Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz"

Átírás

1 Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK című tárgyhoz Összeállította : Kézi Csaba Gábor Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék Debrecen, 011

2 Előszó A hiányos tudással érkező hallgatók számára a Műszaki Kar lehetőséget biztosít a felzárkózásra, a további tanulmányok folytatásához elengedhetetlen ismeretek elsajátítására. A minimálisan elvárt ismeretanyag a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz kapcsolódó segédletekben van összefoglalva, a legfontosabb témakörök a tanórákon is elhangzanak. A tárgy célja, hogy irányt mutasson az ismétlésben, nem pedig az, hogy az általános és a középiskolai tananyagot újra tanítsa. A tárgy órarend szerinti óráin mindenkinek lehetősége van kérdezni és segítséget kérni az ismétléshez. Ez a feladatgyűjtemény részletesen tartalmazza a kijelölt feladatok megoldását, amely a szorgalmas diák számára lehetővé teszi a hiányos ismeretek pótlását. A feladatgyűjteményben a klasszikus matematikai feladatok mellett egyszerű műszaki alkalmazások is helyet kaptak. A feladatok túlnyomó része standard feladat abban az értelemben, hogy a háttérben lévő elméleti tudnivalókon kívül egyéb ötletet nem igényel. Az ezektől eltérő, nehezebb feladatokat -al jelöltük. Az elemi geometria fejezetben szereplő feladatok egy része Nagyné Dr. Kondor Rita és Dr. Szíki Gusztáv Áron Matematikai eszközök mérnöki alkalmazásokban című jegyzetéből lettek átvéve. A példatár gondos átnézéséért köszönetet mondunk Nagy Noémi óraadó oktatónak. Hasznos tanácsaiért köszönötet mondunk Dr. Kocsis Imrének, a Műszaki Alaptárgyi Tanszék vezetőjének, valamint a Tanszék minden oktatójának, akik a személyes beszélgetések során hasznos ötletekkel segítették munkánkat. A szerzők

3 Tartalomjegyzék 1. Hatványozás azonosságai 4. Gyökvonás azonosságai 8 3. Logaritmus azonosságai Algebrai átalakítások, nevezetes azonosságok, algebrai törtek A szumma és a produktum jel használata Binomiális tétel 0 7. Számok normálalakja 1 8. Középértékek 9. Százalékszámítás Függvénytani alapfogalmak Elsőfokú függvények 9 1. Abszolútértékés függvények Másodfokú függvények Négyzetgyök függvény Racionális törtfüggvények Elsőfokú egyenletek Elsőfokú egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek Másodfokú egyenlőtlenségek Polinomosztás Exponenciális függvények 61. Logaritmikus függvények Exponenciális egyenletek Exponenciális egyenlőtlenségek Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek Trigonometrikus függvények Trigonometrikus egyenletek Két pont távolsága, vektorok hossza, szöge Egyenes egyenlete Kör egyenlete Vegyes koordinátageometria feladatok Elemi geometria 89 3

4 4 I. SZÁMOK, MŰVELETEK Hatványozás azonosságai 1. Számítsuk ki az alábbi hatványokat: a) b) 3 3 ( 1 c) 3 ) 3 d) ( 1) ( ) 3 1 e) f) 4 1 g) ( h) 1 3 ) 3 i) ( 1) 1 a) = = 4 b) 3 3 = = 7 ( ) 3 1 c) = 3 3 = 7 3 d) ( 1) = ( 1) ( 1) = 1 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) e) = = 1 8 f) 4 1 = = 1 4 g) = 1 = 1 4 ( h) 1 ) 3 = 1 ( ) ( 1 ) = i) ( 1) 1 = 1 ( 1) = 1 1. A hatványozás azonosságainak felhasználásával végezzük el az alábbi műveleteket: a) x 3 x 5 b) x x 7 x 5 c) x x x 9 d) a a e) a5 a 6 f) x x g) (a ) 3 h) a3 a 4 a i) a a 4 a a) x 3 x 5 = x 3+( 5) = x = 1 x b) x x 7 x 5 = x +7+5 = x 14 c) x x x 9 = x3 x 9 = 1 x 6 d) a a = a 1 = a e) a5 a 6 = a 1 = 1 a f) x x = x = x 0 = 1 g) (a ) 3 = a 3 = a 6 h) a3 a 4 = a3+4 a a i) a a 4 a = a+4 a = a7 a = a5 = a6 a = a5

5 5 3. A hatványozás azonosságainak felhasználásval végezzük el a műveleteket ( ) a bc 3 3 ( ) a 3 b c 1. x y 3 x y 3 ( ) a bc 3 3 ( ) a 3 b c 1 = (a bc 3 ) 3 x y 3 x y 3 (x y 3 ) (a3 b c ) 1 = 3 (x y 3 ) 1 = (a ) 3 b 3 (c 3 ) 3 (x ) 3 (y 3 ) 3 (a3 ) 1 (b ) 1 (c ) 1 (x ) 1 (y 3 ) 1 = a6 b 3 c 9 x 6 y 9 a 3 b c x y 3 = = a6+( 3) b 3+ c 9+ x 6+( ) y = a3 b 5 c 11 9+( 3) x 8 y = a3 b 5 c 11 x 8 6 y 6 4. Egy alkalommal az ötöslottón kihúzott számok mindegyike 3-nak hatványa. Milyen számokat húztak ki a lottón? A kihúzott számok: 3 0 = 1, 3 1 = 3, 3 = 9, 3 3 = 7, 3 4 = Írjuk fel az alábbi kifejezéseket törtmentes alakban: a) 1 b) 1 16 c) 3 8 a) 1 = 1 b) 1 16 = 1 4 = 4 c) 3 8 = = d) 5 6 e) 1 x f) 3 x 3 d) 5 6 = = e) 1 x = x f) 3 x 3 = 3 1 x 3 = 3 x 3 g) a 7 h) i) 1 x a 1 g) a = 1 7 a = 7 a 7 h) 1 = x 100 x100 i) 1 a = 1 a1 = a 6. Írjuk át az alábbi kifejezéseket úgy, hogy ne tartalmazzanak negatív kitevőjű hatványt! a) 3 1 b) 3 c) x 10 ( 1 d) ( 1 e) 3 f) 4 4 ) 1 ) ( g) a ( 1 h) x 100 i) 7 ) 3 ) 1

6 6 a) 3 1 = 1 3 b) 3 = 1 3 = 1 8 c) = x10 x 10 ( ) 1 1 d) = 1 = ( ) 1 e) = 3 = 9 3 f) 4 4 = 1 4 = ( ) 3 ( a 3 a g) = = a ) 3 8 ( ) 1 1 h) = x 100 x 100 i) 7 = 1 7 = Számoljuk ki az alábbi kifejezés pontos értékét! A hatványzozás azonosságait felhasználva , , , ,5 = ( 6 ) 5 3 (5 ),5 (( 5) 3) 3 (( 5) ) 3 = ) ) = ,5 ( 5) 3 ( 3 ( 5) ( 3 = 8. Számoljuk ki az alábbi kifejezés pontos értékét A hatványozás azonosságait felhasználva 0, , = = ( 5) ( 5) 3 = = = 5 0 = 4 1 = 4. 0, , = ( ( )) 10 (5 3 ) 3 ( 10 ) 1 = (5 ) 6 ( 5 9. Számoljuk ki az alábbi kifejezés pontos értékét! ) 4 59 ( 10 ) = ( 5 = = = = ( 1 9 ) 49 ( 1. 1 )8 ) 4 59 ( 10 )1 5 1 =

7 7 A hatványozás azonosságait felhasználva ( 1 9 ) 49 ( 1 = 1 )8 = (( 1)) 3 7 ( ) 1 8 = = = = ( 6) = 7 1 = Egy papírlap 0,1 mm vastag. Tízszer egymás után kettéhajtjuk. Milyen vastag lesz a keletkezett papír? Ha egyszer hajtjuk ketté a papírlapot, akkor -szeresére, ha -szer hajtjuk ketté, akkor 4-szeresére, stb., ha n-szer hajtjuk ketté, akkor n -szeresére változik a papír vastagsága. Így a keresett vastagság: 10 0, 1=10,4 mm=10,4 cm.

8 8. Gyökvonás azonosságai 1. Végezzük el a következő műveleteket! a) 50 b) ( + 8) c) d) 3 e) 3 f) ( 3 8) 7 g) 3 h) 50 i) j) k) l) a) = = 5 = 5 b) ( + 8) = ( ) ( 8) = = = 18 c) = = 36 = 6 d) 3 = 3 = 4 = = e) = = = f) ( 3 8) = 3 8 = 8 4 = g) = 3 3 = 9 = 3 h) 50 = 50 = 100 = 10 i) = ( )( 13 3) = 13 3 = 13 9 = 4 = j) = = 3 7 = 3 k) = = 3 64 = l) 4 = 4 = 4 16 =. Számoljuk ki a következő kifejezések pontos értékét! a) b) ( ) ( ) c) d) ( ) ( )

9 a) ( ) = ( ) ( 7 13) = = (7 + 13)(7 13) = = = = = 6 b) ( ) = ( ) ( 6 11) = = (6 + 11)(6 11) = = = 1 5 = 1 10 = c) ( ) = ( 5 + 1) ( 5 1) = = (5 + 1)(5 1) = = = 10 + = = 14 d) ( ) = ( ) ( 8 15) = = (8 + 15)(8 15) = = = 16 7 = = 3. Milyen hosszú az oldala annak a négyzetnek, melynek a területe 9 cm. A négyzet területe a, így az a = 9 egyenlet megoldását keressük, ami ±3. Oldalhosszúság nyilván nem lehet negatív, így a megoldás a = 3 cm. 4. Számoljuk ki a következő kifejezések pontos értékét 9 a) b) c) d) a) = (5 3 17)(5 + 17) = = 3 8 = b) = ( )(1 19) = = 3 15 = 5 c) = (7 5 17)(7 + 17) = = 5 3 = d) = ( )(10 19) = = 4 81 = 3 5. Vonjuk össze az alábbi kifejezéseket: a) b) c) d) e) f) a) = = = 7

10 10 b) = = = 13 3 c) = = = 5 3 d) = = = 5 4 e) = = = f) = = = Írjuk fel gyökjelek segítségével az alábbi hatványokat és adjuk meg a pontos értéket: a) b) 4 1 c) d) 5 3 e) f) g) h) 4 1 i) 36 3 a) = 3 8 = b) 4 1 = 4 = c) = 5 3 = d) 5 3 = 5 3 = 5 5 = 5 5 = 65 e) = = = = 7 3 = 81 f) = 1 = = = = g) = h) 4 1 = i) 36 3 = = = 1 = 1 = 1 4 = = = = = Írjuk fel törtkitevőjű hatványok segítségével az alábbi gyököket: a) 3 a c) a 3 e) 7 x b) 4 x 3 d) 5 x 11 f) x 9 a) 3 a = a 1 3 b) 4 x 3 = x 3 4 c) a 3 = a 3 d) 5 x 11 = x 11 5 e) 7 x = x 1 7 f) x 9 = x 9

11 11 8. Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a 3 x 3 y x y 3 kifejezést! A hatványozás és gyökvonás azonosságait felhasználva: 3 x 3 y x6 x y 3 = 3 y x y 3 = 6 x 8 y Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a a a a kifejezést! A hatványozás és gyökvonás azonosságait felhasználva: a a a a3 a = a a = a = a 4 4 a 3 = a4 a 3 = 8 a Végezzük el a ( ) műveletet! Elvégezve a szorzást, majd alkalmazva a gyökvonás azonosságait ( ) = = = = = = = = = Bizonyítsuk be, hogy n (n N) vagy egész, vagy irracionális szám. A n nyilván lehet egész. Például 9, 16, stb. Tegyük fel, hogy n nem egész, racionális szám. Ekkor n = p, ahol p és q 1 egész számok. Feltehető, hogy p és q relatív prímek, q azaz a tört már nem egyszerűsíthető. Ekkor p és q legnagyobb közös osztója 1: (p, q) = 1. Másrészt n = p q, és mivel (p, q) = 1, ezért (p, q ) = 1, mert relatív prímek négyzetei is relatív prímek. Mivel n természetes szám, ezért q = 1, ami ellentmondás.

12 1 1. Fejezzük ki a T = π hg 1 képletből g t, majd számítsuk ki a g értékét, ha T =, h = 0, 994. Az egyenletet négyzetre emelve, osztva 4π h-val, majd véve mindkét oldal reciprokát T = 4π h 1 g T 4π h = 1 g 4π h T = g. Behelyettesítve a megadott adatokat g = 9, A relativisztikus mechanika szerint, ha az m 0 nyugalmi tömegű részecske v sebességgel mozog, akkor tömege megváltozik az c m = m 0 c v összefüggésnek megfelelően, ahol c = m s a fény sebessége. a) A megadott képlet elemzésével döntsük el, hogy a részecske tömege nő, csökken, vagy változatlan marad, ha a sebessége növekszik? b) Egy elektron, melynek nyugalmi tömege 9, kg, 1, 10 8 m s gyorsító berendezésből. Mekkora a tömege? sebességgel lép ki egy c) Mekkora sebességgel mozog az a részecske, melynek a tömege a nyugalmi tömegének a 110%-a? a) A jobboldali kifejezésben c és m 0 adott pozitív számok, csak a nevezőben előforduló v változhat. Ha v nő, akkor a tört nevezője csökken, így a kifejezés értéke nő. A részecske sebességének növekedésekor tehát a tömege is nő. b) Behelyettesítés után adódik. m = 9, c) A feltétel szerint m = 1, 1 m 0. Ezt behelyettesítve a megadott összefüggésbe c 1, 1 m 0 = m 0 c v, amiből m 0 -al való egyszerűsítés után 1, 1 = c c v

13 13 adódik. Behelyettesítve a c értékét 1, 1 = v. Beszorozva a nevezővel, majd négyzetre emelve 1, 19 (10 16 v ) = Ebből kifejezve az ismeretlent, v = 1, m s.

14 14 3. Logaritmus azonosságai 1. Adjuk meg a következő kifejezések értékét: a) log 8 b) log 16 c) log 3 9 d) log 3 7 e) log 1 f) log g) log 4 16 h) log i) log 1 16 j) log k) log 3 3 l) log a) log 8 = log 3 = 3 b) log 16 = log 4 = 4 c) log 3 9 = log 3 3 = d) log 3 7 = log = 3 e) log 1 = log 1 = 1 f) log = log = 1 g) log 4 16 = log 4 4 = h) log = log = log = 1 i) log 1 16 = log 4 = 4 j) log = log 1 = 1 k) log 3 3 = log3 3 1 = 1 l) log = log ( ) =. Adjuk meg a következő kifejezések pontos értékét: a) log 8 1 c) 4log4 ( e) 1 log 1 8 ) b) 3 log 3 7 d) log 9 f) log 111 a) log 8 = 8 b) 3 log 3 7 = 7 c) 4 log 4 1 = 1 3. Adjuk meg a 49 log 7 3 d) log 9 = 9 e) ( 1 ) log 1 8 = 8 f) log 111 = 111 kifejezés pontos értékét! A hatványozás és gyökvonás azonosságait alkalmazva 49 log 7 3 = (7 ) log 7 3 = 7 log 7 3 = 7 log 7 3 = 3 = 3.

15 15 4. Adjuk meg a 4 log 16 9 kifejezés pontos értékét! A hatványozás és gyökvonás azonosságait alkalmazva 4 log 16 9 = (16 1 ) log 16 9 = 16 1 log 16 9 = 16 log == 5. Adjuk meg a kifejezés pontos értékét! lg +lg A hatványozás és gyökvonás azonosságait alkalmazva 9 1 = lg +lg 3 = 100 lg 3 = 100 lg 6 = (10 ) lg 6 = 10 lg 6 = 10 lg 6 = 6 = Számítsuk ki az alábbi kifejezések pontos értékét: a) lg + 3 lg 5 + lg 18 lg 3 b) 3 lg 15 + lg + lg 14 lg 1 c) log 5 15 log log 5 35 a) lg +3 lg 5+lg 18 lg 3 = lg 4+lg 5 3 +lg(3 ) lg 3 = lg 4+lg 5 3 +lg 3 +lg lg 3 = lg(4 5 3 ) = lg 1000 = lg 10 3 = 3 b) 3 lg 15+ lg +lg 14 lg 1 = lg lg +lg 14 lg 1 = lg lg 9000 = lg(1000 9) = lg lg 9 = 3 + lg c) log 5 15 log log 5 35 = log 5 = log Számoljuk ki a következő kifejezés pontos értékét: 10 4+lg lg 7. = lg = 10 4+lg lg 7 = lg lg 7 = = = = 530.

16 16 4. Algebrai átalakítások, nevezetes azonosságok, algebrai törtek 1. Végezzük el az alábbi szorzásokat: a) (a 4)(a + ) b) (a + 3)(a ) c) x(x 3 + x 1) d) (x 4)( + x) a) (a 4)(a + ) = a + a 4a 8 = a a 8 b) (a + 3)(a ) = a a + 3a 6 = a + a 6 c) x(x 3 + x 1) = x 4 + x x d) (x 4)( + x) = x + x 8 4x = x x 8. Bontsuk fel a zárójeleket: a) (a ) b) (x + 3) c) (x 3y) a) (a ) = a a + = a 4a + 4 b) (x + 3) = x + 3x + 3 = x + 6x + 9 d) (x + xy) c) (x 3y) = (x) x 3y + (3y) = 4x 1xy + 9y d) (x + xy) = (x ) + x xy + (xy) = x 4 + x 3 y + x y 3. Bontsuk fel a zárójeleket: a) (a + 4) 3 c) (x y) 3 b) (x + y) 3 d) (a b) 3 a) (a + 4) 3 = a 3 + 3a a = a 3 + 1a + 48a + 64 b) (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 c) (x y) 3 = x 3 3x y+3x (y) (y) 3 = x 3 6x y+3x4y 8y 3 = x 3 6x y+1xy 8y 3 d) (a b) 3 = (a ) 3 3(a ) b + 3a b b 3 = a 6 3a 4 b + 3a b b 3 4. Végezzük el az alábbi szorzásokat: a) (a + 3)(a 3) b) (b + )(b ) c) (x y )(x + y ) d) (7 3b)(7 + 3b)

17 17 a) (a + 3)(a 3) = a 9 b) (b + )(b ) = b 4 c) (x y )(x + y ) = x 4 y 4 d) (7 3b)(7 + 3b) = 49 9b 5. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket: a) x y b) a 9 c) 4a 9b d) 16 c 4 e) 5a 5b f) 10x 40y a) x y = (x + y)(x y) b) a 9 = (a + 3)(a 3) c) 4a 9b = (a + 3b)(a 3b) d) 16 c 4 = (4 + c )(4 c ) = (4 + c )( + c)( c) e) 5a 5b = 5(a b ) = 5(a + b)(a b) f) 10x 40y = 10(x 4y ) = 10(x + y)(x y) 6. Egyszerűsítsük az alábbi törteket: a) a b b a b) x 9 x 3 c) a b a b a) a b b a b) x 9 x 3 c) a b a b = (b a) b a = 1 = (x + 3)(x 3) x 3 = (a + b)(a b) a b = x + 3 = a + b d) a a a 1 (b 5) e) 3b 15 f) d 81 5d + 45 d) a a a 1 = a(a 1) (a + 1)(a 1) = a a+1 e) (b 5) 3b 15 f) d 81 5d + 45 = (b 5) 3(b 5) = 3 = (d + 9)(d 9) 5(d + 9) = d 9 5

18 18 5. A szumma és a produktum jel használata 1. Végezzük el a műveleteket: a) b) c) 5 n n=1 5 (n + 1) n=1 4 (k + 4) k=1 d) e) f) 3 k(k + 1) k=1 4 k k=1 3 n + k=1 a) b) c) d) e) f) 5 n = = 15 n=1 5 (n+1) = ( 1+1)+( +1)+( 3+1)+( 4+1)+( 5+1) = = 35 n=1 4 (k + 4) = (1 + 4) + ( + 4) + (3 + 4) + (4 + 4) = = 6 k=1 3 k(k + 1) = 1(1 + 1) + ( + 1) + 3(3 + 1) = = 0 k=1 4 k = = = 30 k=1 3 n + = (1 + ) + ( + ) + (3 + ) = = 0 k=1. Végezzük el a műveleteket: a) b) c) 5 n n=1 5 (n + 1) n=1 4 (k + 4) k=1 d) e) f) 3 k(k + 1) k=1 4 k k=1 3 n + k=1 a) 5 n = = 5! = 10 n=1

19 b) c) d) e) f) 5 (n+1) = ( 1+1) ( +1) ( 3+1) ( 4+1) ( 5+1) = = n=1 4 (k + 4) = (1 + 4)( + 4)(3 + 4)(4 + 4) = = 1680 k=1 3 k(k + 1) = (1 ) ( 3) (3 4) = 6 1 = 144 k=1 4 k = = = 576 k=1 3 n + = (1 + )( + )(3 + ) = = 198 k=1 3. Végezzük el a műveleteket: a) ( 3 ) (k + n) n=1 k=1 a) b) ( 3 ) (k + n) = k=1 n=1 b) ( 3 ) (k + n) n=1 k=1 (k + 1)(k + )(k + 3) = k=1 ( 3 ) (k + n) = k=1 n=1 = (1 + 1)(1 + )(1 + 3) + ( + 1)( + )( + 3) = = 96 [ ] (k + 1) + (k + ) + (k + 3) = (3k + 6) = k=1 = ( )(3 + 6) = 9 1 = 108 k=1 19

20 0 II. SZÁMOK, MŰVELETEK. 6. Binomiális tétel 1. A binomiális tétel felhasználásával végezzük el a következő hatványozásokat: a) (x + 3) 4 b) (3x + 1) 5 c) (x 3) 3 A binomiális tételt alkalmazva a) ( ) 4 (x + 3) 4 = (x) ( 4 3 d) (3x + y) 4 ( ) ( ) 4 4 (x) (x) ) ( ) 4 (x) (x) = x + 16x + 96x x 4 ; 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ) (3x + 1) 5 = (3x ) (3x ) (3x ) (3x ) ( ) ( ) (3x ) (3x ) = x + 90x x x x 10 ; 4 5 c) x 3 7x + 7x 7; d) 81x x 6 y + 16x 4 y + 96x y y 4.

21 1 7. Számok normálalakja. Adjuk meg az alábbi számok normálalakját: a) 9500 c) e) 0, 3 b) d) f) 0, 00 a) 9500 = 9, b) = 3, d) = 1, f) 0, 00 = 10 3 c) = e) 0, 3 =, A Föld tömege g, a Nap tömege g. Hányszorosa a Nap tömege a Föld tömegének? A Nap tömege a Föld tömegének = szerese. 4. Egy korong alakú vörösvértest alapkörének átmérője közelítőleg 7, mm, magassága közelítőleg 10 6 mm. Mekkora a térfogata? A térfogat a V = r πm képlettel számolható ki. A sugár az átmérő fele, azaz 3, Behelyettesítve az adatokat az előbbi képletbe V = (3, ) π 10 6 = 13, π 10 6 = 7, π mm 3. adódik.

22 8. Középértékek 1. Határozzuk meg a 9 és 16 számok számtani és mértani közepét! A két szám számtani közepe : mértani közepük A(9; 16) = = 5 = 1, 5, G(9; 16) = 9 16 = 9 16 = 3 4 = 1.. Egy egyetemi hallgató a félév végén 8 tantárgyat, összesen 7 kreditet teljesített. A vizsgajegyei: db kredites 4-es, 3 db 5 kredites 3, 1 db 1 kredites 4-es, 1 db 1 kredites -es, és 1 db 6 kredites 5-ös. Számoljuk ki a hallgató súlyozott tanulmányi átlagát! Súlyozott (ahol a súlyok a kreditek) számtani közepet kell számolnunk: = 7 30 = , Két pozitív szám összege 10. Határozzuk meg a két számot úgy, hogy szorzatuk maximális legyen. 1. Legyenek a keresett számok x és y. Ekkor a feltétel szerint x + y = 10. Az x és y számok számtani közepe x + y = 10 = 5, mértani közepük xy. Az xy kifejezés értéke pontosan akkor maximális, ha a xy értéke maximális a négyzetgyök függvény szigorú monotonitása miatt. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt 5 = x + y xy, tehát xy 5, és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x = y, azaz x = 10, tehát x = 5. Így a keresett két szám x = 5 és y = 5.. Legyenek a keresett számok x és y. Ekkor a feltétel szerint x+y = 10. Keressük az x-et és az y-t úgy, hogy xy maximális legyen. Az x+y = 10 feltételből y-t kifejezve y = 10 x adódik. Ezt behelyettesítve az xy kifejezésbe azt kapjuk, hogy x(10 x). Felbontva a zárójelet a 10x x kifejezéshez jutunk. Ezt teljes négyzetté alakítva (x 10x) = (x 5) + 5.

23 Ennek akkor a legnagyobb az értéke, ha (x 5) a legkisebb, azaz ha 0, ami csak akkor lehet, ha x = 5. Ebből y = 10 5 = 5. Így a két szám x = 5 és y = 5. 3

24 4 9. Százalékszámítás 1. Mennyi nek a 30%-a? = , 3 = Egy kabát ára 0%-os árleszállítást követően 8000 Ft-ba kerül. Mennyi volt a kabát ára az árleszállítás előtt? Jelöljük a kabát eredeti árát x-szel. Ekkor a feltétel szerint az x 0, x = 8000 egyenlethez jutunk. Elvégezve baloldalon az összevonást Megoldva az egyenletet x = , 8x = Egy termék árát 5000 Ft-ról 6500Ft-ra emelték fel. Hány százalékos volt az áremelkedés? Mivel = 1, 3, 5000 ezért az áremelkedés 30%-os volt. 4. Mekkora összeget kap két év múlva az, aki most köti le forintját fix 1%-os kamatos kamatra? Ha a kamat évenként tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésre álló összeg: ( a n = T 1 + p ) n. 100 Jelen esetben T = 50000, p = 1, n =, így két év múlva a rendelkezésre álló összeg ( ) = (1, 1)

25 5. Mekkora összeget helyezzünk el a bankba évi 6%-os kamatos kamatra, ha 5 év múlva forintot szeretnénk felvenni? Ha a kamat évenként tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésre álló összeg: ( T 1 + p ) n. 100 Jelen esetben T ismeretlen, p = 7, n = 5, a n = Ezt behelyettesítve az előző képletbe ( = T ) adódik. A jobboldalon elvégezve a műveleteket a = T (1, 06) 5 egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt (1, 06) 5 -el osztva T = (1, 06) = , 34 Így Ft-ot kell elhelyeznünk a bankban ahhoz, hogy a kívánt összeghez jussunk. 6. Hány év alatt duplázódik meg az évi 4%-os kamatra betett pénzünk? A T = T ( ) n 100 egyenletet kell megoldanunk n-re. Mindkét oldalt T -vel egyszerűsítve ( = ) n. 100 Az egyenlet jobboldalán elvégezve a műveleteket az = (1, 04) n egyenlethez jutunk. Vegyük mindkét oldalnak a 10-es alapú logaritmusát: Felhasználva a logaritmus aonosságait Mindkét oldalt végigosztva lg 1, 04-el, lg = lg(1, 04) n. lg = n lg 1, 04. n = lg lg 1, 04 17, 67, tehát 18 év elteltével duplázódik meg a tőkénk a megadott feltételek mellett. 5

26 6 III. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 1. (hatványfüggvények) 10. Függvénytani alapfogalmak 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? a) Minden emberhez hozzárendeljük a magasságát. b) Minden természtes számhoz hozzárendeljük a nála 1-el nagyobb természetes számot. c) Minden számhoz hozzárendeljük a négyzetét. d) Minden osztályzathoz hozzárendeljük azokat a diákokat, akiknek az év végi matematika jegye az adott osztályzat. (Feltételezzük, hogy az osztálynak legalább 6 tanulója van.) e) Minden valós számhoz hozzárendeljük a felét. A d) nem függvény, mert egy osztályzat több diákhoz is tartozhat. egyértelmű, így azok függvények. A többi leképzés. Határozzuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és értékkészletét! Értelmezési tartomány: x [4, 13[, értékkészlet y [3, 8[. 3. Adott az ABC háromszög AB és AC oldala, AB = 10 cm, AC = 6 cm. A két oldal által bezárt ϕ szöghöz rendeljük hozzá a háromszög területét. Mi lesz az így kapott függvény értelmezési tartománya és értékkészlete? Egy háromszög területe a háromszög két oldalának és az általuk bezárt szög szinuszának szorzatának a fele. Így a keresett függvény: t(ϕ) = 10 6 sin ϕ = 30 sin ϕ. Így az értelmezési tartománya 0 < x < 180, értékkészlete 0 < y < 30.

27 4. Legyen f(x) = x + 3x 4. Számoljuk ki az valós számok! Mivel továbbá ezért f(b) f(a) b a = b a + 3b 3a b a f(b) f(a) b a f(b) = b + 3b 4, f(a) = a + 3a 4, 7 hányadost, ha a és b különböző = (b + 3b 4) (a + 3a 4) = b + 3b 4 a 3a + 4 = b a b a (b a)(b + a) + 3(b a) (b a)(b + a + 3) = = b a b a = a + b Legyen f(x) = x x. Számoljuk ki az f(a + 3) f(a 3) értéket, ha a R tetszőleges. Mivel továbbá ezért f(a + 3) = (a + 3) (a + 3) = a + 6 (a + 6a + 9) = = a + 6 a 6a 9 = a 4a 3, f(a 3) = (a 3) (a 3) = a 6 (a 6a + 9) = = a 6 a + 6a 9 = a + 8a 15, f(a + 3) f(a 3) = a 4a 3 ( a + 8a 15) = = a 4a 3 + a 8a + 15 = 1a Legyen f(x) = 4 x. Számoljuk ki az f(b ) f(b + ) értéket, ha b R tetszőleges. Mivel továbbá ezért f(b ) = 4 (b ) = 4 (b 4b + 4) = = 4 b + 4b 4 = b + 4b = b(b 4), f(b + ) = 4 (b + ) = 4 (b + 4b + 4) = = 4 b 4b 4 = b 4b = b(b + 4), f(b ) f(b + ) = b + 4b ( b 4b) = b + 4b + b + 4b = 8b.

28 8 7. Igazak-e az alábbi állítások? a) Van olyan, a teljes valós számok halmazán értelmezett szigorúan monoton növekvő függvény, amely páros. b) Van olyan, a teljes valós számok halmazán értelmezett szigorúan monoton növekvő függvény, amely páratlan. c) Létezik a teljes valós számok halmazán értelmezett pozitív értékű páros függvény. d) Létezik a teljes valós számok halmazán értelmezett pozitív értékű páratlan függvény. e) Van olyan függvény, mely páros és páratlan is. a) Hamis. b) Igaz, például f(x) = x. c) Igaz, például f(x) = x + 1. d) Hamis. e) Igaz, például az azonosan nulla függvény. 8. Lehet-e az alábbi görbe egy szám-szám függvény képe? Nem lehet szám-szám függvény képe, mert egy x értékhez több y is tartozik. 9. Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény, melyre f(x) + f(1 x) = 1 x. Ha x = 0, akkor azaz f(0) + f(1) = 1. Ha x = 1, akkor f(0) + f(1 0) = 1 0, f(1) + f(1 1) = 1 1, azaz f(1) + f(0) = 0. Így ellentmondáshoz jutottunk.

29 9 11. Elsőfokú függvények 1. Egy úszómedencét éjjel töltenek meg vízzel. Este 9 és 11 óra között az úszómedence üres. 11 órától reggel 6 óráig óránként 800 hektoliter vizet engednek egyenletes sebességgel a medencébe. 6 órakor elzárják a csapokat. Ábrázoljuk a medencében lévő víz mennyiségét az este 9 és reggel 6 óra közötti időszakban!. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x + 4 függvényt! A függvény f(x) = ax + b alakú, ezért a képe egy egyenes. Egy egyenest két pontja egyértelműen meghatároz. Például határozzuk meg a tengelyekkel való metszéspontokat! Ha x = 0, akkor a helyettesítési érték y = 4. A függvény zérushelye, azaz az f(x) = 0 egyenlet megoldása x =. Így azt kaptuk, hogy a függvény az x tengelyt -nél, az y-t 4-nél metszi. Ez alapján fel tudjuk rajzolni a képét: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) R monotonitás: szigorúan monoton növekvő szélsőérték: nincs zérushely: x = korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható

30 30 3. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x 1 x 1 függvényt! Mivel x 1 = (x 1)(x + 1), ezért x 1 = x + 1, ha x 1. Így a függvény x = 1-nél x 1 nincs értelmezve, egyébként pedig a képe egy egyenes. Ez az egyenes az x-tengelyt 1-nél, az y-t 1-nél metszi. Így fel tudjuk rajzolni a képét: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R \ {1} értékkészlet: f(x) R \ {} monotonitás: szigorúan monoton növekvő szélsőérték: nincs zérushely: x = 1 korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 4. Mi annak az elsőfokú függvénynek a hozzárendelési szabálya, mely áthalad az A(1, ) és B(, 4) ponton? Elsőfokú függvény általános alakja f(x) = ax + b. Elsőfokú függvény képe egyenes. Mivel az A(1, ) pont illeszkedik az egyenesre, ezért behelyettesítve a koordinátákat a = a + b egyenlethez jutunk. Ugyanakkor a B(, 4) pont is illeszkedik az egyenesre, így 4 = a + b. A második egyenletből kivonva az elsőt a = adódik, amit visszahelyettesítve például az első egyenletbe b = 0-hoz jutunk. Így a keresett függvény f(x) = x. 5. Az f(x) = ax + b függvényre f( ) = 5, f(3) = 5. Határozzuk meg az a és b értékeket, majd ábrázoljuk és elemezzük a kapott függvényt! A függvény pontbeli helyettesítési értéke 5, ezért 5 = a + b, továbbá a 3 pontbeli helyettesítési érték 5, ezért 5 = 3a+b. A kapott egyenletrendszert megoldva megkapjuk az a és b értékeket. A két egyenletet kivonva egymásból 10 = 5a adódik, amiből a =. Ezt visszahelyettesítve például az első egyenletbe azt kapjuk, hogy b = 1. Tehát a keresett

31 függvény f(x) = x + 1. Ez a függvény 1/-nél metszi az x-tengelyt, és 1-nél metszi az y tengelyt. Ez alapján fel tudjuk rajzolni a függvényt: 31 A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) R monotonitás: szigorúan monoton csökkenő szélsőérték: nincs zérushely: x = 1 korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 6. Rajta van-e az A(, 1) pont az f(x) = x 3 függvény grafikonján? A pont koordinátáit behelyettesítve a 1 = 3, azaz 1 = 1 egyenlethez jutunk, ami ellentmondás, így az adott pont nem illeszkedik a függvény grafikonjára. 7. Egy országút mentén fekvő A és B városok távolsága 00 km. Reggel 8 órakor elindul A-ból B-be egy kerékpáros v k = 15 km/h átlagsebességgel, 9 órakor B-ből A felé egy versenykerékpáros v v = 35 km/h átlagsebességgel. a) Ábrázoljuk a kerékpárosok által megtett utat az idő függvényében közös koordinátarendszerben! b) Mikor találkoznak? c) Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha a kerékpáros A-ból nem a B város felé, hanem ellentétes irányba indul el! a) A keresett út-idő grafikon:

32 3 b) Ha a kerékpáros t órán át közlekedik, akkor a versenykerékpáros t 1 óráig közlekedik. Ezalatt a kerékpáros 15t utat, a versenykerékpáros 35(t 1) utat tesz meg (s = v t). Együttesen 00 km utat tesznek meg, így felírhatjuk a 15t + 35(t 1) = 00 egyenletet, melynek megoldása t = 4, 7. Így azt kaptuk, hogy a kerékpáros indulása után 4, 7 órával, azaz 1 óra 4 perckor találkoznak. c) A versenykerékpáros 00 km-el több utat tesz meg, ezért a 15t + 00 = 35(t 1) egyenletet írhatjuk föl. Ennek megoldása t = 11, 75, vagyis 19 óra 45 perckor találkoznak. 8. Ábrázoljuk az függvényt! f(x) = { x, ha x 0 x, ha x > 0

33 33 1. Abszolútértékés függvények 1. Ábrázoljuk függvénytranszformációs lépések segítségével az f(x) = x függvényt, majd jellemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) monotonitás: ha x 0, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 0, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely x = 0, minimum érték f(0) = zérushely: x 1 =, x = korlátosság: alulról korlátos paritás: páros periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható. Ábrázoljuk függvénytranszformációs lépések segítségével az f(x) = x 3 függvényt, majd jellemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt:

34 34 értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) monotonitás: ha x 3, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 3, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely x = 3, minimum érték f( 3) = zérushely: x 1 =, x = 4 korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 3. Ábrázoljuk függvénytranszformációs lépések segítségével az f(x) = 3 x+ +3 függvényt, majd jellemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 3 monotonitás: ha x, akkor szigorúan monoton növekvő; ha x, akkor szigorúan monoton csökkenő szélsőérték: maximuma van, maximumhely x =, maximum érték f( ) = 3 zérushely: x 1 = 3, x = 1 korlátosság: felülről korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 4. Ábrázoljuk az f(x) = x + x függvényt! Ha x 0, akkor x = x, így ilyenkor f(x) = x + x = x. Ha x < 0, akkor x = x, így ilyenkor f(x) = 0. Tehát a függvény képe:

35 35 5. Ábrázoljuk az f(x) = x + x 1 függvényt! Ha x 0, akkor x = x, így ilyenkor f(x) = x + x 1 = 3x 1. Ha x < 0, akkor x = x, így ilyenkor f(x) = x 1. Tehát a függvény képe: 6. Ábrázoljuk az f(x) = x x 3 függvényt! Mivel az abszolútérték definíciója szerint { (x + 3) = x 3, ha x < 3 x + 3 = x + 3, ha x 3, továbbá x 3 = { (x 3) = x + 3, ha x < 3 x 3, ha x 3, ezért három esetet kell megkülönböztetnünk. Ha x < 3, akkor f(x) = x 3 x + 3 = x. Ha 3 x < 3, akkor f(x) = x + 3 x + 3 = 6.

36 36 Ha x 3, akkor Így a függvény képe: f(x) = x x 3 = x. 7. Ábrázoljuk az f(x) = x + 1 x 4 függvényt! Mivel az abszolútérték definíciója szerint { (x + 1) = x 1, ha x < 1 x + 1 = x + 1, ha x 1, továbbá x 4 = ezért három esetet kell megkülönböztetnünk. Ha x < 1, akkor Ha 1 x < 4, akkor { (x 4) = x + 4, ha x < 4 x 4, ha x 4, f(x) = x 1 + x 4 = 5 = 5. f(x) = x x 4 = x 3. Ha x 4, akkor Így a függvény képe: f(x) = x + 1 x + 4 = 5 = 5.

37 Másodfokú függvények 1. Ábrázoljuk az f(x) = x függvényt, majd jellemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 0 monotonitás: ha x 0, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 0, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely x = 5, minimum érték f(5) = zérushely: x = 0 korlátosság: alulról korlátos paritás: páros periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható. Ábrázoljuk az f(x) = x függvényt, majd jelemezzük azt! A függvény képe: A kép alaján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 0 monotonitás: ha x 0, akkor szigorúan monoton növekvő; ha x 0, akkor szigorúan monoton csökkenő

38 38 szélsőérték: maximuma van, maximumhely x = 0, maximum érték f(0) = 0 zérushely: x = 0 korlátosság: felülről korlátos paritás: páros periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 3. Ábrázoljuk függvénytranszformációs lépések segítségével az f(x) = (x 5) függvényt, majd jelemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) monotonitás: ha x 5, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 5, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely x = 5, minimum érték f(5) = zérushely: x 1 = 4, x = 6 korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 4. Egyenletesen gyorsuló személygépkocsi álló helyzetből indulva 1 perc alatt 100 km/h sebességet ér el. a) Mennyi utat tesz meg ezalatt az idő alatt? b) Ábrázoljuk a jármű által megtett utat az idő függvényében! c) Mennyi idő alatt teszi meg az autó a gyorsulási útszakasz felét? a) A gépkocsi gyorsulása a = v t km 100 h = 1 min = 5 3 km min.

39 39 Az 1 perc alatt megtett út b) Az út-idő grafikon az s = a t = 5 6 km. s = 5 6 t. parabola: c) Az 5 6 t = 5 1 egyeneletből kapjuk a keresett eredményt. Ebből t = 1 perc, ami körülbelül 4,4 másodperc. 5. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x + 4x + 6 függvényt! Első lépésben teljes négyzetté alakítunk: A függvény képe: f(x) = x + 4x + 6 = (x + ) = (x + ) + A kép alapján jellemezhetjük a függvényt:

40 40 értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) monotonitás: ha x, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely: x =, minimum érték f( ) = zérushely: nincs korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 6. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x 4x 1 függvényt! Első lépésben teljes négyzetté alakítunk: f(x) = x 4x 1 = (x x) 1 = [(x 1) 1] 1 = (x 1) 3 A függvény képe: A kép alaján elemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 3 monotonitás: ha x 1, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 1, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimum hely: x = 1, minimum érték f(1) = 3 zérushely: A zérushelyet a x 4x 1 = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: x 1, = 4 ± korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható = 4 ± 4 4 = ± 6.

41 41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük a f(x) = x + 8x + 3 függvényt! Első lépésben teljes négyzetté alakítunk: f(x) = x + 8x + 3 = (x 4x) + 3 = [(x ) 4] + 3 = (x ) 5 A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 5 monotonitás: ha x, akkor szigorúan monoton növekvő; ha x, akkor szigorúan monoton csökkenő szélsőérték: maximuma van, maximumhely: x =, minimum érték f() = 5 zérushely: nincs korlátosság: felülről korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 8. Adott az f(x) = x +3x+5 és a g(x) = x +x+9 függvény. Oldjuk meg az f(x) g(x) egyenlőtlenséget! Az egyenlőtlenséget átrendezve az f(x) g(x) 0 egyenlőtlenséget kell megoldanunk. Az f(x) g(x) = 3x + x 4 függvény zérushelyei x 1 = 4 3, x = 1. A függvény képe

42 4 Az egyenlőtlenség megoldása 4 3 x km/h sebességgel haladó gépkocsi fél perc alatt 100 km/h-ra gyorsul fel. Mekkora utat tesz meg ez idő alatt? Ábrázoljuk a jármű által megtett utat az idő függvényében! A gyorsulás A fél perc alatt megtett út s = v 0 t + a t = 40 Koordinátarendszerben az a = v t = = 700 km/h ( ) 1 = = 7 1 km s(t) = 3 t + t függvényt kell ábrázolnunk. Ezt teljes négyzetté alakítva ( s(t) = t + 1 ) 1 3 9, így a függvény képe 10. Egy kavicsot 0 m/s kezdősebességgel függőleges irányban felfelé felhajítunk. Állpítsuk meg, hogyan függ a kavics föld felszínétől mért magassága az időtől, s ábrázoljuk a távolságot az idő függvényében! A közegellenállás elhanyagolható. A kavics földfelszíntől mért távolságát a h(t) = v 0 t g t = 0t 5t függvény írja le. Ezt teljes négyzetté alakítva h(t) = 5(t + 4t) = 5[(t + ) 4] = 5(t + ) + 0..

43 43 Ezt ábrázolva: A pálya legmagasabb pontja a t = s időhöz tartozó 0m. 11. Határozzuk meg az f(x) = x 7x + 1 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét és értékét! A függvény zérushelyeit az x 7x + 1 = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x 1, = 7 ± = 7 ± 1, így x 1 = 4, x = 3. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója pozitív, ezért a függvénynek minimuma van. A minimumhely a zérushelyek számtani közepe, azaz 4+3 = 3, 5. A minimum érték f(3, 5) = (3, 5) 7 3, = 0, Határozzuk meg az f(x) = x + 6x + 5 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét és értékét! A függvény zérushelyeit az x 6x + 5 = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x 1, = 6 ± 36 0 = 6 ± 4, így x 1 = 5, x = 1. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója pozitív, ezért a függvénynek minimuma van. A minimumhely a zérushelyek számtani közepe, azaz 5+1 = 3. A minimum érték f(3) = = Határozzuk meg az f(x) = x + 4x 3 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét és értékét! A függvény zérushelyeit az x + 4x 3 = 0

44 44 egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x 1, = 4 ± 16 1 = 4 ±, így x 1 = 1, x = 3. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója negatív, ezért a függvénynek maximuma van. A maximumhely a zérushelyek számtani közepe, azaz 1+3 =. A maximum érték f() = = Határozzuk meg az f(x) = x +1x 16 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét és értékét! A függvény zérushelyeit az x + 1x 16 = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x 1, = 1 ± = 1 ± 4, 4 így x 1 =, x = 4. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója negatív, ezért a függvénynek maximuma van. A maximum hely a zérushelyek számtani közepe, azaz +4 = 3. A maximum érték f(3) = =. 15. A folyóparton 40 m hosszú kerítéssel téglalap alakú kertet kerítünk be három oldalról. A kert parttal párhuzamos oldalának hosszát jeölje x, a partra merőleges oldalak hosszát jelölje y. Hogyan válaszuk meg x és y értékét ahhoz, hogy a kert területe a lehető legnagyobb legyen? A kert kerülete x+y = 40, amiből x = 40 y. A terület t = xy = (40 y)y = 40y y. Ezt teljes négyzetté alakítva y + 40y = (y 0y) = [(y 10) 100] = (y 10) + 00, ami akkor a legnagyobb, ha y 10 = 0, azaz ha y = 10. Ekkor x = 40 y = 40 0 = 0. Tehát x = 0 m, és y = 10 m esetén lesz a legnagyobb a kert területe.

45 Négyzetgyök függvény 1. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x 4 1 függvényt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x 4 értékkészlet: f(x) 1 monotonitás: szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely: x = 4, minimum érték f(4) = 1 zérushely: x = 5 korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x + 3 függvényt! A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x értékkészlet: f(x) 3 monotonitás: szigorúan monoton csökkenő

46 46 szélsőérték: maximuma van, maximum hely: x =, maximum érték f( ) = 3 zérushely: nincs korlátosság: felülről korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 3. Az álló helyzetből egyenletes gyorsulással induló vonat 0 s alatt 00 m utat tesz meg. Ábrázoljuk a menetidőt a megtett út függvényében! Az s = a t összefüggésből a = s 00 így a = t = 1 m. A menetidő az út függvényében 400 s s t = a = s. A függvény képe:

47 Racionális törtfüggvények 1. Egy medencébe 5 azonos keresztmetszetű cső vezet. Ha egy csövön keresztül engedjük be a vizet, akkor a medence 4 óra alatt telik meg. a) Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha, 3, 4, illetve 5 csövön keresztül engedjük a vizet? b) Milyen kapcsolat van a megnyitott csövek száma és a feltöltéshez szükséges idő között? c) Ábrázoljuk a töltési időt a megnyitott csövek számának függvényében! a) Általában x cső megtöltéséhez 4 x órára van szükség. b) A megnyitott csövek száma és a feltöltéshez szükséges idő között fordított arányosság van. c) A keresett függvény:. Két város távolsága 100 km. Egy autó legkevesebb 40 km/h, és legfeljebb 100 km/h átlagsebességgel teheti meg az utat. Ábrázoljuk az út megtételéhez szüksége időt az átlagsebesség függvényében! Az út megtételéhez szükséges idő és az ehhez szükséges átlagos sebesség fordítottan arányos. Az ábrázolandó függvény t = 100, 40 v 100 : v

48 48 3. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = 1 x 4 függvényt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R \ {4} értékkészlet: f(x) R \ {0} monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 4 és szigorúan monoton csökkenő, ha x > 4 szélsőérték: nincs zérushely: nincs korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 4. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = 1 x+3 függvényt! A függvény képe:

49 49 A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R \ { 3} értékkészlet: f(x) R \ { } monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 3 és szigorúan monoton csökkenő, ha x > 3 szélsőérték: nincs zérushely: az 1 x + 3 = 0 egyenlet megoldása x =, 5. korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 5. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x+1 x+ függvényt! Az x + 1 x + = x + 1 x + = 1 1 x + = 1 x átalakítás után függvénytranszformációs lépésekkel ábrázolhatjuk a függvényt: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt:

50 50 értelmezési tartomány: x R \ { } értékkészlet: f(x) R \ {1} monotonitás: szigorúan monoton növekvő, ha x < és szigorúan monoton növekvő, ha x > szélsőérték: nincs zérushely: a 1 x = 0 egyenlet megoldása x = 1. korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 6. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x x függvényt! Ha x < 0, akkor x = x, így f(x) = 1 x. Ha x > 0, akkor x = x, így ekkor f(x) = 1 x. Így a függvény képe: A kép alaján elemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R \ {0} értékkészlet: f(x) R \ {0} monotonitás: ha x < 0, akkor szigorúan monoton növekvő; ha x > 0, akkor szigorúan monoton csökkenő szélsőérték: nincs zérushely: nincs korlátosság: nem korlátos paritás: páros periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható

51 51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. (algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek) 16. Elsőfokú egyenletek 1. Oldjuk meg a (x ) 3(x + 1) = 3( x + 3) (x ) + 3 egyenletet a valós számok halmazán! A feladat megoldását a zárójelek felbontásával kezdjük: x 4 6x 3 = 6x + 9 x Összevonjuk a megfelelő oldalon szereplő egynemű kifejezéseket: Mindkét oldalhoz adjunk hozzá 7x-et: Mindkét oldalhoz adjunk hozzá 7-et: amiből 3-al osztva. Oldjuk meg az x 6x 3 17 egyenletet a valós számok halmazán! 4x 7 = 7x x 7 = 14. 3x = 1, x = 7. = 7 14x x 3 4 Első lépésben beszorzunk a közös nevezővel, ami jelen esetben 68: Elvégezzük a zárójel felbontását: Az egynemű tagok összevonása után a 68x (4x 1) = 14 8x + 170x x 4x + 1 = 14 8x + 170x x + 1 = 14x 37 egyenlethez jutunk. Kivonva 44x-et, és hozzáadva 37-et mindkét oldalhoz az 49 = 98x egyenletet kapjuk. Mindkét oldalt elosztva 98-al, a megoldáshoz jutunk: x = = 1.

52 5 3. Oldjuk meg a 7 x x 3 = 3 x 9 egyenletet a valós számok halmazán! Az x 9 kifejezés szorzat alakban írható: (x 3)(x + 3), így x 3 és x 3. Ebből láthatjuk, hogy a közös nevező (x 3)(x+3), amivel beszorozva az egyenlet mindkét oldalát adódik. Felbontva a zárójeleket a 7(x 3) + 5(x + 3) = 3 7x 1 + 5x + 15 = 3 egyenelethez jutunk. Elvégezve az összevonásokat: 1x 6 = 3. Mindkét oldalhoz 6-ot hozzáadva 1x = 9. Elosztva mindkét oldalt 1-vel, majd egyszerűsítve x = 3 4.

53 Elsőfokú egyenlőtlenségek 1. Oldjuk meg a 3x x egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! < x Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk be a közös nevezővel, 105-el: Felbontva a zárójeleket 15(3x + 5) + 1(10 3x) < 35(x + 7). 45x x < 70x Összevonva a megfelelő oldalon szereplő egynemű kifejezéseket: 18x + 85 < 70x hozzáadva mindkét oldalhoz 18x-et, majd kivonva 45-öt, a 40 < 88x egyenlőtlenséghez jutunk. Mindkét oldalt elosztjuk 88-cal: x > Oldjuk meg a valós számok halmazán a x + 3 3x + 4 < 5 egyenlőtlenséget! 3x + 4 0, így x 4. Rendezzük nullára az egyenlőtlenséget: 3 x + 3 3x < 0. Hozzuk közös nevezőre! (Nem szorozhatunk be vele, mert nem tudjuk az előjelét.) x + 3 5(3x + 4) < 0. 3x + 4 Bontsuk fel a számlálóban a zárójelet: x x 0 < 0. 3x + 4 Elvégezve az összevonást 13x 17 < 0. 3x + 4 Egy törtet kaptunk, aminek negavítnak kell lenni. Ez csak úgy lehet, hogy ha a számláló és a nevező különböző előjelű.

54 54 Első eset: a számláló pozitív és a nevező negatív, azaz a (I.) 13x 17 > 0 és 3x + 4 < 0. egyenlőtlenségeknek egyszerre kell fennállniuk. Az első egyenlőtlenség megoldása: x < 17 ( = 51 ), a második egyenlőtlenség megoldása x < 4 3 ( = 5 ). 39 Így a fenti (I.) egyenlőtlenség-rendszer megoldása x < 4 3. Második eset: a számláló negatív és a nevező pozizív, azaz a (II.) 13x 17 < 0 és 3x + 4 > 0 egyenlőtlenségeknek egyszerre kell fennállniuk. Az első egyenlőtlenség megoldása x > 17 13, a második egyenlőtlenség megoldása x > 4 3. Így a fenti (II.) egyenlőtlenség-rendszer megoldása: x > 17. A feladatban kitűzött egyenlőtlenség megoldása az (I.) és (II.) egyenlőtlenség-rendszerek megoldáshalmazainak uniója: 13 { M = x R x < 4 } vagy x > Oldjuk meg a természetes számok halmazán a n + 5 3n + 4 n + 3 3n + 1 < 0 egyenlőtlenséget! Beszorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát (3n + 4)(3n + 1)-el. Mivel ez a kifejezés pozitív, ezért az egyenlőtlenség iránya nem változik meg a szorzás során: Felbontva a zárójeleket: Felbontjuk a még meglévő zárójelet: Összevonva az egynemű kifejezéseket: (n + 5)(3n + 1) (n + 3)(3n + 4) < 0. 6n + 17n + 5 (6n + 17n + 1) < 0. 6n + 17n + 5 6n 17n 1 < 0. 7 < 0,

55 55 ami azonosság, így az egyenlőtlenségnek minden természetes szám megoldása. 4. Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amely eleget tesz a n n + 3 < 1, (n N) 100 egyenlőtlenségnek! Az abszolútértéken belül közös nevezőre hozva n (n + 3) n + 3 < Elvégezve a zárójelfelbontást és az összevonást: 6 n + 3 < Egy tört abszolútértékét úgy kapjuk, hogy a számlálónak és a nevezőnek is vesszük az abszolútértékét: 6 n + 3 < Beszorozzuk mindkét oldalt 100(n + 3)-al. Mivel ez a kifejezés pozitív, ezért a beszorzás során a reláció iránya nem változik meg: 600 < n + 3. Mindkét oldalból kivonunk 3-at: 597 < n. Ennek az egyenlőtlenségnek eleget tevő legkisebb pozitív egész szám: n = 598.

56 Másodfokú egyenletek 1. Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! x + 5x + 6 = 0 Az ax + bx + c = 0 (a 0) másodfokú egyenlet megoldóképlete: x 1, = b ± b 4ac. a Jelen esetben a = 1, b = 5, c = 6. Így a megoldások Tehát x 1 =, x = 3. x 1, = 5 ± = 5 ± 1.. Oldjuk meg az x 5 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Az egyenlet olyan hiányos mádofokú, melynél az elsőfokú tag hiányzik. mindkét oldalhoz 5-öt: x = 5, amiből x = ±5. Adjunk hozzá (Egy másik megoldási mód: (x 5)(x + 5) = 0, szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.) 3. Oldjuk meg az x 5x = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Az egyenlet olyan másodfokú egyenlet, melynél a konstans tag hiányzik. Emeljük ki az egyenlet bal oldalán az x-et. Ekkor x(x 5) = 0. Egy szorzatot kaptunk, ami 0. Ez csak úgy lehet, ha valamelyik tényező 0. Így x = 0 vagy x 5 = 0, amiből x = 5.

57 4. Oldjuk meg a pozitív számok halmazán a egyenletet! x x 3 = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint x 1, = 1 ± ( 1) 4 ( 3) = 1 ± 5 4 4, amiből az egyik megoldás x 1 = 3, a másik x = 1. Mivel a pozitív számok halmazán keressük a megoldást, ezért a 1 nem megoldás, így az egyenlet egyetlen gyöke Határozzuk meg az egyenlet valós megoldásait! 3x 7 x + 5 = x 3 x + Először megállapítjuk, mikor nincs értelmezve a bal és jobb oldalon álló kifejezés: x és x 5. Az egyenlet mindkét oldalát szorzzuk be (x + 5)(x + )-vel: Elvégezve a szorzást (3x 7)(x + ) = (x 3)(x + 5). 3x + 6x 7x 14 = x 3x + 5x 15. Összevonva az egyenlet megfelelő oldalain szereplő egynemű tagokat: 3x x 14 = x + x 15. Rendezzük 0-ra az egyenletet: x 3x + 1 = 0. Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét: x 1, = 3 ± ( 3) 4 = 3 ± 1 4 4, így x 1 = 1 és x = 1, melyek valós megoldásai az egyenletnek. 57

58 Másodfokú egyenlőtlenségek 1. Oldjuk meg az a) x x 6 < 0 b) x x 6 0 c) x x 6 > 0 d) x x 6 0 egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! Először megkeressük az f(x) = x x 6 függvény zérushelyeit. Ehhez meg kell oldanunk az x x 6 = 0 egyenletet. A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint x 1, = 1 ± ( 1) 4 ( 6) = 1 ± 5. Ebből x 1 = 3, x = adódik. Ennek segítségével felvázolhatjuk a másodfokú függvény grafikonját: Az f függvény grafikonjáról a következők leolvashatók: - Ha x<-, akkor a függvényértékek pozitívak, - Ha x=-, akkor a függvényérték 0, - Ha -<x<3, akkor a függvényértékek negatívak, - Ha x=3, akkor a függvényérték 0, - Ha x>3, akkor a függvényértékek pozitívak. A fentieket figyelembe véve a megoldások: a) < x < 3 (ezt így is írhatjuk: x ], 3[) b) x 3 (ezt így is írhatjuk: x [, 3]) c) x < vagy x > 3 (ezt így is írhatjuk: x ], [ ]3, + [) d) x vagy x 3 (ezt így is írhatjuk: x ], ] [3, + [). Oldjuk meg az a) x + 6x 5 < 0 b) x + 6x 5 0 c) x + 6x 5 > 0 d) x + 6x 5 0

59 59 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Először megkeressük az f(x) = x + 6x 5 függvény zérushelyeit. Ehhez meg kell oldanunk az x + 6x 5 = 0 egyenletet. A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint x 1, = 6 ± 6 4 ( 1) ( 5) = 6 ± 4. Ebből x 1 = 1, x = 5 adódik. Ennek segítségével felvázolhatjuk a másodfokú függvény grafikonját: Az f függvény grafikonjáról a következők leolvashatók: - Ha x<1, akkor a függvényértékek negatívak, - Ha x=1, akkor a függvényérték 0, - Ha 1<x<5, akkor a függvényértékek pozitívak, - Ha x=5, akkor a függvényérték 0, - Ha x>5, akkor a függvényértékek negatívak. A fentieket figyelembe véve a megoldások: a) x < 1 vagy x > 5 (ezt így is írhatjuk: x ], 1[ ]5, + [) b) x 1 vagy x 5 (ezt így is írhatjuk: x ], 1] [5, + [) c) 1 < x < 5 (ezt így is írhatjuk: x ]1, 5[) d) 1 x 5 (ezt így is írhatjuk: x [1, 5])

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete) Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3 1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Kisérettségi feladatgyűjtemény

Kisérettségi feladatgyűjtemény Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Matematika javítóvizsga 2018. augusztus szóbeli 3 rövidebb (feladat, definíció, tétel) és 3 hosszabb feladat megoldása a 30 perces felkészülési idő alatt a megoldás ismertetése

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6

Részletesebben

Függvények ábrázolása, jellemzése I.

Függvények ábrázolása, jellemzése I. Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben