) v x a = f(x) f(a) v x a, határértéke megegyezik v-vel, tehát v, (x a). Ekkor f dierenciálható és f (a) = v( = A v ). Fordítva, ha f Fréchet-dierenciálható, akkor f (a) L(K, X),ezért f (a) = v( = A v ), valamely v X esetén. A fentihez hasonló f(x) f(a) érveléssel megmutatható, hogy ekkor létezik lim = v határérték. x a x a
27 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN Gâteaux-derivált Legyenek X és Y normált terek, és legyen f : X Y függvény. Továbbá legyen v X adott vektor, melyre v, valamint egy a Int(dom f) bels pont. Ekkor létezik olyan δ >, hogy a + t v Int(dom f) és minden t < δ esetén. Az f függvényt a v irányban dierenciálhatónak nevezzük, ha létezik a következ határérték: f(a + t v) f(a) lim t t =: d v f(a) Y Deníció. Azt mondjuk, hogy az f függvény Gâteaux-dierenciálható az a pontban, ha minden v X, v irányú deriváltja létezik az a pontban és a G : v (d v f)(a), v X \ {}, G: X \ {} Y függvény folytonos (lineáris). A következ kben olyan függvényre mutatunk példát, amely a R 2 pontban Gâteauxdierenciálható, de nem folytonos (ezért nem Fréchet-dierenciálható) Példa. Legyen f : R 2 R függvény a következ képp értelmezve: {, ha (x, y) = (, ) vagy (x, y) / {(t, t 2 ) t R}, f(x, y) := 1, ha (x, y) (, ) és (x, y) {(t, t 2 ) t R}. Ekkor f nem folytonos a -ban, de Gâteaux-dierenciálható ebben a pontban, ugyanis bármely v R 2, v vektorhoz létezik olyan δ >, hogy ha t ] δ, δ[ mellett t v / {(s, s 2 ) s R, s }. Ekkor Ebb l határértéket véve f( + t v) f() t = f(t v) t f( + t v) f() lim t t =, t ] δ, δ[. = lim t =, amib l következik, hogy f valóban Gâteaux-dierenciálható a -ban és (d v f)() = Gâteaux és Fréchet-derivált közti összefüggés Tétel. Ha a Int(dom f) és f : X Y függvény Fréchet-dierenciálható az a pontban, akkor Gâteaux-dierenciálható is az a pontban és minden v X, v vektorra f (a)v = d v f(a).
28 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 28 Bizonyítás. Legyen g : R X függvény, melyre g(t) := a+t v. Ekkor g dierenciálható a -ban és g () = v, ugyanis: g(t) g() lim t t t v = lim t t Meg kell mutatni, hogy létezik a következ határérték: f(a + t v) f(a) lim t t = v. = lim t f(g(t)) f(g()) t F (t) F () = lim, t t ahol F = f g : R Y függvény, ami csak akkor dierenciálható az pontban, ha lim. De F dierenciálható függvény a -ban, mert g dierenciálható -ban és f F (t) F () t t dierenciálható az a = g() pontban, továbbá a kompozíció-függvény deriválása alapján: F () = (f g) () = f (g()) g () = f (a) v, F () = lim t f(a + t v) f(a) t Vagyis f (a)v = (d v f)(a), amivel a tételt beláttuk. = (d v f)(a) Alkalmazás széls érték vizsgálatra Az alábbiakban feltesszük, hogy f : X R függvény és a Int(dom f) bels pont Deníció. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek lokális minimuma (illetve maximuma) van az a pontban, ha létezik olyan U dom f nyílt halmaz, hogy a U és minden x U-ra teljesül, hogy f(a) f(x), (illetve f(a) f(x)). Az egyváltozós, azaz f : R R dierenciálható függvények lokális széls értékének létezéséhez Pierre de Fermat adott szükséges feltételt, mely szerint ezen függvényeknek csak akkor lehet lokális széls értéke az értelmezési tartományuk egy bels pontjában, ha ott a függvény deriváltja nulla. A következ tétel ennek egy analógiáját mondja ki Tétel. Ha az f függvénynek lokális széls értéke van az a pontban és ebben a pontban dierenciálható is, akkor az f (a) =. Bizonyítás. Legyen f (a) L(X, R) azt kell megmutatni, hogy f (a)v = teljesül bármely v X vektorra. Ha v, akkor legyen g : R X függvény, melyre g(t) = a + t v. Vezessük be a következ függvényt: F := f g, ahol F (t) = f(g(t)), ekkor F : R R. Mivel g dierenciálható a pontban és g () = v, valamint f dierenciálható az a = g() pontban, ezért F dierenciálható -ban és a kompozíció-függvény dierenciálhatósága alapján F () = f (a)g () = f (a)v. Ekkor létezik olyan δ >, hogy minden t < δ esetén az a + t v U, ahol U legyen olyan környezete a-nak, hogy az f függvénynek az
29 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 29 a pontban van a minimuma, azaz f(x) f(a) minden x U esetén. Ebb l következik, hogy t ] δ, δ [ esetén g(t) = a + t v U és ekkor F (t) = f(g(t)) f(a) = f(g()) = F (). Tehát minden t ] δ, δ [ -ra F (t) F (), vagyis F -nek lokális minimuma van -ban és mivel F dierenciálható -ban, vagyis f (a)v = F () = minden v-re, amib l kapjuk, hogy f (a) =. Hasonlóan igazolható az állítás lokális maximum esetén Példa. Az alábbi példán keresztül megmutatjuk, hogy melyik az a legrövidebb ívhosszúságú görbe, amely a (, ) R 2 és (1, ) R 2 pontokat köti össze. Legyen u: [, 1] R olyan függvény, amely folytonosan dierenciálható, valamint a és 1 pontokban a nulla értéket veszi fel, azaz u() = u(1) =. Keressük azt az u görbét, hogy az l(u) = 1 + (u (t)) 2 dt ívhossza minimális legyen. Ha az u választjuk, akkor az u, amelyb l kapjuk, hogy (u ) 2 = l(u), u, tehát az u egy minimális ívhosszú összeköt görbe. A kérdés az, hogy létezik-e más görbe? Legyen X := {u C 1 [, 1] u() = u(1) = } vektortér és legyen 1 norma a következ képp deniálva: u 1 := u + u = max u + max u, továbbá legyen l : X R az a függvény, melyre l(u) := 1 + (u ) 2. Tegyük fel egy pillanatra, hogy l : X R függvény dierenciálható, akkor minden u X helyen, ahol l-nek minimuma van l (u) = teljesül. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy l valóban dierenciálható és u az egyetlen olyan X-beli függvény, melyre f (u) =. El ször a kompozíció-függvény deriválási szabályának többszöri alkalmazásával belátjuk, hogy l minden u X pontban dierenciálható és l (u)(v) = u 1 + (u ) 2 v, v X. Legyen A: X C([, 1], R) az a lineáris operátor, melyre Au := u. Ekkor A lineáris és folytonos is. A linearitás könnyen látható, a folytonosság pedig következik az alábbi becslésb l: Au = u u + u = 1 u 1,
30 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 3 tehát A valóban folytonos és A 1. Ezért a Állítás szerint A dierenciálható és minden u X pontban A (u) = A. Legyen f : C[, 1] C[, 1], melyre f(u) := u 2. Ekkor f dierenciálható és a deriváltja: f (u) = M 2u (ahol M g v = g v, ezt láttuk a Példánál). Vezessük be g : X C[, 1] függvényt, melyre g(u) := (u ) 2, ekkor g felírható a következ kompozíció-függvényként: g = f A, ezért a Tétel szerint g dierenciálható és: azaz bármely v X esetén: g (u) = (f A) (u) = f (Au) A (u) = f (u ) A = M 2u A, g (u)(v) = M 2u Av = M 2u v = 2u v. Legyen h(u) = 1 + g(u) és vegyük a deriváltját: h (u) = 1 + g (u) = g (u), vagyis: h (u)(v) = g (u)(v) = 2u v, v X. Legyen k : C[, 1] C[, 1] olyan függvény, hogy k(u) := u = u 1 2. Ennek a függvénynek meg kell határozni a pontos értelmezési tartományát, vagyis k : U C[, 1], ahol U = {v C[, 1] v > }. Ekkor k a Példa szerint dierenciálható függvény minden v U pontban és a deriváltja a következ : azaz minden w C[, 1] mellett: k (v) := M 1 2 v 1 2, k (v)(w) = M 1 2 v 1 2 w = 1 2 v 1 2 w. Vezessünk be egy újabb függvényt, legyen p: X C[, 1], melyre p(u) := 1 + (u ) 2 = k(h(u)), vagyis p = k h. Deriváljuk le ezt a függvényt is: p (u) = k (h(u)) h (u) = M 1 2 h(u) 1 2 M 2u A = M 1 2 (1+(u ) 2 ) 1 2 M 2u A, vagyis bármely v X esetén: p (u)(v) = M 1 2 (1+(u ) 2 ) 1 2 M 2u Av = = M 1 2 (1+(u ) 2 ) 1 2 M 2u v = = 1 2 (1 + (u ) 2 ) 1 2 2u v = = u v 1 + (u ) 2.
31 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 31 Legyen B : C[, 1] R az a lineáris operátor, melyre Bv = v. Azt állítjuk, hogy B lineáris és folytonos is. Lineáris, mert összegtartó és a skalár-szorostartó, valamint folytonos is, mert Bv = v v 1 max v = 1 v, tehát B folytonos és B 1. Továbbá a Állítás szerint B dierenciálható és B (v) = B. Vegyük észre, hogy: l(u) = 1 + (u ) 2 = p(u) = B(p(u)), u X, azaz l = B p kompozíció-függvény. Ismét a Tétel szerint l minden u X pontban dierenciálható és l (u) = (B p) (u) = B (p(u)) p (u) = B p (u), vagyis a fentiek gyelembevételével minden u, v X mellett: ( ) l (u)(v) = B p u v (u)(v) = B = 1 + (u ) 2 u v 1 + (u ) 2. Ha l(u) minimális az u pontban, akkor a Tétel szerint az l (u) =, vagyis minden v X vektorra igaz, hogy l (u)(v) =. A mi esetünkben teljesülnie kell a következ nek, hogy: u v =, v X. 1 + (u ) 2 Ahhoz, hogy ez teljesüljön, tegyük fel még azt is, hogy az u függvény kétszer folytonosan u dierenciálható, ekkor w := 1+(u dierenciálható. Ekkor ) 2 w v = [w v] 1 v w = v w, ahol a parciális integrálás elvét alkalmaztuk, valamint kihasználtuk hogy minden v X-re v() = v(1) =. Így az el z levezetésb l kapjuk, hogy v w =, v X.
32 2. FEJEZET. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS NORMÁLT TÉRBEN 32 Számoljuk ki w deriváltját. Tudjuk, hogy w = u 1+(u ) 2 = u (1 + (u ) 2 ) 1 2, ezért w = u (1 + (u ) 2) 1 2 u 1 2 (1 + (u ) 2) u u = = u (1 + (u ) 2) [ 12 1 (u ) 2 (1 + (u ) 2) ] 1 = = u (1 + (u ) 2) 12 = u. (1 + (u ) 2 ) 3 2 Helyettesítsük be az el bb kapott w értékét: (u ) 2 = w v = u (1 + (u ) 2 ) 3 2 v =, v X. A következ kben megmutatjuk, hogy ha 1 z v = teljesül minden v X esetén, valamely z C[, 1]-re, akkor z =. Ha ugyanis a z függvény egy t [, 1] pontban nem nulla (például z(t ) > ) volna, akkor a z folytonossága miatt feltehet, hogy t ], 1[ egy bels pont. Ekkor ismét a folytonosság miatt létezne olyan δ >, hogy ]t δ, t + δ[ [, 1] és bármely t ]t δ, t +δ[ esetén z(t) >. Könnyen látható, hogy létezik olyan v folytonosan dierenciálható függvény, melyre v(t ) >, v és v(t) =, ha t / [t δ, t + δ]. Ekkor v X és 1 v z = teljesül, ugyanakkor z v, valamint z v, de akkor a Példa eredménye alapján 1 v w, ami ellentmondás. Térjünk vissza a példánkhoz, ahol tehát: w v = u (1 + (u ) 2 ) 3 2 v =, v X. Az el z állítást felhasználva u (1+(u ) 2 ) 3 2 =, vagyis u =. Ekkor u konstans, azaz u = C, amib l következik, hogy az eredeti u függvény lineáris, vagyis u(x) = C x + D alakú, ahol u X. Helyettesítsük be és 1 pontokat, amelyekr l tudjuk, hogy u() = u(1) =, vagyis: u() = C + D = D =, u(1) = C 1 + D = C + D = C =. Ebb l már látható, hogy u =, vagyis a konstans nulla függvény az egyetlen, amelynek az ívhossza minimális.
33 Irodalomjegyzék [1] Komornik Vilmos: Valós analízis el adások 1., Typotex kiadó, 23 [2] Czách László: Dierenciálszámítás normált terekben, elektronikus jegyzet [3] Karátson János: Numerikus funkcionálanalízis, Typotex kiadó, 214 [4] Faragó István=Horváth Róbert: Numerikus módszerek, Typotex kiadó, 213 [5] 33
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben1. Számsorozatok és számsorok
1. Számsorozatok és számsorok 1.1. Számsorozatok A számsorozatok egyszer függvények, amelyek hasznos épít kövei lesznek a kés bbi fogalmaknak. 1.1 Deníció. Az a : IN IR típusú függvényeket (valós) számsorozatoknak
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenOperátorkiterjesztések Hilbert-téren
Tarcsay Zsigmond Operátorkiterjesztések Hilbert-téren Szakdolgozat Témavezet : Sebestyén Zoltán egyetemi tanár Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar 2008 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenÖnadjungált és lényegében önadjungált operátorok
Molnár András Önadjungált és lényegében önadjungált operátorok Szakdolgozat Témavezet : Tarcsay Zsigmond adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar 2016 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
Részletesebben5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK
Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenDebreceni Egyetem Természettudományi Kar. Losonczi László. Funkcionálanalízis
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar 1 Losonczi László Funkcionálanalízis 2009 Tartalomjegyzék 0.1. El szó................................. 5 0.2. Jelölések................................ 6 0.3. Ábrák
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
RészletesebbenA Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán
A Baire-tételről egy KöMaL feladat kapcsán Besenyei Ádám A következőkben a matematikának több ágában is fontos szerepet betöltő eszközével, a Baire kategória-tétellel és annak néhány alkalmazásával ismertetjük
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenMatematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált
Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben