Többváltozós függvények Jegyzet. Pap Margit, Tóth László Pécsi Tudományegyetem

Átírás

1 Többváltozós függvények Jegyzet Pap Margit, Tóth László Pécsi Tudományegyetem 11

2

3 Tartalomjegyzék El szó 5 1. Többváltozós függvények Metrika és topológia R n -ben Sorozatok R n -ben Valós változós vektor érték függvények Többváltozós valós érték függvények Kétváltozós valós érték függvények n-változós valós érték függvények Többváltozós vektor érték függvények Lineáris függvények Határérték A határérték deníciója Kétváltozós valós érték függvény határértéke Iterált határértékek n-változós valós érték függvény határértéke Végtelen határérték és határérték a végtelenben n-változós vektor érték függvény határértéke Dierenciálhatóság A dierenciálhatóság deníciója Iránymenti deriváltak. Parciális deriváltak Kapcsolat a deriváltmátrix és a parciális deriváltak között Érint sík egyenlete A közvetett függvény derivált mátrixa A dierenciálszámítás középérték-tételei Többváltozós függvények magasabbrend deriváltjai Kétszer dierenciálható függvények Magasabbrend parciális deriváltak A Taylor-formula n-változós függvények esetére Széls érték A valós-valós esetre vonatkozó tételek A széls érték létezésének els rend szükséges feltétele Kvadratikus alakok Másodrend elégséges feltétel a széls érték létezésére Másodrend szükséges feltétel széls érték létezésére Az implicit függvény dierenciálhatóságára vonatkozó tétel

4 4 TARTALOMJEGYZÉK 4.7. Feltételes széls érték Vonalintegrál Sima út, szakaszonként sima út, utak egyesítése A vonalintegrál deníciója A primitív függvény fogalma Newton - Leibniz formula Fizikai jelentés Egzakt dierenciálegyenletek Az egzakt dierenciálegyenlet értelmezése Az egzakt dierenciál egyenlet megoldásainak megkeresése Egzakttá tehet dierenciálegyenletek Kett s, hármas integrálok Egyváltozós valós függvények határozott integrálja Kett s integrál Kétdimenziós intervallumok és felosztások Kett s integrál deníciója téglalap tartományon és tulajdonságai Kapcsolat az egyszeres és kett s integrálok között Az integrál kiterjesztése Integrálás normál tartományon Síkbeli polártranszformáció Hármas integrál Térbeli normál tartomány Térbeli polártranszformáció A kett s és a hármas integrálok alkalmazásai A Green-tétel és alkalmazása Green-tétel A Green-tétel alkalmazása Irodalomjegyzék 11

5 El szó Ezt a jegyzetet azoknak az el adásoknak, illetve gyakorlatoknak az anyagai alapján írtuk, amelyeket az els szerz a PTE TTK Matematika BSc szakos hallgatóknak az Analízis II. cím tárgy keretében tartott a nappali és levelez tagozaton. A jegyzet felöleli az említett szak Analízis II. tárgyának tematikájában szerepl anyag szinte teljes egészét. Ez a tananyag jól használható továbbá a Programtervez Informatikus és Fizika BSc szakon a Kalkulus tárgyhoz. A jegyzet elektronikusan lesz elérhet. Az elméleti ismeretek elmélyítését az adott témához kapcsolódó, sok és változatos feladat megoldása segíti. Ezért a deníciók, tételek és bizonyítások mellett fontosnak tartottam minden fejezetban tanulságos megoldott feladatokat és további, megoldásra javasolt feladatokat is beiktatni. Néhány esetben bemutatásra kerül, hogy hogyan lehet feladatokat megoldani a Maple programcsomag segítségével. Mivel a matematikában nincs királyi út, ezért a Maple használata sem helyettesítheti az önálló feladatmegoldást, ami szükséges ahhoz, hogy az egymásra épül fejezeteket megértsük. A témakör megértéséhez szükséges el ismeretek megtalálhatók például az elektronikusan is elérhet [15], [16], [14] jegyzetekben. Készült a Társadalmi Megújulás Operatív Program TÁMOP /1/A kódszámú pályázatának keretében L A TEXdokumentumkészít rendszer felhasználásával, böngészhet PDF formátumban. Köszönjük a lektornak, Dr. Uhrin Béla egyetemi tanárnak hasznos észrevételeit és tanácsait. A szerz k Lektor: Dr. Uhrin Béla egyetemi tanár 5

6 6 TARTALOMJEGYZÉK

7 1. fejezet Többváltozós függvények 1.1. Metrika és topológia R n -ben Jelölje R n = {x = (x 1, x,..., x n ) : x i R, i = 1, n} az n-dimenziós Euklideszi-teret. Az x 1, x,..., x n számokat az x = (x 1, x,..., x n ) pont (vektor) koordinátáinak nevezzük. R 1 -et azonosítjuk R-rel. R = R R-et a síkra lehet bijektíven leképezni, ezért R -t Euklideszi síknak nevezzük, R 3 -at pedig a térrel azonosítjuk Deníció. Az x = (x 1, x,..., x n ), y = (y 1, y,..., y n ) R n vektorok összegét és az x vektor λ R skalárral való szorzatát a következ képpen deniáljuk: x+y = (x 1 +y 1, x +y,..., x n +y n ), λx = (λx 1, λx,..., λx n ). (1.1.1) A továbbiakban az n-dimenziós nullvektort a következ képpen jelöljük: θ n := (,,...,) R n. Könny ellen rizni, hogy a fenti m veletek teljesítik a vektortér axiómáit (lásd [15] 1.5 fejezet) Deníció. Az x = (x 1, x,..., x n ), y = (y 1, y,..., y n ) R n vektorok skaláris szorzata A skaláris szorzat az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: x, y := x 1 y 1 +x y +...+x n y n. (1.1.) x+y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, x, x, x, x = x = θ n. (1.1.3) Deníció. Az x = (x 1, x,..., x n ) R n vektor hosszát (normáját, vagy abszolút értékét) a két x, y pont távolságát az R n -ben a képlettel deniáljuk. x := x, x = x 1 +x +...+x n, (1.1.4) d(x, y) := x y = (x 1 y 1 ) +(x y ) +...+(x n y n ) (1.1.5) 7

8 8 1. FEJEZET. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK Ha n = 1, akkor x y = x 1 y 1 a számegyenes két pontjának távolságát jelenti. Ha n =,3 akkor a fenti képletb l két síkbeli, illetve térbeli pont, távolságát kapjuk vissza Tétel (Cauchy-Schwarz egyenl tlenség). Bármely két x, y R n vektor esetén x, y x y. (1.1.6) Az egyenl ség pontosan akkor áll fenn, ha létezik λ R szám, hogy x = λy. A tétel bizonyítását lásd például a [15]-ben a 6. oldalon. A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség felhasználásával igazolható, hogy a norma a következ tulajdonságokkal rendelkezik: bármely x, y R n és bármely λ R esetén x x = x = θ n λx = λ x x+y x + y Deníció. Egy a R n pont ɛ sugarú környezetén a halmazt értjük. K ɛ (a) = {x R n : x a < ɛ} (1.1.7) n = 1 esetén a K ɛ (a) az a pontra szimmetrikus ɛ hosszúságú (a ɛ, a ɛ) nyílt intervallum, n = esetén K ɛ (a) az a pont körüli ɛ sugarú nyílt körlap, n = 3 esetén K ɛ (a) az a pont körüli ɛ sugarú nyílt gömb. Környezetek segítségével, hasonlóan mint az R-ben, értelmezhetjük R n -ben is a bels, a határ, az izolált, a torlódási pont fogalmát, továbbá a nyílt és zárt halamzokat. A deníciók szó szerint ugyanazok mint a [16].1 fejezetéban, de benne a pont, a környezet jelentése az (1.1.7)-nek megfelel. További elektronikusan elérhet jegyzet ahol az el bb említett fogalmak megtalálhatók például [5] els fejezete. 1.. Sorozatok R n -ben Legyen n, az R n tér dimenziója, egy rögzített szám Deníció. Az a : N R n függvényt R n -beli sorozatnak nevezzük. Jelölések a m = a(m) = (a m,1, a m,,..., a m,n ), a = (a m, m N). (1..1) Az (a m,i, m N), (i = 1,..., n) sorozatot az i-edik koordináta sorozatnak nevezzük Deníció. Az a = (a m, m N) R n -beli sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan b R n, hogy bármely ɛ > -hoz létezik olyan N(ɛ) > küszöbszám úgy, hogy ha n > N(ɛ), akkor a m b < ɛ. (1..) Ekkor b-t a sorozat határértékének nevezzük és a következ jelölést használjuk a m b (m ) vagy lim m a m = b. (1..3) Egy vektorsorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens.

9 1.. SOROZATOK R N -BEN 9 A következ tétel a koordináta sorozatok és a sorozat konvergenciája közti kapcsolatot mutatja meg Tétel. Egy vektorsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a sorozat minden koordináta sorozata konvergens és határértéke a határvektor megfelel koordinátája, azaz: a m = (a m,1, a m,,..., a m,n ) b = (b 1, b,..., b n ), (m ) (1..4) akkor és csak akkor, ha a m,i b i, (m ) ha i = 1,..., n. (1..5) Bizonyítás. Minden i = 1,..., n-re igaz a következ egyenl tlenség a m,i b i a m b = n (a m,i b i ) n max a m,i b i, (1..6) 1 i n i=1 ( a bizonyítását lásd az [15] 8-dik oldalán). Ennek alapján, minden olyan indexre, amelyre m > > N(ɛ), ha a m b < ɛ, akkor minden i = 1,..., n mellett a m,i b m,i < ɛ teljesül. Fordítva, ha a m,i b m,i < ɛ minden m > N(ɛ) esetén és minden i = 1,..., n mellett, akkor a n b < nɛ. Innen már következik a tétel állítása. A fenti tétel alapján egy konvergens vektorsorozat határértékét úgy számítjuk ki, hogy kiszámítjuk a koordináta sorozatok határértékeit, és ezen határértékekb l alkotott vektor lesz a sorozat határértéke. Ha valamelyik koordináta sorozat divergens, akkor a vektorsorozat is divergens lesz Példa. Ha ( m+1 a m = m, 1 ) m akkor az (a m, m N) sorozat konvergens és határértéke (, ), mivel 1.. Példa. Ha (m N), (1..7) m+1 1 lim =, lim =. (1..8) m m m m ( m +1 a m = m, 1 ), (m N), (1..9) m akkor az (a m, m N) sorozat divergens, mivel az egyik koordináta sorozata divergens: m +1 lim = +. (1..1) m m Az R n -beli vektorsorozat korlátosságát, részsorozatát, sorozatok összegét, számszorosát analóg módon értelmezzük mint az n = 1 esetben. Ezeket a deníciókat javasoljuk, hogy ismételjék át például a [15]. fejezetéb l. Ezekhez a fogalmakhoz kapcsolodó tételek mind érvényesek az R n - ben is (például a hatérték unicitására vonatkozó tétel, a korlátosság és konvergencia kapcsolatára vonatkozó tétel, az összeg sorozat és számszoros sorozat határértékére vonatkozó tételek, konvergens sorozat részsorozatainak határértékére vonatkozó tétel). Mivel az R n -ben n > 1 esetén nincs rendezési reláció, ezért a monotonítás fogalma, az alsó-, fels határérték fogalma, a +, -hez divergálás fogalma n > 1 esetén nem értelmezhet. Vektorsorozatok szorzata, hányadosa n > 1 esetén szintén nem értelmezett.

10 1 1. FEJEZET. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK 1.1. Feladat. ( Konvergensek-e ) az alábbi sorozatok? Ha igen határozzuk meg a határértéküket: 3n a) a n = +1, 1 n n n ( ) 5n b) a n = 3 +1, 1 n n n ( n c) a n = +1, 1 n, ( ) ) n+1 n 4n + n n 3 ( n+1 d) a n = n 1, n, n ) n 3 n+ ( ( ) n n ) n! e) a n = n, n +1 n 3 f) a n = (cos nπ, sin n) 1.3. Valós változós vektor érték függvények Deníció. Legyen I R, n 1, n N. Az f : I R n f(x) = (f 1 (x), f (x),..., f n (x)), f k (x) R, k = 1,..., n (1.3.1) függvényt valós változós vektor érték függvénynek nevezzük. Az f k (x) valós érték függvényt az f függvény k-adik koordináta függvényének nevezzük Deníció. Ha az f k (x) : I R, k = 1,..., n koordináta függvények deriválhatóak az x I pontban akkor az f(x) = (f 1 (x), f (x),..., f n (x)) deriválható az x -ban és f (x ) = (f 1(x ), f (x ),..., f n(x )). (1.3.) Deníció. Jelöljük C(I, R n )-rel az I-n folytonos vektor érték függvények halmazát, D(I, R n )- rel az I-n deriválható vektor érték függvények halmazát, C 1 (I, R n )-rel az I-n folytonosan deriválható vektor érték függvények halmazát Deníció. Akkor mondjuk, hogy az R n valamely Γ részhalmaza sima elemi görbe, ha létezik olyan I = [α, β] R korlátos zárt intervallum és olyan folytonosan dierenciálható f : I Γ bijekció, amelynek deriváltjára teljesül az f (t) θ n, t I feltétel. Ha f(α) = f(β), f : [α, β) Γ\ \ {f(β)} bijekció és az el z denícióbeli összes többi feltétel teljesül, akkor azt mondjuk, hogy Γ sima, zárt elemi görbe Megjegyzés. Bármely korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós változós valós érték folytonosan dierenciálható függvény grakonja sima elemi görbe Deníció. Legyen Γ R n egy sima elemi görbe, f : [α, β] Γ ennek egy paraméterezése és t [α, β]. A γ := {f(t )+tf (t ) : t R} (1.3.3) egyenest a Γ görbe f(t ) pontbeli érint jének nevezzük Példa. Tekintsük az csavargörbét, melynek deriváltja Egy tetsz leges t (, π) pontban húzott érint je f(t) = (cos t, sin t, t) R 3, t [, π] (1.3.4) f (t) = ( sin t, cos t, ) (,,). (1.3.5) γ := {(cos t t sin t, sin t +t cos t, t +t), t R}. (1.3.6)

11 1.4. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓS ÉRTÉK FÜGGVÉNYEK Többváltozós valós érték függvények Kétváltozós valós érték függvények Tekintsük a D R síkbeli halmazt. Az f : D R függvényt kétváltozós valós érték függvénynek nevezzük. A kétváltozós valós érték függvény grakus képe a Grf = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D, z = f(x, y)}, (1.4.1) azaz azon térbeli pontok halmaza, amelyeknek az els két koordinátája az (x, y) a függvény D értelmezési tartományából van, a harmadik koordinátája pedig a függvény (x, y) pontbeli behelyettesítési értékével egyenl. A grakus kép egy térbeli felületet határoz meg. A grakon alakjának szemléltetését el segíti, ha a z = f(x, y) függvényben az egyik változó értékét rögzítjük, és csak a másik változik. Rögzítjük az els változót: legyen x = a és y változzon úgy, hogy (a, y) D. A Γ 1 = {(a, y, z) R 3 : z = f(a, y), (a, y) D} (1.4.) megadja a grakus képnek az x = a egyenlet síkkal vett metszetét. Ezzel az eljárással a felületr l felrajzolunk egy olyan görbesereget, amelyet a grakus kép és az x = a egyenlet, yoz síkkal párhuzamos, síkok metszetével származtatunk. Rögzítjük a második változót: legyen y = b és x változzon úgy, hogy (x, b) D. A Γ = {(x, b, z) R 3 : z = f(x, b), (x, b) D} (1.4.3) megadja a grakus képnek az y = b egyenlet síkkal vett metszetét. Ezzel az eljárással a grakus képr l felrajzolunk egy olyan görbesereget, amelyeket a grakus kép és az y = b egyenlet, xoz síkkal párhuzamos, síkok metszetével származtatunk. A grakon alakjának vizsgálatához felhasználjuk a z tengelyre mer leges síkokkal való metszésvonalakat is. Ha a z = c síkkal metsszük a grakus képet, akkor a Γ 3 = {(x, y, z) R 3 : (x, y) D, z = f(x, y) = c} (1.4.4) halmazt a grakus kép c paraméteréhez tartozó nívógörbérjének vagy szintvonalának nevezzük. A szintvonalas ábrázolást a térképészetben használják. Valahányszor ha a számítógép segítségével szemléltetünk egy felületet, ezeket a görbéket jelenítik meg a grakus ábrázolásra alkalmas programok (például a Maple) és ezek segítségével kapunk egy képet a felületr l Példa. Tekintsük az f : R R, f(x, y) = x +y forgási paraboloidot. Ha x = a, akkor z = f(a, y) = a +y tehát az x = a síkkal való metszet egy parabola. Ha y = b, akkor z = f(x, b) = x +b tehát az y = b síkkal való metszet szintén egy parabola. A c > esetén a szintvonalak az x +y = ( c) egyenlet körök. 1.. Feladat. Határozzuk meg a következ függvények értelmezési tartományát, értékészletét. Ábrázoljuk grakusan, majd ellen rizzük MAPLE programcsomaggal. a) f(x, y) = y y, ( hiperbolikus paraboloid), b) f(x, y) = 1+x +y, c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = x 3 3xy,

12 1 1. FEJEZET. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK e) f(x, y) = R x y, (félgömb), f) f(x, y) = sin xy, g) f(x, y) = arcsin x y, h) f(x, y) = x +y 1, (egyköppeny forgási hiperboloid), i) f(x, y) = x +y +1, ( kétköppeny forgási hiperboloid) Példa. A Maple a plot3d(f, x = a..b, y = c..d); paranccsal egy kétváltozós függvényt rajzol ki, melyet a háromdimenziós térben elhelyezked felületként szemlélhetünk. > plot3d(x^+y^,x=-..,y=-.., axes=framed); > plot3d(x^+y^,x=-..,y=-..,axes=framed,style=contour);

13 1.4. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓS ÉRTÉK FÜGGVÉNYEK 13 > plot3d(x^-y^,x=-..,y=-..,axes=framed); > plot3d(x^-y^,x=-..,y=-..,axes=framed,style=contour); > plot3d((4*x^+y^)*exp(-x^-y^),x=-4..4,y=-4..4,axes=framed);

14 14 1. FEJEZET. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK > plot3d(sin(x)+sin(y),x=-6..6,y=-6..6,axes=framed); > plot3d(sin(x)+sin(y),x=-6..6,y=-6..6,axes=framed,style=contour);

15 1.5. TÖBBVÁLTOZÓS VEKTOR ÉRTÉK FÜGGVÉNYEK n-változós valós érték függvények Deníció. Legyen D R n. Akkor az f : D R függvényt, amely x = (x 1, x,..., x n ) D vektorhoz hozzárendel egy f(x) = f(x 1, x,..., x n ) R (1.4.5) valós számot n változós vagy vektor változós valós érték függvénynek nevezzük. Például f(x 1, x, x 3 ) = 1 x 1 x x 3 egy háromváltozós valós érték függvény. Ha nincs megadva a függvény értelmezési halmaza, akkor azt a legb vebb részhalmazt vesszük, ahol a függvényt megadó formulának értelme van. Az el z függvény esetében például teljesülnie kell az 1 x 1 x x 3 feltételnek, azaz az értelmezési halmaz az origó középpontú háromdimenziós, egység sugarú gömb és a belseje Többváltozós vektor érték függvények Legyen D R n, x = (x 1, x,..., x n ) D. Az f : D R m, f 1 (x) f 1 (x 1,..., x n ) f (x) f(x) =. = f (x 1,..., x n )., (1.5.1) f m (x) f m (x 1,..., x n ) n változós vektor érték függvénynek nevezzük. Az f i : D R, (i = 1,,..., m) n-változós valós érték függvényt az i-edik koordináta függvénynek nevezzük Példa. Például az sin x cos x 1 f(x 1, x ) = sin x sin x 1, (x 1, x ) [,π) [, π), (1.5.) cos x függvény az (x 1, x ) kétdimenziós vektorhoz egy három dimenziós vektort rendel hozzá Lineáris függvények A valós változós valós érték lineáris függvényeket a következ képpen értelmeztük: Deníció. Az f : R R lineáris függvény, ha f(x+y) = f(x)+f(y), x, y R és f(λx) = λf(x), λ, x R. Könny belátni, hogy az f : R R függvény akkor és csak akkor lineáris, ha f(x) = ax alakú, ahol a R. A fenti denicíót kiterjeszthetjük vektor változós vektor érték függvényekre is Deníció. Az L : R n R m lineáris függvény (leképezés), ha L(x+y) = L(x)+L(y), x, y R n és L(λx) = λl(x), λ R, x R n.

16 16 1. FEJEZET. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK A denícióból adódóan kapjuk, hogy: Következmény. Ha L : R n R m lineáris leképezés, akkor L(θ n ) = θ m. Ha (a 1, a ) R, akkor f : R R, f(x 1, x ) = a 1 x 1 +a x = (a 1 a ). ( x1 x ), (1.5.3) kétváltozós valós érték lineáris függvény, hasonlóan, ha (a 1, a,..., a n ) R n, akkor az f : R n R, f(x 1, x,..., x n ) = a 1 x 1 +a x +...+a n x n = (a 1 a..., a n ). x..., (1.5.4) x n n változós valós érték lineáris függvény alakú. A lineáris algebrában tanultak alapján érvényes a következ állítás: Tétel. Az L : R n R m leképezés, akkor és csak akkor lineáris, ha létezik a 11 a 1... a 1n A = a 1 a... a n M m n (1.5.5) a m1 a m... a mn x 1 mátrix úgy, hogy a 11 a 1... a 1n x 1 L(x) = L A (x) = A x T = a 1 a... a n x a m1 a m... a mn x n (1.5.6) a 11 x 1 +a 1 x + +a 1n x n a 1 x 1 +a x + +a n x n =.. (1.5.7) a m1 x 1 +a m x + +a mn x n Az A mátrixot átviteli mátrixnak nevezzük.

17 . fejezet Határérték.1. A határérték deníciója A valós változós valós érték függvényeknél tanult határérték, folytonosság, dierenciálhatóság fogalmak kiterjeszthet k n-változós vektor érték függvények esetére is. Elevenítsük fel a valós változós valós érték függvényeknél tanult, határérték denícióját (ismétlésnek lásd például [16] -dik fejezetét) Deníció. Az f :I R, I R valós változós valós érték függvénynek az értelmezési halmaz x torlódási pontjában van határértéke, ha létezik olyan l R úgy, hogy bármely ɛ > esetén létezik δ > szám úgy, hogy x (K δ \{x }) I esetén igaz az, hogy f(x) K ɛ (l). Ekkor az l értéket a függvény x pontbeli határértékének nevezzük, amit a szimbólummal jelölünk. lim f(x) = l (.1.1) x x Emlékeztetünk, hogy a denícióban szerepl környezet, ha l véges, akkor K ɛ (l) = (l ɛ, l+ɛ), az l= esetén K ɛ ( ):=(, 1) és l=+ esetén K ɛ ɛ(+ ):=( 1, + ). Az el z fejezetben ɛ láttuk, hogy a környezet fogalmat több dimenziós terekre is ki tudjuk terjeszteni, következésképpen az el z deníció több dimenzióra is kiterjeszthet. Láttuk, hogy egy x R n pont δ sugarú környezetén a K δ (x ) = {x = (x 1, x,..., x n ) R n : x x < δ} (.1.) halmazt értjük. Többdimenzióban a végtelen környezete deníció szerint K δ ( ) := {x = (x 1, x,..., x n ) R n : x = x 1 +x +...+x n > δ}. (.1.3).1.. Deníció. Az x =(x 1, x,..., x n) a D R n egy torlódási pontja ha az x bármely környezete D-nek végtelen sok pontját tartalmazza. A D halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel jelöljük és a D deriválthalmazának nevezzük. Ha a határérték deníciójában a környezeteket kicseréljük a többdimenziós környezetekkel, akkor megkapjuk a vektorváltozós vektorérték függvények esetén a határérték denícióját Deníció. Az f : I R m, I R n vektor változós vektor érték függvénynek az értelmezési halmaz x torlódási pontjában van határértéke, ha létezik olyan l R m úgy, hogy bármely ɛ > 17

18 18. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK esetén létezik δ > szám úgy, hogy x (K δ \{x }) I esetén igaz az, hogy f(x) K ɛ (l). Ekkor az l értéket a függvény x pontbeli határértékének nevezzük, amit a szimbólummal jelölünk. lim f(x) = l (.1.4) x x Vizsgáljuk meg mit is jelent a fenti deníció néhány speciális esetben. El ször nézzük a kétváltozós valós érték függvények esetére... Kétváltozós valós érték függvény határértéke..1. Deníció. Az f :D R, D R függvénynek a síkbeli D halmaz x =(x 1, x ) D torlódási pontjában az l R határértéke, ha az l bármely ɛ> sugarú környezetéhez találunk az x -nak olyan δ > sugarú környezetét, amelyre igaz az, hogy ha x (K δ (x )\x ) D, akkor f(x) K ɛ (l). Ekkor l a függvény x pontbeli határértéke, amit a következ szimbólummal jelölünk: lim f(x) = lim f(x 1, x ) = l. (..1) x x x 1 x 1,x x Ha x =(x 1, x ) D koordinátái végesek és l is véges a fenti deníció egyenérték a következ vel ε >, δ úgy, hogy x = (x 1, x ) D, x x, (x 1 x 1) +(x x ) < δ akkor f(x) l < ɛ. (..).1. Példa. Tekintsük az f : R \{θ } R, f(x 1, x ) = x 1x x 1 +x függvényt. Mivel bármely x = (x 1, x ) R \{θ } esetén ezért (..3) x 1 x x 1 +x, (..4) f(x 1, x ) = x 1x x 1 +x x 1 +x = x θ. (..5) Innen következik, hogy ha x θ < ɛ = δ, akkor f(x 1, x ) < ɛ. Tehát a függvény határértéke a θ = (,) pontban...1. Megjegyzés. A kétváltozós valós érték függvények határértékének deníciójából következik, hogy ha az x = (x 1, x ) pont a síkban bármilyen irányból közelíti meg az x = (x 1, x ) pontot, akkor a függvényértékek a közelítés irányától függetlenül ugyanahhoz az l értékhez tartanak. Azt a tényt, hogy a függvényértékek az iránytól függetlenül ugyanahhoz az értékhez közelednek, ha x x a polárkoordináták segítségével a legegyszer bb kimutatni. Legyen x = (x 1, x ) és x = (x 1, x ) két síkbeli pont. Jelöljük a két pont távolságát r-rel: r = (x 1 x 1) +(x x ). (..6) Az x = (x 1, x ) x = (x 1, x ) akkor és csakis akkor, ha r. Jelöljük θ-val az x, x pontokat összeköt egyenes és az Ox 1 pozítiv féltengely szögét. Ekkor { x 1 = x 1 +r cos θ (..7) x = x +r sin θ.

19 .. KÉTVÁLTOZÓS VALÓS ÉRTÉK FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE Tétel. Legyen D R. Ha az f : D R kétváltozós valós érték függvénynek az x D pontban a határértéke l, akkor létezik a határérték és egyenl l-el... Példa. Igazoljuk, hogy az f(x 1, x )= x 1 x 1 +x lim r f(x 1 +r cos θ, x +r sin θ) (..8) Az x vektor koordinátáit kifejezzük a polárkoordináták segítségével: { x 1 = r cos θ x = r sin θ, majd vizsgáljuk a következ határérték létezését: függvénynek a x =(,) pontban van határértéke. r cos θ lim f(r cos θ, r sin θ) = lim r r r cos θ +r sin θ = lim r cos θ == lim r cos θ =. (..9) r r r Mivel a fenti határérték létezik és független θ-tól, ezért a függvénynek ha van határértéke a (,) pontban, akkor az -val egyenl. A denícó alapján könny belátni, hogy a határérték valóban..3. Példa. Igazoljuk, hogy az f(x 1, x ) = határértéke. (x 1 ) (x 1 ) +(x 3) függvénynek a x = (,3) pontban nincs Áttérve a polárkoordinátákra { x 1 = +r cos θ vizsgáljuk a következ határérték létezését: x = 3+r sin θ, (..1) r cos θ lim f(+r cos θ, 3+r sin θ) = lim r r r cos θ +r sin θ = lim r cos θ = cos θ. (..11) r r Mivel a fenti határérték függ a θ-tól (a közelítés iránytól), ezért a függvénynek nincs határértéke a (,3) pontban. függvénynek a x = (,) pontban nincs határ Példa. Igazoljuk, hogy az f(x 1, x ) = sin x 1 +x értéke. Az x vektor koordinátáit kifejezzük a polárkoordináták segítségével: { x 1 = r cos θ x = r sin θ, majd vizsgáljuk a következ határérték létezését: lim f(r cos θ, r sin θ) = lim sin 1 r r r cos θ +r sin θ = lim sin 1 r r. (..1) Ez utóbbi határérték azonban nem létezik, tehát a függvénynek nincs határértéke a megadott pontban.

20 . FEJEZET. HATÁRÉRTÉK..1. Iterált határértékek Az el z pontban deniált határértéken kívül még más típusú határértékeket is értelmezhetünk. Tekintsük a kétváltozós f : D R, (x, y) f(x, y) R, D = A 1 A, A 1, A R függvényt. Rögzítsük az y-t az A -ben. Így egy x f(x, y) R, x A 1 egyváltozós függvényt értelmeztünk, amelyet f(., y) : A 1 R szimbólummal jelölünk, és tanulmányozzuk ennek a függvénynek az x A 1 pontban a lim x x f(x, y) határértékét. Ha ez létezik, akkor az értéke általában függ y-tól. Rögzítsünk egy y A pontot. Ha az el bb említett határérték legfeljebb y pont kivételével minden y pontban létezik, akkor egy f : A \{y } R, f (y) = lim x x f(x, y) (..13) y-tól függ függvényhez jutunk és tanulmányozzuk ennek a függvénynek a határértékét az y pontban. Ha ez utóbbi határérték is létezik, akkor jelöljük az értékét Hasonló gondolatmenettel jutunk el a lim y y lim x x lim f(x, y). (..14) x x lim f(x, y) y y határértékhez, ha a megfelel határértékek léteznek.... Deníció. A lim y y lim f(x, y), x x lim x x lim f(x, y) (..15) y y határértékeket az f függvény iterált vagy ismételt határértékeinek nevezzük az (x, y ) pontban. Az (x, y ) pontbeli határérték és iterált határértékei között a következ kapcsolat van:... Tétel. Tegyük fel, hogy az f : A 1 A R függvénynek az z = (x, y ), x A 1, y A, pontban létezik határértéke. Ha bármely rögzített y A \{y } esetén létezik az f(., y): A \{y } R függvény határértéke az x pontban, akkor létezik lim y y lim x x f(x, y) és lim y y lim f(x, y) = lim f(x, y). (..16) x x x x,y y Ha pedig bármely rögzített x A 1 \ {x } esetén létezik az f(x,.) : A 1 \ {x } R függvény határértéke az y pontban, akkor létezik lim x x lim y y f(x, y) és lim x x lim f(x, y) = lim f(x, y). (..17) y y x x,y y... Megjegyzés. Ha a tételbeli feltételek teljesülnek és létezik a függvénynek határértéke, akkor az iterált határértékek is léteznek és egyenl ek a függvény határértékével. Ha az iterált határértékek különböznek, akkor a függvénynek nincs az (x, y ) pontban határértéke. Az iterált határértékek létezéséb l és egyenl ségéb l nem következik a függvény határértékének létezése.

21 .3. N-VÁLTOZÓS VALÓS ÉRTÉK FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 1 Az iterált határértékek elég laza kapcsolatban vannak egymással. Megtörténhet, hogy mindket létezik és nem egyenl ek. Megtörténhet, hogy az egyik létezik a másik nem..5. Példa. Az f : R \ {(x, y) R : x + y } R, f(x, y) = x y x+y határértékek léteznek a (,)-ban, de nem egyenl ek: lim lim f(x, y) = 1, lim y x lim x y Tehát a függvénynek nincs határértéke a (,) pontban..6. Példa. Az f : (, + ) (, + ) R, f(x, y) = y x+y létezik, a másik nem létezik a (,)-ban: lim lim f(x, y) = lim sin 1 y x y y nem létezik, de függvény esetén az iterált f(x, y) = 1. (..18) sin 1+xy y esetén az egyik iterált határérték lim lim f(x, y) =. (..19) x y Tehát vigyázni kell, ha két "egymás utáni" határértéket számítunk, a határértékek sorrendjének felcserélésével..7. Példa. Van-e határértéke az f :R \{(,)} R, f(x, y)= xy függvénynek a (,) pontban? x +y Vegyük észre, hogy lim lim f(x, y) = lim lim f(x, y) =, (..) x y y x vagyis az iterált határértékek léteznek és egyenl ek. Ha x=y irány mentén tartunk (,)-hoz, akkor lim x f(x, x)=1/, és ha x= y irány mentén tartunk (,)-hoz, akkor lim x f(x, x) = 1/, következésképpen az f-nek nincs határértéke a (,)-ban, annak ellenére, hogy az iterált határértékek egyenl ek..3. n-változós valós érték függvény határértéke Tekintsük az f : D R, függvényt, ahol D R n, D. Legyen x = (x 1, x,..., x n) a D egy véges torlódási pontja (azaz az x minden koordinátája véges) Deníció. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x pontban a határértéke az l R szám, ha az l minden ε sugarú K ε (l) környezetének megfelel az x olyan δ sugarú K δ (x ) környezete, hogy bármely x (K δ (x )\{x }) D esetén f(x) K ε (l), azaz ε > -hoz δ > úgy, hogy Ekkor a következ jelölést használjuk: x D, x x, x x n < δ, akkor f(x) l < ε. (.3.1) lim f(x) = l vagy lim f(x 1, x,..., x n ) = l. (.3.) x x x 1 x 1,x x,...,xn x n Az n = 3 esetben a határérték iránytól való függetlenségét a polárkoordináták segítségével a következ képpen tanulmányozzuk az x 1, x, x 3 -at kifejezzük a háromdimenziós polárkoordinátákkal: x 1 = x 1 +r sin θ 1 cos θ x = x +r sin θ 1 sin θ θ 1 [, π), θ [,π). (.3.3) x 3 = x 3 +r cos θ 1, Ha az f függvénynek az x = (x 1, x, x 3)-ban van határértéke, akkor létezik a lim r f(x 1 +r sin θ 1 cos θ, x +r sin θ 1 sin θ, x 3 +r cos θ 1 ) = l (.3.4) határérték és független a θ 1 és θ értékét l.

22 . FEJEZET. HATÁRÉRTÉK.4. Végtelen határérték és határérték a végtelenben.4.1. Deníció. Az f : D R m vektor változós vektor érték függvény tart -ben miközben x x D, azaz lim f(x) =, x x ha bármely M > számhoz létezik δ >, úgy hogy.8. Példa. Az f(x) = 1 x 1 +x f(x) > M, ha x D, x x, x x < δ. függvény határértéke, ha x = (x 1, x ) x = (,). Valóban, f(x) > M, ha < x x < δ = 1 M..4.. Deníció. Ha a D értelmezési halmaz nem korlátos, akkor lim f(x) = l, x ha bármely ε > számhoz létezik olyan R >, úgy hogy f(x) K ε (l), ha x > R..9. Példa. lim cos 1 = 1. x x 1 +x +x 3 Mivel cos u folytonos u = -ban, ezért bármely ε > -hoz van olyan δ >, amelyre Mivel ha x > 1 δ, akkor ahonnan következik, hogy cos u 1 < ε, ha u < δ. 1 x 1 +x +x 3 = 1 x, 1 < δ, x 1 +x +x 3 cos 1 1 x 1 +x +x < ε. 3 n-változós valós érték függvények összegét, különbségét, szorzatát, hányadosát hasonlóan értelmezzük mint a valós változós valós érték függvények esetében. Hasonlóan mint a [16]. fejezetében igazolni lehet a következ m veleti szabályokat:.4.1. Tétel. Tegyük fel, hogy az f, g : D R, D R n, D függvényeknek a D egy x torlódási pontjában van határértéke: lim f(x) = l 1 lim g(x) = l. x x x x Akkor lim x x (f(x)+g(x)) = l 1 +l, lim x x (f(x) g(x)) = l 1 l, lim f(x) g(x) = l 1 l, x x f(x) lim x x g(x) = l 1, g(x), l feltéve ha a jobboldalon álló m veleteknek van értelme.

23 .5. N-VÁLTOZÓS VEKTOR ÉRTÉK FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 3 Ha a jobboldalon álló m veleteknek nincs értelme, azaz,,, határozatlansági esetek valamelyike áll fenn, akkor a valós változós valós érték függvények határértékeinek kiszámításánál tanult átalakítási eljárások segítségével számítjuk ki a fenti határértékeket..5. n-változós vektor érték függvény határértéke Tekintsük az f : D R m, D R n, D függvényt, legyen x = (x 1, x,..., x n) a D halmaz egy torlódási pontja. Az f függvény x pontbeli határértékeének deníciója a következ :.5.1. Deníció. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x pontban a határértéke az l = = (l 1, l,..., l m ) R m vektor, ha az l minden ε sugarú K ε (l) környezetéhez létezik az x olyan δ sugarú K δ (x ) környezete, hogy bármely x (K δ (x ) \ {x }) D esetén f(x) K ε (l). Ekkor a következ jelölést használjuk: lim f(x) = l vagy lim f(x 1, x,..., x n ) = l. (.5.1) x x x 1 x 1,x x,...,xn x n Hasonlóan mint az egyváltozós valós érték fügvények esetében igazolni tudjuk, hogy érvényes az átviteli elv, továbbá a függvények határértéke, ha létezik, akkor egyértelm. A következ tétel rávilágít az f függvény x D pontbeli határértéke és az f 1, f,..., f m ún. koordináta függvények ugyanazon pontbeli határértékei közötti kapcsolatra Tétel. Az lim x x f(x) = lim x x (f l (x),..., f m (x)) = (l 1,..., l m ) akkor és csak akkor, ha lim x x f j(x) = l j j {1,,..., m}. A tétel azt mondja ki, hogy vektor változós, vektor érték függvény határértéke az a vektor, amelynek komponenseit úgy számítjuk ki, hogy kiszámítjuk a függvény koordináta függvényeinek (komponenseinek) határértékét. A tétel az átviteli elv és a vektorsorozatok határértéke és a koordináta sorozatok határértékei közti kapcsolat következménye..5.. Deníció. Az f : D R m függvény folytonos az x D torlódási pontban, ha az x -ban van határértéke és ez megegyezik az f(x )-val. Az értemezési halmaz izolált pontjaiban deníció szerint a függvény folytonos. Ha az f az értelmezési halmaz minden pontjában foytonos, akkor f folytonos (D-n)..5.. Tétel. Ha az f, g : D R folytonosak, akkor f +g, f g, f g is folytonosak D-n. Az f/g is folytonos minden olyan x D pontban, ahol g(x ). Ha az f, g : D R m folytonosak, akkor f +g, f g, λf, λ R is folytonosak D-n Tétel. Tekintsük a D R n, H R m, halmazokat. Ha f : D H, g : H R k két vektor változós vektor érték folytonos függvény, akkor az g f : D R k szintén folytonos..1. Példa. Az f(x, y) = 1 x y függvény maximális értelmezési tartománya R, mivel bármely (x, y ) R esetén lim f(x, y) = f(x, y ), (x,y) (x,y ) ezért folytonos R -n.

24 4. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK.11. Példa. Tanulmányozzuk a következ függvény folytonosságát: sin 1 x y, ha 1 x f(x, y) = 1 x y > y 1, ha 1 x y =. (.5.) A függvény értelmezési tartománya az 1 x y = ellipszis és a belseje. Az ellipszis bels pontjaiban a fügvénynek van határértéke és egyenl a behelyettesítési értékkel, tehát a függvény folytonos a bels pontokban. Ha (x, y) az értelmezési halmaz olyan bels pontja amelyre 1 x y, akkor lim f(x, y) = 1 x y tehát az ellipszis pontjaiban is folytonos a függvény. sin 1 x lim y = 1, 1 x y 1 x y.1. Feladat. Határozzuk meg a következ függvények határértékét a megadott pontokban, ha létezik! a) f(x, y) = xy x +y (,) b) f(x, y) = xy x +y (,) c) f(x, y) = x+y x y (,) d) f(x, y) = (x 1)(y ) (x 1) +(y ) (1,) e) f(x, y) = (x 3) (y+) (x 3) +(y+) (3, ) f) f(x, y) = x y x +y (,) g) f(x, y) = (x+y) sin 1 sin 1 x y (,) h) f(x, y) = xy 4x x +y 4y+4 (,) i) f(x, y) = sin(x +y ) x +y (,) j) f(x, y) = 1 x +y (1+xy) { (,) k) f(x, y) = x+y, ha x+y racionális x +y, ha x+y irracionális (,).. Feladat. Állapítsuk { meg hol folytonosak a következ függvények: xy, ha (x, y) (,) x a) f(x, y) = +y 1, ha (x, y) = (,) { xy, ha x y x b) f(x, y) = y, ha x y = {, ha xy c) f(x, y) = 1, ha xy = { x sin 1 y d) f(x, y) =, ha y, ha y = {(1+x e) f(x, y) = y ) 1 x +y, ha (x, y) (,) 1, ha (x, y) = (,)..1. Példa. A Maple segítségével a következ utasításokkal tudunk határértéket számolni: lim (x,y) ( 1,) x+3y 4x+5y

25 .5. N-VÁLTOZÓS VEKTOR ÉRTÉK FÜGGVÉNY HATÁRÉRTÉKE 5 > limit((*x+3*y)/(4*x+5*y),{x=-1,y=}); A következ eredményt adja: 3. Valóban a függvény értelmezett az a = ( 1,) pontban és folytonos, ezért a határértéke létezik és egyenl az f(a) = -dal. 3 Ha most egy olyan pontban tanulmányozzuk a határérték létezését, ahol a függvény nem értelmezett, például a b = (,)-ban akkor a következ t kapjuk > limit((*x+3*y)/(4*x+5*y),{x=,y=}); Erre a következ t írja ki: undef ined. Ilyenkor, hogy valóban bebizonyítsuk, hogy a határérték nem létezik viszgáljuk meg, hogy ha különböz irányból tartunk a megadott ponthoz milyen eredményre jutunk. Ennél a példánál, ha vizsgáljuk az iterált határértékeket, a következ t kapjuk: > limit((*x+3*)/(4*x+5*),{x=,y=}); > limit((*+3*y)/(4*+5*y),{x=,y=}); Mivel az iterált határértékek különböznek, ezért valóban nem létezik a lim (x,y) (,) x+3y 4x+5y határérték.

26 6. FEJEZET. HATÁRÉRTÉK

27 3. fejezet Dierenciálhatóság 3.1. A dierenciálhatóság deníciója A valós változós valós érték függvények esetén az f : U R, U R deriválható az a U U pontban, ha létezik a f(a+h) f(a) lim (3.1.1) h h határérték és véges. Ekkor a fenti határértéket a függvény a pontbeli dierenciálhányadosának, vagy deriváltjának nevezzük, amit f (a) := lim h f(a+h) f(a) h (3.1.) szimbólummal jelölünk. Általában két vektor hányadosa nem értelmezett, ezért a fenti deníció nem terjeszthet ki többváltozós függvényekre. A fenti denició egyenérték a következ vel (a bizonyítást lásd például [16]-ben): Tétel. Az f : U R, (U R) dierenciálható az a U U pontban, ha létezik L : :R R, L(h)=A h, A R, lineáris leképzés, létezik ε:k δ () R függvény, melyre lim ε(h)==ε() h és f(a+h) f(a) = L(h)+ε(h) h (3.1.3) bármely h esetén, amelyre a+h U. A tételben szerepl A := f (a) a függvény a pontbeli deriváltja és az L(h) := A h -t a függvény a pontbeli dierenciáljának nevezzük. Ez utóbbi alkalmas arra, hogy többváltozós függvényekre is kiterjesszük Deníció. Az f : U R m, (U R n ) dierenciálható az a U U pontban, ha létezik L : R n R m, L(h) = A h, A M m n, lineáris leképzés és létezik ε : K δ (θ n ) R m függvény, melyre lim h θn ε(h) = θ m = ε(θ n ) és bármely h esetén, amelyre a+h U. f(a+h) f(a) = L(h)+ε(h) h, (3.1.4) Deníció. Az el z denícióban szerepl L lineáris függvényt az f a-pontbeli dierenciáljának vagy totális deriváltjának nevezzük. Az A mátrixot derivált mátrixnak, vagy Jacobi-mátrixnak nevezzük és A = f (a)-val jelöljük. 7

28 8 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Ha f kétváltozós valós érték lineáris függvény, akkor a denícióban szerepl L(h) teljes dierenciál ( ) h1 L(h) = L(h 1, h ) = a 1 h 1 +a h = (a 1 a )., (a 1, a ) R (3.1.5) alakú. Analóg módon az n-változós valós érték lineáris függvény teljes dierenciálja L(h) = L(h 1, h,..., h n ) = a 1 h 1 +a h + +a n h n = (a 1 a..., a n ) h..., (3.1.6) h n h (a 1, a,..., a n ) R n. (3.1.7) Ha f : R n R m, akkor a derivált mátrix a 11 a 1... a 1n A = a 1 a... a n M m n (3.1.8) a m1 a m... a mn és a teljes dierenciál: a 11 a 1... a 1n h 1 L(h) = A h = a 1 a... a n h (3.1.9) a m1 a m... a mn h n a 11 h 1 +a 1 h + +a 1n h n a 1 h 1 +a h + +a n h n =.. (3.1.1) a m1 h 1 +a m h +...+a mn h n Többváltozós függvények esetén a denícióból nem derül ki, hogy hogyan számítjuk ki a derivált mátrix elemeit. Erre a következ részben adjuk meg a választ. El bb azonban tisztázzuk a dierenciálhatóság és a folytonosság kapcsolatát, megadjuk a dierenciálhatóság egy ekvivalens átfogalmazását, valamint megadjuk a vektorérték függvény teljes dierenciálja és a koordináta függvények teljes dierenciálja közti kapcsolatot Tétel. Ha az f : U R m függvény dierenciálható az a U U pontban, akkor folytonos a-ban. A tétel azt mondja ki, hogy az a pontbeli folytonosság a függvény a pontbeli dierenciálhatóságának szükséges feltétele. A tétel bizonyításánál szükség van a következ Lemmára: 1. Lemma. Legyen x R n, A M m n, jelöljük x = max 1 i n x i, akkor amit az A mátrix normájának nevezünk. A x α x, ahol α = max 1 i m n a ij, j=1 h 1

29 3.1. A DIFFERENCIÁLHATÓSÁG DEFINÍCIÓJA 9 Bizonyítás. a 11 a 1... a 1n x 1 a 11 x 1 +a 1 x + +a 1n x n A x = a 1 a... a n x = a 1 x 1 +a x + +a n x n.. (3.1.11) a m1 a m... a mn x n a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n Tehát az A x j-edik sorára igaz a következ (A x) j = a j1 x 1 +a j x + +a jn x n a j1 x 1 + a j x + + a jn x n (3.1.1) a j1 x + a j x + + a jn x ( a j1 + a j + + a jn ) x, j = 1,..., m. (3.1.13) Innen A x max ( a j1 + a j + + a jn ) x = α x. (3.1.14) 1 j m A tétel bizonyítása. Tegyük fel, hogy f dierenciálható az a-pontban, akkor a denició alapján f(a+h) f(a) = = L(h)+ε(h) h, ahol az ε : K δ (θ n ) R m függvényre teljesül a lim h θn ε(h) = θ m = ε(θ n ) feltétel. Legyen h = x a θ n ha x a, ekkor felhasználva az el bbi Lemmát f(x) f(a) = A(x a)+ε(h). h A(x a) + ε(h) x a α x a + + ε(h) x a. (3.1.15) Következésképpen f folytonos a-ban. Amint már a valós változós valós érték függvények esetében tisztáztuk, a folytonosság a dierenciálhatóság szükséges, de nem elégséges feltétele. Ez többváltozós függvények esetén is igaz. Ennek indoklására kés bb adunk egy példát, amely esetében a f egy adott pontban folytonos, de nem dierenciálható Tétel. Ha az f dierenciálható az a U U pontban akkor a denícióban szerepl A mátrix egyértelm en meghatározott. A dierenciálhatóság deníciója a következ vel ekvivalens: Deníció. Az f : U R m dierenciálható a-ban, ha létezik A M m n mátrix úgy, hogy Tétel. Az f : U R m f(a+h) f(a) A h lim =. h θ n h f 1 (x) f (x) f(x) =. f m (x) dierenciálható az a U U -ean és a derivált mátrixa ebben a pontban a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n , a m1 a m... a mn akkor és csak akkor, ha az f függvény f i koordináta függvényei is dierenciálhatók az a-ban és a teljes dierenciálja f i(a) h = a i1 h 1 +a i h +...+a in h n.

30 3 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Megjegyzés. 1. Az f : U R, U R n n-változós valós érték függvény deriváltmátrixát az a U pontban az f gradiensének nevezzük. A gradiens egy n dimenziós vektor és a következ képpen jelöljük f (a) := (gradf)(a).. Az f :U R m, U R egy változós vektor érték függvénynek, a derivált mátrixa egy oszlopmátrix: f 1(a) f (a).. f m(a) 3.. Iránymenti deriváltak. Parciális deriváltak Legyen f : U R m, U R n nyílt halmazon értelmezett függvény, e R n egy egységvektor e = 1. Az a U ponton áthaladó e irányvektorú egyenes az a + te, t R pontok összessége. Az r-et úgy választjuk meg, hogy az a+et U, ha t < r. Tekintsük az f függvény lesz kítését ennek az egyenesnek arra a szakaszára amely benne van az U-ban. Ez egy alakú egyválatozós függvény lesz. F (t) := f(a+te), t < r (3..1) Deníció. Ha F : ( r, r) R m, F (t) = f(a + te) valós változós vektor érték függvény dierenciálható a -ban, akkor azt mondjuk, hogy f-nek létezik az e irány mentén vett iránymenti deriváltja. Az F ()-t az f e iránymenti deriváltjának nevezzük és e f(a) szimbólummal jelöljük. Az el z denícióból és a valósváltozós vektorérték függvények deriváltjának deníciójából (lásd (1.3.)) adódik, hogy az a pontban vett e iránymenti deriváltat, ha létezik, a következ képpen számítjuk ki: e f(a) = F f(a+te) f(a) () = lim, (3..) t t ahol a lim alatti m veletet a következ képpen értjük: a tört számlálójában lev vektort szorozzok az 1/t skalárral 3.1. Példa. Határozzuk meg az f(x 1, x )=5x 1 +3x +x 1x 3 függvény jelzett irány szerinti deriváltjait a megadott pontokban: a) a = (a 1, a ) pontbeli, e = (e 1, e ) egységvektor szerinti, b) a = (1,) pontbeli d = (4, 3) irány menti, c) a = (1, ) pontbeli és az Ox tengelyel 6-fokos szöget bezáró egységvektor. a) A deníció alapján e f(a) = F (), ahol Az F függvény deriváltja F (t) = f(a+te) = 5(a 1 +te 1 )+3(a +te )+(a 1 +te 1 ) (a +te ) 3. F (t) = 5e 1 +3e +e 1 (a 1 +te 1 )(a +te ) 3 +3e (a 1 +te 1 ) (a +te ),

31 3.. IRÁNYMENTI DERIVÁLTAK. PARCIÁLIS DERIVÁLTAK 31 tehát e f(a) = F () = 5e 1 +3e +e 1 a 1 a 3 +3e a 1a. b) A d = (4,3) vektor hossza d = 4 +3 = 5, a d irányában mutató egységvektor e = d d = = ( 4 5, 3 5 ). e f(a) = F () = = 5e 1 +3e +e 1 a 1 a 3 +3e a 1a = = c) Az Ox tengellyel 6-fokos szöget bezáró egység vektor e = (cos 6, sin 6 ) = ( 1, 3 ). e f(a) = F () = = 5e 1 +3e +e 1 a 1 a 3 +3e a 1a = = Tétel. Ha az f :U R m, U R n nyílt halmaz valamely a pontjában dierenciálható, akkor bármely e irány mentén létezik az iránymenti deriváltja és e f(a) = f (a) e. (3..3) Bizonyítás. A feltétel alapján F (t) = f(a + te) két dierenciálható függvény közvetett függvénye, ezért deriválható a t = -ban. A közvetett függvény deriválási szabálya alapján (amit a kes bbiekben igazolunk vektorváltozós esetre is) e f(a) = F () = f (a+te) t= (a+te) t= = f (a) e. (3..4) A síkban két nevezetes irány van, mégpedig az az Ox és Oy tengelyek által meghatározott irányok. Ezen irányoknak megfelel egységvektorok { e 1 = (1,). (3..5) e = (,1) Tekinsük az e 1 iránymenti deriváltat. A deníció alapján, az a = (a 1, a ), a+te 1 = (a 1, a )+(t,) = = (a 1 +t, a ) jelölésekkel, f(a 1 +t, a ) f(a 1, a ) e1 f(a) = lim, (3..6) t t vagyis az e 1 iránymenti derivált kiszámításakor úgy tekintjük, hogy a második változó konstans, és az els változó szerint deriválunk. Hasonlóan az e szerinti iránymenti derivált esetén, az a+t[e] = (a 1, a )+(, t) = (a 1, a +t) jelölésekkel, f(a 1, a +t) f(a 1, a ) e f(a) = lim, (3..7) t t vagyis az e iránymenti derivált kiszámításakor úgy tekintjük, hogy az els változó konstans, és a második változó szerint deriválunk Deníció. Legyen f : U R, U R. Akkor az a U U pontbeli e 1 iránymenti deriváltat az f els változója szerinti parciális deriváltjának nevezzük és a x1 f(a) = f (a) = f f(a 1 +t, a ) f(a 1, a ) x x 1 (a) := e1 f(a) = lim 1 t t (3..8)

32 3 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG szimbólumokkal jelöljük. Az e iránymenti deriváltat az f második változója szerinti parciális deriváltjának nevezzük és a x f(a) = f (a) = f f(a 1, a +t) f(a 1, a ) x x (a) := e f(a) = lim (3..9) t t szimbólumokkal jelöljük. 3.. Példa. Számítsuk ki az f(x 1, x ) = 5x 1 +3x +x 1x 3 függvény parciális deriváltjait! Az x 1 szerinti parciális derivált az (1,) iránymenti derivált, az el z példa alapján f x 1 = 5+x 1 x 3, az x szerinti parciális derivált az (,1) iránymenti derivált f x = 3+3x 1x. Ugyanerre az eredményre jutunk ha a f x 1 kiszámításakor úgy tekintjük, hogy az x = konstans és az x 1 változó szerint deriválunk. A f x kiszámításakor úgy tekintjük, hogy az x 1 = konstans, az x változó szerint deriválva azt kapjuk, hogy: f = 3+3x x 1x. A gyakorlatban a parciális deriváltak kiszámításakor mindig ez utóbbi módszert szoktuk használni. A parciális deriváltak, iránymenti deriváltak geometriai jelentése Az f : D R, D R nyílt halmaz, függvény (x, y ) D pontbeli x változó szerinti parciális deriváltja a z =f(x, y) felület és az y = y egyenlet sík metszésvonalának, azaz a x = t, y = y, z = f(t, y ), (t, y ) D egyenlet görbének az x ponthoz tartozó érint jének a meredeksége. Az (x, y ) pontbeli y változó szerinti parciális deriváltja a z = f(x, y) felület és az x = x egyenlet sík metszésvonalának, azaz a x = x, y = t, z = f(x, t), (x, t) D egyenlet görbének az y ponthoz tartozó érint jének a meredeksége. Kétváltozós valós érték függvények esetén az iránymenti deriváltaknak a következ a geometriai jelentésük: legyen S 1 a z = f(x, y) függvény által meghatározott térbeli felület, a = f(a) S 1, e egy egységvektor, e az a pontból kiinduló e-vel párhuzamos egységvektor. Legyen S az a sík, amely párhuzamos a z tengellyel, az e egységvektorral és áthalad az a ponton. Tekintsük az S 1, S metszete által meghatározott: Γ 1 = S 1 S görbét. Ekkor e f(a) a Γ 1 görbe a pontjához tartozó iránytangensével egyenl. Az n-dimenziós térnek tekintsük az e 1 = (1,,,...,) e = (,1,,...,) (3..1). e n = (,,,...,1) bázisvektorait.

33 3.3. KAPCSOLAT A DERIVÁLTMÁTRIX ÉS A PARCIÁLIS DERIVÁLTAK KÖZÖTT Deníció. Legyen f : U R m, U R n nyílt halmaz, a = (a 1, a,..., a n ) U. Akkor az e i, i {1,,..., n}, iránymenti deriváltját az f i-dik változója szerinti parciális deriváltjának nevezzük amelyet a következ szimbólummal jelöljük és a következ képpen számolunk ki: f x i (a) = f x i (a) := ei f(a) = f(a 1,..., a i 1, a i +t, a i+1,..., a n ) f(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n ) = lim. t t Az i-edik változó szerinti parciális derivált kiszámításakor a gyakorlatban úgy járunk el, hogy az x i változó kivételével mindegyik változót konstansnak tekintjük és az x i változó szerint deriválunk Kapcsolat a deriváltmátrix és a parciális deriváltak között Tétel. Ha az f : U R m, U R n nyílt halmaz, dierenciálható az a U pontban, akkor a koordináta függvényeinek léteznek a parciális deriváltjai az a pontban, és a derivált mátrix és a

34 34 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG koordináta függvények parciális deriváltjai közti kapcsolat a következ : f 1 f x 1 (a) 1 f x (a)... 1 x n (a) f f f x 1 (a) f x (a)... x n (a) (a) = (3.3.1) f m f x 1 (a) m f x (a)... m x n (a) Bizonyítást lásd [17], 1. oldal Megjegyzés. Az el z tétel alapján az n-változós valós érték függvény gradiensét az a pontban a következ képpen fejezhetjük ki a a parciális deriváltak segítségével: ( f1 gradf(a) = (a), f 1 (a),..., f ) 1 (a) = ( f x x 1 x x 1 (a), f x (a),..., f x n (a) ). n Megjegyzés. Az el z tétel és a 3..4 alapján az n-változós valós érték függvény a pontbeli e = (e 1, e,..., e n ) egységvektor irányában mutató iránymenti deriváltját a következ képpen fejezhetjük ki a parciális deriváltak segítségével: e f(a) = gradf(a), e = f x 1 (a)e 1 +f x (a)e +...+f x n (a)e n. Innen következik, hogy a gradiens a függvény legnagyobb növekedésének irányába mutat. Ez azt jelenti, hogy az iránymenti derivált a gardiens vektor irányában a legnagyobb! Ekkor az iránymenti derivált értéke a gardiens vektor hosszával egyenl. A tétel fordítottja nem igaz. A parciális deriváltak létezéséb l még nem következik, hogy a függvény dierenciálható. A parciális deriváltak létezése a dierenciálhatóság szükséges, de nem elégséges feltétele. S t a parciális deriváltak létezéséb l még a függvény folytonossága sem következik. Igaz azonban a következ állítás, amely a dierenciálhatóság egy elégséges feltétele: Tétel. Ha az f : U R m, U R n, a U pont környezetében léteznek a parciális deriváltjai és azok folytonosak az a pontban, akkor f dierenciálható az a-ban. Bizonyítást lásd [17], 14. oldal. Példa olyan függvényre, amely folytonos de nem dierenciálható Példa. Az f(x, y) = x +y függvény a (,) pontban folytonos, de nem dierenciálható. Valóban, f-nek létezik a (,) pontban határértéke és ez egyenl f(,)-val El bb észrevesszük, hogy létezik lim f(r cos θ, r sin θ) = lim r (cos θ +sin θ) = lim r =, r r r és független θ-tól. A határérték deníciója alapján igazolható, hogy lim (x.y) (,) f(x, y) =, tehát f folytonos (,)-ban. Most megmutatjuk, hogy f nem dierenciálható (,)-ban. Ehhez elegend belátni, hogy valamelyik parciális derivált nem létezik. A deníció alapján vizsgáljuk az x-szerinti parciális derivált létezését a (, )-pontban: f(x,) f(,) lim = lim x x x x + x x = lim x x. Ha x + akkor fenti határérték 1, ha pedig x akkor fenti határérték 1, ahonnan következik, hogy nem létezik az x szerinti parciális derivált. Hasonlóan igazoljuk, hogy az y szerinti parciális

35 3.3. KAPCSOLAT A DERIVÁLTMÁTRIX ÉS A PARCIÁLIS DERIVÁLTAK KÖZÖTT 35 derivált sem létezik. Az tétel alapján ha a parciális deriváltak nem léteznek, akkor a függvény nem dierenciálható. Adott pontbeli parciális deriváltak létezése nem vonja maga után a dierenciálhatóságot, s t még a folytonosságot sem. Példa olyan függvényre, amelynek adott pontban léteznek a parciális deriváltjai, de nem folytonos, következésképpen nem is dierenciálható az adott pontban Példa. Igazoljuk, hogy a következ függvénynek a (,) pontban léteznek a parciális deriváltjai, de nem folytonos a (,)-ban: f(x, y) = {, ha x y = 1, ha x y. Valóban az x-szerinti parciális derivált denicíó alapján f(x,) f(,) lim = lim x x x x =, tehát f x(,) =, hasonlóan f y(,) =. A folytonosság vizsgálatához tekintsük az alábbi két speciális irány szerinti határértéket: 1. vizsgáljuk a függvény határértékét, ha az y = egyenes mentén tartunk a (,)-hoz lim f(x,) =, (x,) (,). vizsgáljuk a függvény határértékét, ha az y = x egyenes mentén tartunk a (,)-hoz lim f(x, x) = 1. (x,x) (,) Mivel ezek különböz ek, ezért az f függvénynek a (,)-ban nincs határértéke, tehát nem folytonos a (,)-ban. Mivel az f nem folytonos a (,)-ban, ezért ott nem is deriválható. Példa olyan függvényre amely az adott pontban folytonos, léteznek a parciális deriváltjai de nem dierenciálható Példa. Igazoljuk, hogy a következ függvény folytonos a (,)-ban, a (,) pontban léteznek a parciális deriváltjai, de nem dierenciálható: Eszrevesszük, hogy létezik f(x, y) = { xy x +y, ha x +y ha x +y =. r cos θ sin θ lim f(r cos θ, r sin θ) = lim r r r cos θ +r sin θ = lim r cos θ sin θ =, r r és független θ-tól. A határérték deníciója alapján igazolható, hogy lim (x.y) (,) f(x, y) =, tehát f folytonos (,)-ban. A parciális deriváltakat a deníció alapján határozzuk meg: f x(,) f(x,) f(,) = lim = lim x x x x =, f y(,) f(, y) f(,) = lim = lim y y y y =.

36 36 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Tehát a parcális deriváltak a (,) pontban léteznek és -val egyenl ek. Tegyük fel, hogy f differencálható (,)-ban. Ekkor a deníció alapján, ha h = (h 1, h ) (,) akkor a következ kellene teljesüljön: f(h 1, h ) f(,).h 1 h lim = lim (h 1,h ) (,) h 1 +h (h 1,h ) (,) h 1.h h 1 +h =. Ez azonban ellentmondás, mivel lim (h1,h ) (,) h 1.h nem. Ez azonnal következik, abból hogy, h 1 +h ha h 1 = h = h irány mentén számoljuk a határértéket, akkor lim (h,h) (,) h h = 1. Ha egy a pont környezetében léteznek a parciális deriváltak és folytonosak a-ban, akkor a 3.3. tétel alapján a függvény dierenciálható a-ban Példa. Igazoljuk, hogy az f(x, y) = xy+y függvény minden a = (a 1, a ) pontban dierenciálható. Számítsuk ki a gradiensét (derivátmátrixát) és a teljes dierenciálját általában a-ban, majd az a = (1,3) pontban. Kiszámítjuk a parciális deriváltakat: f x = y, f y = x+y. Mivel a parciális deriváltak léteznek és folytonosak bármely a = (a 1, a ) pont környezetében, a 3.3. tétel alapján f dierenciálható a-ban. A a tétel alapján az a pontbeli derivált mátrixa egy 1 -es mátrix f (a) = (a 1 a 1 +a ), a gradiense a következ vektor a totális derivált vagy dierenciál gradf(a) = (a 1, a 1 +a ), L(h 1, h ) = f x(a)h 1 +f y (a)h = a 1 h +(a 1 +a )h. Az a = (1,3) pontban a derivált mátrix f (1,3) = (1 7), a dierenciál L(h 1, h ) = 1.h 1 +7.h. A parciális deriváltak folytonossága a dierenciálhatóság elégséges de nem szükséges feltétele Példa. Igazoljuk, hogy az f(x, y) = { (x y) sin 1 x y,, x = y x y függvénynek léteznek a (,) pont környezetében a parciális deriváltjai, nem folytonosak a (,) pontban, de a függvény mégis dierenciállható a (,)-ban. Ha x y, akkor f x = (x y) sin 1 x y cos 1 x y, f y = (x y) sin 1 x y +cos 1 x y.

37 3.3. KAPCSOLAT A DERIVÁLTMÁTRIX ÉS A PARCIÁLIS DERIVÁLTAK KÖZÖTT 37 Ha x = y, akkor a parciális deriváltakat a deníció alapján számítjuk ki: f x(x, f(x+h, x) f(x, x) h sin(1/h) x) = lim = lim =, h h h h Tehát: f y(x, f(x, x+h) f(x, x) h sin( 1/h) x) = lim = lim =. h h h h f x(x, y) = f x(x, y) = { (x y) sin 1 cos 1 x y, x = y x y, { (x y) sin 1 +cos 1 x y, x = y. x y, x y x y Most igazoljuk, hogy az f x, f y nem folytonosak a (,)-ban. Észrevesszük, hogy ha az x = y egyenes mentén tartunk a (,) ponthoz, akkor a lim f x(h, h) = lim ( h sin( 1/h) cos( 1/h)) = lim ( cos(1/h)), h h h lim f y(h, h) = lim (h sin( 1/h)+cos( 1/h)) = lim (cos(1/h)), h h h határértékek nem léteznek, ezért f x, f y nem folytonosak a (,)-ban. A (,) pontbeli dierenciálhatóságot a deníció alapján vizsgáljuk: f(x, y) f(,) f x(,)x f y(,)y (x y) = x sin 1, x y +y x y x +y, x = y. Mivel ezért (x y) x +y sin 1 x y (x +y ) x +y = x +y, f(x, y) f(,) f x(,)x f lim y(,)y =. (x,y) (,) x +y f dierencálható a (,)-ban, annak ellenére hogy az f x, f y nem folytonosak a (,)-ban Példa. Tanulmányozzuk az f : R 3 R, f(x, y, z) = (x cos y, y +sin z) függvény dierenciálhatóságát, számítsuk ki a deriváltmátrixát. Az f egy (x, y, z) háromdimenziós vektorhoz az f(x, y, z)=(f 1 (x, y, z), f (x, y, z)) kétdimenziós vektort rendeli hozzá, ahol f 1 (x, y, z)=x cos y, f (x, y, z)=y+sin z. Az f 1, f -nek bármely pontban léteznek a parciális deriváltjai és folytonosak, ezért f dierenciálható. A derivált mátrixa egy 3-as mátrix lesz, amelynek elemei: f (x, y, z) = ( f1 x f x f 1 y f y f 1 z f z ) = ( ) cos y x sin y. (3.3.) 1 cos z

38 38 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Érint sík egyenlete Legyen f : D R egy dierenciállható függvény, ahol D R nyílt halmaz és (x, y ) D. A z = f(x, y) felület és az y = y egyenlet sík metszésvonala az a görbe, amelynek paraméteres egyenlete x = t, y = y, z = f(t, y ), (t, y ) D. Az f függvény (x, y ) pontbeli x változó szerinti parciális deriváltjával kifejezhet a görbe x ponthoz tartozó érint jének az irányvektora: a 1 = = (1,, f x(x, y )). Az f függvény (x, y ) pontbeli y változó szerinti parciális deriváltjával kifejezhet az x=x, y= = t, z = f(x, t), (x, t) D, paraméteres egyenlet görbének az y ponthoz tartozó érint jének az irányvektora: a = (, 1, f y(x, y )). Az (x, y ) ponthoz tartozó érint sík normálvektora a fenti érint k irányvektorainak vektori szorzata: n = a a 1 = (f x(x, y ), f y(x, y ), 1). Innen következik, hogy a z = f(x, y) felülethez az (x, y, f(x, y )) ponthoz tartozó érint sík egyenlete : z = f(x, y )+ f x (x, y )(x x )+ f y (x, y )(y y ). (3.3.3) Az érint sík egyenletének még részletesebb levezetését lásd például [11]-ben vagy [4]-ban Példa. Határozzuk meg a z = arctan y x felület (1, 3) pontjához tartozó érint síkjának egyenletét. A függvény (1, 3) vett behelyettesítési értéke z = f(1, 3) = arctan 3 = π 3, Kiszámítjuk a parciális deriváltakat a megadott pontban: Ezek behelyettesítési értéke az (1, 3) pontban f x = 1 ( y ) 1+( y = x y x ) x x x +y x = y x +y, f y = 1 ( y ) 1+( y = x 1 x ) x y x +y x = x x +y. f x (1, 3) = 3 4, f y (1, 3) = 1 4. Az érint sík egyenlete z = π (x 1)+ 1 4 (y 3) A közvetett függvény derivált mátrixa Tekintsük az U R n és V R m nyílt halmazokat Tétel. Ha f : U V dierenciálható az a U-ban és g : V R k dierenciálható a b = = f(a) V -ben, akkor a g f : U R k diferenciálható a-ban és (g f) (a) = g (f(a)) f (a).

39 3.4. A KÖZVETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLT MÁTRIXA 39 Bizonyítás. Mivel f (a) egy m n-es, g (f(a)) egy k m-es mátrix, ezért el lehet végezni a g (f(a)) f (a) mátrixszorzást és az eredmény egy k n-es mátrix lesz, amely megegyezik a (g f) (a) mátrix rendjével. Most kimutatjuk, hogy a jobb és bal oldalon szerepl k n-es mátrixok egyenl ek. Mivel f dierenciálható a-ban a deníció alapján f(a+h) f(a) = A h+ε 1 (h) h, (3.4.1) ahol, A = f (a), ε 1 (θ n ) = θ m és ε 1 folytonos θ n -ban. Hasonlóan a deníció alapján, mivel g dierenciálható b-ben g(b+l) g(b) = B l+ε (l) l, (3.4.) ahol B = g (b) = g (f(a)), ε (θ m ) = θ k és ε folytonos θ m -ben. Válasszuk l-t a következ módon: Ekkor f(a+h) = f(a)+l = b+l és így: l := f(a+h) f(a). g f(a+h) g f(a) = g(f(a+h)) g(f(a)) = g(b+l) g(b) = B l+ε (l) l = = B (f(a+h) f(a))+ε (f(a+h) f(a)) f(a+h) f(a) = = B (Ah+ε 1 (h) h )+ε (f(a+h) f(a)) A h+ε 1 (h) h = = B A h+bε 1 (h) h + h ε (f(a+h) f(a)) A h h +ε 1(h) = ( ) = B A h+ Bε 1 (h)+ε (f(a+h) f(a)) A h h +ε 1(h) h. (3.4.3) Legyen ε(h) := Bε 1 (h)+ε (f(a+h) f(a)) Ah h +ε 1(h). (3.4.4) Igazolni fogjuk, hogy lim ε(h)=θ k. Valóban, mivel ε 1 (h) θ m miközben h θ n, ezért lim Bε 1 (h)= h θ n h θ n = θ k, tehát az ε(h) els tagja tart θ k -hoz ha h θ n. Azt, hogy a második tag is tart θ k -hoz, ha h θ n a következ képpen igazoljuk: Az f a pontbeli dierenciálhatóságából következik az f a pontbeli folytonossága, tehát lim (f(a+h) f(a)) = θ m. h θ n Mivel ε folytonos θ m -ben és ε (θ m ) = θ k, az el z alapján lim ε (f(a+h) f(a)) = θ k. h θ n Be fogjuk látni, hogy Ah h +ε 1(h) korlátos. Ennek érdekében a háromszög egyenl tlenséget alkalmazzuk és azt kapjuk, hogy: Ah h +ε 1(h) Ah h + ε 1(h). Figyelembe véve azt, hogy Ah α h, ahol α = max i=1,m n a ij j=1

40 4 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG az következik, hogy Ah h α. A ε 1 (h) korlátos mert tart θ m -hez ha h θ n, következésképpen korlátos θ n környezetében. Tehát Ah h +ε 1(h) valóban kolátos és lim ε(h) = θ k. A fentiek alapján g f dierenciálható a-ban és h θ n (g f) (a) = B A = g (f(a)) f (a) Példa. Tegyük fel, hogy az f : R R, t (x(t), y(t)) és a g : R R, (x, y) g(x, y) függvények dierenciálhatók. Határozzuk meg a (g f) (t)-t. A (g f)(t) = g(x(t), y(t)) függvény deriváltját az f és g deriváltmátrixai segítségével számítjuk ki: ( ) x f (t) = (t) ( ) y g (x, y) = g g (t) x y. A fenti tétel alapján (g f) (t) = ( g x ) ( ) g x y (t) y = g dx (t) x dt + g dy y dt Példa. Tegyük fel, hogy az f :R R, (s, t) (x(s, t), y(s, t)) és a g:r R, (x, y) g(x, y) függvények dierenciálhatók. Határozzuk meg a (g f) (s, t)-t. A (g f)(s, t) = g(x(s, t), y(s, t)) függvény deriváltját az f és g deriváltmátrixai segítségével számítjuk ki: ( x ) f x ( ) (s, t) = s t g (x, y) = g g x y. A fenti tétel alapján Innen (g f) (s, t) = ( g x y s ) g y y t ( x s y s x t y t g(x(s, t), y(s, t)) s g(x(s, t), y(s, t)) t ) = ( g x + g y x s y s = g x x s + g y y s, = g x x t + g y y t. g x + g x t y ) y t Példa. Legyen g : R 3 R : (u, v, w) u v +w és f : R 3 R 3 : (x, y, z) (x 3, xy, e z ). Számítsuk ki a g f deriváltmátrixát. Legyen f(x, y, z)=(f 1 (x, y, z), f (x, y, z), f 3 (x, y, z)), ahol f 1 (x, y, z)=x 3 =u, f (x, y, z)=xy =v, f 3 (x, y, z) = e z = w. Akkor a g f deriváltmátrixa: (g f) (x, y, z) = ( g u g v g v) f 1 x f x f 3 x f 1 y f y f 3 y f 1 z f z f 3 z = ( 3x u v w ) y xy = ( 6x 5 xy 4 4x y 3 e z). e z

41 3.4. A KÖZVETETT FÜGGVÉNY DERIVÁLT MÁTRIXA Feladat. Hol léteznek a következ függvények parciális deriváltjai, hol dierenciálhatók? A megadott pontokban számítsuk ki a parciális a deriváltak értékét és írjuk fel a teljes dierenciáljukat. 1) f(x, y) = 3x 3 xy, a = ( 1,3) ) f(x, y) = ln x y, a = (,1) 3) f(x, y) = e xy, a = (,4) 5) f(x, y) = x +y 4, a = (1,) 6) f(x, y) = x cos xy, a = (1, π 4 ) 7) f(x, y) = xy x +y, a = (,). 3.. Feladat. Hol léteznek a következ függvények parciális deriváltjai, hol dierenciálhatók, ezekben a pontokban írjuk fel a deriváltmátrixukat és a teljes dierenciáljukat. 1) f(x, y) = x y +4xy ) f(x, y, z) = x +y +z 3) f(x, y) = ln xy +x y 4) f(x, y) = arctan x y 5) f(x, y) = x 4 +y 4 6) f(x, y) = { x 4 +y xy, ha(x, y) (,) x 7) f(x, y) = +y, ha(x, y) = (,) { x y, ha(x, y) (,) x 8) f(x, y) = +y, ha(x, y) = (,) { xy, ha(x, y) (,) x 9) f(x, y) = 4 +y 4, ha(x, y) = (,) {e 1 x 1) f(x, y) = +y, ha(x, y) (,), ha(x, y) = (,) 11) f(x, y, z) = (e x+z +y, cos(x+y +z) sin(x z)) 1) f(x, y) = (x y, sin xy, ln(x +y )) 13) f(x, y, z) = ( x +y, sin(y +z ), cos(z x)) Feladat. Számítsuk ki a következ függvények parciális, iránymenti deriváltjait a megadott pontokban és a megadott irányok mentén, valamint írjuk fel a megadott pontokhoz tartozó érint sík egyenletét. 1) f(x, y) = x, x +y a = (1,), e = ( 1), 3 ) f(x, y) = ye x +y, a = (1,), d = (3, 4) 3) f(x, y) = y x, a = (,3), d = (1,1) 4) f(x, y) = (cos x) sin y, a = (, π), e egységvektor az és az Ox által közrezárt szög π 4 6 4) f(x, y) = arcsin x, a = (1,), e egységvektor az és az Ox által közrezárt szög π. y Példa. A Maple-lel a következ utasítások segítségével oldjuk meg például a ) alpontot: >f[x,y]:=y*exp(x^+y^); > D_x:=Diff(f[x,y],x)=diff(f[x,y],x);

42 4 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG > D_y:=Diff(f[x,y],y)=diff(f[x,y],y); >a:=subs(x=1,y=,d_x); > b:=subs(x=1,y=,d_y); >abs_d:=sqrt(3^+4^); > D_{irany}:=a*(3/5)+b*(4/5); > evalf(d_{irany}); 3.4. Feladat. Tekintsük az f, g, függvényeket. a) Mutassuk meg, hogy f, g dierenciálható, számítsuk ki az f, g derivált mátrixukat. b) Határozzuk meg a h = g f függvényt, mutassuk ki, hogy dierenciálható. c) Számítsuk ki a h derivált mátrixát, ha 1) f, g : R R, f(x, y) = (x y, e y x ) és g(u, v) = (v cos u, ue v ) ) f : R 3 R, g : R R, f(x, y, z) = (x yz, e y x+z ) és g(u, v) = (v +u, uv) 3) f, g : R 3 R 3, f(x, y, z) = (xyz, e y x, cos z) és g(u, v, w) = (vw sin u, uwe v, u w ) A dierenciálszámítás középérték-tételei Ismeretes, hogy valós változó valós érték függvények esetén igaz az ú.n. Lagrange-féle középérték tétel: Tétel. Ha f : [a, a+h] R a) f folytonos [a, a+h]-n és b) f dierenciálható (a, a+h)-n, akkor létezik τ (,1) úgy, hogy f(a+h) f(a) = f (a+τh) h. Megmutatjuk, hogy n-változós valós érték függvények esetére ez a tétel általánosítható. Továbbá megmutatjuk, hogy n-változós vektor érték függvények esetén a tétel nem igaz, csak egy becslést lehet adni a f(a+h) f(a) kifejezésre Tétel. Legyen f :U R, U R n nyílt halmaz, a U, h=(h 1,..., h n ) T. Ha f dierenciálható az [a, a+h] = {a+th, t [,1]} U halmazon, akkor létezik τ (,1) úgy, hogy f(a+h) f(a) = f (a+τh)h = ( 1 f(a+τh),..., n f(a+τh)). = n j f(a+τh) h j. j=1 h 1 h n = (3.5.1)

43 3.5. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÖZÉPÉRTÉK-TÉTELEI 43 Bizonyítás. Tekintsük az F (t) = f(a+th), F : [,1] R valós változós, valós érték segédfüggvényt. F az f függvény [a, a+h] szakaszra vett lesz kítése. Mivel F két dierenciálható függvény összetettje, ezért maga is dierenciálható a [,1]-en, tehát teljesíti a valós változós, valós érték függvényekre igazolt Lagrange-tétel feltételeit. Ennek alapján létezik τ (,1) úgy, hogy F (1) F () = F (τ)(1 ). Mivel F (1) = f(a+h), F () = f(a), ezért a fentiek alapján f(a+h) f(a) = f (a+τ h) h = n = j f(a+τ h) h j j=1 A vektor érték függvényekre a középérték-tétel analogonja általában nem igaz. Ezt a következ példa jól tükrözi: cos t Példa. Tekintsük az f(t) = sin t csavargörbét. Válasszuk ki a görbén az f(t 1 ), f(t ) t pontokat úgy, hogy az ket összeköt szakasz legyen párhuzamos az Oz tengellyel. Ez a feltétel például a t 1 := a, t = a+h, h = π, feltétel mellett teljesül. Ekkor f(t ) f(t 1 ) =. π A függvény deriváltmátrixa: sin t f (t) = cos t, 1 ezért nem létezik olyan τ (,1), amelyre igaz lenne az f(t ) f(t 1 ) = f (a+τπ) π egyenl ség. Vektor érték függvények esetére csak a következ t tudjuk igazolni: Tétel. Legyen f : U R m, U R n, [a, a+h] U, f dierenciálható [a, a+h]-n. Ekkor f(a+h) f(a) sup f (a+th) h, t (,1) ahol a baloldalon az m-dimenziós vektor maximum normáját értjük, a jobboldalon f (a + th) a derivált mátrix normája, illetve h az n-dimenziós vektor maximum normája. f 1 (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) Bizonyítás. Tekintsük az f(x 1, x,..., x n ) = n-változós vektor érték függvényt. Mivel f dierenciálható az [a, a+h]-n ezért a koordináta függvények az f i k, i = 1, m,. f m (x 1,..., x n ) is

44 44 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG dierenciálhatók [a, a + h]-n. Mivel a koordináta függvények valós érték ek, ezért ezekre tudjuk alkalmazni az el z tételt, így léteznek τ j (,1) értékek j = 1, n úgy, hogy n f j (a+h) f j (a) = i f j (a+τ j h) h j i=1 n i f j (a+τ j h) h j Innen következik, hogy i=1 h n i f j (a+τ j h) i=1 f (a+τ j h) h sup f (a+τh) h. τ (,1) f(a+h) f(a) sup f (a+th) h. t (,1) 3.6. Többváltozós függvények magasabbrend deriváltjai Kétszer dierenciálható függvények Ebben a fejezetben olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyeknek léteznek a parciális deriváltjai és azoknak is léteznek a parciális deriváltjai. Például tekintsük az f : R R, f(x, y) = x 3 y +xe y függvényt. Az els rend parciális deriváltjai x f = f x = f x = 3x y +e y y f(x, y) = f y = f y = x 3 y +xe y. Ezen parciális deriváltaknak ki lehet számolni még egyszer az x és y változó szerinti parciális deriváltját. Ezeket másodrend parciális deriváltaknak nevezzük, és a következ képpen jelöljük: x x f = f x = f xx = ( ) f = 6xy, x x y x f = f y x = f yx = ( ) f = 6x y +e y, y x x y f = f x y = f xy = ( ) f = 6x y +e y, x y y y f = f y = f yy = ( ) f = x 3 +xe y. y y Amikor egymásután kétszer ugyanazon változó szerint végezzük a parciális deriválást, akkor az ún. tiszta másodrend parciális deriváltakat számoljuk. Ha egymásután két különböz változó szerint végezzük a parciális deriválást az ún. vegyes másodrend parciális deriváltakat számoljuk. A fenti példában észrevesszük, hogy a vegyes másodrend parciális deriváltak egyenl ek. Kérdés: Igaz-e általában, hogy a vegyes másodrend parciális deriváltak egyenl ek? Milyen feltétel mellett teljesül az egyenl ségük? Miel tt a kérdést megválaszolnánk megadjuk a pontos denicíót.

45 3.6. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MAGASABBREND DERIVÁLTJAI Deníció. Tekintsük az f : U R, U R n nyílt halmazon értelmezett, n-változós valós érték függvényt. Ha x U pontban f dierenciálható, azaz létezik az f (x) = ( 1 f(x), f(x),..., n f(x)) és az f (x) az a U pontban dierenciálható, akkor f kétszer dierenciálható a-ban. A parciális deriváltak parciális deriváltjait másodrend parciális deriváltaknak nevezzük és a következ képpen jelöljük: j i f = f x j x i = f x j x i := Ha f kétszer dierenciálható az U halmaz minden pontjában, akkor f kétszer dierenciálható U-n. Ekkor az 1 1 f(x) 1 f(x)... n 1 f(x) f (x) := (f (x)) 1 f(x) f(x)... 1 f(x) = (3.6.1). 1 n f(x) n f(x)... n n f(x) x j mátrixot az f másodrend deriváltmátrixának nevezzük. A fenti kérdésre a következ tétel ad választ: Tétel. Ha az f : U R, (U R n nyílt halmaz), függvény kétszer dierenciálható az a U pontban akkor a i j f(a) = j i f(a), i, j = 1,..., n, i j. (3.6.) A tétel azt mondja, ki hogy ha az f kétszer dierenciálható a-ban, akkor az a pontbeli másodrend vegyes parciális deriváljainak kiszámításakor az eredmény független a változók szerinti parciális deriválás sorrendjét l. Ebb l az következik, hogy az f (a) másodrend deriváltmátrix szimmetrikus a f átlóra nézve. Bizonyítás A bizonyítást kétváltozós valós érték függvények esetére végezzük el, azzal a megjegyzéssel, hogy hasonló gondolatmenettel igazoljuk a tételt n változó esetén is. Tegyük fel tehát, hogy f :U R, (U R nyílt halmaz), függvény kétszer dierenciálható az a=(a 1, a ) U pontban. Vezessük be a ( f (h, k) = f(a 1 +h, a +k) f(a 1 +h, a ) f(a 1, a +k)+f(a 1, a ), (h, k K r (), K r (a) U) segédfüggvényt. A parciális deriváltak deníciója alapján ( 1 1 f(a) = lim h h lim (h, k) k k lim h x i ), 1 f(a) = lim k ). ( 1 k lim h ) (h, k). h Ki fogjuk mutatni, hogy ha f kétszer dierenciálható az a = (a 1, a ) pontban, akkor létezik a (h, h), és ez kétféleképpen fejezhet ki: h (h, h) lim h lim h h (h, h) h = 1 f(a) = 1 f(a), ahonnan a határérték unicitása alapján következik a tétel állítása.

46 46 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Ennek érdekében (rögzített k K r () melett) tekintsük a következ valós változós valós érték függvényt: B(h)=f(a 1 +h, a +k) f(a 1 +h, a ), h K r (). Az f-re tett feltételek, az összegfüggvény és a függvénykompozició dierenciálási szabálya szerint a B : K r () R függvény dierenciálható és B (h) = 1 f(a 1 +h, a +k) 1 f(a 1 +h, a ), h K r (). Észrevesszük azt, hogy (h, k) = B(h) B(). Alkalmazva a Lagrange-tételt azt kapjuk, hogy létezik τ (,1) úgy hogy (h, k) = B(h) B() = B (τh) h = ( 1 f(a 1 +τh, a +k) 1 f(a 1 +τh, a ))h, h K r (), τ (,1). A fenti zárójelben hozzáadunk és levonunk 1 f(a 1, a )-t: (h, k) = [( 1 f(a 1 +τh, a +k) 1 f(a 1, a )) ( 1 f(a 1 +τh, a ) 1 f(a 1, a ))]h. Mivel 1 f dierenciálható a-ban ezért léteznek ε 1, ε θ -ben folytonos és ε i (θ )= i=1, függvények úgy, hogy ( ) ( ) τh (h, k) = ( 1 1 f(a 1, a ), 1 f(a 1, a )) h+ε k 1 (τh, k) τh h k ( ( ) ( ) ) τh ( 1 1 f(a 1, a ), 1 f(a 1, a )) +ε (τh,) τh h = = hk 1 f(a 1, a )+(ε 1 (τh, k) τ h +k ε (τh,) τh )h. Ez utóbbi egyenl ség alapján ha k = h (h, h) (ε 1 (τh, h) 1+τ ε (τh, ) τ signh)h lim = h h 1 f(a)+ lim h h = 1 f(a). Ha a (h, k) a C(k) = f(a 1 +h, a +k) f(a 1, a +k) kifejezéssel fejezzük ki és megismételjük az el bb bemutatott gondolatmenetet arra az eredményre jutunk, hogy (h, h) lim = h h 1 f(a). Ha az n változós esetben az i j f(a) = j i f(a) egyenl séget akarjuk kimutatni, akkor a fenti gondolatmenetet alkalmazzuk a következ segédfüggvényre: (h, k) = f(a 1,, a i +h,, a j +k,, a n ) f(a 1,, a i +h,, a j,, a n ) f(a 1,, a i,, a j +k, a n )+f(a 1,, a j,, a j, a n ). A tételben szerepl "kétszer dierenciálható" feltétel nem cserélhet ki a nála gyengébb "másodrend parciális deriváltak létezése" feltételre. Valóban, van olyan kétváltozós függvény, amelynek léteznek a másodrend vegyes parciális deriváltjai, de nem egyenl ek minden pontban. Tekintsük a következ függvényt: f : R R, { xy(x y ), ha (x, y) (,) x f(x, y) = +y, ha (x, y) = (,).

47 3.6. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK MAGASABBREND DERIVÁLTJAI 47 Az els rend parciális deriváltjai, ha (x, y) (,) f x = x4 y +4x y 3 y 5 (x +y ), f y = x5 4x 3 y xy 4 (x +y ). Az (x, y) = (,) pontban is léteznek a parciális deriváltak. Valóban a defínicó alapján f f(x,) f(,) (,) = lim = x x x A deníció alapján a (,)-ban a másodrend parciális deriváltak f (,) = lim y x y f (,) = lim x y x f f(, y) f(,) (,) = lim =. y y y f f (, y) (,) x x y = lim y x y = 1, f f (x,) (,) y y x = lim x x x = 1. Tehát léteznek a vegyes másodrend parciális deriváltak, de f y x (,) f x y (,). Könny belátni, hogy a (,)-ban a függvény nem dierenciálható kétszer Magasabbrend parciális deriváltak A másodrend parciális deriváltaknak ki lehet számítani ismét a parciális deriváltjait, ha azok léteznek. Ezek lesznek az ú.n. harmadrend parciális deriváltak. Például az f(x, y) = x y 3 + xe y függvény els rend parciális deriváltjai A másodrend parciális deriváltjai: f x = y3, f x = xy3 +e y, A harmadrend parciális deriváltjai: 3 f x = ( ) f =, 3 x x 3 f y x = ( ) f = ( ) f = 6y, y x x y x f y = 3x y +xe y. f y x = f x y = 6xy +e y, 3 f y 3 = y 3 f x y = y f y = 6x y +xe y. ( ) f = 6x +xe y, y ( ) f = y x y ( ) f = 1xy +e y. x Általában az (n 1)-ed rend parciális deriváltak parciális deriváltjai (feltéve, ha léteznek) lesznek az f n-ed rend parciális deriváltjai. Ezek leírására a következ jelöléseket használjuk: j := f. Jelöljük i-vel ay i := (i 1, i,..., i n ) N n index vektort. Az index vektor hosszúsága i := i 1 +i + +i n.

48 48 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Deníció. Az f : U R, U R n nyílt halmaz, függvény i index vektorhoz tartozó parciális deriváltja i f(x 1, x,..., x n ) := i 1 1 i... in n f(x 1, x,..., x n ) = az f egy i -ed rend parciális deriváltja (feltéve, ha létezik). i x i 1 1 x i... x i f = f ( i ) x i 1 1 x i...x i Megjegyzés. 1. Az el bbi szimbólum azt jelenti, hogy f-et parciálisan deriváljuk az x 1 változó szerint i 1 -szer, az x változó szerint i -ször,..., az x n -változó szerint i n -szer.. Ha i = 1, akkor az 1 hosszúságú n dimenziós index vektorok a következ k: (1,,,...,), (,1,,...,),..., (,,...,,1). Az ezekhez tartozó deriváltak éppen az f függvény 1 f, f,..., n f n darab els rend parciális deriváltjai. 3. Ha i =, akkor a hosszúságú n dimenziós index vektorok a és a (,,...,), (,,,...,),..., (,,...,) ( 1,...,, i 1,,..., j 1,,...,), i, j = 1, n, i j. vektorok. Összesen n + ( n ) kett hosszúságú index vektor van. Ezen vektorokhoz tartozó parciális deriváltak l f(x 1, x,..., x l,..., x n ), l = 1, n és a vegyes másodrend parciális deriváltak akkor ijf(x 1,..., x i,..., x j,..., x n ), i, j = 1, n, i j. A továbbiakban használni fogjuk a következ jelölést: ha h = (h 1, h,..., h n ) R n h i := h i 1 1 h i... h in n, i! := i 1! i!... i n!, i = (i 1, i,..., i n ) N n Deníció. Az f : U R, U R n nyílt halmaz, m-szer dierenciálható U-n, ha léteznek az összes (m 1)-ed rend parciális deriváltjai és mindegyik dierenciálható U-n Megjegyzés. Ha f m-szer dierenciálható, akkor a Tétel alapján a vegyes másodrend parciális deriváltak egyenl ek. Innen indukcióval következik, hogy a i f kiszámításakor az eredmény független a parciális deriváltak kiszámításának sorrendjét l Tétel. Legyen U R n nyílt halmaz, f : U R n-szer dierenciálható U-n, és legyen [a, a+h] = {a+th : t 1} U. Akkor az F : [,1] R, F (t) = f(a+th) is n-szer dierenciálható és F (m) (t) m! = i f(a+th) h i, m = 1, n. i! i =m i N n

49 3.7. A TAYLOR-FORMULA N-VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ESETÉRE 49 Bizonyítás A tételt m = 1-re közvetlen ellen rzés alapján igazoljuk. Megmutatjuk, hogy ha m = 1-re igaz, akkor m = -re is igaz. Mivel F két dierenciálható függvény közvetett függvénye ezért: ahol F (t) = f (a+th) (a+th) = ( 1 f(a+th),..., n f(a+th)). = = 1 f(a+th)h n f(a+th)hn = h 1 h h n n j (a+th)h j = i f(a+th)h i, i =1 j=1 ( 1,...,, j 1,,...,), h i = h j, i! = 1, tehát m = 1-re a formula igaz. Felhasználva az m = 1-re kapott állítást és gyelembevéve a vegyes másodrend parciális deriváltak egyenl ségét azt kapjuk, hogy: F (t) = = j=1 h 1 h n h j ( 1 j (a+th),..., n j f(a+th)). = n j=1 n l j f(a+th)h j h l. l=1 Mivel l j esetén l j f = j l f két tag egyenl és l = j esetén j j f tag egyszer fordul el, ezért F (t)! = i f(a+th)h i. i! i = Hasonló gondolatmenettel m -szerinti indukcióval igazoljuk az állítást. Tegyük fel, hogy k {1, m} esetén igaz. Figyelembe véve, hogy a i f kiszámításakor az eredmény függtelen a parciális deriváltak kiszámításának sorrendjét l következik, hogy m + 1-re is igaz, mivel = 1 (m+1)!) F (m+1) 1 (t) = (m+1) (F (m) (t)) = 1 1 (m+1)) i! ( 1 i f(a+th)h i h n i f(a+th)h i h n ) = i =m i N n = i f(a+th) h i. i! i =m+1 i N n 3.7. A Taylor-formula n-változós függvények esetére Ismeretes, hogy az f : K r (a) R, n + 1-szer deriválható valós változós valós érték f ggvényre vonatkozó Taylor-formula alapján minden x K r (a) ponthoz létezik a és x közé es ξ úgy, hogy n f (k) (a) f(x) = (x a) k +R n f(x), k! k= h n

50 5 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG R n f(x) = f (n+1) (ξ) (n+1)! (x a)n+1 az ún. Lagrange-féle maradék tag. Ha bevezetjük az h := x a, jelölést, akkor az a és x közé es ξ a ξ = a+vh alakban írható, v (,1). Ekkor a fenti formula a következ alakú lesz: f(a+h) = n k= f (k) (a) k! h k + f (n+1) (a+vh) h n+1. (n+1)! A következ kben igazolni fogjuk a Taylor-formula általánosítását többváltozós valósérték függvényekre Tétel. Ha U R n nyílt halmaz, [a, a + h] U és f : U R (n + 1)-szer dierenciálható U-n, akkor létezik v (,1) úgy, hogy f(a+h) = n k= i =k i f(a) h i + i! i =n+1 j f(a+vh) h i. i! Bizonyítás Tekintsük az F (t)=f(a+th), t [,1] függvényt. Mivel f (n+1)-szer dierenciálható, ezért F is (n + 1)-szer dierenciálható. Alkalmazva a valós változós valós érték függvényeknél tanult Taylor-formulát azt kapjuk, hogy létezik v (,1) úgy, hogy F (1) = f()+ F () 1! + + F () n! + F (n+1) (v) (n+1)!. A 3.6. Tétel alapján F (m) () m! = i =m i f(a) h i i! Így ez utóbbi két egyenl ségb l következik, hogy m =, n+1. ahol f(a+h) = n k= i =k i f(a) i! + i =m+1 i f(a+vh) h i. i! Ha n =, a = (a 1, a ), h = (h 1, h ), akkor a kétváltozós Taylor-formula a következ alakú: f(a 1 +h 1, a +h ) = f(a 1, a )+ 1 1! ( 1f(a 1, a )h 1 + f(a 1, a )h )+ R n f = 1 n+1 (n+1)! + 1! ( 1 1 f(a 1, a )h f(a 1, a )h 1 h + f(a 1, a )) n ( ) n s n! s 1 n s f(a 1, a )h s 1h n s +R n f, s= s= ( n+1 s ) s 1 n+1 s f(a 1 +vh 1, a +vh )h s 1h n+1 s. Megjegyezzük, hogy a formulában szerepl k-adik zárójel (k=, n) formálisan ( 1 h 1 + h ) k f(a 1, a ) segítségével tartható észben.

51 3.7. A TAYLOR-FORMULA N-VÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ESETÉRE Példa. Állítsuk el a Taylor-formulával az f(x, y) = x xy 3y x 3y + függvényt az (x 1) és az (y ) hatványai szerint. Alkalmazzuk a fenti képletet az a = (1,) és (h 1, h ) = (x, y) (1,) = (x 1, y ) jelölésekkel. Kiszámítjuk a függvény behelyettesítési értékét és a megfelel parciális deriváltjait a megadott pontban: f(1,) = 1, f x = (x y ), f x(1,) = 4, f y = ( x 6y 3), f y(1,) = 17, f xx(1,) =, f xy(1,) =, f yy(1,) = 6. Mivel a függvény kétváltozós másodfokú polinom, ezért a kett nél magassabbrend parciális deriváltjai nullával egyenl ek. Innen következik, hogy a függvény egyenl a másodfokú Taylorpolinomjával: f(x, y) = 1+( 4) (x 1) 17(y )+(x 1) + ( )(x 1)(y ) 6(y ) = 1 4(x 1) 17(y )+(x 1) 4(x 1)(y ) 6(y ), amely a polinom (x 1), (y ) hatványai szerinti el állítása. Általában, ha a Taylor formulát egy n-ed fokú polinomiális függvényre alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy a függvény egyenl az n-ed fokú Taylor-polinomjával és az n-ed fokú maradéktag nulla. Nem polinomiális függvényekre alkalmazva a maradéktag nullától különböz Példa. Számítsuk ki az f :R R, f(x, y)=e x cos y függvény a=(,) pont körüli harmadfokú Taylor polinomját és maradéktagját. Alkalmazzuk a fenti a Taylor-formulát n=3-ra az a=(,)-ban és (h 1, h )=(x, y) (,)=(x, y) jelölésekkel. Kiszámítjuk a függvény behelyettesítési értékét és a megfelel parciális deriváltjait a megadott pontban: f(,) = 1, f x = (e x cos y), f x(,) = 1, f y = ( e x sin y), f y(,) =, f xx = (e x cos y), f xx(,) = 1, f xy = ( e x sin y), f xy(,) =, f yy = ( e x cos y), f yy(,) = 1, f xxx = (e x cos y), f xxx(,) = 1, f xxy = ( e x sin y), f xxy(,) =, f xyy = ( e x cos y), f xyy(,) = 1, f yyy = (e x sin y), f yyy(,) =, f (4) x 4 = e x cos y, f (4) x 3 y = ex sin y, f (4) x y = e x cos y, f (4) xy 3 = e x sin y, f (4) y 4 = e x cos y. Tehát a harmadfokú Taylor-polinom: T 3 f(x, y) = ! (1 x+ y)+ 1! (1 x xy 1 y )+ 1 3! (1 x3 +3 x y +3 ( 1)xy + y 3 ) = A harmadfokú maradéktag: 1+x+ 1 (x y )+ 1 6 (x3 3xy ). R 3 f = 1 4! [x4 e vx cos vy 4x 3 ye vx sin vy 6x y e vx cos vy +4xy 3 e vx sin vy +y 4 e vx cos vy], v (,1).

52 5 3. FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG 3.5. Feladat. Számítsuk ki az adott függvények kijelölt magasabbrend parciális deriváltjait: 1) f(x, y) = x 4 y +y 3 x+3y +1, 4 f, 4 f, 4 f, 4 f, 4 f, x 4 x 3 y x y x y 3 y 4 ) f(x, y) = arctan x, f f y 3) f(x, y) = (x y )e x y, x,, f, x y y 3 f, x 3 3 f, 3 f, 3 f. x y x y y Feladat. Ellen rizzük, hogy a következ függvények esetén f xy = f yx minden olyan pontban, ahol a parciális deriváltak léteznek: 1) f(x, y) = x ln(x +y ) ) f(x, y) = x y 3) f(x, y) = arccos xy 4) f(x, y) = x cos y Feladat. A következ függvények esetében határozzuk meg az f xx(,), f xy(,), f yx(,), f yy(,) értékeket, ha azok léteznek. Ellen rizzük, hogy teljesül-e az f xy(,) = f yx(,) egyenl ség: { xy, ha (x, y) (,) x 1) f(x, y) = +y, ha (x, y) = (,) { xy, ha (x, y) (,) x ) f(x, y) = 4 +y, ha (x, y) = (,). { xy(x y ), ha (x, y) (,) x 3) f(x, y) = +y, ha (x, y) = (,) Feladat. Számítsuk ki a következ függvények megadott a pontbeli n-ed fokú Taylor-polinomját és maradéktagját: 1) f(x, y) = x 4 y 4 x 3 y +x y x+5y +3, a = ( 1,), n = 4 ) f(x, y) = ln(1+x+y), a = (,), n = 3) f(x, y) = e y sin x, a = ( π 4, ), n = 3 4) f(x, y) = y x, a = (,1), n =.

53 4. fejezet Széls érték 4.1. A valós-valós esetre vonatkozó tételek Ebben a fejezetben többváltozós valós érték függvények széls értékeinek megkeresésére adunk eljárást. A valós változós valós érték függvények széls értékeire vonatkozó szükséges, illetve a másodrend elégséges feltételnek adjuk meg az általánosítását. El bb elevenítsük fel az egyváltozós esetre tanult tételeket Tétel. (A széls érték létezésének szükséges feltétele.) Ha az f : (α, β) R függvény az a (α, β) pontban dierenciálható és itt lokális széls értéke van, akkor f (a) = Tétel. (Másodrend elégséges feltétel a széls érték létezésére.) Ha az f : (α, β) R függvény az a (α, β) pontban kétszer dierenciálható f (a) = és f (a), akkor a-ban lokális széls értéke van. Ha f (a) >, akkor a lokális minimum pont, ha f (a) <, akkor a lokális maximum pont. 4.. A széls érték létezésének els rend szükséges feltétele Deníció. Legyen U R n nyílt halmaz, f :U R. Az a U pontban az f-nek lokális (helyi) minimuma (maximuma) van, ha létezik δ > úgy, hogy f(a) f(x), (f(a) f(x)) igaz bármely x K δ (a). Az f(a) lokális maximum (minimum), az a pedig lokális széls érték pont Tétel. Tekintsük a U R n nyílt halmazon f : U R dierenciálható függvénynt. Ha az f-nek a U pontban lokális széls értéke van, akkor f (a) = ( 1 f(a),..., n f(a)) = θ n. A tétel azt mondja ki, hogy egy dierenciálható függvény lokális széls érték pontjaiban a parciális deriváltak értéke. Bizonyítás Ha a például az f helyi minimuma, akkor az a ponton áthaladó bármely egyenesre vett lesz kítésének is az a helyi minimuma. Tekintsük azt az egyenest, melynek irányvektora az e j j-edik egységvektor. Az f-nek erre az egyenesre vett lesz kítése F (t) = f(a+te j ). Úgy választjuk meg a δ-t, hogy a+te j U és F (t)=f(a+te j ) f(a)=f () teljesüljön ha t ( δ, δ). Ez azt jelenti, hogy az F (t) valós változós valós érték függvények a t = pont helyi minimum 53

54 54 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉK pontja. Figyelembe véve, hogy F két dierenciálható függvény közvetett függvénye, ezért maga is dierenciálható és F (t) = j f(a+te j ). Mivel a t = -ban F -nek helyi minimuma van, ezért A fenti két összefüggés alapján következik, hogy F () =. j f(a) =. A j-edik egységvektor tetsz legesen választottuk, ezért j f(a)=, j =1,..., n, ami azt jelenti, hogy f (a) = θ n. A valós változós valós érték függvényekre az F (a) = szükséges de nem elégséges feltétele annak, hogy a helyi széls érték legyen ezért a többváltozós esetben is az el z tétel a széls érték létezésének szintén egy szükséges de nem elégséges feltétele. A tétel alapján ha egy n-változós függvénynek az a = (a 1, a,..., a n ) U helyi széls értéke, akkor 1 f(a 1, a,..., a n ) = f(a 1, a,..., a n ) =. n f(a 1, a,..., a n ) = Ez azt jelenti, hogy a helyi széls érték koordinátái a fenti n ismeretlenes n egyenletb l álló, egyenletrendszer megoldásai. Tehát egy n változós függvény széls értékeinek megkeresését úgy kezdjük, hogy el bb kiszámítjuk a függvény parciális deriváltjait, majd ezeket egyenl vé tesszük nullával, majd megoldjuk az így kapott n ismeretlenes, n egyenletb l álló egyenletrendszert. Ha a függvénynek van helyi széls értéke akkor az a megoldások közül valamelyikkel egyenl. A következ kérdés az, hogy hogyan döntsük el, hogy a fenti egyenletrendszer megoldásai közül melyik lesz helyi széls érték, és melyik nem. A valós változós valós érték függvények esetén ismeretes az ú.n. másodrend elégséges feltétel a lokális széls értékre vonatkozóan. Ennek a tételnek az analogonját szeretnénk megfogalmazni többváltozós függvények esetére. Ha f : U R, U R n, n változós valós érték függvény, akkor az f (a) másodrend derivált egy n n-es mátrix. Felmerül a kérdés, hogy mi lesz a 4.1. tételbeli valós változós függvényekre vonatkozó f (a) > vagy f (a) > feltétel analogonja a többváltozós esetben. Erre a kvadratikus alakra vonatkozó pozitív denitség és negatív denítség segítségével tudunk válaszolni Kvadratikus alakok Tekintsük az A = [a ij ] i,j i, j = 1,..., n négyzetes mátrixot. Azt mondjuk, hogy A szimmetrikus, ha a ij = a ji, i, j = 1,..., n. Legyen h = (h 1, h,..., h n ) R n, h = h 1 +h + +h n Deníció. Az A szimmetrikus mátrixhoz rendelt kvadratikus alak deníció szerint a következ kifejezés: n Q A (h) := a ij h i h j = hah T. i,j=1

55 4.3. KVADRATIKUS ALAKOK Deníció. Tekintsük a Q A (h) kvadratikus alakot. Ha Q A (h) >, h R n, h θ n, akkor pozitív denit. Ha Q A (h), h R n, akkor pozitív szemidenit. Ha Q A (h) <, h R n, h θ n, akkor Q A (h) negatív denit. Ha Q A (h), h R n, akkor Q A (h) negatív szemidenit. Ha a fentiek közül egyik sem teljesül, akkor a kvadratikus alak indenit Megjegyzés. Ha n = 1, akkor a másodrend deriváltmátrix egyetlen egy elemb l az f (a)- ból áll. A hozzárendelt kvadratikus alak Q f (a)(h) = f (a) h. Ha f (a) >, akkor a Q f (a)(h) pozitív denit, ha pedig f (a)<, akkor Q f (a)(h) negatív denit. Ez az észrevétel képezi az alapját az el z tétel analogonja megfogalmazásának. Azt a tényt, hogy az A mátrixhoz tartozó kvadratikus alak pozitív (szemi) denit úgy is lehetne igazolni, hogy kimutatnánk, hogy Q A (h) felírható teljes négyzetek összegeként. Ez azonban elég nehézkes a gyakorlatban. A következ tétel egy elégséges feltétel a pozitív (negatív) denitségre, amely numerikusan jól kezelhet. A tétel kijelentéséhez szükség van a sarokmátrix fogalmára Deníció. Az szimmetrikus mátrix elemeib l alkotott a 11 a 1 a a 1n a 1 a a 3... a n A = a 31 a 3 a a 3n. a n1 a n a n3... a nn A 1 = ( ) a 11 ( ) a11 a A = 1 a 1 a a 11 a 1 a 13 A 3 = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33. A n = A mátrixokat az A sarokmátrixainak nevezzük. A lineáris algebrában tanultak alapján igazolni lehet a következ elégséges feltételt egy mátrix denitségére vonatkozóan: Tétel. i) Ha det A k >, k = 1,..., n, akkor az A mátrix, illetve a hozzárendelt kvadratikus alak pozitív denit. ii) Ha ( 1) k det A k >, k = 1,..., n, akkor az A mátrix, illetve a hozzárendelt kvadratikus alak, negatív denit. Megjegyezzük, hogy az el z tétel a pozitív denitség ill. a negatív denitség egy elégséges, de nem szükséges feltétele. Ezzel a tétellel viszont a teljes négyzetek kialakítása nélkül, egyszer számolással be lehet látni egy kvadratikus alakról, hogy pozitív (negatív) denit feltéve, ha az i) vagy az ii) feltételei teljesülnek. Ha az i) vagy ii)-ben megadott feltétel közül egyik sem teljesül, akkor a kvadratikus alak denitségét például az ú.n. teljes négyzetek módszerével tudjuk eldönteni. A kvadratikus alakokra vonatkozóan szükségünk van a következ tételre:

56 56 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉK Tétel. Ha Q A (h) pozitív denit kvadratikus alak, akkor léteznek m, M > számok úgy, hogy m h Q A (h) M h, h R n. Bizonyítás Mivel a Q A : R n R kvadratikus alak folytonos az {h R n : x = 1} kompakt halmazon, ezért Weierstrass tétele miatt létezik ezen a halmazon maximuma és minimuma: M := max{q A (h) R : h R n : x = 1}, m := min{q A (h) R : h R n : x = 1}. Legyen h θ n egy tetsz leges vektor R n -b l, ekkor Mivel h h Q A (h) = Q A ( h = 1, ezért a m és M deníciója alapján h h ) = h Q A ( h h ). m h Q A (h) M h, ami Q A (θ n ) = miatt a h = θ n esetén is fennáll. Az el z tételb l és a pozitív (negatív) denitség deníciójából adódik: Következmény. Legyen Q A egy kvadratikus alak. A Q A pontosan akkor pozitív denit, ha létezik olyan C > szám, amelyre Q A (h) C h, h R n. A Q A pontosan akkor negatív denit, ha létezik olyan C < szám, amelyre Q A (h) C h, h R n Másodrend elégséges feltétel a széls érték létezésére Tétel. Tegyük fel, hogy az U R n nyílt halmazon értelmezett f : U R függvény kétszer folytonosan dierenciálható és az a U pontban f (a) = θ n. Ha az f (a) másodrend deriváltmátrix ( Hesse-féle mátrix) pozitív denit, akkor a lokális minimum pont. Ha az f (a) másodrend deriváltmátrix negatív denit, akkor a lokális maximum pont. Bizonyítás Tegyük fel, hogy f (a) pozitív denit. A Taylor-képlet alapján v (,1) úgy, hogy f(a+h) = f(a)+ 1 1! ( 1f(a)h 1 + f(a)h + + n f(a)h n )+ 1! Mivel f (a) = θ n ezért k f(a) =, k = 1,..., n, tehát f(a+h) f(a) = 1 n i j f(a)h i h j + 1 i,j=1 n i j f(a+vh)h i h j. i,j=1 n ( i j f(a+vh) i j f(a))h i h j. i,j=1

57 4.5. MÁSODREND SZÜKSÉGES FELTÉTEL SZÉLSŽÉRTÉK LÉTEZÉSÉRE 57 A fenti egyenl ség jobb oldalán álló els összeg éppen az f (a) másodrend deriváltmátrixhoz rendelt kvadratikus alak, ezért az f (a) pozitív denitsége alapján 1 n i j f(a)h i h j = 1 Q f (A)(h) >, h R n, h θ n. i,j=1 Vezessük be a következ jelölést: ε ij (h) := i j f(a + vh) i j f(a). Mivel f kétszer folytonosan dierenciálható a-ban ezért léteznek az a pontbeli másodrend parciális deriváltak és folytonosak a-ban. Innen következik, hogy lim h θn ε ij (h) =, i, j = 1,..., n, tehát lim h θ n i,j=1 n ε ij (h) =. A tétel értelmében, ha Q f (a)(h) pozitív denit, akkor van olyan m >, amelyre Így a h i h j h 1 gyelembevételével m h Q f (a)(h). f(a+h) f(a) 1 m h + 1 n ε ij (h)h i h j = i,j=1 = 1 m h + 1 h n 1 m h 1 h i,j=1 ε ij (h) h i h hj h n ε ij (h). Mivel lim n i,j=1 ε h θn ij(h) =, ezért a θ n van olyan δ sugarú környezet, amelyre 1m h 1 h n ε ij (h) teljesül, ha h K δ (θ n ). Következésképpen i,j i,j=1 f(a+h) f(a), ha h K δ (θ n ). Tehát a helyi minimum pont. Az f (a) negatív denit feltétel mellett hasonlóan következik, hogy a helyi maximum pont Másodrend szükséges feltétel széls érték létezésére A tétel a 4..1 és Tétlek bizonyításából következik a Tétel. Legyen f : U R egy többváltozós valós érték függvény, ahol U R n nyílt halmaz és a U. Ha i) f kétszer folytonosan dierenciálható az U halamazon ii) f (a) = θ n, iii) f (a) indenit,

58 58 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉK akkor az f függvénynek az a pontban nincs lokális széls értéke Következmény. Legyen f :U R egy többváltozós valós érték függvény, ahol U R n nyílt halmaz, és a U lokális széls értékhely. Ha az f függvény kétszer folytonosan dierenciálható a U halamazon akkor f (a) = θ n és a másodrend derivált (ún. Hesse-féle) mátrix f (a) szemidenit. Kétváltozós függvények esetére a 4.3., 4.4.1, Tételek alapján a következ t kapjuk: Következmény. Tekintsünk egy kétváltozós kétszer dierenciálható függvényt az U-n. Tegyük fel, hogy az a U-ban f f (a) =, (a) =. (4.5.1) x y Ha detf (a) = f xx(a)f yy(a) ( f xy(a) ) >, és f xx(a) <, (4.5.) akkor a függvénynek a-ban lokális maximuma van. Ha detf (a) = f xx(a)f yy(a) ( f xy(a) ) >, és f xx(a) >, (4.5.3) akkor a függvénynek a-ban lokális minimuma van. Ha akkor a nem széls érték pont. detf (a) = f xx(a)f yy(a) ( f xy(a) ) <, (4.5.4) Az els két állítás a felsorolt tételek azonnali következménye. Csak a harmadik állítást kell indokolni. Ha detf (a) = f xx(a)f yy(a) ( f xy(a) ) <, akkor a másodrend derivált mátrixhoz rendelt kvadratikus alak Q f (a) = f xx(a)h 1 +f xy(a)h 1 h +f yy(a)h el jelt vált, tehát indenit. Valóban ha (h 1, h ) (,), [ Q f (a) = h 1 f xx(a)+f xy(a) h h 1 +f yy(a) el jelt vált, mivel a zárójelben lev másodfokú kifejezés diszkriminánsa a feltétel melett pozitív Példa. Határozzuk meg az f(x, y) = sin x + cos y + cos(x y) függvény szlés értékeit, ha < x < π és < y < π. El ször keressük meg az f(x, y) függvény lehetséges széls érték helyeit. Ezeket a pontokat akkor kapjuk meg, ha a függvény parciális deriváltjait egyenl vé tesszük nullával, megoldjuk a kapott egyenletrendszert. Az f függvény parciális deriváltjaiból alkotott egyenletrendszer: Az második egyenletb l azt kapjuk, hogy ( h h 1 ) ] f x(x, y) = cos x sin(x y) = (4.5.5) f y(x, y) = sin y +sin(x y) =. (4.5.6) sin(x y) = sin y y = x +kπ, vagy x = π +kπ (k Z)..

59 4.5. MÁSODREND SZÜKSÉGES FELTÉTEL SZÉLSŽÉRTÉK LÉTEZÉSÉRE 59 Az x=π+kπ (k Z) nem megoldása a feladatnak, mert x ( ), π. Az y = x +kπ-t behelyettesítve az els egyenletbe, majd kihasználva azt, hogy cos x = sin ( ) x+ π azt kapjuk, hogy ( sin x+ π ) ( x ) = sin kπ. (4.5.7) Innen az vagy x+ π = x kπ +mπ x = π ( (m k) 1), (4.5.8) x+ π ( x )+mπ = π kπ x = π (1+k +4m) 3 (4.5.9) eredményekre jutunk, ahol k, m Z. Mivel x [ ], π, ezért csak a k = és m = eset lesz jó megoldás. Az x = π-at visszahelyettesítve az y-ba, kapjuk, hogy y = π. A függvénynek a a = ( π, ) π pontban lehet széls értéke. A továbbiakban azt vizsgáljuk meg, hogy f függvénynek az a pontban valóban van-e széls értéke. Ehhez a másodrend deriváltmátrix determinánsát kell megnéznünk. Az f függvény második deriváltjai a következ k: f xx(x, y) = sin x cos(x y) f yy(x, y) = cos y cos(x y) f xy(x, y) = f yx(x, y) = cos(x y) A másodrend deriváltmátrix determinánsa az a pontban ( ) 3 3 D(a) = 3 = A másodrend deriváltmátrix determinánsa pozitív az a pontban, ebb l következik, hogy az a pont széls értéke az f függvénynek. Mivel f xx( π, π) = 3 <, ezért az a pont az f függvénynek 3 6 lokális maximuma. 4.. Példa. Határozzuk meg az f(x, y) = x y +ln x +y +3 arctan y x függvény széls értékeit. El ször meghatározzuk a függvény értelmezési tartományát. A logaritmus a x +y > feltétel mellett, a törtfüggvény az x feltétel mellett értelmezett, tehát a függvény értelmezési tartománya: R \{(, y) y R}. Az x és y változók szerinti parciális deriváltak: f x(x, y) = 1+ f y(x, y) = + 1 x +y 1 = 1+ x x +y 1 x +y 1 = + y x +y + 3 ( x+ 1 x +y x ( y x 3y x +y = x +y +x 3y x +y 1 x +y y ( y x ) ( y ) x ) 1 x ) = x y +y +3x y x +y x

60 6 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉK A parciális deriváltakat egyenl vé tesszük nullával, az így kapott egyenletrendszer megoldásai között lesznek a függvény lehetséges széls értékei. Mivel a parciális deriváltak törtek, egy tört pedig pontosan akkor nulla, ha a számlálója nulla, ezért a megoldások kielégítik az x +y +x 3y = (4.5.1) x y +3x+y = (4.5.11) egyenletrendszert. A fenti egyenletekb l kiküszöbölve a négyzetes tagokat, arra a feltételre jutunk, hogy x = y. Ezt behelyettesítve az els be, kapjuk, hogy x (x 1) = x = vagy x = 1. Mivel az x = esetben nincs értelmezve a függvény, ezért csak az a = (1,1) pontban lehet a függvénynek lokális széls értéke. Ezután nézzük meg az f függvény második parciális deriváltjait. f xx(x, y) = (x+1)(x +y ) (x +y +x 3y) x = y x +6xy (x +y ) (x +y ) f yy(x, y) = ( 4y +1)(x +y ) ( x y +y +3x) y (x +y ) = x y 6xy (x +y ) f xy(x, y) = f yx(x, y) = (y 3)(x +y ) (x +y +x 3y) y (x +y ) = 3y 3x xy (x +y ) A másodrend deriváltmátrix determinánsa az a pontban 3 D(a) = = 1 4. Mivel a determináns negatív az a pontban, ezért az f függvénynek nincs széls értéke ebben a pontban Példa. Keressük meg az f(x, y) = y +x y +x 4 függvény széls értékeit. Az f függvény x és y változók szerinti parciális deriváltjai: Megoldva az f x(x, y) = 4xy +4x 3 f y(x, y) = y +x = 4xy +4x 3 (4.5.1) = y +x (4.5.13) egyenletrendszert azt kapjuk, hogy y= x. Tehát az f függvénynek az y= x parabola pontjaiban lehet széls értéke.

61 4.5. MÁSODREND SZÜKSÉGES FELTÉTEL SZÉLSŽÉRTÉK LÉTEZÉSÉRE 61 A második deriváltak: f xx(x, y) = 4y +1x f yy(x, y) = f xy(x, y) = f yx(x, y) = 4x. A másodrend deriváltmátrix determinánsa az y = x parabola pontjaiban 8x 4x 4x =. Mivel a másodrend deriváltmátrix nem teljesíti a denitségre vonatkozó elégséges feltételt, ezért más módon kell viszgálni, hogy a parabola pontjai valóban széls érték pontok-e. Látható, hogy az f(x, y) függvény könnyen szorzattá alakítható, azaz f(x, y) = y +x y +x 4 = (y +x ) f(x, x ) =, ezért az f függvénynek az y = x parabola pontjaiban lokális minimuma van. Ezek a pontok egyben globális minimum pontok is Példa. Határozzuk meg az f(x, y) = e 1 (x +y x+1) függvény széls értékeit. El ször oldjuk meg az f függvény parciális deriváltjai által alkotott egyenletrendszert. A parciális deriváltak: f x(x, y) = e 1 (x +y x+1) ( 1 ) (x ) = f y(x, y) = e 1 (x +y x+1) ( 1 ) y =. Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényez je nulla. Mivel e 1 (x +y x+1), ezért a 1 (x ) = x = 1 1 y = y = megoldásokra jutunk. Tehát f-nek csak az a = (1,) pontban lehet lokális széls értéke. A második parciális deriváltak a következ ek: f xx(x, y) = e 1 (x +y x+1) ( 1 ) (x ) (1 x)+e 1 (x +y x+1) ( 1) = e 1 (x +y x+1) x (x ) f yy(x, y) = e 1 (x +y x+1) ( 1 ) y ( y)+e 1 (x +y x+1) ( 1) = e 1 (x +y x+1) (y 1) (y +1) f xy(x, y) = f yx(x, y) = e 1 (x +y x+1) ( y) (1 x)+e 1 (x +y x+1) = e 1 (x +y x+1) y (1 x).

62 6 4. FEJEZET. SZÉLSŽÉRTÉK A másodrend deriváltmátrix determinánsa az (1,) pontban D(a) = 1 1 = 1. Mivel D(a)=1> és f xx (a)= 1<, ezért a lokális maxim um pont. Ezt az eredményt a következ képpen is igazolhatjuk: észrevehet, hogy a függvényt megadó képletben a kitev teljes négyzetté alakítható. e 1 (x +y x+1) = e 1 ((x 1) +y ) (4.5.14) A z = 1 ((x 1) +y ) forgási paraboloid, aminek a tengelypontja P (1,,) és ez a pont egyben minimum pont is. Mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton n, ezért a függvénynek az a = (1,) pontban maximuma van. A Maple segítségével a következ utasításokkal oldható meg a feladat: > f:=exp(-(x^+y^-*x+1)/); > d_x:=diff(f,x); > d_y:=diff(f,y); > solve({d_x,d_y},{x,y}); > d_{xx}:=diff(f,x,x); > evalc(subs(x=1,y=,d_{xx})); > d_{yy}:=diff(f,y,y); > evalc(subs(x=1,y=,d_{yy})); > d_{xy}:=diff(f,x,y); > evalc(subs(x=1,y=,d_{xy})); > d:=d_{xx}*d_{yy}-d_{xy}^; > simplify(d); evalc(subs(x=1,y=,d)); A következ utasítással megrajzolja a grakus képet, ahonnan valóban látszik, hogy f-nek lokális maximuma van: > plot3d(f,x=-5..5,y=-5..5,axes=framed); 4.1. Feladat. Határozzuk meg az alábbi függvények lokális széls értékeit: 1) f(x, y) = x +(y 1)

63 4.6. AZ IMPLICIT FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLHATÓSÁGÁRA VONATKOZÓ TÉTEL 63 ) f(x, y) = x +y +xy 6x+3y 3) f(x, y) = x 3 +y 3 15xy 4) f(x, y) = x +xy +y 3x 6y 5) f(x, y) = x 4 +y 3 +3x 9y 6) f(x, y) = (1 x) +(+y) 4 7) f(x, y) = y 3 x 4y +xy 8) f(x, y) = x +(y 1) 9) f(x, y) = e x (x+y ) 1) f(x, y) = (x +y ) e (x +y ) 11) f(x, y) = x (y 1) 1) f(x, y) = x (x +y 1) 13) f(x, y) = x +y 3 14) f(x, y) = x y 3 (6 x y) 4.6. Az implicit függvény dierenciálhatóságára vonatkozó tétel Tekintsük az f : D R, D R függvényt és tegyük fel, hogy a következ halmaz nem üres: H = {(x, y) D : f(x, y) = } =. Azt vizsgáljuk, hogy milyen esetben lesz a H halmaz valamely függvénynek a grakonja. Az f(x, y) = egyenlet megoldása azt jelenti, hogy az egyenlet által implicit (nem kifejtett) módon meghatározott y ismeretlent explicitté (kifejtetté) tesszük. Nem minden esetben lehet ezt megtenni. Ha ki is tudjuk fejezni y-t az x függvényében nem minden esetben lesz egyértelm a megoldás. Bizonyos feltételek mellett garantálni tudjuk, hogy minden x-hez létezik egyetlen y úgy, hogy (x, y) D és f(x, y) =. Ekkor a H halmaz egy függvény grakonja lesz. Ha például f(x, y) = x +y 1, (x, y) R, akkor nincs olyan ϕ : R R függvény, amelynek grakus képe a H lenne. Ha f helyett annak egy lesz kítését vesszük f : [ 1, 1] [, 1], f (x, y) = = x +y 1, akkor a H = {(x, y) [ 1, 1] [, 1] : f (x, y) = } halmaz az y = ϕ(x) = 1 x, x [ 1,1] függvény grakus képe. A következ kben általánosabban vizsgáljuk a fent megfogalmazott kérdést. Elégséges feltételt adunk arra, hogy egy implicit egyenlet mikor határoz meg egy függvényt és a megoldása milyen feltétel mellett lesz dierenciálható.