MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Egyenletek, egyenlőtlenségek

Átírás

1 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Egyenletek, egyenlőtlenségek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! Oldja meg a 7 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! ( pont) Oldja meg az halmazán! (4 pont) c) Legyen az A halmaz a egyenlőtlenség valós 6 0 egyenlőtlenséget a valós számok 7 megoldásainak halmaza, B pedig az 6 0 egyenlőtlenség valós megoldásainak halmaza. Adja meg az, és halmazokat! ahonnan 1. A ; 1 Az egyenlet gyökei: Mivel a főegyüttható pozitív, ezért c) A B ; A B 3; 1 B 3 ; A B A B B\ A 3; ( pont) ( pont) ( pont) B\ A 1 ; ( pont) Összesen: 1 pont ) Az a és b 1 C esetén számítsa ki C értékét, ha C a b! ( pont) ( pont)

2 3) Oldja meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert! 600 y y y (1 pont), ahol y 0 y 5 10y y 650 y y 50y y y 5y ( pont) ( pont) 15; y 0 ( pont) 1 40; 30 ( pont) 1 Ellenőrzés. ( pont) Összesen: 1 pont 4) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:! ( pont) Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ( pont) 14) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! , 5 17 Oldja meg a valós számok halmazán A zárójelek felbontása: 1, egyenlőtlenséget! (5 pont) (7 pont) ,5 85 0, 5, ( pont) 1 A gyökök a valós számok halmazán megfelelnek és vagy és 7 0 0, Az egyenlőtlenség megoldása: ; 0 0, ;. Összesen: 1 pont

3 15) Ha az eredetileg I0 watt m intenzitású lézersugár mm 0 mélyre hatol egy bizonyos anyagban, akkor ebben a mélységben intenzitása watt 0 m 6 I 0,1 I lesz Ezt az anyagot I watt 800 m 0 intenzitású lézersugárral világítják meg. Töltse ki az alábbi táblázatot! (Az intenzitásra kapott mérőszámokat egészre kerekítve adja meg!) (mm) 0 0,3 0,6 1, 1,5,1 3 watt I m 800 Mekkora mélységben lesz a behatoló lézersugár intenzitása az eredeti 15%-a? (A választ tizedmilliméterre kerekítve adja meg!) I 0 érték c) Egy gyermekszínház műsorának valamelyik jelenetében dekorációként az ábrán látható elrendezés szerinti négy csillag közül egyeseket zöld vagy kék lézerfénnyel rajzolnak ki. Hány különböző dekorációs terv készülhet, ha legalább egy csillagot ki kell rajzolni a lézerrel? (8 pont) (mm) 0 0,3 0,6 1, 1,5,1 3 watt I m Megoldandó a mérve). lg 0,15 0,1 6 lg 0,15 6 lg 0, ,15 0,1 6 egyenlet (ahol a keresett távolság mm-ben ( pont) ( pont) 49, A lézersugár intenzitása kb. 4,9 mm mélységben csökken az eredeti érték 15%-ára. c) Minden csillag esetében három lehetőség van a megvilágításra: kék, zöld, nincs kirajzolva. A különböző dekorációs tervek száma ezért:. (4 pont) Legalább egy csillagot ki kell rajzolni, így a lehetőségek száma Összesen: 17 pont

4 16) Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! 5 0 ( pont) 5; 5 ( pont) 17) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségeket! Mindkét esetben ábrázolja a megoldáshalmazt számegyenesen! (5 pont) (7 pont) azaz ( pont) (Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza azoknak az számoknak a halmaza, amelyekre teljesül) 1 vagy ) Mekkora az szorzata? Válaszát indokolja! Az egyenlet gyökei: 7 és 0,5. A gyökök összege: 6,5. A gyökök szorzata: 3, ( pont) Összesen: 1 pont 6, 5 3, 50 egyenlet valós gyökeinek összege, illetve ( pont) Összesen: 3 pont 19) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! (5 pont) 3 1, ahol 0 és (7 pont)

5 (Az 5 alapú eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt: 0 Ellenőrzés Az egyenlet bal oldalát közös nevezőre hozva: 0) Az egyenlet mindkét oldalát 3 A zárójelek felbontása és összevonás után: Nullára rendezve: A másodfokú egyenlet gyökei: Ellenőrzés 6 0 -vel szorozva ; ( pont) 1 Oldja meg a valós számok halmazán az 0 3 Összesen: 1 pont egyenlőtlenséget! (7 pont) Adja meg az négy tizedesjegyre kerekített értékét, ha (4 pont) c) Oldja meg a Ha alaphalmazon. 3, akkor (3 0, ezért) cos 3cos 0 0 A 3-nál kisebb számok halmazán tehát a egyenletet a ;, vagyis intervallum minden eleme ;3. ( pont) megoldása az egyenlőtlenségnek. Ha 3, akkor (3 0, ezért), vagyis A 3-nál nagyobb számok halmazában nincs ilyen elem, tehát a 3-nál nagyobb számok között nincs megoldása az egyenlőtlenségnek.. A megoldáshalmaz: ; 3 0. ( pont) log3 4 1, 619

6 c) (A megadott egyenlet cos -ben másodfokú,) így a megoldóképlet felhasználásával vagy cos. ( pont) Ez utóbbi nem lehetséges (mert a koszinuszfüggvény értékkészlete a 1;1 intervallum). A megadott halmazban a megoldások:, illetve. 3 3 ( pont) cos 0,5 Összesen: 17 pont 5) Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények, továbbá: f 5 5, 5 és g 3, 5 Számítsa ki az alábbi táblázatok hiányzó értékeit! 3 f() g(),5 Adja meg a g függvény értékkészletét! c) Oldja meg az számok halmazán! f, 5 5, 5 3, 5 egyenlőtlenséget a valós ,5,5 1 A függvény hozzárendelési utasítását átalakítva: A függvény minimuma a,5. Az értékkészlet: 5, ; c) Rendezés után: 1 Az egyenlet gyökei: 1 és Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, 3 1,75 0 3,5 1,5 3 1,75 0. ezért az egyenlőtlenség megoldása: ( pont). ( pont) Összesen: 1 pont 6) Mely valós számokra igaz, hogy 9? ( pont) Összesen: pont

7 7) Melyik y ; egyenletrendszernek? 6y 4 3 5y 0 Oldja meg az alábbi egyenletet! 1 6y 4 3 5y y 3y y 3 3 5y 0 6 9y 5y 0 valós számpár megoldása az alábbi y 1 3 y 5 Ellenőrzés. 1, ;. Ellenőrzés: 1 hamis gyök. 1 megoldása az egyenletnek. Összesen: 1 pont 8) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! (5 pont) (7 pont) lg 1 lg ( pont) Tehát 5 ( pont) Visszahelyettesítéssel az eredeti egyenletbe megbizonyosodtunk róla, hogy az 5 megoldás helyes

8 Értelmezési tartomány: Logaritmus-azonosság alkalmazásával: A logaritmus definíció alapján: lg4 1 ( pont) ( pont) 6 Ellenőrzés, visszahelyettesítés Összesen: 1 pont 9) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol és y valós számot jelöl! 3 y 16 5 y 45 Értelmezési tartomány: és Négyzetre emelve mindkét oldalt (a belső kikötés elvégzése miatt lehetséges):. ( pont) Rendezve: Az egyenlet gyökei: A nem része az értelmezési tartománynak, így nem valódi gyök. Az 1 ennek megfelelő gyök. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazva az első egyenletet beszorozva - vel: y 3 5 y , 1 1 ( pont) Egyszerűsítés után adódik: Visszahelyettesítve -et: 7 y 5 Ellenőrzés. A feladat megoldható a klasszikus behelyettesítős módszerrel is! Összesen: 1 pont 30) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 14 Válaszát indokolja! Az egyenletet rendezve: , 1 Összesen: 3 pont

9 31) Anna és Zsuzsi is szeretné megvenni az újságosnál az egyik magazint, de egyik lánynak sincs elegendő pénze. Anna pénzéből hiányzik a magazin 1 árának -a, Zsuzsi pénzéből pedig az ár egyötöde. Ezért elhatározzák, hogy közösen veszik meg a magazint. A vásárlás után összesen 714 Ft-juk maradt. Mennyibe került a magazin, és mennyi pénzük volt a lányoknak külön-külön a vásárlás előtt? (10 pont) A maradék 714 Ft-ot igazságosan akarják elosztani, azaz úgy, hogy a vásárlás előtti és utáni pénzük aránya azonos legyen. Hány forintja maradt Annának, illetve Zsuzsinak az osztozkodás után? (7 pont) Jelentse a magazin árát. Annának 0,88 forintja van. Zsuzsinak 4 forintja van. 5 Az egyenlet: , , és ( pont) A magazin 1050 Ft-ba került. Annának eredetileg 94 Ft-ja, Zsuzsinak 840 Ft-ja volt. Ellenőrzés. A maradékból Annának a, Zsuzsinak 714 a Ft jut. 94 a 0,88 a vagy a 0,8 714 a a a 340 ( pont) Ebből: Tehát Annának 374 Ft-ja, Zsuzsinak 340 Ft-ja marad a vásárlás után. Ellenőrzés. Összesen: 17 pont

10 3) 001-ben a havi villanyszámla egy háztartás esetében három részből állt. az alapdíj 40 Ft, ez független a fogyasztástól, a nappali áram díja 1 kwh fogyasztás esetén 19,8 Ft, az éjszakai áram díja 1 kwh fogyasztás esetén 10, Ft. A számla teljes értékének 1 %-át kell még általános forgalmi adóként (ÁFA) kifizetnie a fogyasztónak. Mennyit fizetett forintra kerekítve egy család abban a hónapban, amikor a nappali fogyasztása 39 kwh, az éjszakai fogyasztása 4 kwh volt? Adjon képletet a befizetendő számla F összegére, ha a nappali fogyasztás kwh, és az éjszakai fogyasztás pedig y kwh! c) Mennyi volt a család fogyasztása a nappali illetve és az éjszakai áramból abban a hónapban, amikor 5456 Ft-ot fizettek, és tudjuk, hogy a nappali fogyasztásuk kétszer akkora volt, mint az éjszakai? (8 pont) d) Mekkora volt a nappali és az éjszakai fogyasztás aránya abban a c) d) hónapban, amikor a kétféle fogyasztásért (alapdíj és ÁFA nélkül) ugyanannyit kellett fizetni? h 1, ,8 4 10, 1407, Ft-ot fizettek. (+1 pont) F 1, ,8 10,y , ,8 10,y y 4871, ,6y 10,y 4631,43 49,8y y 93 ( pont) ( pont) A nappali áramból 186 kwh, az éjszakaiból 93 kwh volt a fogyasztás. 19,8 10,y 10, y 19,8 0,515 a keresett arány. ( pont) Összesen: 17 pont 33) Egy farmernadrág árát 0 %-kal felemelték, majd amikor nem volt elég nagy a forgalom, az utóbbi árat 5 %-kal csökkentették. Most 3600 Ftért lehet a farmert megvenni. Mennyi volt az eredeti ára? Válaszát számítással indokolja! (4 pont) 1, 0, Ha Ft a farmer eredeti ára, akkor 4000 Ft Összesen: 4 pont

11 34) Az erdőgazdaságban háromféle fát nevelnek (fenyő, tölgy, platán) három téglalap elrendezésű parcellában. A tölgyfák parcellájában 4-gyel kevesebb sor van, mint a fenyőfákéban, és minden sorban 5-tel kevesebb fa van, mint ahány fa a fenyő parcella egy sorában áll. 360-nal kevesebb tölgyfa van, mint fenyőfa. A platánok telepítésekor a fenyőkéhez viszonyítva a sorok számát 3-mal, az egy sorban lévő fák számát -vel növelték. Így 8-cal több platánfát telepítettek, mint fenyőt. Hány sor van a fenyők parcellájában? Hány fenyőfa van egy sorban? (10 pont) Hány platánfát telepítettek? ( pont) sorok száma egy sorban lévő fák száma összesen fenyő y y tölgy platán 4 3 y 5 y 4 y 5 3 y y y A tölgyek és platánok összes számát kétféle módon felírva kapjuk az alábbi egyenleteket: 4 y 5 y y y 8 Rendezés után 5 4y 380 3y 36 és ( pont) Innen A fenyők parcellájában 36 sor, és egy sorban 50 db fenyőfa van. A platánok parcellájában 39 sor és soronként 5 fa van. 08 platánfa van. Összesen: 1 pont y 50 ( pont) 35) Bea édesapja két és félszer olyan idős most, mint Bea. 5 év múlva az édesapa 50 éves lesz. Hány éves most Bea? Válaszát indokolja! Ha Bea most éves, akkor,5 45, ( pont) ahonnan 18 Összesen: 3 pont

12 36) Ha fél kilogramm narancs 75 Ft-ba kerül, akkor hány kilogramm narancsot kapunk 300 Ft-ért? ( pont) kilogrammot. ( pont) 37) Egy vállalat Ft-ért vásárol egy számítógépet. A gép egy év alatt 10%-ot veszít az értékéből. Mennyi lesz a gép értéke 1 év elteltével? Írja le a számítás menetét! A gép értékének 10%-a: , (Ft) Egy év múlva: Ft 5000 Ft VAGY: Egy év után 90%-ra csökken az érték: 0, ( pont) A gép értéke: Ft lesz. Összesen: 3 pont 38) Budapestről reggel 7 órakor egy tehervonat indul Debrecenbe, amely megállás nélkül egyenletes sebességgel halad. A koordinátarendszerben a tehervonat által megtett utat ábrázoltuk az idő függvényében. Mekkora utat tett meg a tehervonat az első órában? ( pont) Számítsa ki, hogy hány óra alatt tesz meg a tehervonat 108 kilométert? ( pont) Budapestről reggel 7 óra 30 perckor egy gyorsvonat is indul ugyanazon az útvonalon Debrecenbe, amely megállás nélkül 70 km/h állandó nagyságú sebességgel halad. c) Rajzolja be a fenti koordinátarendszerbe a gyorsvonat út-idő grafikonját a 7 óra 30 perc és 9 óra 30 perc közötti időszakban! ( pont) d) Számítsa ki, hogy mikor és mekkora út megtétele után éri utol a gyorsvonat a tehervonatot! (11 pont)

13 40 km. ( pont),7 óra. ( pont) c) ( pont) d) A tehervonat 0,5 óra alatt 0 km-t tesz meg. A gyorsvonat 1 óra alatt 30 km-rel tesz meg többet, mint a tehervonat, azaz percenként 0,5 km-t hoz be a hátrányából. A tehervonat 0 km-es előnyét a gyorsvonat 40 perc alatt hozza be, tehát 8 óra 10 perckor éri utol , 3 A gyorsvonat kb. 46,7 km úton éri utol a tehervonatot. Ellenőrzés. (4 pont) Összesen: 17 pont 39) Egy új típusú, az alacsonyabb nyomások mérésére kifejlesztett műszer tesztelése során azt tapasztalták, hogy a műszer által mért és a valódi p v nyomás között a lg pm 0,8 lg pv 0,301 összefüggés áll fenn. A műszer által mért és a valódi nyomás egyaránt pascal (P egységekben szerepel a képletben. Mennyit mér az új műszer 0 Pa valódi nyomás esetén? (4 pont) Mennyi valójában a nyomás, ha a műszer 50 Pa értéket mutat? c) Mekkora nyomás esetén mutatja a műszer a valódi nyomást? (7 pont) A pascalban kiszámított értékeket egész számra kerekítve adja meg! lg p 0,8 lg 0 0,301 ( pont) m lg p 1,34 pm m Pa p m

14 c) lg 50 0,8 lg p v 0,301 lg p v lg 50 0,301 0,8 lg 1,747 pv p v p v 56 Pa p m felismerése ( pont), ( pont) ( pont) (Legyen a keresett nyomás ), ( pont) lg p 0,8 lg p 0,301 0,301 lg p 1,505 0, p p p v m ( pont) p 3 Pa Összesen: 17 pont 40) Egy szám 5 6 részének a 0%-a 31. Melyik ez a szám? Válaszát indokolja! A keresett számot -szel jelölve, a szám 5 6 része: , Összesen: 3 pont 41) Újsághír: Szeizmológusok számításai alapján a 004. december 6-án Szumátra szigetének közelében kipattant földrengés a Richter-skála szerint 9,3-es erősségű volt; a rengést követő cunami (szökőár) halálos áldozatainak száma megközelítette a 300 ezret. A földrengés Richter-skála szerinti erőssége és a rengés középpontjában felszabaduló energia között fennálló összefüggés: M 4, 4 lg E. 3 Ebben a képletben E a földrengés középpontjában felszabaduló energia mérőszáma (joule-ban mérve), M pedig a földrengés erősségét megadó nem negatív szám a Richter-skálán. A Nagasakira 1945-ben ledobott atombomba felrobbanásakor 14 felszabaduló energia 1, joule volt. A Richter-skála szerint mekkora erősségű az a földrengés, amelynek középpontjában ekkora energia szabadul fel?

15 A 004. december 6-i szumátrai földrengésben mekkora volt a felszabadult energia? c) A 007-es chilei nagy földrengés erőssége a Richter-skála szerint - vel nagyobb volt, mint annak a kanadai földrengésnek az erőssége, amely ugyanebben az évben következett be. Hányszor akkora energia szabadult fel a chilei földrengésben, mint a kanadaiban? (5 pont) d) Az óceánban fekvő egyik szigeten a földrengést követően kialakuló szökőár egy körszelet alakú részt tarolt le. A körszeletet határoló körív középpontja a rengés középpontja, sugara pedig 18 km. A rengés középpontja a sziget partjától 17 km távolságban volt (lásd a felülnézeti ábrán). Mekkora a szárazföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? 14 4,4 lg 1, M 3 M 5 ( pont) 9,3 4,4 lg 3 E lg E 0,58 Tehát a felszabadult energia körülbelül 0 E 3, 810 J c) A chilei rengés erőssége -vel nagyobb volt, mint a kanadai: 4,4 lg Ec 4,4 lg Ek 3 3 Rendezve: lg E lg E 3 c (A logaritmus azonosságát alkalmazv Ebből E E c k 1000 k Ec lg 3 E 1000-szer akkora volt a felszabadult energia. d) Az ábra jelöléseit használjuk. Az AKF derékszögű háromszögből: 17 cos 18 19,. 38,4 k 18 sin38,4 T AKB 100,6 km 38,4 Tkörcikk ,6 km 360 T 108,6 100,6 8 km körszelet Az elpusztult rész területe körülbelül 8 km. Összesen: 17 pont