Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x = x 18

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Jelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18"

Átírás

1 Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás. Készítsünk táblázatot az adatokból: Jelenlegi életkor Életkor év múlva Anya x x + Gyermek x 29 x 29 + = x 8 A gyermek jelenlegi életkorának meghatározása annak alapján történik, hogy tudjuk, hogy Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. Összefüggés: x + = 2(x 8) Az egyenlet megoldása: x + = 2(x 8) / zf x + = 2x 36 x + = 2x 37 / x = x 37 / + 37 x = 48 A gyermek életkorának kiszámítása: x 29 = = 9 Az anya jelenlegi életkora 48 év, a gyermeké pedig 9 év. 2. Feladat. Három testvér közül a középs éves, a legid sebb ötször olyan id s, mint a legatalabb. A három testvér együttes életkora eggyel kevesebb, mint amennyi a legid sebb lesz akkor, ha kétszer olyan id s lesz, mint jelenleg. Hány évesek a testvérek? Megoldás. Legyen a három testvér életkora a, b, c és tegyük fel, hogy a < b < c. Mivel a középs testvér élekora év, így b = azonnal adódik. Abból, hogy a legid sebb ötször olyan id s, mint a legatalabb adódik, hogy c = 5a. Az a megfogalmazás, hogy amennyi a legid sebb lesz akkor, ha kétszer olyan id s lesz, mint jelenleg, az id sebb testvér életkorának kétszerez désér l ír, ami nyilván 2c. Ekkor már úgy is kimondható a feladat ezen részének szövege, hogy a három testvér életkorának összege eggyel kevesebb, mint 2c. Ha valami eggyel kevesebb, mint 2c, akkor annak értéke 2c. Mivel a valami most a testvérek életkorának összege, ami nyilván a + b + c, így az ebb l kapható egyenlet: a + b + c = 2c.

2 Mivel tudjuk, hogy b =, így az el bbi egyenletben ezt felhasználva kapjuk, hogy a++c = 2c. A megoldandó egyenletrendszer tehát: c = 5a a + c + = 2c () Behelyettesítve ()-et -be: a + + 5a = 2 5a 6a + = 0a / 6a; + 2 = 4a / : 4 a = 3 Mivel c = 5a, így c = 5 3 = Feladat. Három testvér életkorának összege 35 év. Amikor a középs született, a legid sebb 3 éves volt. Egy évvel ezel tt a legid sebb kétszer annyi id s volt, mint a legatalabb. Hány évesek most a testvérek? Megoldás. Legyen a három testvér életkora a, b, c és tegyük fel, hogy a < b < c. A feladat szövege alapján felírható egyenletek: a + b + c = 35 c = b + 3 c = 2(a ) () (3) A egyenletb l b = c 3 adódik, (3)-ból pedig c = 2(a ) / zf c = 2a 2 / + 2 c + = 2a / : 2 a = c + 2 Behelyettesítve ()-be kapjuk, hogy c + + c 3 + c = 35 2 c + + 2c 3 = 35 / 2 2 c + + 4c 6 = 70 5c 5 = 70 / + 5 5c = 75 / : 5 c = 5 Visszahelyettesítve kapjuk, hogy b = 2, illetve a = 8, vagyis a testvérek életkorai 8, 2 és 5 év. 2

3 Helyiértékes feladatok. Feladat. Egy kétjegy szám els jegye kétszerese a második jegynek. A szám és a számjegyek felcserélésével kapott kétjegy szám különbsége 36. Mennyi az eredeti szám? Megoldás. Jelölje az eredeti számot ab. A helyiértékes felírás miatt ab = 0a + b. A megfordításaként kapott szám: ba = 0b + a. Azt, hogy A szám és a számjegyek felcserélésével kapott kétjegy szám különbsége 36., úgy írhatjuk fel, hogy ab ba = 36. A helyiértékes felírás miatt az 0a + b (0b + a) = 36 alakba írható. Felhasználva, hogy els jegye kétszerese a második jegynek, azaz a = 2b, a megoldandó egyenlet: 0 2b + b (0b + 2b) = 36 / zf 20b + b 0b 2b = 36 9b = 36 / : 9 b = 4 Ebb l adódik, hogy a = 2b = 2 4 = Feladat. Egy kétjegy szám számjegyeinek összege 2. Ha a jegyeket felcseréljük, a szám értéke 75%-kal növekszik. Melyik ez a szám? Megoldás. Jelölje az eredeti számot ab. Mivel a kétjegy szám számjegyeinek összege 2, így a + b = 2 adódik. A számjegyek felcserélésével kapott szám ba, s ennek értéke 75%-kal nagyobb, mint ab értéke. A helyiértékes felírás miatt ez azt jelenti, hogy, 75(0a + b) = 0b + a. A zárójel felbontása után a 7, 5a +, 75b = 0b + a egynletet kapjuk. Így a megoldandó egyenletrendszer: a + b = 2 7, 5a +, 75b = 0b + a () Az () egyenletb l a = 2 b adódik, amit -be helyettesítve: 7, 5(2 b) +, 75b = 0b + 2 b / zf 20 7, 5b +, 75b = 0b + 2 b 20 5, 75b = 9b + 2 / + 5, 75b 20 = 24, 75b + 2 / 2 98 = 24, 75b / : 24, 75 8 = b Mivel a = 2 b = 2 8 = 4, így az eredeti kétjegy szám: ab = 48. 3

4 3. Feladat. Egy kétjegy szám számjegyeinek különbsége 3. Ha a számot és a jegyek felcserélésével kapott számot összeadjuk, az összeg 65. Melyik ez a szám? Megoldás. A feladat szövege alapján felírható egyenletek: a b = 3 ab + ba = 65 () A egyenletet átalakítva 0a + b + 0b + a = 65 a + b = 65 / kiemelés (a + b) = 65 / : a + b = 5 adódik, azaz a megoldandó egyenletrendszer: a b = 3 a + b = 5 () A két egyenletet összeadva 2a = 8 adódik, amib l a = 9. Ezt visszahelyettesítve b = 6 adódik, vagyis az eredeti szám 69 vagy Feladat. Egy négyjegy szám els jegye 2. Ha ezt az els helyr l töröljük és utolsónak írjuk, 27 híján az eredeti szám háromszorosát kapjuk. Melyik ez a négyjegy szám? Megoldás. Legyen a négyjegy szám abcd. Akkor tudjuk, hogy a = 2 és bcda = 3 abcd b + 00c + 0d + 2 = 3 ( b + 0c + d) 27 / zf 000b + 00c + 0d + 2 = b + 30c + 3d b + 00c + 0d + 2 = b + 30c + 3d / 2 000b + 00c + 0d = b + 30c + 3d / 300b; 30c; 3d 700b + 70c + 7d = 597 / kiemelés 7 (00b + 0c + d) = 597 / : 7 00b + 0c + d = 853 Ebb l b = 8, c = 5 és d = 3 adódik. Mivel a = 2, így az eredeti szám abcd =

5 Mozgásos feladatok. Feladat. Ha az autóbusz az utat A-ból B-be 8 km/h-val nagyobb átlagsebességgel tenné meg, akkor menetideje 48 perccel rövidebb volna. Ha viszont átlagsebessége 2 km/h-val kisebb volna, akkor menetideje 5 perccel hosszabb volna. Mekkora az autóbusz átlagsebessége? Mekkora az út hossza? Megoldás. Készítsünk táblázatot az adatokból az autóbusz átlagsebességét alapul véve, az id t órára váltva. Általában Gyorsabb Lassabb Átlagsebesség v v + 8 v 2 Id t t 4 5 = t 0, 8 t + = t + 0, 25 4 Felhasználva, hogy az út hossza állandó, a megoldandó egyenletrendszer: vt = (v + 8)(t 0, 8) / zf () vt = (v 2)(t + 0, 25) / zf vt = vt 0, 8v + 8t 6, 4 / vt () vt = vt + 0, 25v 2t 0, 5 / vt 0 = 0, 8v + 8t 6, 4 / + 0, 8v; 8t () 0 = 0, 25v 2t 0, 5 / 0, 25v; +2t 0, 8v 8t = 6, 4 () 0, 25v + 2t = 0, 5 / 4 0, 8v 8t = 6, 4 v + 8t = 2 () Az egyenletek összeadásából: 0, 2v = 8, 4 / : ( 0, 2) v = 42 Visszahelyettesítve -be: 42t = (42 2)(t + 0, 25) 42t = 40 (t + 0, 25) / zf 42t = 40t + 0 / 40t 2t = 0 / : 2 t = 5 5

6 Az út megtételéhez szükséges id 5 h. Az út hossza: s = vt = 42 5 = 20 Az autóbusz átlagsebessége 42 km/h, az út hossza 20 km. 2. Feladat. Egy 35 méter hosszú vonat a vele egy irányban haladó gyalogos mellett 0 másodperc alatt robog el. Mekkora a gyalogos és a vonat sebessége, ha a vonaté tízszer akkora, mint a gyalogosé? Megoldás. Több megoldást is adunk.. megoldás Készítsünk táblázatot az adatokból: Vonat Ember v (m/s) s (m) t (s) 0 x = x x 0 x 0 x 0 Mivel az id mindkét esetben azonos, így a megoldandó egyenlet: 35 + x = x x x x = 0 x 35 + x = 0x 35 = 9x 5 = x A vonat sebessége 5 m/s, a gyalogosé, 5 m/s. 2. megoldás A zikában megszokott jelöléseket alkalmazva v V = s V t V v GY = s GY t GY Tudjuk, hogy t V = t GY = 0 másodperc, és hogy v V = 0 v GY. A vonat megtett útja nem más, mint a vonat hossza és a gyalogos útja együtt, azaz () s V = 35 + s GY Ha minden ismert adatot behelyettesítünk, akkor a 0 v GY = 35 + s GY 0 v GY = s GY 0 6 ()

7 egyenletrendszer adódik. Behelyettesítve -t ()-be kapjuk, hogy 0 sgy 0 = 35 + s GY 0 / 0 0 s GY = 35 + s GY / s GY 9 s GY = 35 / : 9 s GY = 5 A gyalogos tehát 5 métert tett meg 0 másodperc alatt, azaz sebessége, 5 m/s. A vonat sebessége a gyalogosénak tízszerese, azaz 5 m/s. 3. Feladat. Két helység közötti távolságot egy személygépkocsi 70 km/h átlagsebességgel 2, 5 óra alatt tesz meg. 70 percnyi út után azonban motorhiba miatt megszakítja az útját. Mekkora átlagsebességgel kell a gépkocsinak az út hátralév részén haladnia, hogy megérkezzen a tervezett id ben? Megoldás. Több megoldást is adunk.. megoldás Készítsünk táblázatot az adatokból: v (km/h) s (km) t (h) Általában , 5 = 75 2, 5. szakasz = szakasz x = , = 7 6 x = : 7 6 = = = 80 A hátralév úton szükséges átlagsebesség 80 km/h. 2. megoldás Az út hossza kilométerben: s = v t = 70 2, 5 = 75 Mivel a 70 perc az 7 6 óra, így a 70 perc alatt megtett út: s = v t = = = A hátralév út: s h = = =

8 A hátralév id percben: t h = 50 (70 + 0) = = 70 A korábbiak alapján 70 perc az 7 6 óra, így a keresett átlagsebesség v h = s h t h = = = 80 km/h 4. Feladat. Egy gyalogos és egy kerékpáros egyszerre indul A-ból B-be. A kerékpáros B-b l azonnal visszafordul, és az A-ból számított indulása után órával találkozik a gyalogossal. A találkozás után a kerékpáros megfordul és mindketten B felé haladnak. A kerékpáros B-be érve ismét visszafordul, és az els találkozástól számított 40 perc múlva ismét találkozik a gyalogossal. Mennyi id alatt teszi meg a gyalogos az A-ból B-be vezet utat? Megoldás. Rajzoljuk fel az utat úgy, hogy jelölje az els találkozási pontot T, a másodikat T 2, az útszakaszokat pedig rendre s, s 2, s 3! A s T s 2 T s 3 2 B A kérdés tehát valójában az, hogy hány perc alatt teszi meg a gyalogos az s 3 utat. A gyalogos T -ig megtett útja s, a kerékpárosé: s + s 2 + s 3 + s 3 + s 2 = s + 2s 2 + 2s 3. A gyalogos T és T 2 között megtett útja s 2, a kerékpárosé: s 2 + s 3 + s 3 = s 2 + 2s 3. A feladat megoldásához szükséges, hogy arányban kifejezhesssük a gyalogos és a kerékpáros adott id alatt megtett útjait. A kerékpárosról megállapítottakat egyenletrendszerbe foglalva s + 2s 2 + 2s 3 = 60 s 2 + 2s 3 = 40 () adódik. Innen ()- után kapjuk, hogy s + s 2 = 20 Mivel a gyalogos ugyanezt az utat = 00 perc alatt teszi meg, ezért a kerékpáros ötször gyorsabb a gyalogosnál, így az esetében s 2 + 2s 3 = s 3 = 200 2s 3 = 60 s 3 = 80 A gyalogos tehát a teljes utat = 80 perc, azaz 3 óra alatt tette meg. 8

9 5. Feladat. Két turista egyszerre indul el A-ból B-be. Az els turista minden kilométer utat 5 perccel rövidebb id alatt tesz meg, mint a második. Az els turista az út részének megtétele után visszafordul 5 A-ba, és ott 0 percig id zik, majd újra elindul B-be, ahová a másik turistával egyid ben érkezik. Mekkora A és B távolsága, ha ezt az utat a második turista 2,5 óra alatt teszi meg? Megoldás. Jelölje az út hosszát x. Keressünk olyan mennyiséget, mely mindkét turista esetén kifejezhet! Ez a mennyiség az út 5 része. Az. turista 40 perc alatt tette meg az út 7 részét, míg a 2. turista 5 50 perc alatt tette meg az x kilométer hosszú utat. Így az. turista az út 5 részét 20 perc alatt, míg a 2. turista 30 perc alatt tette meg. Az els turista tehát az út részét 0 perccel gyorsabban tette 5 meg a 2. turistánál, és tudjuk, hogy kilométerenként 5 perccel gyorsabb, így a vizsgált szakasz hossza 2 kilométer. Mivel x = 2, így x = 0, vagyis A és B távolsága 0 km. 5 Munkavégzéses feladatok. Feladat. Az üzemvezet 5 szivattyút leállított, hogy az üzemanyag 2 óra helyett 6 órára elegend legyen. Hány szivattyú m ködött eredetileg? Megoldás. Készítsünk táblázatot az adatokból, hogy használhassuk a W = P t összefüggést: W P t x 2 x 5 6 A képletet felhasználva a megoldandó egyenlet: 2x = 6(x 5) 2x = 6x 80 4x = 80 x = 20 Eredetileg tehát 20 szivattyú m ködött. 9

10 2. Feladat. Egy üzemrész termelési tervét az els héten 6%-kal, a második héten 4%-kal túlteljesítette, és így összesen 80 készülékkel többet gyártott a tervezettnél. Hány készülék elkészítését írta el a terv egy hétre? Megoldás. Több megoldást is adunk.. megoldás Készítsünk táblázatot az adatokból, hogy használhassuk a W = P t összefüggést: W P t x, 06x +, 04x = 2, x 2 2x , x = 2 (2x + 80) 2, x = 2x , x = 80 x = 800 A terv szerint egy hét alatt elkészítend készülékek száma megoldás Legyen x a terv szerint egy hét alatt elkészítend készülékek száma. Ekkor az els heti mennyiség, 06x, a második heti pedig, 04x. Az így elkészített mennyiség 80 darabbal több, mint a terv szerinti, így a vizsgált két hét esetében a következ egyenlettel írható le az összefügés, 06x +, 04x = 2x , x = 2x + 80 / 2x 0, x = 80 / : 0, x = 800 A terv szerint egy hét alatt elkészítend készülékek száma

11 3. Feladat. Két munkacsapat együtt dolgozva 30 nap alatt végezne el egy munkát. 6 napi közös munka után az egyik csapatot áthelyezik, és így a másik a munkát 40 nap alatt fejezi be. Hány nap alatt végezné el a munkát egy-egy csapat egyedül? Megoldás. Több megoldást is adunk.. megoldás Készítsünk táblázatot az adatokból, hogy használhassuk a W = P t összefüggést: W P t. munkacsapat 2. munkacsapat Együtt x y x + y x y 30 6 ( 30 x + ) = / : 30 () y ( x + ) + 40 y x = Bevezetve az x = a és az y 30 (a + b) = 6 (a + b) + 40a = = b ismeretleneket, és felbontva a zárójeleket, a megoldandó egyenletrendszer: () Felírva az ()- különbséget 24 (a + b) 40a = 0 24a + 24b 40a = 0 24b 6a = 0 24b = 6a b = 2 3 a Visszahelyettesítve ()-be 30 (a + b) = 30 (a + 23 ) a = a = 50a =

12 Visszaírva az új ismeretlent az = a összefüggés alapján az egyenlet x 50 x = x = 50 Felhasználva x-et y meghatározásához: ( ) = y 50 + y = 30 y = y = y = 2 50 y = 75 y = 75 A munkacsoportok egyedül tehát 50, illetve 75 nap alatt végeznék el a munkát. 2. megoldás Jelölje x és y azt, hogy a munkacsapatok hány nap alatt végzik el a munkát egyedül. Ekkor az egy nap alatt együtt elvégzett munka x + y A megoldandó egyenletrendszer: ( 30 x + ) = / : 30 () y ( 6 x + ) + 40 y x = x + y = () 30 ( 6 x + ) + 40 y x = 2

13 Behelyettesítve ()-et -be = / egyszer sítés x x = / 5 40 x = 4 / : 40 5 x = / keresztbe szorzás 50 x = 50 Visszahelyettesítve ()-be ( ) = y / zf () y = / egyszer sítés y = / y = 2 5 / keresztbe szorzás 50 = 2y / : 2 75 = y A munkacsoportok egyedül tehát 50, illetve 75 nap alatt végeznék el a munkát. 4. Feladat. Tizenegy munkásnak egész számú nap alatt kell elvégeznie egy munkát. Négy munkanap után a munkát egy napra megszakították. befejezhessék? Hány munkást kell alkalmazni, hogy a munkát határid re Megoldás. A vizsgált mennyiség legyen a munka elvégzése. Ha munkás n nap alatt végzi el, akkor ez n. A négy munkanap alatt elvégzett munka 4. A szünnap után n 5 nap maradt, amikor + k munkás dolgozott. Így a megoldandó egyenlet: n = 4 + ( + k)(n 5) n = 44 + n 55 + kn 5k / zf n = + n + kn 5k / n; + = kn 5k / kiemelés = k(n 5) Mivel = = két lehet ség adódik. Ha k = és n 5 =, akkor n = 6. Ha k = és n 5 =, akkor n = 6. Az alkalmazandó munkások száma 6 napos munka esetén, 6 napos munka esetén. Ellen rzéssel adódik, hogy mind a két megoldás helyes. 3

14 Keveréses feladatok. Feladat. 0 liter 87%-os alkoholunk van. Mennyi vizet kell hozzáöntenünk, hogy 80%-os alkoholt kapjunk? Megoldás. Készítsünk táblázatot: Oldat mennyisége Koncentráció Oldott anyag mennyisége Alkohol , 87 = 8, 7 Víz x 0 x 0 = 0 Keverék 0 + x 80 8, = 8, 7 Megjegyzend k: () Az oldószer koncentrációja 0. Oldott anyag mennyisége = Oldat mennyisége Koncentráció 00 (3) A keverék esetében az oldott anyag mennyisége a többi oldott anyag összegeként is felírható. A és a (3) együtt adják az egyenlet felírásának módját. A megoldandó egyenlet tehát: 0, 8 (0 + x) = 8, x = 0, 875 x = 0, 875 Tehát 0, 875 liter vizet kell hozzáöntenünk az alkoholhoz. 4

15 2. Feladat. Összekeverünk 3 liter 2%-os, 5 liter 8%-os és 2 liter 22%-os alkoholt. hány százalékos keveréket állítottunk el? Megoldás. Készítsünk táblázatot: Oldat mennyisége Koncentráció Oldott anyag mennyisége , 2 = 0, , 8 = 0, , 22 = 0, 44 Keverék 0 x 0, , 9 + 0, 44 =, 7 A megoldandó egyenlet tehát: 0 0, 0x =, 7 0, x =, 7 x = 7 Tehát 7%-os keveréket állítottunk el. 3. Feladat. 50%-os és 70%-os töménység sóoldatunk van. Hány litert kell ezekb l összeöntenünk, hogy 45 liter 62%-os töménység sóoldatunk legyen? Megoldás. Készítsünk táblázatot: Oldat mennyisége Koncentráció Oldott anyag mennyisége x 50 0, 5x 45 x 70 0, 7 (45 x) Keverék , 5x + 3, 5 0, 7x = 3, 5 0, 2x A megoldandó egyenlet tehát: 45 0, 62 = 3, 5 0, 2x 27, 9 = 3, 5 0, 2x 3, 6 = 0, 2x x = 8 Így 8 liter 50%-os, illetve 45 8 = 27 liter 70-os sóoldatot kell összeöntenünk. 5

16 Vegyes feladatok. Feladat. Egy tört számlálója 5-tel kisebb, mint a nevez je. Ha a tört számlálójához 7-et, a nevez jéhez 2-t adunk, a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? Megoldás. Mivel a tört számlálója 5-tel kisebb, mint a nevez je, ezért legyen a nevez je x, a számlálója pedig x 5. A tört reciprokát úgy kapjuk, hogy számlálóját és nevez jét felcseréljük. Így a feladat szövege alapján a megoldandó egyenlet: x = x x + 2 x 5 x + 2 x + 2 = x x 5 (x + 2)(x 5) = x(x + 2) / zf x 2 + 2x 5x 60 = x 2 + 2x / keresztbe szorzás x 2 + 7x 60 = x 2 + 2x / x 2 7x 60 = 2x 60 = 5x 2 = x A keresett tört tehát x 5 x = = 7 2. / 7x / : ( 5) 2. Feladat. Két szám különbsége 00. Ha az els számot a másodikkal elosztjuk, a hányados 6, a maradék 5. Melyik ez a két szám? Megoldás. Az egyik egyenlet a b = 00, a másik pedig a = 6b + 5, így a megoldandó egyenletrendszer a b = 00 a = 6b + 5 () Behelyettesítve -t ()-be: 6b + 5 b = 00 5b + 5 = 00 / 5 5b = 95 / : 5 b = 9 Visszahelyettesítve: a = = 9. A keresett számok tehát 9 és 9. 6

17 3. Feladat. Ha két pozitív egész szám szorzatához hozzáadjuk az összegüket, akkor 34-et kapunk. Melyik ez a két szám? Megoldás. A megoldandó egyenlet: ab + a + b = 34 / kiemelés a(b + ) + b = 34 / + a(b + ) + b + = 35 / kiemelés (b + ) (a + ) = 35 Mivel a és b is pozitív egészek, így a lehetséges szorzatok: 35 = 35 = 35 = 5 7 = 7 5. Ha b + = és a + = 35, akkor b = 0 és a = 34. Ha b + = 35 és a + =, akkor b = 34 és a = 0. Ha b + = 5 és a + = 7, akkor b = 4 és a = 6. Ha b + = 7 és a + = 5, akkor b = 6 és a = 4. Ellen rzéssel adódik, hogy mind a négy megoldás helyes. 4. Feladat. Egy iskola diákjai két autóbusszal mentek kirándulni. A két autóbuszon az utasok aránya 5 : 4. Ha az els autóbuszból 0 diák átszáll a másodikba, az utasok aránya 5 : 7 lesz. Hányan mentek kirándulni az iskolából? Megoldás. Az els buszon lév diákok száma tehát 5x, a másik buszon lév k száma 4x. 5x 0 4x + 0 = 5 7 7(5x 0) = 5(4x + 0) / zf / keresztbe szorzás 35x 70 = 20x + 50 / 20x 5x 70 = 50 / x = 20 / : 5 x = 8 Az egyik buszon 5x = 5 8 = 40, míg a másikon 4x = 4 8 = 32 utas volt, azaz a kirándulók száma 72. 7