Gyakorlatok. Tartalomjegyzék tavasz

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Gyakorlatok. Tartalomjegyzék tavasz"

Átírás

1 Gyakorlatok Tartalomjegyzék. tavasz. Közönséges dierenciálegyenletek.. Bevezet Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Lineáris els rend dierenciálegyenlet Új változó bevezetése Iránymez, izoklinák További gyakorló feladatok a témához: Magasabbrend, homogén, lineáris, állandó együtthatós dierenciálegyenletek Magasabbrend, inhomogén, lineáris, állandó együtthatós dierenciálegyenletek.8. Lineáris rekurzió Alkalmazások Függvénysorok 8.. Hányados- és gyökkritérium (numerikus sorok) Weierstrass-kritérium függvénysorok egyenletes konvergenciájára Hatványsorok konvergencia sugara, konvergenciatartománya Hatványsorok összegfüggvénye Taylor-polinom Taylor-sor Binomiális sorfejtés Fourier-sor Többváltozós függvények Határérték, folytonosság Parciális deriváltak, totális derivált Érint sík, dierenciál, iránymenti derivált Összetett függvény deriválása Széls értékszámítás Kétszeres integrál téglalap- és normál tartományokon Kett s integrálok transzformációja Hármas integrál Komplex függvénytan CauchyRiemann egyenletek, dierenciálhatóság, regularitás, harmonikus társ Elemi függvények, egyenletek megoldása Komplex vonalintegrál Cauchy-féle integrálformulák

2 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. Közönséges dierenciálegyenletek.. Bevezet Néhány egyszer példa az alapfogalmak megértéséhez:. Feladat: Mutassuk meg, hogy y = e x x e t dt + 3 e x megoldása az alábbi dierenciálegyenletnek! y y = e x+x (Ez egy els rend differenciálegyenlet. Azt, hogy a függvény megoldása a dierenciálegyenletnek, mondjuk úgy is, hogy kielégíti a dierenciálegyenletet.) A megadott függvény deriválható, mert deriválható függvények összetétele. (Felhívjuk a gyelmet az integrálfüggvényre, emlékezzünk az integrálszámítás II. alaptételére is, az integrandusz folytonos!) y = (e x ) x e t dt + e x x e t dt + (3 e x ) = e x Behelyettesítve a dierenciálegyenlet bal oldalába y -t és y -öt: y y = e x e x = e x+x Tehát valóban a jobb oldalt kaptuk. x e t dt + e x e x + 3 e x. Feladat: y = e 3x + x a) Adjuk meg a differenciálegyenlet általános megoldását! b) Adjuk meg azt a partikuláris megoldást, mely eleget tesz az y() =, y () = kezdeti feltételeknek! a) A differenciálegyenletb l: y = 3 e 3x + x + C Ebb l az általános megoldás: y = 9 e 3x + x3 3 + C x + C, C, C R b) y() = : a megoldásban x helyére -át, y helyére -et helyettesítve: = 9 + C = C = 8 9 y () = : az y -re kapott egyenletben elvégezve a helyettesítést (x =, y = ) = 3 + C = C = 7 3 Így a keresett partikuláris megoldás: y = 9 e 3x + x x + 8 9

3 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 3.. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Foglaljuk össze a lényeget a példamegoldás el tt! 3. Feladat: Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y = x y ex 3y, y Így a megoldás: = 6 dy dx = e 3y y y dy = e } 3y {{} 6y e 3y dy x e x x e x dx }{{} parciális integrálás... 6 e3y = x ex 4 ex + C, C R Nem kell er ltetni az y -ra való kifejezést. De, ha kifejezzük, akkor ne felejtsük el a ± -t! Adott y(x ) = y kezdeti érték probléma megoldásánál természetesen csak az egyik el jel szerepel majd, hiszen a megoldás egyértelm, mert y >, vagy y <. 4. Feladat: y = y x y, x, y a) Oldja meg a differenciálegyenletet! b) Oldja meg az y() =, y() = 3, illetve az y( ) = 3 kezdeti érték problémákat! a) y megoldás. (Persze az x >, vagy x < része!) (Jó lenne felrajzolni azokat a síkrészeket, ahova es kezdeti érték probléma egyértelm en megoldható) Ha y : Innen a megoldás: y y }{{} + y dy = x dx y + ln y = ln x + C

4 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 4 b) y() = : y y() = 3 : y + ln (y ) = ln x + 3 y( ) = 3 : y + ln ( y) = ln ( x) 3 + ln 5 Hívjuk fel a gyelmet az abszolút érték jelek elhagyására! 5. Feladat: Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y = y + 4y + 9 (x ) (x + 5), x, x 5 (y + ) + 5 dy =. (x ) (x + 5) dx 5 5 arctg y + 5 = 6 (ln x ln x + 5 ) + C 6. Feladat: A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. Tudjuk, hogy a rádium felezési ideje 6 év. A kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik fel év alatt? Jelöljük R(t) -vel a rádium mennyiségét a t id pontban, k -val az arányossági tényez t (pozitívnak választjuk). A kapott dierenciálegyenlet: dr dt = k R (A negatív el jel mutatja, hogy a bomlás következtében a rádium mennyisége csökken.) A szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldása: R = C e k t Ha a t = id pontban a kiindulási anyag mennyisége R, tehát az R() = R kezdeti érték problémánk van: R = C e k = C = R Tehát a keresett partikuláris megoldás: R = R e k t. Mivel ismerjük a felezési id t, meghatározható a k arányossági tényez : R = R e k 6 = k = ln 6 Tehát a rádium mennyisége az id függvényében: R(t) = R e ln 6 t

5 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5 Így a év múlva megmaradt mennyiség: R() = R e ln 6 = R e,433 = R() R = e,433 =, 958 Vagyis 95, 8 %, tehát az eredeti mennyiség 4, % - a bomlott el. További feladatok: Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket! 7. Feladat: y = (3x ) 5 (y 4y) y és y 4 megoldás. Egyébként: y (y 4) dy = (3x ) 5 dx. 4 ( ln y + ln y 4 ) = (3x ) 6 + C 3 6 Keresse meg az y() =, illetve az y() = 4 kezdeti feltételeket kielégít megoldásokat! Feladat: y = sh y ch y x (x + ) 6 y megoldás. Ha y : ch y sh y dy = ln sh y = 4 x (x + ) 6 dx (x + ) C 9. Feladat: y = (ctg y) ln(x ), y(3) = π/3, illetve y(3) = π/

6 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 6 x >, y π + k π y k π megoldás. Egyébként: sin y cos y dy = f f ln (x ) dx alakú parciális integrálás... ln cos y = x ln (x ) x ln (x ) + C y(3) = π/3 :... C = 3 + ln, így ln (cos y) = x ln (x ) x ln (x ) ln, y (, π ) és x > y(3) = π/ : y π x > része. Feladat: y = y + 3 y x e 4x, y Vagyis 4 y y + 3 dy = x e 4x dx f /f f e f 4y y + 3 dy = 4 x e 4x dx 4 4 ln (y + 3) = 4 e 4x ln (y + 3) = e 4x + C + C. Feladat: y = (y + 3) arcsin x, x < y 3, x < része megoldás. Ha y 3 : (y + 3) dy = arcsin x dx

7 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 7... parc. int. (y + 3) = x arcsin x + x + C. Feladat: y = y + 3 y + x arctg x áltört y + y + 3 dy = x arctg x dx parc. int. y 3 arctg y 3 3 = x arctg x ( x ) arctg x + C 3. Feladat: y = (y 8) arctg x, y y ( + x ) a) Határozza meg az x =, y = ponton áthaladó megoldást! b) Határozza meg az x =, y = ponton áthaladó megoldást! y ± megoldás. Ha y : 4y 4 y 8 dy = = 4 ln y 8 = arctg x a) y() = :... C = 4 ln 6 b) y() = : y 4 ln y 8 = arctg x arctg x dx + x + C, C R + 4 ln 6, y <

8 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 8 4. Feladat: y = y 9 x Feladat: y = y ln y ln x, x >, y > Feladat: Írjuk fel azoknak az els negyedbe es síkgörbéknek az egyenletét, melyekre teljesül,hogy bármely pontjában húzott érint jének a koordinátatengelyek közötti szakaszát az érintési pont felezi Lineáris els rend dierenciálegyenlet Beszéljük meg el ször a megoldás menetét! (y iá = y H + y ip, y H : szétválasztható változójú, y ip : állandó variálásával) A homogén egyenlet megoldásánál nem alkalmazható a képlet, minden esetben végig kell csinálni az alábbi két példában mutatott módszerek valamelyikével. 7. Feladat: Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y x x + 4 y = 6x, y() = 4 y iá = y H + y ip

9 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 9 (H): y x x + 4 Ha y : y = = dy dx = dy y = x x + 4 y, x x + 4 dx y megoldás = ln y = ln (x + 4) + C = y = e C e ln x +4 = y = ±e C x + 4, illetve y Tehát a homogén egyenlet általános megoldása: y Hált = C x + 4, C R Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának keresése: y p = c(x) x + 4, y p = c (x) x c(x) x + 4 x Behelyettesítve (I)-be: c 6x (x) = x + 4 = c(x) = 3 x (x + 4) / dx = 6 x K Mivel egyetlen y p megoldást keresünk, K = választható, így y p = 6 (x + 4). Az inhomogén egyenlet általános megoldása: y Iált = C x (x + 4) (C R) Az y()=4 kezdetiérték probléma megoldása: 4 = C + 4 = C = = y = x (x + 4) 8. Feladat: y x y = x, x a) Általános megoldás? b) y() = 3 kezdeti feltételt kielégít megoldás? c) y( e) = 3 e kezdeti feltételt kielégít megoldás? a) Minden olyan tartományban, melyben x a differenciálegyenlet egyértelm en megoldható. (H): y dy y = = x dx = x y Az el adásból tudjuk, hogy y Hált = C Y (x) alakú, ahol Y a homogén egyenlet

10 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK egy megoldása, mely seholse nulla. Ezt kihasználva a megoldás kevesebb munkával is megkapható. dy y = x dx = ln y = ln x, így y = x (Y = x ) Tehát a homogén egyenlet általános megoldása: y Hált = C x, C R Kérdés: Y (x) = x vesz fel értéket, márpedig a bizonyításban e alakúra jött ki (a jegyzetben Y (x) helyett ϕ(x) jelölés van), tehát nem lehetne. Hol az ellentmondás? Válasz: Az elején beszéltünk róla, hogy az x >, vagy az x < félsíkon dolgozunk és ekkor már valóban teljesül, hogy Y (x) a vizsgált tartományban. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának keresése: y p = c(x) x, y p = c (x) x + c(x) x Behelyettesítve (I)-be: c (x) = x = c(x) = ln x y p = x ln x = y Iált = C x + x ln x b) y() = 3 kezdeti érték probléma megoldása: 3 = C + ln, tehát C = 3. Így a keresett megoldás: y = 3 x + x ln x c) y( e) = 3 e kezdeti érték probléma megoldása: 3 e = C e + e, tehát C =. Így a keresett megoldás: y = x + x ln ( x) (Itt már ne szerepeljen abszolút érték a megoldásban!) 9. Feladat: Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y 3x y = 6x A differenciálegyenlet lineáris els rend, de ugyanakkor szeparábilis is. Így rövidebb a megoldás, ezért most így oldjuk meg: y = 3x y + 6x = dy dx = 3x (y + ) y megoldás. Ha y : dy y + = 3x dx = ln y + = x 3 + C

11 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK... y + = ±e C e x3, illetve y = y = + C e x3, C R M Oldja meg a differenciálegyenletet lineáris els rend ként is és hasonlítsa össze az eredményeket!. Feladat: Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y + e x ex y = 3 e (H) y + e x y =... y H = C e ex, C R (I) y p = c(x) e ex... c(x) = 3x = y Iált = y H + y p = C e ex ex + 3x e. Feladat: Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y = x y + + x, x (H) y + x y =... y H = C x, C R (I) y p = c(x) x... c (x) = x + x = c(x) = x arctg x = y Iált = y H + y p = C x + x arctg x x. Feladat: Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y + 5 x y = ex x 4, x (H) y + 5 x y =... y H = C x 5, C R

12 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK (I) y p = c(x) x 5... c (x) = x e x = c(x) = (x ) e x (parc. integrálással) = y Iált = y H + y p = C (x ) ex + x5 x 5.4. Új változó bevezetése Mi mindig megadjuk, hogy milyen helyettesítést alkalmazzunk. 3. Feladat: u = y x helyettesítéssel oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! x y = y ( + ln y ln x), x >, y > y(x) = u(x) x = y = u x + u Behelyettesítve a y = y ( + ln y ) differenciálegyenletbe: x x u x + u = u( + ln u) = u x = u ln u (szeparábilis) x >, y > miatt u >. u egyensúlyi helyzet, tehát y = x megoldás. Ha u : du = } u {{ ln u} x dx f /f alakú Innen a megoldás: ln ln u = ln x + C (C R) = ln u = e C x = K x (K > ) = ln u = ±K x = u = e ±K x, illetve u Így írhatjuk a következ alakban is: u = e C x, C R A visszahelyettesítést elvégezve kapjuk a végeredményt: y = x e Cx, C R 4. Feladat: Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket! Szükség esetén alkalmazza az u = x + y helyettesítést! a) y = x + y b) y = x + y

13 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 3 a) Ez lineáris els rend differenciálegyenlet. (Hf.) b) Ez csak helyettesítéssel oldható meg: (x + y ) u(x) := x + y(x) = y = u x = y = u Behelyettesítve: u = = u = + = du u u dx = u + u Ez szeparálható differenciálegyenlet. u megoldás, tehát y = x megoldja a differenciálegyenletet. Ha u : u u + }{{} u+ u+ = u+ du = dx = u ln u + = x + C A visszahelyettesítést elvégezve kapjuk a végeredményt: x + y ln x + y + = x + C, azaz y ln x + y + = C, illetve y = x 5. Feladat: u = y 4 helyettesítéssel oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! x y + y = ln x y 3, y, x > Adja meg az y() = kezdeti feltételnek eleget tev megoldást! u = 4 y 3 y Ezért átrendezzük a differenciálegyenletet: x y 3 y + y 4 = ln x Behelyettesítünk: 4 x u + u = ln x = u + 4 x u = 4 x ln x Lineáris els rend differenciálegyenletet kaptunk. (H): u + 4 x u = u H = C x 4 ; C R (I): u ip = c(x) c = 4x 3 ln x x 4 Innen parciális integrálással kapjuk: c(x) = x 4 ln x x4 = u ip = ln x = u iá = u H + u ip = C 4 4 x + ln x 4 4 Visszahelyettesítéssel az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása: y 4 = C x 4 + ln x 4, C R y() = : = C + 4 = C = 5 4

14 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 4 Így a keresett partikuláris megoldás: y = x 4 + ln x 4 6. Feladat: u(x) = y 3 (x) + x helyettesítéssel oldja meg az alábbi kezdeti érték problémát! 3 y y = x + cos x π sin (y 3 + x ), y() = 3 4 u = 3 y y + x = 3 y y = u x Elvégezve a behelyettesítést: u x = x + cos x = sin u du = cos x dx sin u A megoldás: cos u = sin x + C = cos (y 3 + x ) = sin x + C y() = 3 π 4 : cos (y 3 + x ) = sin x, vagyis ( y = arccos 3 sin x + ) x 7. Feladat: Az u = x + y új változó bevezetésével oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = u x = y = u Behelyettesítve: y = x + y, x >, y > u = = u = u + u u : szeparábilis differenciálegyenlet. Ezt megoldja: u ( egyensúlyi helyzet) = x + y = : ez nem felel meg a kikötéseknek. u : u u + du = dx... u ln (u + ) = x + C Így a megoldás: x + y ln (x + y + ) = x + C, C R

15 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5 8. Feladat: Vezesse be az u = y 3 új változót az alábbi dierenciálegyenletbe, majd határozza meg az y() = u = 3 y y kezdeti értékhez tartozó megoldását: 3y y y 3 = e x + x Behelyettesítve: u u = e x + x : lineáris els rend differenciálegyenlet.... u Iált = C e x + x e x x 4 Így az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása: y 3 = C e x + x e x x 4 y() = : 8 = C = C = Tehát a keresett partikuláris megoldás: y 3 = 3 8 ex + x e x x 4 ( ) y = ex + x e x x 4 9. Feladat: Hajtsa végre az u = y 3 + x helyettesítést az alábbi kezdetiérték problémánál! 3y y = (y 3 + x + ) 3 cos (πx), y() = Milyen dierenciálegyenlethez jutott? Ne oldja meg a kapott dierenciálegyenletet! u = 3y y + = 3y y = u Elvégezve a behelyettesítést: u = (u + ) 3 cos (π x) = u = (u + ) 3 cos (π x) Szétválasztható változójú differenciálegyenletet kaptunk. y() = : u() = y 3 + x x=, y= = + =

16 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 6.5. Iránymez, izoklinák 3. Feladat: a) Írja fel az y = e y+ x differenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét! Rajzoljon fel kett t! b) Van-e lokális széls értéke a P (e, ) ponton áthaladó megoldásnak P -ban? a) y = e y+ x = K = y = ln (x + K) az izoklínák egyenlete Pl. K := : y = ln x K := : y = ln (x ) (Vonalelemek vízszintesek) ( Vonalelemek hajlásszöge: π 4 ). ábra. ábra b) y (e) = e y+ x x=e, y= = e e = : lehet lokális széls érték y = e y+ y ; y (e) = e = < = lok. max. 3. Feladat: y = (y 4) x + x a) A sík mely pontjaiban párhuzamos az iránymez az y = x egyenessel? Vázoljuk ezeket a pontokat és jelöljünk be néhány vonalelemet! b) Van-e lokális széls értéke vagy inexiós pontja az x =, y = ponton átmen megoldásnak a szóbanforgó pontban? (Feltéve, hogy van ilyen megoldás.) a) y = x meredeksége: Az izoklínák egyenlete: (y 4) x + x = K Most K = érdekel bennünket: (y 4) x + x = = (y 4 + ) x = Ennek megoldása: y = 3, tehát y = ± 3, illetve x =.

17 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 7 b) y() = 3. ábra y () = (y 4) x + x x=, y= =, tehát lokális széls érték lehet itt. y = y y x + (y 4) + y () = y() y () + (y() 4) + = Tehát az adott pontban lokális minimuma van a megoldásfüggvénynek. (Inexiós pont nem lehet, mert y ().) 3. Feladat: Az akárhányszor deriválható y = y(x), x R megoldása az y = y 3 x differenciálegyenletnek és átmegy az (, ) ponton. a) Van-e ennek a megoldásnak lokális széls értéke az x = helyen? b) Írja fel ennek a megoldásnak az x = pont körüli harmadfokú T 3 (x) Taylor polinomját! a) y() = y () = =, tehát lokális széls érték lehet itt. y = 3 y y x = y () = = < Tehát az adott pontban lokális maximuma van a megoldásfüggvénynek. ( y() = értékkel.) b) Az x = bázispontú harmadrend Taylor polinom: T 3 (x) = y() + y () (x ) + y () (x ) + y () (x ) 3!! 3! (Még nem tanultuk, majd hamarosan tanuljuk. Az évközi zárthelyikben nem lesz ilyen példa, de vizsgán lehet.) Még y () hiányzik a behelyettesítéshez. y = 3 ( y y ) y + 3 y y = y () = 8 Elvégezve a behelyettesítést, kapjuk a keresett Taylor polinomot: T 3 (x) = (x ) 8 (x )3 6

18 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK További gyakorló feladatok a témához: 33. Feladat: A Feladatgy jteményb l:.4.3. b), c) (Feltéve, hogy minden kezdeti érték problémának van megoldása.) Feladat: y = 3x + 6y 8 a) Írja fel az x = 3, y = ponton áthaladó megoldás adott pontbeli érint egyenesének egyenletét! b) Írja fel a differenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét! c) Hol lehet lokális széls értéke a megoldásfüggvényeknek? Rajzolja fel ezeket a pontokat! 35. Feladat: y = x y, y(x ) = y a) Jelölje ki azokat a pontokat, melyeken a megoldásgörbe - lokálisan növeked en, - lokálisan csökken en halad át. b) ++ Mely pontokban van lokális széls értéke a megoldásgörbéknek? Milyen jelleg? 36. Feladat: Tudjuk, hogy az y = y y + x dierenciálegyenletnek minden y(x ) = y kezdeti értékhez létezik pontosan egy megoldása, amely akárhányszor dierenciálható. a) Milyen lokális tulajdonsága van a P (, ) ponton átmen megoldásgörbének ebben a pontban? b) Írja fel az izoklinák egyenletét! Rajzoljon fel néhányat! Hol lehet lokális széls értéke a megoldásfüggvényeknek? c) Vannak-e olyan megoldások, amelyeknek az x = helyen inexiós pontjuk van?.6. Magasabbrend, homogén, lineáris, állandó együtthatós dierenciálegyenletek Oldja meg az alábbi homogén dierenciálegyenleteket! 37. Feladat: y + y + y =

19 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 9 λ 3 + λ + λ = λ (λ + ) = = λ =, λ,3 = (bels rezonancia) 38. Feladat: y H = C + C e x + C 3 x e x, y + 4 y + 3 y = C, C, C 3 R λ λ + 3 λ = λ (λ + 4 λ + 3) = = λ =, λ,3 = ± j Feladat: y H = C + C e x cos 3x + C 3 e x sin 3x, C, C, C 3 R Írjon fel egy olyan legalacsonyabbrend valós konstans együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenletet, melynek megoldásai az alábbi függvények! Írja fel az adott dierenciálegyenlet általános megoldását is! a) e 5x e 3x b) 6x + 5 e x c) 7x, sin 5x d) 3 x e x, e 3x e) 6 + e 3x sin x a) e 5x miatt λ = 5, e 3x miatt λ = 3 Így a karakterisztikus egyenlet: (λ 5) (λ + 3) = = λ λ 5 = A dierenciálegyenlet: y y 5 = A dierenciálegyenlet általános megoldása: y H = C e 5x + C e 3x, C, C R b) x miatt λ = λ = λ 3 =, e x miatt λ 4 = Így a karakterisztikus egyenlet: (λ ) 3 (λ ) = = λ 4 λ 3 = A dierenciálegyenlet: y IV y = A dierenciálegyenlet általános megoldása: c) a karakterisztikus egyenlet: y H = C + C x + C 3 x + C 4 e x, C, C, C 3, C 4 R (λ ) (λ j 5) (λ + j 5) = λ (λ + 5) = λ λ = A dierenciálegyenlet: y IV + 5 y = A dierenciálegyenlet általános megoldása: y H = C + C x + C 3 sin 5x + C 4 cos 5x, C, C, C 3, C 4 R

20 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK d) (λ ) 3 (λ 3) = e) (λ ) (λ (3 + j)) (λ (3 j)) = λ ((λ 3) j) ((λ 3) + j) = λ ((λ 3) + ) = = λ 3 6λ + λ =.7. Magasabbrend, inhomogén, lineáris, állandó együtthatós dierenciálegyenletek 4. Feladat: y 5y + 6y = sin x λ 5λ + 6 = = λ =, λ = 3 A homogén egyenlet általános megoldása: y H = C e x + C e 3x 6 y ip := A sin x + B cos x 5 y ip = A cos x B sin x y ip = 4A sin x 4B cos x A = 6, B = 5 6 y iá = C e x + C e 3x + 6 sin x cos x, C, C R 4. Feladat: y 6 y + 3y = 39 Mivel λ 6λ + 3 = = λ, = 3 ± j e (3+j )x = e 3x (cos x + j sin x), a homogén egyenlet általános megoldása: y H = C e 3x cos x + C e 3x sin x y ip := A, 3 A = 39 = A = 3 y iá = C e 3x cos x + C e 3x sin x + 3, C, C R 4. Feladat: y 5y + 6y = x e x, y(x) =? λ 5λ + 6 = = λ =, λ = 3 = y H = C e x + C e 3x

21 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK y ip = (Ax + B) e x alakban keressük. A =, B = 3 ( = y ip = x + 3 ) Így a keresett általános megoldás: ( y iá = y H + y ip = C e x + C e 3x + x + 3 ) e x e x 43. Feladat: y y y = 3 e x, y() = 3, y () =, y(x) =? λ λ = = λ =, λ = = y H = C e x + C e x y ip := A x e x (küls rezonancia) y ip = A e x + A x e x y ip = A e x + A e x + 4A x e x x e x ( A A + 4A) + e x ( A + 4A) = 3 e x = 3A = 3, tehát A =. = y ip = x e x Így a keresett általános megoldás: y iá = C e x + C e x + x e x Mivel y iá = C e x C e x + e x + x e x A keresett partikuláris megoldás: y() = 3 : 3 = C + C y () = : = C C + = C =, C = Vagyis a keresett partikuláris megoldás: y = e x + e x + x e x Írjuk fel a példát, írjuk fel a homogén általános megoldását! Beszéljük meg a kísérletez függvényt és csak a felvett konstansokra kapott értékeket írjuk fel, legyen házi feladat a meghatározásuk! 44. Feladat: y (4) 8 y + 6 y = x 9, y(x) =? λ 4 8λ 3 + 6λ = λ (λ 4) = = λ, =, λ 3,4 = 4 (bels rezonancia) = y H = C + C x + C 3 e 4x + C 4 x e 4x y ip = (Ax + B) x = Ax 3 + Bx alakban keressük. (Küls rezonancia) A = ( 48, B = = y ip = 4 48 x ) x 4

22 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C + C x + C 3 e 4x + C 4 x e 4x + ( 48 x ) x Feladat: y + y = sin x cos x, y() =, y () =, y(x) =? λ + = = λ, = ±j = y H = C cos x + C sin x Mivel f(x) = sin x, ezért a próbafüggvény: y ip = A sin x + B cos x A = 3, B = = y ip = 3 sin x Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C cos x + C sin x 3 sin x Mivel y iá = C sin x + C cos x 3 cos x A keresett partikuláris megoldás: y() = : = C + = C = y () = : = + C 3 = C = 5 3 Vagyis: y = cos x sin x 3 sin x 46. Feladat: y y y + y = ch x, y(x) =? λ 3 λ λ + = = λ (λ ) (λ ) = = (λ ) (λ ) = = λ =, λ =, λ 3 = = y H = C e x + C e x + C 3 e x Mivel f(x) = ex + e x, ezért a próbafüggvény: A e x + B e x helyett y ip = A x e x + B e x (küls rezonancia) A = 6, B = 4 = y ip = 6 x ex 4 e x Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C e x + C e x + C 3 e x + 6 x ex 4 e x 47. Feladat: A Feladatgy jteményb l:

23 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 3.8. Lineáris rekurzió 48. Feladat: f(n) = 4 f(n ) 3 f(n ) a) Adja meg a lineáris rekurziót kielégít összes számsorozatot! b) Adja meg az f() =, f() = 6 kezdeti feltételt kielégít megoldást! c) Írja fel az összes O() típusú megoldást! a) Tudjuk, hogy van f(n) = q n (q ) alakú megoldás: q n = 4 q n 3 q n, q = q = 4q 3 = q 4q + 3 = (q ) (q 3) = = q =, q = 3 Az általános megoldás: f(n) = C + C 3 n, C, C R b) f() = : C + C = f() = 6 : C + 3C = 6 = C =, C = Tehát f(n) = 3 n c) f(n) = O() jelentése: K : f(n) K, n > N (legfeljebb véges sok kivétellel) Tehát f(n) - nek korlátosnak kell lennie, ehhez C = választás kell. 49. Feladat: a) Adja meg az f(n + ) = 5 f(n) f(n ) lineáris rekurziót kielégít összes számsorozatot! b) Van-e f(n) = O() tulajdonságú megoldás? c) Adja meg az f() =, f() = 5 kezdeti feltételt kielégít megoldást? a) f(n) = q n alakú megoldást keresünk. Helyettesítsünk be az egyenletbe! q n+ = 5 qn q n = q q 5 q + = = q =, q = Így az összes megoldás: f(n) = C n + C ( ) n, C, C R b) f(n) = O() jelentése: f(n) korlátos. Ez C =, C R esetén teljesül. } n = : C + C = c) n = : C + C = C = 3, C = = ( ) n Így a keresett megoldás: f(n) = 3 n

24 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 4 5. Feladat: Adja meg a lineáris rekurziót kielégít összes számsorozatot! Írja fel az összes O(), O(n), illetve O(3 n ), típusú megoldást! a) f(n) = 3 f(n ) f(n ) b) f(n) = 5 f(n ) 4 f(n ) c) f(n) = 5 f(n ) 6 f(n ) 5. Feladat: Írja fel a rekurzió adott kezd értékhez tartozó megoldását! a) f(n) = 3 f(n ) f(n ), f() = 3, f() = 3 b) f(n) = f(n ) + f(n ), f() = 3, f() = c) f(n) = 3 f(n ) + f(n ), f() = 3, f() = 6 d) f(n) = 5 f(n ) + 6 f(n ), f() =, f() =.9. Alkalmazások 5. Feladat: Harmonikus rezg mozgás Az ideális rugó által kifejtett F er arányos, és ellentétes irányú a rugó x megnyúlásával, F (x) = Dx. Hogyan mozog (egydimenzióban) az a test, amelyre egyetlen rugó hat? Newton II. törvénye értelmében F (x) = mẍ. Beírva a rugóer alakját, a Dx(t) = mẍ(t) másodrend dierenciálegyenlethez jutunk, melynek általános megoldása x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt), D ahol ω =. m (Az egyenletet visszavezethetjük els rend re, ha megszorozzuk ẋ(t)-vel, és felhasználjuk, hogy ẋ(t)x(t) = dt( d x (t) ), valamint ẍ(t)ẋ(t) = dt(ẋ d (t) ).) 53. Feladat: Kondenzátor kisülése A C kapacitású, Q kezdeti töltéssel feltöltött kondenzátort az R ellenálláson keresztül kisütjük. Határozzuk meg a kondenzátor Q(t) töltésének id függését, az áramkörben folyó I(t) áramot, valamint a kondenzátor kapcsain mérhet U(t) feszültséget az id függvényében! A szükséges zikai ismeretek: A kondenzátor U(t) feszültsége, Q(t) töltése és C kapacitása között minden pillanatban fennáll, hogy C = Q. Az ellenálláson folyó áram és a sarkai U

25 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 5 közt mérhet feszültség kapcsolata: R = U. Végül a kondenzátor töltése és az áram közti I kapcsolat: Q(t) = Q + t τ=t I(τ)dτ, azaz Q(t) = I(t). Az áramkörben nincsen telep, tehát az ellenálláson és a kondenzátoron es feszültségek összege minden pillanatban zérus, U C (t) + U R (t) =. Az U C (t) feszültség a kondenzátor töltésével kifejezve: U C (t) = Q(t). Az áramkörben folyó áram I(t) = Q(t), tehát az ellenálláson es C feszültség U R (t) = RI(t) = R Q(t). De e két feszültség összege zérus, tehát a Q(t) C + R Q(t) =, Q() = Q dierenciálegyenletet kapjuk, aminek a kezdeti feltételt kielégít megoldása: Q(t) = Q e C R t. 54. Feladat: Radioaktív bomlás Radioaktív bomlás során az id egység alatt elbomlott atomok száma arányos a még el nem bomlott atomok számával. Határozzuk meg, hogyan változik az id függvényében a még el nem bomlott atomok száma, valamint a minta aktivitása (id egységre jutó bomlások száma)! Legyen a még el nem bomlott atomok száma N(t). Rövid dt id alatt elbomlott atomok száma arányos (N(t)-vel és dt-vel, azaz N(t) N(t + dt) = N(t)λdt, ahonnan Ṅ(t) = λn(t) dierenciálegyenlethez jutunk. Ennek megoldása: N(t) = N e λt ; a minta aktivitásának id függése pedig A(t) = Ṅ(t) = N λe λt. 55. Feladat: Oszlopra tekert kötél A matrózok úgy tartják a nagy hajókat a partnál, hogy a kiköt kötelet el bb néhányszor a kiköt höz betonozott függ leges oszlopra csavarják, és a felcsavart kötél másik végét húzzák. Vajon miért teszik ezt? Mennyivel tudnak így nagyobb er t kifejteni, mintha a kötelet közvetlenül húznák? Az oszlopra csavart kötél ráfeszül az oszlopra, és az oszlop és a kötél közt ébred súrlódási er segít megtartani a hajót. Jelölje az oszlop sugarát R. Legyen ϕ az oszlopra csavart kötél pontjait jellemz szög (ϕ = a hajó felé es kötélpont, ϕ = ϕ pedig a matróz felé es kötélpont), és legyen K(ϕ) a kötelet a ϕ szöggel jellemzett pontban feszít er. (Tehát K iránya az oszlop érint jébe esik.) Szemeljünk ki egy ϕ-nél elhelyezked, kis dϕ kötéldarabot. E kis kötéldarabra a két végénél K(ϕ), ill. K(ϕ + dϕ K(ϕ) er hat. A két er iránya közel ellentétes, a hatásvonalaik szöge dϕ. Egyszer geometriai megfontolásból adódik, hogy (dϕ esetében) a két er ered je közel sugár irányú, és nagysága dn(ϕ) K(ϕ)dϕ. Ekkora nyomóer nél a tapadási súrlódási er maximuma ds(ϕ) = µ dn(ϕ) µ K(ϕ)dϕ. A kiszemelt dϕ szög kötéldarab nyugalomban van, tehát a rá ható érint irányú er k ered je zérus, azaz K(ϕ) = K(ϕ+dϕ)+dS(ϕ). Innen a kötélet feszít er re, mint a felcsavarodási szög függvényére a következ dierenciálegyenletet kapjuk: d dϕ K(ϕ) = µ K(ϕ); K() = K, aminek a megoldása: K(ϕ) = K e µ ϕ.

26 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 6 Tehát ha a matróz ϕ szögben csavarja rá a kötelet az oszlopra, és a kötél és az oszlop között a tapadási súrlódási együttható µ, akkor a matróz e µ ϕ -szer kisebb er kifejtésével képes megtartani a hajót. 56. Feladat: Esés nagy magasságból a világ rben +++ Tegyük föl, hogy egy gonosz varázsló megállítaná a Holdat, és az kezd sebesség nélkül szabadon esne a Föld felé. Hogyan változna a FöldHold távolság az id függvényében? Legyen a Föld tömege M, a Hold tömege m, kezdeti távolságuk h, és tegyük föl az egyszer ség kedvéért, hogy a Föld nem mozdul el a Hold felé. (Ez a közelítés akkor jogos, ha M m.) A gravitációs állandót jelölje γ. Amikor a Föld és a Hold távolsága r(t), akkor a Föld által a Holdra kifejtett gravitációs vonzóer F (r) = γ mm, így a Hold mozgásegyenlete: r m r(t) = γ mm r (t). (A negatív el jel utal arra, hogy az er vonzó.) A kapott egyenlet másodrend dierenciálegyenlet az r(t) függvényre nézve, azonban egy ügyes trükkel els rend vé alakíthatjuk. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ṙ(t)-vel, és vegyük észre, hogy r(t)ṙ(t) = dt(ṙ d (t) ), valamint ṙ(t) = ( d r (t) dt r(t)). Tehát ahonnan dt(ṙ d (t) ) = γm d ( ), dt r(t) ṙ (t) = γm r(t) + C. A kapott egyenlet a Holdra felírt mechanikai energiamegmaradás törvényének átrendezett alakja. Autonóm, szeparálható dierenciálegyenlet Feladat: Láncgörbe +++ Milyen alakú egy két végpontjában felfüggesztett lánc? Írjuk le a lánc alakját az y(x) függvénnyel, mely a lánc x vízszintes koordinátájú pontjának magasságát adja meg. A láncban ébred er vízszintes, ill. függ leges komponensét jelölje K x (x), ill. K y (x). Vizsgáljuk a láncnak az x helyen lev kis dl hosszúságú, dm = ρdl tömeg darabját! (ρ a lánc hosszegységre vonatkoztatott s r sége.) Ez a kis láncdarab nyugalomban van, tehát a rá ható er k ered je (vízszintes és függ leges irányban egyaránt) zérus. Vízszintes irányban a láncra nem hat küls er, tehát K x (x) = K x (x+dx), így a láncot feszít er vízszintes komponense állandó, K x (x) K x. Függ leges irányban a láncdarabra hat a (dm)g nehézségi er, tehát K y (x + dx) K y (x) = gρdl. Ezen kívül tudjuk még, hogy a lánc meredeksége az x pontban y (x), tehát dl = + y (x)dx, valamint a láncban ébred er érint irányú, azaz K y (x) = y (x)k x. Ezeket felhasználva a K x y (x) = ρg + y (x).

27 . KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 7 dierenciálegyenletet kapjuk a lánc alakjára, ami az y (x) függvényre nézve els rend, autonóm, szeparálható egyenlet. A megoldása: ( ρgx ) y (x) = sh + C, y(x) = K ( x ρgx ) K x ρg ch + C. K x Ezért hívják sokszor a koszinusz-hiperbolikusz függvényt láncgörbének. 58. Feladat: Mozgás közegellenállással nagy sebességnél Légnem vagy folyékony közegben nagy sebességgel mozgó testre a sebesség négyzetével arányos közegellenállási er hat. Meg tudjuk mondani például, hogy leszállás után hogyan mozog a kifutópályán az a repül gép, amelyet csak a fékez erny je fékez. A gép mozgásegyenlete: mẍ(t) = κẋ (t), ami ẋ(t)-re els rend, autonóm, szeparábilis dierenciálegyenlet. Például a Föld légkörében szabadon es test mozgásegyenlete mḧ(t) = κḣ (t) mg. 59. Feladat: Mozgás közegellenállással kis sebességnél Talán egyszer bben megoldható a feladat akkor, ha a közegellenállási er a sebességgel arányos. Egy s r, viszkózus folyadékban lassan s llyed kis golyó mozgásegyenlete például mÿ(t) = mg F felh αẏ(t), ami ẋ(t)-re els rend, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós egyenlet. (Az egyenletben F felh a felhajtóer t jelöli, ami csak a test térfogatától és a folyadék fajsúlyától függ állandó.)

28 . FÜGGVÉNYSOROK 8. Függvénysorok.. Hányados- és gyökkritérium (numerikus sorok) Átismételtük a numerikus sorokról a múlt félévben tanultakat (majoráns, minoráns kritériumot is). Most a két új kritériumot gyakoroljuk (a limeszes alakot használjuk, de mindkét alakot elevenítsük fel).. Feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! 9 n a) n! b) n= lim n n= a n+ a n = lim n 5 3n n 4 a n := 9n n! 9 (n+) n! = lim (n + )! 9n n = n= a n 9 n + = < konvergens a n := 53n n 4 Lehet hányados kritérium, de jobb a gyökkritérium: lim n n an = lim n 5 3 n n 4 = 53 lim n = ( n n) 4 = 53 > divergens n= a n c) n= (n + )! n n (n + )! a n := n n A hányados kritériumot alkalmazzuk: lim n = lim n a n+ = lim a n n + n + n ( n n + (n + )! n n (n ) + ) n+ (n + )! n + n = = lim n + n = n= = lim n a n ( + n (n + ) n n (n + ) = n+ ) n = e < konvergens

29 . FÜGGVÉNYSOROK 9. Feladat: n= (n + 5) 3 n 5 n+ konvergen- (n + 5) 3n a n := 5 n+ Hányadoskritériummal célszer dolgozni, mert a gyökkritériumnál az ciáját a rend relvvel kellene megmutatni. n n + 5 lim n a n+ a n = (n + 6) 3n 5 n+ 5 n+ (n + 5) 3 n = 3 5 = n= a n n + 6 n + 5 = 3 5 konvergens + 6 n + 5 n 3 5 < 3. Feladat: n= Gyökkritériummal: lim n n an =... = n 4 (3n + 3) n (3n + ) n lim ( n n) 4 n = ( + 3/3 ) n n ( + /3 ) n 4 e e = /3 e/3 > n n= a n divergens 4. Feladat: n= Gyökkritériummal: ( 3 + n + n ) n 3 n 5 n+ ( + 3n ) n lim n n an =... = lim n ( + n ) n ( n n) 5 4 n e3 5 e 4 = e 4 < = n= a n konvergens 5. Feladat: Vizsgálja konvergencia szempontjából az alábbi sorokat!

30 . FÜGGVÉNYSOROK 3 a) n= ( ) n n n + 5 a) n= ( ) n n a3) n + 5 n= ( ) n n 3 n + 5 a n := ( ) n n n + 5 lim a n = e 7, mert... n n= a) A sor divergens, mivel az általános tag nem tart nullához, tehát a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül. a) b n, ahol b n = n a n. Mivel lim b n = (ezt meg kell beszélni, hogy rend relv- n vel látható be, de nem kell megcsinálni), így ez a sor is divergens. n a3) c n, ahol c n = a n n= A gyökkritérium alkalmazásával: lim n n cn = lim a n = e 7 < = n n= c n konvergens 6. Feladat: n= n + 3 n+ + ( )n (n)! + 3n +++ c n := n + 3 n+ + ( )n < 3n n + 3 n = 3n (n)! + 3n (n)! (n)! := d n d n konvergens, mert (hányadoskritériummal) n= Ezért a majoráns kritérium miatt n= c n is konvergens. 7. Feladat: Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett +++ hibára, ha a sor összegét a. részletösszeggel közelítjük! a) n= (n + ) 3 n (n + 5) n! a n < 3n n! lim n = b n+ (n + ) 3n a n := (n + 5) n! := b n konvergens, mert a hányadoskritérium alkalmazásával: = lim b n n n= n= b n 3 n n! = lim (n + )! 3n n b n konvergens } = {{ } maj. kr. n= a n 3 n + = < konvergens

31 . FÜGGVÉNYSOROK 3 b) Az elkövetett hiba: (n + ) 3 n < H = (n + 5) n! n= n= = 3! = 3! ( ) 3n n + 6n < n= 3 n n! ( ) = 3! + 3! + 3 3! + = < 3! ( ) = ( ) 3n n + a n := 6n ( ) 3 lim n n + an = lim = = n n 6n 6 < 3 = konvergens n= Az elkövetett hiba: ( ) 3n n + < H = < 6n n= = a n n= ( 3 5 ( ) 3n n + n = 6n n ) 33 n= ( (3 ) ) 3 n = 5 ( ) 3 (q = 3 5 ( ) ) Feladat: További gyakorló feladatok Vizsgálja az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! ( ) n n n a) n + n= n! 6 n b) (n)! n= 3 n c) ( n ) n d) e) n= n= n= 4 n (n + 3) (n)! n (n + ) n+ f) Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett hibára, ha a sor összegét a. részletösszeggel közelítjük!

32 . FÜGGVÉNYSOROK 3 3n+ (n)! n= g) Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett hibára, ha a sor összegét a. részletösszeggel közelítjük! n= n (n + 3) 6 n Weierstrass-kritérium függvénysorok egyenletes konvergenciájára 9. Feladat: Egyenletesen konvergens-e a (, ) intervallumon az alábbi függvénysor? a) b) n= n= cos (n 4 x + ) n 3 + arctg (n 5 x 3 ) n n + 5 a) b) n= n= n 3 konv. π n n = π f n (x) = cos (n4 x + ) < n 3 + n 3 Weierstrass kr. = f n (x) egyenletesen konvergens (, ) -en. n= n= f n (x) = arctg (n5 x 3 ) n n + 5 n 3/ Weierstrass kr. = konvergens < π n n f n (x) egyenletesen konvergens (, ) -en. n=

33 . FÜGGVÉNYSOROK Hatványsorok konvergencia sugara, konvergenciatartománya. Feladat: Jelenleg: lim n Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! ( ) n (x )n n n n= a n = ( )n n, x n = ( ) n n an = lim n n n n = lim n n n = = R = R = ( ) n ( ) n x = 3 : n n n = konvergens (de nem abszolút konvergens) n ( ) n x = : n n ( )n = n ( )n = divergens n KT (konvergenciatartomány): (, 3]. Feladat: n= ( ) n n + (n)! (x + 7) n R =? Jelenleg: a n = ( ) n n +, x = 7 (ez most nem fontos) (n)! lim a n+ n a n = lim (n + 3) (n)! n (n + )! (n + ) = lim n + 3 n n + (n + )(n + ) = = R =. Feladat: n= (n + ) n (n + 6) n + xn R =? Jelenleg: a n = lim n n an = lim n (n + )n (n + 6), x n + = ( n + n + 6 ) n n n + 6 = = e 4 = R = e 4, (mert < n n + 6 < n 7 n n és rend relv )

34 . FÜGGVÉNYSOROK Feladat: n= (n + ) n n! x n R =? Jelenleg: a n = lim n a n+ a n = lim (n + )n n! n, x = (n + ) n+ n! (n + )! (n + ) = lim n n ( ) n ( ) n+ n + = n + = lim n + n + ( + ) n n + n n = e e = e = R = e 4. Feladat: Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! Hol abszolút konvergens a sor? ( ) n (n + 3) x n n + 3 n= R =, mert... x = : x = : n= n= K.T. = A.K.T. = n + 3 n + 3 ( ) n n + 3 n + 3 (, divergens, mert... ) konvergens, de nem abszolút konvergens, mert Feladat: Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! (x + 4) n n 3 n n= n n 3 (x + n )n, x =. n= lim n n an = lim n n n n 3 = n 3 = R = R = 3

35 . FÜGGVÉNYSOROK 35 x = 7 : ( ) n n : konvergens x = : n : konvergens [ Konvergenciatartomány: 7 ], 6. Feladat: Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! ( ) n (x) n n 5 n... n= 7. Feladat: n= n n x3n = x3 + x6 + R =? {, ha n nem osztható 3-mal a n = n/3, ha n osztható 3-mal n/3 n Ezért a n = n n/3 n n = n n/3 3 3,, ha n nem osztható 3-mal ha n osztható 3-mal = Torlódási pontok: t =, t = 3 = lim n a n = 3 = R R = 3 Egy ügyesebb megoldás: u = x 3 helyettesítéssel egy egyszer bb feladatra vezetjük vissza. b n u n n := n un n= n= n bn n n = lim n = n = R b = R b lim n Tehát u < = x 3 < = x < 3 = R = 3

36 . FÜGGVÉNYSOROK Feladat: Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! n + (x ) n 9 n n= u := (x ) lim n helyettesítéssel a sor alakja: n= n + 9 n u n a n+ a n = lim (n + ) 9 n n 9 n+ (n + ) = = = R = 9 9 A végpontokat itt is lehet vizsgálni, de az eredeti sorban is vizsgálhatjuk majd. utóbbi módon járunk el. Tehát u < 9 = (x ) < 9 = x < 3 = R = 3 ( < x < 5) A végpontokban: (n + ) divergens, hiszen nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele. n= Konvergenciatartomány: (, 5) Most az.4. Hatványsorok összegfüggvénye 9. Feladat: Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! x n n + n= f(x) := n= x n n + f (x) := x f(x) = x f (x) = f (x) = d dx n= n= d dx, f() =. Ha x : n= x n+ n +, x n+ n + = x n n +, = n= n= x n+ n + x ( R, R) esetén szabad tagonként deriválni: x n = x x R =, és az eredeti sornak is ugyanennyi, mert tagonkénti deriválásnál nem változik. f (x) = x f (x) dx(= f (x) f ()) = x x x dx = x ( x) x dx =

37 . FÜGGVÉNYSOROK 37 = (x + ln( x)) x = x ln( x) x ln( x) ln( x) =, ha x <, x f(x) = x x, ha x = (Hf.: Tudjuk, hogy f folytonos x < -ben. Ellen rizzük le, hogy igaz-e: lim f(x) = f()(= )?) x. Feladat: Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! n + n + xn n= R =, mert (Vagy itt mutatjuk meg, vagy az el z gondolatmenettel kés bb indokoljuk.) n + (n + ) + g(x) := n + xn = x n = n + n= = n= x n + n= n= x n n + = x x + f(x) = (L. el z példa!). Feladat: Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! (n + 3) x n n= R =, mert f(x) := (n + 3) x n, f (x) := x f(x) = n= = d dx x f (x) dx = = ( x 4 x ) (n + 3) x n+ = n=. Feladat: Határozza meg az alábbi sor összegfüggvényét és konvergenciasugarát! k + x k 4 k+ k= k + =? 4 k+ k=

38 . FÜGGVÉNYSOROK 38 f(x) := x k= f(x) dx = Tehát R = 4 f(x) = d dx k + 4 k+ x k x x = k= k= k + 4 k+ x k dx = ( x 4 f(x) dx = ) k+ = x 4 x 4 k= x k + 4 k+ x k dx = k= k + x k+ 4 k+ k + = x 4 x, x < = x < 4 4 ( ) x = 4 x x( ) = 4 x (4 x) 4 (4 x) x = k= k + 4 k+ = f() = Taylor-polinom 3. Feladat: a) Deniálja az n-edrend Taylor polinomot! b) Írja fel a deníció segítségével az f(x) = x cos 3x függvény x = pontbeli negyedrend Taylor polinomját és a Lagrange-féle hibatagot! c) Legfeljebb mekkora hibát követünk el, ha f(, ) értékét T 4 (, ) értékével közelítjük? a) az f függvény x bázispontú n-edrend Taylor polinomja: T n (x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x )! (x x ) + + f (n) (x ) (x x ) n n! Ha f legalább (n + )-szer dierenciálható [x, x)-ben (ill. (x, x ]-ban), akkor ξ (x, x) (ill. ξ (x, x )), hogy R n (x) = f(x) T n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+. b) f(x) = x cos 3x f() = f (x) = 3x 3 sin 3x f () =

39 . FÜGGVÉNYSOROK 39 f (x) = 6x 9 cos 3x f () = 9 f (x) = sin 3x f () = 6 f IV (x) = 8 cos 3x f IV () = 8 f V (x) = 43 sin 3x T 4 (x) = + 9! x + 6 3! x ! x4 H = f V (ξ) x 5 43 sin 3ξ =, 5, ξ (,.) 5! 5! sin x x miatt sin 3ξ 3,, ezért H = 4. Feladat: 43 sin 3ξ 5!, 5 < 43 3, 5! y = y + 3x 6x, 5 a) Rajzolja fel a P (, ) ponthoz tartozó vonalelemet! b) Van-e lokális maximuma vagy minimuma az origón áthaladó megoldásgörbének az origóban? (Ne próbálja megoldani a dierenciálegyenletet, de feltételezheti, hogy van ilyen megoldás!) c) Írja fel az origón áthaladó megoldás x = bázispontú harmadrend Taylor polinomját! Feladat: y = xy 3 y + a) Van-e lokális maximuma vagy minimuma az x =, y = ponton áthaladó megoldásgörbének ebben a pontban? (Ne próbálja megoldani a dierenciálegyenletet, de feltételezheti, hogy van ilyen megoldás!) b) Írja fel az x =, y = ponton áthaladó megoldás x = bázispontú harmadrend Taylor polinomját! (Ne próbálja megoldani a dierenciálegyenletet!) a) y() =, y () = + = = lehet itt lokális széls érték. y = y 3 + x 3y y yy, y () = Tehát y () = és y () = < : pontban. a megoldásnak lokális maximuma van ebben a

40 . FÜGGVÉNYSOROK 4 b) y = 3y y + 3y y + x 6yy + x 3y y y y y T 3 (x) = y() + y ()! y () = 3 = 5 (x ) + y ()! (x ) + y () 3! (x ) 3 = =! (x ) 5 3! (x )3.6. Taylor-sor 6. Feladat: Adja meg az f(x) = x 3 függvény x =, illetve x = 5 bázispontú Taylor sorfejtéseit és azok konvergenciatartományát! x = esete: f(x) = 3 x 3 = 3 ( + x ( x ) ( x ) 3 ( x ) ) = = ( x ) n = xn 3 3 3n+ n= n= ( Geometriai sor: a = 3, q = x ) 3 Konvergenciatartomány: q = x = x 3 3 < = x < 3, R = 3 x = 5 esete: f(x) = (x 5) + = = ( ) n (x 5) = (x 5) n= Konvergenciatartomány: q = (x 5) x 5 = < = x 5 <, R = n= ( ) n n+ (x 5) n 7. Feladat: Adja meg az alábbi függvények x = bázispontú Taylor sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x5, g(x) = x + 3 x + 3

41 . FÜGGVÉNYSOROK 4 f(x) = 3 g(x) = x 3 = 3 ( x 3 + = ) n ( x = 3 3 n= n= (Geometriai sor: a = ( ) x ( ) x 3 ( ) ) x 4 + = ( ) n 3 n+ x n 3, q = x 3 Konvergenciatartomány: q = x 3 = x 3 < = x < 3, R f = 3 x5 x + 3 = x5 f(x) = x 5 n= ( ) n 3 n+ x n = n= ) ( ) n 3 n+ x n+5 Konvergenciatartomány: x < 3, R g = 3 (ugyanaz) 8. Feladat: Adja meg az alábbi függvények x = bázispontú Taylor sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x + 7, g(x) = x + 3x4, h(x) = x + 7 x + 7 f(x) = 7 x = 7 7 = 7 ( x ( x ) ( x ) 3 ( x ) ) = n= ( x ) n = 7 n= ( ) n 7 n+ x n ( Geometriai sor: a = 7, q = x 7 Konvergenciatartomány: q = x = x 7 7 < = x < 7, R f = 7 g(x) = x x + 7 h(x) = = 5 x + 7 = 5 f(x) = 5 n= ) ( ) n 7 n+ x n Konvergenciatartomány: x < 7, R g = 7 (ugyanaz) 3x4 x + 7 = 3x4 f(x) = 3x 4 n= ( ) n 7 n+ x n = n= 3 ( ) n 7 n+ x n+4 Konvergenciatartomány: x < 7, R h = 7 (ugyanaz)

42 . FÜGGVÉNYSOROK 4 9. Feladat: Írja fel az f függvény x konvergenciatartományát! f(x) = x + bázispontú Taylor sorát és adja meg a sor a) x = b) x = 5 x = : f(x) = x + = (x ) + 4 = ( = a ) = 4 (x ) q 4 ( = ( ) ( ) ( ) ) 3 x x x + + = = 4 n= ( x ) n = 4 n= ( ) n 4 n+ (x ) n Konvergenciatartomány: q = x x 4 = 4 < = x < 4, ( < x < 6, R = 4) x = 5 : f(x) = x + = (x + 5) 3 = 3 ( = ( x x ) ( x ) ( ) ) 3 x = 3 = 3 n= ( ) n x + 5 = 3 n= (x + 5)n 3n+ Konvergenciatartomány: q = x + 5 x = < = x + 5 < 3, ( 8 < x <, R = 3) 3 3. Feladat:

43 . FÜGGVÉNYSOROK 43 a) Írja fel az f (x) = x + 3 függvény x = bázispontú Taylor sorfejtését! R =? b) f sorfejtésére támaszkodva írja fel az alábbi függvények x = bázispontú sorfejtését! f (x) = ln (x + 3), R =? f 3 (x) = (x + 3), R 3 3 =? a) f (x) = x + 3 = 3 x 3 = 3 n= = 3 Konvergenciatartomány: q = ( x ( x ) ( x ) 3 ( x ) ) = ( x ) n ( ) n = x n 3 3 n+ n= x = x 3 3 < = x < 3, R = 3 b) f (x) = f (x) = x n= ( ) n 3 n+ x n f (t) dt = f (x) f () }{{} =ln 3 = x n= ( ) n 3 n+ t n dt [, x] ( 3, 3), szabad tagonként integrálni: f (x) = ln 3 + n= ( ) n 3 n+ x t n dt = ln 3 + = ln 3 + n= n= ( ) n 3 n+ x n+ n + ( ) n t n+ 3 n+ n + ( ) n+ x n = f (x) = ln n n, R = R n= (Tagonkénti integrálásnál nem változik a konvergenciasugár.) x = ( ) ( ) f (x) = = = x + 3 (x + 3) Tehát ( f 3 (x) = ) ( ) n x n = 3 n+ n= n= (x + 3) 3 = f 3 (x) = f (x) ( ) n n (n ) 3 n+ x n

44 . FÜGGVÉNYSOROK 44 R 3 = R (Tagonkénti deriválásnál nem változik a konvergenciasugár.) 3. Feladat: Tudjuk, hogy a) Írja fel az ln ( + x) = x x + x3 3 x , R = f(x) = ln ) ( + x 3 függvény x = bázispontú Taylor sorát és adja meg annak konvergencia sugarát! b) Az a)-beli sorfejtést felhasználva adja meg az ln ) ( + x 3 dx integrál értékét az f függvény negyedfokú Taylor polinomjának felhasználásával és becsülje meg a hibát! a) ln ( + u) = n= ( ) n+ n u n, R = u = x 3 helyettesítéssel: ( ) ( ) n+ x n ( ) n+ f(x) = = x n n 3 n 3 n n= n= Konvergenciasugár: x 3 < = x < 3 = R f = 3 b) [, ] ( 3, 3), szabad tagonként integrálni: ) ln ( + x dx = x 3 3 x4 + x6 }{{ 3 } dx = T 4 (x) = x3 3 3 x x = =,, H < (Leibniz sor)

45 . FÜGGVÉNYSOROK Feladat: Tudjuk, hogy a) Írja fel az arctg u = u u3 3 + u5 5 u7 7 + = n= ( ) n f(x) = x 3 arctg x függvény x = pontra támaszkodó Taylor sorát! R =? b) f () () =?, f () () =? (A sorfejtésb l adjon választ!) un+ n +, u c) Adjon becslést az f(x) dx Taylor polinomjával közelítve! integrál értékére az integranduszt kilencedfokú a) arctg x = n= ( ) n n + Konvergenciatartomány: ( ) x n+ = x n= ( ) n x4n+ (n + ) n+ = x f(x) = x 3 n= ( ) n (n + ) n+ x4n+ = n= ( ) n (n + ) n+ x4n+5 = = x5 x9 + x3 }{{ 3 3 } 5 x R = T 9 (x) b) a n = f (n) () n! miatt f (n) () = n! a n f () () =! a =, mert a = ( x -os tag nincs a sorban) f () () =! a =! ( )4 9 9 ( a : x együtthatója, ezért 4n + 5 = = n = 4) c) Mivel [, ] (, ), ezért szabad tagonként integrálni: f(x) dx = = n= n= ( ) n (n + ) n+ x4n+ dx = ( ) n x 4n+6 (n + ) n+ 4n + 6 n= ( ) n (n + ) n+ = x6 6 x x = , H < x 4n+ dx = =

46 . FÜGGVÉNYSOROK 46 (Leibniz sort kaptunk.) 33. Feladat: Írjuk fel e x, sin x, cos x, ch x, sh x Taylor-sorát és konvergenciatartományát! 34. Feladat: Írja fel az alábbi függvények x pontbeli Taylor sorát és annak konvergenciatartományát! a) f (x) = sin 3x, x = b) f (x) = e 4 x, x =, ill. x = 3 c) f 3 (x) = sh x 4, x = d) f 4 (x) = e x ch 5x, x = a) f (x) = u u3 3! + u5 5! u=3x b) e u = + u + u! + u3 3! + u4 4! +, u R x = : u = 4 x helyettesítéssel: = 3 x 33 3! x ! x, x R f (x) = e 4 x = + 4 x + 4! x ! x ! x4 +, x R x = 3 : f (x) = e 4 (x 3) + = e e 4 (x 3) = ( ) = e + 4 (x 3) + 4! (x 3) ! (x 3) ! (x 3)4 +, x R c) f 3 (x) = sh x 4 = u + u3 3! + u5 5! + u7 7! + = u=x 4 = x ! x + 5 5! x +, x R d) f 4 (x) = e x ch 5x = e x e5 x + e 5 x = (e3 x + e 7 x ) = 35. Feladat: f(x) = 5 x 3 e 3 x, x = Írja fel a függvény Taylor sorát! Konvergenciatartomány? f () () =?, f () () =? (A sorfejtésb l adjon választ!) f(x) = 5 x 3 n= u n n! u= 3x = 5 n= ( 3) n n! x n+3, x R

47 . FÜGGVÉNYSOROK 47 a n = f (n) () = f (n) () = n! a n n! Így f () () =! a, ahol a : x együtthatója: n + 3 = = n N, melyre ez teljesülne = a = = f () () = f () () =! a, ahol a : x együtthatója: n + 3 = = n = 49 = f () () =! 5 ( 3)49 49! 36. Feladat: Határozza meg a következ számsorok pontos összegét! a) b) k= k= 4 k k! ( ) k k k! ( = e 4 ) ( = e / ) c) d) k= k= ( ) k (k + )! (k)! (= sin ) (= ch ) 37. Feladat: lim x x sin x x sin x =? L'Hospital szabállyal hosszadalmas, ezért Taylor sorfejtéssel dolgozunk: 38. Feladat: lim x e x4 + x 4 x 5 sin x 3 =? A számláló és a nevez megfelel Taylor sorfejtésével oldja meg a feladatot! 39. Feladat: Szemléltessük, hogy e j ϕ = cos ϕ + j sin ϕ

48 . FÜGGVÉNYSOROK 48 e j ϕ (jϕ) n = = + j ϕ + j ϕ + j3 ϕ 3 + j4 ϕ 4 n!! 3! 4! n= ) = = ( ϕ! + ϕ4 4! + + j + j5 ϕ 5 5! (ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! + + = ) = cos ϕ + j sin ϕ.7. Binomiális sorfejtés 4. Feladat: Írja fel az f(x) = 4 x, g(x) = 4 x függvények x = bázispontú Taylor sorát és a sor konvergenciasugarát! a 4 =? (Elemi m veletekkel adja meg!) ( ) Tudjuk, hogy ( + u) α = α u k, R =. Ezt használjuk fel: k= k f(x) = 4 x = ( ( + x )) ( ) / / ( = x ) k = 4 k= k 4 4 = ( ) / ( ) k x k k= k 4 k x < = x < 4 = R f = 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) a 4 = ( ) / ( ) 4 = g(x) = 4 x 4 = ( + )) / ( x = 4 = ( ) / ( ) k x k k= k 4 k x 4 < = x < = R g = ( ) ( ) 3 a 4 = ( ) / ( ) = 4 4 k= ( ) ) k / ( x = k 4

49 . FÜGGVÉNYSOROK Feladat: Írja fel az f(x) = 5 3 x, x = Tudjuk, hogy bázispontú Taylor sorát és a sor konvergenciasugarát! a 8 =? (Elemi m veletekkel adja meg!) f (6) () =?, f (5) () =? ( + u) α = f(x) = 5 3 ( + ( x = a 8 = k= ( 5 k k= = )) /5 6 ) ( ) k x k 6 k ( ) α u k, R =. Ezt használjuk fel: k ( + Konvergenciasugár: ( ) ( 6 ) ( ) ( 6 5 )) /5 ( x = 6 f(x) = a n x n és a n = f (n) () miatt n= n! f (6) () = 6! a 6 = 6! ( ) 5 ( ) ( a 6 : x 6 együtthatója, ezért k = 6 = k = 3) f (5) () = 5! a 5 =, mert a 5 = ( x 5 -es tag nincs a sorban, tehát együtthatója van.) k= ( ) ) k 5 ( x = k 6 x 6 < = x < 4, R = 4 ) 6 4 (x 8 együtthatója, k = 4) f (n) () = n! a n 4. Feladat: Írja fel az g(x) = x x, x = bázispontú Taylor sorát és a sor konvergenciasugarát! g () () =?, g (3) () =?

50 . FÜGGVÉNYSOROK 5 Mivel g(x) = x 3 f(x), ( 5 k g(x) = x 3 n= k= a n x n és a n = g(n) () n! felhasználhatjuk az el z példa eredményét: ) ( ) ( ) k x k = 5 ( ) k 6 k k miatt k= g (n) () = n! a n 6 k x k+3, R = 4 (u.a.) g(x) = g () () =! a =, mert a = ( x -es tag nincs a sorban) ( ) g (3) () = 3! a 3 = 3! 5 ( ) ( a 3 : x 3 együtthatója, ezért k + 3 = 3 = k = 5) 43. Feladat: / + x 4 dx? ( + x 4 ) / = / Az integranduszt nyolcadfokú Taylor polinomjával közelítse és becsülje meg a hibát! k= ( ) / k x 4k = x x8 }{{} T 8 (x) ( ) + x 4 / dx = x 5 x x x x + R = , H < (Leibniz sor) /.8. Fourier-sor Bevezet : Ha f π szerint periodikus és f R [,π], akkor f Fourier sora ahol a k = π a + a+π k= (a k cos kx + b k sin kx), f(x) cos kx dx, k =,,,... b k = π a a+π f(x) sin kx dx, k =,,... a

2.7. Fourier-sor Gyakorló feladatok... 84

2.7. Fourier-sor Gyakorló feladatok... 84 Tartalomjegyzék. Közönséges differenciálegyenletek 3.. Bevezető.................................... 3.. Szétválasztható változójú differenciálegyenletek.............. 4... Gyakorló feladatok..........................

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y(0) =

7. Oldjuk meg az alábbi kezdetiérték-problémát: y x y = 6x, y(0) = . feladatsor: szeparábilis és els rend lineáris dierenciálegyenletek x. Mutassuk meg, hogy y = e x e t2 dt + 3e x megoldása az alábbi dierenciálegyenletnek: y y = e x+x2. 2. Adjuk meg az y = e 3x + 2x

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék,   Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20 Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.

Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag

Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Analízis 1. tárgyban tanult ismeretekre épül, tehát ismertnek tekintjük

Analízis 1. tárgyban tanult ismeretekre épül, tehát ismertnek tekintjük Ismertető A Matematika 2. elektronikus oktatási segédanyag a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatika Karán a mérnök-informatikus szakos hallgatók Analízis 2. tárgyához

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j) Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)

6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor

Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor Analízis szigorlat informatikusoknak (BMETE90AX20) tárgykövetelmény és tételsor Bodrogné Réffy Júlia, Horváth Róbert 2018/19. II. félévtől Tantárgykód: BMETE90AX20 Félév: 2018/19. tavasz Nyelv: magyar

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika A3 1. ZH+megoldás

Matematika A3 1. ZH+megoldás Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához

Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok

Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy: Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések . REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim. Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2

Részletesebben

differenciálegyenletek

differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C. . Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.

Részletesebben