Egy kis csoportos elmélet
|
|
- Attila Orosz
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Egy kis csoportos elmélet Molnár Attila 1. Röviden és tömören és keveset Definíció (Csoport). Egy G halmaz csoport, ha értelmezett rajta egy művelet, melyre teljesül, hogy Asszociatív: Van neutrális elem: ( a, b, c G) ( (a b) c = a (b c) ) ( e G)( g G) ( e g = g e = g ) Minden elemének van inverze: ahol e (az) egységelem. ( g G)( g 1 G) ( g g 1 = g 1 g = e ) 2. Definíció (Abel-csoport). Abel-csoportnak nevezzük a kommutatív csoportokat, azaz a fenti felsoroláshoz még képzeljük hozzá ezt: Kommutatív: ( a, b G) ( a b = b a ) 3. Definíció (Részcsoport). A G csoportban H egy részcsoport, ha H minden eleme G-nek is eleme, és csoportot alkot a G-beli műveletre nézve. Jelölés: H G. 4. Állítás. Akkor és csak akkor igaz, hogy H G, ha 1. H zárt a műveletre, ( h 1, h 2 H) ( h 1 h 2 H ) 2. H tartalmazza G neutrális elemét. ( e G)( g G) ( (e g = g g e = g) ( h H)(e h = h h e = h) ) 3. H zárt az inverzképzésre. ( h H) ( h 1 H ) Néhány észrevétel: A második pont ekvivalens azzal a kikötéssel, hogy H nem üres. A G és H egységeleme ugyanaz. 1
2 2. Csoportok innen, csoportok onnan Variációk egész számokra Z + : Az egész számok az összeadásra nézve: G := Z = {... 2, 1, 0, 1, 2,...} Z + e := 0 := + g 1 := g Z + n : Az egész számok az összeadásra nézve modulo n. Ez azt jelenti, hogy a számok n-nel vett osztási maradékai jöhetnek csak szóba. Pl. ha n = 6, akkor bár nyugodtan írhatunk 8-at, az nem fog mást jelenteni, mint 2-t, 14-et, vagy akár t. (Az elemek most tehát nem a szokásos számaink, hanem az osztási maradék alapján vett ekvivalenciaosztályok lesznek, melyeket egy-egy elemükkel reprezentálunk, pl. a 6-tal osztva 4 maradékot adókat a 4-gyel:) Z + n G := Z n = {0, 1, 2,... n 1} e := 0 := + g 1 := g = n g Z + n =n Z n : Az egész számok a szorzásra nézve modulo n: Itt most kihagyjuk a nullát, mert azzal elromlana az inverztulajdonság, és elhagyunk minden olyan számot, amely osztja n-t hiszen akkor megkapnánk a 0-át. Tehát azokat a számokat fogja ez tartalmazni, amelyek relatív prímek n-hez, és így a Z n = ϕ(n), ahol ϕ a számelméletből ismert Euler-féle ϕ függvény (ami a számhoz a hozzá relatív prímek számát rendeli). G := Z n = {1,... n 1} Z n e := 1 := g 1 := spec. Itt az inverzképzés egyébként érdekes: Z 5 -ben pl. Z n =ϕ(n) 1 1 = = = = = = 16 1 = ( 1)( 1) 4 4 2
3 2.2. Cserebere-forgatós: Szimmetriacsoportok, permutációcsoportok S n: Ezek az úgynevezett szimmetriacsoportok. Nevüket onnan kapták, hogy elemeik afféle szimmetriák; Olyan bijekciók, amelyek egy alakzatot önmagába visznek. Elképzelhetjük ezt például úgy, hogy egy négyzet csúcsait valamilyen trükkös módszerrel összekeverjük, megpermutáljuk. Ez a permutáció egy elem lesz tehát a csoportban (tehát nem a csúcsok az elemek, hanem ezek a permutációk!). A csoportok közti művelet pedig lévén függvények az elemek a kompozíció. Mondjuk egy ilyen elem, ha egy kocka két csúcsát megcseréljük, a többit meg meghagyjuk. Adja magát, hogy az ilyen permutációkat megadhatjuk a következőképpen, mondjuk S 4 -ben: [ ] g = Ez azt mondja, hogy az 1-essel megjelölt csúcs a 2-essel megjelölt csúcs helyére kerül, míg a 2- ssel megjelölt csúcs az 1-essel megjelölt csúcs helyére kerül azaz helyet cserélnek. Világos, hogy ennek az elemnek a négyzete (g g) maga az id identitás, azaz egységelem. Ennek az elemnek tehát például önmaga az inverze. Bár ez egy alkalmas jelölés, mégsem ezt fogjuk általában használni. Az előbbi esetben felírhatjuk azokat a köröket, amik egy idő után önmagukba visszatérnek. Az előbbi tehát így nézne ki (lineárisan fogjuk írni, de képzeljük őket körbe!): g = (12)(3)(4) De mivel a g = (12) pont ugyanolyan beszédes, ezért az ilyen egyes köröket elhagyjuk. Tehát mégegyszer: egy ilyen ( k) sorban úgy működik a körbepermutálás, hogy minden szám a következőbe jut, az utolsó pedig az elsőbe. Ebből már persze következik, hogy egy ilyen k hosszú körnek a k-szorosa lesz az inverze. Lássunk akkor egy műveletet! (A kompozíciót egymás mellé írással rövidítjük) Az algoritmus a következő: Leírjuk a következőt: (123)(23) (1 Majd elgondolkodunk, hova viszi az 1-et az első függvény? (Figyelem! Kompozíció miatt jobbról megyünk, azaz most a (23)-on kell töprengenünk!) Hát az első függvény sehova sem (azaz önmagába) viszi. Hova viszi a második, azaz az (123)? Hát ez bizony a 2-esbe viszi. Akkor továbbírjuk: az 1-est ez bizony a 2-esbe viszi: (12 Hát a kettesel mi történik? a 2-est az első (jobbról persze) a 3-asba viszi. Remek! Hova viszi a második a 3-ast? Hát az egyesbe. Ezzel azonban körbeértünk, a zárójelt bezárhatjuk: (12) Persze mehetnénk tovább, de rögtön látszik is ezen meggondolásokból, hogy a 3-as önmagába kerül vissza. Tehát: (123)(23) = (12) Kombinatorikai ismereteinkből egyébként azt is pontosan tudjuk, hogy S n -ben n! darab ilyen elem lesz. Tömören tehát a kis összefoglaló: [ ] [ ] [ ] G := S n = {,,..., } n n 1 n 2... id S n!) n = {id, (12),..., (1... n) } Sn =n!) e := id := g 1 := g 1 3
4 2.3. Tükrözős-forgatós: Diédercsoportok D n: Ez egy olyan speciális szimmetriacsoport, ahol az alakzat egy szabályos n-oldalú sokszög, és a csoport elemei nem akármilyen bijekciók, hanem a távolságtartó bijekciók: Ezeket a geometriában egybevágóságoknak nevezzük. A középiskolában lényegében három egybevágósággal találkozhattunk: Eltolással, forgatással 1 és tengelyes tükrözéssel. Sokszög önmagába vivő bijekcióit az eltolások közt biztosan nem kell keresnünk. Forgatások jók lesznek, ebből természetesen n darab van, mert a forgatásokkal a többi n 1 csúcsba juthatunk el, és még ott van az identitás, ami talán csúnyán mondva 0 -os forgatás. Tükrözésből szintén n darab van, mivel páratlan csúcsú sokszögek esetén minden csúcsra jut egy, páros csúcsúak esetén minden második csúcsra és minden második oldalfelezőpontra jut egy. Összesen tehát 2n darab elem lesz ebben az elemben. Vegyük észre, hogy a tükrözések és a forgatások élesen különböznek egymástól, hiszen a tükrözések megfordítják a sokszög körüljárását, míg a forgatások ilyet nem tesznek 2 azaz nem számoltunk egy elemet kétszer. A diédercsoport elemeinek a felírása a következő stratégiát követi: Az identikus leképezés szokás szerint id lesz. A forgatások megkapható a legkisebb szögű forgatás különböző hatványaiként 3, így azokat majd f hatványaival fogjuk jelölni. A tükrözések pedig megkaphatók úgy, hogy vesszük az egyik tükrözés tengelyét, majd ha ez megvan, akkor előbb a kívánt helyre forgatunk, és csak utána tükrözünk. Tehát a diédercsoport elemei (ne felejtsük, hogy a művelet a kompozíció, ami jobbról kezdendő!): D n = {id, f, f 2,..., f n 1, t, tf, tf 2,..., tf n 1 } D n } G := D n = {id, f, f 2,..., f n 1, t, tf, tf 2,..., tf n 1 Dn =2n e := id := g 1 := spec. Itt is egymásmelléírással fogjuk írni a kompozíciót. Csináljunk itt is egy kis számolást, mondjuk D 6-ben: (tf 3 )(f 4 )(t)(tf 5 )(t)(f 2 ) Azon fogunk lovagolni, hogy a tükrözés inverze önmaga, a forgatások modulo működnek, valamint a szorzás asszociatív és végül azon, hogy igaz a következő: tf k t = f k Ez onnan látszik, hogy a jobbról szorozva f k -val és kicsit csoportosítva a következő adódik: (tf k )(tf k ) = id Amiről tudjuk, hogy igaz, hiszen tf k valamelyik tengelyes tükrözés, ami saját magának az inverze. (Ennek a tengelye ugye k forgatásnyira van a t tengelytől.) 4 1 : A középpontos tükrözés a forgatás speciális esete: ϕ = Ezt úgy mondják, hogy a tükrözések irányításváltó transzformációk, míg forgatások irányítástartó egybevágóságok azaz ún. mozgások. 3 : Már úgy is fogalmazhatunk, hogy a forgatások részcsoportja ciklikus és a legkisebb szögű forgatás generálja. Azaz nem más, mint f. 4 Becsületesen azért a következőt kéne írnom: tf k t 1 = f k Ez ugye ugyanaz, hiszen a tükrözések inverzei önmaguk. Mégis fontos, hogy a baloldalon egy bizonyos művelet áll, melynek neve: konjugálás. A baloldalon lévő dolog nem más, mint f k -nak a t-vel való konjugálása. Ez a művelet nem csak itt, nagyon sok helyen előfordul, és szinte mindenütt kivételes jelentősége van. Kategóriaelmélet szemüvegén keresztül egyébként (az objektumok helyébe rögtön egy példát helyettesítve): [1234] [3214] kommutatív. = [2341] [4321] 4
5 Tehát a példa: 2.4. Kvaterniók (tf 3 )(f 4 )(t)(tf 5 )(t)(f 2 ) = t f 5 f 4 tt f 2 id = t f 2 f 5 f f 5 tf 2 = tf 2 = f 2 = = tft f 1 = f 1 f 2 = f Q: A kvaterniócsoport. Q G := Q = {1, i, j, k, ( 1), ( i), ( j), ( k)} Q =8 e := 1 := { g, ha g=1 g 1 := g máskor A szorzás pedig a következőképpen megy: 5 i 2 = j 2 = k 2 = ( 1), ij = k jk = i ki = j, ji = ( k) kj = ( i) ik = ( j), ( 1)i = ( i) ( 1)j = ( j) ( 1)k = ( k) Egy példa: k( 1)ji 3 k 2 ( k)ij( k)jji = ( k)ji 3 k 2 ( k)ij( k)jji = = ( k)( k)i 2 k 2 ( k)ij( k)jji = = ( 1) 2 k 2 i 2 k 2 ( k)ij( k)jji = = ( 1)i 2 k 2 ( k)ij( k)jji = = ( 1)( 1)k 2 ( k)ij( k)jji = = k 2 ( k)ij( k)jji = = ( 1)( k)ij( k)jji = = kij( k)jji = = jj( k)jji = = ( 1)( k)jji = = kjji = = k( 1)i = = ( 1)ki = = ( 1)j = j 5 Azt, hogy a szorzás asszociatív, úgy látjuk be, hogy a kvaterniócsoport izomorf a következő komplex számok fölötti 2 2-es mátrixok által generált részcsoporttal (ez két bizonyítandó: részcsoport/izomorfia): ««««1 0 i i E = I = J = K = i 1 0 i 0 ««««1 0 i i E = I = J = K = i 1 0 i 0 5
6 2.5. Táblázatok, listák... Mátrixok GL(2, C): Általános lineáris csoport. Ezek elemei C komplex test fölötti 2 2-es invertálható (azaz kétoldali inverzzel rendelkező) mátrixok, a művelet pedig a mátrixszorzás. 6 GL(2, C) {( ) a b G := GL(2, C) = ( ) c d 1 0 e := E = 0 1 := g 1 := spec. } : a, b, c, d C A mátrixszorzás: ( ) a 1 b 1 ( ) ( c 1 d 1 ) a2 b 2 a1 a 2 + c 1 b 2 b 1 a 2 + d 1 b 2 c 2 d 2 a 1 c 2 + c 1 d 2 b 1 c 2 + d 1 d 2 6 Természetesen lehet 2 helyett tetszőleges n-re is venni, ez esetben mindenhol ki kell cserélni a 2-t n-re. (Például az inverznél!) 6
7 3. És most némi elmélkedés a csoportokon belül Mellékosztályozás 5. Definíció (Mellékosztályok). Legyen H = (H, ) a G = (G, ) csoport egy H G részcsoportja. Ha veszünk egy rögzített g G elemet, akkor a következő halmazt gh halmazt a G csoport H szerinti bal oldai mellékosztályának nevezzük: gh = {g h : h H} Hasonlóképp értelmezzük a G csoport H szerinti jobb oldali mellékosztályát is: Hg = {h g : h H} 6. Állítás. A G csoport H részcsoportjának összes lehetséges baloldali mellékosztályai egy felosztását adja a G alaphalmazának. Ugyanígy tesznek a H szerinti jobboldali mellékosztályok is. Például: Vegyük a G = S 3 szimmetrikus csoportot! Ebben (egy igen egyszerű) részcsoportot alkot a H = ({1, (12)}, }. Nézzük meg S 3 csoport H szerinti baloldali mellékosztályait. 1. idh = {id id, id (12)} = {id, (12)} 2. (12)H = {(12) id, (12) (12)} = {(12), id} g G-re gh : 3. (23)H = {(23) id, (23) (12)} = {(23), (132)} 4. (13)H = {(13) id, (13) (12)} = {(13), (123)} 5. (123)H = {(123) id, (123) (12)} = {(123), (13)} 6. (132)H = {(132) id, (132) (12)} = {(132), (23)} Sikeresen mindent kétszer mondtunk, kétszer mondtunk, ennek hol a gyökere? látjuk, hogy pl.: (132) (12) = (23) (23) (12) = (132) Márpedig ha jobbról komponáljuk az elsőt (12) 1 = (12)-vel, akkor rögtön megkapjuk a másodikat. Hát ezért. Tehát a csoportunk felosztása a H szerinti bal oldali mellékosztályokkal valahogy így néz ki: Vagy ábrán, kicsit bénán rajzolva: G F = {H, (13)H, (23)H} = {{id, (12)}, {(13), (123)}, {(23), (132)}} id (123) (132) H H(23) H(13) (12) (23) (13) Míg a jobboldali mellékosztályok szerinti felosztás: 1. Hid = {id id, (12) id} = {id, (12)} 2. H(12) = {id (12), (12) (12)} = {(12), id} g G-re Hg : 3. H(23) = {id (23), (12) (23)} = {(23), (123)} 4. H(13) = {id (13), (12) (13)} = {(13), (132)} 5. H(123) = {id (123), (12) (123)} = {(123), (23)} 6. H(132) = {id (132), (12) (132)} = {(132), (13)} id H (123) H(23) (132) H(13) (12) (23) (13) 7
8 Tehát ez a H hol így oszt, hol úgy oszt, attól függően, hogy bal vagy jobboldali mellékosztály. No de vegyük most az N = {id, (123), (132)} részcsoportot! Nézzük meg ennek a jobb és baloldali mellékosztályait! (Mivel részcsoport, a benne lévő elemekkel megszorozni és kíváncsian várni az eredményül kapott halmazt igen kiábrándító, és ezért azokat most nem végezzük el. g G-re gn : g G-re gn : 2. (12)N = {(12) id, (12) (123), (12) (132)} = {(12), (23), (13)} 4. (23)N = {(23) id, (23) (123), (23) (132)} = {(23), (13), (12)} 6. (13)N = {(13) id, (13) (123), (13) (132)} = {(13), (12), (23)} 2. N(12) = {id (12), (123) (12), (132) (12)} = {(12), (13), (23)} 4. N(23) = {id (23), (123) (23), (132) (23)} = {(23), (12), (13)} 6. N(13) = {id (13), (123) (13), (132) (13)} = {(13), (23), (12)} De ezen sem kellene meglepődnünk. Mondjunk legalább 3 indoklást, hogy miért nem kellett volna ezt háromszor végigszámolni! id N (123) N (132) (12) N(12) (12)N N(12) (23) (13) (12)N És ami a szép, hogy ebben az esetben: gn = Ng 3.2. Normálosztó 7. Definíció. Egy ilyen G csoportot ilyen szépen, normálisan szétosztó N részcsoportokat normálosztóknak nevezzük. Tehát amire a fenti teljesül, jelölésben N G ( g G) ( N G gn = Ng ) def. 8. Megjegyzés. Talán nem meglepő, hogy Abel-csoportban minden részcsoport normálosztó. Nézzük meg ezt egy kicsit közelebbről! gn = Ng az tulajdonképpen nem más, mint ( ez most nem egyszerű leosztás leosztás lesz, mivel komplexusszorzásról van szó, de igazából arra is igaz): gng 1 = N Ami tulajdonképpen azt jelenti, hogy ( g G)( n N)(g n g 1 N) Amit úgy is szokás mondani, hogy N zárt a g-vel való konjugálásra. Ez ad a kezünkbe egy relációt. Az a G és b G konjugáltak, ha akb ( g G) ( g a g 1 = b ) def. Ez egy ekvivalenciareláció: reflexív: aka mert vagy e a e 1 = a a a a 1 = a 8
9 szimmetrikus: akb bka mert g a g 1 = b a = (g 1 ) b (g 1 ) 1 tranzitív: (akb bkc) akc mert g a g 1 = b h b h 1 = c h g a g 1 h 1 = c (h g) a (h g) 1 = c Tehát a normálosztó képes konjugáltosztályokra, azaz konjugálásra zárt osztályokra bontani a csoportját. Ezek közt az osztályok közt értelmezünk is mindjárt egy műveletet, és kapunk egy újabb csoportot, az ún. faktorcsoportot. Ez jól jön akkor, mikor konkrét elemek helyett valamilyen invariánst szeretnénk megragadni, amiről tudjuk, hogy nem elemet, hanem hasonló elemeket, egy osztályban lévő elemeket jellemez Faktorcsoport 4. Elmélkedés a csoportok közt: Homomorfizmusok 9
Csoportok II március 7-8.
Csoportok II 2014 március 7-8. 1. Mellékosztályok 2. Lagrange tétele 3. Kompatibilis osztályozás, kongruenciareláció 4. Normálosztó, faktorcsoport 5. Konjugálás 6. Homomorfizmus, homomorfiatétel 7. Permutációcsoportok
Részletesebben1. Mellékosztály, Lagrange tétele
1. Mellékosztály, Lagrange tétele 1.1. Definíció. Legyen (G, ) csoport, H G részcsoport és g G tetszőleges elem. Ekkor a {gh h H} halmazt a H részcsoport g elem szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenAlgebra és számelmélet blokk III.
Algebra és számelmélet blokk III. 2008/2009 tavasz Károlyi Gyula órái alapján Molnár Attila 2. óra 2009. március 10. 1. Generált, normális és karakterisztikus részcsoportok 1.1. Definíció (Generált részcsoport).
RészletesebbenMM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenMM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem
RészletesebbenWaldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok 0. Ha G egy véges csoport, akkor nyilván csak véges sok részcsoportja van. Legyen most G végtelen. Ha van végtelen rend g G elem, akkor g (Z, +), aminek
RészletesebbenCsoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )
Csoportelmélet ( A csoportaxiómák nem tartalmaznak ellentmondást mert az { } csoportot alkot. Fizika felépítése: fizikai valóság fizikai modellek matematikai modellek (átjárhatók reprezentációk (áttranszformálhatók
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenMTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Részletesebben1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Részletesebbenn =
15. PÉLDÁK FÉLCSOPORTOKRA ÉS CSOPORTOKRA 1. Az R 3 tér vektorai a derékszög½u koordinátarendszerben az a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) alakban adottak az a 1 ; a 2 ; a 3 2 R valós számokkal. A vektoriális szorzás
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMozdony egy algebrista képerny jén
Mozdony egy algebrista képerny jén Czédli Gábor (Szeged, Egyetemi Tavasz, 2015.04.18.) 2015. április 18. Csoport (a SZIMMETRIA absztrakciójából) 0'/20 Deníció Évariste Galois (1811. okt. 11 1832. május
Részletesebben24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)
24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
Részletesebben3. Feloldható csoportok
3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b
Részletesebben16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
RészletesebbenCsoportelméleti feladatok feldolgozása
Csoportelméleti feladatok feldolgozása SZAKDOLGOZAT Készítette: Dukán András Ferenc Matematika BSc - tanári szakirány Témavezeto : Dr. Szabó Csaba, egyetemi docens ELTE TTK Algebra és Számelmélet Tanszék
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Részletesebben1. Szimmetriák. Háromszög-szimmetria. Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3
Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
RészletesebbenWaldhauser Tamás szeptember 8.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenMikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?
Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy
RészletesebbenAlgebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak. Horváth Gábor
Algebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak Horváth Gábor Debreceni Egyetem 2016 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. M veletek, algebrai struktúrák 6 2. A csoportelmélet alapjai 11 2.1. Homomorzmusok,
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk
Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenCsoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül
1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenFeladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFüggvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
RészletesebbenA színezett frízek osztályozása
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Geometria Tanszék Szakdolgozat A színezett frízek osztályozása Készítette: Csiki Nóra Matematika ábrázoló geometria szak Témavezet : Dr. Szenthe János
Részletesebben13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenAlgebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok
Algebra gyakorlat, 2. feladatsor, megoldásvázlatok 1. a) (1 2)(2 3)(3 4)(4 5) = (1 2 3 4 5). b) Az állítás például k szerinti indukcióval könnyen belátható, az igazságtartalma közvetlenül is ellen rizhet
RészletesebbenALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév)
ALKALMAZOTT ALGEBRA FELADATOK (2016 tavaszi félév) Ismétlés 0. feladat O Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre (a) ϕ-nek 1-dimenziós a képtere; (b) ϕ-nek nincsen sajátértéke;
RészletesebbenSE EKK EIFTI Matematikai analízis
SE EKK EIFTI Matematikai analízis 2. Blokk A számelmélet a matematikának a számokkal foglalkozó ága. Gyakran azonban ennél sz kebb értelemben használják a számelmélet szót: az egész számok elméletét értik
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenMatematikatanárok Klubja
Tanárklub 2015. okt. 7. 1 / 17 Matematikatanárok Klubja Szimmetriák és leszámlálások Kiss Emil http://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/ ewwkiss@gmail.com 2015. okt. 7. Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy
RészletesebbenMatematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök és más geometriai formák... G. Galilei, Il Saggiatore
A Természet nagy könyve mindig nyitva áll szemünk elött, és az igaz bölcselet van megírva benne... De nem olvashatjuk azt másképp, csak ha elébb megtanuljuk a nyelvet s jeleket, mellyel íratott... Matematikai
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenÁltalános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel
1. Algebrai struktúra, izomorfizmus Általános algebra 2. Részalgebra, generálás 3. Kongruencia, faktoralgebra 2013 március 8. 4. Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus 2. Részalgebra,
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenGráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
RészletesebbenFried Katalin Korándi József Török Judit. A modern algebra alapjai
Fried Katalin Korándi József Török Judit A modern algebra alapjai Tartalomjegyzék 1. Bevezető 5 2. Algebrai műveletek 7 3. Félcsoportok 20 4. Csoportok 31 5. Mellékosztályok, normálosztó 50 6. Csoport
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenFELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON)
FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-02-04 A 2. fejezet feladatai megoldva
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
Részletesebbenx = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2
Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
Részletesebbenmatematika alapszak Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária
ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET vázlat az előadáshoz matematika alapszak 2019-20, őszi félév Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária 1. Komplex számok Kanonikus alak, konjugált, abszolút
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Permutációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév 1. Definíció. Permutációnak nevezzük egy nemüres (véges) halmaz önmagára való bijektív leképezését. 2. Definíció. Az {1, 2,...,
RészletesebbenMBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26.
MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT 2015. ÁPRILIS 26. 1. Lineáris algebra, csoportok definíciója 1.1. Feladat. (Közösen megbeszéltük) Adjunk meg olyan ϕ lineáris transzformációját a síknak, amelyre
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
Részletesebben