Analízis 5. Előadásjegyzet

Átírás

1 Anlízis 5. Elődásjegyzet Oláh Gábor Jnury, 9 A jegyzet z ELTÉ-n 8-9 őszi félévében elhgzott elődás lpján készült. Az elődó Simon Péter. A jegyzet szbdon terjeszthető, zonbn kérek mindenkit, hogy ne mutsson linkkel közvetlenül fájlr, mert fájlnév frissítésenként változik, inkább honlponr mutsson link: H nem erről z oldlról töltötte le ezt jegyzetet, kkor látogsson el fenti honlpr, háth zót frissült jegyzet.

2 EA 8-9- Differenciálegyenletek. Legyen n N, I R nyílt intervllum, Ω R n trtomány, f : I Ω n R n, f folytonos. Feldt: Keressünk olyn ϕ : I Ω függvényt, mire D ϕ nyílt intervllum ϕ D ϕ x fx, ϕx x D ϕ 3 Az így definiált feldtot differenciál egyneletnek d.e. nevezzük. Legyen f f,..., f n, ϕ ϕ,..., ϕ n. Ekkor 3 következő képen néz ki: ϕ ix f i x, ϕ x,..., ϕ n x x D ϕ, i,..., n H n, kkor differenciál egyenlet rendszer d.e.r. b H ϕ ilyen, kkor ϕ d.e. megoldás. c f d.e. jobb oldl. d H még τ I, ξ Ω és t D ϕ, ϕτ ξ 4 kkor kezdeti érték problámáról k.é.p. vgy Cuchy-feldtról beszélünk. e Ld. gyk rkétás feldt mv mγ αv v v v γ α m v γ + αmγ v v v Tehát d.e. következő: n :, I : Ω : R, fx, y : γ Ω, τ :, ξ : v. + α mγ y x I, y. Szeprábilis d.e. Válsszuk speciálisn n : ; I, Ω R nyílt intervllum, g : I R, h : Ω R, / R h, g, f C, fx, y gx hx x I, y Ω. Ekkor 3 következő képpen lkul: ϕ x gxhϕx x D ϕ ϕ x hϕx gx x D ϕ Legyen H : Ω R, H D, H h létezik ilyen és G : I R, G D, G g. Ekkor H ϕ x G x x D ϕ c R : Hϕx Gx c x D ϕ.

3 H ϕτ ξ, kkor c Hξ Gτ, zz b Például rkétás feldt: Hϕx Gx + Hξ Gτ x D ϕ 5 gx : γ x D ϕ hy : + α mγ y, ekkor ez feldt egy szeprábilis d.e.. Létezik primitív függvény: Gx : γx x R Tehát H y + α mγ y + α mγ y Hy : mγ α α rctg mγ y mγ α mγ α α rctg mγ vx γx + α rctg mγ v. Például: h τ ideig emelkedik rkét, kkor vτ, így z előbbi egyenlőségben x : τ esetén mγ α γτ + α rctg mγ v. c Vn-e megoldás? 5 implicit függvény egyenlet. Alklmzzuk z implicit függvény tételt következő képpen: Legyen F x, y : Hy Gx Hξ + Gτ x I, y Ω 6 Ekkor F C, F τ, ξ, F ξ H ξ hξ. Ekkor z implicit függvény tétel szerint 6-nk létezik ψ implicit függvény megoldás, zz: Tehát ψ megoldás k.é.p.-nk. F x, ψx x Kτ, ψt ξ, ψ x F x, ψx F x, ψx gx hψx gxhψx. 3. Egzkt d.e. Válsszuk speciálisn n :, I, Ω R nyílt intervllum, g, h : I Ω R, g, h C, / R h, F : I Ω R, F D, grd F g h, f : g h. Ekkor 3 következő képpen lkul: ϕ gx, ϕx x hx, ϕx gx, ϕx + hx, ϕxϕ x x D ϕ 7 Legyen Φx : F x, ϕx x D ϕ, ekkor zz F x, ϕx c x D ϕ. 7 Φ x x D ϕ c R : Φx c x D ϕ H ϕτ ξ, kkor F x, ϕx F τ, ξ x D ϕ. Vn megoldás: hf. 3

4 EA Tehát és grd F g mitt ϕ gx, ϕx x hx, ϕx x D ϕ h F g ; F h, zz g, h D F D. De ekkor Young-tétel F F g h.. Tfel: g, h C, ekkor g h C ; ill D g D h I Ω csillgtrtomány és g g h g h h szimmetrikus, így csillgtrtományr vontkozó tétel szerint g függvénye: grd F g h. h -nk vn primitív 3. H f : g h, kkor m : I Ω R\ {}, m C esetén f g m h m és g h, de g m h m lehet. 4. HF: Minden szeprábilis d.e. egzkt. 5. Lineáris d.e. Válsszuk speciálisn n :, I R nyílt intervllum, Ω : R, g, h : I R, g, h C és fx, y : gx y + hx x I, y R ekkor 3 következő képpen lkul: ϕ x gx ϕx + hx x D g. Legyen G D : G g és ϕ x : e Gx x I ekkor ϕ D és ϕ x egx Gx gx ϕ x x I, továbbá Homogén lineáris d.e.. Állítás: M h {c ϕ : c R}. Proof. i. ii. H ψ M h, kkor ϕ M h : { ϕ : I R : ϕ D, ϕ g ϕ }. c ϕ c ϕ c g ϕ g c ϕ c ϕ M h. Tehát c R : ψ ψ ϕ ψϕ ϕ ϕ ψ ϕ c, zz ψ cϕ. gψϕ ψgϕ ϕ M h egy dimenziós vektortér. b Állítás: l : I R, l D : l ϕ g l ϕ + h, zz Inhomogén lineáris d.e.. lϕ M : { ϕ : I R : ϕ D, ϕ g ϕ + h }. 4

5 Proof. l ϕ l ϕ + lϕ g l ϕ + h l ϕ + l g ϕ g l ϕ + h Ekkor l h ϕ, zz ˆ l h ϕ Megjegyzés i. Az állndók vriálás. ii. lϕ : prtikuláris megoldás. c Állítás: ψ M : M ψ + M h. Proof. i. ii. így ψ + ϕ M. így θ ψ M h. ϕ M h : ψ + ϕ ψ + ϕ g ψ + h + g ϕ g ψ + ϕ θ M : θ ψ θ ψ gθ + h gψ + h g θ ψ i. H τ I, ξ R, ϕτ ξ. Ekkor ϕ l ϕ + c ϕ, hol ξ lτϕ τ + cϕ τ, így ii. Legyen l h ϕ, pl.: lx : x τ c ξ lτϕ τ. ϕ τ Gx : x τ g x I, ekkor Gτ ϕ τ. Ekkor c ξ, zz iii. Rdioktív bomlás: homogén lineáris d.e.: h ϕ ϕx lx + ξ ϕ x ˆ x ξ + τ x I, ekkor lτ, ill G g, pl.: hte x τ gydy dt ˆ x ht ξ + τ ϕ t dt e Gx m αm m m fenti jelölésekkel: g α, τ :, ξ : m. Ekkor Gt αt t R ϕ t e αt t R x e τ gydy mt c e αt t R, hol m m c H T > : mt m m e αt, ekkor e αt, így T ln α. x I. mt m e αt t R. 5

6 6. Egzisztenci: < n N, I R nyílt intervllum, Ω R n trtomány, f : I Ω R n, f C, τ I, ξ Ω, ϕ x fx, ϕx x D ϕ ϕτ ξ. Lipschitz feltétel: Q Ω kompkt hlmzr L : fx, y fx, z L y z x I, y, z Q. Tétel: Picrd-Lindelöf: ekkor létezik megoldás. Belátjuk: ϕ x : ξ, ϕ k+ x ξ + ˆ x hol k N, x τ < δ lklms δ >. Ekkor τ ft, ϕ k tdt, ϕx lim ϕ k x x τ < δ. 3 EA Emlékeztető: f : I Ω R n, f C, f eleget tesz Lipschitz-feltételnek, h Q R, Q kompkt, L : fx, y fx, z L y z x I, y, z Q. Pl.: Lineáris d.e. fx, y gxy + hx x I, y R. Ekkor fx, y fx, z gx y z sup R g y z x I, y, z R. H sup R g < +, kkor igz globális Lipschitz-feltétel. b ϕ y ; y, kkor nem teljesül Lipschitz-feltétel.. Tétel Unicitás: Lipschitz-feltétel ϕτ ξ k.é.p. esetén ϕ, ϕ megoldásr: ϕ x ϕ x x D ϕ D ϕ. D ϕ D ϕ egy τ-t trtlmzó nyílt intervllum. b Legyen J : ϕ megoldás D ϕ, ekkor J τ-t trtlmzó nyílt intervllum. Legyen Φ : J Ω : Φx : ϕx x J, ϕ megoldás. Φ definíciój korrekt. Φ D, ϕ megoldás esetén ϕ Φ Dϕ. c Φ z ún. teljes megoldás. 6

7 d A ϕ x fx, ϕx x D ϕ, ϕτ ξ k.é.p. egyértelműen oldhtó meg, h megoldhtó és ϕ, ϕ megoldásr ϕ x ϕ x x D ϕ D ϕ. e Lipschitz-feltétel minden k.é.p. egyértelműen oldhtó meg. f Pl.: ϕ y ; ϕ nem egyértelműen oldhtó meg. 3. Lineáris differenciál egyenlet rendszer d.e.r. n N, I R nyílt intervllum, Ω : R n K n, ik : I R, ik C i, k,..., n, b : I R n, b C, illetve A : ik n i,k : I Rn n és fx, y : Ax y + bx x I, y R n K n. n : lásd lin. d.e. b n : ϕ x Ax y + bx x D ϕ, zz ϕ ϕ,..., ϕ n esetén n ϕ ix ik x ϕ k x + b i x k b b,... b n, x D ϕ, i,..., n. c Pl.: n : és d A lin. d.e.r. homogén, h b. Megoldás: Tétel: i. M h n-dimenziós lineáris tér. ii. ψ M h : M ψ + M h. ϕ x ϕ x + ϕ x + e x ϕ x 3ϕ x + ϕ x x D ϕ. M h : { ϕ : I K n : ϕ D ϕ Aϕ } M : { ϕ : I K n : ϕ D ϕ Aϕ + b } b Tfel: ϕ,..., ϕ n M h bázis lprendszer. Tétel: g,..., g n : I K, g,..., g n D, hogy ψ : n g k ϕ k M. k i. Tehát ii. { n M h c k ϕ k k : c,..., c k K } Φ : [ ] ϕ,..., ϕ n : I K n n [ ] Φ : ϕ,..., ϕ n : I K n n. Ekkor M h {Φc : c K n }. Nevezzük Φ-t lpmátrixnk. HF: Φ A Φ. 7

8 iii. Legyen G : g,..., g n, ekkor ψ Φg M h Φg Φ g + Φg A Φg + b Φ g + b Φg b. c Alpmátrix előállítás Csk kkor, h i, k,..., n : ik állndó fv, zz A : ik n i,k Rn n és λ T K n n : T AT... λ n λ,..., λ n K. Tfel T [t,..., t n ], ekkor t,..., t n z A mátrix lineárisn független sjátvektori és At k λ k t k k,..., n, zz λ,..., λ n sjátvektorok. Tétel: A ϕ k x : e λkx t k x I, k,..., n lprendszert lkotnk. α β d Az n eset: α, β, γ, δ R, A R γ δ, A nem digonlizálhtó, kkor β + δ > és λ λ, zz α λ γ β δ λ λ λ + δ λ + αδ βγ ekkor diszkrimináns α + δ 4αδ + 4βγ α δ + 4βγ. Ekkor λ α + δ. Tétel: t, t R, t, t lineárisn függetlenek, At λt, At λt + t. Biz: HF. Tétel: ϕ x : e λx t, ϕ x : e λx t + xt x I lprendszert lkotnk. Biz: HF.. 4 EA Emlékeztető: Egy feldt. ϕ x ϕ x + ϕ x + e x ϕ x 3ϕ x + ϕ x továbbá A :, bx e 3 x x R. Megoldás: λ 3 λ λ 3λ 4. A két sjátérték λ 4 és λ. A mátrix digonlizálhtó. Legyen t u sjátvek- v tor, zz λ 4 esetén: At u + v λt 3u + v u + v 4u v 3u, 8

9 legyen például t : λ esetén. 3 legyen például t :. Tehát z lprendszer: u + v u v u, e λx t e 4x e 4x 3 3e 4x e λx t e x e x e x Ekkor e 4x e Φx x 3e 4x e x M h { Φc : c K } { e 4x + e x 3e 4x e x A prtikuláris megoldás Φg, hol g g Ekkor két egyenletet összedv Egy ilyen g : 5 e 3x, miből } : c, c K, x R. g D Φg b, zz e 4x g x + e x g x e x 3e 4x g x e x g x 5e 4x g x e x g x 5 e 3x. 5 ex + e x g x : 3 ex x R. Ekkor ϕ Φ c + Φ g, hol c K. A többi hf 3. Mgsbb rendű lineáris d.e.: Legyen I R nyílt intervllum, < n N, k : I R, k C k,..., n, c : I R, c C.Keressük ϕ : I K függvényt, hogy D ϕ nyílt intervllum, 8 ϕ D n 9 n ϕ n x + k xϕ k x cx. n esetén ez lineáris d.e. b Pl: rezgések esete: mϕ F αϕ βϕ α >, β > ekkor c H még τ I, ξ,..., ξ n K és kkor k.é.p. k ϕ + α m ϕ + α m ϕ F m. τ D ϕ és ϕ k τ ξ k k,..., n 9

10 Legyen ϕ megoldás, Tϕ : ϕ ϕ ϕ n : D ϕ K vektorfüggvény, Tϕ D, b : c : I R n, b C és Tétel: A :..... n n : I R n n. H ϕ megoldás, kkor Tϕ ATϕ + b. b H ψ ψ ψ n D, ψ Aψ + b, kkor ϕ : ψ megoldás. Biz Hf b Átviteli elv. c H ϕ k τ ξ k k,..., n kezdeti feltétel esetén Tϕτ ξ ξ n. d Legyen { } n ϕ,..., ϕ k M h : ϕ : I K : ϕ D n ϕ n + k ϕ k k N. Ekkor ϕ,..., ϕ k lineárisn független Tϕ,..., Tϕ k lineárisn független, hol z átviteli elv mitt Tϕ j ATϕ j j,..., k. e Tehát M h n-dimenziós lineáris tér; ϕ,..., ϕ k M h bázis esetén z lprenszer. Tehát h ismerünk egy lprendszert, kkor z M h ezek lineáris kombinációj, zz { n } M h c k ϕ k : c,..., c K. k k f Tétel: ϕ M : M ϕ + M h. { } n M : ϕ : I K : ϕ D n ϕ n + k ϕ k c. k Proof. Átviteli elvvel. g H ϕ,..., ϕ n lprendszer, kkor Φ : [ ] Tϕ T n lpmátrix -nek. Ekkor g g g n D, hogy Φg prtikuláris megoldás -nek. Tehát venni kell Φg első komponensét: n ϕ ϕ k g k M k Ezt z állndók vriálásánk nevezzük. De: Φg prtikuláris megoldás Φg b n k ϕ j k g k { : j,..., n c : j n. 3

11 h 3 determinánsát Wronski-féle determinánsnk nevezzük: Péld: n -ben 3: W x : det Φx ϕ g + ϕ g ϕ g + ϕ g c x I. Alprendszer lőállítás: csk állndó együtthtós esetben. Legyen feldt krkterisztikus polinomj n P x : x n + k x k k és tfh ismerjük gyöktényezős lkját, zz s P x x λ j ν j, j x K, hol λ j -k páronként különböző gyökök és ν j λ j multiplicitás. Tétel: I x x k e λ jx j,..., s, k,..., ν j egy lprendszer. Proof. hf i Péld: mϕ F αϕ βϕ, hol β csillpítás nélküli, F x A sin ωx x R hol A >, ω >. Átrendezve kpjuk, hogy ϕ x + α m ϕx A sin ωx. m Csillpítás nélküli, szinuszos kényszerrezgés differenciálegyenlete A krkterisztikus polinomj P x x + α m x + ω, hol ω : α m. A gyökök λ : iω, illetve λ : iω. Tehát z lprendszerünk tétel szerint ϕ x e iω x cos ω x + i sin ω x ϕ x e iω x cos ω x i sin ω x. A rezgéseknél elhgyhtjuk komplex megoldásokt. Így cos ω x, sin ω x x R, lprendszer.. A homogén egyenlet megoldás hlmz z M R h {c cos ω x + c sin ω x : x R, c, c R} {γ sin ω x + δ : x R, γ, δ R}. δ - fázisszög ; ω - frekvenci ; γ - mplitudó Továbbá: i. eset: ω ω : ϕx : q sin ωx x R q R, q ω ω ii. eset: ω ω : A megoldás ϕx : q x cos ωx x R q R. ϕx γ sin ω x + δ + ϕx.

12 5 EA 8--. Emlékeztető: n N,,..., n R, n P x x n + k x k k s x λ j ν j x K, j ϕ jk x : x k e λ jx x R. Tétel: ϕ jk j,..., s, k,..., ν j lprendszer. Proof. Legyen: λ K, e λ x : e λx x R, h k x : x k x R és dott g : R R esetén g λ : gx + λ x R, m Qx α k x k x K, hol m N, α,..., α m R, α, és Ekkor D Q f : k m α k f k f D m. k Q, R polinom esetén D QR D Q D R, zz D QR f D Q D R f, f D deg QR ; b Q polinom esetén λ K: D Q f e λ e λ D Qλ f. Proof. hf n ϕ n + k ϕ k D P ϕ. k Tehát ϕ jk h k e λj, ekkor D P ϕ jk e λj D Pλj h k. De P x x λ j νj Qx x K, Q polinom. Legyen Sx : x λ j ν j polinom. Tehát D Pλj h k D QSλj h k D Qλj S λj h k D Qλj Dλj h k, hol S λj x Sx + λ j x ν j x K. Tehát D Sλj h k h ν j k D Qλj Dλj h k D Qλj h k Tehát D P h k, zz ϕ jk M h. Függetlenség: Tehát x R: s ν j j k α jk ϕ jk α jk j,..., s, k,..., ν j. ν s j α jk x k e λjx. j A zárójelben lévő kifejezés egy polinom. k Lemm: Tfel: dotk µ,..., µ r K < r N, µ j µ l j l,..., r, P,..., P r polinomok és r k P ke µk. Ekkor k,..., r : P k.

13 Proof. Teljes indukcióvl. r esetén tivi. r r + : r+ P k e µk P r+ k hol σ k és σ k σ l k l,..., r. r P k e µk µ r+ : k Legyen N : degp r+, ekkor P N r+. Tehát r P k e σk N k r N k j r N k j r N k j N j N j N j r P k e σk, k P j k en j σ k P j k σn j k e σk P j k σn j k e σk. A zárójelben egy polinom vn legyen Q k. Az indukciós feltevésből következik, hogy Q k. Legyen P k α m α l x l x K, hol m N, α m. Ekkor Q k főegyütthtój σ N k α m, de σ k, tehát α m. l Q k következő együtthtój σk Nα m k + m α m N σ N k, miből α m. És így tovább kpjuk, hogy P k.. Kvázi polinom jobboldl: λ K, r N, hol λ P krkterisztikus polinomnk r-szeres gyöke. Ekkor P x x λ r Qx, hol Q polinom x K, illetve legyen R polinom és cx Rxe λx x R, zz c Re λ. Tétel: Ekkor T polinom: deg T deg R és ϕx x r T x e λx x R prtikuláris megoldás. Proof. Tehát ϕ h r T e λ megoldás D P h r T e λ c R e λ e λ D Pλ h r T R e λ zz D Pλ h r T R, hol P λ x P x + λ x r Qx + λ x K. Ekkor P λ h r Q λ, zz R D Pλ h r T D hrq λ h r T D Qλ D hr h r T D Qλ h r T r, hol legyen Rx : m k α kx k és T x : m k β kx k, ekkor h r T x m β k x k+r β m x m+r + β m x m+r +... k 3

14 továbbá h r T r x β m m + r m + r... m + x m +... x m +... így D Qλ h r T r x β m m + r... m + Q λ x m +... x m + Rx λ m x m +... x m +... Ekkor β m m + r... m + Qλ λ m β m α m m + r... m + Qλ. 6 EA Emlékeztető ϕ jk x : x k e λ jx x R, j,..., s, k,..., ν j. Ekkor ϕ M h,!α jk K x R, j,..., s, k,..., ν j :. Vlós megoldások: ϕ s ν j j k j,..., s : λ j R esetén ϕ jk : R R, zz α jk ϕ jk. α jk R j,..., s, k,..., ν j : s ν j j k α jk ϕ jk : I R. Proof. hf b Tfh j,..., s : λ j : λ C\R. Ekkor λ is gyöke és multiplicitás megegyezik λ multiplicitásávl. Legyen ez utóbbi ν. Tehát ϕ jk x x k e ϕ jx. Ill λ u + iv u, v R. Ekkor x k e λ jk x k e ux e ivx x k e ux cos vx + ix k e ux sin vx. Illetve ϕ jk x xk e λ jx x k e ux e ivx x k e ux cos vx + ix k e ux sin vx. Ekkor ϕ M h esetén ϕx s l l j, j s l l j, j ν l k + ν l k ν j α lk ϕ lk x + ν j k ν j + k α jk x k e ux cos vx + sin vx + α jk xk e ux cos vx i sin vx ν j α lk ϕ lk x + k k x k e ux cos vx α jk α jk x k e ux cos vx α jk + α jk + 4

15 De α jk + α jk R és α jk α jk Tehát h minden nem vlós gyök esetén } x k e λx x k e ux cos vx, x k e ux sin vx x k e λx helyettesítéssel vlós lprendszert kepunk. 3. Tétel: Picrd-Lindelöf Proof. ϕ x fx, ϕx x D ϕ ϕτ ξ ϕx ξ + ˆ x τ ft, ϕtdt. Legyen δ >, r > :[τ δ, τ + δ] : J I. K r ξ Ω és X : ϱψ, ψ { : mx ψx ψx } : x J Ekkor ϱ metrik. és X, ϱ egy teljes metrikus tér ld később. R, h α jk α jk. { } ψ : J K r ξ, ψ C. ψ, ψ X. Legyen T: X X, hol Tψx : ξ + x τ ft, ψtdt x J, ψ X. Igz-e, hogy Tψ benne vn X-ben? Azz Tψx ξ < r. { } Legyen M : mx fx, y : x J, y K r ξ. Ekkor h Mδ r, mi biztosíthtó. Tψx ξ ˆ x τ ft, ψtdt M x τ M δ r, Igz-e, hogy T kontrkció? ϱtψ, T ψ { mx Tψx T ψx } : x J { ˆ x } mx ft, ψt ft, ψtdt : x J τ { ˆ x mx ft, ψt ft, ψt } dt : x J τ { ˆ x mx L ψt ψt } dt : x J τ L δ ϱψ, ψ Ahol -bn kihsználtuk Lipschitz -feltételt. H L δ <, kkor Tkontrkció. HF biztosíthtó. Tehát fixpont-tétel mitt!ψ X : Tψ ψ, zz x J : ξ + x τ ft, ψtdt. Ekkor ϕx : ψx x τ < δ megoldás. 5

16 ψ ξ és ψ n+ x Tψ n x ξ + ˆ x τ ft, ψtdt. Ekkor ϱψ, ψ n, illetve lim ψ n x ψx x J. Szukcesszív pproximáció. b H Ω R n és α, β R: fx, y < α y + β x I, y Ω, kkor k.é.p.-nk megoldás I-n. BNK. 4. Egyértelműség Peno-lemm: legyen I R intervllum, w : I [, +, w C, τ I, A, B és wx A x τ w + B x I. Ekkor wx Be A x τ x I. Proof. Tekintsük következő függvényt: F : e Ax τ ˆ x τ w I x τ. Ekkor F D és ˆ x F x Ae Ax τ w + e Ax τ wx τ ˆ x Ae Ax τ w + Ae Ax τ A Be Ax τ BA e Ax τ τ ˆ x τ w + B Ekkor F x + B A e Ax τ, zz zárójelben lévő függvény monoton fogy, ekkor x τ-bn ngyobb, mint x-ben B A e Ax τ ˆ x τ w + B A e Ax τ Mindkét oldlt Ae +Ax τ -vl megszorozv kpjuk, hogy Be +Ax τ A I x < τ esetén nlóg módon. Peno Unicitás. Proof. Hf ˆ x τ w + B wx. 7 EA Lineáris d.e.r. I R nyílt intervllum, < n N, ik : I R, ik C i, k,..., n; A : ik : I R n n, b : I R n, b C. Ekkor ϕ x Axψx + bx x D ϕ. Tehát fx, y Axy + bx x I, y R n. Ekkor x I, x, z R n esetén fx, y fx, z Axy z Ax y z, 6

17 hol H J I kompkt intervllum, kkor Ekkor x J : Ax n ik x. i,k i, k,..., n, M ik R : ik x M ik x J. Ax Következik, hogy x J, y, z R n esetén n Mik : M J. i,k fx, y fx, z M J y z Lipschitz-feltételt kpjuk. Ekkor τ int J, ξ R n esetén ϕ x Axϕx x D ϕ k.é.p. egyértelműen megoldhtó. zz fx, y Axy + bx Axx + bx M y + mx { bx : x J} : M y + B J < +, fx, y M y + B J x J, y R n. ϕτ ξ 4 Ekkor 4-nek vn olyn megoldás ϕ, hogy D ϕ int J. b τ I, ξ R n esetén ϕ x Axϕx + bx x D ϕ, ϕτ ξ k.é.p. egyértelműen megoldhtó és teljes megoldásr ϕ D ϕ I. c M h {ϕ : I K n : ϕ D, ϕ Aϕ}. d Tétel: M h n-dimenziós tér. Proof. M h lineáris tér. trivi. Lemm: ϕ,..., ϕ s M h s N esetén ϕ,..., ϕ s összefüggő τ I: ϕ τ,..., ϕ s τ K összefüggő. Ebből következik, hogy dim M h n. Proof. : trivi : s k α kϕ k τ és s k α k >. Ekkor s ϕ : α k ϕ k M h, k zz ϕ Aϕ ; ϕτ ξ k.é.p.. Legyen ϕ megoldás. De ϕ is megoldás. Ekkor z unicitás tételből következik, hogy ϕ ϕ, zz ϕ k összefüggnek. Legyenek e i R n i,..., n lineárisn függetlenek és i,..., n, ϕ i M h : ĭ ϕ i Aϕ i ϕ i τ ξ. Ekkor ϕ τ,..., ϕ n τ lineárisn függetlenek, így ϕ,..., ϕ n is lineárisn függetlenek, miből dim M h n dim M h n. 7

18 Függvénysoroztok, függvénysorok. Tfh: A, f n n N függvény, n N : D fn A. Ekkor f n függvénysorozt. Példák: A : R, f n x : x n x R, n N. b A : R, n R n N, b n R < n N. f, f n x n cos nx + b n sin nx < n N, x R. c ld Picrd-Lindelöf ψ : ξ, ψ n+ x : ξ + x τ ft, ψ ntdt. Legyen X lineáris tér, f n : A X n N és n fn : f k függvénysor. Illetve részletösszegfüggvény. Példák: S n : k n f k n N A : K, n, K n N, f n x : n x n x K, n N. Legyen n x n : f n k x N, x τ δ. htványsor, és S n polinom. b f n x : x n x K, n N, ekkor S n x n x k k c n R n N, b n R < n N, f, { n + : n x n+ x : n n N. f n x n cos nx + b n sin nx < n N, x R. Ekkor n cos nx + b n sin nx : f n trigonometrikus sor és S n trigonometrikus polinom. d Ld c c, c n : n ib n < n N és cn z n + n ib n e inx ze ix x R + n cos nx + b n sin nx + i n cos nx + b n sin nx. Az összeg első fele trigonometrkus sor, míg második konjugált trigonometrikus sor. e Speciálisn f R[, π] : π n π b n π ˆ π ˆ π ˆ π f fx cos nx dx fx sin nx dx Ekkor Sf : n cos nx + b n sin nx z f függvény Fourier-sor; n, b n z f függvény Fourier-együtthtói; S n f : S n z f függvény Fourier-részletösszeg függvénye. 8

19 Legyen g : R R, g π szerint periodikus és f : g R[, π], ill Sg : Sf. [,π] b Legyen g : π x x π és g π szerint periodikus. π n π ˆ π ˆ π g. gx cos nx dx ui: gx pártln, cos nx páros, szorztuk pártln. n N esetén b n π Tehát Sg sin nx n. c Tehát f R[, π], ˆ π π S n fx ˆ π π + π π π ˆ π ˆ π π x sin nx dx π [ x cos nx ] π + n n ftdt + ˆ π ˆ π ˆ π x sin nx dx cos nx dx n. n ˆ π ft cos kt dt cos kx + n k ft sin kt dt sin kt cos kt cos kx + sin kt sin kx dt n ft + k n ft + cos kx t dt. k Legyen D n z : + n k cos kz z R. Ekkor S n fx π ˆ π ftd n x tdt, d hol D n Dirichlet-féle mgfüggvény. n + : z D n z : < z < π. sinn+ z z sin z 9

20 Proof. z sin z D nz sin z n + sin z cos z k sin z n + sin z + z sin k z k sin z + sin n + z sin z sin n + z. e sin n + z z sin z : n + z π lim D n z z Tehát S n fx π ˆ π ft sin n + sin x t x t dt. 8 EA Konvergenci: f n : A X n N, hol X, ϱ metrikus tér. x A : f n x konvergens-e? H igen, kkor f n konvergens-e x-ben? Legyen D fn:{x A : f n x-ben konvergens}, h D fn, kkor fx : lim f n x x D fn. Ekkor f : D fn X z f n htárfüggvénye. Jelölés: limf n : f. Példák: A : R, X : R, ϱ :., f n x : x n n N, x R, ekkor D fn, ] és { : x fx : x <. b A : R, X, ϱ ld, f n x : x + n n N, x R, ekkor Dfn R és fx x x R, c Hf: A : C, X : C, ϱ :., f n x x n n N, x C esetén D fn?, f?.. Tfh: X,. normált tér. f n : A X n N, ekkor f n n k f k. H D P f n, kkor n f n : lim f n f n függvénysor összegfüggvénye, zz x D P f n esetén n f n x lim f k x f k x. Példák: n A : R, X : R,. :., f n x : x n n N, x R, ekkor D P f n,, n n f n x x n x <. x k k k k

21 b A : K, X : K,. :., n K n N, K, f n x : n x n n N, x K. A f n htványsor. Legyen R konvergencisugár, kkor Cuchy-Hdmrd tétel lefordítás : K R D P f n K R. 3. Állítás: x R esetén k sin kx k R. Proof. x, π esetén trivi. Elég < x < π esetén vizsgálni. Ui: hf. Ekkor < n < m, n, m N: m kn m kn sin kx k sin kx k m sin x sin x sin kx k kn m cos k sin x x cos k + x k kn m cos k x m sin x k kn kn+ cos n x m sin x + cos n kn+ m sin x n + k + k m kn+ sin x n + n m + m n sin x cos k x k k x k k cos m + x m k sin kx k { : x π x : < x < π. b Állítás: n k sin kx k + π n N, x R. Proof. Hsonlón *-hoz < x < π esetén n sin kx k N sin kx k + k k n kn sin kx k hol N N, N < n. Mivel sin α α, ezért n sin kx N k kx k + N sin x. k k,

22 De sin α > π α α < π sin α < π α, így n k sin kx k Nx + π N + x N tetsz.. Legyen N : [ [ x] Mi vn, h n x]? Hf Ekkor n sin kx [ ] k π x + [ x + π, k x] + x ui x < [ ] x x [ [ x] + x >, illetve x x]. 4. Konvergenci és függvénytuljdonság: Legyen f n : A X függvénysorozt, és tfh D fn és n N esetén f n piros. Igz-e, hogy limf n is piros? b n N esetén Tf n piros. Igz-e, hogy Tf n értelmes és Tf limtf n? Példák: b Legyen x n [, ] n N rcionális számok sorozt, { : x x,..., x n fx x, n N. : különben Ekkor f n R[, ] n N. Ahtárfüggvény f Dirichlet-függvény, mi nem Riemnn integrálhtó. c 9 EA Egyenletes konvergenci: A, f n : A K n N, B A. Ekkor f n egyenletesen konvergens B-n, h ε >, N N, m, n N : m, n > N, x B : f m x f n x < ε. 5

23 Ekkor x B : f n x konvergens, zz B D fn. b Legyen f : limf n, ekkor 5 ε >, N N, n N : n > N, x B : f n x fx < ε. 6 c Tfh x B : f n x konvergens, zz x B, ε >, N N, n N : n > N : f n x fx < ε 7 Tehát 5-ben N nem függ x-től, 7-bn függ x-től. d Példák: i. f n x : x + n x R, < n N. Világos, hogy x R esetén f n x konvergens és lim f n x x, de x >, < n N : f n x x x n + n > x n > h x >. ii. Tehát 5 nem igz, zz f n nem egyenletesen konvergens. f n x : x n x, n N. Ekkro lim f n x x, illetve f n x fx x n x n n x, n N. De lim n, zz ε >, N N, n N : n > N : n < ε, zz x n < ε x. Tehát 5 igz, zz f n egyenletesen konvergens. e Az f n sorozt egyenletesen konvergens, h 5 B A-r igz. f Tfh f n : A K n N, B A. Ekkor f n egyenletesen konvergens m ε >, N N, n, m N : m n > N, x B : f k x < ε. g Állítás: Weierstrss-kritérium Tfh: n n N, n n < + és n N, x B : f n x n. Ekkor f n egyenletesen konvergens B-n. Proof. A fentieket figyelembe véve m m f k x f k x hol zz kn kn m k, kn ε >, N N, m, n N : m n > N : m f k x < ε. kn kn m K < ε, kn 3

24 h Tfh: n N K n N, b n N K < n N és n + b n < +. k Ekkor + n cos nx + b n sin nx egyenletesen konvergen.. Tétel: Tfh: A K, f n : A K n N és f n C n N, továbbá f n egyenletesen konvergens. Ekkor f : limf n C. Proof. zz A, x A : Tehát n > N esetén ε >, N N, n N : n > N : fx f n x < ε, fx f fx f n x + f n x f n + f n f. fx f < ε + f n x f n. De f n C{}, zz δ >, x A : x < δ: f n x f n < ε, így fx f < 3ε. Tehát f C{} f C. 3. Tétel: f n R[, b] n N, f n egyenletesen konvergens. Ekkor f : limf n R[, b] és ˆ b ˆ b f lim f n. Proof. Legyen I [, b] intervllum, ekkor x, y I, n N: De zz ilyen n-re Ekkor fx fy fx f n x + f n x f n y + f n y fy. ε >, N N, n N : n > N, t [, b] : ft f n t < ε, 8 τ {x,..., x s } [, b] felosztásr fx fy ε + f n x f n y. o I f : sup { fx fy : x, y I} ε + o I f n. ωf, τ s o [xj,x j ]fx j x j j s j ε + o [xj,x j ]f n x j x j εb + ωf n, τ. 4

25 De τ : ωf n, τ < ε, zz ωf, τ < ɛ + b. Azz f R[, b]. Ugynkkor n N esetén ˆ b ˆ b ˆ b f f n f f n, hol 8 lpján n N : n > N: zz ˆ b f ˆ b ˆ b lim f n f n ε b, ˆ b f. Tfh f n R[, b] n N, f n egyenletesen konvergens. Ekkor ˆ b f n b Péld: f n x : x n x, n N. Ekkor n f n x x n x, n N, n hol n n < + konvergens. Tehát lásd Weierstrss-kritérium fn egyenletesen konvergens. zz ˆ / x n dx n ˆ / n n ˆ b f n. x dx [ ln x] / ln ˆ / n x n dx [ x n+ n ln. nn n + ]/ n n n, c Tfh f n egyenletesen konvergens, g : A K, g korlátos. Ekkor hf f n egyenletesen konvergens. d Tfh: + n cos nx + b n sin nx egyenletesen konvergens. fx : + n cos nx + b n sin nx x R. n Ekkor zz ˆ π f ˆ π + ˆ π ˆ π n cos nx dx + b n n ˆ π f, π sin nx dx π, 5

26 illetve < j N esetén: ˆ π ˆ π ˆ π ˆ π fx cos jx dx cos jx dx + n cos nx cos jx dx + b n n π j, ugynis π cos jx dx ; π cos nx cos jx dx miért? hf. Tehát ugynígy j π b k π ˆ π ˆ π fx cos jx dx fx sin kx dx. { : n j π : n j ; π sin nx cos jx dx Megkptuk z f Fourier együtthtóit. Tehát + n cos nx + b n sin nx egyenletesen konvergens trigonometrikus sor megegyezik z összegfüggvény összegfüggvény Fourier-sorávl. e Tfh: f C π és Sf egyenletesen konvergens. Legyen g Fourier-sor összegfüggvénye. Ekkor f és g Fourier-együtthtói megegyeznek, zz: sin nx cos jx dx ˆ π f ˆ π g, π π Kérdés: igz-e, hogy f g? Átfoglmzv: h h C π, ˆ π fx cos nx dx ˆ π gx cos nx dx π π n N. ˆ π h ˆ π hx cos nx dx ˆ π hx sin nx dx π π π n N, kkor igz-e, hogy h? EA 8--. Tétel: A trigonometrikus rendszer teljes C π -re nézve. Azz Tfh h C π és n N esetén Ekkor h. Proof. Minden ˆ π π h gx : ˆ π π hx cos nx dx ˆ π π hx sin nx dx. N α n cos nx + β n sin nx x R, N N n esetén igz, hogy π π h g. Indirekt: Tfh h, zz R: h. Feltehető h.f., hogy és < δ < π : hx > x < δ. Legyen T x : cos δ + cos x x R esetén HF n N : polinom. T n egy trigonometrikus 6

27 Legyen δ < < π esetén n N mellett: ˆ π ˆ ˆ δ h T n h T n + h T n + π De h T n, így π ˆ π ˆ π h T n h T n ˆ δ ˆ δ δ δ h T n δ, zz ˆ δ h T n + δ ˆ δ h T n + h T n + δ ˆ δ ˆ δ h T n δ ˆ π h T n + ˆ h T n δ ˆ δ h T n δ h δ h q n π > h T n ˆ π h T n h T n ˆ π h T n ui: δ h T n δ h, illetve szimmetrii okokból δ h T n δ h. Továbbá π h T n π h q n, hol q : mx { T x : < x < π} <, illetve ugynígy π h T n π h q n. Kellően közel válsztv -t δ-hoz h. δ < δ. Ekkor > δ δ h πq n. De lklms n-re: h πq n < δ, ugynis lim qn. Tehát π π h T n, mi ellentmondás. Tehát, h f c π és Sf egyenletesen konvergens, kkor fx + n cos nx + b n sin nx x R. n b Pl: f C π, fx : x π x π. Ekkor f páros függvény, zz b n n,,..., illetve ˆ π x π dx [ x π 3 π π 3 π 3 π 3 π 3. ] π 7

28 n N : ˆ π n x π cos nx dx π [x π ] π sin nx π n n [ ] x π cos nx π + πn n n πn π 4 n. ˆ π x π sin nx dx ˆ π cos nx dx Mivel n < +, ezért n n n < +. Tehát ld. Weierstrss-kritérium Sf egyenletesen konvergens és Speciálisn x esetén x π π n π π + 4 n c Tfh f C π C. Ekkor n N : ˆ π n cos nx n n fx cos nx dx π [fx ] sin nx π π n n [ f ] x cos nx π + πn n n n πn πn ˆ π ˆ π f x cos nx dx f x dx : c n ˆ π x π. n n π 6. f x sin nx dx ˆ π f x cos nx dx Ugynígy b n c. Tehát h n n n + b n < +, kkor Sf egyenletesen konvergens és fx + n cos nx + b n sin nx x R. n d Hf c-ben elég h f C π és f C. [,π] e Legyen f, g C π. f, g : π f g. Ekkor C π,.,. euklideszi tér. Továbbá ϕ n C π n N és ϕ n ortonormált rendszer ONR. { : n k ϕ n, ϕ k k, n N : n k H f C π, kkor f : π f, f f. Ekkor Állítás: Bessel n N esetén f C π : { } n min f n α k ϕ k : α,..., α n R f k k ˆfkϕ k f n ˆfk, k 8

29 hol ˆfk : f, ϕ k k N. Proof. hf. n f n α k ϕ k f k k ˆfkϕ k + n ˆfk α k. k f ˆfk z f k-dik Fourier-együtthtój, és z Fourier-sor. g Pl: Legyen ϕ k π, π cos x, Sf ˆfkϕk π sin x,..., π cos nx, sin nx,... π egy ONR, zz f C π : ˆfk π, π, πb,..., π n, πb n,... h Bessel-egyenlőtlenség: f C π, n N: f n k ˆfk, zz ˆfk f. k i Riemnn-Lebesgue-lemm: f C π : lim ˆfk. EA Emlékeztető: ϕ n C π n N ONR: ϕ n, ϕ m C π. b Bessel-egyenlőtlenség f C π, ˆf : { : n m : n m m, n N, hol f, g : π fg f, g ˆfn, hol ˆfn : π f ϕ n n N. Ekkor ˆfn f n c Prsevl-egyenlőség H f S n n, zz f ˆfnϕn n és egyenletesen konvergál, kkor ˆfn ˆ π f f. n ˆ π f. 9

30 . Speciálisn: ϕ k π, π cos x, π sin x,..., π cos nx, sin nx,... π x R Ekkor Bessel, Prsevl ˆf π, π, πb,..., π n, πb n,... π + π ˆ π n + b n f. Ekkor Bessel egyenlőtlenség trigonometrikus lkj következő: Komplex ritmetik: + n n ˆ n + b π n f f C π. π Ekkor n N: cos nx einx + e inx sin nx einx e inx Legyen Ekkor n N: Ekkor n ˆ π π b n πi fx cos nx dx ˆ π c n c n n + b n 4 ˆ π ˆ π fxe inx dx + fxe inx dx ˆ π c k : ˆ π fxe ikx dx k Z π c ˆ π f, π fxe inx dx fxe inx dx n c n + c n ib n c n c c n + ib n n n c n n ib n k c k n ekkor trigonometrikus Bessel-egyenlőtlenségből következik k c k ˆ π f. π n + b n +, 3

31 3. Deriválás: Legyen I R vlódi intervllum; f n : I R, f n D n N. Ekkor Tétel: x I: f n x konvergens és J I korlátos intervllumrf n egyenletesen konvergens J-n. Ekkor J I korlátos intervllum esetén f n egyenletesen konvergens J-n és limf n D és limf n limf n. Proof. Legyen J I korlátos intervllum és x J. Ekkor x J, m, n N: f m x f n x f m x f m x + f m x fx + fx f n x De z egyenletes konvergenci mitt f m f n x f m f n x + f m x f n x f m f n ξ x x + f m x f n x J f mξ f nξ + f m x f n x ε >, N N, m, n N : m, n > N : f mt f nt < ε t J és f m x f n x < ε, zz f m x f n x < ε. Tehát f n egyenletsen konvergens J-n. Legyen f : limf n és x I, J I korlátos intervllum, x, x J és n N: φ n t : { fnt f nx t x f nx : J t x : t x Ekkor φ n C ui lim x φ n φ n x., továbbá φ n egyenletesen konvergens J-n hf z előbbi nlógiáján. Ekkor φ : lim φ n esetén φ C. De Ekkor lim x φt : { ft fx t x lim f nx φ φx lim f nx lim t x ft fx t x : J t x : t x f D{x} és f x lim f nx. 4. Állítás: Hf f n D, limf n x x / D{} k f n x : x + n+ x R, n N. sin kx k x R. π x < x < π. Proof. Emlékeztető: H < x < π, m, n N, n < m, kkor m sin kx k n sin x. k Tehát 3

32 zz m kn sin kx k sin δ n, ε >, N N, N < n < m, x [δ, π δ] : zz sin kx k egyenletesen konvergens [δ, π δ]-n. m kn sin kx k < ε, x π π sor egyenletesen konvergen. H tgonként deriváljuk, kkor 4 [δ, π δ]-n, ekkor z előző tétel lpján n n cos nx n x [, π] sin nx n -t kpjuk, mi egyenletesen konvergens x π x π 4 n sin nx n δ x π δ Amiből n sin nx n π x. 5. Rezgőhúr lásd köv elődáson részletesen EA Rezgőhúr: Euler,D Almbert,Bernoulli Legyen U xx q U tt, hol u, t ul, t peremfeltételek ux, fx kezdeti feltételek u t x, gx x l Tfh: ux, t GxHt, zz G x Ht q GxH t. Ekkor λ R: G λg és H λ q H. A krkterisztikus polinom: z λ z λ. eset: λ > : Gx αe λx + βe λx α, β R ux, t α λx e + β e λx Ht 3

33 u, t α + β Ht ul, t α λl e + β e λl Ht Ekkor α + β α e λl + β e λl β α helyettesítéssel Egyrészről vgy α λl e + e λl α ; β G u e λl e λl e λl λl, mi nem igz. b eset: λ : ekkor Gx α + βx. hf u. c eset: λ < : Legyen z : ±i λ. Ekkor λx λx Gx α cos + β sin, hol G α Gl β sin λx. A β nem jó, mert kkor G lenne, tehát sin λx. Ekkor Tehát illetve továbbá λl nπ n N λ nπ l nπ G n x β n sin l x nπ nπ H n t γ n cos ql t + δ n sin ql t u n x, t : G n x H n t. Ekkor N N véges n N u n si kielégíti d.e.-t. Mi vn kezdeti feltételekkel? u n x, fx nπ β n sin l x γ n n N n N t u n x, n N n N β n δ n nπ q l nπ sin l x gx. Tfh ux, t : n u nx, t és u kielégíti d.e.-t, és teljesülnek kezdeti feltételek is, zz u n x, fx ; t u n x, gx Fourier-sorok. n n 33

34 . A Riemnn-integrál kritikáj: ld lim + b b Folytonosság: i. A R, A -mértékű, h ε > : I n intervllumsorozt, hogy A n I n és n I n < ε. Példák: A. A legfeljebb megszámlálhtó, kkor -mértékű. Ui: A {x j : j N } N N és ε >, kkor I j j N : x j I j és I j < ε. j N H I j < ε j+ I j I j < ε. j N j N B. H A n -mértékű n N, kkor n N A n is -mértékű. C. Q -mértékű. ii. f R R, A R, A D f és H D f, kkor lokális oszcilláció Állítás: f C{} o f. Proof. : o A f : sup { fx fy : x, y A D f }. o f : inf {o I f : I nyílt intervllum}. ε >, δ >, x D f, x < δ : fx f < ε, zz I : δ, + δ x, y I D f : fx fy fx f + f fy < ε o I f ε o f ε o f. : ε >, I nyílt intervllum: I és o I f < ε, zz x I D f : fx f < ε. Tehát f C{}. iii. Lemm Borel: Legyen < < b <, [, b] γ Γ, hol Γ, I γ nyílt intervllum γ Γ. Ekkor Γ Γ, Γ véges : [, b] γ Γ I γ. Proof. Indirekt. Tfh [, b] γ Γ I γ nem ilyen. ábr [, c] nem fedhető le Iγ-vl. És így tovább J n kompkt intervllum, hogy J n+ J n n N, J n+ Jn és J n nem fedhető le véges sok I γ -vl n N-re. Itt J : [, b]. De α n J n és α [, b]. Ekkor γ Γ : α I γ, de J n b n n. Ekkor n N : J n I γ, zz J n -et db I γ lefedi. iv. Tfh f R R és x D f esetén fx piros értelmes. Ekkor fx piros mjdnem mindeütt m.m. x D f, h A R: A -mértékű és x D f \A: fx piros. 34

35 3 EA 8--. Tétel: Lebesgue Tfh f : [, b] R, f korlátos. Ekkor f R[, b] f C{x} m.m. x [, b]. Proof. : {x [, b] : f / C{x}} { } x [, b] : o x f > { x [, b] : o x f > } : n + n A n. n Ekkor elegendő bizonytíni, hogy A n -mértékű n N-re. Legyen n N : ε > : τ [, b] felosztás τ {x,..., x s }. ε > ωf, τ s o [xi,x i+ ]f x i+ x i i s i A n x i,x i+ n + o [xi,x i+ ]f x i+ x i s i A n x i,x i+ x i+ x i Legfeljebb véges sok intervllum dódott, jelölje ezeket I j j N. Ekkor ezek z I j intervllumok lefedik z A n hlmzt, kivéve zokt pontjit, melyek z osztási intervllumoknk nem belsejébe esnek, zz A n \τ j N I j, illetve de osztáspontból véges sok vn, így bármilyen kicsi intervllumokkl le tudjuk őket fedni, zz A n τ k Ñ J k, hol Ñ véges, J k intervllum és k Ñ J k < ε. Ekkor A n j N I j k Ñ J k és I j + J k < n + ε + ε n + ε. j N k Ñ : Legyen ε > esetén {x [, b] : f / C{x}} j N I j, hol N N, I j nyílt intervllum j N és j N I j < ε. Továbbá {x [, b] : f C{x}} { } x [, b] : o x f : S Ekkor J x nyílt intervllum, hogy x J x és o Jx f < ε, sőt o Jx f < ε. ábr Ekkor [, b] j N I j J x x S 35

36 Borel-féle lefedési tétel szerint N N, S S véges hlmzok: [, b]. j N I j x S J x Ezek meghtároznk egy τ {x,..., x N } felosztást. Ekkor ωf, t N i o [xi,x i+ ]f x i+ x i N i [x i,x i+ ] I l vlmely l N o [xi,x i+ ]f x i+ x i + i x i,x i+ J x vlmely x-re o [xi,x i+ ]f x i+ x i De o [xi,x i+ ]f M, hol ft M t [, b]. Ekkor Tehát f R[, b]. Pl: ω f, t M j N N I j + ε x i+ x i < M + b ε. fx : i { : x x : < x. Ekkor f C{x} < x m.m. x [, ] és f R[, ], ui. nem korlátos.. Teljesség: f, g R[, b], ϱf, g : b f g. Ekkor R[, b], ϱ félmetrikus tér, de nem teljes, zz Péld: ábr Indirekt: Tfh ϱf n, f m n, m f R[, b] : ϱf n, f n. f R[, b] : ˆ f n f n Ekkor hf < x <, f C{x} : fx x. Ekkor f nem korlátos. ábr Tehát f n f δ > n > N. 3. Lebesgue-Riesz Frigyes < < b < +, f : [, b] R, τ {x,..., x n } [, b] felosztás és i,..., n : f : λ i konstns. xi,x i+ Ekkor f lépcsős függvény. ˆ b n f : λ i x i+ x i. i A. lemm: Tfh: f n lépcsős függvény, f n+ f n n N és lim f n x m.m. x [, b]. Ekkor ˆ b lim f n. 36

37 Proof. Legfeljebb megszámlálhtó sok osztópont vn. Ezek -mértékű hlmzt lkotnk. Legyen ez B. Illeteve A [, b]: A -mértékű és x [, b] \A : lim f n x. Ekkor D : A B is -mértékű. Legyen ε > : D j N I j, hol N N, I j nyílt intervllum j N, j N I j < ε. ábr x [, b] \D lim f n x n x N : f nx x < ε Ekkro J x nyílt intervllum: f nx Jx állndó, zz Ekkor t J x : f nx x < ε k N : k n x : f k t < ε t J x. [, b] j N I j x [,b]\d A Borel-féle lefedési tétel mitt N N, E [, b] \D véges hlmzok, hogy [, b] J x. j N I j Ezek meghtároznk egy felosztást τ : {x,..., x s } [, b]. Legyen N : mx {n x Ekkor ˆ b s f n i ˆ xi+ f n f M n N x i f n M j N s i [x i,x i+ ] I j j N x E J x o [xi,x i+ ]f n x i+ x i + s s I j + ε x i+ x i < m + b ε. i : x E}. o [xi,xi+]f n x i+ x i i [x i,x i+ ] J x B. Lemm: f n f n+ n N és b lim f n < +. Ekkor { } b f n : n N korlátos zz b f n mitt BNK b Legyen Ekkor f L : b f ismert. ˆ b lim f n < + m.m. x [, b]. L : {f : [, b] R : f lépcsős} L : {f : [, b] R : f limf n } B. lemm szerint. Ekkor f limf n L : ˆ b ˆ b f : lim f n 37

38 Ekkor L L és f L : b f b f, hol bloldli L -beli, jobboldli L -beli. és f g h L : L : {f : [, b] R : f g h, g, h L } ˆ b f ˆ b Ekkor L L és f L : b f b f, hol bloldli L -beli, jobboldli L -beli. b c Beláthtó R[, b] L és f R[, b] : f, hol bloldli R[, b]-beli, jobboldli L -beli. d Pl: fx Ekkor f / R[, b], de f L és f. g { : x Q : x / Q ˆ b h. f b x [, ]. 38