A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú."

Átírás

1 1. Vektorok, lineáris algebra 1.1. Mátrixok Fogalmak, tételek Definíció A mátrix elemek általában számok táblázata téglalap alakú elrendezésben. Nyomtatott nagybetűvel jelölik ezen felül nyomtatásban vastag betűvel. Szokás a táblázatot szögletes vagy kerek zárójelbe tenni Példa: A= Mátrixot úgy szorzunk egyλszámmal, hogy minden elemét megszorozzukλ-val. Példa: Ha A= , akkor 3A= A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú. Jelölés: A 4 3 Készítette: Vajda István 1

2 Összeadni és kivonni csak azonos típusú mátrixokat lehet. (Tehát ugyanannyi sorból és ugyanannyi oszlopból kell állniuk.) A megfelelő helyen levő elemeket kell összeadni, illetve kivonni. Példa: Ha B= [ ] és C= [ ], akkor B+C= [ Két mátrix adott sorrendben akkor szorozható össze, ha az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával. Pl. az A 2 3 mátrix (két sora és három oszlopa van), összeszorozható a B 3 4 mátrixszal ebben a sorrendben, fordított sorrendben azonban nem. (Tehát az AB szorzás elvégezhető, de a BA nem.) Ha két mátrixot összeszorzunk, akkor az eredménymátrixnak annyi sora lesz, mint az első mátrixnak és annyi oszlopa, mint a másodiknak. (A n p B p q = C n q ) ] Pl. ha egy A 2 3 mátrixot és egy B 3 5 mátrixot összeszorzunk, akkor az eredmény az (AB) 2 5 mátrix, amelynek 2 sora van (mint A-nak) és 5 oszlopa (mint B-nek). Tétel: Legyen az A és B mátrixok szorzata C. A C mátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy számítjuk ki, hogy az A mátrix i-edik sorának elemeit rendre megszorozzuk a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemével és az így kapott szorzatokat összeadjuk. Példa: [ ][ ] 20=4 ( 3)+1 4+( 2) 6 Készítette: Vajda István 2

3 A mátrixszorzás nem kommutatív, tehát ha a tényezőket felcseréljük, akkor az eredmény megváltozhat, sőt lehet, hogy a szorzás az egyik sorrendben elvégezhető, a másikban nem. Példa: [ [ ][ ] ], de [ [ ] ][ ] Ha egy mátrixnak ugyanannyi sora van, mint ahány oszlopa, akkor négyzetes (kvadratikus) mátrixnak nevezzük. A négyzetes mátrix főátlóját azok az elemek alkotják, amelyek ugyanannyiadik sorban vannak, mint ahányadik oszlopban. Tehát az első sor első eleme, a második sor második eleme stb Példa: A négyzetes mátrix másik (főátlótól különböző) átlóját mellékátlónak nevezzük. Példa: A diagonális mátrix (diagonálmátrix) olyan négyzetes mátrix, amelynek minden főátlón kívüli eleme 0. Megjegyzés: Az nem kizárt, hogy a főátlóban is legyen Példák: A= B= C= Készítette: Vajda István 3

4 Az olyan diagonális mátrixot, amelynek minden főátlóbeli eleme 1, egységmátrixnak nevezzük. Példák: A= B= Készítette: Vajda István 4

5 Feladatok 1. Adottak az A, B, C mátrixok: [ ] [ A=, B= ] és C= Számítsa ki az A+2B és a 3C 2B+A mátrixokat! 2. Írjuk fel a 2A B mátrixot A= B= Szorozzuk össze az A és a B mátrixokat. [ ] [ ] a) A= B= [ ] b) A= B= c) A= [ d) A= ] B= B= [ ]. Készítette: Vajda István 5

6 Megoldások [ ] A+2B= A B= 3. a) d) [ ] b) 3C 2B+A= [ [ ] ] c) Nem végezhető el Készítette: Vajda István 6

7 1.2. Determinánsok Fogalmak, tételek Egy 2 2-es mátrix determinánsának értéke a főátlóbeli és a mellékátlóbeli elemek szorzatának különbsége. Jelölés: Az A (négyzetes) mátrix determinánsát det A-val jelöljük. Ha a mátrix elemeivel akarjuk felírni a mátrix determinánsát, akkor a mátrix elemeit két függőleges vonal közé tesszük. Példa: Ha A= [ ], akkor det A= = =7 Az n n-es determinánst, n-edrendű determinánsnak is nevezzük. Tehát a 2 2-es determináns másodrendű, a 3 3-as harmadrendű, stb. Sakktáblaszabály: A determináns elemeihez +, illetve előjeleket rendelünk, amelyek úgy váltakoznak, mint a világos és sötét mezők a sakktáblán. Az első sor első eleméhez + előjel tartozik Az n-edrendű determináns egy adott eleméhez tartozó (előjeles) aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy elhagyjuk a szóbanforgó elem sorát és oszlopát, és a megmaradó elemek által alkotott determinánst változatlanul hagyjuk, vagy megszorozzuk 1-gyel aszerint, hogy az adott elemhez a saktáblaszabály szerint+, vagy tartozik. Készítette: Vajda István 7

8 1 2 3 Példa: Az determináns első sorának második eleméhez tartozó (előjeles) aldetermináns: ( 1) Ugyanezen a determináns a második sorának második eleméhez tartozó (előjeles) aldeter- 1 3 mináns: 1 5. A magasabbrendű determinánsok kiszámítását, visszavezethetjük alacsonyabbrendűek kiszámítására a kifejtési tétel segítségével: Kiválasztjuk a determináns egy tetszőleges sorát, vagy oszlopát és ennek elemeit rendre megszorozzuk a hozzájuk tartozó (előjeles) aldeterminánssal, végül az így kapott szorzatokat összeadjuk. Példa: Fejtsük ki a = determinánst az első sora szerint! ( 1) = = 2 (0 ( 4)) (3 8) ( 6 0)=19 Fejtsük ki ugyanezt a determinánst a második sora szerint is! = = 3 (1 2) 2 ( 4 4)=19 Természetesen mint a példában is mindegy, hogy a determinánst melyik sora vagy oszlopa szerint fejtjük ki, ez a determináns értékét nem befolyásolja. Az elvégzendő számolás mennyisége azonban jelentősen különböző lehet választásunktól függően. A fenti példában pl. kevesebbet kellett számolnunk a második esetben, mert a második sorban az egyik elem 0, ezért a hozzá tartozó aldeterminánst nem kellett kiszámolni. A kifejtési tétel mindig alkalmazható a magasabbrendű determinánsok kiszámítására, de minél magasabbrendű determinánsról van szó, annál számolásigényesebb. Készítette: Vajda István 8

9 Harmadrendű determinánsok kiszámítására alkalmazható a Sarrus-szabály is: A determináns első és második oszlopát mégegyszer leírjuk a determináns mögé, így összesen öt oszlopot kapunk. A determináns értéke a főátló irányában öszszeköthető elemhármasok szorzatösszegének és a mellékátló irányában összeköthető elemhármasok szorzatösszegének a különbsége Példa: Számítsuk ki az determináns értékét Sarrus-szabállyal! = ( 1) 3 ( 2) ( 1) ( 2) 1 3 1= A determináns értéke nem változik, ha egy sorát (vagy annak számszorosát) hozzádjuk egy másik sorához. (A tétel oszlopokra is érvényes.) Példa: = = ( 1) = 19 Itt a determináns kiszámítása során először hozzáadtuk az első sor kétszeresét a harmadik sorhoz. Ezután a determinánst a második oszlopa szerint fejtettük ki, mert abban csak egy 0-tól különböző elem maradt, tehát csak egy aldeterminánst kellett kiszámítanunk. Készítette: Vajda István 9

10 Feladatok 1. Számítsa ki a következő determinánsok értékét: 3 5 a) b) c) 2 6 d) e) Készítette: Vajda István 10

11 Megoldások a) 2 4 = =2 b) = 0 c) = d) = = =0 e) Első megoldás: = ( 2) = 2 5+( 2) ( 7)=24 Második megoldás: Először a második sort hozzáadjuk a harmadikhoz, majd a determinánst kifejtjük a középső oszlopa szerint: = = = 10 ( 14)=24 Készítette: Vajda István 11

12 1.3. Lineáris egyenletrendszerek Fogalmak, tételek Egy (algebrai) egyenletrendszert lineárisnak nevezünk, ha csak elsőfokú és konstans tagok szerepelnek benne. Példák: 4x +2y 7z=12 x+11y 2z= 9 egy lineáris egyenletrendszer. x 2y+2z= 8 7x 1 +3x 2 7x 3 +x 4 = 12 2x 1 +8x 2 +33x 3 4x 4 = 19 szintén egy lineáris egyenletrendszer. 3x 1 2x 2 +8x 3 +9x 4 = 7 4x+3y 2 7z=12 nem lineáris egyenletrendszer, mert van benne egy másodfokú tag (3y 2 ). x+11y 2z= 9 x 2y+2z= 8 4x +2y 7z=12 szintén nem lineáris egyenletrendszer, mert van benne egy xy+11y 2z= 9 másodfokú tag (xy). x 2y+2z= 8 { 4 ln x +2y=12 x+11y= 9 nem is algebrai egyenletrendszer (az ln x tag miatt). Ha egy lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor az egyenletrendszer fődeterminánsa az ismeretlenek együtthatóiból alkotott determináns. Példák: 4x +2y = 12 Az x+11y 2z= 9 x 2y+2z= 8 egyenletrendszer fődeterminánsa Mint a példában is látszik, ha valamelyik egyenletben az egyik ismeretlen nem szerepel, akkor a determináns megfelelő eleme 0, ha pedig nem írjuk ki az ismeretlen együtthatóját, az azt jelenti, hogy az együttható 1.. Készítette: Vajda István 12

13 7x 1 +3x 2 7x 3 +x 4 = 12 Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 4x 4 = 19 3x 1 2x 2 +8x 3 +9x 4 = 7 egyenletrendszer esetén nem beszélhetünk fődeterminánsról, mert az ismeretlenek száma nem egyezik meg az egyenletek számával. Ha egy lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, akkor az egyenletrendszer minden ismeretlenéhez tartozik egy módosított determináns, amit úgy kapunk, hogy a fődeterminánsban a megfelelő ismeretlen együtthatóit kicseréljük az egyenlőségjelek jobboldalán álló konstans tagokra. Példák: 4x +2y = 12 Az x+11y 2z= 9 egyenletrendszer módosított determinánsai: x 2y+2z= D x = D y = D z = x 1 +3x 2 7x 3 = 12 Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 = 19 egyenletrendszer módosított determinánsai: 3x 1 2x 2 +8x 3 = D 1 = D 2 = D 3 = Cramer-szabály: Ha a lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával, és az egyenletrendszer fődeterminánsa nem 0, akkor az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van és az egyes ismeretleneket úgy számíthatjuk ki, hogy a megfelelő módosított determinánst elosztjuk a fődeterminánssal. 7x 1 +3x 2 7x 3 = 12 Példa: Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 = 19 3x 1 2x 2 +8x 3 = 7 egyenletrendszer megoldása: x 1 = D 1 D = ,76 x 2= D 2 D = ,95 x 3= D 3 D = ,45 Készítette: Vajda István 13

14 Ha a lineáris egyenletrendszer fődeterminánsa 0, akkor az két dolgot jelenthet: az egyenletrendszer ellentmondó (azaz nincs megoldása) vagy összefüggő (végtelen sok megoldása van). Az egyenletrendszer mátrixán az ismeretlenek együtthatóiból alkotott mátrixot értjük. Példa: 7x 1 +3x 2 7x 3 +3x 4 = 12 Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 = 19 x 1 +8x 3 +2x 4 = 7 egyenletrendszer mátrixa: Ha az egyenletrendszer mátrixát kiegészítjük még egy oszloppal, amelynek elemei az egyenletrenszer jobboldalán álló konstansok, akor az egyenletrendszer kibővített mátrixát kapjuk. Példa: 7x 1 +3x 2 7x 3 +3x 4 = 12 Az 2x 1 +8x 2 +33x 3 = 19 x 1 +8x 3 +2x 4 = egyenletrendszer kibővített mátrixa: Megjegyzés: Az egyenletrendszer kibővített mátrixa tulajdonképpen az egyenletrendszer rövidített írásmódja, hiszen nem kell kiírni az ismeretleneket és az egyenlőségjeleket, mégis minden együtthatóról tudjuk, hogy melyik ismeretlenhez tartozik a helye alapján. Készítette: Vajda István 14

15 A Gauss-módszer a lineáris egyenletrendszerek megoldásának egy módszere akárcsak a Cramer-szabály. Előnye, hogy minden esetben alkalmazható. A megoldás során az egyenletrendszer kibővített mátrixából indulunk ki és ezt a mátrixot ún. elemi sorműveletek segítségével módosítjuk. Minden módosított mátrix egy az eredetivel ekvivalens egyenletrendszernek felel meg. Az elemi sorműveletek: A mátrix két sorát megcserélhetjük. A mátrix bármelyik sorát megszorozhatjuk vagy eloszthatjuk egy 0-tól különböző számmal. A mátrix egy sorát vagy annak valahányszorosát hozzáadhatjuk egy másik sorához, illetve levonhatjuk belőle. Megjegyzés: Az elemi sorműveletek az egyenletrendszerek megoldásának középiskolából jól ismert lépései. A mátrix két sorának cseréje megfelel két egyenlet felcserélésének, ami nyilván ugyanazt az egyenletrendszert eredményezi. Ha a mátrix egy sorát megszorozzuk egy 0-tól különböző számmal, az a megfelelő egyenlet ugyanezen számmal való szorzásának felel meg stb. A Gauss-módszer alkalmazása során arra törekszünk, hogy kialakítsuk az ún. lépcsős alakot, ami azt jelenti, hogy a mátrix bal alsó sarkában egy 0-kból álló háromszög esetleg trapéz alakú rész alakítunk ki. Ez megkönnyíti a megoldás felírását. Példák: Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: x +y +z=9 2x+4y 3z=1 3x+6y 5z=0 Készítette: Vajda István 15

16 Adjuk hozzá az első sor 2-szeresét a második, 3-szorosát a harmadik sorhoz! Így elemi sorműveletek segítségével elérjük, hogy az első oszlopban a legfelső elem kivételével minden elem 0 legyen. Most vonjuk le a második sort a harmadik sorból és cseréljük meg a második és a harmadik sort! Végül vonjuk le a második sor kétszeresét a harmadik sorból! Ezáltal a második oszlop legalsó eleme is 0 lesz, eljutottunk a lépcsős alakhoz kialakult a 0-kból álló háromszög a bal alsó sarokban. Az így kialakult eredetivel ekvivalens egyenletrendszer utolsó egyenlete z=3, ami megadja a harmadik ismeretlen értékét. A második egyenlet y 3z = 10, amit átrendezve megkapjuk y értékét is: y=3z 10=3 3 10= 1. Végül az első egyenletből megkapjuk x értékét: x+ y+z= 9 x=9 y z=9 ( 1) 3=7. Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása az x = 7, y = 1, z = 3 számhármas. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: 2x 2z=6 +y +z=1 2x+y z=7 3y+3z= Adjuk hozzá a második sor 3-szorosát a negyedik sor hoz! Az utolsó sorban minden ismertelen együtthatója lesz, míg a jobboldalon álló konstans tag értéke 3. Ez a x+0 y+0 z= 3 egyenletnek felel meg, amelynek nincs megoldása, hiszen az egyenlet baloldala az x, y, z 6 változók bármely értéke esetén 0, ami nem egyezik meg a jobboldallal. Ha az egyenletrendszer megoldása során ilyen ellentmondó egyenlet adódik, akkor az egyenletrendszernek 3 nincs megoldása. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: x y +z=1 3x +z=3 5x 2y+3z=5 Hajtsuk végre az elemi sorműveleteket a szokott módon: Az utolsó egyenlet 0 x+0 y+0 z=0 az x, y, z ismeretlenek bármely értéke esetén teljesül, ezért az ismeretlenekre nézve semmilyen információt nem hordoz semmitmondó. Ezért ezt a továbbiakban figyelmen kívül hagyhatjuk. Így viszont csak két egyenletünk maradt kevesebb, Készítette: Vajda István 16

17 mint az ismeretlenek száma. Ha az egyik ismeretlent, pl. z-t paraméternek választjuk, akkor vele a másik két ismeretlen kifejezhető. A második egyenletből y= 2 z és x=1+ y z= 3 = z z=1 1 z, ahol z tetszőleges valós szám. 3 Tehát a megoldás: x=1 1 3 z, y= 2 z, z R 3 Ez végtelen sok megoldás, hiszen z-t végtelen sokféleképpen választhatjuk. Írjuk fel a végtelen sok megoldás közül kettőt! Pl. ha z=0, akkor x=1, y=0, z=0, ha z=3, akkor x=0, y=2, z=3. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy ezek a megoldások kielégítik az eredeti egyenletrendszert. Készítette: Vajda István 17

18 Feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletrendszereket: 2x 3y+6z=14 a) x+4y z= 6 4x y+2z= 8 5x +2y 6z= 2 b) 2x +4y+10z= 8 9x+10y+14z=18 7x+2y 3z=2 c) 2x+4y 5z=0 17x 2y +z=5 Készítette: Vajda István 18

19 Megoldások 1. a) A 2x 3y +6z=14 x + 4y z= 6 4x y +2z= 8 egyenletrendszer megoldása Cramer-szabállyal. Az egyenletrendszer fődeterminánsa D= = Az y-hoz tartozó módosított determináns D y = = 140, így y= D y = 2. Hasonlóan számolható x értéke: x=1. Az utolsó ismeretlent D érdemesebb úgy meghatározni, hogy az egyenletek valamelyikébe behelyettesítjük a már meghatározott ismeretleneket és a kapott egyismeretlenes egyenletből meghatározzuk z értékét (z=3). A megoldás x=1, y=2, z=3. Készítette: Vajda István 19

20 1. a) A 2x 3y+6z=14 x+4y z= 6 4x y+2z= 8 egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel: ( 1) ) ( A redukált egyenletrendszer leolvasható az utolsó mátrixból: x+4y z = 6 y 2z = 4 z = 3 Ha a z=3-at visszahelyettesítjük a második egyenletbe y=2-t kapunk, majd z-t és y-t visszahelyettesítve az első egyenletbe x=1 adódik. A megoldás x=1, y=2, z=3. Készítette: Vajda István 20

21 2. A 5x +2y 6z= 2 2x +4y+10z= 8 9x+10y+14z=18 egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel: Az utolsó előtti mátrix harmadik sora a 0 x+0 y+0 z=0 egyenletnek felel meg, ami nem hordoz információt, mert minden ( x, y, z ) hármas kielégíti. Ezt az egyenletet tehát elhagyhatjuk, így a redukált egyenletrendszer két egyenletből áll. Mivel eggyel több ismeretlenünk van, mint egyenletünk ezért egy ismeretlent paraméternek választunk. Legyen ez pl. z. A megoldás: x= z, y= z, z R A 7x+2y 3z=2 2x+4y 5z=0 17x 2y +z=5 egyenletrendszer megoldása Gauss-módszerrel: A redukált egyenletrendszer az utolsó egyenlet tehát 0 x+0 y+0 z=1, ami nem teljesülhet semmilyen ( x, y, z ) hármas esetén. Az egyenletrendszernek nincs megoldása., Készítette: Vajda István 21

22 1.4. Vektorok Fogalmak, tételek A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. #» Jelölés: Felírhatjuk a vektort a kezdő és végpontja segítségével: PQ vagy jelölhetjük egy kisbetűvel is. Az utóbbi esetben a vektort jelölő betűt írásban aláhúzzuk, nyomtatásban vastagon szedjük: v vagy v. Két vektor egyenlő, ha nagyságuk (hosszuk) is és irányuk is megegyezik. Példa: Az ABCD paralelogramma AB #» és DC #» oldalvektorai megegyeznek, mert nagyságuk és irányuk is egyenlő. Írhatjuk tehát, hogy AB= #» DC. #» Az AB #» és CD #» vektorok azonban nem egyeznek meg, mert irányuk nem egyezik meg (hanem ellentétes). Tehát AB #» CD #» D C D C A B A B A vektor hosszát a vektor abszolút értékének is nevezzük. Jelölés: #» PQ, p, r A vektor abszolút értéke csak nemnegatív (valós) szám lehet. Azt a vektort, amelynek abszolút értéke 0, nullvektornak nevezzük. Ennek iránya tetszőleges, ezét pl. minden más vektorral párhuzamos, de minden más vektorra merőleges is. Jelölés: 0, illetve 0. (Különbözik a 0 számtól!). Készítette: Vajda István 22

23 Ha egy vektor abszolút értéke 1, akor egységvektornak nevezzük. Megjegyzés: Míg 0 vektor csak egy van, addig egységvektor végtelen sok. Két vektor összegén egy harmadik vektort értünk, amelyet meghatározhatunk paralelogramma-módszer, vagy öszszefűzés (háromszög-módszer, sokszög-módszer) segítségével. b a+b a+b b a a Megjegyzés: Párhuzamos vektorok összegzése esetén csak az összefűzés módszerét alkalmazhatjuk. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív (a számok összeadásához hasonlóan), azaz a, b esetén a+b=b+a a, b, c esetén (a+b)+c=a+(b+c). Az a és b vektorok a b különbségén azt a c vektort értjük, amelyre b+c=a. b a b (= c) Megjegyzések: a Két vektor különbségét megkaphatjuk úgy, hogy közös kezdőpontba toljuk őket, mert ekkor a különbségvektor a végpontjaikat összekötő vektor lesz, a kisebbítendő felé irányítva. A vektorok összeadása, illetve kivonása során az eredmény esetleg a 0 is lehet. Készítette: Vajda István 23

24 Bármely a vektor esetén a+0=a és a 0=a. Egy a vektor és egyλszám szorzata egy vektor, amelynek hossza λa = λ a, párhuzamos a-val ésλ>0 esetén egyirányú,λ<0esetén ellentétes irányú a-val. a 2a 2a 3a A Vektorok számmal való szorzására érvényesek a következő műveleti szabályok: λ,µ a eseténλ ( µa ) = ( λµ ) a (kvázi asszociativ) λ a, b eseténλ (a+b)=λa+λb (disztributív) λ,µ a esetén ( λ+µ ) a=λa+µa (kvázi disztributív) Példák: 2 (3a)=6a 5 (u+v)=5u+5v (2+7) w=9w Készítette: Vajda István 24

25 A térben való eligazodáshoz leggyakrabban ún. Descartes-féle koordinátarendszert használunk. Ennek kezdőpontja a koordinátatengelyek közös pontja (origo), a tengelyek páronként merőlegesek egymásra. A továbbiakban tegyük fel, hogy az x, y és z tengely ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. (z pozitív oldala felől ránézve az xy síkra az x-tengelyt pozitív, azaz óramutató járásával ellentétes 180 -nál kisebb forgás viszi az y tengelybe.) Mindhárom tengelyen felveszünk egy a tengely pozitív irányába mutató egységvektort (i, j, k), melyeket bázisvektornak nevezünk. z y k j i x A tér bármely v vektora egyértelműen feírható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként, azaz v = xi+ yj+zk alakban, ahol x, y, z valós számok. Megjegyzés: Az egyértelmű felírhatóság két dolgot jelent: Minden v vektorhoz található olyan x, y, z számhármas, amelyre v=xi+ yj+zk Minden v vektorhoz pontosan egy ilyen hármas található, tehát v nem írható fel többféleképpen az i, j, k vektorok lineáris kombinációjaként. A v vektor v = xi+yj+zk lineáris kombinációjában szereplő x, y, z számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük. Példa: Ha v=2i 3j+k, akkor v (2, 3, 1), azaz v első koordinátája 2, második koordinátája 3, harmadik koordinátája 1. Megjegyzés: Az első koordinátára használatos az abszcissza a másodikra az ordináta, a harmadikra a kóta elnevezés is. Két vektor összegének koordinátái az eredeti vektorok megfelelő koordinátáinak összegével egyenlők. Készítette: Vajda István 25

26 Példa: Ha a(2, 7, 3), b(4, 1, 5), és c=a+b, akkor c(6, 6, 2). Két vektor különbségének koordinátái az eredeti vektorok megfelelő koordinátáinak különbségével egyenlők. Példa: Ha a(4, 1, 3), b(5, 1, 6), és c=a b, akkor c( 1, 2, 9). Ha egy vektort egyλszámmal szorzunk, akkor az így kapott vektor minden koordinátája a eredeti vektor megfelelő koordinátájánakλ-szorosa lesz. Példa: Ha a(3, 1, 5) és b = 4a, akkor b(12, 4, 20). Tekintsük az AB #» vektort, melynek kezdőpontja A(a 1, a 2, a 3 ), végpontja B(b 1, b 2, b 3 ). Ekkor az AB #» vektor koordinátái a B és A pont megfelelő koordinátáinak különbségével egyenlők, azaz AB #» (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ). Példa: Ha A(2, 1, 2) és B(4, 5, 1), akkor #» AB (2, 6, 3). Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a végpont koordinátáiból kell a kezdőpont koordinátáit levonni! Készítette: Vajda István 26

27 Feladatok Abszolút érték, lineáris kombináció 1. Számítsa ki a következő vektorok abszolútértékét: a) a(2, 1, 2) b) b(4, 1, 8) c) c(6, 1, 18) d) d(2, 3, 6) 2. Adottak az a(2, 9, 7) és a b( 3, 0, 6) vektorok. Számítsa ki a következő vektorok koordinátáit: a) 3a+2b b) a+3b c) 2a 5b d) 7a+ 3 2 b 3. Párhuzamosak-e az alábbi vektorpárok? a) a(2, 9, 7), b(12, 8, 6) b) c(3, 4, 2), d(9, 12, 6) c) u( 1, 5, 3), v( 3 15,, 9) Írja fel a megadott vektor irányába mutató egységvektort: a) a(4, 3, 12) b) b( 4, 6, 12) c) c(8, 2, 16) 5. Írja fel az A és a B pontokat összekötő #» AB vektort és számítsa ki a hosszát: a) A(11, 4, 7), B(17, 2, 10) b) A(1, 6, 9), B( 3, 8, 5) c) A( 1, 5, 4), B(2, 11, 9) Készítette: Vajda István 27

28 Skaláris és vektoriális szorzat 1. Adott az ABC háromszög. Számítsa ki a háromszög oldalait, kerületét és szögeit. a) A(3, 0, 4), B(5, 9, 7), C( 1, 4, 3) b) A( 3, 1, 4), B(2, 7, 3), C( 2, 0, 0) c) A(5, 2, 2), B(2, 7, 3), C( 2, 0, 0) 2. Számítsa ki a következő vektorok skaláris és vektoriális szorzatát: a) a(4, 1, 1), b(7, 4, 3) b) a( 3, 2, 1), b( 5, 2, 4) c) a(4, 5, 1), b(5, 2, 10) 3. Válassza meg a hiányzó koordinátát úgy, hogy a két vektor merőleges, illetve párhuzamos legyen egymással: a) a(4, 3, 6) b(x, 1, 3) b) a( 8, 12, x), b(4, 6, 5) c) a(x, 2, 8), b( 6, y, 9) 4. Számítsa ki az ABC háromszög területét: a) A(6, 3, 4), B( 2, 0, 4), C(3, 6, 4) b) A(1, 1, 1), B(2, 3, 5), C(4, 0, 3) c) A(2, 1, 1), B(3, 0, 7), C(11, 2, 3) Készítette: Vajda István 28

29 Megoldások Abszolút érték, lineáris kombináció 1. a) a = = 3 b) b =9 c) c =19 d) d =7 2. a) 3a+2b=27j 9k b) a+3b= 11i 9j+25k c) 2a 5b=i 18j 16k d) 7a+ 3 2 b= 19 2 i+63j 40k 3. a) a b, mert nincs olyan alkalmas szám szorzó, amellyel a-t megszorozva b-t kapjuk. (Pl ). b) c d, mert d=3c. c) u v, mert v= 3 4 v. 4. a) e a = a a = a ( 4 13 e a 13, 3 13, 12 ) 13 ( b) e b 2 7, 3 7, 6 ) 7 ( 4 c) e c 9, 1 9, 8 ) 9 5. a) AB(6, #» 2, 3), AB =7 #» b) AB( 4, #» 2, 14), AB =6 #» 6 14,7 c) AB(3, 16, #» 13), AB = #» ,8 Készítette: Vajda István 29

30 Skaláris és vektoriális szorzat 1. a) #» AB(2, 9, 3), AB= #» AB = 94, BC= 221, AC= 33, k= , 3 #» AB AC #» cosα= AB #» AC #» = 47 0, α 147,55, β 11,97, γ 20,48 b) AB= 110, BC= 74, CA= 18, k= ,33 α 52,64, β 23,08, γ 104,28 c) AB= 38, BC= 74, CA= 78, k= ,6 α 67,31, β 71,9, γ 41,39 2. a) ab= ( 1) 3=29 i j k a b= = i a b(7, 19, 9) b) ab=15 a b(10, 7, 16) c) ab=0 a b( 48, 45, 33) j k=7i 19j+9k 3. a) a és b akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0, azaz: 4x 3+18=0, tehát x= A két vektor nem lehet párhuzamos, mert 3 1 6, azaz nincs olyan szám, amellyel 3 b-t megszorozva a-t kapnánk. b) a b akkor és csak akkor, ha x= A két vektor párhuzamos, ha x= 10. c) A két vektor merőleges, ha az y=36 3x összefüggés teljesül. (Tehát végtelen sok esetben, mert pl. x értékét tetszés szerint választva, ahhoz kiszámítható a megfelelő y.) a b, ha x= 48 9 és y= a) #» AB( 8, 3, 0), b) #» AB(1, 4, 4), c) #» AB(1, 1, 6), #» AC( 3, 9, 0), #» AC(3, 1, 2), #» AC(9, 3, 4), #» AB AC= 63k, #» T= AB #» AC #» 2 #» AB #» = 31, AC= 4i+10j+11k, T= 7, , 16 2 #» AB AC #» = 22i+58j 6k, T = Készítette: Vajda István 30

31 1.5. Egyenes és sík Fogalmak, tételek Az e egyenessel párhuzamos 0-tól különböző vektort e irányvektorának nevezzük. Megjegyzések: Minden egyenesnek végtelen sok irányvektora van. Párhuzamos egyenesek irányvektorai megegyeznek. Ha r 0 az e egyenes egy P 0 pontjának helyvektora és v az e irányvektora, akkor az r(t)=r 0 + tv (t R) egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. v r 0 P 0 tv P e r Megjegyzések: O Ha t végigfut a valós számok halmazán akkor minden értékéhez olyan r vektor tartozik, amely az e egyenes egy pontjának helyvektora. A t paraméter különböző értékeihez különböző r vektorok tartoznak. Az e egyenes bármely pontjának helyvektora előáll t alkalmas megválasztásával. Készítette: Vajda István 31

32 Példa: Ha P 0 (2, 3, 1) az e egyenes egy pontja és v(5, 2, 7) az egyenes egyik irányvektora, akkor e paraméteres vektoregyenlete: r=(2+5t) i+(3 2t) j+(1+7t) k ( ) Ha P 0 x0, y 0, z 0 az e egyenes egy P0 pontja és v (v 1, v 2, v 3 ) az e irányvektora, akkor az x= x 0 +v 1 t y= y 0 +v 2 t (t R) z= z 0 +v 3 t egyenletrendszert az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezzük. Megjegyzés: A paraméteres egyenletrendszer ugyanazt az összefüggést fejezi ki, mint a paraméteres vektoregyenlet. Példa: Ha a P 0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, 1, 2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e patraméteres egyenletrendszere: x= 2+3t y= 1 t (t R) z= 4 2t Ha P 0 ( x0, y 0, z 0 ) az e egyenes egy P0 pontja és v (v 1, v 2, v 3 ) az e irányvektora, ahol v 1, v 2, v 3 egyike sem 0, akkor az x x 0 v 1 = y y 0 v 2 = z z 0 v 3 egyenletrendszert az e egyenes (paramétermentes) egyenletrendszerének nevezzük. Példa: Ha a P 0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, 1, 2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e egyenletrendszere: x 2 3 = y 1 1 = z 4 2 Készítette: Vajda István 32

33 Megjegyzések: Ha z egyenes paraméteres egyenletrendszeréből kiküszöböljük a t paramétert, akkor megkapjuk a paramétermentes egyenletrendszert. Ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0, akkor az egyenes egyenletrendszere más formájú, de akkor is megkaphazó a paraméteres egyenletrendszerből t kiküszöbölésével. Példa: Ha a P 0 (2, 1, 4) pont rajta van az e egyenesen és a v (3, 0, 2) vektor párhuzamos e-vel, akkor e egyenletrendszere: x 2 3 = z 4 2 y = 1 Az S síkra merőleges 0-tól különböző vektort az s sík normálvektorának nevezzük. Megjegyzések: Egy síknak végtelen sok normálvektora van. Párhuzamos síkok normálvektorai megegyeznek. Ha r 0 az S sík egy P 0 pontjának helyvektora és n az S normálvektora, akkor az n (r r 0 )=0 egyenletet az S sík vektoregyenletének nevezzük. n r r 0 P S P 0 r 0 r O Megjegyzés: Az egyenletet azért nevezzük a sík vektoregyenletének, mert a sík minden pontjának helyvektora kielégíti, míg más pontok egyike sem. Készítette: Vajda István 33

34 Ha P 0 ( x0, y 0, z 0 ) az S sík egy pontja és n (A, B, C) az S normálvektora, akkor az A (x x 0 )+B ( y y 0 ) + C (z z0 )=0 egyenletet az S sík egyenletének nevezzük. Megjegyzés: Ez az egyenlet ekvivalens a sík vektoregyenletével. Példa: Ha P 0 (4, 1, 2) az S sík egy pontja, n (2, 3, 5) S egy normálvektora, akkor a sík egyenlete. 2 (x 4)+3 ( y+1 ) + 5 (z+2)=0 Készítette: Vajda István 34

35 Feladatok 1. Írja fel az egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és paramétermentes egyenletrendszerét, ha adott egy pontja és egy irányvektora: a) P(2, 0, 7), v( 1, 2, 2) b) P( 3, 4, 9), v(3, 2, 0) c) P(0, 0, 0), v(2, 6, 1) 2. Írja fel az egyenes vektoregyenletét, paraméteres egyenletrendszerét és paramétermentes egyenletrendszerét, ha adott két pontja: a) P 1 (3, 6, 2), P 2 ( 1, 0, 4) b) P 1 ( 7, 3, 5), P 2 ( 2, 0, 6) c) P 1 (9, 11, 4), P 2 (8, 5, 3) 3. Párhuzamosak-e, illetve merőlegesek-e a következő egyenesek: x = 2+6t x = 4 3t a) e : y = 8+8t f : y = 4t b) e : z x y z = 1 10t = 1+2t = 6 4t = 3 t f : z = 2+5t x = 110 3t y = 7 4t z = 32+10t 4. Írja fel a P(2, 5, 3) pontra illeszkedő, az x=2 t, y= 6+2t, z=3 3t egyenesre merőleges sík egyenletét! 5. Adott az ABC háromszög: A(7, 4, 2), B(2, 2, 1), C(5, 2, 4). Írja fel a síkjának az egyenletét és az AB oldal felezőmerőlegesének paraméteres egyenletrendszerét! Készítette: Vajda István 35

36 Megoldások 1. a) r=2i+7k ti+2tj+2tk, x = 2 t y = 2t, 2 x= y z = 7+2t 2 = z 7 2 b) r= 3i 4j+9k+3ti 2tj, x = 3+3t x+3 y = 4 2t, z = 9 3 c) r=2ti 6tj+tk, x = 2t y = 6t, z = t x 2 = y 6 = z = y+4 2, z=9 2. a) v(2, 3, 3), r=3i+6j 2k+2ti+3tj 3tk, x = 3+2t x 3 y = 6+3t, = y 6 = z+2 z = 2 3t b) v(5, 3, 1), r= 7i+3j+5k+5ti 3tj+tk, x = 7+5t y = 3 3t z = 5+t, x+7 5 = y 3 3 = z 5 c) v(1, 16, 7), r=9i+11j 4k+ti+16tj 7tk, x = 9+t y = 11+16t z = 4 7t, x 9= y = z a) e f mert v e (6, 8, 10) és v f ( 3, 4, 5), tehát az irányvektorok párhuzamosak, mert v e = 2v f. b) e f mert v e v f = 0, azaz v e v f. 4. A sík normálvektora megegyezik a megadott egyenes irányvektorával, azaz n( 1, 2, 3), a sík egyenlete x+2y 3z=( 1) ( 3) ( 3)= A háromszög síkjának egy normálvektora pl. n= 1 #» AB AC=7i+6j+k, #» 2 a sík egyenlete: 7x+6y+z=27. ( 9 Az AB szakasz felezőpontja F 2 2), 1, 3, felezőmerőlegesének irányvektora merőleges Készítette: Vajda István 36

37 az AB #» vektorra és a sík normálvektorára is, így pl. v= 1 #» AB n(6, 1, 36). Az AB 2 x = t szakasz felezőmerőlegesének paraméteres egyenletrendszere: y = 1 t z = t Készítette: Vajda István 37

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az irányát. 1. Vektorok 1.1. Alapfogalmak, alapműveletek 1.1.1. Elméleti összefoglaló Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottna, ha ismerjük a nagyságát és az

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. A kétszer kettes determináns

1. A kétszer kettes determináns 1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1. DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

1. Szabadvektorok és analitikus geometria 1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0; 98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét!

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét! 1.1. Kérdés. P (1,, ), v = (, 1, 4). 1.1.1. Megoldás. p = p 0

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása 1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2 3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:

14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: 14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben