P 2 P ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "P 2 P 1. 4.1 ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 )."

Átírás

1 Paláncz Béla - Numerikus Módszerek Optimalizálás 4 Optimalizálás Bevezetés Az optimalizáció, egy függvény szélsőértéke helyének meghatározása, talán a legfontosabb numerikus eljárások közé tartozik. Ha valaki rendelkezik egy hatékony optimalizációs eljárással, akkor több más, első megközelítésben látszólag eltérő numerikus probémát is meg tud oldani. Mivel a szélsőérték feladatok típusai változatosak, így a megoldásukra kidolgozott módszerek is nagyon sokfélék lehetnek. 4-1 A szélsőérték-feladatok típusai A szélsőértéket (minimumot) mindig egy adott tartományban vizsgáljuk. Ha létezik a tartományban egy pont ahol igaz az, hogy ezen pont akármilyen kicsiny környezetében a függvényérték nagyobb, mint ezen pontban, akkor ott a függvénynek lokális minimuma van. Ha a tartományban több ilyen pont létezik és ezekben a függvényérték eltérők, akkor a legkisebb minimumhoz tartozó tartomány pontját globális minimumnak nevezzük, lásd 4.1 ábra. f(x) P 1 P ábra Az f(x) függvény globális minimuma (P 1 ) és egy lokális minimuma (P 2 ). Ha a függvény minimumát úgy keressük, hogy közben a tartománybeli pontnak valamilyen feltételt ki kell elégítenie, akkor feltételes szélsőértékről beszélünk. A feltételeket vagy megkötéseket megkülönböztetik aszerint, hogy az egyenletekkel vagy (és) egyenlőtlenségekkel adott, lásd 4.2 és 4.3 ábrák.

2 2 Optimalizáció_4_211.nb f(x) P 2 g(x) P ábra Az f(x) függvény minimuma megkötés nélkül (P 1 ) és a minimum g(x) = megkötéssel (P 2 ) f(x) P 2 P 1 g(x) 4.3 ábra Az f(x) függvény minimuma megkötés nélkül (P 1 ) és a minimum g(x) < egyenlőtlenséggel adott megkötéssel (P 2 ) Megjegyzések Az általunk vizsgált esetekben a keresési tartomány egy vektortér és a minimalizálandó függvény általánosan egy skalár-vektor függvény, a megkötés pedig egyenlet vagy egyenlőtlenség rendszer alakjában vektor-vektor függvénnyel adott. Gyakran előfordul, hogy a keresési tartomány végesszámú és diszkrétértékű elemekből áll, például gráfokkal reprezentálható problémák esetén, amikor a cél lehet egy optimális összefüggő élsorozat (út) megtalálása a gráfban (diszkrétértékű vagy kombinatorikus optimalizáció). Az optimalizáció kiterjeszthető olyan esetekre, amelynél a keresési tartomány a valós függvények tere, a minimalizálandó függvény egy funcionál és a megkötéseket differenciálegyenletek képviselik (variációszámítás). Előfordul, hogy nem csupán egy minimalizálandó függvényünk (célfüggvényünk) van hanem több és ezek "ellenérdekeltek" egymással szemben, azaz az egyik értékének csökkentése egy másik értékének növelését eredményezi (játékelmélet). Az is lehetséges, hogy a tartományt valószínűségi változók alkotják (sztohasztikus optimalizáció). Az optimalizációval legáltalánosabb értelemben az operációkutatás foglakozik, de a mesterséges intelligenciakutatásokban is fontos szerepet kap. A továbbiakban először a megkötés nélküli optimalizációs módszerek közül tekintünk át néhányat.

3 Optimalizáció_4_211.nb Aranymetszés Az f (x) függvény r minimumhelyét gyakran egy [x A, x B D intervallumban keressük. A függvény az intervallumban unimodális, ha a minimumhelyig monoton csökken, attól kezdve pedig monoton nő. Az intervallum módszerek (vágáson alapuló módszerek) ezt a tulajdonságot használják ki. A módszerek alkalmazásánál két belső pontban számítjuk ki a függvény értékét. Legyen a két pont x 1 és x 2 (x A < x 1 < x 2 < x B ). Ha f (x 1 L f Hx 2 ), akkor a minimumhely az [x A, x 2 D intervallumban van, hiszen egyébként ellentmodásba kerülnénk azzal, hogy a függvény a minimumhelyig monoton csökkenő (4.4 ábra). Hasonló meggondolásból f (x 1 L f Hx 2 ) esetén a minimumhely az [x 1, x B D intervallumban van (4.1 ábra). 4.4 ábra A vágási módszerek alapelve Célszerűnek tűnik az x 1 és x 2 pontokat az intervallum középpontjához közel választani, így az egy vágással gyakorlatilag a felére csökkenthető. Egy klasszikus geometriai fogalom azonban jobb stratégiát kínál. Ez az aranymetszés módszere. Ebben az esetben illetve x 1 = l x A + H1 - ll x B ahol l az alábbi egyenlet pozitív megoldása (4.5 ábra) x 2 = H1 - ll x A + l x B λ 1- λ λ 4.5 ábra Az aranymetszés geometriai értelmezése 1 l = l 1 - l Ø l2 + l - 1 = Ø l = = A módszer hatékonyságát az a speciális tulajdonsága adja, hogy az új [x 1, x B E =[x A 1, x B E intervallum, x 1 1 osztópontja azonos a korábbi x 2 osztóponttal (4.6 ábra),

4 4 Optimalizáció_4_211.nb f(x) x x A x 1 x 2 x B x A 1 x 1 1 x 2 1 x B ábra Az aranymetszés módszere Az intervallum módszerek biztonságuk mellett lassúak, hiszen a felhasznált információ csupán a belső pontokban számolt két függvényérték összehasonlításából származik. 4-3 Newton-módszer Ha a függvény deriváltjának számítása nem okoz gondot akkor a Newton módszert most is alkalmazhatjuk, azzal az eltéréssel, hogy nem az f (x) = egyenletet, hanem az f '(x) = egyenletet oldjuk meg, azaz az iterációs formula, x k+1 = x k - f ' HxL f '' HxL 4-4 Többváltozós Newton-módszer A Newton módszer többváltozós esetben is alkalmazható. Ekkor f(x) egy skalár -vektor függvény, ahol xœr n. Most a Taylor-sor másodrendű tagját is figyelembe vesszük: azaz f Hx k+1 L º f Hx k L + f Hx k L T Hx k+1 - x k L Hx k+1 - x k L T H Hx k L Hx k+1 - x k L Df = f Hx k L T Dx DxT H Hx k L Dx ahol f(x) az f(x) függvény gradiens-vektora és H a Hesse- mátrix, az f(x) függvény második parciális deriváltjainak a mátrixa H HxL i,j = 2 f HxL x i x j = J fhxl N... x 1 x 1 J fhxl x n x J fhxl N... x 1 x n J fhxl x n x n A minimum szükséges feltétele alapján, azaz Df = f Hx k+1 L - f Hx k L -t deriválva Dx = x k+1 - x k szerint, a derivált zérus, N N azaz = f Hx k L T + H Hx k L Dx x k+1 = x k - HH Hx k LL -1 f Hx k L

5 Optimalizáció_4_211.nb Gradiens módszer A Hesse-mátrix számításától eltekinthetünk, ha az ún. gradiens módszert (legmeredekebb irány módszere) alkalmazzuk, azaz egy x k pontból a legmeredekebb csökkenő irányba mozdulunk el, vagyis Tehát d k = - f Hx k L x k+1 = x k + a k d k ahol a k egy alkalmasan megválasztott pozitív lépéshossz úgy, hogy minden lépésben f Hx k+1 L < f Hx k L. 4.7 ábra A gradiens módszer elve Ez a választás helyes hiszen a megválasztott irány akkor megfelelő, ha f Hx k+1 L < f Hx k L azaz f Hx k + a k d k L < f Hx k L A baloldalt Taylor sorba fejtve azaz f Hx k L + a k Hõf Hx k LL T d k < f Hx k L a k Hõf Hx k LL T d k < Mivel a k > és véges, a d k irány akkor lejtő irányú, ha Hõf Hx k LL T d k < Az a k értékét úgy határozzuk meg, hogy az minimalizálja az f Hx k+1 L = f Hx k + a k f Hx k LL kifejezést. Ez minden lépésnél egy egyváltozós optimalizálást jelent. Megjegyzés A Newton módszer esetén és a k ª 1 d k = -HH Hx k LL -1 f Hx k L 4-6 Nelder-Mead-módszer Ha a deriváltak sem számíthatók könnyen, közvetlen kereső módszereket célszerű használni. Most itt a Nelder- Mead -féle szimplex módszert ismertetjük röviden. Az eljárás indításánál n +1 számú x 1,...,x n+1 indulópontot választunk úgy, hogy az n- dimenziós térben egy poliéder (szimplex) csúcsait alkossák (n =2 esetén ez egy háromszög). A következő pontokat és műveleteket értelmezzük, lásd 4.8 ábra.

6 6 Optimalizáció_4_211.nb 4.8 ábra Egy szimplex alakváltozásai 2D esetén. Az induló szimplex : f (a) < f (b) < f (c) 1) Legyen az induló szimplex (a, b, c) úgy, hogy f(a) < f(b) < f(c). 2) Ha a 3 pont elég közel van egymáshoz, akkor f(a) a minimum. 3) Különben az e pontot képezzük (c tükrözése m pontra és nyújtás) 4) ha f(e) < f(b) akkor e pontot választjuk új a c helyett, azaz az új szimplex (a, b, e), különben képezzük az r pontot (összehúzás) 5) ha f(r) < f(c) akkor az új szimplex (a, b, r) 6) ha f(r) f(b) képezzük az s 1 pontot (zsugorítás) 7) ha f(s 1 ) < f(c) akkor az új szimplex (a, s 1, b), különben az új szimplex (a, m, c 1 ) 8) az aktuális szimplex csúcsainak átnevezése: (a, b, c) és visszalépés 2)-re Az eljárás során, a fenti műveleteket alkalmazva a szimplex alakja a függvényfelület alakjához igazodik, az árkok mentén megnyúlik és szükség esetén elfordul, végül pedig a minimumhely környezetére zsugorodik. A leállás feltétele, hogy az utolsó két iterációban a szimplex súlypontjának változása egy előre definiált e hibakorlát alatt legyen. Az alábbi ábrákon az induló szimplexet és a végső, minimumot lefedő szimplexet látjuk 4.9 ábra Induló szimplex 4.1 ábra Végső szimplex

7 Optimalizáció_4_211.nb Lagrange-módszer Keressük az f(x) függvény minimumát egy g(x) = feltétel kielégítése mellett, azaz ha g HxL = min x f HxL g 1 HxL g 2 HxL. g m HxL A Lagrange-módszer esetén az eredeti feladat helyett tekintsük az alábbi függvény megkötés nélküli minimalizálását, = L Hx, ll = f HxL + l T g HxL = f HxL + l i g i HxL ahol λ i -k a Lagrange- féle multiplikátorok (szorzók). A minimum szükséges feltétele a parciális deriváltak eltűnése, azaz és x L Hx, ll = x Hf HxLL + l T x Hg HxLL = x H f HxLL + l i g i x HHxLL = l L Hx, ll = g HxL = ahol L(x, l) egy skalár-vektor függvény, a gradiens-vektorok pedig m i=1 m i=1 x HùL = HùL x 1,..., HùL x n és l HùL = HùL l 1,..., HùL l m A minimum elégséges feltétele, hogy ezen kívül az L (x, l) függvény Hesse-mátrixa pozitív definit legyen, azaz a mátrix sajátértékei pozitívak legyenek a szélsőérték helyén. 4-9 Büntetésfüggvény-módszer A megkötéssel definiált minimalizáció helyett, most tekintsük a következő megkötés nélküli feladatot, F Hx, KL = f HxL + K Hg HxLL T g HxL ahol K egy skalár paraméter. A K paraméter értékének növelésével az új, megkötés nélküli probléma megoldása tart az eredeti egyenlőségi megkötéssel rendelkező probléma megoldásához, hiszen K növekvő értéke miatt a minimalizáló eljárás "kénytelen" csökkenteni g(x) normáját, mivel ennek súlya a célfüggvényben egyre nagyobb és ekkor a Hg HxLL T g(x) skalárszorzat nullától való kis eltérése is nagy értéket jelent a célfüggvényben, amit minimalizálni szeretnénk. Minél nagyobb a K annál nagyobb a "büntetés" a g(x) értékének a nullától történő eltérése miatt. Ezt az egyszerű kvadratikus büntetés-függvényt Courant-féle büntetés függvénynek nevezik. 1. Példa Tekintsünk egy adott V térfogatú kúpot, amelynek magasságát, h és alaplapjának sugarát, r, úgy kell meghatároznunk, hogy a kúp felülete A minimális legyen! A minimalizálandó függvény A megkötés pedig A Hr, hl = p r r 2 + h 2

8 8 Optimalizáció_4_211.nb g Hr, hl = 1 3 p h r2 - V = A minimalizálandó függvény a kvadratikus büntetés - függvénnyel, mint megkötés nélküli feladat, F Hr, hl = p r r 2 + h 2 + K 1 3 p h r2 - V A megkötés nélküli minimalizálás eredményét V = 15 esetén, növekvő K értékek mellett az alábbi táblázat szemlélteti. Az éles jegyeket kiemeltük. 1. Táblázat K r h Az exakt megoldás, amely a Lagrange- módszerrel adódik, 2 és r = 21ê6 15 2ê3 p 1ê3 = h = 32ê3 = ê3 p 4-1 Karush-Kuhn-Tucker-feltételek Ha a megkötések az egyenlőség mellett egyenlőtlenségi feltételeket is tartalmaznak, azaz keressük az f(x) függvény minimumát, az alábbi megkötések mellett, A feladat Lagrange függvénye g HxL = g 1 HxL g 2 HxL. g m HxL min x f HxL = és h HxL = h 1 HxL h 2 HxL. h p HxL L Hx, l, ml = f HxL +l T g HxL +µ T h HxL Most a lokális minimum szükséges és elégséges feltételeit az ún. Karush-Kuhn- Tucker feltételek biztosítják. A szükséges feltételek: a) Egyrészt (L (x, l, m)) = vagyis

9 Optimalizáció_4_211.nb 9 m p Hf HxLL + l i Hg i HxLL + m i Hh i HxLL i=1 i=1 azaz a Lagrange függvény gradiens vektorának minden komponense zérus. Továbbá g (x) = és minden i = 1,..., p esetén m i h i = b) Másrészt h (x) és m azaz a m vektor egyik eleme sem negatív. Az elégséges feltétel az x minimum helyén, hogy tetszőleges dx változás esetén igaz, hogy m dx T H H f HxLL + l i H Hg i HxLL + m A H Hh A HxLL dx > i =1 A ahol h A azok az egyenlőtlenségi megkötések, amelyekre h A (x) =. Ezeket ún. aktív egyenlőtlenségi megkötésnek nevezzük. Amennyiben a m = H Hf HxLL + l i H Hg i HxLL + m A H Hh A HxLL i =1 A mátrix pozitív definit, a fenti elégséges feltétel igaz. (Lehet ettől függetlenül is igaz, de akkor a kérdés eldöntéséhez külön vizsgálat szükséges!) Megjegyzés à Ha az egyenlőségi megkötések lineárisak és a célfüggvény konvex, akkor a minimalizálási probléma konvex, azaz a KKT szükséges feltételelek elégségesek is. Ekkor a lokális minimum globális minimum is egyben. Egy függvény konvex, ha a Hesse mátrixa legalább pozitív szemidefinit. Egy mátrix akkor pozitív szemidefinit, ha nincs negatív sajátértéke. Természetesen ez a függvény egy lokális tulajdonsága. à Ha a célfüggvény és a megkötések egyaránt lineárisak akkor lineáris programozási feladatról beszélünk. 2. Példa Minimalizáljuk az függvényt a egyenlőségi és az x, azaz f Hx, y, zl = Hx - yl z g 1 Hx, y, zl = x + y + z + 5 = g 2 Hx, y, zl = y - 3 z - 1 = h 1 (x,y,z) = -x egyenlőtlenségi feltételek mellett. Oldjuk meg a feladatot a KKT feltételek alapján! A Lagrange függvény L Hx, y, z, l 1, l 2, m 1 L = f Hx, y, zl + l 1 g 1 Hx, y, zl + l 2 g 2 Hx, y, zl - m 1 x

10 1 Optimalizáció_4_211.nb Az a) pontbeli szükséges feltételeknek megfelelő egyenletek: továbbá valamint L x Hx, y, z, l 1, l 2, m 1 L = l 1 - m x - 2 y = L y Hx, y, z, l 1, l 2, m 1 L = l 1 + l 2-2 x + 2 y = L z Hx, y, z, l 1, l 2, m 1 L = l 1-3 l = g 1 Hx, y, zl = x + y + z + 5 = g 2 Hx, y, zl = y - 3 z - 1 = -m 1 x = Ez egy nemlineáris egyenletrendszer az (x, y, z, l 1, l 2, m 1 ) változókra. Az egyenletrendszer megoldásai, x y z l l m 1 11 Ellenőrizzük, hogy melyik megoldás elégíti ki a b) pontbeli szükséges KKT feltételeket, azaz és Nyilván csak az első! -x m 1 Azt, hogy ez a szélsőérték valóban minimum, az elégséges KKT feltétel alapján döntjük el. Azonban esetünkben a megkötések lineárisak, tehát csak azt kell megnézni, hogy a célfüggvény a szélsőérték helyén konvex-e?! A célfüggvény Hesse-mátrixa, H (f (x,y,z))= Ennek értéke az x =, y = -3.5 és z = -1.5 helyen, Ennek sajátértékei, H = f 2 f 2 x 2 y x f 2 x y f 2 x z f 2 z x f 2 f 2 y 2 z y f 2 y z azaz a Hesse - mátrix szemidefinit, tehát a célfüggvény konvex, így a minimumjelölt valóban minimum! c = 4 f 2 z 2

11 Optimalizáció_4_211.nb Genetikus algoritmus Bár a módszert elsősorban többváltozós esetben alkalmazzuk, az egyszerűség érdekében legyen a feladat egy f (x) egyváltozós függvény globális maximumának meghatározása egy adott xœ[a, b] intervallumban, azaz max f HxL x bd Az intervallum valós számokból, de mint láttuk az intervallum elég jól lefedhető véges tizedestört alakú számokkal. Minél több jegyet alkalmazunk (minél finomabb a felbontás) annál jobb a lefedés. Most alkalmazzunk kettes számrendszert. Rögzített hosszúságú bitsorozat esetén, elvileg az összes függvényértéket a=... és b= közötti értékre kiszámítva kiválaszhatjuk azt a bitsorozatot (x értéket) amelynél a függvénynek maximuma van. Miután a maximum egy jó közelítését szeretnénk megkapni, azaz a felbontás nagy, vagyis a bitsorozat hosszú, így a kiszámítandó függvényértékek száma nagyon nagy. A számítási igény lényegesen csökkenthető ha egy keresési stratégiát alkalmazunk Mutáció A módszer lényege, hogy véletlenszerűen több kiindulási bitsorozatot (egyedet) hozunk létre. Ezek alkotják az induló populációt és egyben az első, kiinduló generációt. A populáció egyedeit aszerint értékeljük, hogy hozzájuk mekkora függvényérték tartozik. Minél nagyobb függvényérték tartozik egy egyedhez, annál nagyob az egyed fittségi indexe. Kiválasztjuk a legfittebb egyedet és belőle mutációval előállítunk egy új populációt, amely a következő generáció lesz. Az egyed mutációja, az egyed (bitsorozat) génjeinek (bit-jeiknek) kis valószínűséggel való megváltoztatását jelenti. Ezt a változtatási valószínűséget rögzítve (általában.1~.3), végighaladunk a biteken és vagy megváltozatjuk őket (-ról 1-re illetve megfordítva) vagy sem. Akkor választottuk meg helyesen a mutáció valószínűségét, ha ennek az új populációnak az átlagos fittsége nagyobb lesz, mint az előző populációjé volt. Ez módszer azonban még mindig meglehetősen lassú. Így a természet létrehozta a szexualitást. Szexualitás Ebben az esetben a populációból két egyedet választunk ki (szülők). A szülők kiválasztása nem determinisztikus, azaz nem a két legfittebb egyed lesz kiválasztva, de minél nagyobb egy egyed fittsége annál nagyobb valószínűséggel lehet szülő (rulett-módszer, amelynél az egyedet reprezentáló rulettkerék szegmense arányos az egyed fittségével)! Ha kiválasztottuk a szülőket, akkor létrehozzuk ezek utódait (gyerekek). Az utódok létrehozása valamilyen rögzített valószínűséggel (általában.5~.8) a szülők génjeinek keresztezésével (crossing) történik, különben klónozással. A két szülő két gyereket hoz létre. A keresztezés esetén rögzített valószínűséggel kiválasztunk egy bitpozíciót a szülők bitsorozatában, majd ettől a pozíciótól kezdve kicseréljük egymással a bitjeiket (génjeiket). A klónozásnál nincs csere, az utódok egyezőek a szülőkkel. Ezt követően, mindkét esetben még egy mutáció következik. A fenti módszerrel hozzuk létre az új generáció populációját. Az iteráció (generációk váltása) során figyeljük a populáció legfittebb egyede fittségi indexének változását. Ha ez a változás már elhanyagolható akkor befejezzük az iterációt. Biztonságként - arra az esetre ha az eljárás nem lenne konvergens - limitáljuk a generációk számát. A fenti algoritmus a legegyszerűbb BGA (Basic Genetic Algorithm), amelynek számos változata alakult ki az elmúlt 2 év folyamán. A mai rendszerek, pl. a Matlab és a Mathematica egyaránt tartalmazzák a módszert. 3. Példa Legyen a függvény, amelynek globális maximumát keressük a x 1 tartományban, f (x) = -mod (9 x, 1) sin (p x)) A feladat a hagyományos optimalizációs módszerekkel nem oldható meg könnyen, lásd 4.11 ábra.

12 12 Optimalizáció_4_211.nb fhxl ábra Az f(x) = -mod(9x, 1) sin(p x)) függvény Az alábbi ábrákon a genetikus algoritmus eredményét látjuk standard paraméterekkel. x maximális fittségi index iterációk száma 4.12 ábra A maximális fittségű egyed fittségi indexe az iterációk (generációk) számának függvényében ábra A generált generációk legfittebb egyedeinek elhelyezkedése

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Genetikus algoritmusok

Számítógépes döntéstámogatás. Genetikus algoritmusok BLSZM-10 p. 1/18 Számítógépes döntéstámogatás Genetikus algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu BLSZM-10 p. 2/18 Bevezetés 1950-60-as

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Szakdolgozat Miskolci Egyetem Nemlineáris programozás Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Témavezető: Dr. Nagy Tamás egyetemi docens, Alkalmazott Matematikai Tanszék Miskolc,

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele

ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake (ismétlés) A szegmentáló kontúr egy paraméteres görbe: x Zs s X s, Y s,, s A szegmentáció energia funkcionál minimalizálása: E x Eint x

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása

Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTELES OPTIMALIZÁLÁS DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként az Európai Unió támogatásával,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Intelligens Rendszerek Elmélete. Párhuzamos keresés genetikus algoritmusokkal

Intelligens Rendszerek Elmélete. Párhuzamos keresés genetikus algoritmusokkal Intelligens Rendszerek Elmélete Dr. Kutor László Párhuzamos keresés genetikus algoritmusokkal http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/ire.html login: ire jelszó: IRE0 IRE / A természet általános kereső algoritmusa:

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással

Nemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTEL NÉLKÜLI OPTIMALIZÁLÁS ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

1. Előadás Lineáris programozás

1. Előadás Lineáris programozás 1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Gazdasági Matematika I. Megoldások . (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

DIFFERENCIÁLÁS, GRADIENS VEKTOR, HESSE MÁTRIX, LÁNCSZABÁLY,

DIFFERENCIÁLÁS, GRADIENS VEKTOR, HESSE MÁTRIX, LÁNCSZABÁLY, DIFFERENCIÁLÁS, GRADIENS VEKTOR, HESSE MÁTRIX, LÁNCSZABÁLY, IMPLICIT FÜGGVÉNY TÉTEL DR NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-B-0//KONV-00-000

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás

Nemlineáris optimalizálás Nemlineáris optimalizálás Rapcsák Tamás 2005. Előszó A Nemlineáris optimalizálás című anyag a gazdaságmatematikai elemző közgazdász hallgatók számára készült és egyrészt a matematikai alapozó kurzusokra

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Számítógép és programozás 2

Számítógép és programozás 2 Számítógép és programozás 2 11. Előadás Halmazkeresések, dinamikus programozás http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ A keresési feladat megoldása Legyen a lehetséges megoldások halmaza M ciklus { X legyen

Részletesebben

A szimplex tábla. p. 1

A szimplex tábla. p. 1 A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.

YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához

Részletesebben

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22. TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék

További forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

V. Kétszemélyes játékok

V. Kétszemélyes játékok Teljes információjú, véges, zéró összegű kétszemélyes játékok V. Kétszemélyes játékok Két játékos lép felváltva adott szabályok szerint. Mindkét játékos ismeri a maga és az ellenfele összes választási

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Programozási segédlet

Programozási segédlet Programozási segédlet Programozási tételek Az alábbiakban leírtam néhány alap algoritmust, amit ismernie kell annak, aki programozásra adja a fejét. A lista korántsem teljes, ám ennyi elég kell legyen

Részletesebben