Algebra és számelmélet blokk III.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Algebra és számelmélet blokk III."

Átírás

1 Algebra és számelmélet blokk III. 2008/2009 tavasz Károlyi Gyula órái alapján Molnár Attila 2. óra március Generált, normális és karakterisztikus részcsoportok 1.1. Definíció (Generált részcsoport). Legyenek A és B részcsoportok G-ben. Ekkor az A és B által generált részcsoport nem más, mint az a legszűkebb részcsoport, amelynek A és B része. (Azaz minden A-t és B-t tartalmazó részcsoport metszete.) A generált részcsoport jelölése: A, B. A definíció értelmes, mert részcsoportok metszete is részcsoport. Világos az is, hogy a komplexusszorzat része a generált részcsoportnak. 1. Házifeladat. Bizonyítsuk be, hogy és ekkor 1.2. Következmény. AB = {ab : a A, b B} A, B AB G AB = BA, A, B = AB. Ha B G, akkor mivel B normálosztó: AB = BA. Ebből viszont az is következik, hogy A, B = AB G. Ha az előbbi B G-n kívül A G is igaz, akkor azt is tudjuk, hogy AB G, mivel: 1.3. Vajon?. Vajon tranzitív-e a normálosztás? Ezt a továbbiakban láncszerűen fogjuk jelölni: AB = g 1 Ag g 1 Bg = g 1 ABg = AB G }{{}}{{} A B (G N N M) = G M G N M? = G M Ez bizony nem tranzitív, például vegyük a következő példát: D 4 = {id, f, f 2, f 3, t, tf, tf 2, tf 3 } {id, f 2, t, tf 2 } {id, t}? de {id, f, f 2, f 3, t, tf, tf 2, tf 3 } {id, t} 1

2 mivel {id, t} nem zárt a külső elemmel való konjugálásra: f 1 tf = tf 2 / {id, t} Azért van, amire igaz valamifajta tranzitivitás, mindjárt látunk is a háziban erre példá(ka)t. Addig viszont egy apró de hasznos megjegyzés: 1.4. Apróság. (N G N H G) = N H De ez nem meglepő, hiszen ha N zárt a G-beli elemekkel való konjugálásra, akkor nyilván zárt lesz a G-nek csak egy H részhalmazából vett elemekkel való konjugálásra is. Elvégre azokat az elemeket már kipipáltuk G-nél. De visszatérve az ígért tranzitív tulajdonságért egy új tulajdonságra fogunk támaszkodni Definíció (Karakterisztikus részcsoport). A H G részcsoport karakterisztikus részcsoport, ha minden G-n vett automorfizmus 1 szerinti képe része neki. De egy képlet többet mond minden szónál: H char G ( ϕ AutG) ( ϕ(h) H ) def. 2. Házifeladat. a) b) c) 2. Az izomorfizmus-tételek H char G = H G N char M G = N G N char M char G? = N char G Ha vesszük az N G normálosztót, ekkor a ϕ : G G/N homomorfizmus az ún. természetes homomorfizmus. Vegyük észre, hogy G/N = G/Ker ϕ = Im ϕ ami tulajdonképpen a Homomorfizmus-tétel speciális esete. 2 A ϕ : G G/N egy szürjektív homomorfizmus Állítás. Legyen ϕ : G G/N a természetes homomorfizmus. Ekkor G részcsoportjainak képei is részcsoportok G/N-ben: H G = ϕ(h) G/N 1 Az automorfizmus olyan bijektív homomorfizmus (azaz izomorfizmus), ami saját magára képez egy csoportot (azaz endomorfizmus): ϕ : G bi G. Speciálisan a nem-feltétlen-bijektív ilyen csoportot önmagára leképező homomorfizmusokat endomorfizmusoknak nevezik. 2 Homomorfizmus-tétel: Ha G, H csoportok, ϕ : G H egy homomorfizmus, akkor Im (ϕ) = G/Ker ϕ. 3 A szürjektív homomorfizmust epimorfizmusnak is nevezik. 2

3 Vegyük az x, y ϕ(h) képeket. Ekkor ezeknek minden bizonnyal vannak olyan a, b H őseik, hogy a ϕ természetes leképezés szerint: ϕ(a) = x, ϕ(b) = y. Ekkor persze mivel H részcsoport volt G-ben, az ab szorzat is ott lesz H-nak ϕ(h) képében: Na most xy-nal pedig a következőképp állunk: ϕ(ab) ϕ(h) xy = ϕ(a)ϕ(b) = ϕhom. ϕ(ab) ϕ(h) Tehát ϕ(h) a műveletre zárt. Persze zárt az inverzképzésre is x 1 = ϕ(a) 1 = ϕ(a 1 ) ϕ(h), ahol a 1 H 2.2. Vajon?. Mely elemek képe esik ϕ(h)-ba? A következő tételt, de inkább annak bizonyítását érdemes ennek a kérdésnek fényében olvasni. Sőt, érdemesebb a tételt kitakarva olvasni! Így azt ajánljuk, az olvasó inkább csak arra figyeljen, mi történik, és ne arra, hogy mi köze a tételhez. Ily módon az olvasnivaló a tételt követő második bekezdéstől kezdődik Tétel. A G csoportnak az N normálosztót tartalmazó részcsoportjai és a G/N faktorcsoport részcsoportjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltés van. Ezt úgy fogjuk belátni, hogy megmutatjuk: Ezek a részcsoportok egymás inverzei. 4 Ennek az állna az útjában, ha H-ban legalább két elemnek is ugyanaz lenne az inverze. Vegyünk akkor egy olyan ϕ(h) képbeli x-et, aminek egy a G és egy b G is az őse úgy, hogy a és b közül a legyen H G-beli! Tehát itt tartunk: x ϕ(h) a, b G a H G ϕ(a) = x ϕ(b) = x (A tétel belátásához először is be fogjuk látni, hogy b-nek is H-ban kell lennie.) Tekintsük hát trükkösen az a 1 b G elem képét: ϕ(a 1 b) = ϕ(a 1 )ϕ(b) = ϕ(a) 1 ϕ(b) = x 1 x = 1 G/N Ebből pedig az következik, hogy az a 1 b elem valójában a magban foglal helyet. E mag pedig mint tudjuk, nem más, mint az N normálosztó. Tehát: Amiből az is következik, hogy a 1 b N b an Tehát a b elem a normálosztónak a szerinti bal oldali mellékosztályában foglal helyet. Node: 4 Úgy is tekinthetünk erre a bizonyításra, hogy a tétel egy bijekció létezését állítja, így szürjektivitást és injektivitást kell tehát igazolnunk. A szürjektivitással nem is fogunk vesződni: a G/N faktorcsoport mindegyik részhalmazának nyilván lesznek ősei. A most következő bizonyítás ϕ-nek a részcsoportok közötti injektivitásának kimutatására irányul majd. Akkor leszünk boldogok, ha belátjuk: Minden G/N-beli részcsoporthoz csak egy G-beli H részcsoport tartozik, nem pedig több. 3

4 Mivel eleve arról volt szó, hogy a H, így tudjuk tehát, hogy másrészről pedig azt is tudjuk, hogy b an HN = H, N, ϕ(hn) ϕ(h), mivel a normálosztó lévén mag úgyis az egységelembe képződik. De ezek szerint igazából egyenlőséget állíthatunk: ϕ(hn) = ϕ(h) És íme, itt van a kezünkben: A HN a ϕ(h) teljes inverz képe. Tehát a Vajon kérdésre adott válasz: A HN-beli elemek képe esik ϕ(h)-ba. De menjünk még egy kicsit tovább: Ha most a faktorcsoportot tekintjük, ahol is H G/N, akkor ott H -nak ϕ 1 (H) teljes inverz képe részcsoport G-ben: A magra persze ez egyszerű. Mint tudjuk, részcsoport is, de H-nak triviálisan része is: ϕ(n) = {1 G/N } H Aztán ha vesszük az a, b elemeket a H teljes inverz képéből: ϕ(a) H ϕ(b) H ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) H Tehát műveletre zártak a teljes inverz képbeli elemek. Hasonló módon látható be ugyanez az a 1 inverzképzésre is. Tehát valóban részcsoportról van szó Vajon?. Mit jelent ez nekünk? Hát tulajdonképpen A Tételt Tétel. A G csoportnak N-et tartalmazó részcsoportjai és a G/N részcsoportjai között a ϕ természetes homomorfizmus egy-egyértelmű kapcsolatot létesít. N H G ϕ(h) G/N Ha H akármilyen, és megvan a ϕ(h), akkor annak az inverz képe HN, avagy HN = N. 3. Házifeladat. Lássuk be, hogy ez a megfeleltetés a normálosztók között is hasonló kapcsolatot létesít. Tehát valahogy így állunk: 5 G G / N H H N 1 G / N Vagy kicsit bonyolultabban, de több mindent kiírva: G G / N = ϕ(g) H = HN N H / N = ϕ(h) N / N = 1 G / N 5 Egy Fuchs-jegyzetbeli ábra alapján 4

5 2.6. Tétel (II. Izomorfizmus-tétel). Ha N és M a G csoportnak két normálosztója úgy, hogy N M, akkor M/N a G/N-nek normálosztója és (G/N)/(M/N) = G/M Tehát a következő az ábra: G ϕ G / N φ G / M = eϕ G / N /M / N A tétel persze felhasználja az egyik házifeladatot: Azt, hogy normálosztó képe a faktorcsoportban is normálosztó. A második lépésben a faktorcsoportot tehát ez alapján a normálosztó alapján fogjuk faktorizálni. Ez az M tehát az érdekes, akinek a képe normálosztó maradt. Ez egy N normálosztót tartalmazó normálosztó G-ben. Az eddigiek alapján világos, hogy a ϕ ϕ homomorfizmus szürjektív lesz. Persze az is világos, hogy Im ϕ ϕ = (G/N)/(M/N): ϕ G G / N eϕ ϕ eϕ G / N /M / N De mi lesz Ker ϕ ϕ? Kövessük útját a normálosztók szerinti mellékosztályokon egy G-beli g elemnek: g ϕ gn eϕ (gn)( M / N ) De milyen g-re lesz a vége az egységelem? Ha N-beli, akkor az első lépésben rögtön az egységelembe képződik, mivel Ker ϕ = N. Ehhez hasonlóan a második lépésben az M/N-beliek képződnek az egységelembe, azaz Ker ϕ = M/N. Ebben az M/N-ben lesznek tehát a gn mellékosztályok. Ha eleve M-beli m elemmel vesszük ugyanezt a mellékosztályt, akkor persze nem kapunk mást: Ekkor viszont a szokásos átalakítást elvégezve: gn = mn m 1 gn = N Azaz: Tehát ennek a g-nek M-ben kellett lennie: m 1 g N g mn M Ker ϕ ϕ = M Így mivel megvan ennek az izomorfizmusnak a magja, mondhatjuk azt is, hogy faktorizálhattunk volna egyből ezzel is, és akkor ezzel izomorfat kaptunk volna, visszakapva így a tétel alatt szereplő ábrát. 6 6 Ha valakinek az segít, a Fuchs-jegyzetbeli ábra így néz ki: G G / N G /M / M / N M M / N 1 G/M/M/N N N / N 5

6 2.7. Tétel (I. Izomorfizmus-tétel). Ha H a G csoport egy tetszőleges részcsoportja és N normálosztó G-ben, ekkor: HN/N = H/(H N) Az ábra tehát a következőképpen néz ki: H H / H N N N G = HN HN / N a) Először is nézzük az első leszálló nyilat. Legyen ez a homomorfizmus az, amikor megszorítjuk a ϕ : G G/N természetes leképezést H-ra: ϕ H : H G/N Namármost ennek a leképezésnek a magja értelemszerűen nem az N lesz (az ugyanis kilóghat H-ból), hanem N-nek a H-val való metszete a megszorítás miatt: Ker ϕ H = H N És ha a magról tudunk valamit, akkor érdemes előszednünk a Homomorfizmus-tételt: H /Ker ϕ H = Im ϕ H H / H N = Im ϕ H No erről az Im ϕ H -ról kéne kimondani a tétel másik felét, és akkor készen vagyunk. b) Vegyük hát második leszálló nyilat. Az előző példából okulva vegyük most megint a ϕ természetes homomorfizmust, de most HN-re szorítsuk meg: ϕ HN : HN G / N Ekkor ismét elgondolkodhatunk, mi lehet a mag: Hát megintcsak nem lehet más, mint N és HN közös része, ami jelen esetben maga N: Ker ϕ HN = N HN = N És ismét a Homomorfizmus-tételből: HN /Ker ϕ HN = Im ϕ HN HN / N = Im ϕ HN Na mármost csak azt kell megmutatnunk, hogy Im ϕ H = Im ϕ HN amivel nem kell sokat vesződnünk, mivel HN nem más, mint ϕ(h) teljes inverz képe. Tehát a végleges ábra: N H HN N G ϕ H H / H N = HN / N ϕ HN 6

7 3. Feloldható csoportok felépítése 3.1. Definíció (Egyszerű csoport). Egyszerű csoportnak nevezzük az olyan csoportot, amelynek pontosan két (a triviális) normálosztója van Példa. Tetszőleges n > 5-re az A n alternáló csoport egyszerű. Ezt később fogjuk bizonyítani. Kommutatív esetben az összes prímrendű ciklikus csoport Lemma. Ha egy G kommutatív csoportnak csak két részcsoportja van, akkor G prímrendű ciklikus csoport: p prím, G = C p 3.4. Definíció (Normállánc). Egy G csoport normállánca alatt egy részcsoportjaiból álló ilyen sorozatot értünk: G = N 0 N 1 N 2 N 3... N n 1 N n = {1} E normállánc faktorai az N 1 / N1, N2 / N3,..., Nn 1 / Nn faktorcsoportok. Ha veszünk két normálláncot, G = N 0 N 1 N 2 N 3... N n 1 N n = {1} G = M 0 M 1 M 2 M 3... M m 1 M m = {1}, akkor e két normálláncot ekvivalensnek vagy izomorfnak mondjuk, ha a fenti módon vett faktorcsoportjaik párbaállíthatók úgy, hogy a megfelelő csoportok izomorfak legyenek Példa. C 12 C 12 = Z / 12Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} E részcsoportok elemszáma: C 12 = = 12, 2 = 6, 4 = 3, 0 = 1 Így ennek faktorai a következők lesznek: C 2, C 2, C 3. Egy másik normálláncot véve: C 12 = Ezek elemszáma: 1 = 12, 3 = 4, 6 = 2, 0 = 1 Így ennek faktorai a következők lesznek C 3, C 2, C 2. Tehát ez a két lánc ekvivalens. D 3 D 3 f {1} faktorai: C 2, C 3 De itt más sorrendben nem jöhetnek ki a faktorok. 7

8 Felmerül a kérdés, hogy vajon mikor lehet bővíteni az ilyen kompozícióláncokat? Mikor lehet új tagot beszúrni? Azaz egy G = N 0 N 1 N 2 N 3... N n 1 N n = {1} kompozíciólánc N i N i+1 részébe bele lehet-e egy M-et a a következőképp ékelni: N i M N i+1 Vegyük az Ni / Ni+1 faktort. Ha ez nem egyszerű, akkor található benne egy M nemtriviális normálosztó. Felidézhetjük, hogy az N i -ben N i+1 normálosztót tartalmazó előforduló normálosztó(k) és az Ni / Ni+1 faktorcsoportban található normálosztók közt kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít a ϕ Ni+1 természetes homomorfizmus: N i N i / Ni+1 M M N i+1 1 N i/ni+1 Láthattuk, hogy az, hogy a faktorcsoport ne legyen egyszerű, szükséges és elégséges feltétel arra vonatkozólag, hogy a kompozíciólánc köztük finomítható legyen Definíció. Egy G csoport kompozíciólánca olyan normállánc, melynek faktorai egyszerű csoportok Megjegyzés. Ha G véges csoport, akkor van kompozícióánca is. Ha G végtelen, akkor ez már korántsem ilyen egyszerű. Pl.: C 1 = Z, + Itt nem lehet a 0 -ig leérni! H C, nem triv. H = k = C G = C H H Definíció. Egy G csoport feloldható, ha van olyan normállánca, ahol minden faktor Abel-csoport Állítás. Ha G-nek van kompozíciólánca, akkor G pontosan akkor feloldható, ha minden faktora prímrendű ciklikus. Ezt majd látni fogjuk a következő órán Példa. Tehát tetszőleges n 5 esetén S n nem feloldható, mivel egy kompozíciólánca: S n A n {1} Tétel (Jordan Hölder-tétel). Ha egy G csoportnak van kompozíciólánca, akkor bármely két kompozíciólánca izomorf. 8

3. Feloldható csoportok

3. Feloldható csoportok 3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. Mellékosztály, Lagrange tétele

1. Mellékosztály, Lagrange tétele 1. Mellékosztály, Lagrange tétele 1.1. Definíció. Legyen (G, ) csoport, H G részcsoport és g G tetszőleges elem. Ekkor a {gh h H} halmazt a H részcsoport g elem szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük

Részletesebben

Csoportok II március 7-8.

Csoportok II március 7-8. Csoportok II 2014 március 7-8. 1. Mellékosztályok 2. Lagrange tétele 3. Kompatibilis osztályozás, kongruenciareláció 4. Normálosztó, faktorcsoport 5. Konjugálás 6. Homomorfizmus, homomorfiatétel 7. Permutációcsoportok

Részletesebben

MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)

MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Gy ur uk aprilis 11.

Gy ur uk aprilis 11. Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,

Részletesebben

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik).

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik). 4. Részcsoportok 4.A. Csoport részhalmazainak félcsoportja Legyen (G, ) egy csoport és tekintsük G részhalmazait. Ha H, K G (H, K P(G)) definiáljuk ezek szorzatát így: HK = {hk : h H, k K}. Ha H = {h}

Részletesebben

Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel

Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus Általános algebra 2. Részalgebra, generálás 3. Kongruencia, faktoralgebra 2013 március 8. 4. Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus 2. Részalgebra,

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Fejezetek az algebrából jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak

Fejezetek az algebrából jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak Fejezetek az algebrából jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak Horváth Gábor Debreceni Egyetem 2016. május 10. Tartalomjegyzék Bevezetés 4 1. Sylow részcsoportok 5 1.1. Hatás...............................

Részletesebben

Egy kis csoportos elmélet

Egy kis csoportos elmélet Egy kis csoportos elmélet Molnár Attila 1. Röviden és tömören és keveset... 1. Definíció (Csoport). Egy G halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy művelet, melyre teljesül, hogy Asszociatív: Van neutrális

Részletesebben

Frobenius-csoportok. S z a k d o l g o z a t. Guld Attila. III. éves matematika BSc hallgató. Témavezető: Dr. Pelikán József, egyetemi adjunktus

Frobenius-csoportok. S z a k d o l g o z a t. Guld Attila. III. éves matematika BSc hallgató. Témavezető: Dr. Pelikán József, egyetemi adjunktus Frobenius-csoportok S z a k d o l g o z a t Guld Attila III. éves matematika BSc hallgató Témavezető: Dr. Pelikán József, egyetemi adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Algebra

Részletesebben

Direkt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések

Direkt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések Direkt esz, inverz esz, végtelen Galois-bővítések Az alábbi jegyzetben a direkt eszt, az inverz eszt, testek algebrai lezártjának létezését, ill. a végtelen Galois-csoportokat tekintjük át. Nem minden

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok

Részletesebben

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok. Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév)

ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév) ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév) Ismétlés 0. feladat O Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre (a) ϕ-nek 1-dimenziós a képtere; (b) ϕ-nek nincsen sajátértéke;

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei

I. POLINOMELMÉLET. 1. Polinomok gyökei I. POLINOMELMÉLET 1. Polinomok gyökei Ebben a paragrafusban legyen A integritástartomány, amely valamely K test részgyűrűje. Definíció. Azt mondjuk, hogy a c K elem az f(x) A[x] polinom gyöke, illetve

Részletesebben

Csoportelmélet jegyzet

Csoportelmélet jegyzet Csoportelmélet jegyzet Pongrácz András 2015. 1 CONTENTS 1. Bevezetés 2 2. Alapok 3 2.1. Csoport fogalma 3 2.2. Részcsoportok, példák 3 2.3. Homomorfizmusok, normálosztók 6 2.4. Izomorfizmustételek 8 3.

Részletesebben

Algebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak. Horváth Gábor

Algebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak. Horváth Gábor Algebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak Horváth Gábor Debreceni Egyetem 2016 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. M veletek, algebrai struktúrák 6 2. A csoportelmélet alapjai 11 2.1. Homomorzmusok,

Részletesebben

1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Loops and Groups. tudni ezzel kapcsolatban valamit? A válasz: 4 nilpotenciaosztályú loopot sem találtak még kommutatív belső permutációcsoporttal.

Loops and Groups. tudni ezzel kapcsolatban valamit? A válasz: 4 nilpotenciaosztályú loopot sem találtak még kommutatív belső permutációcsoporttal. Válasz Szendrei Máriának a Loops and Groups című doktori értekezésem bírálatára Mindenek előtt nagyon megköszönöm Szendrei Mária alapos és körültekintő munkáját, amit a nagyon jó kérdései is bizonyítanak.

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )

Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( ) Csoportelmélet ( A csoportaxiómák nem tartalmaznak ellentmondást mert az { } csoportot alkot. Fizika felépítése: fizikai valóság fizikai modellek matematikai modellek (átjárhatók reprezentációk (áttranszformálhatók

Részletesebben

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n} Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Az általános (univerzális) algebra kialakulása,

Az általános (univerzális) algebra kialakulása, Néhány hasonló tétel. Az általános (univerzális) algebra kialakulása, néhány eredménye. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2013. május 8. A csoportelméleti homorfiatétel. Legyen G, H két csoport, ϕ: G

Részletesebben

MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26.

MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26. MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT 2015. ÁPRILIS 26. 1. Lineáris algebra, csoportok definíciója 1.1. Feladat. (Közösen megbeszéltük) Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.

Részletesebben

és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?

és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen? 3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

2 ) x G : xhx 1 = H, 3 ) x G : x 1 Hx = H. Tehát H akkor és csak akkor normálrészcsoport, ha H minden konjugáltja egyenlő H-val, lásd 4.F. szakasz.

2 ) x G : xhx 1 = H, 3 ) x G : x 1 Hx = H. Tehát H akkor és csak akkor normálrészcsoport, ha H minden konjugáltja egyenlő H-val, lásd 4.F. szakasz. 6. Normálrészcsoportok 6.A. Normálrészcsoportok és jellemzésük A (G, ) csoport egy H részcsoportját normálrészcsoportnak (normális részcsoportnak vagy normálosztónak vagy invariáns részcsoportnak) nevezzük,

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...

RSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,... RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Transzformációcsoportok jegyzetvázlat

Transzformációcsoportok jegyzetvázlat Transzformációcsoportok jegyzetvázlat Készítette: Nagy Gábor adjunktus 2001. február Bevezető Már az általános iskola óta ismeretes, hogy derékszögű koordinárendszer bevezetésével a euklideszi sík és a

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Algebra jegyzet államvizsga témákból

Algebra jegyzet államvizsga témákból Algebra jegyzet államvizsga témákból Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet Andrei Marcus Algebra jegyzetéből és Cosmin Pelea és Ioan Purdea

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a

A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a 1. A csoport fogalma 1.1. Szimmetriák leszámlálása A szimmetriák tanulmányozása természetesen elvezet a csoport absztrakt algebrai fogalmához. Ezt a következő elemi geometriai kérdés megválaszolásával

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Csima Judit október 24.

Csima Judit október 24. Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2018. október 24. Csima Judit Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek 1 / 1 Relációs sémák

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom? Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Homogén struktúrák reduktjai

Homogén struktúrák reduktjai Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bodor Bertalan Matematikus MSc Homogén struktúrák reduktjai Az F ω p vektortér reduktjai páratlan prímek esetén Szakdolgozat Témavezető: Szabó Csaba

Részletesebben

n =

n = 15. PÉLDÁK FÉLCSOPORTOKRA ÉS CSOPORTOKRA 1. Az R 3 tér vektorai a derékszög½u koordinátarendszerben az a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) alakban adottak az a 1 ; a 2 ; a 3 2 R valós számokkal. A vektoriális szorzás

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

1. Bázistranszformáció

1. Bázistranszformáció 1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz

Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz 2011. tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban,

Részletesebben

Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül

Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül 1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív

Részletesebben

Malinoczki Gergely. Galois-elmélet és alkalmazásai

Malinoczki Gergely. Galois-elmélet és alkalmazásai Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomnyi Kar Malinoczki Gergely Galois-elmélet és alkalmazásai BSc Alkalmazott Matematikus Szakdolgozat Témavezet : Somlai Gábor Algebra és Számelmélet Tanszék Budapest,

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

megválaszolása: E. Galois elmélete.

megválaszolása: E. Galois elmélete. Galois életéről A megoldhatóság kérdésének megválaszolása: E. Galois elmélete. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2013. április 17. 1811. október 25-én született egy Párizs közeli kisvárosban Bourg-la-Reine-ben,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Készítette: Nyilas Árpád Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 2 Bizonyítások 1)

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben