Egyenletek, egyenlőtlenségek IV.

Átírás

1 Egyenletek, egyenlőtlenségek IV. Szöveges feladatok megoldásának lépései:. Értelmezzük a feladatot, az adatok között összefüggéseket keresünk és tervet készítünk. 2. Megválasztjuk az ismeretlent, majd a szövegben szereplő információk segítségével felírunk egy egyenletet (egyenlőtlenséget, egyenletrendszert). 3. Megoldjuk a felírt egyenletet (egyenlőtlenséget, egyenletrendszert). 4. Ellenőrizzük a megoldást a szövegbe való visszahelyettesítéssel. 5. Diszkusszió: Mennyi megoldása van a feladatnak és megoldható e másképpen is a feladat? 6. A kérdésre szöveges választ adunk. Szöveges feladatok típusai: Számjegyekkel kapcsolatos, helyiértékes feladatok Geometriával kapcsolatos, méréses feladatok Együttes munkavégzéssel kapcsolatos feladatok Kémiával kapcsolatos, keveréses feladatok Fizikával kapcsolatos, mozgásos feladatok Kamatos kamat számítással kapcsolatos, százalékszámításos feladatok Egyéb, vegyes Megjegyzés: Az ismeretlent a kérdés alapján célszerű megválasztani. Bizonyos típusoknál az egyenlet felírását megkönnyíti, ha előtte ábrát, illetve táblázatot készítünk a szövegben szereplő adatokkal. Egyes típusoknál különböző képletek alkalmazására van szükség, pl.: fizikában v = s t.

2 . Két szám aránya 2: 3. Az egyik 5 tel nagyobb, mint a másik. Melyik ez a két szám? Legyen az egyik keresett szám 2, a másik pedig 3. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 3. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 5. Válasz: A keresett számok a 0 és a Gondoltam egy számot. Hozzáadtam 4 et. Az összeget megszoroztam 2 vel, majd az eredményből kivontam 8 at, s így ugyanazt a számot kaptam, mint amire gondoltam. Melyik ez a szám? Legyen a gondolt szám az. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ( + 4) 8 =. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 0. Válasz: A gondolt szám a Egy tört nevezője 5 tel nagyobb a számlálójánál. Ha a tört számlálójához 4 et hozzáadunk, a nevezőjéből pedig et elveszünk, akkor a tört reciprokával egyenlő nagyságú törtet kapunk eredményül. Melyik ez a tört? Legyen a tört számlálója, a nevezője pedig + 5. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: = = + 5. Válasz: A gondolt tört a

3 4. Ha egy szám 5 % - ához hozzáadunk 9 öt, akkor a szám 8 % - át kapjuk. Melyik 5 ez a szám? Legyen a gondolt szám az. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = = 8. Válasz: A gondolt szám a Egy tízforintost felváltunk 0 és 20 filléresekre. Hány darabot kapunk mindegyikből, ha összesen 90 pénzdarabot kapunk vissza? Legyen a 0 filléresek száma, a 20 filléreseké pedig 90. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (90 ) = 0. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 80. Válasz: A 0 filléresekből 80 darabot, a 20 filléresekből pedig 0 darabot kapunk. 6. Albi és Béni pénzének aránya 4: 5. Ha Albi kap még Ft ot, és Béni elkölt 200 Ft ot, akkor ugyannyi pénze lesz a két fiúnak. Hány forintja volt eredetileg Albinak, illetve Béninek? Legyen Albi pénzének mennyisége 4, a Bénié pedig 5. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4 + = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 300. Válasz: Albinak 200 Ft ja, Béninek pedig 500 Ft ja volt. 3

4 7. Anna, Bea és Cili zsebpénzének aránya 2 : 3 : 4. Hány forintjuk van külön külön, ha Bea és Anna pénzének a különbsége 40 Ft tal több Cili és Bea pénzének különbségénél? Legyen Anna pénze 2 3, Beáé 3 4, a Cilié pedig 4 5. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 2 = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 200. Válasz: Annának 800 Ft ja, Beának 900 Ft ja, míg Cilinek pedig 960 Ft ja van. 8. Négy CD lemezen összesen 0 kötetnyi anyagot sikerült tárolni. Ha az elsőn 5 tel többet, a másodikon 70 nel kevesebbet, a harmadikon kétszer annyit, a negyediken pedig feleannyit tárolnánk, akkor mindegyik lemezen ugyanannyi kötet szerepelne. Hány kötet szerepel az egyes lemezeken külön külön? Legyen az egyenlő kötetek száma. Ekkor a lemezeken található kötetek száma: 5; + 70; 2 ; 2. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 0. 2 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 20. Válasz: A lemezeken 95; 280; 05 és 420 kötet szerepel. 9. Egy apa kétszer annyi idős, mint a fia. Tíz évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint a fia. Hány éves most az apa és fia? Legyen a fiú életkora, az apáé pedig 2. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 3 ( 0) = 2 0. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 20. Válasz: A fiú 20, az apa pedig 40 éves. 4

5 0. Három testvér életkorának összege 40 év. A középső 3 évvel öregebb a legkisebbnél, de 4 évvel fiatalabb a legidősebbnél. Hány évesek külön külön? Legyen a középső testvér életkora, a legkisebbé 3, a legidősebbé pedig + 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 40. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 3. Válasz: A testvérek életkora 0; 3 és 7 év.. Egy apa azt mondja 8 éves lányának:,,amikor annyi idős leszel, mint most én, akkor 60 esztendős leszek. Hány éves az apa? Legyen az apa életkora. Ekkor az életkorok különbsége: 8. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: + 8 = 60. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 34. Válasz: Az apa 34 éves. 2. Egy kutya 80 m távolságban meglát egy nyulat, és elkezdi üldözni. A két állat egyszerre kezd futni a kutyát a nyúllal összekötő egyenes mentén. A nyúl 0 et, a kutya 9 et ugrik másodpercenként. Mennyi idő alatt éri utol a kutya a nyulat, ha a kutyaugrás m hosszú, a nyúlugrás pedig csak 80 cm? Legyen az eltelt idő másodperc. Ekkor a kutya által megtett út 9 = 9, a nyúlé pedig 0 0,8 = 8. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 9 = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 80. Válasz: A kutya 80 s után éri utol a nyulat. 5

6 3. Egy kirándulás során a költségeinket a következőképpen tudtuk fedezni. Az első nap elköltöttük pénzünk át és még 900 Ft ot, a második nap a megmaradt rész 3 át és még 600 Ft ot, így az utolsó, harmadik napon 400 Ft ot költöttünk el. 3 Mennyi pénzt vittünk magunkkal a kirándulásra? Legyen az elvitt pénz mennyisége. Ekkor az első nap után maradt pénz mennyisége: 900 = A második nap után pedig: (2 900) 600 = A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = Válasz: A kirándulásra Ft ot vittünk magunkkal. 4. Egy háromnapos kerékpártúra első napján megtettük az út negyedét és még 6 km t, a második napon a hátralevő út harmadát és még 2 km - t, így az utolsó napra 44 km maradt. Milyen hosszú volt a kerékpártúra? Legyen a túra hossza. Ekkor az első nap után maradt út hossza: 6 = A második nap után pedig: (3 6) 2 = A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 6 = Az egyenlet rendezése után a megoldás: =. Válasz: A kerékpártúra hossza km volt. 5. Mennyi kézfogás történt a 27 fős társaságban, ha mindenki mindenkivel kezet fogott? Egy n tagú társaságban n (n ) 2 kézfogás történik, így felírhatjuk a következőt: Válasz: A 27 fős társaságban összesen 35 kézfogás volt = 35. 6

7 6. Egy traktor hátsó kerekének a sugara kétszer akkora, mint az első keréké. Ha az első kerék kerülete m rel nagyobb, a hátsóé pedig m rel kisebb volna, akkor az első kerék 300 méteren ugyanannyit fordulna, mint a hátsó 375 méteren. Mekkora a két kerék sugara? Legyen az első kerék sugara, a hátsóé pedig 2. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: 0, = π π Válasz: Az első kerék sugara 0,48 m, a hátsóé pedig 0,96 m. 7. Egy bilológiai kísérlet során két számítógéppel dolgozták fel az adatokat. Az egyik gép 500 mintát tudott feldolgozni naponta, a másik pedig 000 t. A két gép egymást követően folyamatosan dolgozva 0 napi munkával mintát értékelt. Hány mintát értékeltek külön külön? Legyen az első gép munkanapjainak száma, a másiké pedig 0. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (0 ) = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 4. Válasz: Az első gép darab mintát, a második pedig darabot értékelt külön - külön. 8. Egy asztalos üzemnek a vártnál gyorsabb almaérés miatt a megrendelt gyümölcsládákat 5 hét helyett 4 hét alatt kellett elkészítenie, ezért napi 75 ládával megemelte a termelést. Mennyi láda készült el az üzemben nap alatt, ha minden héten 6 napot dolgoztak? Legyen a gyümölcsládák száma. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 24. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = Válasz: Összesen 875 láda készült el egy nap alatt. 7

8 9. Két rekeszben összesen 90 kg alma van. Mennyi alma van az egyes rekeszekben, ha tudjuk, hogy az első rekesz almáinak 25 % - a a második rekesz almáinak 20 % - a? Legyen az első rekeszben, a másodikban pedig 90 darab alma. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 25 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 40. = (90 ) 20. Válasz: Az első rekeszben 40 darab, a másodikban pedig 50 darab alma van. 20. Elköltöttük pénzünk 9 % - át, Ft ot. Mennyi pénzünk volt? Legyen az eredeti pénzünk mennyisége. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 9 = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 36. Válasz: Eredetileg 36 Ft volt. 2. A tej tömegének 7, 3 % - a tejszín. A tejszín tömegének 62 % - a vaj. Hány kg tejből készíthető 5 kg vaj? Legyen a tej tömege. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 7,3 62 = 5. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 0,47. Válasz: Eredetileg 0,47 kg tejre van szükség. 8

9 22. Két üzemnek a terv szerint egy hónapban 360 db szerszámgépet kellett készítenie. Az első üzem 2 % - ra teljesítette a tervet, a második pedig 0 % - ra, és így a két üzem egy hónap alatt 400 db szerszámgépet gyártott. Hány szerszámgépet készített terven felül külön külön a két üzem? Legyen az első üzem terve, a másodiké pedig 360. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = (360 ) 0 = 400. Válasz: Az első üzem 24 darabot, a második pedig 6 darabot készített terven felül. 23. Két brigád együtt transzformátortekercset készített. Az ellenőrzés az egyik brigád által készített tekercseknek a 2 % - át, a másikénak pedig 3 % - át hibásan szigeteltnek találta, összesen 26 darabot. Hány darab hibátlan tekercset készített mindegyik brigád? Legyen az első brigád termelése, a másodiké pedig A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: = (8 200 ) 3 = 26. Válasz: Az első brigád darab, a második pedig darab hibátlant készített. 24. Egy vizsgán a tanuló az első 20 kérdésből 5 re helyes választ adott. A további kérdések egy ötödére is helyesen válaszolt. Minden válaszra azonos pontszámot kapott, és így 40 % - os eredményt ért el. Hány kérdés volt a vizsgán? Legyen az összes kérdés száma. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: = = 40. Válasz: A vizsgán összesen 55 kérdés volt. 9

10 25. Egy könyvkereskedő vásárolt két könyvet, majd eladta őket egyforma áron. Az egyiken 20 % - ot nyert, a másikon 20 % - ot veszített, így összesen Ft tal kapott kevesebbet értük, mint amennyiért vette őket. Mennyiért vette és adta el a könyveket? Legyen a könyvek eladási ára. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: + = 2 +.,2 0,8 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 200. Válasz: A könyveket 200 Ft ért adta el, s az első ára 000 Ft, a másodiké 500 Ft volt. 26. Egy áru árát 20 % - kal leszállították, majd 20 % - kal felemelték, így az ára az eredeti áránál Ft tal kevesebb lett. Mennyibe került eredetileg az áru? Legyen az eredeti ár. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) ( + ) =. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = Válasz: Eredetileg Ft volt az ára. 27. Egy Ft os TV árát először emelték 5 % - kal, majd mivel nem kelt el, csökkentették 0 % - kal. Mennyiért siekrült ígyeladni? Legyen a termék utolsó ára. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + 5 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = ) ( ) =. Válasz: Végül Ft- ért adták el a Tv - t. 0

11 28. Egy brigád a munkaidő alatt 0 % - kal túlteljesítette a tervét, majd túlórában további 300 munkadarabot készített el. Mennyi volt a tervük, ha összesen 048 munkadarabot munkáltak meg? Legyen az eredeti terv darab munkadarab. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + 0 ) = 048. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 680. Válasz: Az eredeti terv 680 darab volt. 29. Egy háromszög két nagyobb szögének aránya 2: 3. A legkisebb szöge 60 - kal kisebb a legnagyobbnál. Mekkorák a háromszög szögei? Legyen a legnagyobb szög 3, a középső 2, a legkisebb pedig A belső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 80. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 30. Válasz: A háromszög szögeinek nagysága 30 ; 60 és Mekkora a háromszög belső szögeinek nagysága, ha a külső szögek aránya 3: 7: 8? Legyen a legkisebb külső szög 3, a középső 7, a legnagyobb pedig 8. A külső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 360. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 20. Ezek alapján a háromszög külső szögei: 60 ; 40 ; 60. Válasz: A háromszög belső szögeinek nagysága 20 ; 40 és 20.

12 3. Egy háromszög kerülete 46 cm, két oldalának az aránya 3: 5. Mekkora ez a két oldal, ha a harmadik oldal 6 cm? Van e ilyen háromszög? Legyen a háromszög egyik oldala 3, a másik pedig 5. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 46. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 5. Válasz: A háromszög oldalainak nagysága 6 cm; 5 cm és 25 cm. Nincs ilyen háromszög, mert < 25 (háromszög egyenlőtlenség). 32. Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei, ha az alapon fekvő szöge 36 - kal nagyobb a szárak szögénél? Legyen az alapon fekvő szögeinek nagysága, a szárszögé pedig 36. A belső szögek összege alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 80. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 72. Válasz: A háromszög szögeinek nagysága 36 ; 72 és Egy 2 cm kerületű egyenlő szárú háromszögben az alap hossza a szárak hosszának a 2 része. Mekkorák a háromszög oldalai? 3 Legyen a szárak hossza, az alapé pedig 2 3. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 2. 3 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 4,5. Válasz: A háromszög oldalainak nagysága 3 cm; 4,5 cm és 4,5 cm. 2

13 34. Mekkora a téglalap területe, ha kerülete 2 cm, és az egyik oldalának hossza háromszorosa a másik oldal hosszának? Legyen a téglalap egyik oldalának hossza, a másiké pedig 3. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 ( + 3) = 2. Az egyenlet rendezése után a megoldás: =,5. Ezek alapján a téglalap területe: T =,5 4,5 = 6,75 cm 2. Válasz: A téglalap területe 6,75 cm Egy trapéz magassága 4, 2 cm, két párhuzamos oldalának aránya 2: 3. Mekkorák a trapéz párhuzamos oldalai, ha területe 6, 8 cm 2? Legyen a rövidebb alap hossza 2, a nagyobb alapé pedig 3. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: =, ,2 = 6,8. Válasz: A trapéz alapjainak hossza 3,2 cm és 4,8 cm. 36. Egy 6 cm oldalhosszúságú négyzet egyik oldalát részével megnöveltük, szomszédos 3 oldalát annyival csökkentettük, hogy az így kapott téglalap területe ugyanannyi legyen, mint az eredeti négyzeté. Mennyivel csökkentettük ezt az oldalt? Legyen a csökkentés mértéke. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 6 2 = (6 + 6) (6 ). 3 Az egyenlet rendezése után a megoldás: =,5. Válasz: A négyzet másik oldalát,5 cm rel csökkentettük. 3

14 37. Egy háromszög b oldala 2 cm rel rövidebb, a c oldala 2 cm rel hosszabb, mint az a oldal és b: c = 3: 5. Mekkora a háromszög területe? Legyen az a oldal hossza, a b oldalé 2, a c oldalé pedig + 2. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 3 5. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 8. Ezek alapján a háromszög oldalai: 6 cm; 8cm és 0 cm. Mivel = 0 2, így Pitagorasz tétel szerint a háromszög derékszögű. Ekkor a háromszög területe: T = = 24 cm2. Válasz: A háromszög területe 24 cm Mennyi átlója van egy szabályos 38 szögnek? Egy n oldalú sokszögnek n (n 3) 2 átlója van, így felírhatjuk a következőt: Válasz: A szabályos 38 szögnek összesen 665 átlója van. 38 (38 3) 2 = Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 0. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti számnál 36 tal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig 0. Tízesek Egyesek Szám (0 ) + A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 0 (0 ) Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 3. Válasz: A gondolt szám a 37. 4

15 40. Egy kétjegyű számban a tízesek helyén álló számjegy híján az egyesek helyén álló számjegy háromszorosa. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor 27 tel kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám? Legyen az egyesek száma, a tízeseké pedig 3. Tízesek Egyesek Szám 3 0 (3 ) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0 (3 ) + = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 2. Válasz: A gondolt szám az Egy kétjegyű szám számjegyeinek aránya 3: 2. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az új szám az eredeti felénél 2 gyel nagyobb lesz. Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma 3, az egyeseké pedig 2. Tízesek Egyesek Szám A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: Az egyenlet rendezése után a megoldás: = = Válasz: A gondolt szám a 96. 5

16 42. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege 3. Ha a számot 2 vel osztjuk, akkor a hányados megegyezik a szám utolsó számjegyével, a maradék pedig ennél 2 vel kisebb. Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig 3. Tízesek Egyesek Szám A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 2 (3 ) Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 7. Válasz: A gondolt szám a Egy háromjegyű szám számjegyei egymást közvetlenül követő természetes számok. Ha fordított sorrendben írjuk a számjegyeket, akkor az így képzett háromjegyű szám és az eredeti szám összege 332. Melyik ez a szám? Legyen a százasok száma, a tízeseké +, az egyeseké pedig + 2. Százas Tízesek Egyesek Szám ( + ) ( + 2) + 0 ( + ) + A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: + 0 ( + ) ( + 2) + 0 ( + ) + = 332. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 5. Válasz: A gondolt szám az

17 44. Egy háromjegyű szám középső számjegye kétszerese az első számjegynek, az utolsó számjegye eggyel nagyobb, mint a középső számjegy. Ha fordított sorrendben írjuk a számjegyeket, akkor az így képzett háromjegyű szám és az eredeti szám különbsége 396. Melyik ez a szám? Legyen a százasok száma, a tízeseké 2, az egyeseké pedig 2 +. Százas Tízesek Egyesek Szám (2 + ) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (2 + ) [ ] = 396. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 3. Válasz: A gondolt szám a Egy kétjegyű számban 3 mal több egyes van, mint tízes. Ha a számjegyei közé számjegyeinek az összegét iktatjuk be harmadik jegyül, az eredeti szám szeresét kapjuk. Melyik kétjegyű számból indultuk ki? Hány ilyen szám van? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig + 3. Százas Tízesek Egyesek Szám ( + + 3) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) = + 0 ( + + 3) Az egyenlet rendezése után a megoldás: 33 = 33. Ezek alapján bármilyen szám szerepelhet az helyén, ami a feladat szövegének megfelel. Válasz: A lehetséges számok a következők: 4; 25; 36. 7

18 46. Egy kerítés lefestése Péternek 4 órájába telne. Ugyanezt a munkát András 6 óra alatt végezné el. Mennyi idő alatt fejezik be együtt a kerítés lefestését? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. óra alatt óra alatt András Péter 6 óra 4 óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: =. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 2,4. Válasz: Együtt 2,4 óra alatt végeznek a kerítés lefestésével. 47. Egy medencébe két csapon keresztül folyik a víz. Együtt 0 óra alatt töltik meg a medencét. Ha az A csap egyedül 5 óra alatt tölti meg a medencét, akkor a B csap egyedül mennyi idő alatt tölti azt meg? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. óra alatt 0 óra alatt A csap B csap 5 óra óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: =. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 30. Válasz: A B csap egyedül 30 óra alatt töltené meg a medencét. 8

19 48. Egy apa óra 40 perc alatt, felesége 3 óra 20 perc alatt, kisfia 6 óra 40 perc alatt ássa fel a kertjüket. Mennyi idő alatt készülnek el a kert felásásával, ha egyszerre mindhárman ásnak? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. perc alatt perc alatt Apa Anya Fiú perc 200 perc 400 perc A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: =. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 57,4. Válasz: Együtt kb. 57 perc alatt végeznek a kert felásásával. 49. Egy kád az egyik csapról 20 perc alatt, a másikról 5 perc alatt telik meg. A lefolyót kinyitva 6 perc alatt ürül ki. Mennyi ideig tart a kád feltöltése, ha mindklét csapot kinyitjuk, de a lefolyó is nyitva marad? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. perc alatt perc alatt Első csap Második csap Lefolyó 20 perc 5 perc 6 perc A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: =. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 8,46. Válasz: A kád kb. 8 perc alatt telik meg. 9

20 50. Egy víztároló két csövön át tölthető meg, mégpedig egyedül az első cső 4 óra alatt, egyedül a második cső 3 óra alatt tölthetné meg. Egy harmadik csövön keresztül a víztároló óra alatt ürül ki. Mennyi idő alatt ürül ki a tároló, ha mindhárom cső egyszerre van nyitva? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. óra alatt óra alatt Első cső Második cső Harmadik cső 4 óra 3 óra óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 0. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 2,4. Válasz: A tároló 2,4 óra alatt ürül ki. 5. Egy kád csupán a melegvizes csapból 20 perc alatt telik meg, csak a hidegvizes csapból pedig 25 perc alatt. Mennyi idő alatt telt meg a kád, ha a melegvizes csap 4 perccel kevesebb ideig volt nyitva, mint a hidegvizes csap? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. perc alatt perc alatt Melegvizes csap Hidegvizes csap 20 perc 25 perc A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: =. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 3,3. Válasz: A kád kb. 3,3 perc alatt telt meg. 20

21 52. Egy medencébe 3 cső vezet. Az elsőn át 2, 5 óra alatt, a másodikon 3 óra alatt, a harmadikon, 5 óra alatt telik meg a medence. Egy alkalommal mindhárom csövet együttesen működtetik, de 22, 5 perc után a harmadik csövet elzárják. Mennyi idő alatt telik meg így a medence? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. perc alatt perc alatt Első cső Második cső Harmadik cső 50 perc 80 perc 90 perc A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ,5 90 =. Az egyenlet rendezése után a megoldás: 6,36. Válasz: A medence kb. 6 perc alatt telik meg. 53. Egy medencét egy csap 4 óra alatt tölt meg. A kifolyón 3 óra alatt ürül ki a tele medence. Hány óra alatt lesz újra üres a medence, ha a csap megnyitása után 3 órával véletlenül megnyitják a kifolyót, de a csapot nem zárják el? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. óra alatt óra alatt Csap Kifolyó 4 óra 3 óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 0. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 2. Válasz: A medence 2 óra után lesz üres. 2

22 54. Egy ház festését három festő külön külön 2, 5 és 20 óra alatt végezné el egyedül. Együtt kezdik a munkát, de a második festő, 5 órát, a harmadik pedig 2 órát pihent közben. Mennyi idő alatt festették ki a házat? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. óra alatt óra alatt Első festő Második festő Harmadik festő 2 óra 5 óra 20 óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 6., = Válasz: A három festő 6 óra alatt festették ki a házat. 55. Szőlőtelepítés előtt a talajt meg kell forgatni. Erre a műveletre 2 nap áll rendelkezésre. Napi m 3 rel többet sikerült megforgatni a tervezettnél, így 8 nap alatt készült el a munka. Hány m 3 földet kellett megforgatni? Legyen a megforgatott föld mennyisége. nap alatt Tervezett Valós 2 nap 8 nap 2 8 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 + = 8. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 24. Válasz: Összesen 24 m 3 földet kellett megforgatni. 22

23 56. Egy 200 g 5 % - os sóoldathoz hány gramm 2 % - os sóoldatot kell adnunk, hogy 8 % - os sóoldatot kapjunk? Mennyiség Töménység Tömény anyag 5 Első sóoldat Második sóoldat Keverék (200 + ) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 200 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = = (200 + ) 8. Válasz: 50 g sóoldatot kell hozzáadnunk. 57. Az, 3 kg sóoldathoz 0, 8 kg 5 % - os sóoldatot öntünk, így 0 % - os sóoldat jön létre. Hány % - os volt az eredeti oldat? Mennyiség Töménység Tömény anyag Első sóoldat,3,3 Második sóoldat 0, ,8 Keverék 2, 0 0 2, A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:,3 Az egyenlet rendezése után a megoldás: 6, ,8 = 2,. Válasz: 6,92 % - os volt az eredeti sóoldat. 23

24 58. Összekeverünk 3 liter 2 % - os, 5 liter 8 % - os és 2 liter 22 % - os alkoholt. Hány százalékos keveréket állítottunk elő? Mennyiség Töménység Tömény anyag 2 Első alkohol Második alkohol Harmadik alkohol Keverék 0 0 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 0. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 7. Válasz: 7 % - os alkoholt állítottunk elő. 59. Összekevertünk kétféle narancslét. Az egyik 60 % - os, a másik 85 % - os volt. Hány litert vettünk belőlük, ha a keverék 8 liter 70 % - os narancslé lett? Mennyiség Töménység Tömény anyag Első narancslé Második narancslé 8 85 (8 ) Keverék A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 60 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 0, (8 ) = 8. Válasz: 0,8 l 60 % - os és 7,2 l 85 % - os narancslevet kevertünk össze. 24

25 60. Mennyi vizet kell elpárologtatni 0 liter 40 % - os sóoldatból, hogy 60 % - os sóoldatot kapjunk? Mennyiség Töménység Tömény anyag 40 Sóoldat Víz 0 Maradék 0 60 (0 ) 60 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = (0 ). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 3,3. Válasz: 3,3 l vizet kell elpárologtatni. 6. A 20 g 80 % - os alkoholhoz 80 g vizet adunk. Hány százalékos alkoholt kapunk? Mennyiség Töménység Tömény anyag Alkohol Víz Keverék A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 200. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 48. Válasz: 48 % - os alkoholt kapunk. 25

26 62. Van 0 liter 87 - os alkoholunk. Mennyi vizet kell hozzáöntenünk, hogy 80 - os alkoholt kapjunk? Mennyiség Töménység Tömény anyag 87 Alkohol Víz 0 Keverék (0 + ) 80 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = (0 + ). Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 0,875. Válasz: 0,875 l vizet kell hozzáöntenünk. 63. A 2, 2 kg 24 % - os kénsavoldatnak hány grammját kellene tiszta vízzel kicserélnünk, hogy 5 % - os kénsavoldatot kapjunk belőle? Mennyiség Töménység Tömény anyag 24 Kénsavoldat 2,2 24 2,2 0 Víz 0 5 Keverék 2,2 5 2,2 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2,2 24 Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 0, = 2,2. Válasz: 825 g - ot kell kicserélnünk vízre. 26

27 64. Az 5 liter 50 - os vízhez 20 liter 80 - os vizet keverünk. Mekkora lesz a keverék hőmérséklete? Mennyiség Hőmérséklet Első víz Második víz Keverék A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 25. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 74. Válasz: 74 - os lesz a keverék hőmérséklete. 65. A 3 liter 40 Ft egységárú üdítőitalhoz 5 liter 200 Ft egységárú italt kevernek. Mekkora lesz a keverék egységára? Mennyiség Egység ár Első víz Második víz Keverék 8 8 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 8. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 77,5. Válasz: 77,5 Ft lesz a keverék egységára. 27

28 66. Egy turistacsoprot egy hegycsúcsra felfelé menet 5 óra alatt, lefelé mivel óránként km rel többet tesznek meg ugyanezt az utat 4 óra alatt teszi meg. Mekkora utat járnak be a túra során? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Felfelé 5 5 Lefelé ( + ) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 = 4 ( + ). Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 4. Ezek alapján a hegycsúcsra vezető út hossza: 5 4 = 20. Válasz: A túra során összesen 40 km t tesznek meg oda - vissza. 67. Egy hajó két kikötő között lefelé 3, 5 óra, felfelé 5 óra alatt teszi meg az utat. A folyó sebessége 3 km. Hány kilométerre van egymástól a két kikötő? h Legyen a hajó sebessége. Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Felfelé ( 3) Lefelé 3, ,5 ( + 3) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 ( 3) = 3,5 ( + 3). Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 7. Válasz: A két kikötő távolsága 70 km. 28

29 68. Egy hajó két végállomása közti utat 4 óra 40 perc alatt tette meg oda vissza. A sebessége a folyón lefelé menet 6 km volt, a folyón felfelé pedig 2 km. Milyen messze h h van egymástól a két végállomás? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Felfelé 2 2 Lefelé (4 3 3 ) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 = 6 ( 4 3 ). Az egyenlet rendezése után a megoldás: 2,67. Válasz: A két végállomás távolsága 32 km. 69. Egy folyón fölfelé haladva 8 km - val kisebb egy hajó sebessége, mint felfelé haladva. h A két kikötő között felfelé 5 óráig, lefelé 0 óráig tart az út. Hány kilométert tesz meg ez a hajó fölfelé és lefelé óránként? Milyen távol van egymástól a két kikötő? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Felfelé 5 5 Lefelé ( + 8) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 = 0 ( + 8). Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 6. Válasz: A két kikötő távolsága 240 km, s a hajó sebessége felfelé 6 km h, lefelé pedig 24 km h. 29

30 70. Egy 50 m sebességgel haladó test és egy 2 m sebességgel haladó test egy helyről, egy s s időben indulva egy irányba mozog. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 209 m? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Első test Második test 2 2 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 50 = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 5,5. Válasz: A két test 5,5 másodperc múlva lesz 209 m re egymástól. 7. Egy 36 m és egy 20 m sebességgel haladó test ugyanarról a helyről, egy időben s s indulva ellenkező irányba haladva távolodik egymástól. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 574 m? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Első test Második test A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 574. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 0,25. Válasz: A két test 0,25 másodperc múlva lesz 574 m re egymástól. 30

31 72. Egy 5, 3 km hosszú ellipszis alakú ügetőpálya startpontjától egyszerre indul el két zsoké egymással ellenkező irányban. Az egyik átlagsebessége 2, 5 km, a másiké h 4 km h. Mennyi idő múlva találkoznak? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Első zsoké 2,5 2,5 Második zsoké 4 4 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2,5 + 4 = 5,3. Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 0,2. Válasz: A két zsoké 2 perc múlva találkozik egymással. 73. Egy 400 m hosszú kör alakú futópályán ugyanazon helyről, egyirányba, egyszerre indul két futó. Az egyik átlagsebessége 5 m, a másiké 4 m. Mennyi idő múlva körözi s s le a gyorsabban futó a lassúbbat? Hány métert tesznek meg ezalatt az idő alatt? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Első futó 5 5 Második futó 4 4 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 5 = Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 400. Válasz: A futók 400 s múlva találkoznak, s addig m t, illetve 600 m t tesznek meg. 3

32 74. Két kocogó ugyanazon a pályán fut végig. Az egyik, aki percenként 360 m t fut, 5 másodperccel később indul, és két perccel előbb ér célba. A másik sebessége 4 m s. Milyen hosszú a pálya? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Első kocogó 6 6 Második kocogó ( + 25) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 6 = 4 ( + 25). Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 250. Válasz: A pálya hossza 500 m. 75. Két úszó átúszik egy tavat. Az egyik 70 m t, a másik 60 m t úszik percenként. A gyorsabb 3 perccel előbb ér célba. Milyen széles a tó, és hány perc alatt ússzák át? Idő (t) Sebesség (v) Út (s) Első úszó Második úszó ( + 3) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 70 = 60 ( + 3). Az egyenlet rendezése után a megoldás: = 8. Válasz: A tó 260 m széles, s az egyik 8 perc alatt, a másik pedig 2 perc alatt ússza át. 32

33 Egyenletrendszerrel megoldható feladatok 76. Egy szállodában kétágyas és háromágyas szobák vannak. Hány kétágyas és hány háromágyas szoba van a szállodában, ha egyszerre 50 vendéget tudnak elszállásolni benne, és a szobák száma 55? Legyen a két ágyas szobák száma, a három ágyasoké pedig y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2 + 3y = 50 + y = 55 } A behelyettesítő módszer segítségével a megoldás = 5 és y = 40. Válasz: A szállodában 5 darab kétágyas és 40 darab háromágyas szoba található. 77. Tizenhat év múlva az apa kétszer idősebb lesz fiánál. Hány évesek most, ha 4 évvel ezelőtt az apa hatszor annyi idős volt, mint a fia? Legyen az apa életkora, a fiáé pedig y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: + 6 = 2 (y + 6) 4 = 6 (y 4) } A zárójelek felbontása után, behelyettesítő módszer segítségével a megoldás = 34 és y = 9. Válasz: Az apa most 34 éves, a fiú pedig 9 éves. 33

34 78. A fizikaterembe padokat állítanak be. Ha minden padba két tanulót ültetnek, akkor 8 tanulónak nem jut hely. Ha viszont minden padba 3 tanuló ül, akkor 7 hely üresen marad. Hány padot állítanak a terembe és hány tanuló van az osztályban? Legyen a padok száma, a tanulók száma y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: = y 3 7 = y } Az összehasonlító módszer segítségével a megoldás = 5 és y = 38. Válasz: A teremben 5 pad áll és az osztályba összesen 38 tanuló jár. 79. Egy rakomány meghatározott időn belüli elszállításához több egyforma teherautóra van szükség. Ha 2 kocsival kevesebb lenne, akkor a szállítás két órával tovább tartana. Ha viszont 4 autóval több lenne, a szállítást a megszabott időnél két órával hamarabb tudnák elvégezni. Hány teherautó végzi a szállítást, és mennyi idő alatt kell készen lenniük? Legyen a teherautók száma, az elszállításhoz szükséges idő y óra. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: ( 2) (y + 2) = y ( + 4) (y 2) = y } A zárójelbontás után, az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás = 8 és y = 6. Válasz: Összesen 8 teherautó végzi a szállítást és ehhez 6 órára van szükségük. 34

35 80. Ha egy téglalap két párhuzamos oldalpárját egyidejűleg 0 0 cm rel növeljük, akkor területe 000 cm 2 rel lesz nagyobb, ha viszont egyik párhuzamos oldalpárját 0 cm rel csökkentjük, a másik oldalpárt pedig 0 cm rel növeljük, akkor területe 400 cm 2 rel lesz kisebb. Mekkorák a téglalap oldalai? Legyen a téglalap egyik oldalának hossza, a másiké pedig y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: ( + 0) (y + 0) = y + 0 ( 0) (y + 0) = y 400 } A zárójelbontás után, az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás = 30 és y = 60. Válasz: A téglalap oldalai 30 cm és 60 cm hosszúak. 8. Egy háromszög egyik külső szöge 30, a nem mellette fekdvő két belső szög különbsége 0. Mekkorák a háromszög szögei? Legyen a két belső szög α és β, amelyek nem a megadott külső szög mellett fekszenek. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: α + β = 30 α β = 0 } Az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás α = 70 és β = 60. Válasz: A háromszög szögei 50 ; 60 és

36 82. Ha egy derékszögű háromszög egyik befogóját 2 cm rel, a másikat 5 cm rel megnöveljük, az így létrejött háromszög területe 5 cm 2 rel több lesz. Ha viszont mindkét befogót 2 cm rel csökkentjük, a területe 32 cm 2 rel kisebb lesz. Mekkorák a befogók? Legyen a háromszög egyik befogójának hossza, a másiké pedig y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: ( + 2) (y + 5) 2 ( 2) (y 2) 2 = y = y 2 32} A zárójelbontás után, az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás = 8 és y = 26. Válasz: A háromszög befogói 8 cm és 26 cm hosszúak. 83. Alkothat e háromszöget az a három szakasz, amelyek páronként vett összege 42 cm, 28 cm és 20 cm? Legyen a háromszög oldalainak hossza ; y és z. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: + y = 42 + z = 28} y + z = 20 A behelyettesítő módszerrel a megoldás = 25; y = 7 és z = 3. Válasz: A háromszög egyenlőtlenség miatt nincs ilyen háromszög (3 + 7 < 25). 36

37 84. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 2. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor 8 cal kisebb számot kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám? Legyen az első számjegy, a második y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: + y = y = 0y } A behelyettesítő módszerrel a megoldás = 8 és y = 6. Válasz: A keresett szám a Ha egy kétjegyű számot elosztunk a számjegyeinek felcserélésével kapott számmal, akkor a hányados 4, a maradék 3 lesz. Ha ugyanezt a számot a számjegyek különbségével osztjuk el, akkor a hányados, a maradék 5 lesz. Melyik ez a szám? Legyen az első számjegy, a második y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 0 + y = 4 (0y + ) y = ( y) + 5 } A zárójelek felbontása után, a behelyettesítő módszerrel a megoldás = 7 és y =. Válasz: A keresett szám a 7. 37

38 86. Két csapon át 5 óra alatt telik meg egy medence. Ha az első csapot csak 6 órán át tartjuk nyitva, akkor a második csapot 30 órán át nyitva kell tartanunk ahhoz, hogy megtöltsük a medencét. Hány óra alatt telik meg a medence, ha csak az első, illetve csak a második csapot nyitjuk meg? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. Legyen az első csap töltési ideje óra, a másodiké pedig y óra. óra alatt Első csap óra Második csap y óra y A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: = y = } y Vezessünk be új ismeretlent: a = és b = y. 5a + 5b = 6a + 30b = } Az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás a = 24 és b = 40. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer megoldása = 24 és y = 40. Válasz: Az első csap egyedül 24 óra alatt, a második pedig 40 óra alatt töltené meg a medencét. 38

39 87. Két munkás készít egy munkadarabot. Ha az első munkás 9 órát dolgozik, a második 5 órát, akkor időre elkészülnek. Akkor is időre készen lesznek, ha az első 6 órát, a másik 0 órát dolgozik. Mennyi idő alatt végeznének külön külön? Amennyiben nincs megadva munka, akkor egységnek választjuk. Legyen az első munkás ideje óra, a másodiké pedig y óra. óra alatt Első munkás óra Második munkás y óra y A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: = y = } y Vezessünk be új ismeretlent: a = és b = y. 9a + 5b = 6a + 0b = } Az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás a = 30 és b = Visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer megoldása = 30 és y = ,4. Válasz: Az első munkás egyedül 30 óra alatt, a második pedig kb. 2,4 óra alatt végezne. 39

40 88. Bizonyos mennyiségű 78 %, illetve 58 % vasat tartalmazó ércet összekeverve 62 % vasat tartalmazó keveréket kapunk. Ha mindkét fajta ércből még 5 5 kg ot hozzáteszünk a keverékhez, akkor 63, 25 % - os lesz, Mennyi ércet tartalmaz a keverék az egyes fajtákból? Mennyiség Töménység Tömény anyag Első sóoldat Második sóoldat y 58 y 58 Keverék + y 62 ( + y) 62 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: y = ( + y) ( + 5) (y + 5) = ( y + 5) 63,25 } Az egyenletek rendezése után, a behelyettesítő módszerrel a megoldás = 22,8 és y = 9,2. Válasz: Összesen 22,8 kg 78 % - os és 9,2 kg 58 % - os ércet tartalmaz a keverék a fajtákból. 40

41 89. Hány liter 40 % - os alkoholhoz hány liter 60 % - os alkoholt kell öntenünk, hogy 20 liter 55 % - os alkoholt kapjunk? Mennyiség Töménység Tömény anyag Első sóoldat Második sóoldat y 60 y Keverék A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: + y = } + y = 20 A behelyettesítő módszerrel a megoldás = 5 és y = 5. Válasz: Összesen 5 l 40 % - os és 5 l 60 % - os alkoholt kell összekevernünk. 90. Két, egymástól 9 km távolságra levő pontból egyszerre indul el egy egy kerékpáros. Ha egymással szembe mennek, 20 perc múlva, ha egy irányban haladnak, 3 óra múlva találkoznak. Mekkora a sebességük? Legyen az egyik sebessége, a másiké pedig y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: y = 9 3 = 9 + 3y } A behelyettesítő módszerrel a megoldás: = 5 és y = 2. Válasz: Az egyik kerékpáros sebessége 5 km h, a másiké pedig 2 km h. 4

42 9. Egy motorcsónak 40 km t megy felfelé a folyón, majd visszafordul és visszatér kiindulási helyére. Ezt az utat az indulástól számítva 8 óra alatt tette meg. Ugyanekkora sebességgel haladva más alkalommal 0 km t tett meg felfelé és 4 km t lefelé, összesen, 5 óra alatt. Mekkora a csónak sebessége állóvízben és mekkora a folyó sebessége? Legyen a csónak sebessége, a folyóé pedig y. Út (s) Sebesség (v) Idő (t) Első út felfelé 40 y 40 y Első út lefelé 40 + y Második út felfelé 0 y Második út lefelé 4 + y A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: y = 8 + y = 3 } y + y y 0 y 4 + y Vezessünk be új ismeretlent: a = és b =. y + y 40a + 40b = 8 0a + 4b = 3 } 2 Az egyenlő együtthatók módszerével a megoldás a = 7 60 és b = 2. Ezt visszahelyettesítve a következő egyenletrendszer adódik: = 7 y 60 + y = 2 } Az egyenletek rendezése után, a behelyettesítő módszerrel a megoldás = 72 7 és y = 2 7. Válasz: A folyó sebessége kb.,7 km h, a csónaké pedig kb. 0,28 km h. 42

43 92. Egy gépkocsi a vízszintes úton 80 km h, az emelkedőn 60 km h, a lejtőn km h sebességgel halad. A 400 km hosszú utat oda 5 óra, vissza 5 óra 6 perc alatt teszi meg. Milyen hosszúak az egyes útszakaszok? Legyen odafele a vízszintes út hossza, az emelkedőé y, a lejtőé pedig z. Odafele Út (s) Sebesség (v) Idő (t) Vízszintes Emelkedő y 60 Lejtő z y 60 z Visszafele Út (s) Sebesség (v) Idő (t) Vízszintes Emelkedő z 60 Lejtő y z 60 y A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: + y + z = z + y = y + z = 400 } A behelyettesítő módszerrel a megoldás = 240; y = 60 és z =. Válasz: Az úton odafelé 240 km vízszintes, 60 km emelkedő és km lejtő volt. 43