12. modul. Forgásszög szögfüggvényei

Átírás

1 MATEMATIKA A 10. évfolyam 1. modul Forgásszög szögfüggvényei Készítette: Csákvári Ágnes

2 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A hegyesszög szögfüggvényeinek átismétlése. A forgásszög fogalmának elmélyítése. A szögfüggvények általánosítása, grafikonjaik elkészítése függvény - transzformációkkal. Egyszerű trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Szögfüggvények alkalmazása a területszámításban. 9+1 óra 10. évfolyam Tágabb környezetben: hétköznapi szituációk, fizikai folyamatok Szűkebb környezetben: Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. Függvények. Vektorok, koordinátageometria. Geometriai alakzatok. Megelőző tananyag: Hegyesszög szögfüggvényei és összefüggéseik. Függvények jellemzése, tulajdonságai. Egyenletek, egyenlőtlenségek. Háromszög területe. Középponti szög, kör jellemzői és tulajdonságai. Vektorok. Geometriai transzformációk. Követő tananyag: Addíciós-tételek, szinusz-, koszinusz-tétel. Trigonometrikus összefüggések, egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Koordináta-geometria. Analízis elemei. A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számlálás, számítás: A függvényértékek kiszámítása. A függvények tulajdonságainak meghatározása. A grafikus megjelenítés a függvényértékek közötti reláció meghatározását képi formában is megerősíti. A függvények zérushelyének, szélsőértékének kiszámítása. 60 -nál nagyobb illetve negatív forgásszögeknek megfelelő 0-60 közötti szögek kiszámítása. Átváltás fokból radiánba és vissza. Mennyiségi következtetés: A függvényértékek közötti reláció meghatározása. A körív- és a szög nagysága egyenesen arányos. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Forgásszögek szögfüggvény-értékének leolvasása koordináta-rendszerben. Forgásszög helyének meghatározása a szögfüggvényértéke ismeretében. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: függvények grafikonjának összehasonlítása, a geometriai transzformációk alkalmazása függvény-transzformációkban, egyenlőtlenségek megoldáshalmazának megállapítása,

3 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei Induktív, deduktív következtetés: Konkrét számokkal illetve összefüggésekkel megadott függvényekről átlépés az általános képlettel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása. A függvényértéknek megfelelő forgásszög kiszámítása után az összes megoldás meghatározása a periódus figyelembevételével.

4 4 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ TÁMOGATÓ RENDSZER: 1.1; 1.; 1. és 1.4 kártyakészlet, 1.5; 1.6; 1.7; 1.8 és 1.9 fóliakészlet, röpdolgozat megoldásokkal, 1.10 szakértői mozaik anyaga, képek, grafikonok, függvénytáblázat, számológép. Internet címek (006-ban): I. A szögfüggvények kialakulása 1. koldal/matek/matemati.htm. II. Függvényábrázolás transzformációkkal

5 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 5 ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK: A függvény Egyváltozós valós függvények Függvények grafikonja, függvény transzformációk Függvények jellemzése Kerület, terület Trigonometrikus egyenletek Középszint Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyesszögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (0, 45, 60 ) szögfüggvényeit. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: f (x) = sin x; g (x) = cos x; h (x) = tg x. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c f(x); f(cx)]. Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás és periodicitás szempontjából. Ismerje a kerület és a terület fogalmát. Háromszög területének kiszámítása különböző adatokból: a b sin γ T =. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani. Emelt szint Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Tudjon összetett függvényeket képezni a lineáris, abszolútérték, másodfokú négyzetgyök és trigonometrikus függvényekből. Tudja ábrázolni az alapvető függvények transzformáltjainak grafikonját [c f(ax+b)+d]. Függvények jellemzése korlátosság szempontjából. A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg. Használja a konvexség és konkávság fogalmát a függvények jellemzésére. A területképletek bizonyítása. Tudjon összetett feladatokat megoldani. Tudjon egyszerű trigonometrikus egyenleteket megoldani.

6 6 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ ÓRABEOSZTÁS: 1. óra: Forgásszögek. óra: Forgásszögek szinusza, koszinusza; keresés kalkulátorral. óra: Egyszerű (definíció alapján megoldható) trigonometrikus egyenletek 4. óra: A háromszög területének kiszámítása két oldal és a közbezárt szög ismeretében 5 6. óra: Szinusz és koszinusz függvények grafikonjának elkészítése függvénytranszformációkkal, jellemzésük 7 8. óra: Forgásszögek tangense (kotangense). Tangens (kotangens) függvény ábrázolása, jellemzése. Egyszerű egyenletek megoldása 9. óra: Hegyesszögekre érvényes azonosságok kiterjesztése, számítási feladatok az azonosságok felhasználásával +1 óra (10.): Kiegészítő óra. Trigonometrikus egyenlőtlenségek. Trigonometrikus összefüggések alkalmazása egyenletekben

7 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 7 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Ismétlés, forgásszögek (1 óra) 1. Olvasmány (bevezetés, érdeklődés Szövegértés felkeltése). Szögek mérése (ismétlés) Számolás; induktív, deduktív, kombinatív gondolkodás. Forgásszögek Induktív, kombinatív gondolkodás; számolás II. Forgásszögek szinusza/koszinusza (6 óra) 1. Forgásszögek szinusza, koszinusza Becslés, számlálás, mennyiségi következtetés, induktív gondolkodás. Egyszerű egyenletek megoldása Becslés, kombinatív gondolkodás, számolás,. A háromszög területének kiszámítása két oldal és a közbezárt szög ismeretében 4. Szinusz és koszinusz függvények ábrázolása, jellemzése 5. Szinusz és koszinusz függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal induktív gondolkodás Induktív, deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számolás, szövegértés Becslés, kombinatív gondolkodás Induktív, deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számolás, szövegértés, becslés III. Forgásszögek tangense/kotangense (1 óra) 1. Forgásszögek tangense (kotangense) Számolás, induktív gondolkodás. Nevezetes szögek szögfüggvényei Számolás, kombinatív ig gondolkodás, rendszerezés. Egyszerű egyenletek megoldása Becslés, kombinatív gondolkodás, számolás, induktív gondolkodás Olvasmány Mintapélda: 1. Feladat: 1 4. Mintapélda 4, 5. Feladat: 5 7. Kártyakészlet: 11.1; 11. és 11. Mintapélda: Feladat: 8 14 Mintapélda: Feladat: Mintapélda: 1., 14. Feladat:0 5. Röpdolgozat Mintapélda:15., fóliakészlet szakértői mozaik 11.4 kártyakészlet Fóliakészlet: Mintapélda: Feladat: 6 7 Feladat:9., 0. Táblázat Feladat: 8. Feladat: 1.

8 8 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ 4. Tangens- (kotangens-) függvény ábrázolása függvénytranszformációkkal, jellemzése IV. Azonosságok (1 óra) 1. Hegyesszögekre érvényes azonosságok kiterjesztése Induktív, deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, becslés Szövegértés, induktív gondolkodás. Egyszerű feladatok Kombinatív gondolkodás, V. Kiegészítő óra (1 óra) 1. Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása számolás, rendszerezés Kombinatív gondolkodás, számolás, mennyiségi következtetés. Trigonometrikus egyenletek Kombinatív gondolkodás, számolás Mintapélda: 0. Feladat:. Mintapélda: 1. Feladat: 4. Mintapélda:. Feladat: 5. Mintapélda:. Feladat: 6.

9 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 9 I. Forgásszögek 1. MATEMATIKA: A SZÖG 1 (OLVASMÁNY, RÉSZLETEK) A szög fogalmát valószínűleg a babiloni csillagászok vezették be. Egyedülállóan sikeres innováció volt: a forma vált így mérhetővé, és ezzel megragadható lett a számok nyelvén. Hogy minden háromszögben két derékszögnyi a szögek összege, azt már jóval Eukleidész előtt tudták a hozzáértők. Mára ez nevenincs közhely, s nem gondolunk arra, hogy egyike a tiszta matematika legelső igazi tételeinek. Szerényen állít valamit, aminek érvényességi köre messze túl mutat a tapasztalaton. Egyáltalán nem álmélkodunk el rajta. Korán, talán túl korán közlik velünk az iskolában. Részévé válik annak, ahogy a világot látni véljük. Az elmúlt száz év során ugyanis kiderült: csak emberi léptékre érvényes, a kozmosz és a kvantummechanika geometriája nem euklideszi. MÉRÉS A szögnek mint minden mennyiségnek a méréséhez két dologra van szükség: mérési eljárásra és egységre. A babiloniak a szöget egy olyan körív hosszával mérték, amelynek középpontja a szög csúcsa. Az egység ezután tetszőlegesen választható mint a szöget mérő kör kerületének arányos része. Ennél azóta sincs jobb módszer. A babiloniak több mint háromezer éve osztották 60 egyenlő részre a szöget mérő kört: az így adódó ív jelöli ki az egységnyi nagyságú, 1 -os szöget. A bűvös 60-as szám a babiloni számrendszerből és kozmológiából ered. Amikor szöget mérünk, vagy például 90 -os szögről beszélünk, akkor a Biblia előtti korok csillagászainak, írnokainak eszközeit és nyelvét használjuk, még az ékírásos időkből. Mivel teljesen önkényes, a fok éppen olyan jó egység, mint bármi más. Van azonban két gyakorlati előnye. Egyrészt a csillagászatban gyakori fellépő kicsiny szögek mérőszáma így emberi nagyságrendű, másrészt az elemi geometriában megjelenő nevezetes szögek mértéke szép egész szám. Használatát a hagyományokhoz való ragaszkodáson túl az is indokolja, hogy több mint ezer éve az arab matematikusok erre az egységre készítették el az első trigonometriai táblázatokat. A szögmérés babiloni egységének nem volt igazi konkurenciája, itt nem burjánzott el az egységeknek az a dzsungele, mint a hosszúság vagy a súly mérésekor. Közrejátszhatott ebben az is, hogy szöget nem a piactéren vagy a vásárokban mértek, ez megmaradt a már akkor is a nemzetközi tudományos-műszaki elit feladatának. A szöggel mérhető mennyiségek nem voltak, és később sem lettek közvetlenül pénzre válthatók, nem úgy, mint a már említett hosszúság vagy a súlymérés esetében. AZ ÍVMÉRTÉK A középiskolában találkozunk a szögmérés egy másik egységével, a tudományosan hangzó radiánnal. A definíció világos: 1 radián az a szög, amelyet a méréshez felhasznált kör sugarával (sugár = rádiusz) egyenlő nagyságú ív mér. 1 Élet és Tudomány szám. Diákoldal. Szerző: Pataki János

10 10 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Az új egység bevezetésének következménye az, hogy ha egységnyi sugarú kört használunk a méréshez, és így a hosszúságmérés egységére vezetjük vissza a szögmérés egységét, akkor valóban a szögszárak által kimetszett körív hossza a szög mértéke, az ív közvetlenül méri a szöget. A radián bevezetése mintegy szinkronizálja a hosszúság és a szög mérését: egy fontos elv érvényesül az új egység bevezetésekor. Az egyik első következmény, hogy néhány összefüggés leegyszerűsödik: az r sugarú körből az α ) radián nagyságú középponti szög α ) r nagyságú ívet és 1 ) α r területű körcikket metsz ki. AZ ISKOLÁBAN Az új egység használatát különböző átváltási feladatokkal szokás gyakorolni, a jobb kalkulátorok pedig már automatikusan hajtják végre a megfelelő konverziókat. Ilyenkor jellemző hiba, ha a felhasználó elfeledkezik a gép beállításáról vagy ami rosszabb, nem törődik vele, és például radiánban "felejtett gépével akarja kiszámítani, mennyi cos 60. Jó esetben meglepődik a gép által közölt értéken félreértés ne essék: nem ezért érdemes (kell) tudni, hogy például cos 60 = 0,5, de még mielőtt elemcserére vagy szervizre gondolna, érdemes ellenőrizni a beállításokat. A két egység egyidejű használatával első ránézésre zavarba ejtő egyenlőségeket kapunk, mint például 60 =. Ez az egyenlőség természetesen nem a mérőszámok, a 60, illetve a 1,047 egyenlőségét mondja; nem is mondhatja. Azt fejezi ki, hogy a két különböző egység felhasználásával mért szögek egyenlők. Hasonló ez a 1 = 1101 egyenlőséghez, ahol a bal és a jobb oldalon ugyanannak a számnak a tízes, illetve a kettes számrendszerbeli alakja áll. Az egyenlőség értelmezéséhez itt a számok jelentését is ismerni kell. FOK VAGY RADIÁN? Mikor melyik egységet érdemes használni? A legfontosabb tanács: ne mindkettőt egyszerre! Egy háromszög keresett szögének nagyságára éppoly jó válasz a 48, mint a 0,88 radián. Ha táblázatot használunk, akkor érdemes fokokban kifejeznünk a szöget, az újabb kalkulátorok azonban mindkét egységben használhatók. Igazság szerint az ilyen feladatokban teljesen mindegy, hogy melyik egységet választjuk. Illetlenség azonban egy feladat megoldása közben váltani, vagy más egységben közölni az eredményt, mint ahogyan az adatokat kaptuk például a feladat kitűzésekor. A körben adódó számítási feladatokban a szükséges formulák egyszerűbbek, ha ívmértéket használunk. A körív hosszára vonatkozó összefüggés például fokokban

11 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 11 o α i = r. 180 Vegyük észre, hogy a formula úgy kapható meg a már említett szög fokokban megadott mérőszámát radiánba konvertáljuk: ) α α = α. 180 i = α ) r eredményből, hogy a A szögek mérése című részt feledékenyebb tanulók otthoni, önálló feldolgozására ajánljuk. A tanórát az olvasmány elolvasása után mely feleleveníti a szögmérésre vonatkozó ismereteket a forgásszög fogalmával folytatjuk.. SZÖGEK MÉRÉSE Ahogy az a bevezető olvasmányból is kiderült, a szög nagyságát kétféleképpen határozhatjuk meg. Mindkét esetben egy teljes kört hívunk segítségül. I. A kör középpontjából kiinduló két félegyenes egy szögtartományt, a középponti szöget határozza meg. Ezt a szöget fokokban mérjük. A teljes szög 60 -nak felel meg. 1 a teljes kör 60-ad része. II. A másik esetben nem a középponti szöget mérjük, hanem annak a körívnek a sugárhoz való viszonyát, amelyet a körből a szögszárak metszenek ki. Ez az ívmérték. A mérőszám meghatározásához felhasználjuk, hogy a körív nagysága és a középponti szög nagysága egyenesen arányos. Ezt az arányossági tényezőt nevezzük radiánnak. 1 radián jelenti azt a középponti szöget, amelynél a körív hossza éppen ) i a sugárral egyenlő. Jele: α = r Tehát a radián azt mutatja meg, hogy egy adott középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a sugárnak. A teljes szöghöz (60 ) tartozó körív (teljes kör) a sugár -szerese. (Ebből adódik a kör kerülete: K = r ) Tehát 60 o o 60 o = rad 1 rad = 57, Ez a meghatározás kapcsolatot teremt a fokban mért adatok és a valós számok halmaza között. Megjegyzés: a mértékegységül szolgáló rad szócskát nem szoktuk kiírni. Például: 180 és a 180 nem ugyanazt a szöget jelöli, ugyanis 180 =, radián, míg 180 radián 101,5.

12 1 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 1 Hányszorosa a sugárnak a 47 -hoz tartozó körív? Tudjuk: 180 esetén az ív a sugár -szerese Ebből: 1 esetén az ív a sugár -szorosa esetén az ív a sugár 47 -szorosa 0,8 -szerese. 180 o Tetszőleges α szög esetén α ) = α 180 Mintapélda Tudjuk, hogy a sugárnak 1,-szerese a körív hossza. Hány fokos középponti szöghöz tartozik ez az ívhossz? Tudjuk: ) α = 1,. 180 esetén az ív a sugár -szerese o 180 Ebből: esetén az ív a sugár 1-szerese o 180 1, 68,75 a középponti szög. Tetszőleges α ) o o ) 180 radián esetén α = α Amikor számológéppel számoljuk ki a szög mérték fokban, akkor általában tizedestört alakot kapunk. A csillagászatban, asztrológiában előfordulhat, hogy tizedesjegyek helyett inkább perc és másodperc alak kellene. Van olyan számológép, amely gombnyomásra elvégzi az átváltást, de ha a sajátunkon nincs, nekünk kell átváltani. Mintapélda a) Adjuk meg a 1,8 fok perc másodperc alakját! 1,8 =1 +0,8 Tudjuk: 1 =60 Ebből: 0,8 =0,8 60 =16,8 Általában addig folytatjuk az átalakítást, amíg el nem fogynak a tizedesjegyek. 16,8 =16 +0,8. Tudjuk: 1 =60. (Megjegyzés: 1 =60 =600.) Ebből: 0,8 =0,8 60 =48. A kapott eredményeket visszahelyettesítve kapjuk: 1,8 = b) Amennyiben a feladat perc másodperc formátumban adta meg az adatot, de például a számológép miatt tizedestört alakra lenne a szükség, a következő eljárás segít: Váltsuk át tizedestörtté a szöget!

13 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 1 o 1 1 Felhasználjuk: 1 = valamint 1 =, = = 71, Feladatok o o 1. Váltsd át radiánba a következő fokban megadott szögeket! Hozd a legegyszerűbb alakba az eredményt: a) 0 ; b) 150 ; c) 40 ; d) 15 ; e) 1. 0 a) 0 o = = ; b) 150 o 4 = = ; c) 40 o = ; d) 15 o 1 11 = = ; e) 1 o = = Váltsd át fokba a következő radiánban megadott szögeket! a) ; b) ; c) ; d) 0,967; e),76; f) o o o 180 o 180 o 180 o a) = = 45 ; b) = = 70 ; c) = 51,4 ; o o 180 o 180 o d) 0,967 = 0,967 = 17 ; e),76 =,76 = 16 ; o 180 o f) 1 = = 57,. Megjegyzés: Az a) b) és c) feladatban elegendő, ha helyébe 180 -ot írunk, ugyanis például: o o = = Alakítsd át a következő fokban és percben megadott szögeket tizedestörtté! a) ; b) 11 6 ; c) a) 6, ; b) 11,6 ; c) 01, Add meg a következő szögeket fokban percben, s szükséges másodpercben! a) 47,5 ; b) 9,1 ; c) 14,7. a) 47 0 ; b) ; c) o

14 14 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ. FORGÁSSZÖGEK A továbbiakban rögzítsük a középponti szög egyik szárát. Ez lesz a nyugvó szögszár. A másik pedig a forgó szögszár. Forgassuk ezt a szögszárat a kör középpontja körül. A forgatás nagyságát a forgó szögszár által súrolt tartomány határozza meg. A forgatás iránya pedig a szög előjelét határozza meg: ha az óramutató járásának irányával ellentétes irányba forgatunk, akkor a szög pozitív előjelű. Ha pedig megegyező irányba, akkor a szög negatív előjelet kap. Például: Mintapélda 4 Ábrázoljuk a következő szögeket! a) 576 ; b) = = ( ) 5. Ábrázold a következő szögeket! (Használhatsz szögmérőt is.) a) 75 ; b) 10 ; c) 194 ; d) 0 ; e) 95 ; f) 15 ; g) 540 ; h) 715 ; i) 0 ; j) 140 ; k) 517. a 4. mintapélda alapján.

15 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 15 A most következő feladathoz 4 fős csoportokra lesz szükség. A 11.1 kártyakészlettel megoldandó feladat. Gyűjtsük össze azokat a forgásszögeket, amelyek ugyanannak a 0 és 60 közé eső szögnek az elforgatottjai. A tanár minden asztalra leteszi írással lefelé fordítva a kártyakészletet összekeverve. Valamelyik tanuló kiosztja a kártyákat. Mindenkinek négyet oszt. A tanulóknak úgy kell az egymásnak megfelelő négy szöget összegyűjteni, hogy 1. egymással nem beszélhetnek,. egyszerre csak egy felesleges kártyájukat tehetik az asztal közepére,. csak az asztal közepére, írással felfelé letett kártyákból választhatják ki a hiányzó darabokat kártyakészlet jelöljük egy e-vel. A forgó szögszárra illesztett vektor hossza mint sugár, rögzített szög mellett egyenesen arányos a körív nagyságával. A forgó szögszárra helyezett egységvektor végpontja forgatás közben egy körön mozog. Ezek után helyezzük el azt a szöget és az egységvektor végpontja által meghatározott kört a koordináta-rendszerben úgy, hogy a kör középpontja essen egybe az origóval, a nyugvó szögszár pedig az x tengelyt meghatározó i egységvektorral. A forgó szögszárat pedig Megjegyzés: Az x tengely pontjait az i egységvektor számszorosaival, az y tengely pontjait pedig a j vektor számszorosaival skálázzuk. szog011.jpg

16 16 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 5 Állapítsuk meg, hogy az ábrán látható szög forgó szára melyik síknegyedben található, és becsüld meg a nagyságát! (Szögmérővel ellenőrizhető a becslés.). síknegyed, kb Használjuk a 11. kártyakészletben található kártyákat és az előző feladatban ismertetett módszert. Itt is az összetartozó négyeseket kell megtalálni. Összetartozó négyest alkotnak azok a kártyák, amelyeken ugyanazon szög szerepel fokban illetve radiánban megadva, koordináta-rendszerben elhelyezve és a síknegyed is megfelelő. 11. kártyakészlet A továbbiakban minden csoport megkapja a 11. kártyakészletben szereplő 4 db szöget, amelyet szétosztanak egymás közt. Eközben a tanár 4 asztalra kiteszi a 4 síknegyedet tartalmazó kártyákat. Minden csoportból, akiknél a kártyán ugyanaz a szög szerepel, keresse meg azt az asztalt, amelyen a megfelelő síknegyed található. Vigyenek magukkal füzetet, amelybe dolgozhatnak.

17 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei kártyakészlet Minden asztalnál végrehajtják a következő feladatokat: 1. Írjanak fel 4 olyan forgásszöget,a melyek a megadott szöggel egyenlő nagyságú forgatást eredményeznek pozitív és negatív irányba egyaránt!. Váltsák át radiánba ezeket a szögeket!. Tükrözzék az x, y tengelyre, és az origóra a szöget! Határozzák meg a kapott szögek nagyságát! Megjegyzés: szög nagysága alatt azt a szöget értjük, amelyet a forgó szögszár az x tengely pozitív felével zár be, és iránya is pozitív. 4. Határozzák meg azt a szöget (kiegészítő szöget), amellyel az eredeti szöget összeadva 180 -ot kapunk. (Ez a szög lehet negatív is.) 5. Határozzák meg azt a szöget (pótszög), amellyel az eredeti szöget összeadva 90 -ot kapunk. (Ez a szög lehet negatív is.) A szög segítségével a forgó szögszáron felvett v vektor végpontját kétféleképpen is jellemezhetjük: 1. Az origótól való távolsággal valamint a szögszár és az x tengely pozitív felével bezárt pozitív előjelű szöggel.

18 18 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ. A V pont koordinátáival, amelyek függenek a szögtől. Ha készen vannak, a tanulók visszaülnek a saját csoportjukhoz, és megbeszélik a tapasztalatokat a következő szempontok alapján: (a válaszokat külön lapra írják fel) 1. A tükrözések során kaptunk olyan szöget, amely az első, második a harmadik illetve a negyedik síknegyedbe esik. Hogyan lehet kifejezni az első síknegyedbeli szög segítségével a többi síknegyedbeli szöget?. Melyik az a szög a tükrözéssel kapottak közül, amelyiknek az x koordinátája (abszcisszája) ugyanaz, mint az eredeti szögé? (Mind a négy szög esetén add meg ezt a szöget.). Melyik az a szög a tükrözéssel kapottak közül, amelyiknek az y koordinátája (ordinátája) ugyanaz, mint az eredeti szögé? (Mind a négy szög esetén add meg ezt a szöget.) 4. A három különböző tükrözés esetén az egységvektor koordinátái hogyan változnak, ha az eredeti egységvektor koordinátái e(x; y)? Próbálj általános szabályt keresni! Amikor megadták a kérdésekre a választ, két-két szomszédos csoport kicseréli a lapjaikat, és kijavítják egymásét. A következő szempontok alapján pontozhatnak is: 1. kérdés: Ha mind a 4 síknegyed esetén jól fejezték ki a szögeket, akkor az 4 pontot ér.. kérdés: A 4 megfelelő szög felírása 4 pontot ér.. kérdés: A 4 megfelelő szög felírása 4 pontot ér. 4. kérdés: A három általános szabály felírása pontot ér. Minden csoport maximum 15 pontot szerezhet. A tanár eldöntheti, hogy ad-e osztályzatot a csoportmunkára. A ponthatárokat is a tanár határozza meg. Ha ad jegyet, akkor a csoportok minden tagja ugyanazt kapja.

19 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei Hány fokos szöget kapsz, ha az α = 14 -os szög mozgószárát pozitív irányba még kétszer teljes körrel elforgatod? És ha 1-szer? 50; Tükrözd az α = 14 -os szög forgószárát az x, az y tengelyre, és az origóra. Hány fokosak a kapott szögek? Tükrözd ugyanígy a 7 -os szöget is. Mit tapasztalsz? 17, 7, 7. A 7 tükörképei: 7, 148, 17. A megfelelő egységvektor végpontjának koordinátái azonos abszolútértékűek.

20 0 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ II. Forgásszögek szinusza, koszinusza 8. Mérd meg tizedesjegy pontossággal a következő forgásszögek koordinátáit! a) b) c) d) Az egyes esetekben milyenek a koordináták előjelei? a) Ha a szög 0 és 90 közötti, akkor mindkét koordinátája pozitív. b) Ha a szög 90 és 180 között van, akkor az x koordinátája negatív, az y pedig pozitív. c) Ha a szög 180 és 70 közötti, akkor mindkét koordinátája negatív. d) Ha a szög 70 és 60 között van, akkor az x koordinátája pozitív, az y pedig negatív. A síkbeli i, j koordináta-rendszerben egy e egységvektor irányszögének annak az elforgatásnak a szögét nevezzük, amely i-t e-be viszi át. ( Ez az elforgatás irányától függően pozitív vagy negatív is lehet.)

21 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 1 Tetszőleges forgásszög koszinuszán az adott irányszögű egységvektor x koordinátáját (abszcisszáját) értjük. Tetszőleges forgásszög szinuszán az adott irányszögű egységvektor y (ordinátáját) koordinátáját értjük. Látható, hogy sem a szög szinusza, sem a szög koszinusza nem lehet 1-nél kisebb illetve +1-nél nagyobb. Most megmutatjuk, hogy ez a definíció hogyan kapcsolódik a korábbi derékszögű háromszögben megadott definícióhoz. I. síknegyedben: Ebben a derékszögű háromszögben: y x sinα = = y és cosα = = x. 1 1 A többi síknegyed esetén felhasználjuk a korábbi szögek tükrözésével szerzett tapasztalatokat.

22 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ II. síknegyedben: o α' = 180 α ; sin α = sinα' = sin( 180 α ); cos α = cosα' = cos 180 α. ( ) III. síknegyedben: o α ' = α 180 ; ( α ) ( α ) sinα = sinα' = sin 180 ; cosα = cosα' = cos 180. IV. síknegyedben: o α' = 60 α ; sin α = sinα' = sin( 60 α ); cos α = cosα' = cos 60 α. ( ) Minden szög szinusza, ill. koszinusza visszavezethető egy első síknegyedbeli megfelelő szög szinuszára, ill. koszinuszára. Az egyes szögek szögfüggvényeinek előjeleit jól szemléltethetjük az egységsugarú körrel: cos α sin α cos 90 = cos 70 = 0. sin 0 = sin 180 = 0.

23 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 9. Határozd meg az egységvektor koordinátáit két tizedesjegy pontossággal, ha adott a vektor irányszöge! a) 7 ; b) 14 ; c) 198 ; d) 45. Használd a számológépet! Mintapélda 6 Eddig 0 és 60 közötti szögeket vizsgáltunk. Most megnézzük a negatív és a 60 -nál nagyobb szögeket! Számítsuk ki a szögek szinuszát, ill. koszinuszát! 1. sin 18 = sin ( ) = sin 8 = 0,746;. cos ( 6 ) = cos ( ) = cos 97 = 0,454;. sin ( 89 ) = sin (51 60 ) = sin 51 = 0,9455. Megjegyzés: a számológép természetesen bármelyik szög szinuszát/koszinuszát ki tudja számolni a fenti átalakítások nélkül is. 10. Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett szögfüggvények értékeit! a) sin 6 ; cos 54 ; b) sin ( 98 ); cos ( 68 ); c) sin 561 ; cos 18 ; d) sin ; cos ( 5 48 ); e) sin ( ); cos 56 1 ; f) sin 11,7 ; cos 147,8 ; g) sin ( 6, ); cos ( 11,6 ). a) 0,5878; 0,5878; b) 0,990; 0,746; c) 0,6561; 0,905; d) 0,579; 0,610; e) 0,605; 0,9978; f) 0,559; 0,8464; g) 0,4415; 0, Határozd meg zsebszámológép segítségével négy tizedesjegy pontosan a keresett szögfüggvények értékeit! a) sin 10 ; cos ; 5 b) sin 45; cos 0 ; c) sin 0, 56 ; cos 1, 18; d) sin ; cos 0, 1; 11 e) sin 1 ; cos. 1 a) 0,9511; 0,5000; b) 0,8509; 0,154; c) 0,51; 0,80; d) 0,1411; 0,9950; e) 0,8660; 0,9659.

24 4 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 7 Megjegyzés: Ábrázoljuk közös egységkörben a szögeket! Végezzük el a kijelölt műveleteket! Ahol lehet, pontos értékkel számoljunk! a) sin + sin 7 ; b) cos 7 + cos. a) sin + sin 7 = sin sin (60 7 ) = = sin sin = 0. b) cos 7 + cos = cos (60 7 ) + cos = = cos + cos = cos 1, Hozd egyszerűbb alakba a következő kifejezéseket, majd számold ki a pontos értéküket! a) cos 111 cos 49 ; b) sin 47 + sin 17 ; c) cos cos 0 ; d) sin 48 sin 168 ; e) sin + sin + sin ; 5 f) cos + cos cos ; o sin 5 g) ; o sin17 o cos 15 h) ; o cos 5 i) sin cos sin ; j) cos cos sin. a) cos 111 cos 49 = cos 111 cos ( ) = cos 111 cos 111 = 0; b) sin 47 + sin 1 = sin 47 + sin ( ) = sin 47 sin 47 = 0; c) cos cos 0 = cos cos ( ) = cos 157 = 1,841; d) sin 48 sin 168 = sin (60 1 ) sin (180 1 ) = sin 1 sin 1 = = sin 1 = 0,4158;

25 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 5 e) sin + sin + sin = = 0; f) cos + cos cos = 1 = 1; sin 5 sin 5 sin 5 g) = = = 1; sin17 sin( ) sin 5 o cos 15 cos( ) cos5 h) = = = 1; cos 5 cos( 60 5 ) cos5 i) sin cos sin = 1 ( 1) ( 1) = 1; j) cos cos sin = 0 ( 1) ( 1) = 0. A következő feladatok előkészítik a szinusz és koszinusz függvény monotonitásának vizsgálatát. Mintapélda 8 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! cos 48 cos 76 A szögek koszinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok x koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának x tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs jel: cos 48 > cos 76. Mintapélda 8 Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! sin 6 sin 15 A szögek szinusz értékei a szögekhez tartozó egységvektorok y koordinátái. A megfelelő egységvektorok végpontjának y tengelyre vetítése után már leolvasható a megfelelő relációs jel: sin 6 > sin 15.

26 6 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! a) sin sin 46 ; b) cos 100 cos 146 ; c) sin 11 sin 56 ; d) cos 94 cos 57. a) <; b) >; c) >; d) <. 14. Tedd ki a megfelelő (<, =, >) relációs jelet! a) cos 6 cos 157 ; b) sin 5 sin 5 ; c) cos 15 cos 96 ; d) sin 18 sin 18. Megoldások: a) >; b) <; c) >; d) <. Mintapélda 10 Eddig adott szögek szinuszát, ill. koszinuszát határoztuk meg. Most megfordítjuk a kérdést: az a feladat, hogy egy szög szinusza (koszinusza) ismeretében keressük meg, mely szög(ek)é lehet! Az ilyen feladatokat visszakeresésnek is szokták nevezni. Mely szögekre teljesül a sin α = 0,7 egyenlőség, ha 0 α 60? Készítsünk ábrát! Vegyük fel az egységkört! A szögek szinuszát az irányszögükhöz tartozó egységvektor y koordinátájával értelmezzük. A 0,7-es ordinátához két egységvektort is tudunk találni, hiszen a 0,7-en áthaladó, az x tengellyel párhuzamos egyenes két pontban is metszi az egységsugarú kört. A két metszésponthoz tartozó irányszög: α 1 = 44,4 ; α = ,4 = 15,6.

27 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 7 EGYSZERŰBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK MEGOLDÁSA Ha a szögfüggvények értékét négy tizedesjegy pontossággal adjuk meg, használhatjuk az = jelet a jel helyett is. Ha a visszakeresésnél a szöget három értékes jegyre adjuk meg, akkor az ellenőrzéskor a szögfüggvény értékében már a harmadik tizedesjegyben is mutatkozhat eltérés. Mintapélda 11 Mely szögekre teljesül a sin α = 0, 97 egyenlőség? A számológép segítségével α = 68. Keressük meg a 0 és 60 közötti megfelelőjét, valamint az összes megoldást is! α = α = 68 ; α 1 = 60 α = = 9 ; α = α = = 48. Természetesen α 1 = ; α 1 = ; is megoldása a feladatnak: Általános alakban felírva: α 1 = 9 + k 60, k Z; α = 48 + l 60, l Z. Mivel ezek egymástól független megoldások, különböző betűket használunk. Célszerű először a [0 ; 60 [ intervallumon megkeresni a megoldást, és csak utána kibővíteni a periódussal. Mintapélda 1 Oldjuk meg az alábbi egyenleteket! a) sin( x + 5 ) + 0,5 = 0; b) 1 cos ( 6 x ) 0,5 = 0. a) sin( x + 5 ) + 0,5 = 0, sin( x + 5 ) = 0,5, sin( x + 5 ) = 0,5. Innen a zsebszámológép segítségével kapjuk, hogy x + 5 = 14,5. A forgásszögek ismeretében ez két eset vizsgálatát jelenti:

28 8 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ I. x = 14,5 + k 60, x 1 = 7,5 + k 60 =,5 + k 60, k Z. II. x + 5 = 165,5 + l 60, x = 11,5 + l 60, l Z. b) 1 cos ( 6 x ) 0,5 = 0, 1 cos ( 6 x ) = 0,5, cos ( 6 x ) = 0,75. Zsebszámológép használatával: 6 x = 41,4. Innen két esetet kell megvizsgálni: I. 6 x 1 = 41,4 + m 60, x 1 = 77,4 + m 60, m Z és m Z. II. 6 x = 18,6 + n 60, x = 54,6 + n 60, n Z és n Z. Feldolgozási javaslat: A tanulók kialakítanak 4 fős csoportokat. A tanár felváltva osztja ki az alábbi feladatsorokat a csoportoknak. Egy csoport csak egy feladatsort old meg. Feladatsorok: A : 15/a); 16/e); 17/c); 18/b) B : 15/c); 16/d); 17/a); 18/c) + pontot kaphat azon csoport minden tagja, amelyik elsőként jó megoldást ad külön a B illetve külön az A csoport feladataira. Kétféle ellenőrzési lehetőség is van: 1. Az + pontot kapott csoport külön - külön ismerteti a táblánál a feladatok megoldásait, s a többiek a helyükön ellenőrzik.. Egy A feladatsort megoldó csoport kijavít egy B feladatsort megoldó csoport megoldásait, és fordítva. Majd visszaadják a javítást. 15. Oldd meg a következő egyenleteket! a) 0,5 sin x 0,174 = 0; b) cos x + 0,568 = 1; c) sin ( x + 15 ) = 0,45; d) cos ( x 0 ) = 1,464. k,l Z a) x 1 =0,4 + k 60 ; x = 159,6 + l 60 ; b) x 1 =115, + k 60 ; x = 44,8 + l 60 ; c) x 1 =5, + k 60 ; x = 144,8 + l 60 ; d) x 1 =64,5 + k 60 ; x = 5,5 + l Oldd meg a következő egyenleteket! a) cos α = ; b) sin β + 1 = 1 ; 1 c) sin γ = 1; d) cos δ = ; e) cos (φ + 6 ) = 0; f) sin (ψ ) = 0.

29 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 9 5 a) α = k; k Z. b) β = + l ; l Z. c) γ 1 = + m ; γ = + n ; m Z és n Z d) δ 1 = + g ; δ = + h ; g Z és h Z. e) φ = + a = + a; a Z f) ψ = + b ; b Z. 17. Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin ( x + 48 ) =,5681; b) 0, cos ( x 1 ) = 0, 158. k Z és l Z a) x 1 =49,1 + k 60 ; x = 86,9 + l 60, b) x 1 =59, + k 60 ; x = 4,8 + l Oldd meg a következő egyenleteket! 1 a) cos ( α ) + = 0; b) sin ( β + ) = ; 6 4 c) 1 cos γ = 5 ; d) sin δ =. 5 a) α 1 = + k; α = + l; k Z és l Z. b) Nincs megoldása. 6 c) γ 1 = 66,4 + g 60 ; γ = 9,58 + h 60 ; g Z és h Z. d) Nincs megoldása. 19. Oldd meg a következő egyenleteket! a) cos x = ; b) sin 1 x + = 1. 4 a) Az abszolútérték definícióját felhasználva kapjuk: cos x = 5 Ebből: x 1 = + r; x = + s; s Z, r Z. 6 6 b) Átrendezés majd négyzetgyökvonás után kapjuk: sin x = Ebből: x 1 = + a; x = + b; a Z, b Z., illetve cos x =., illetve sin x =. Megjegyzés: A feladatokban, ahol nem szerepel fok vagy radián, ott fogadjuk el a helyes megoldást, akár fokban, akár radiánban adja meg a tanuló.

30 0 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 1 Egy 10 cm területű háromszög 5 cm-es oldalán 7 -os szög nyugszik. Milyen hosszú a háromszögnek ezt a szöget határoló másik oldala? b m T = b, 5 mb 10 =, innen 4 = m b. Az ABB derékszögű háromszögben a szinusz szögfüggvényt felírva: m sin 7 = b m, innen c = b 4 =. c sin 7 sin 7 c 4, cm. Felhasználva, hogy m b = c sin α kapjuk a háromszög területének egy másik korábban b mb b c sin α már említett lehetséges kiszámítási módját: T = =. A hegyesszögű háromszög területét megkapjuk, ha vesszük két oldalának és a közbezárt szögük szinuszának a szorzatát, és ezt a szorzatot elosztjuk kettővel. A mintapéldában szereplő módon igazolható az összefüggés bármely két oldalra és az általuk bezárt szögre. T = a b sin γ b c sin α = = a c sinβ. A fenti összefüggés érvényes derékszögű illetve tompaszögű háromszög esetén is: Derékszögű háromszögben: γ = 90, ezért sin γ = 1, értéket formálisan beírhatjuk a háromszög területképletébe: a b 1 a b sin90 a b sin γ T = = =. Tompaszögű háromszögben: m sin γ = a, b sin γ = sin ( 180 γ ) = sin γ, innen m a = b sin γ = b sin γ, a ma a b sin γ T = =.

31 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 1 Mintapélda 14 Mekkorák az egyenlőszárú háromszög szögei és a kerülete, ha területe egységnégyzet, és szárai 8 egység hosszúak? b = 8; T =. α =? β = γ =? (A háromszög egyenlőszárú.) K =? T = b b sinα 8 sinα =, 46 = 64 sin α, sin α = 0,7187 és 0 < α < 180. I. α 1 = 46, II. α = = 14, β 1 = ( ) : = 67, β = ( ) : =, γ 1 = 67. γ =. Tehát a megadott adatokhoz egy hegyesszögű és egy tompaszögű háromszög is tartozik. A kerület meghatározásának egyik lehetséges módja: α sin = a b. a 1 a I. sin =, innen II. sin 67 = ,5 = a 1. 14,7 = a., innen K 1 = a 1 + b = 6, =,5. K = a + b = 14, = 0,7. 0. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala 0 cm, 4, dm hosszú és 9 -os szöget zárnak be egymással! o 0 4 sin 9 T = = 05,4 cm. 1. Számítsd ki a háromszög területét, ha két oldala dm, 1,5 m hosszú és 108 -os szöget zárnak be egymással! o 15 sin108 T = = 164,1 dm.

32 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ. Számítsd ki a háromszög hiányzó adatát az ábrán látható jelöléseket használva, ha ismert a) T = 18 cm ; c = 5, cm; a = 7,4 cm, β =?; b =? b) T = 5 dm ; b = c = 8 dm, K =? a c sin β a) T =, 5, 7,4 sin β 18 =, 0,956 = sin β, β 1 = 69,, β = 110,7. A b oldal egy kiszámítási lehetősége: Hegyesszögű eset: Az a oldalhoz tartozó magasság talppontja az a oldalt két részre osztja. Az egyiket jelöljük x-szel, ekkor a másik szakasz a x. Két derékszögű háromszöget kapunk, melyekre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk: I. x + m a = c II. (a x) + m a = b Ebben az egyenlet-rendszerben három ismeretlen van, de a T = értéke kiszámítható, s így x értékét is meg tudjuk határozni: 7, 4 ma 18 = m a 4,86. Ezt visszahelyettesítve I. be adódik: x + 4,86 = 5, x 1,85. A II. egyenlet a kapott eredmények alapján a következőképpen alakul: b = (7,4 1,85) + 4,86 54,4 b 7,8. Tompaszögű eset: a m a képletből m a Az a oldalt meghosszabbítjuk a magasság talppontjáig. A kiegészítő szakaszt jelöljük x-szel. A b oldal kiszámításához szükségünk van x értékére, valamint az a oldalhoz tartozó magasságra. Az m a ; (a + x) és c oldalak egy derékszögű háromszöget határoznak meg. Ebben a háromszögben ismerjük β-t és c-t. a + x cos β =, de cos 110,7 < 0, ezért a tompaszögű esetből nem kapunk megoldást, c hiszen pozitív számok hányadosa nem lehet negatív. T 70 b) nincs ilyen háromszög, mert sin α = = > 1. b 64

33 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két oldala 7 dm és 1, m és a közbezárt szögük 11! A paralelogramma területe kiszámítható két, egy csúcsból kiinduló oldalának és a közbezárt szögük szinuszának szorzatával. T p = a b sin α. a = 1, m = 1 dm; b = 7 dm; β = 11 ; T =? A paralelogrammát az átlója két egybevágó háromszögre bontja. Ekkor egy háromszög a b sinβ területét a megadott adatok alapján a T h = képlettel számíthatjuk ki. A paralelogramma területe pedig T p = T h = a b sinβ 87,76 dm 4. Egy rombusz kerülete 6 cm, területe 5 cm. Mekkorák az oldalai és a szögei? K = 6 cm, T = 5 cm, a =? α =?; β =? K = 4a, 6 = 4a, a = 9 cm. Korábban a paralelogramma területével kapcsolatban láttuk, hogy T = a b sin α. Rombusz esetén: 5 = 9 sin α. Ebből α 1 9,9 illetve α = 180 α 1 = 140,1 = β. Mivel a rombusz szögei nem lehetnek nál nagyobbak, így csak ez a két megoldás lehetséges. 5. Számítsd ki a paralelogramma területét, ha két átlója 6 cm és 10 cm, és a közbezárt szögük 5! Legyenek az átlók: e = 6cm és f = 10 cm, valamint γ = 5. T P =? Az AMB és a CMD háromszögek, valamint a BMC és a DMA háromszögek egybevágóak. Ezért T AMB =

34 4 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ e f 1 e f T CMB = sin γ Tudjuk, hogy sin γ = sin (180 γ). Ezért T AMB = T CMB = T BMC = T DMA. 1 T AMB = ( 5 sin 5 ) 5,91 cm., valamint T BMC = T DMA = sin( 180 γ ) T P = T AMB + T CMB + T BMC + T DMA = 4 T AMB = 4 11,8 cm =,64 cm. 1. Mielőtt továbbhaladnánk a szinusz és koszinusz függvény ábrázolására, a tanár írathat egy röpdolgozatot az osztállyal. A feladatsort és a javítási útmutatót a röpdolgozat melléklet tartalmazza. SZINUSZ- ÉS KOSZINUSZFÜGGVÉNY A forgásszögekkel való ismereteink megszerzése után már minden szöghöz egyértelműen hozzárendelhető annak szinusza és koszinusza. A hozzárendelésnél valós számokhoz valós számokat rendelünk, ezért a szöget radiánban kell megadni. Az így nyert két függvény: f(x) = sin x illetve g(x) = cos x. Az eddigi tapasztalatok alapján ezeknek a függvényeknek néhány tulajdonságát már ismerjük: 1. A függvényértékek [ 1; +1 ] intervallumban találhatóak. A 1-et is és a +1-et is végtelen sok helyen veszi fel.. A függvényértékek szerint ismétlődnek, tehát a függvények periodikusok, és periódusuk. Az f(x) függvényt periódikusnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív p érték, amelyre a függvény értelmezési tartományának minden x értékére x + p is az értelmezési tartományhoz tartozik és f (x) = f (x + p). Ha a függvénynek van legkisebb pozitív periódusa, akkor ezt szoktuk figyelembe venni. Példák periódikus függvényekre: 1. Törtrész függvény: É.T.: R, f ( x ) = { x }, periódus: p = 1.

35 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 5. Konstans függvény: É.T.: R, f ( x ) =, periódus: minden valós szám megfelelő, de nincs közöttük legkisebb.. A valós életben például a szívritmus görbe (EKG): A Mintapélda 15 és Mintapélda 16 megtalálható az 11.5 fóliakészletben. Eleinte a grafikon több pontját is meghatározzuk, hogy jobban kirajzolódjon a görbe. Később az értéktáblázat készítése elhagyható. Elegendő, ha a zérushelyeket illetve a szélsőértékhelyeket vesszük fel, és ezekre illesztjük a görbét. Mintapélda 15 Ábrázoljuk és jellemezzük az f( x ) = sin x függvényt! Készítsünk értéktáblázatot! x sin x

36 6 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [ 1; 1]. Zérushely: sin x = 0, x = k, k Z. Periódus:. Monotonitás: szigorúan monoton növekvő: + l x + l, l Z, szigorúan monoton csökkenő: + m x + m, m Z. Szélsőérték: maximumhely: x = + n; n Z, maximumérték: sin x = 1, minimumhely: x = + s ; s Z, minimumérték: sin x = 1. Paritás: páratlan, mert sin x = sin ( x). Alulról nézve konkáv: a x + a; a Z intervallumon. Alulról nézve konvex: + b x + ; b Z intervallumon. Mintapélda 16 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = cos x függvényt! Készítsünk értéktáblázatot! x cos x

37 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 7 Jellemzés: É.T.: R. É.K.: [ 1; 1 ]. Zérushely: cos x = 0; x = + k, k Z. Periódus:. Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő: l x + l; l Z, szigorúan monoton növekvő: + m x + m; m Z. Szélsőérték: maximumhely: x = n; n Z, maximumérték: cos x = 1, minimumhely: x = + s ; s Z, minimumérték: cos x = 1. Paritás: páros, mert cos x = cos ( x). Alulról nézve konkáv: + a x + a ; a Z. Alulról nézve konvex: + b x + b ; b Z.

38 8 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ A valós életben ezen függvények transzformáltjaival találkozhatunk: Rezgőmozgás: A hang terjedése: A kék illetve a piros fény terjedése: A SZINUSZ ÉS KOSZINUSZFÜGGVÉNY ÁBRÁZOLÁSA FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓKKAL Az anyag feldolgozásához a 1.10 szakértői mozaik nyújt segítséget. A feldolgozás közben a tanár kivetítheti a 1.5 fóliakészletet, hogy a tanulók lássák az ábrázolandó alapfüggvényeket. A szakértői mozaikban kiemeljük a függvény azon tulajdonságait, amelyeket a transzformáció megváltoztathat. A feldolgozás menete: 1. A tanulók négyfős csoportokban dolgoznak. A tanár minden csoportnak odaadja a szakértői mozaikot, amely 4 lapból áll. A csoporton belül a tanulók szétosztják egymás között a lapokat. Azok, akik ugyanazt a témát kapták egy, a tanár által kijelölt asztalhoz mennek. A tanár ezekre az asztalokra kikészít csomagolópapírt és filctollakat.

39 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 9 A tanulók közösen feldolgozzák az anyagukat, majd az oldal alján található hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját ( Ábrázolandó függvény címszónál) ábrázolják és a függvényt jellemzik a csomagoló papíron. Ha elkészültek, visszamennek a saját csoportjukhoz. A csoportok körbe mennek az asztalok mentén. Egy asztalnál a csoport azon tagja magyarázza el az anyagot, aki annak a készítésében részt vett.. Közben a tanár minden csoportnak ad egy sorszámot, és csoportonként négy-négy darab betűt a 4. kártyakészletből. Minden számból és betűből magánál tart egyet-egyet. Ezt követően felteszi az alábbi kérdéseket egyesével. (Ezek a tanulói kézikönyvben is megtalálhatók, amelyeket a tanuló otthon egyedül is kitölthet. A kérdések a tananyag általános feldolgozására szolgálnak.) Minden kérdés elhangzása után húz egy számot és egy betűt. A kérdésre rövid megbeszélés után az adott csoportnak az a tagja válaszol, akinél az adott betű van. Itt lehetőség van a csoport pontozására: Jó válasz esetén +, rossz válasz esetén. A csoport minden tagja ugyanazt a jelet kapja. Egyik lehetőségként a tanár feljegyzi ezeket a pontokat, és a legvégén a csoportok osztályzatot is kaphatnak. (A csoport minden tagja ugyanazt az osztályzatot kapja.) Másik lehetőség, hogy ezeket a pontokat csak akkor váltja be jegyre, ha az a korábbi + -okkal és -okkal együtt indokolttá teszi. A téma tárgyalása előtt célszerű feltenni a következő kérdéseket: 1. Hogyan változik az f (x) = sin x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk a v(0; ) vektorral?. Hogyan változik az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk a v( ; 0) vektorral?. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = sin x függvény grafikonja a g(x) = cos x függvény grafikonjába? 4. Milyen transzformációval vihető át az f (x) = cos x függvény grafikonja a g(x) = sin x függvény grafikonjába? 5. Mennyivel kell eltolni és milyen irányban az f (x) = sin x függvény grafikonját, hogy a függvényértékek ne legyenek pozitívak? 6. Hol vannak az f ( x ) = cos x + 1 függvény zérushelyei? 7. Mik lesznek a szinusz- és a koszinusz függvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely mentén 4 1 -szeresére zsugorítjuk? 8. Mik lesznek a szinusz-, ill. koszinusz függvény szélsőértékei, ha grafikonját az y tengely mentén ( )-szeresére nyújtjuk? 9. Milyen transzformációval kapjuk meg az f (x) = sin x függvény grafikonjából a g (x) = sin ( x) függvény grafikonját? Milyen transzformációs lépések találhatók az f( x ) = cos x + függvény grafikonjának elkészítésekor? 11. Mekkora a periódusa az f (x) = sin x függvénynek? 1. Hogyan változtatod meg az f (x) = cos x függvény hozzárendelési utasítását, hogy a függvény periódusa a kétszeresére nőjön? 1. Milyen paritású az f (x) = cos ( x) függvény? 14. Milyen értékeket vehet fel az f (x) = sin x függvény?

40 40 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Válaszok: 1. f ( x ) = sin x lesz.. f ( x ) = cos x + lesz.. x tengely menti negatív irányú, nagyságú eltolással. 4. x tengely menti pozitív irányú, nagyságú eltolással. 5. y tengely mentén negatív irányba 1 egységgel. 6. x = (k + 1), k Z Maximuma: ; minimuma: Maximuma: ; minimuma:. 9. x vagy y tengelyre történő tükrözéssel. 10. Egy x tengely menti egységnyi eltolás balra, majd egy y tengelyre történő tükrözés, végül egy y tengely menti eltolás 1 egységgel lefelé f (x) = cos x. 1. Páros és 1 közötti értékeket. Mintapélda 17 A 11.6 fóliakészletben egyes lépések eredményeként létrejövő grafikonok. 1 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x ) = sin x + függvényt! Transzformációs lépések: 1. a ( x ) = sin x,. b ( x ) = sin x +, a függvény grafikonjának eltolása az x tengely mentén a v ; 0 vektorral,. c ( x ) = 1 sin + 1 x, b függvény grafikonjának y tengely menti - szeres zsugorítása, 4. d ( x ) = 1 sin x +, c függvény grafikonjának tükrözése az x tengelyre,

41 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei f ( x ) = sin x +. d függvény grafikonjának eltolása az y tengely mentén a v ( 0; ) vektorral. Jellemzés: É.T.: R. É.K.: az ábráról is leolvasható, de algebrai úton is levezethető. Megjegyzés: Az É.K. az y tengely menti 1 -szeres zsugorítás és az y tengely menti vel való eltolás miatt változik, melyet a lépések sorrendjében levezethetünk: 1 1 sin α 1 /, sin α /, 1 5 sin α. 5 Az értékkészlet: ;. Zérushely: Egy jó ábráról szintén leolvasható. Most nézzük az algebrai levezetését: 1 sin x + = 0, sin x + = 4, és mivel egy szög szinusza csak 1 és +1 közötti szám lehet nincs zérushelye. Periódus:. Monotonitás: Megjegyzés: Az ábráról olvassuk le a megfelelő intervallumokat. Célszerű először a [0; ] intervallumon megkeresni a megfelelő szakaszokat, majd utána kibővíteni a periódussal. Igyekezzünk egybefüggő szakaszokat találni. Ha túllóg a [0; ] n, akkor az utána lévő részt vegyük figyelembe. A szakaszok helyét az x tengelyre történő tükrözés (a 1 szorzó miatt) és az x tengely menti -mal történő eltolás befolyásolja. 7 Szigorúan monoton növő: + k; + k ; k Z intervallumokban; Szigorúan monoton csökkenő: + l; + l ; l Z intervallumokban. 6 6 Szélsőérték:

42 4 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Megjegyzés: Egy jó ábráról leolvashatók a szélsőértékhelyek, de algebrai úton is levezethetők. A szélsőérték helyeket az x tengelyre történő tükrözés (a 1 szorzó miatt) és az x tengely menti -mal történő eltolás határozza meg. 1 5 Minimum hely: sin x + =, sin x + = 1, x + = + m ; m Z, x = 6 + m. 5 Minimum érték:. 1 Maximum hely: sin x + =, x + = + n ; n Z, 7 x = + n. 6 Maximum érték:. Paritás: nem páros, nem páratlan. Megjegyzés: a grafikon nem szimmetrikus sem az origóra, sem az y tengelyre, ez algebrailag is bebizonyítható. Ehhez a definíciókat használjuk fel: A függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemére x is eleme az értelmezési tartománynak, és f ( x ) = f ( x ), illetve páratlan, ha f ( x ) = f ( x ). Állítsuk elő f ( x ) -et! 1 f ( x ) = sin x +, sin x + = sin x + nem teljesül, mert sin x + = sin x = sin x, ezért a függvény nem páros. 1 f ( x ) = sin x + +, ezért a függvény nem páratlan. 5 Alulról nézve konkáv a + a; + a, a Z intervallumokon. Alulról nézve konvex a + b; + b, b Z intervallumokon. Megjegyzés: A grafikonról mindez leolvasható.

43 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 4 Mintapélda 18 Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonjait, és állapítsuk meg a periódusukat, zérushelyüket és szélsőértékhelyüket! a) f ( x ) = sin x ; b) g ( x ) = cos x! a) A grafikon elkészítéséhez alakítsuk át a hozzárendelési utasítást! sin x = sin x = sin x. Ábrázolás menete: (11.7. fóliakészlet) 1. d ( x ) = sin x,. e ( x ) = sin x, d grafikonjának eltolása az x tengely mentén -vel,. f ( x ) = sin x, e grafikonjának tükrözése az x tengelyre. Periódus:. Zérushely: sin x = 0, x = k; k Z, x = + k = + k ; k Z. Szélsőérték helyek: Minimumhely: sin x = 1, sin x = 1, x = + l; l Z. x = + l = l ; l Z. Maximumhely:

44 44 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ sin x = 1, sin x = 1, x = + m; m Z, x = + m = + ( m + 1 ) = + m ; m Z. b) A trigonometrikus függvények grafikonjának elkészítésekor az x változó együtthatójának 1-nek kell lennie, ezért az argumentumban kiemelést végzünk: cos x = cos x. 6 Periódus:. Zérushely: cos x = 0, x = + k; k Z, x = + k = k ; k Z, x = k. Szélsőérték helyek: Minimumhely: cos x = 1, x = + l ; l Z, x = + l, x = + l. Maximumhely: cos x = 1, x = m ; m Z, x = + m, x = + m. 6 Tapasztalat: Ha x együtthatója nem 1, akkor kiemeljük az együtthatót kiemelhetjük: b cos( ax + b) = cos a x + ( a 0). a

45 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 45 A függvény grafikonjának ábrázolása ebben az esetben lépésből áll: (11.8. fóliakészlet) 1) d(x) = cos x. 1 1) x tengely menti zsugorítás / nyújtás. A függvény periódusa -szorosára változik, azaz a a lesz. Konkrétan: e( x )=cos (x). ) x tengely menti a b nagyságú, a b előjelével ellentétes irányú eltolás. Konkrétan: ( x) = cos x f. 6 Megjegyzés: A szinusz- és a koszinusz függvény grafikonja ilyen hullámok ismétlődéséből épül fel. Egy hullám hossza. Az x szorzótényezője ha az abszolútértékben 1-nél nagyobb szemléletesen azt mutatja meg, hogy hány db ilyen hullám fér bele egy hosszú intervallumba. Ilyenkor a hullám összenyomódik. Ha a szorzótényező abszolútértékben 1-nél kisebb, például 1, akkor egy hosszúságú intervallumba a hullámnak csak a fele fér el. esetén:. Ekkor a hullám széthúzódik. Minden esetben a hullám hossza éppen a szorzótényező reciprokszorosára változik. A 19. mintapélda nem tananyag. Az itt található függvények ábrázolása grafikus kalkulátorral vagy számítógéppel ajánlható, de a grafikonok a fóliakészletben is megtalálhatók. Mintapélda 19 Készítsük el a következő függvények grafikonját: a) cos x; b) cos x ; c) sin x ; d) sin x. a)

46 46 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ b) c) d) 6. Készítsd el a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket: a) f ( x ) = sin x + ; b) g ( x ) = cos x 1 ; c) h ( x ) = sin ( x ); 5 d) k ( x ) = cos x + ; e) l ( x ) = sin x; f) m ( x ) = cos x! 4 Megoldási útmutató: ezek a függvények az alapvető függvénytranszformációkkal ábrázolhatók Készítsd el a következő függvények grafikonját! Állapítsd meg a függvények paritását! a) a ( x ) = sin x ; b) b ( x ) = sin x. a)

47 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 47 b) Mindkét függvény páros.

48 48 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ III. Forgásszögek tangense, kotangense Emlékeztető: α hegyesszög esetén: a szöggel szemközti befogó sin α tg α = = =, b szög melletti befogó cos α b szög melletti befogó cos α ctg α = = =. a szöggel szemközti befogó sin α Tetszőleges α szögre már definiáltuk a szögek szinuszát és koszinuszát, így hányadosuk segítségével a tangensüket és a kotangensüket is értelmezhetjük, ha a nevezőben szereplő kifejezés helyettesítési értéke 0-tól különböző. Ha x R és x l ( l Z ), akkor cos x ctg x =. sin x Ha x R és x + k ( k Z ), akkor sin x tg x =. cos x A sin α és cos α értéket korábban az α irányszögű egységvektor y illetve x koordinátájaként definiáltuk. Megmutatjuk, hogy a tg α és a ctg α fenti definíciójának milyen geometriai tartalma van: 1) tg α (tangens alfa) annak a pontnak az ordinátája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk meg. ) ctg α (kotangens alfa) annak a pontnak az abszcisszája, amelyet az α irányszögű egységvektor egyenesének és az egységsugarú kör (1; 0) pontjához húzott érintőjének metszéspontjaként kapunk. Az 1) geometriai tartalom következik a tg α definíciójából: Az OAB illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

49 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 49 sinα = PQ cosα sinα, = PQ 1 cosα tg α = PQ. Az első síknegyedre tehát érvényes az összefüggés; a többi síknegyedre hasonlóan igazolható. Ha 1)-et tekintjük definíciónak, akkor tételként igazolható, hogy az eredeti definíció fennáll, azaz megmutatható, hogy tg α kétféle módon adott meghatározása ekvivalens. A ) geometriai tartalom következik a ctg α definíciójából: Vegyük észre, hogy az OAB derékszögű háromszögben OA = sin α, és AB = cos α. Az OAB, illetve az OPQ háromszögek hasonlók, hiszen mindkettő derékszögű, és egyik szögük közös, ezért a megfelelő oldalaik aránya megegyezik: sinα cosα cosα = = PQ, PQ x sinα ctg α = PQ. Az első síknegyedre érvényes az összefüggés, a többi síknegyedre hasonlóan igazolható. Látszik, hogy a + k, k Z nagyságú szögeknek a tangense, az l, l Z nagyságú szögeknek pedig a kotangense nem értelmezett, hiszen ekkor az egységvektor egyenese és a megfelelő érintő párhuzamosak. tg α esetén ctg α esetén

50 50 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Ha egy szög nem 90 -os vagy attól nem tér el 180 valamely egész számú többszörösével, akkor a tangense létezik és egyértelműen meghatározható. Vagyis az R \ + k, k Z halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés: f ( x ) = tg x. Ezt tangensfüggvénynek nevezzük. Ha egy szög nem 180 vagy annak egész számú többszöröse, akkor létezik és egyértelműen meghatározható a kotangense is. Vagyis az R \ { l, l Z } halmazon létesíthető egyértelmű hozzárendelés az f ( x ) = ctg x. Ezt kotangensfüggvénynek nevezzük. Megfigyelések: 1. Az f(x) = tg x függvény a III. síknegyedben, azaz 180 és 70 közötti szögekre ugyanazt az értéket veszi fel, mint az I. síknegyedben. Ez az állítás a g(x) = ctg x függvényre is érvényes. (0 < α < 180 és α tangense ugyanaz.). Az f(x) = tg x függvény a IV. síknegyedben, azaz 180 és 70 közötti szögekre ugyanazt az értéket veszi fel, mint az II. síknegyedben. Ez az állítás a g ( x ) = ctg x függvényre is érvényes.. Az 1. és a. megállapításból következik, hogy az f(x) = tg x és a g(x) = ctg x függvények periódikusak, és periódusuk. Ez algebrai úton is belátható: sin ( ) ( α + ) sinα tg α + = = = tgα. cos( α + ) cosα sin 4. Az f ( x ) = tg x függvény páratlan, mert ( ) ( α ) sinα tg α = = = tgα. cos( α ) cosα Hasonlóan a g ( x ) = ctg x függvény is páratlan. A fentiek alapján töltsétek ki a következő oldalon lévő táblázatot! A tanulók csoportmunkával töltsék ki az alábbi táblázatot számológép használata nélkül. Alkalmazzák az eddigi tapasztalataikat. Esetleg házi feladatnak is kitűzhető.

51 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 51 NEVEZETES SZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 0 ÉS 60 KÖZÖTT: A tanulók megpróbálhatnak minél több szimmetriát felfedezni a táblázatban az értékekre illetve az előjelekre vonatkozóan. Segítségképpen néhány értéket előre beírtunk. sin 0 cos 1 tg 0 I. síknegyed II. síknegyed III. síknegyed IV. síknegyed 0 = ctg I. síknegyed II. síknegyed III. síknegyed IV. síknegyed 0 = sin cos 1 tg 0 ctg

52 5 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ

53 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 5 8. A nevezetes szögek szögfüggvényeit felhasználva határozd meg a következő kifejezések pontos értékét! a) sin 45 cos tg 5 0 ; b) ; sin15 + cos 45 cos150 sin 10 c) ; d) tg cos 40 sin 1050 ; tg 45 ctg 5 11 e) cos sin tg ; f) tg 60 + ctg 15 tg 45 + cos a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) Számold ki a következő értékeket! a) tg 0 ; b) ctg ( 514 ); c) tg 5,64; d) ctg a) 0,445; b),050; c) 0,7495; d) 0, Add meg azokat a szögeket, amelyeknek tangense a) ; b)! a) 108,4 + k 180, k Z; b) 7,9 + l 180, l Z. 1. Oldd meg a következő egyenleteket! a) tg x = 1,; b) ctg x = 11; c) tg ( x + 16 ) = ; d) tg x = 7. a) x = 50, + k 180, k Z; b) x = 5, + l 180, l Z; c) x = 9,4 + m 180, m Z; d) x = 66,8 + n 180, n Z.. Oldd meg a következő egyenleteket! a) tg x = ; b) tg x = ; c) ctg 5 + x = ; d) tg x = a) x = 4,6 + k 60, k Z; b) x =54, + l 90, l Z; 5 c) x = + m, m Z; d) x = + n, n Z

54 54 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 0 Ábrázoljuk az f ( x ) = tg x illetve a g ( x ) = ctg x függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! f(x) = tg x g(x) = ctg x Jellemzés: ÉT: R \ + k ; k Z ; R \ { a ; a Z}; ÉK: R; R; Zérushely: tg x = 0, ctg x = 0, x = l ; l Z. x = + b ; b Z. Periódus:.. Monotonitás: szigorúan monoton növő a szigorúan monoton csökkenő a + m; + m ; m Z ] c ; + c [; c Z intervallumokon. intervallumokon. Szélsőérték: nincs. nincs.

55 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 55 Paritás: páratlan. páratlan. Konvexitás: az n; + n ; n Z d ; + d ; d Z intervallumokon. intervallumokon. Konkávitás: + r ; + r, r Z + e ; + e, e Z intervallumokon. intervallumokon.. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f ( x ) = tg x; b) g ( x ) = tg x; c) h ( x ) = tg ( x ); d) k ( x ) = tg x + ; e) l ( x ) = tg x ; f) m ( x ) = tg x + ; g) n ( x ) = tg x. Megoldási útmutató: Az f, g, h, k és l függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. Az f) feladatban m(x) = tg x + függvény szinusz-, illetve koszinuszfüggvényeknél 4 ismertetett módon ábrázolandó.

56 56 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ IV. Szögfüggvények közötti összefüggések általánosítása I.A tangens és a kotangens függvények értelmezése: sin x tg x =, ha x + k ; k Z. cos x cos x ctg x =, ha x l ; l Z. sin x Ezek következménye: tg x ctg x = 1, innen ctg x = 1 1, illetve tg x =, azaz ugyanazon szög tangense és kotangense tg x ctg x egymás reciproka, ha x n ; n Z. II. Pitagoraszi (négyzetes) trigonometrikus azonosság: sin α + cos α = 1. Megmutatjuk, hogy bármekkora szög esetén teljesül ez az összefüggés. Két esetet különböztetünk meg: 1) α = k ; k Z Ekkor vagy sin α = 1 és cos α = 0 vagy cos α = 1 és sin α = 0. Behelyettesítve a fenti összefüggésbe kapjuk: sin α + cos α = sin α + cos α = = 1. ) α k ; k Z. Minden esetben létrejön egy derékszögű háromszög, melynek befogói sin α, illetve cos α hosszúak, átfogója pedig e = 1 nagyságú. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt felhasználva, hogy sin α = sin α és cos α = cos α: sin α + cos α = e, sin α + cos α = 1 = 1.

57 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 57 III. Pótszög-összefüggések: sin α = cos ( α ), tg α = ctg ( α ); x + k k Z, cos α = sin ( α ), ctg α = tg ( α ); x l l Z. 1) Az f(x) = cos x függvény ábrázolásakor tapasztaltuk, hogyha f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén + - vel, akkor éppen a g(x) = sin x függvény grafikonját kapjuk: sin x = cos x = cos x = cos x. mivel a koszinusz függvény páros ) Ha az f(x) = sin x függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén + vel, akkor g(x) = cos x függvény grafikonját kapjuk. cos x = sin x = sin x = sin x, mivel a szinusz függvény páratlan cos x = sin x.

58 58 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ cos x sin x ) tg x = = = ctg x, x + k ; k Z. cos x sin x sin x cos x 4) ctg x = = = tg x, x l ; l Z. sin x cos x Ezt a mintapéldát csak erős csoportoknak ajánljuk! Mintapélda 1 Számítsuk ki a szög értékének meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét, és szerkesszük is meg a keresett szögeket, ha tudjuk, hogy a) sin x = ; b) tg x =! 8 a) sin x =. cos x értékének meghatározásához a Pitagoraszi összefüggést használjuk fel: sin x + cos x = 1, + cos x = 1, 4 + cos x = 1, 9 cos 5 x =, 9 5 cos x = ±. tg x és ctg x értékek kiszámításhoz a tg x = alkalmazzuuk: sin x = sin x cos x illetve ctg x = 1 tg x összefüggéseket cos x = 7, cos x =, 7

59 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 59 tg x = = 7 1 ctg x = = tg x, tg x = = , ctg x = = tg x, 7 7. Szerkesztés vázlata: Ha sin α =, akkor Megjegyzés: Az egységet tetszőlegesen vehetjük fel. Mivel sin x =, ezért az egységkörön ábrázolva: b) tg x = 8. Közvetlenül ctg x értékét tudjuk kiszámítani: 1 8 ctg x = =. tg x Szerkesztés: Ha x hegyesszög, akkor tg x =. 8 Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható.

60 60 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ Ha x tetszőleges forgásszög, akkor tg x = 8 értéket az egységkörön ábrázolhatjuk: Innen a Pitagorasz-tétel alkalmazásával sin x és cos x már meghatározható. 4. Számítsd ki a szög nagyságának meghatározása nélkül a másik három szögfüggvény értékét és szerkeszd is meg a keresett szögeket: 1 9 a) sin x = ; b) cos x = ; c) tg x = ; d) ctg x =,8! a) cos x = 5 ; tg x = 7 5 ; ctg x =, b) sin x = ; tg x = 6 ; ctg x =, c) ctg x = ; cos x = ; sin x =, d) tg x = ; cos x = ; sin x =

61 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 61 V. Kiegészítő anyag Mintapélda Mely x-ekre teljesül? 1 a) sin x ; b) tg x > ; c) cos x < ; d) ctg x 1? Mindegyik feladatnál először egy perióduson belül keressük meg a megoldást. Ez általában a szinusz és koszinusz függvény esetén a [ 0; ], tangens és kotangens függvény esetén pedig a [ 0; ] intervallumot jelenti. Csak ezután általánosítunk. a) sin x k x + k ; k Z. 6 6 b) tg x >

62 6 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ + m x + m ; 6 m Z. + m x + m ; 1 4 m Z. c) cos x < Az ábráról is leolvasható, de az abszolútérték definícióját felhasználva is kiderül, hogy azokat az x értékeket keressük, amelyekre < cos x <. A keresett intervallumok: l < x < + l, l Z illetve + n < x < + n, n Z Mivel cos x periódusa, ezért e két megoldási tartomány összefoglalható: + p < x < + p, p Z. 4 4 d) ctg x 1

63 TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. modul: Forgásszög szögfüggvényei 6 Az ábráról leolvasható, hogy olyan x -eket keresünk, melyekre ctg x 1 vagy ctg x 1. A keresett intervallumok: r < x + r, r Z illetve + s x < ( s + 1) ; s Z Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! 1 a) sin x ; b) cos x < ; c) tg x. 7 a) + k x + k, k Z; 4 b) + l < x < + l, l Z; c) + m < x < + m, m Z. Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenleteket: 7 a) cos x = cos x ; b) sin x + = sin x; c) tg x = tg x A megoldás során felhasználjuk, hogy cos x = cos ( x) és sin x = sin ( x). 7 a) cos x = cos x 6

64 64 Matematika A 10. évfolyam TANÁRI ÚTMUTATÓ I. 7 7 x = x + k 60 k Z II. x = x + l ; l Z, k = 4x, x = + l k = x. x = + l = + ( l + 1) b) sin x + = sin x l = ( 1 ), I. x + 8 = x + m; m Z, II. x + 8 = x + n; n Z, 7 x = + m. x = + n, x = + n. 4 c) tg x = tg x, 4 x = x + r; r Z, 4 x = + r, 4 x = r Oldd meg a következő egyenleteket! a) sin x = sin 75 ; b) cos x = cos x + ; 4 x 5 c) sin = x ; 6 d) cos (x + 60 ) = cos (x + 4 ); e) tg 4x = tg (6 + x); f) ctg x = ctg x. 4