A matematika írásbeli vizsga tematikája

Átírás

1 A matematika írásbeli vizsga tematikája Megjegyzés. A tematika megegyezik az aktuális érettségi programjával (a X. osztályos gazdasági matematika tartalmának kivételével) IX. OSZTÁLY Halmazok és a matematikai logika elemei A valós számok halmaza: algebrai műveletek valós számokkal, valós számok rendezése, valós szám abszolút értéke, hiánnyal vagy többelettel való közelítése, egész része, törtrésze, műveletek valós számintervallumokkal. Kijelentések, predikátumok, kvantorok. Elemi logikai műveletek (tagadás, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia) és kapcsolatuk a halmazokkal végzett műveletekkel, relációkkal (komplementer, metszet, egyesítés, bennfoglalás, egyenlőség); ellentmondásra való viszszavezetés. Matematikai indukció. Sorozatok Sorozatok lehetséges értelmezései, korlátos sorozatok, monoton sorozatok. Sajátos sorozatok: számtani és mértani haladványok, ezek általános tagja és az első n tag összege. annak feltétele, hogy n szám számtani vagy mértani haladványban legyen, ahol n 3. Függvények; grafikon leolvasása Descartes-féle koordináta-rendszer; Descartes-szorzat; számhalmazok Descartesszorzatának ábrázolása pontokkal; algebrai feltételek különböző negyedekben levő pontokra; x = m és y = m alakú egyenesek a síkban, m R. Függvény: értelmezés, példák, példák olyan megfeleltetésekre, amelyek nem függvények, függvények lehetséges megadásai, grafikon leolvasása. Függvények egyenlősége, halmaz képe függvényben, függvények grafikonja és függvények leszűkítése.

2 Számfüggvények (F = {f : D R, D R}), a grafikon mértani ábrázolása: metszetek a koordinátatengelyekkel, f(x) = g(x)(<,, >, ) alakú egyenletek és egyenlőtlenségek grafikus megoldása; számfüggvények grafikonok leolvasásával bevezetett tulajdonságai; korlátosság, monotonitás és egyéb tulajdonságok: párosság, páratlanság, grafikon szimmetrikussága x = m egyenlettel megadott egyenesekre nézve (m R), periodikusság. Függvények összetétele; példák számfüggvényekkel. Az elsőfokú fügvény Értelmezés; az f : R R, f(x) = ax + b függvény grafikus ábrázolása, ahol a, b R; a grafikon metszete a koordinátatengelyekkel; az f(x) = 0 egyenlet. A függvény algebrai tulajdonságainak megállapítása a grafikon segítségével; a függvény monotonitása és előjele; a monotonitás tanulmányozása az f(x 1 ) f(x 2 ) különbség vagy a f(x 1) f(x 2 ) x 1 x 2 tört előjelének segítségével (x 1, x 2 R, x 1 x 2 ). Az ax + b 0 (<, >, ) alakú egyenlőtlenségek vizsgálata R-en vagy valós intervallumokon. { ax + b = c Két egyenes egymáshoz viszonyított helyzete; mx + ny = p, a, b, c, m, n, p R típusú egyenletrendszerek. Elsőfokú egyenlőtlenség-rendszerek. A másodfokú fügvény Értelmezés; az f : R R, f(x) = ax2 +bx+c függvény grafikus ábrázolása, ahol a, b, c R, a 0; a grafikon metszete a koordinátatengelyekkel; az f(x) = 0 egyenlet; a grafikon szimmetriája az x = m egyenlettel megadott egyenesekre nézve (m R). { x + y = s Viète-féle összefüggések; típusú egyenletrendszerek xy = p, s, p R megoldása. A másodfokú függvény algebrai tulajdonságainak mértani jelentése Monotonitás; a monotonitás tanulmányozása az f(x 1 ) f(x 2 ) különbség előjele vagy az f(x 1) f(x 2 ) növekedési (csökkenési) ráta segítségéve (x 1, x 2 R, x 1 x 1 x 2 x 2 ); szélsőértékpont; a parabola csúcsa. 2

3 A parabola elhelyezkedése az Ox tengelyhez viszonyítva, a függvény előjele, ax 2 +bx+c 0 (<, >, ), a, b, c R, a 0 alakú egyenlőtlenségek vizsgálata R- en vagy valós intervallumokon; mértani jelentés: intervallumok képei (parabola részeinek vetítése az Oy tengelyre). { ax 2 + bx + c = y Egyenes és parabola kölcsönös helyzete: mx + n = y, a, b, c, m, n R típusú egyenletrendszerek megoldása. Vektorok a síkban Irányított szakasz, vektorok, kollineáris vektorok Műveletek vektorokkal: összeadás (háromszögszabály, paralelogrammaszabály), az összeadás tulajdonságai, a skalárral való szorzás értelmezése és tulajdonságai, a kollinearitás feltétele, vektor felbontása két nemkollineáris vektor szerint. Vektorok alkalmazása a síkmértanban: kollinearitás, összefutás, párhuzamosság Egy pont helyzetvektora. Adott szakaszt adott arányban osztó pont helyzetvektora, Thalész tétele (párhuzamossági feltételek). Háromszög súlypontjának helyzetvektora (egy háromszög oldalfelezőinek összefutása). Meneláosz tétele, Ceva tétele. Trigonometria Trigonometrikus kör, a sin : [0, 2π] [ 1, 1], cos : [0, 2π] [ 1, 1], tg : [0, π] \ {π/2} R, ctg : (0, π) R trigonometrikus függvények értelmezése. A sin : R [ 1, 1], cos : R [ 1, 1], tg : R\D R, ahol D = { π 2 + kπ k Z}, ctg : R\D R, ahol D = {kπ k Z} trigonometrikus függvények értelmezése. Első negyedre való visszavezetés; trigonometrikus összefüggések: sin(a + b), sin(a b), cos(a+b), cos(a b), sin 2a, cos 2a, sin a+sin b, sin a sin b, cos a+cos b, cos a cos b (összeg szorzattá való átalakítása). A trigonometria és két vektor skaláris szorzatának alkalmazása a síkmértanban Két vektor skaláris szorzata: értelmezés, tulajdonságok. Alkalmazások: koszinusztétel, merőlegességi feltételek, derékszögű háromszög megoldása. vektoriális és trigonometrikus alkalmazások a mértanban: szinusztétel, általános háromszögek megoldása. Háromszögbe írt és háromszög köré írt kör sugarának kiszámítása; háromszög néhány nevezetes vonala hosszának kiszámítása, területszámítások. 3

4 X. OSZTÁLY Számhalmazok Valós számok: egy nem nulla pozitív szám racionális, irracionális és valós kitevőjű hatványainak tulajdonságai, valós számok racionális számokkal való közelítése. Egy szám n-edrendű gyöke (n N és n 2), gyökök tulajdonságai. A logaritmus fogalma, a logaritmusok tulajdonságai, számítások logaritmusokkal, logaritmálás. A C halmaz. Komplex számok algebrai alakja, konjugáltja, műveletek komplex számokkal; az összeadás, kivonás, és valós számmal való szorzás geometriai interpretációja. Valós együtthatós másodfokú egyenlet megoldása C-ben. Bikvadratikus egyenletek. Függvények és egyenletek A természetes kitevőjű hatványfüggvény: f : R D, f(x) = x n, n N, n 2, gyökfüggvény: f : D R, f(x) = n x, n N, n 2, ahol D = [0, + ), ha n páros és D = R, ha n páratlan. Az exponenciális függvény: f : R (0, + ), f(x) = a x, a (0, + ), a 1 és a logaritmusfüggvény: f : (0, + ) R, f(x) = log a x, a (0, + ), a 1 Injektivitás, szürjektivitás, bijektivitás; invertálható függvények: értelmezés, grafikonról leolvasható tulajdonságok, invertálhatóság szükséges és elégséges feltétele. Trigonometrikus függvények és inverzeik. Egyenletmegoldás a függvények tulajdonságainak felhasználásával: 1. Másod- és harmadrendű gyököket tartalmazó irracionális egyenletek 2. Exponenciális és logaritmikus egyenletek 3. Trigonometrikus egyenletek: sin x = a, cos x = a, a [ 1, 1], tgx = a, ctgx = a, a R, sin f(x) = sin g(x), cos f(x) = cos g(x), tgf(x) = tgg(x), ctgf(x) = ctgg(x). Megjegyzés: Minden függvénytípusnál tanulmanyozandó: a koordinátatengelyekkel való metszéspont, az f(x) = 0 egyenlet, grafikon elkészítése pontok felvételével, szimmetria, a függvények algebrai tulajdonságainak leolvasása a grafikonról: monotonitás, bijektivitás, invertálhatóság, előjel, konvexitás. 4

5 Számlálási módszerek Rendezett véges halmazok. Az f : A B alakú függvények száma, ahol A és B véges halmazok. Permutációk Egy n elemű halmaz rendezésével kapott rendezett halmazok száma. az f : A B alakú bijektív függvények száma, ahol A és B véges halmazok. Variációk n elemű halmaz k elemű rendezett részhalmazainak száma, ahol k n. az f : A B alakú injektív függvények száma, ahol A és B véges halmazok. Kombinációk n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma, ahol 0 k n. Tulajdonságok: komplementer kombinációk képlete, n elemű halmaz összes részhalmazainak száma. Newton binomiális képlete. Analitikus síkmértan Descartes-féle koordináta-rendszer síkban, egy síkbeli vektor koordinátái,vektorok összegének, skalárral való szorzatának kifejezése koordinátákkal. Pont Descartes-féle koordinátái a síkban, két pont közötti távolság a síkban. Adott ponton átmenő, adott irányú egyenes egyenlete, és két ponjával megadott egyenes egyenlete. Két egyenesre vonatkozó párhuzamossági és merőlegességi feltételek a síkban; távolságok és területek kiszámítása. 5

6 XI. OSZTÁLY MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK Permutációk Értelmezés, műveletek, tulajdonságok. Inverziók, permutációk előjele. Mátrixok Mátrix típusú táblázat. Mátrixok, mátrixhalmazok. Műveletek mátrixokkal: összeadás, szorzás, skalárral való szorzás, tulajdonságok. Determinánsok n-edrendű determináns, tulajdonságok. Lineáris egyenletrendszerek Invertálható mátrixok M n (C)-ben, n 4. Mátrixegyenletek. Lineáris egyenletrendszerek legtöbb 4 ismeretlennel, Cramer-rendszerek, egy mátrix rangja. Kompatibilitás vizsgálata, egyenletrendszerek megoldása: Kronecker-Capellitétel, Rouché-tétel, Gauss-módszer. Alkalmazások: két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete, háromszög területe, három pont kollinearitása síkban. A MATEMATIKAI ANALÍZIS ELEMEI Függvények határértékei Alapfogalmak a valós számegyenes ponthalmazairól: intervallumok, korlátosság, környezetek, zárt számegyenes, a + és szimbólumok. Valós változós valós függvények: polinomfüggvény, racionális függvény, hatványfüggvény, gyökfüggvény, logaritmusfüggvény, exponenciális függvény, direkt és inverz trigonometrikus függvények. Sorozat határértéke környezetek segítségével, konvergens sorozatok. Monotonitás, (( korlátosság, határértékek; Weierstrass-tétel. Jelentős példák: (a n ) n, (n a ) n, ) n ) ) (bizonyítás nélkül), az e szám; az ((1 + u n ) 1 un sorozat n n n határértéke, ahol u n 0, u n 0, bármely n természetes szám esetén. 6

7 Műveletek olyan sorozatokkal, melyeknek van határértéke. Függvények határértéke: egy függvény adott pontbeli határértékének grafikus interpretációja környezetek segítségével, jobb- és balodali határértékek. A tanult függvények határétékeinek kiszámítása; határozatlan esetek vizsgálata: 0 0,,, 0, 1, 0, 0 0. A tanult függvények függőleges és ferde aszimptotái. Folytonosság A függvény folytonossága az értelmezési tartomány adott pontjában, folytonos függvények, függvény folytonosságának grafikus szemléltetése, a folytonosság vizsgálata a valós számegyenes pontjaiban a tanult függvények esetén, műveletek folytonos függvényekkel. A Darboux-tulajdonság, folytonos függvény előjele egy valós intervallumon, bizonyos egyenletek megoldásainak létezése R-en. Deriválhatóság Egy görbe érintője, függvény deriváltja egy pontban, deriválható függvények, műveletek deriválható függvényekkel, a tanult függvények első- és másodrendű deriváltjainak kiszámítása. Intervallumon deriválható függvények: függvények szélsőértékei, Fermat-tétel, Rolle-tétel, Lagrange-tétel és geometriai jelentésük, Lagrange-tétel egyik következménye, mely egy függvény adott pontbeli deriváltjára vonatkozik. Az elsőrendű derivált szerepe a függvények tanulmányozásában: monotonitás, szélsőértékpontok. Az másodrendű derivált szerepe a függvények tanulmányozásában: konkavitás, konvexitás, inflexiós pontok. Függvények grafikus ábrázolása Függvények grafikus ábrázolása. Egyenletek grafikus megoldása, függvények grafikus ábrázolásának felhasználása egy egyenlet gyökei számának meghatározásában. Kúpszeletek grafikus ábrázolása (kör, ellipszis, hiperbola, parabola). l Hospital szabályai 7

8 XII. OSZTÁLY ALGEBRA Csoportok Belső művelet (algebrai művelet), művelettábla, zárt részhalmaz. Csoport, példák: számok, mátrixok, permutációk csoportjai, n-nel való osztás maradékosztályainak additív csoportja. Részcsoport. Véges csoport, művelettábla, egy elem rendje. Csoportmorfizmus, csoportizomorfizmus. Gyűrűk és testek Gyűrű, példák: számgyűrűk (Z, Q, R, C), Z n, mátrixok gyűrűje, valós függvények gyűrűje. Test, példák: számtestek (Q, R, C), Z p, p prím. Gyűrű- és testmorfizmusok. Polinomgyűrűk, ahol az együtthatók egy kommutatív testből (Q, R, C, Z p, p prím) vannak Egy polinom algebrai alakja, polinomfüggvény, műveletek (összeadás, skalárral való szorzás). A maradékos osztás tétele, polinomok osztása, (X a)- val való osztás, a Hornerséma. Polinomok oszthatósága, a Bézout-tétel, polinomok legkisebb közös többszöröse és legnagyobb közös osztója, polinomok irreducibilis tényezőkre való bontása. Polinomok gyökei, Viète-féle összefüggések. Z, Q, R, C-beli együtthatós algebrai egyenletek megoldása, binom egyenletek, bikvadratikus egyenletek, reciprok egyenletek. 8

9 A MATEMATIKAI ANALÍZIS ELEMEI Az integrál fogalmához elvezető feladatok Primitívek Intervallumon értelmezett függvények primitívjei. Egy függvény határozatlan integrálja, tulajdonságok, linearitás. Alapintegrálok. Határozott integrál Egy [a, b] intervallum felosztása, egy felosztás normája, közbeeső pontok rendszere, Riemann-összeg, geometriai jelentés. Egy [a, b] intervallumon értelmezett függvény integrálhatóságának értelmezése. A határozott integrál tulajdonságai: linearitás, monotonitás, additivitás az integrálási intrevallumra vonatkozóan. Newton-Leibniz-képlet. Folytonos függvények integrálhatósága, középértéktétel, geometriai jelentés, folytonos függvények primitívjeinek létezési tétele. Határozott integrálok kiszámítási módszerei: parciális integrálás, helyettesítéses b P (x) integrálás. dx, grad Q 4 alakú integrálok kiszámítása elemi törtekre a Q(x) való bontással. A határozott integrál alkalmazásai Területszámítás. Forgástest térfogata. Sorozatok határértékének kiszámítása határozott integrál segítségével. KÖNYVÉSZET A Tanügymininsztérium által jóváhagyott tankönyvek és segédanyagok. 9