Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16"

Alíz Szőke
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Példák Legyen egy kísérlet az, hogy dobókockával dobunk, és felírjuk a dobás értékét! Legyen az A esemény, hogy 6-ot dobunk! Ismételjük meg 100-szor a kísérletet, és összeszámoltuk, hogy 15-ször következett be. Mennyi a gyakorisága és a relatív gyakorisága az A eseménynek?

Ismételjük meg 100-szor a kísérletet, és összeszámoltuk, hogy

2 Példák Legyen egy kísérlet az, hogy dobókockával dobunk, és felírjuk a dobás értékét! Legyen az A esemény, hogy 6-ot dobunk! Ismételjük meg 100-szor a kísérletet, és összeszámoltuk, hogy 15-ször következett be. Mennyi a gyakorisága és a relatív gyakorisága az A eseménynek? Gyakoriság = 15 Relatív gyakoriság = Generáljunk R-ben kockadobást 100 ismétlésben. sample(x, size, replace=f) kocka: 6 lehetséges érték: x=6; size (a generált vektor hossza) = 100; replace=t mert ismételhető > sample(6, 100, replace=t) [1] [38] [75]

Gyakoriság = 15 Relatív gyakoriság = Generáljunk R-ben kockadobást 100 ismétlésben.

3 Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! A dobások eredménye: 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16 A: páros prímszámot dobunk B: páratlan prímszámot dobunk C: a dobott szám prím D: a dobott szám legfeljebb 6 A = {2} esemény gyakorisága 17, relatív gyakorisága: B = {3, 5} esemény gyakorisága 34, relatív gyakorisága: C = {2, 3, 5} esemény gyakorisága 51, relatív gyakorisága: C= A+B D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} esemény gyakorisága 100, relatív gyakorisága: 1

szám prím D: a dobott szám legfeljebb 6 A = {2} esemény gyakorisága 17, relatív gyakorisága: B = {3, 5} esemény gyakorisága 34,

4 A kockázás paradoxona Probléma: Szabályos dobókockával azonos eséllyel dobhatjuk az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számok bármelyikét. Két kockával dobva a dobott számok összege 2 és 12 között változhat. A tapasztalat azt mutatta, hogy sokszor feldobva a két kockát a 9 összegként gyakrabban áll elő, mint a 10, pedig mindkettő kétféleképpen tehető össze: 9 = = és 10 = = Három kocka esetében is ugyanannyiszor, mégpedig hatféleképpen kombinálható össze 9 = = = = = = = = = = = = Mégis hogyan lehetséges az, hogy két kocka dobásakor gyakrabban kapunk 9-et, míg három kocka dobásakor 10-et? Két kocka: 9: = elemi esemény 9: = elemi esemény 10: = elemi esemény 10: elemi esemény Összes esemény: 6 * 6 = 36 Három kocka: elemi esemény elemi esemény elemi esemény elemi esemény elemi esemény elemi esemény Összesen: 25 elemi esemény elemi esemény elemi esemény elemi esemény elemi esemény elemi esemény elemi esemény Összesen: 27 elemi esemény Összes esemény: 6*6*6 = 216 Összes esemény: 6*6*6 = 216

Három kocka esetében is ugyanannyiszor, mégpedig hatféleképpen kombinálható össze 9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3 10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2

5 Hány eseményből áll a megfigyelhető eseményrendszer a következő kísérletnél: Négy levelet helyezünk el 6 rekeszbe és a) A levelek egyformák és Egy rekeszbe legfeljebb egy levelet teszünk Egy rekeszbe több levelet is tehetünk b) A leveleket meg lehet különböztetni egymástól és Egy rekeszbe legfeljebb egy levelet teszünk Egy rekeszbe több levelet is tehetünk R parancs: n! = factorial(n)

Egy rekeszbe több levelet is tehetünk b) A leveleket meg lehet különböztetni egymástól és Egy

6 De Méré lovag problémája (1654): Az alább megfogalmazott két probléma történetileg érdekes. Ezekkel a kérdésekkel fordult de Méré lovag Pascalhoz. Sokan e feladat megoldásától illetve Pascalnak és Fermat-nak e probléma megoldásáról szóló levelezésétől számítják a valószínűség számítás megszületését. a.) Ha egy kockát 4-szer feldobunk, akkor mi annak a valószínűsége, hogy legalább egy hatos dobás lesz? b.) Ha két kockát 24-szer feldobunk, mi annak a valószínűsége, hogy legalább egy dupla hatos lesz? (De Méré lovag arra csodálkozott rá, hogy az első valószínűség 1/2 -nél kicsit nagyobb, a második valószínűség pedig 1/2 -nél kicsit kisebb. Hogyan lehetséges ez, hiszen dupla hatosnak hatodannyi az esélye mint az egyszeri hatosnak, és a 24 éppen hatszor annyi mint a 4.) Ha egy szabályos kockát k-szor feldobunk akkor 6 k a lehetséges kimenetelek száma. Ezek közül 5 k a valószínűsége annak, hogy nem lesz hatos. Így annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer hatos lesz:

valószínűség számítás megszületését. a.) Ha egy kockát 4-szer feldobunk, akkor mi annak a valószínűsége, hogy legalább egy hatos dobás lesz? b.

7 De Méré lovag problémája (1654): Két játékos egy igazságos játékot játszik, melynek mindegyik fordulójában az egyes játékosok ½ valószínűséggel nyernek, illetve veszítenek. Megállapodnak, hogy az a játékos nyeri el a tétet, aki először ér el 6 nyerést. A játékot félbe kell szakítaniuk akkor, amikor az egyiküknek 3 a másikuknak pedig 5 nyerése volt. Hogyan kell igazságosan osztozkodniuk? Ahhoz, hogy a játéknak vége legyen, az egyiknek egyszer a másiknak egymás után három játékot kell nyernie. Hány eset lehetséges összesen? Ω= {ω 1 =NNN, ω 2 =NVV, ω 3 =NVN, ω 4 =NNV, ω 5 =NNV, ω 6 =NVN, ω 7 =VNN, ω 8 =VVV} Összesen: 8 eset, kedvező eset ω 8 =VVV

A játékot félbe kell szakítaniuk akkor, amikor az egyiküknek 3 a másikuknak pedig 5 nyerése volt. Hogyan kell igazságosan osztozkodniuk?

8 Egy játékban az a cél, hogy 6-ost dobjunk. Választhatunk, hogy egy szabályos dobókockával dobunk, és a dobott szám az eredményünk, vagy két kockával dobunk, és a dobott számok összege az eredmény. Melyiket válasszuk, hogy nagyobb esélyünk legyen a 6-osra? Egy kocka: Ω = {1,2,3,4,5,6}, Két kocka: Ω = {11,12,13,14,15,16, 21, 22,, 66}, n = 6 2 = 36 Kedvező esetek: 6 = 1+5 = 2+4 = 4+2 = 5+1 = 3+3

kockával dobunk, és a dobott számok összege az eredmény.

9 Mi a valószínűsége, hogy két kockát legalább négyszer kell feldobni, hogy a két kockán levő pontok összege 7 legyen? Keressük annak a valószínűségét, hogy legfeljebb 3 dobásból az összeg 7. Ez 3- féleképpen lehet, hogy elsőre, másodikra és harmadikra lesz hét. 7 = = = = = = A 7 = 6; összes eset = 6*6 = 36; nem dobunk hetet: Másodikra dobunk hetet: Harmadikra dobunk hetet:

Ez 3- féleképpen lehet, hogy elsőre, másodikra és harmadikra lesz hét.

10 Adott egy hat elemű minta 9,3; 12,5; 11,8; 9,8; 11,6; 14. Számoljuk ki a mintaközepet, a tapasztalati szórásnégyzetet, és a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet. (Kézzel és R-ben). n = 6, R: > mean(x) [1] 11.5 > sum(x)/length(x) [1] 11.5 > (sqrt(sum((x-mean(x))^2)/6))^2 [1] > (sqrt(sum((x-mean(x))^2)/5))^2 [1] > sd(x)^2 [1] 3.016

tapasztalati szórásnégyzetet. (Kézzel és R-ben). n = 6, R: > mean(x) [1] 11.

11 Adott egy 400 elemű minta. Számoljuk ki a mintaátlagot és a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet! Érték (x i ) Gyakoriság (f i ) sum 400 f i *x i 2 f i *x i

Hasonló dokumentumok

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével