AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC

Átírás

1 AVIZUL COORDONATORULUI ȘTIINȚIFIC Subsemntul dr. András Szilárd, conferențir l Fcultte de Mtemtică și Informtică Universității Bbeș-Bolyi, vizez lucrre Aplicre metodelor vedice în predre mtemticii l clsele licele, elbortă de Oláh Csb, profesor de mtemtică l Liceul Tehnologic Liviu Rebrenu din Băln, pentru depunere l DPPD. Dt: Semnătur: Coordontor științific, Lector dr. András Szilárd

2 UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ LUCRARE METODICO-ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I COORDONATOR ŞTIINŢIFIC: conf. dr. András Szilárd CANDIDAT: Oláh Csb Liceul Tehnologic Liviu Rebrenu Băln CLUJ NAPOCA SERIA 04-06

3 UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ LUCRARE METODICO-ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I Aplicre metodelor vedice în predre mtemticii l clsele licele COORDONATOR ŞTIINŢIFIC: conf. dr. András Szilárd CANDIDAT: Oláh Csb Liceul Tehnologic Liviu Rebrenu Băln CLUJ NAPOCA SERIA 04-06

4 BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM TANÁRKÉPZŐ INTÉZET MATEMATIKA-INFORMATIKA KAR I-ES FOKOZATI SZAKDOLGOZAT Védikus módszerek lklmzás középiskoli mtemtik okttásábn TÉMAVEZETŐ TANÁR: dr. András Szilárd docens TANÁR: Oláh Csb Liviu Rebrenu Szkközépiskol, Blánbány KOLOZSVÁR 04-06

5 Trtlomjegyzék Trtlomjegyzék....Fejezet: A mtemtik tnításánk problémáiról z Eurydice jelentés Gyenge teljesítmény mtemtik terén A tnulók motiváltságánk erősítése... 6.Fejezet: A védikus mtemtik Áltlános bemuttás A védikus mtemtik helyzete Indiábn... 5.Fejezet: Védikus módszerek lklmzás középiskoli mtemtik okttásábn Alpműveletek Az Ekdhiken Purven szútr. Az 5 -tel végződő számok négyzete Az 9 tizedes törtté lkítás Szorzás z lpok segítségével - Nikhilm nvtscrmm Dsth szútr A szorzótényezők kisebbek mint z lp A szorzótényezők ngyobbk mint z lp Az egyik tényező kisebb mint z lp, másik ngyobb Szorzás 0 k - tól különböző lp esetén cel vló szorzás Függőlegesen és átlósn z Urdhv Tirygbhym - szútr Három kétjegyű szám szorzt Szorzás vonlkkl Négyzetre emelés védikusn A Yvdunm Tvdunikrty Vrgnc Yojyet szútr Áltlános módszer Négyzetgyökvonás védikusn Köbre emelés védikusn A Yvdunm szútr Az Anurupyen szútr Köbgyökvonás Mátrixok, determinánsok Negyedrendű determinánsok függőlegesen és átlósn A pirmis szbály... 49

6 ... Determináns számítás pivotálássl Egyenletrendszerek megoldás Polinomok fktorizálás II. Fokú polinomok fktorizálás III. fokú polinomok fktorizálás Gunitsmuchyh - szútr A fktorizálás és deriválás kpcsolt Többváltozós polinomok fktorizálás Lhopn - Stpn - szútr Egyenletek megoldás Purn Apurnbhym - szútr Másodfokú egyenletek megoldás Hrmdfokú egyenletek megoldás Negyedfokú egyenletek megoldás A Vysti Smsti - szútr Fejezet: Tpsztltok, következtetések...67 Irodlomjegyzék...68

7 Bevezetés Tlálkozv régi és új ismerősökkel, gykrn feltevődik kérdés: -Mivel fogllkozol, hol dolgozol?. Az esetek többségében válszom sokkoló htást vált ki: -Mtemtik? Azt nnyir nem szerettem, s most se ngyon kedvelem. Biztos nem könnyű.... Ilyenkor eltöprengek - vlóbn ennyire púp háton mtemtik nemcsk gyerekek, de felnőttek körében is? Miért és honnn ez mtemtik-fóbi? A válsz egyszerű lehet: mit nem értünk, ttól idegenkedünk, muszájból végezzük teendőket és nem is igzán kedveljük, ezért nehezen feledjük keserű ízét. Egy szülő hogyn segítse ki gyerekét házi feldt megoldásábn, h diákkorábn ő sem tudt megoldni házi feldtát mtemtikából, és z ő szülei sem tudtk segítséget nyújtni ebben. És így tovább, forog mókuskerék... Vlhol, vlmikor, vlmi rosszul működött, többek között hozzáállás. Feltevődik egy ngyon fontos kérdés: nem lehetett voln másképp csinálni? Most nem lehetne másképp csinálni, esetleg egyszerűbben, hozzáférhetőbben gyerek/szülő számár? A másképp gondolt vezérelt dolgoztom témájánk válsztásábn és dolgoztom megírásábn is. Dolgoztom témáj védikus mtemtik (ősi indii mtemtiki rendszer). A szútrák hsználtáról lesz szó, négy főbb fejezetben. Az első fejezetben lpműveleteket végzünk el, védikus módszerekkel megszokottól eltérően, ngyrészt fejben. A második fejezetben determinánsok kiszámításár dunk, nem nnyir ismert módszereket, és lineáris egyenletrendszereket oldunk meg, szintén nem hgyományosn ( líceumi módszerekhez képest). A hrmdik fejezetben egy- és többváltozós polinomok fktorizálását, negyedik fejezetben egyenletek megoldását muttjuk be, védikus módszerekkel. Ez csk egy kis ízelítő (egy csepp tengerben) Ngy Könyv-ből (Védikus Mtemtik). Részletesebben z irodlomjegyzékben felsoroltk között lehet információkt tlálni. Ngyon sok IX-XII. osztályos diákkl tlálkozom, kiknél hlmozott hiányosság észlelhető z lpműveletek terén. A líceumbn nem lehet újrtnulni-tnítni (vgy megtnulni-tnítni) ezeket dolgokt, de vlhogy be kell lopni z óri tevékenységbe. Ezt vlhogy úgy lehet elképzelni, hogy egy ház felépült félig, vlhogy, de téglák már esnek ki fundmentum felett. Ezeket téglákt vissz kell rkni, hogy tovább építhessük házt. Megfelelő hozzáállássl és segítséggel, h nem kedvenccé is, de kedveltebbé tehető mtemtik, gyerek és szülő számár egyránt. Mert mtemtikár szükség volt, vn és lesz. Köszönetemet szeretném kifejezni dr. András Szilárd egyetemi docensnek dolgozt megírásábn nyújtott segítségéért.

8 .Fejezet: A mtemtik tnításánk problémáiról z Eurydice jelentés Az utóbbi években mtemtiki kompetenci problémáj ngyon fontos lett. Ezt kompetenciát z okttási miniszterek z egyik olyn kulcskompetenciként jelölték meg, mely szükséges, többek között z önmegvlósításhoz és munkerő picon vló elhelyezkedéshez. A tnulási teljesítményszinttel kpcsoltos ggodlmk egy 00-ig megvlósítndó referenciérték elfogdását eredményezték, mi szerint Azon 5 éves tnulók százlék, kiknek nehézségeik vnnk z olvsásbn és természettudományok terén, ne hldj meg 5%-ot. 009-ben Romániábn mtemtikábn nehézségekkel küzdők rány 45% felett volt (Bulgáriávl együtt), míg z ellentétes oldlon Finnország és Litváni állt, 0% ltt. Természettudományok esetén sem állt fényesebben helyzet: Romániábn 40% felett volt természettudományokkl küzdő, 5 éves tnulók szám, így z utolsó volt listán (Bulgári előtt). Mindkét esetben Románi sereghjtó. Ezek z dtok 009-es PISA felmérések lpján születtek. A mtemtik tnulásánk és tnításánk módját több tényező is befolyásolj. Ilyen tényezők nemcsk csládi háttér, hnem tnítás minősége és tnítási rendszerek egyes jellemzői is. Az Eurydice jelentés 6 fejezetből áll, mi 4. és 5. fejezetekről fogunk beszélni: Gyenge teljesítmény mtemtik terén és z A tnulók motivációjánk jvulásáról... Gyenge teljesítmény mtemtik terén A gyenge teljesítmény z E.U. országink egy közös problémáj mtemtik tntárgynál. Itt nem csk tnítás és tnítás htékonyság vn szem előtt trtv, hnem egy jobb okttási rendszer biztosítás is. A nemzeti és nemzetközi felmérések eredményei lpján elmondhtó, hogy mtemtik terén elért gyenge teljesítmény egy összetett jelenség. Ez köthető tnuló szármzási helyéhez és z iskolához is. Romániábn nemzeti jelentések több olyn tényezőt is zonosítottk, melyek befolyásolják vidéken tnuló diákok teljesítményét. Ezek, áltlábn: z emelkedett fejlődés z okttás terén, tnulmányok félbeszkítás, csökkent érdeklődés, z iskolákbn tnító tnárok nem megfelelő képesítése vlmint vegyes elemi 4

9 osztályok. 00 ót vegyes osztályokt megszüntették, és 600 mtemtik tnár egyetemi továbbképzésen vett részt. Ugyncsk Romániábn z lgebr, mtemtiki közlés és feldtok megoldás jelent problémát tnulók számár. Nem meglepő, hogy ugynezek problémát jelentenek tnároknk is. Próbálkozásokt kell tenni mtemtiki okttásbn z olyn jellegű felfogások megváltozttásár, mint: mtemtik nehéz, elvont vgy nem érdekes, vgy hogy nem fontos mindennpi életben. Egy lehetőség erre, hogy z ór témáj legyen tudományközi, mely segítheti tnulót kpcsoltot teremteni mtemtik és mindennpi élet vgy más tntárgyk között (Vn den Heuvel-Pnhuizen, 00). Az elemi osztályok szintjén vló bevtkozás is segíthet z első két iskoli év rkj le jövő mtemtiki nevelés lpjit. A tnító, zonosítv problémákt ezen szinten, segíthet tnulónk kikerülni helytelen strtégiák vgy koncepciók fejlesztését, mik hosszú távon kdályt jelenthetnek mtemtik tnulásábn. Összpontosítv tnulók gyenge pontjir, egyénileg, jelentősen nőtt gyerekek teljesítménye (Wright et l., 000, 00). Megfigyelhető, hogy Az esetek többségében, h bevtkozás időben történik, és tnuló gyenge pontjir összpontosít, ezek nem lesznek hosszsk vgy intenzívek (Dowker, 009). A tnároknk minél ngyobb elvárásokt kell leszögezni és ezeket közölni diákokkl is, minden diákot bátorítni kell z ktív részvételben ezen téren (Hmbrick, 005). A kuttásokból z derül ki, hogy gyenge teljesítményszint megszüntetésére irányuló htékony intézkedések átfogók és időszerűek kell legyenek. Ahhoz, hogy htékonyn követhessük tnulók gyenge teljesítményének problémáját, figyelni kell képzések szükségét és ezek változását mérni kell. A szülőkkel együtt, tnároknk ki kellene emelniük nnk fontosságát, hogy nem szbd elbátortlnítson z koncepció, miszerint siker mtemtikábn ngyrészt tnuló velejáró képességeihez kötődik. A szülőket bátorítni kell, hogy segítsék gyerekeiket tnulásbn, és hogy tessen nekik mtemtik. A szülők bevonás létfontosságú bevtkozási progrmok sikeréhez (Willims, 008). Sjnos ngyon sok szülő nem tud segítséget nyújtni gyerekének tnulásbn. Az európi állmok többségében központi htóságok segítséget nyújtnk tnároknk és z iskoláknk mtemtikábn nyújtott gyenge teljesítmény problémájánk 5

10 megoldásábn. Csk néhány európi országbn beszélhetünk olyn tnárok létezéséről, kik mtemtik tnulás során tpsztlt nehézségekkel fogllkoznk, ez szkképesítésük. Elmondhtó, hogy szükséges gyenge teljesítmény leküzdése érdekében tett lépések megfigyelésének és felmérésének jvítás, mivel csk néhány ország készített felmérést végrehjtott segédprogrmok htásáról és kevés ország tűzött ki célokt, nemzeti szinten, mtemtikábn gyenge teljesítményt nyújtó tnulók számánk csökkentésére... A tnulók motiváltságánk erősítése Néh, úgy z iskolábn, mint társdlombn, mtemtikát nehéz és elvont tntárgyként kezelik, mely olyn képletek és folymtok soránk megtnulását feltételezi, melyek látszólg kpcsoltbn sem állnk egymássl, és mindennpi életben vló hsználtuk látszólg elhnygolhtó. A mtemtikához vló negtív hozzáállás és z önbizlom hiány htássl lehet tnulási teljesítményszintre és mtemtik tnulásár, kötelező okttás után. Az iskolák és tnárok fontos szerepet játszhtnk tnulók érdeklődésének növelésében mtemtik iránt és bbn is, hogy érthetőbbé tegyék mtemtikát. Figyelmet kell szentelni továbbikbn z olvsás, írás és z ritmetiki számítások elsjátítás szintjének emelésére (z Európi Unió Tnács, 009). A fitlok érdeklődése mtemtik és rokon tntárgyk tnulmányozás iránt fontos, mert meghtározz egy, mtemtik, tudományok és technológi területein vló krrier lehetőségét. Áltlánosn kijelenthető, hogy tnulók htékonybbn tnulnk, h érdekli őket z mit tnulnk. Sőt, sokkl több dolgot elsjátíthtnk h tetszik z, mit tnulnk. A szkirodlom kimuttt, hogy motiváció egy fontos tényező z elméleti részek elsjátításábn (Grolnick et l., 99; M & Kishor, 997). A tnulmányok zt is kimuttták, hogy belső motiváció pozitívn befolyásolj z elméleti részek elsjátítását (Deci & Ryn, 00; Urdn & Turner, 005). Tehát, zoknál tnulóknál, kiknek tetszik tnnyg, nő tnulás iránti belső motiváció és fordítv. Egyes országos felmérések többet vizsgálták ezt témát. Például csehországi Mgm nevezetű felmérésből z látszik, hogy zokbn IX. osztályokbn, hol tnulók elégedettek voltk képességeikkel mtemtik órán, kétszer olyn jó eredményt értek el, mint többi osztályokbn. Másrészt, ugynbbn z osztálybn különböző lcsony vgy mgs teljesítmény-színtű) tnulók gykrn egyformán válszoltk feltett kérdésekre, ez kpcsoltbn lehet tnáruk minőségével is. A tnulók motiváltság és mtemtiki 6

11 teljesítményük befolyásolhtó zzl is, hogy mennyire fontos számukr ez tntárgy. A TIMSS felmérés rról gyűjtött információkt, hogy VIII. osztályos tnulók mennyire trtják fontosnk z elsjátított mtemtiki ismereteket továbbtnulásbn vgy jövőbeli munkhely válsztásábn. 007-ben, tnulók 68%- mtemtikát ngy értékűre becsülte. A VIII. osztályos tnulók csk 6%- nem trtott fontosnk mtemtikát jövőjüket tekintve. Litváni és Törökország zok országok, hol mtemtikát diákok legngyobb többsége trtott fontosnk (87-88%). Az EU-bn átlgbn ponttl volt ngyobb z eredmény zoknál tnulóknál, kik értékelték mtemtikát, zokkl szemben, kik nem. Észrevehető, viszont, hogy tnuló zon jellegű motiváltság, hogy mtemtikávl fogllkozzon, nem stbil, inkább dinmikus, változó. Csehországbn és Skóciábn (008- bn) összehsonlították tnulók motiváltságát különböző osztályokbn, és rr következtetésre jutottk, hogy ez csökken z V-VIII osztályok során. Ez megfigyelés is kiemeli tnárok és tnítási folymt szerepét tnuló érdeklődésének felkeltésében. A TIMSS eredményei zt is megerősítik, hogy IV. osztályos tnulók ngyobb többségének 67%-ánk, míg VIII. osztályos tnulók 9%-ánk volt pozitív hozzáállás mtemtikához. Az iskolán kívüli tevékenységeken kívül z UE országink csk egyhrmd támogt olyn sjátos tnítási strtégiákt, melyek tnulók bevonását erősíti. Ezek főleg újító jellegű tnítási strtégiák, beleértve zokt is, melyek informtikát hsználnk. Az következtetés vonhtó le, hogy tnítási módszerek inkább gyerekek természettudományok iránti természetes kíváncsiságát kellene kiknázzák, minél fitlbb kortól kezdve. (z EU Tnács, 00). Románi, például, z együttműködési strtégiák hsználtávl (párosávl vgy csoportokbn), ngy hngsúlyt fektet z ktív részvételre és z ktív tnulásr. Áttérés történt frontális okttásról z együttműködésben vló tnításr és tnulásr. Ennek célj motiváció serkentése és tnulók bevonás mtemtiki tevékenységekbe. A szülők bevonás és tnulók bátorítás, már kiskorúktól, jelentős htássl lehet mtemtik tnulásár. Több ország, közöttük Románi is, kiemeli szülők bevonását tnulási folymtb, és konkrét kezdeményezéssel jön. Romániábn, szülők bevonás tnulási folymtb, hngsúlyozottbbn z elemi okttásbn történik. Célj, hogy tudtosíts szülőket mtemtik szerepéről tnulók kognitív fejlődésében, és módszerek jvslás tnulók mtemtiki képességének fejlesztésére között 7%-kl nőtt z MST (Mth Science Technology) végzősök szám. 7

12 Ezzel z UE több mint kétszeresen túllépte 00-re előírt 5%-os növekedési stndrdot. Mégis, h összehsonlítjuk z MST végzősök számát z összes egyetemet végzők számávl z EU-bn, helyzet másképp lkul. Lényegében ez százlék csökkenő tendenciát mutt, mi nemcsk htóságokt fogllkozttj, de z üzleti szférát is. A nemzeti okttási htóságok próbálják ellensúlyozni ezt tendenciát. Úgy gondolják, hogy z MST végzősök szám egy fontos tényező, hogy versenyképesek legyenek globális gzdságbn. A legngyobb csökkenést elkönyvelő országok között szerepel Románi is. Elmondhtó, tehát, hogy mtemtik z egyik lpkompetenci z egész életen át trtó tnulásbn. Fontos lépés tnulók motiválás mtemtik tnulásár. Azért, hogy emeljék z iskoli teljesítményüket, zért is, hogy növeljék egy mtemtik profilú egyetem elvégzésének lehetőségét, és későbbiekben egy, mtemtikávl rokon területen vló krrier lehetőségét. Azok tnulók, kik pozitív hozzáállássl és önbizlomml közelednek mtemtik felé, jobb eredményeket érnek el. A TIMSS dti igzolják zt tényt hogy, különösen VIII. osztályosok körében, zok tnulók, melyek pozitívn álltk hozzá mtemtikához, jobb eredményeket értek el, mint negtív hozzáállásúk. Ugynez mondhtó el olyn tnulók esetén, kik fontosnk trtják mtemtiki kompetenciákt nevelésükben és krrierjükben. A nemzeti és nemzetközi felmérések zt muttják, hogy gyerekek motiváltság, mtemtikát illetően, csökken z iskolábn töltött évek ltt, ezért föltétlenül lépéseket kell tenni ennek ellensúlyozásár. Kijelenthető z is, hogy zon tnulók esetében, kik motiváltk és jól teljesítenek mtemtikából z elemi és V-VIII osztályokbn, inkább jánlott egy mtemtik technik - tudományok profilú egyetem, vgy egy MST orientált krrier számításb vétele, mint más tnulóknál. 8

13 .Fejezet: A védikus mtemtik És mikor rend htárt kiszbt, Mi volt lul: és mi került fölébe? Itt vk álmok, ott erők forrdlm, Lent bomlás, fent formák büszkesége Himnuszok Rig-védából (A teremtés himnusz Szbó Lőrinc fordítás).. Áltlános bemuttás A Védikus Mtemtik z indii mtemtik egy ősi rendszere. Eredete Védákig nyúlik vissz, pontosbbn z Athrv Védá-ig. Az Athrv Véd mérnöki tudományokkl, mtemtikávl, szobrászttl, orvostudománnyl és még sok m ismert ágzttl foglkozik. A Véd szó sznszkrit eredetű, Vid szóból szármzttott, mi htárok nélküli tudást jelent. A védikus mtemtik, mely lényegesen leegyszerűsíti z ritmetiki és lgebri műveleteket, fokoztosn befogdásr tlált z egész világon. A szkértők szerint (is) egy prktikus eszköz mtemtik feldtok gyorsbb megoldásár. Egy ősi technik, mely leegyszerűsíti szorzást, osztást, négyzetre emelést, köbre emelést, négyzet- és köbgyökvonást. Ezt témát ngyrészt Sri Bhrti Krsn Tirthji ( ) dolgozt fel újr. Évekig trtó kuttások után sikerült 6 kötetben összefogllni védikus mtemtikát. Mindegyik kötet egy szútrán lpszik ( szútrák itt nemcsk egy szbályt jelentenek, hnem egy megoldási gondolkodásmódot is). A köteteknek idő közben megmgyrázhttlnul nyom veszett, így z emlékezetei lpján egy könyvbe fogllt mind 6 szútrát, melynek Vedic Mthemtics Védikus Mtemtik címet dt. Kézirti lpján, postumus került nyomd lá, 965-ben. Ez m hsznált védikus mtemtik lpkönyve. A mentális vgy z egy-két soros megoldási módszerek htékonyn hsználhtók: szorzás-osztás elvégzésére, fktorizálásr, l.n.k.o., négyzet és négyzetgyök, köb és köbgyök kiszámításár, (mgsbb fokú) lgebri egyenletek és egyenletrendszerek megoldásár, Szútr forizm; szó szerint fonlt vgy dolgokt összekötő vonlkt jelent (Wikipédi) 9

14 differenciálszámításr, kúpszeleteknél stb. Ezek közül több esetről is történik említés z dolgozt következő részében. A védikus rendszer tlán legmeglepőbb jellemzője következetesség. Az összefüggés nélküli technikák helyett z egész rendszer összefüggő és egységes. Például: z áltlános szorzási módszer egyszerűen megfordíthtó egysoros osztásr, vgy egy egyszerű négyzetre emelést visszfelé elvégezve, egy sorbn gyököt vonhtunk egy számból, és ezek mind viszonylg egyszerűen megérthetők. Ez z egységesség mtemtikát élvezetessé teheti, és újításr bátorít. Nehéznek vélt mtemtiki feldtok könnyedén megoldhtók védikus rendszer segítségével. A rendszer egyszerűsége bbn rejlik, hogy számításokt könnyen fejben tudjuk trtni (bár ezek le is írhtók). Ngyon sok előnye vn egy ruglms mentális rendszer hsználtánk. A tnulók sját módszereket fedezhetnek fel, nincsenek egy megdott módszer hsználtár korlátozv. Ez tnulókt kretivitásr buzdítj, és jobbn felkelti mtemtik iránti érdeklődésüket. A szútrák lklmzás rcionális gondolkodássl jár, mi segít z intuíció fejlesztésében is. Az okttás fejlődése védikus rendszernek is érdeke. Kuttások folynk zzl kpcsoltbn, hogy milyen htássl vn V.M. tnulás gyerekekre; fejlesztik védikus rendszer lklmzhtóságát geometriábn, számításokbn. De V.M. igzi szépségét és htékonyságát rendszer gykorltbn vló lklmzás dj. Kiderül, hogy V.M. z egyik lehetséges legkifinomultbb és htékonybb mtemtiki rendszer. Elképesztő, hogy 6 szútr és szub-szútr segítségével fejben végezhetők el hgyományos módszerrel nehezebben elvégezhető mtemtiki számítások és oldhtók meg összetettebb mtemtik feldtok is. Következzen fent említett 6 szútr és szub-szútr, esetenként egy-egy példávl látámsztv, de előtte szóljunk még pár szót róluk: A szútrák rövid, tömör műveleti utsítások. A szútr következőképpen vn meghtározv: Aforizmák gyűjteménye, mely minden tudás lényegét lehető legkevesebb szóvl fejezi ki, s melynek egyetemesen lklmzhtónk és nyelvtnilg hibátlnnk kell lennie 4. Jelölések: számot felosztottuk egy számjegyű csoportokr; Függelék, korollárium 4 0

15 0 0 4 ; hátulról kezdjük számot leírni:, mrd 4, leírjuk 6 -ot, mrd, 5, tehát z eredmény 56; - V.M. Védikus Mtemtik..Ekdhiken Purven Eggyel több, mint z előző. Ez szbály z 5 -tel végződő természetes számok négyzetére vontkozik. 75 hgyományosn:. Nikhilm Nvtscrmm Dsth Mindent 9 -ből és z utolsót 0 -ből. A módszer két szám szorzásár vontkozik. A hgyományosn:. Urdhv tirygbhym Függőlegesen és átlósn. 4. Prvrty Yojyet Helyezd át és lklmzd. Két természetes szám osztásár vontkozik. 5. Sunym Smysmuccye Amikor smuchchy egyform, kkor smuchchy null vgy nullává tehető. 6. (Anurupye) Sunymnyt H egyes vn törtben, többi null. 7. Snkln vyvklnbhym Összedássl és kivonássl. Lineáris egyenletrendszerek Védikusn: z első két számjegy Védikusn: , z utolsó kettő mindig , 6 4 9, , , tehát hgyományosn: 7 48 Védikusn: 4, , Tehát megoldásár hsználtos. Nézzük 9x67 y 67x9y 95 rendszert. Először összedjuk mjd kivonjuk egymásból z egyenleteket. Kpjuk

16 06x 06 y 06 x y és 8x 8y 84 x y. Az így kpott egyenleteket újr összedjuk, mjd kivonjuk egymásból: x 4 x és y y. 8. Purnpurnbhym Kiegészítéssel vgy ki nem egészítéssel. Htározzuk meg z x x x gyökeit , x,0 x 4,, x x x x x x 9. Cln Klnbhym Számítássl.. x 49 x x 6 0 : x 0 x Azz x, honnn Yvdunm A hiány segítségével. 98 hgyományosn: x, x, Vystismstih Hsználd számtni középrányost. 6575? A két szám számtni középrányos és Ekkor , Továbbá. Sesnynken Crmen Az utolsó számjegy szerinti mrdékok. Tizedes tört közönséges törtbe vló átlkításár (és fordítv) hsználhtó. - z átlkítási módszer z. Fejezetben tlálhtó. 9 Például: 0, Sopntydvymntym Az utolsót és z utolsó előtti kétszeresét. 4? A 4-t felírjuk 040 lkbn. 0 6, 4, 4 6, 0. Írhtjuk Eknyunen Purven Az előtte levőnél eggyel kevesebb. A 9;99;999;...; lkú számokkl vló szorzás esetén hsználhtó. Védikusn: 00 98, 784 tehát , 98 96, ? , , így

17 5. Gunitsmuchyh A szorzótényezők együtthtói összegeinek szorzt. Polinomok tényezőkre bontásánk helyességét lehet ellenőrizni. x x 5 x 4 x x 5x 60. A szorzótényezők együtthtói összegeinek szorzt 5 4, polinom együtthtóink összege 5 60, tehát felbontás helyes lehet. Az x x x 6 x x x felbontás viszont nem helyes, mert 6. Gunksmuccyh Minden szorzótényező.. Ezek voltk szútrák. Következzenek szub-szútrák, ezek szám..anurupyen Arányosság. 557? 550, és 60: 0, 7, így. Sisyte sessnfith A mrdék állndó mrd.. Adymdyenntyinntyen Az első z elsővel, z utolsó z utolsóvl. 4. Kevllh Sptkn Gunyt - 7 esetén szorzndó Vestnm összekpcsolássl ( vinculum hsznált). Az oszthtóság vizsgáltánál hsználhtó ? Az osztó, számjegyeinek összege 4, ezt ekdhiká-nk nevezzük. Az oszthtóság vizsgáltábn ez lesz z úgynevezett oscultor. A lépések következők: 47 8, , , , és 65, tehát Yvdunm Tvdunm Csökkenteni hiánnyl. A négyzetre és köbre emelésnél hsználhtó Yvdunm Trdunikrty Vrgnc Yojyet Bármennyi is legyen hiány, kivonjuk számból és hsználjuk hiány négyzetét. 89? , így.

18 8. Antyyordske pt Az utolsók összege Antyyorev Csk z utolsó tg. (Bizonyos egyenlettípusok megoldásár hsználhtó) 0. Smuccygunith A szorztok összege.. Lopnsthpnbhym Kiküszöböléssel és megtrtássl (Többváltozós polinomok fktorizálásár hsználhtó). Fktorizáljuk f x y z 7xy 4xz yz polinomot. Eltűntetünk, szerre, egyegy változót, többit megtrtv. H 0 y, kpjuk f x 4xz z x zx z, h z 0, f x 7xy y x yx y. A két eredményt egybeolvsztv kpjuk, hogy f x y zx y z.. Viloknm Észrevétel lpján (Egyenletek megoldásánál hsználhtó). 0 Például z x egyenlet vlós gyökei és 0, mert. x. Gunitsmuccyh Smuccygunith Az összeg szorzt szorzt összege. A szútrák rövid áttekintése után összefogllhtjuk védikus rendszer néhány fő (pozitív) jellemzőjét. Összefüggő: A védikus rendszer egyik legszembetűnőbb jellemzője z összefüggőség. Például: z áltlános szorzási módszer egyszerűen megfordíthtó egysoros osztásr, vgy egy egyszerű négyzetre emelést visszfele elvégezve, egy sorbn gyököt vonhtunk egy számból, és ezek mind viszonylg egyszerűen megérthetők. Ez z egységesség mtemtikát élvezetessé teheti, és újításr bátorít. Ruglms: A számítások elvégzése, feldtok egy előre megdott, egységes módon vló megoldás unlms lehet. A védikus rendszer serkenti tnuló kretivitását. Például létezik áltlános szorzási módszer de léteznek módszerek speciális esetekre, melyek még jobbn megkönnyítik munk elvégzését. Nem muszáj lklmzni ezeket speciális módszereket de ki hsználni krj, ott vnnk. Ez ruglmsság szbd kezet d tnulónk rr, hogy sját szempontji szerint válsszon és dolgozzon, fejlesztve és megerősítve ezzel kretivitását és intuícióját. A védikus rendszer nem rgszkodik mtemtik tiszt nlitikus megközelítéséhez, mint hogy ez sok modern okttási módszer esetén történik. Ez sokt számít bbn, hogy viszonyulnk tnulók mtemtikához. 4

19 Mentális, memóri jvító: A védikus rendszer egyszerűségének köszönhetően sok számítást fejben is el lehet végezni. A tnulók sját módszereket tlálhtnk ki, nincsenek egy helyes módszer lklmzásár korlátozv. Ugynkkor memóri fejlesztő htás is vn (nem beszélve műveletek fejben vló, gyors elvégzéséről). Kretivitásfejlesztő: A védikus rendszer sjátossági rr bátorítják tnulókt, hogy kretívn végezzék mtemtiki munkájukt. Mindenkihez szól: A V.M. htékonynk tűnik minden képességi szférábn. A tehetségesebb gyerekek szeretnek kísérletezni, és kevésbé tehetségesek megmrdnk z áltlános (nem védikus módszereknél), de kedvelik z egyszerű szbályokt. Fejleszti gyors gondolkodást: Mivel rendszer ultr-egyszerű módszereket hsznál, előnyben részesül fejben számolás és gyors gondolkodás természetes fejlődéséhez vezet. Egyszerű, játékos: A mtemtik lklmzás élvezetes is lehet, ez tpsztlhtó V.M.-nál. És ez mtemtik igzi jellege. Alklmzhtó z lgebrábn: A rendszer egy másik fontos jellemzője, hogy már megtnult ritmetiki módszerek lklmzhtók z lgebrábn is. Itt is látszik z ritmetik és z lgebr közötti szoros kpcsolt. A V.M. indii termék, mégsem tnítják z indii iskolákbn. Mondhtnánk, hogy inkább export termék, világ neves egyetemein (Oxford) is trtnk elődásokt ról, ennek segítségével készítenek fel tnulókt mtemtikából. Erről lesz szó, röviden, következő lfejezetben... A védikus mtemtik helyzete Indiábn Indiábn, z ASER 04 jelentés lpján, vidéki V. osztályos gyerekek esetén 0-ből gyerek tudott háromjegyű számokt összedni, 46,5%-uk pedig nem tudott segítség nélkül kivonni kétjegyű számokt egymásból ( The Telegrph 5 szerint). De nem csk Indiábn vnnk gondok. Az Egyesült Királyságbn 7 millió felnőtt él, kik mtemtiki képessége egyenlő egy éves gyerekével; több kelet-ázsii és európi ország elkerülte z Egyesült Állmokt, z elemi- és középiskolák mtemtik szintjét nézve; Dél-Afrik z utolsó előtti listán mtemtiki okttás minőségét illetően. Egy megoldás védikus mtemtik hsznált lenne, írj ugyncsk The Telegrph. Egy gyorsszámoló mtemtiki rendszer 5 The Thelegrph: Vedic Mths nswer to the Globl Mths Crisis,

20 hsznált vitthtó lehet technológi korábn. De, például, z Egyesült Királyságbn, z elemi iskolákbn már megtiltották számológépek hsználtát vizsgákon (megj.: nálunk be sem vezették), tehát csk vn helye mentális mtemtikánk z iskoli rendszereken belül. Gurv Tekriwl 6, z indii Védikus Mtemtik Fórum elnöke kérte z indii Emberi Erőforrások Minisztere, Mr.Smriti Irni támogtását bbn, hogy z indii mtemtiki tnterv trtlmzz V.M.-t is. Indii szkemberek (pl. Tekriwl) már végeztek kísérleti felmérést V.M. lklmzásánk htékonyságáról dél-friki Durbn-bn, z okttási minisztériumml szövetkezve. Az eredmények meglepően jók lettek. A legelején felmérték diákokt: 0 percet kptk 0 fejben elvégezhető gykorlt megoldásár. Egy hét képzés után gyerekek már 9 perc ltt el tudtk végezni fejben 0 gykorltot (fejszámolásról vn szó). Szingpúrbn született z úgynevezett Singpore Mth 7, szingpúri mtemtik. Ez mtemtiki rendszer tnterv része már nemcsk Szingpúrbn, hnem z Egyesült Állmokbn is, hol világ legjobb módszereit válsztják gyerekek okttás érdekében. Miért ne lehetne ugynezt tenni V.M.-vl Indiábn? írj Gurv Tekriwl. Meg kell említeni zt is, hogy 009-ben PISA felmérésen Indi 74 nemzet közül 7-ik lett. Az ilyen kínos helyzetek elkerülése érdekében döntött úgy z indii kormány, hogy Indi nem vesz részt későbbi felmérésekben. 05 márciusábn, egy Bhopálbn trtott gyűlésen, hol több kdémikus is részt vett, felvetődött V.M. kötelezővé tétele Indiábn júliusánk második felében Smriti Irni RSS 9 tlálkozó lesz, hol szó fog esni z új indii okttáspolitikáról és V.M. bevezetéséről mtemtik tntervbe. Az új okttáspolitikávl kpcsoltbn már 05 jnuárjábn elkezdődtek tárgylások, z év végére már vitár bocsáthtó is lehet

21 .Fejezet: Védikus módszerek lklmzás középiskoli mtemtik okttásábn.. Alpműveletek... Az Ekdhiken Purven szútr. Az 5 -tel végződő számok négyzete Számoljuk ki 5 négyzetét, hsználv z Ekdhiken Purven szútrát (mi egyet jelent z Eggyel több, mint z előző - vel). A 5esetén z utolsó számjegy 5, és z ezt megelőző szám, ennél eggyel több. A négyzetre emeléshez következő műveleteket fogjuk elvégezni: 4 és szorzás eredménye: , Hsonlón: A ,. Most nézzük áltlánosn fenti szorzásokt. Egy kétjegyű természetes szám áltlános lkj (tízes számrendszerben) b 0 b, ennek négyzete b 0 b 00 0b b. H most sjátosn b 5 - öt veszünk, kkor írhtjuk: z Innen látszik, hogy 5 számok utolsó két számjegye mindig 5 lesz, és z első két számjegy is könnyen kiszámolhtó. H, például, 8, kkor 5, tehát első két számjegye 89 7 és z utolsó kettő A háromjegyű, 5 -tel végződő számok esetén hsonlón járunk el: bc 00 0b c. Hsználv z x y z x y z xy yz zx, x, y, z képletet, írhtjuk 4 bc 00 0b c 0 0 b c 0 b 0bc 0 c 0 4 b0 b c 0 0bc c. 4 c 5 esetén: b5 0 b0 b 00 0 b b0 b b 5 b b b 0 b b b Ebben z esetben is könnyen látszik, hogy z eredmény utolsó két számjegye 5 lesz, 5 előtti számot z bb szorzás eredménye dj..

22 Például 0 0 5, vgy Hsonlón: bc bc bc vgy legáltlánosbbn nn n , n n n n n n n elvégezhető, hsználv mtemtiki indukció módszerét. 8. A bizonyítás z előzőhöz hsonlón Két és háromjegyű számok esetén négyzetre emelések viszonylg hmr elvégezhetők fejben, mert viszonylg könnyen összeszorozhtó két egymás utáni szám egymássl (egy-, vgy kétjegyű számokról beszélünk). A kérdés z, hogy érdemes-e fogllkozni fenti képlettel, h szám négy- vgy többjegyű? A válsz lehet igenlő sjátos esetekben vgy h még ismerünk egy pár trükköt. Ezekről trükkökről beszélni fogunk később és vissz is fogunk térni ezekre z esetekre. Következzen egy érdekes átlkítás közönséges törtből tizedes törtbe.... Az 9 tizedes törtté lkítás Olyn törtekről fogunk beszélni, hol nevező utolsó számjegye 9. Lássuk, példánk okáért, z törtet. Az átlkítás után egy szkszos tizedes törtet kpunk, szksz hossz 9 9 8számjegy lesz. Hogyn fogjuk ezt szkszt meghtározni? Viszonylg könnyen: Először is: nevező 9, ennek első számjegye, ezt növeljük -gyel:, ezzel osztunk. Az osztást 8(egyszerű) lépésben fogjuk elvégezni.. lépés: : 0, mrdék, - r.e.. lépés: 0: 5, mrdék 0, - r.e.. lépés: 5:, mrdék, - r.e. 4. lépés: : 6, mrdék 0, - r.e. 5. lépés: 6:, mrdék 0, - r.e. 6. lépés: :, mrdék, - r.e. 0, 0 (r.e. = részleges eredmény) 0 0,0 5 0,05 0 0, ,056 0,056

23 7. lépés: : 5, mrdék, - r.e. 0, lépés: 5: 7, mrdék, - r.e. 0, lépés: 7 : 8, mrdék, -r.e. 0, lépés: 8: 9, mrdék 0, - r.e. 0 0, lépés: 9: 4, mrdék, - r.e. 0, lépés: 4: 7, mrdék 0, - r.e. 0 0, lépés: 7 :, mrdék, - r.e. 0, lépés: : 6, mrdék, - r.e. 0, lépés: 6: 8, mrdék 0, - r.e. 0 0, lépés: 8: 4, mrdék 0, - r.e. 0 0, lépés: 4:, mrdék 0, - r.e. 0 0, lépés: :, mrdék 0, eredmény 0, , tehát írhtjuk 0, Észrevehető, hogy nem osztottunk sehol 9 - cel. 9 8 számjegy Az átlkítás elvégezhető szorzás segítségével is, h fenti számítások sorrendjét megfordítjuk, és kettővel szorzunk, vlhogy így ( tizedes vessző utáni számot írjuk fel):. lépés:. lépés: ( elől). lépés: 4 ( 4 elől) 4. lépés: 84 ( 4 8 elől) 5. lépés: 684( elől, mrd z ) 6. lépés: 684 ( 6, - elől, mrd z ) 9

24 lépés: lépés: ( 5 0, 0 elől) Tehát 0, Észrevehető, hogy 9 -cel vló osztás helyett -vel szoroztunk mindvégig. Még észrevehető egy igen érdekes dolog, éspedig: h vesszük 0, számot, vessző utáni számjegyeket megszámozzuk - zz i - vessző utáni i - edik számjegy, i,8 -, írhtjuk, hogy , vgyis k k 9, k,9. Tehát fenti két módszer segítségével (vgy más módszerekével) elégséges z első 9 lépést elvégezni, többi számjegyet be lehet írni már meglevők segítségével. H z első módszert vesszük: leírjuk 9. lépésnél kpott részeredményt, zz és z számr egészítjük ki. A második 9 9 módszer esetén leírjuk 9. lépésnél kpott részeredményt, zz és kiegészítjük re. Jó tudni, hogy ilyen törtek esetén szksz utolsó számjegye mindig. Megjegyezzük, hogy fenti osztást el lehet végezni egy sorbn is, természetesen, és jánlott is. Felvetődik kérdés: mi számítógépes világbn miért kellene egy osztást ppíron elvégezni? Azonnl következik egy másik kérdés: mi történik kkor, h éppen nem rendelkezünk számológéppel, számítógéppel, mobiltelefonnl stb.? Vgy: miért is kell nekünk z 9 tizedes értéke? Erre, mondjuk, lenne egy válsz: egy esztergályos több mint vlószínű, hogy nem tud egy 9 átmérőjűt igen. Ez gykorlti életben szükséges, tehát z m átmérőjű fémrúdt esztergálni, viszont 0,056 m 9 egy megközelítő értékét hsználtuk. A mtemtikábn szeretnénk tudni, hogy néz ki pontosn ez szám tizedes lkbn. Nézzük meg, miért is működnek fenti módszerek: 0

25 H : ,5 0 0, ,65 0 0,5... 0,05 0,005 0,0005 0, , Az áltlános eset megtlálhtó Vedic Mthemtics -ben. Gykorltként elvégezhető z 9 és törtek átlkítás tizedes törtekké. 59 A továbbikbn nézzünk egy más típusú szorzást.... Szorzás z lpok segítségével - Nikhilm nvtscrmm Dsth szútr Ismerősek klsszikus szorzási módszerek: szorzótábl hsznált, mit már elemiben megtnítnk, két vgy többjegyű szám szorzt, mi ppíron viszonylg gyorsn kiszámíthtó, és még sorolhtnánk. A második védikus szútr, Nikhilm nvtscrmm Dsth mi mgyrul nnyit jelent, hogy Mindent 9 -ből és z utolsót 0 -ből egy érdekes szorzási módszert tkr (hmrosn következik). Nézzünk egy példát: 97? Klsszikus módszerrel (szorzótábl) egyből irhtó z eredmény: 6. Védikus módszerrel következőképpen járunk el: Mivel számjegyről vn szó vizsgáljuk, hogy mennyi hiányzik z dott számjegyektől 0 -ig, mivel számok közel vnnk 0 -hez. 9 : Látjuk, hogy és. Akkor szorzás eredménye 6. Lássunk még egy példát, most két kétjegyű számot szorzunk egymássl: és : , szorzás eredménye 878. Láthtó, hogy második szorzás könnyen elvégezhető fejben is. A módszer tehát következő: nézzük szorzt tgjit ( számok számjegyeinek szám egyelőre egyenlő) és vizsgáljuk, melyikhez vnnk közelebb 0,00,000,0000,... számok közül. A fenti

26 második példábn láttuk, hogy ez szám 00- ezt lpnk nevezzük. Ezután nézzük, hogy ezek számok kisebbek/ngyobbk mint z lp ( fenti esetben kisebbek voltk). Leírjuk számokt egymás lá, mindkettő mellé odírjuk hiányt vgy többletet z lphoz képest ( fenti második esetben hiányok: és 6). Összedjuk számokt átlósn ez lesz z eredmény első része (8 fenti esetben) mjd második oszlopbn szereplő számokt összeszorozzuk egymássl ez lesz z eredmény második része ( 78 fenti esetben).... A szorzótényezők kisebbek mint z lp 88 A esetén: 88, A 769esetén: Algebri bizonyítás: Legyen,, , z eredmény , x 0 k 4 9 6, z eredmény, k szorzás esetében vett lp, n és n két szám, melyeket össze krunk szorozni egymássl, és b hiányok. Ekkor n x és n x b,, n n x x b x x bx b. Ezt z eredményt b. Írhtjuk: többféleképpen is felírhtjuk, helyzetnek megfelelően: ) x x bx b x x b b x n b b vgy ) x x bx b x x b b x n b vgy ) x x bx b x x x b x b x n n x b. Vegyük 997 szorztot, mjd lklmzzuk ). képletet: n 9, n 97 és x 00, tehát 7 és Fejben b. Akkor számolás esetén problémát jelenthet, h z és b többletek két- vgy többjegyű számok. Gykorltként el lehet végezni következő szorzásokt: ) ; b) ; c) Lépjünk tovább: mi történik h szorzt tényezői meghldják z lpnk vett értéket?... A szorzótényezők ngyobbk mint z lp Vegyük például szorztot, és vegyük lpnk 0 -et, így illetve többletekről beszélhetünk. Az eljárás ugynz mint z előző esetben.

27 ) : 5, 6, tehát ; Nézzünk még egy néhány példát: b) c) d) : , 79 6, tehát ; 0 0 : , 5 5, ; : 4, 44, Algebri bizonyítás: Legyen x 0 k, k szorzás esetében vett lp, n és n két szám, melyeket össze krunk szorozni egymássl, és b többletek. Ekkor n x és n x b, n n x x b x x bx b. Tehát b. Írhtjuk: n n x x b b x n b b vgy ) n n x x b b x n b vgy ) n n x x b b x n n x b. ) Vegyük például szorztot és ). képletet: n n, x 00, b. Akkor Gykorltként elvégezhetők következő szorzások: ) ; b). 05 ;c) Mrdt z eset, mikor z egyik tényező kisebb, mint válsztott lp, míg másik ngyobb (vgy fordítv).... Az egyik tényező kisebb mint z lp, másik ngyobb Egy ilyen szorzás lehetne, mondjuk Alpnk vehetjük 00-t, , Írhtjuk : , 5 6 0, tehát Mit jelent 99 0 : Nézzünk még néhány példát: ) 89 - lpnk 00-t vesszük.

28 , : 89 0, tehát Mgyrázt: b) lpnk z 000-t vesszük : , ; c) lpnk t vesszük: : , , z eredmény Algebri bizonyítás: H x 0 k, k z lp, n és n szorzótényezők, többlet és b hiány, kkor n x és n x b, b. Írhtjuk: n n x x b. x x bx b x x b b x n b b x n b Gykorltként végezzük el: ) b). 94 c) Érdekességképpen nézzük Mindent 9 -ből, és z utolsót 0 -ből módszert. A szorzt esetén vegyük lpnk z 000-et : , 5 704, Elég könnyen észrevehető, hogy ez módszer ugynz mint z első. De mi történik kkor, h szorzótényezők távol vnnk 0,00,000,000,... számoktól? válszthtunk más lpot...4. Szorzás 0 k - tól különböző lp esetén Ilyen eseteknél Vegyük 47 4 szorztot. Mivel mindkét szám elég közel vn z 50 -hez, legyen ez z lp (ngyon fontos, hogy z lp 0 többszöröse legyen). Az 50 -et felírhtjuk

29 i) H , kkor 47 : , 8 4. Mivel , 9 -et meg kell szorozni 5 -tel: Az eredmény ii) H 00 50, kkor , , z eredmény Mgyrázt: z tízesek helyére jön, egy fél százst jelent, tehát ötös számjegyet. Még vn egy kettes számjegy, mi tízesek helyére jön, így kpjuk 5 7 -et. H nél lpnk 60 - t vesszük, kkor , tehát: 69 9 : , Következzen még néhány péld: 9 7, , z eredmény ) lp 400, , ; , ;, , kkor b) lp 00, : , 98 00, , , 67 4, z eredmény ; c) 07 - lp 00, : , 00, , és Az eredmény, tehát: Algebri bizonyítás: H z lp nx, hol ) n nx x 0 k, k, n, n szorzótényezők. n nx b n n nx nx b nx nx b b. Tehát, n n nx n b b nx n b. (lásd 47 4 ) b) n nx n nx b n n nx nx b nx nx b b. Tehát, n n nx n b b nx n b. (lásd ). c) n nx n nx b n n nx nx b nx nx b b. Tehát, n n nx n b b nx n b. (lásd 07 ). Gykorltként végezzük el: ) ; b). 05 ; c) ; d)

30 Megismertünk egy pár érdekes trükköt mit úgy z iskolábn, mint vló világbn lehet lklmzni. Természetesen, ez még csk egy csepp tengerben de, gondolom, egy átlgos diák/átlgember tovább dolgok lkulását cel vló szorzás érdeklődését sikerült felkelteni nnyir, hogy belevágjon és kövesse Mrdt még egy trükk : hogyn szorzunk össze egy számot 9;99;999;9999;... lkú számokkl. H 9 - cel szeretnénk szorozni, szorozzunk 0 -gyel, zz pótoljuk nullávl szorzott számot és z eredményből kivonjuk ugyncsk szorzott számot. Például Ez z lpj következő eljárásoknk is. Két esetet különböztetünk meg: I. A két szám számjegyeinek szám megegyezik. Vegyük szorztot. Az eljárás következő: kivonunk 87 -ből -et, zz 87 86, ez lesz z eredményünk első két számjegye. Alklmzzuk Mindent 9 -ből és z utolsót 0 -ből módszert 87 -re, tehát 87, ez lesz z eredményünk utolsó két számjegye. Tehát Nézzünk még néhány szorzást: ) : 5 4, 5, z eredmény ; b) : , , z eredmény ; 4 6 c) : , , z eredmény II.A két szám számjegyeinek szám nem egyezik meg. Itt két esetről beszélhetünk: számbn vn kevesebb számjegy vgy számbn vn több számjegy. i). Kevesebb 9 számjegy, például esetén. Látjuk, hogy két 9 -es vn, így z 56-t felírjuk 5 6 lkbn. Hozzádunk z 5 -höz -et, zz 5 6 és z eredményt kivonjuk z 56-ból Alklmzzuk Mindent 9 -ből és z utolsót 0 -ből módszert 6-r: 6. Az eredmény következő Nézzünk még néhány 7 példát: 6

31 ) ; 4 5, , 9 6 5, z eredmény ; 0 5 b) ; 76 77, , 5 8, z eredmény ; 4 7 c) ; 64 65, , 7 9, z eredmény 644. ii). H 9 -ből vn több: kivonunk 78-ból -et, zz Mivel 999- ben három kilences vn, kipótoljuk 78-t egy nullássl, elől, zz 078-t írunk, és erre lklmzzuk Mindent 9 -ből és z utolsót 0 -ből módszert : 0 7 8, z eredmény 9 pedig 779. Nézzünk még néhány példát: ) : 5 5, 0 0 5, z eredmény ; b) : 49 49, , z eredmény ; c) : , , z eredmény Ezek szorzások, mint láttuk, többé-kevésbé könnyen elvégezhetők fejben is. Lényegében ez z módszer előnye...6. Függőlegesen és átlósn z Urdhv Tirygbhym - szútr Ebben fejezetben bemuttunk és gykorlti példákon keresztül szemléltetünk egy, klsszikusnál egyszerűbb módszert számok szorzásár. Ahol szükség, lgebri bizonyítást is dunk. Nézzük 67 szorztot: 4 8. A két számot függőlegesen szoroztuk össze egymássl, nevezhetnénk ezt szorzást függőleges szorzásnk is. Mi történik esetében? 7

32 . A lépések következők:, 56 5, 6, z eredmény tehát 56. Látszik, hogy: először szoroztunk függőlegesen, blról. Után szoroztunk átlósn, z eredményeket összedtuk, végül pedig szoroztunk függőlegesen, jobbról és z eredményeket leírtuk egymás mellé. Megtörténhet, hogy műveletek eredménye nem számjegy, például 4 57 szorzt esetén A következőképpen járunk el: , (leírjuk 0 -t, mrd ), 4 7 (leírjuk z -et, mrd ), z eredmény Fejben következőképpen történik számolás: vesszük z eredményeket fordított sorrendben. z utolsó számjegy, mrd, tehát írjuk, hogy ; 40 4, tízesek számjegye, mrd 4. Írjuk, hogy 4 ;6 4 0, z eredmény Ezzel módszerrel, tehát, szorzás fejben ngyon könnyen elvégezhető. Könnyen észrevehető z is, hogy honnn jön ez z eljárás. H vesszük z n és n kétjegyű számokt, ezek z n b 0 b, n b 0 b lkbn írhtók. Ekkor n n b b módszer két polinom szorzásán lpszik. b b bb. Elmondhtjuk, hogy Szemléletesebb lehet dolog, h bevezetjük következő jelöléseket : bl-függőleges szorzt: b b, átlós szorzt: b b b b, jobbfüggőleges szorzt: b b b. b Végezzük el szorzást: , ,

33 Ekkor z eredmény: A módszer grfikusn is szemléltethető:..6- ábr Nézzük meg, mi történik háromjegyű számoknál, például 456 esetén. 4 4, , , , Az eredmény Grfikusn szemléltetve:..6- ábr Még egy péld két háromjegyű szám szorztár 4 67 :, 6, 7 6 4, , Tehát Nézzük meg két négyjegyű szám szorztát is, például itt hét lépés lesz A számítások következők: 6 5 9

34 6 6 ; 56 ; ; ; , 59 ; 9 7. Indulunk hátulról előre: 7 7 ; ; ; ; ; ; A szorzás grfikus szemléltetése:..6- ábr Négyjegyű számokig még el lehet fejben végezni szorzásokt, de négynél több jegyű számok esetén szorzás már próbár teszi fejszámolót. Ötjegyű számok esetén 9 lépés vn és áltlánosn, n számjegy esetén, n lépés. A védikus szorzási módszerrel hgyományos szorzáshoz képest jóvl hmrbb eredményhez jutunk ppíron, ceruzávl kézben is, közbeni szorzásokt fejben végezve el. Lényegében egy fél sorbn ki lehet számolni z eredményt. Nem beszéltünk még olyn esetekről, mikor szorzótényezők számjegyeinek szám különbözik, ilyen eset például Ilyenkor két számot egyform számjegyűvé tesszük, zz pótoljuk két zéróvl 4-t, százsok és z ezresek helyén. Így szorzást kell elvégezni, öt lépésben. Írhtjuk Vgy Nincsen ilyen esetekben sem problém módszer lklmzásávl és, h kell, még egyszerűbb z eljárás. Érdemes grfikusn is elvégezni szorzást. Ahol nincsenek összekötve számjegyek, ott z eredmény null lesz. 0

35 Nem mellékes dolog z sem, hogy polinomok szorzását is hmrbb el lehet végezni, hsználv ezt módszert. Nézzük, például, x x 5x 4x 4 x x 5 x 4x 4 szorztot. 4 x x x x x x 5x 8x 0. Fejben ki lehet számolni z együtthtókt. A Függőlegesen és átlósn módszer grfikus szemléltetése:..6-4 ábr Kezdetben lehet hsználni z ábrát, számjegyeket lehet írni pontok helyére, és végigcsinálni z egész lépést. Így fog mjd következni ugynez műveletsor elvégzése, csk fejben. Ezek után jöhet htványozás, gyökvonás, z eredmények ellenőrzése számjegyek összegének segítségével és, nem utolsó sorbn, ezek kmtozttás: determináns kiszámítás (hrmd- és negyedrendű), polinomok szorzótényezőre bontás, egyenletek megoldás... De, még mrdt egy érdekes eset...7. Három kétjegyű szám szorzt Még nem fogytk el trükkök: végezzük el 4 65 szorzást. Az eljárás itt is egyszerű: leírjuk egymás lá számokt 4, mjd kiszámoljuk eredmény egyeseit, tízeseit, 65 százsit és ezreseit. Egyesek: 5 5, tízesek: , százsok:

36 , ezresek: tehát A fenti szorzás grfikusn következőképpen szemléltethető:!!!!!!!!!!!!!!!!..7- ábr Az eljárás lgebri bizonyítás is egyszerű: legyen három szám n 0 b, n 0 b és n 0 b. Akkor írhtjuk, hogy: n n n b b b 0 0 b b bb 0 b 0 0 b b b b 0 b b b b bb bb b. Grfikusn könnyebben megjegyezhető módszer, ezért nem is jánljuk lklmzni (esetleg megjegyezni) fenti képletet. Gykorlásképpen nézzünk még egy utolsó szorzást: Végül következzen egy, youtube -on elég sűrűn bemuttott módszer, mit ott ősi kíni szorzási módszer -nek neveznek...8. Szorzás vonlkkl El lehet végezni egy szorzást rjzolv, vonlk segítségével. Például végezzük el 4 szorzást, hsználv..8- ábrát. Az eljárás következő: húzunk két vonlt átlósn, blról jobbr, lulról felfele és ezekkel párhuzmosn, egy kicsit távolbb, még egy vonlt ez lesz. Ugynezt elvégezzük átlósn, jobbról blr, lulról felfele, 4 vonlr. Ezek után számoljuk metszéspontokt. Három csoportot különböztetünk meg: piros, kék és brn. A piros pontok

37 szám dj százsok számát, kékeké tízesekét míg brnáké z egyesekét. Az ábr lpján írhtjuk Az ábr következő:..8- ábr H 5 -t szeretnénk kiszámolni, még húzunk: egy vonlt blról jobbr, lentről felfele és egyet jobbról blr, lentről felfele. A piros metszéspontok szám háromml nő, tehát 9 kékeké héttel, tehát 8 míg brnáké eggyel, tehát 5. Tehát Két háromjegyű szám szorzt, például 4 5 esetén z ábr következő: ábr

38 Látszik, hogy itt mivel két háromjegyű számot szorzunk egymássl, három három rend vonlt húzunk. Itt is számoljuk metszéspontokt, öt csoportot különböztetünk meg: piros, sötétkék, brn, zöld és világoskék. Ezek szám, megdott sorrendben, dj tízezresek, ezresek... számát. Az ábr lpján írhtjuk : Észrevehető, hogy ez módszer lpjábn megegyezik Függőlegesen és átlósn módszerrel. A vonlk metszéspontjink szám egy csoportbn két számjegy szorztát jelentik. H vesszük szerre: 6,, 9 5 5, 5 4 és 0 4 5, zz pontosn Függőlegesen és átlósn. Gykorltként végezzük el: ). 4 75; b) ; c) Négyzetre emelés védikusn. Az első fejezetben láttuk, hogy speciális esetekben viszonylg hmr kiszámíthtó egy természetes szám négyzete, fejben. Pontosbbn z 5 -tel végződő számokról vn szó. Ebben fejezetben próbálunk még több módszert bemuttni, áltlánosbb esetekre A Yvdunm Tvdunikrty Vrgnc Yojyet szútr A megnevezés mgyrul nnyit jelent, hogy: Bármennyi is legyen különbség, vond ki számból, és írd különbség négyzete mellé. Ez szútr olyn számok esetén lklmzhtó, melyek közel vnnk 0 vlmelyik htványához (mit lpnk veszünk). Itt három esetet különböztetünk meg: szám kisebb vgy ngyobb 0 vlmelyik htványánál vgy közel vn 0 egy többszöröséhez. Megvizsgáljuk mindhárom esetet, ötjegyű számokig. i). Alp ltti számok négyzete ) 8 - itt z lp 0. A különbség 0 8, és ennek négyzete ez lesz z eredmény utolsó számjegye. A különbséget kivonjuk számból, zz 8 6, ez lesz z eredmény első számjegye. Tehát ; b) 97 - z lp 00. A különbség 00 97, 9. Mivel z lp 00, h különbség négyzete nem kétjegyű szám, pótoljuk 0 -vl, elől. Tehát z utolsó két számjegy 09 és tehát c) z lp 000. A különbség , ; 6 56, , tehát