P 2 P ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ).
|
|
- Vince Fazekas
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Paláncz Béla - Numerikus Módszerek Optimalizálás 4 Optimalizálás Bevezetés Az optimalizáció, egy függvény szélsőértéke helyének meghatározása, talán a legfontosabb numerikus eljárások közé tartozik. Ha valaki rendelkezik egy hatékony optimalizációs eljárással, akkor több más, első megközelítésben látszólag eltérő numerikus probémát is meg tud oldani. Mivel a szélsőérték feladatok típusai változatosak, így a megoldásukra kidolgozott módszerek is nagyon sokfélék lehetnek. 4-1 A szélsőérték-feladatok típusai A szélsőértéket (minimumot) mindig egy adott tartományban vizsgáljuk. Ha létezik a tartományban egy pont ahol igaz az, hogy ezen pont akármilyen kicsiny környezetében a függvényérték nagyobb, mint ezen pontban, akkor ott a függvénynek lokális minimuma van. Ha a tartományban több ilyen pont létezik és ezekben a függvényérték eltérők, akkor a legkisebb minimumhoz tartozó tartomány pontját globális minimumnak nevezzük, lásd 4.1 ábra. f(x) P 1 P ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ). Ha a függvény minimumát úgy keressük, hogy közben a tartománybeli pontnak valamilyen feltételt ki kell elégítenie, akkor feltételes szélsőértékről beszélünk. A feltételeket vagy megkötéseket megkülönböztetik aszerint, hogy az egyenletekkel vagy (és) egyenlőtlenségekkel adott, lásd 4.2 és 4.3 ábrák.
2 2 Optimalizáció_4_211.nb f(x) P 2 g(x) P ábra Az f(x) függvény minimuma megkötés nélkül (P 1 ) és a minimum g(x) = megkötéssel (P 2 ) f(x) P 2 P 1 g(x) 4.3 ábra Az f(x) függvény minimuma megkötés nélkül (P 1 ) és a minimum g(x) < egyenlőtlenséggel adott megkötéssel (P 2 ) Megjegyzések Az általunk vizsgált esetekben a keresési tartomány egy vektortér és a minimalizálandó függvény általánosan egy skalár-vektor függvény, a megkötés pedig egyenlet vagy egyenlőtlenség rendszer alakjában vektor-vektor függvénnyel adott. Gyakran előfordul, hogy a keresési tartomány végesszámú és diszkrétértékű elemekből áll, például gráfokkal reprezentálható problémák esetén, amikor a cél lehet egy optimális összefüggő élsorozat (út) megtalálása a gráfban (diszkrétértékű vagy kombinatorikus optimalizáció). Az optimalizáció kiterjeszthető olyan esetekre, amelynél a keresési tartomány a valós függvények tere, a minimalizálandó függvény egy funcionál és a megkötéseket differenciálegyenletek képviselik (variációszámítás). Előfordul, hogy nem csupán egy minimalizálandó függvényünk (célfüggvényünk) van hanem több és ezek "ellenérdekeltek" egymással szemben, azaz az egyik értékének csökkentése egy másik értékének növelését eredményezi (játékelmélet). Az is lehetséges, hogy a tartományt valószínűségi változók alkotják (sztohasztikus optimalizáció). Az optimalizációval legáltalánosabb értelemben az operációkutatás foglakozik, de a mesterséges intelligenciakutatásokban is fontos szerepet kap. A továbbiakban először a megkötés nélküli optimalizációs módszerek közül tekintünk át néhányat.
3 Optimalizáció_4_211.nb Aranymetszés Az f (x) függvény r minimumhelyét gyakran egy [x A, x B D intervallumban keressük. A függvény az intervallumban unimodális, ha a minimumhelyig monoton csökken, attól kezdve pedig monoton nő. Az intervallum módszerek (vágáson alapuló módszerek) ezt a tulajdonságot használják ki. A módszerek alkalmazásánál két belső pontban számítjuk ki a függvény értékét. Legyen a két pont x 1 és x 2 (x A < x 1 < x 2 < x B ). Ha f (x 1 L f Hx 2 ), akkor a minimumhely az [x A, x 2 D intervallumban van, hiszen egyébként ellentmodásba kerülnénk azzal, hogy a függvény a minimumhelyig monoton csökkenő (4.4 ábra). Hasonló meggondolásból f (x 1 L f Hx 2 ) esetén a minimumhely az [x 1, x B D intervallumban van (4.1 ábra). 4.4 ábra A vágási módszerek alapelve Célszerűnek tűnik az x 1 és x 2 pontokat az intervallum középpontjához közel választani, így az egy vágással gyakorlatilag a felére csökkenthető. Egy klasszikus geometriai fogalom azonban jobb stratégiát kínál. Ez az aranymetszés módszere. Ebben az esetben illetve x 1 = l x A + H1 - ll x B ahol l az alábbi egyenlet pozitív megoldása (4.5 ábra) x 2 = H1 - ll x A + l x B λ 1- λ λ 4.5 ábra Az aranymetszés geometriai értelmezése 1 l = l 1 - l Ø l2 + l - 1 = Ø l = = A módszer hatékonyságát az a speciális tulajdonsága adja, hogy az új [x 1, x B E =[x A 1, x B E intervallum, x 1 1 osztópontja azonos a korábbi x 2 osztóponttal (4.6 ábra),
4 4 Optimalizáció_4_211.nb f(x) x x A x 1 x 2 x B x A 1 x 1 1 x 2 1 x B ábra Az aranymetszés módszere Az intervallum módszerek biztonságuk mellett lassúak, hiszen a felhasznált információ csupán a belső pontokban számolt két függvényérték összehasonlításából származik. 4-3 Newton-módszer Ha a függvény deriváltjának számítása nem okoz gondot akkor a Newton módszert most is alkalmazhatjuk, azzal az eltéréssel, hogy nem az f (x) = egyenletet, hanem az f '(x) = egyenletet oldjuk meg, azaz az iterációs formula, x k+1 = x k - f ' HxL f '' HxL 4-4 Többváltozós Newton-módszer A Newton módszer többváltozós esetben is alkalmazható. Ekkor f(x) egy skalár -vektor függvény, ahol xœr n. Most a Taylor-sor másodrendű tagját is figyelembe vesszük: azaz f Hx k+1 L º f Hx k L + f Hx k L T Hx k+1 - x k L Hx k+1 - x k L T H Hx k L Hx k+1 - x k L Df = f Hx k L T Dx DxT H Hx k L Dx ahol f(x) az f(x) függvény gradiens-vektora és H a Hesse- mátrix, az f(x) függvény második parciális deriváltjainak a mátrixa H HxL i,j = 2 f HxL x i x j = J fhxl N... x 1 x 1 J fhxl x n x J fhxl N... x 1 x n J fhxl x n x n A minimum szükséges feltétele alapján, azaz Df = f Hx k+1 L - f Hx k L -t deriválva Dx = x k+1 - x k szerint, a derivált zérus, N N azaz = f Hx k L T + H Hx k L Dx x k+1 = x k - HH Hx k LL -1 f Hx k L
5 Optimalizáció_4_211.nb Gradiens módszer A Hesse-mátrix számításától eltekinthetünk, ha az ún. gradiens módszert (legmeredekebb irány módszere) alkalmazzuk, azaz egy x k pontból a legmeredekebb csökkenő irányba mozdulunk el, vagyis Tehát d k = - f Hx k L x k+1 = x k + a k d k ahol a k egy alkalmasan megválasztott pozitív lépéshossz úgy, hogy minden lépésben f Hx k+1 L < f Hx k L. 4.7 ábra A gradiens módszer elve Ez a választás helyes hiszen a megválasztott irány akkor megfelelő, ha f Hx k+1 L < f Hx k L azaz f Hx k + a k d k L < f Hx k L A baloldalt Taylor sorba fejtve azaz f Hx k L + a k Hõf Hx k LL T d k < f Hx k L a k Hõf Hx k LL T d k < Mivel a k > és véges, a d k irány akkor lejtő irányú, ha Hõf Hx k LL T d k < Az a k értékét úgy határozzuk meg, hogy az minimalizálja az f Hx k+1 L = f Hx k + a k f Hx k LL kifejezést. Ez minden lépésnél egy egyváltozós optimalizálást jelent. Megjegyzés A Newton módszer esetén és a k ª 1 d k = -HH Hx k LL -1 f Hx k L 4-6 Nelder-Mead-módszer Ha a deriváltak sem számíthatók könnyen, közvetlen kereső módszereket célszerű használni. Most itt a Nelder- Mead -féle szimplex módszert ismertetjük röviden. Az eljárás indításánál n +1 számú x 1,...,x n+1 indulópontot választunk úgy, hogy az n- dimenziós térben egy poliéder (szimplex) csúcsait alkossák (n =2 esetén ez egy háromszög). A következő pontokat és műveleteket értelmezzük, lásd 4.8 ábra.
6 6 Optimalizáció_4_211.nb 4.8 ábra Egy szimplex alakváltozásai 2D esetén. Az induló szimplex : f (a) < f (b) < f (c) 1) Legyen az induló szimplex (a, b, c) úgy, hogy f(a) < f(b) < f(c). 2) Ha a 3 pont elég közel van egymáshoz, akkor f(a) a minimum. 3) Különben az e pontot képezzük (c tükrözése m pontra és nyújtás) 4) ha f(e) < f(b) akkor e pontot választjuk új a c helyett, azaz az új szimplex (a, b, e), különben képezzük az r pontot (összehúzás) 5) ha f(r) < f(c) akkor az új szimplex (a, b, r) 6) ha f(r) f(b) képezzük az s 1 pontot (zsugorítás) 7) ha f(s 1 ) < f(c) akkor az új szimplex (a, s 1, b), különben az új szimplex (a, m, c 1 ) 8) az aktuális szimplex csúcsainak átnevezése: (a, b, c) és visszalépés 2)-re Az eljárás során, a fenti műveleteket alkalmazva a szimplex alakja a függvényfelület alakjához igazodik, az árkok mentén megnyúlik és szükség esetén elfordul, végül pedig a minimumhely környezetére zsugorodik. A leállás feltétele, hogy az utolsó két iterációban a szimplex súlypontjának változása egy előre definiált e hibakorlát alatt legyen. Az alábbi ábrákon az induló szimplexet és a végső, minimumot lefedő szimplexet látjuk 4.9 ábra Induló szimplex 4.1 ábra Végső szimplex
7 Optimalizáció_4_211.nb Lagrange-módszer Keressük az f(x) függvény minimumát egy g(x) = feltétel kielégítése mellett, azaz ha g HxL = min x f HxL g 1 HxL g 2 HxL. g m HxL A Lagrange-módszer esetén az eredeti feladat helyett tekintsük az alábbi függvény megkötés nélküli minimalizálását, = L Hx, ll = f HxL + l T g HxL = f HxL + l i g i HxL ahol λ i -k a Lagrange- féle multiplikátorok (szorzók). A minimum szükséges feltétele a parciális deriváltak eltűnése, azaz és x L Hx, ll = x Hf HxLL + l T x Hg HxLL = x H f HxLL + l i g i x HHxLL = l L Hx, ll = g HxL = ahol L(x, l) egy skalár-vektor függvény, a gradiens-vektorok pedig m i=1 m i=1 x HùL = HùL x 1,..., HùL x n és l HùL = HùL l 1,..., HùL l m A minimum elégséges feltétele, hogy ezen kívül az L (x, l) függvény Hesse-mátrixa pozitív definit legyen, azaz a mátrix sajátértékei pozitívak legyenek a szélsőérték helyén. 4-9 Büntetésfüggvény-módszer A megkötéssel definiált minimalizáció helyett, most tekintsük a következő megkötés nélküli feladatot, F Hx, KL = f HxL + K Hg HxLL T g HxL ahol K egy skalár paraméter. A K paraméter értékének növelésével az új, megkötés nélküli probléma megoldása tart az eredeti egyenlőségi megkötéssel rendelkező probléma megoldásához, hiszen K növekvő értéke miatt a minimalizáló eljárás "kénytelen" csökkenteni g(x) normáját, mivel ennek súlya a célfüggvényben egyre nagyobb és ekkor a Hg HxLL T g(x) skalárszorzat nullától való kis eltérése is nagy értéket jelent a célfüggvényben, amit minimalizálni szeretnénk. Minél nagyobb a K annál nagyobb a "büntetés" a g(x) értékének a nullától történő eltérése miatt. Ezt az egyszerű kvadratikus büntetés-függvényt Courant-féle büntetés függvénynek nevezik. 1. Példa Tekintsünk egy adott V térfogatú kúpot, amelynek magasságát, h és alaplapjának sugarát, r, úgy kell meghatároznunk, hogy a kúp felülete A minimális legyen! A minimalizálandó függvény A megkötés pedig A Hr, hl = p r r 2 + h 2
8 8 Optimalizáció_4_211.nb g Hr, hl = 1 3 p h r2 - V = A minimalizálandó függvény a kvadratikus büntetés - függvénnyel, mint megkötés nélküli feladat, F Hr, hl = p r r 2 + h 2 + K 1 3 p h r2 - V A megkötés nélküli minimalizálás eredményét V = 15 esetén, növekvő K értékek mellett az alábbi táblázat szemlélteti. Az éles jegyeket kiemeltük. 1. Táblázat K r h Az exakt megoldás, amely a Lagrange- módszerrel adódik, 2 és r = 21ê6 15 2ê3 p 1ê3 = h = 32ê3 = ê3 p 4-1 Karush-Kuhn-Tucker-feltételek Ha a megkötések az egyenlőség mellett egyenlőtlenségi feltételeket is tartalmaznak, azaz keressük az f(x) függvény minimumát, az alábbi megkötések mellett, A feladat Lagrange függvénye g HxL = g 1 HxL g 2 HxL. g m HxL min x f HxL = és h HxL = h 1 HxL h 2 HxL. h p HxL L Hx, l, ml = f HxL +l T g HxL +µ T h HxL Most a lokális minimum szükséges és elégséges feltételeit az ún. Karush-Kuhn- Tucker feltételek biztosítják. A szükséges feltételek: a) Egyrészt (L (x, l, m)) = vagyis
9 Optimalizáció_4_211.nb 9 m p Hf HxLL + l i Hg i HxLL + m i Hh i HxLL i=1 i=1 azaz a Lagrange függvény gradiens vektorának minden komponense zérus. Továbbá g (x) = és minden i = 1,..., p esetén m i h i = b) Másrészt h (x) és m azaz a m vektor egyik eleme sem negatív. Az elégséges feltétel az x minimum helyén, hogy tetszőleges dx változás esetén igaz, hogy m dx T H H f HxLL + l i H Hg i HxLL + m A H Hh A HxLL dx > i =1 A ahol h A azok az egyenlőtlenségi megkötések, amelyekre h A (x) =. Ezeket ún. aktív egyenlőtlenségi megkötésnek nevezzük. Amennyiben a m = H Hf HxLL + l i H Hg i HxLL + m A H Hh A HxLL i =1 A mátrix pozitív definit, a fenti elégséges feltétel igaz. (Lehet ettől függetlenül is igaz, de akkor a kérdés eldöntéséhez külön vizsgálat szükséges!) Megjegyzés à Ha az egyenlőségi megkötések lineárisak és a célfüggvény konvex, akkor a minimalizálási probléma konvex, azaz a KKT szükséges feltételelek elégségesek is. Ekkor a lokális minimum globális minimum is egyben. Egy függvény konvex, ha a Hesse mátrixa legalább pozitív szemidefinit. Egy mátrix akkor pozitív szemidefinit, ha nincs negatív sajátértéke. Természetesen ez a függvény egy lokális tulajdonsága. à Ha a célfüggvény és a megkötések egyaránt lineárisak akkor lineáris programozási feladatról beszélünk. 2. Példa Minimalizáljuk az függvényt a egyenlőségi és az x, azaz f Hx, y, zl = Hx - yl z g 1 Hx, y, zl = x + y + z + 5 = g 2 Hx, y, zl = y - 3 z - 1 = h 1 (x,y,z) = -x egyenlőtlenségi feltételek mellett. Oldjuk meg a feladatot a KKT feltételek alapján! A Lagrange függvény L Hx, y, z, l 1, l 2, m 1 L = f Hx, y, zl + l 1 g 1 Hx, y, zl + l 2 g 2 Hx, y, zl - m 1 x
10 1 Optimalizáció_4_211.nb Az a) pontbeli szükséges feltételeknek megfelelő egyenletek: továbbá valamint L x Hx, y, z, l 1, l 2, m 1 L = l 1 - m x - 2 y = L y Hx, y, z, l 1, l 2, m 1 L = l 1 + l 2-2 x + 2 y = L z Hx, y, z, l 1, l 2, m 1 L = l 1-3 l = g 1 Hx, y, zl = x + y + z + 5 = g 2 Hx, y, zl = y - 3 z - 1 = -m 1 x = Ez egy nemlineáris egyenletrendszer az (x, y, z, l 1, l 2, m 1 ) változókra. Az egyenletrendszer megoldásai, x y z l l m 1 11 Ellenőrizzük, hogy melyik megoldás elégíti ki a b) pontbeli szükséges KKT feltételeket, azaz és Nyilván csak az első! -x m 1 Azt, hogy ez a szélsőérték valóban minimum, az elégséges KKT feltétel alapján döntjük el. Azonban esetünkben a megkötések lineárisak, tehát csak azt kell megnézni, hogy a célfüggvény a szélsőérték helyén konvex-e?! A célfüggvény Hesse-mátrixa, H (f (x,y,z))= Ennek értéke az x =, y = -3.5 és z = -1.5 helyen, Ennek sajátértékei, H = f 2 f 2 x 2 y x f 2 x y f 2 x z f 2 z x f 2 f 2 y 2 z y f 2 y z azaz a Hesse - mátrix szemidefinit, tehát a célfüggvény konvex, így a minimumjelölt valóban minimum! c = 4 f 2 z 2
11 Optimalizáció_4_211.nb Genetikus algoritmus Bár a módszert elsősorban többváltozós esetben alkalmazzuk, az egyszerűség érdekében legyen a feladat egy f (x) egyváltozós függvény globális maximumának meghatározása egy adott xœ[a, b] intervallumban, azaz max f HxL x œ@a, bd Az intervallum valós számokból, de mint láttuk az intervallum elég jól lefedhető véges tizedestört alakú számokkal. Minél több jegyet alkalmazunk (minél finomabb a felbontás) annál jobb a lefedés. Most alkalmazzunk kettes számrendszert. Rögzített hosszúságú bitsorozat esetén, elvileg az összes függvényértéket a=... és b= közötti értékre kiszámítva kiválaszhatjuk azt a bitsorozatot (x értéket) amelynél a függvénynek maximuma van. Miután a maximum egy jó közelítését szeretnénk megkapni, azaz a felbontás nagy, vagyis a bitsorozat hosszú, így a kiszámítandó függvényértékek száma nagyon nagy. A számítási igény lényegesen csökkenthető ha egy keresési stratégiát alkalmazunk Mutáció A módszer lényege, hogy véletlenszerűen több kiindulási bitsorozatot (egyedet) hozunk létre. Ezek alkotják az induló populációt és egyben az első, kiinduló generációt. A populáció egyedeit aszerint értékeljük, hogy hozzájuk mekkora függvényérték tartozik. Minél nagyobb függvényérték tartozik egy egyedhez, annál nagyob az egyed fittségi indexe. Kiválasztjuk a legfittebb egyedet és belőle mutációval előállítunk egy új populációt, amely a következő generáció lesz. Az egyed mutációja, az egyed (bitsorozat) génjeinek (bit-jeiknek) kis valószínűséggel való megváltoztatását jelenti. Ezt a változtatási valószínűséget rögzítve (általában.1~.3), végighaladunk a biteken és vagy megváltozatjuk őket (-ról 1-re illetve megfordítva) vagy sem. Akkor választottuk meg helyesen a mutáció valószínűségét, ha ennek az új populációnak az átlagos fittsége nagyobb lesz, mint az előző populációjé volt. Ez módszer azonban még mindig meglehetősen lassú. Így a természet létrehozta a szexualitást. Szexualitás Ebben az esetben a populációból két egyedet választunk ki (szülők). A szülők kiválasztása nem determinisztikus, azaz nem a két legfittebb egyed lesz kiválasztva, de minél nagyobb egy egyed fittsége annál nagyobb valószínűséggel lehet szülő (rulett-módszer, amelynél az egyedet reprezentáló rulettkerék szegmense arányos az egyed fittségével)! Ha kiválasztottuk a szülőket, akkor létrehozzuk ezek utódait (gyerekek). Az utódok létrehozása valamilyen rögzített valószínűséggel (általában.5~.8) a szülők génjeinek keresztezésével (crossing) történik, különben klónozással. A két szülő két gyereket hoz létre. A keresztezés esetén rögzített valószínűséggel kiválasztunk egy bitpozíciót a szülők bitsorozatában, majd ettől a pozíciótól kezdve kicseréljük egymással a bitjeiket (génjeiket). A klónozásnál nincs csere, az utódok egyezőek a szülőkkel. Ezt követően, mindkét esetben még egy mutáció következik. A fenti módszerrel hozzuk létre az új generáció populációját. Az iteráció (generációk váltása) során figyeljük a populáció legfittebb egyede fittségi indexének változását. Ha ez a változás már elhanyagolható akkor befejezzük az iterációt. Biztonságként - arra az esetre ha az eljárás nem lenne konvergens - limitáljuk a generációk számát. A fenti algoritmus a legegyszerűbb BGA (Basic Genetic Algorithm), amelynek számos változata alakult ki az elmúlt 2 év folyamán. A mai rendszerek, pl. a Matlab és a Mathematica egyaránt tartalmazzák a módszert. 3. Példa Legyen a függvény, amelynek globális maximumát keressük a x 1 tartományban, f (x) = -mod (9 x, 1) sin (p x)) A feladat a hagyományos optimalizációs módszerekkel nem oldható meg könnyen, lásd 4.11 ábra.
12 12 Optimalizáció_4_211.nb fhxl ábra Az f(x) = -mod(9x, 1) sin(p x)) függvény Az alábbi ábrákon a genetikus algoritmus eredményét látjuk standard paraméterekkel. x maximális fittségi index iterációk száma 4.12 ábra A maximális fittségű egyed fittségi indexe az iterációk (generációk) számának függvényében ábra A generált generációk legfittebb egyedeinek elhelyezkedése
Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás. Genetikus algoritmusok
BLSZM-10 p. 1/18 Számítógépes döntéstámogatás Genetikus algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu BLSZM-10 p. 2/18 Bevezetés 1950-60-as
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenSzélsőérték-számítás
Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenKétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
RészletesebbenTovábbi programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás
További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenNemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila
Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenLegkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
RészletesebbenSzakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató
Szakdolgozat Miskolci Egyetem Nemlineáris programozás Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Témavezető: Dr. Nagy Tamás egyetemi docens, Alkalmazott Matematikai Tanszék Miskolc,
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 3y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele
ACM Snake Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake (ismétlés) A szegmentáló kontúr egy paraméteres görbe: x Zs s X s, Y s,, s A szegmentáció energia funkcionál minimalizálása: E x Eint x
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
RészletesebbenFeladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
Részletesebben11. gyakorlat megoldásai
11. gyakorlat megoldásai Lokális szélsőértékek F1. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvények lokális szélsőértékeit! (a) f(x, y) = 4x 2 + 2xy + 5y 2 + 2, (b) f(x, y) = y 4 y + x 2 y + 2xy, (c) f(x,
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
RészletesebbenHódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenDescartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenE-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA
Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A
RészletesebbenÁttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
RészletesebbenNumerikus integrálás
Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenA KLT (Kanade Lucas Tomasi) Feature Tracker Működése (jellegzetes pontok választása és követése)
A KL (Kanade Lucas omasi) Feature racker Működése (jellegzetes pontok választása és követése) Készítette: Hajder Levente 008.11.18. 1. Feladat A rendelkezésre álló videó egy adott képkockájából minél több
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenOPTIMALIZÁCIÓ november 6. 1 Dr Laky Piroska
OPTIMALIZÁCIÓ Az optimalizáció, egy függvény szélsőérték helyének a meghatározása. Ez a feladat a mérnöki gyakorlatban is sokszor előfordul, meg kell határozni például egy tartószerkezet maximális elmozdulásának
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Függvények 1/9
Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
Részletesebben