Valószínőségszámítás speci I. éves matematika tanárszakos hallgatóknak Csiszár Villı

Átírás

1 Valószínőségszámítás speci I. éves matematika tanárszakos hallgatóknak Csiszár Villı Ajánlott irodalom: Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában (Mőszaki könyvkiadó, 98) Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában,. átdolgozott kiadás (Typotex, 004) Warren Weaver: Szerencse kisasszony (Kairosz kiadó, 997) Denkinger Géza: Valószínőségszámítás (Nemzeti Tankönyvkiadó, 997) Számonkérés: A félévet írásbeli vizsga zárja.. A valószínőségszámítás tárgya, véletlen kísérlet matematikai modellje Véletlen kísérlet: az eredménye nem jósolható meg elıre, a véletlentıl függ. A véletlent nem filozófiai oldalról közelítjük meg, hanem gyakorlati oldalról. Az életben tapasztaljuk, hogy vannak véletlen jelenségek, sıt, ezeknek bizonyos törvényszerőségei is vannak (pl. nagy számok törvénye). Pl.: közvéleménykutatás: 000 embert megkérdezve, az már jól fogja tükrözni a népesség jellemzıit; kaszinó hosszú távon nyereséges, mert ki tudja számítani, hogy az emberek átlagosan mennyit nyernek. Akkor tanulmányozhatók jól a véletlen törvényszerőségei, ha a kísérletet sokszor meg tudjuk ismételni, azonos körülmények között: véletlen tömegjelenségek. Ilyenekre a legjobb példákat a szerencsejátékok szolgáltatják. (Bonyolultabb esetek: tızsdeárfolyamingadozások, biztosítás-káresemények, biológia-járvány terjedése, stb.) Célunk, hogy ezekre a véletlen jelenségekre matematikai modellt alkossunk, mégpedig úgy, hogy a modellbıl kiszámolt eredmények jól használhatóak legyenek a gyakorlatban.. Bár az eredményt nem tudjuk elıre megjósolni, tudjuk, hogy mik a lehetséges kimenetelek. Matematikailag ezek egy (véges vagy végtelen) halmazt alkotnak. (Ennek neve: eseménytér, jel: Ω) Hogy mit tekintünk kimenetelnek, az rajtunk is múlik, hogy mit tartunk érdekesnek, fontosnak (pl. lottóhúzásnál csak az öt számot, vagy a sorrendjüket is).

2 . Esemény: matematikailag kimenetelek egy halmaza (jel. pl. A). Ez vagy bekövetkezik, vagy nem. Az eseményekkel mőveletek is végezhetık (A komplementere: pontosan akkor következik be, ha A nem; A és B uniója: akkor következik be, ha A és B legalább egyike bekövetkezik; A és B metszete: akkor következik be, ha A és B is bekövetkezik) 3. Minden kimenetelhez, eseményhez hozzárendelünk egy valószínőséget. Az A esemény valószínőségét jelölje P(A) (P, mint probability). Matematikailag? A hétköznapi életben azt értjük egy esemény valószínőségén, hogy sok független kísérletet elvégezve, hány százalékban következik be: P(A) k A /n ha n nagy. Ezért úgy szeretnénk definiálni a valószínőséget, hogy a relatív gyakoriság tulajdonságai érvényesüljenek a valószínőség axiómái: i, Bármely esemény valószínősége egy 0 és közötti szám. ii, A biztos esemény valószínősége. iii, Egymást kizáró eseményekre (A és B metszete üres) annak valószínősége, hogy legalább egy bekövetkezik közülük, megegyezik az egyes események valószínőségeinek összegével. Egy kísérlet matematikai modelljén tehát azt értjük, hogy megadjuk a lehetséges kimeneteleket (ill. az eseményeket), és ezek valószínőségeit. Legegyszerőbb eset: minden kimenetelnek ugyanakkora az esélye (ha véges sok kimenetel van). Annak eldöntésénél, hogy egy kísérletben egyformán esélyesek-e a kimenetelek, szimmetria okokra lehet hivatkozni (pl. kockadobásnál, lottóhúzásnál). Ha a lehetséges kimenetelek egyformán valószínőek (klasszikus eset), akkor egy esemény valószínősége = kedvezı kimenetelek száma / összes kimenetel száma. Példák: Szabályos dobókockával dobunk: a 6 lehetséges érték egyformán valószínő. Két kockával dobva 36 egyformán valószínő kimenetel van (fával ábrázolható). Ha csak a két számra vagyunk kíváncsiak (mindegy, hogy milyen sorrendben jöttek ki), akkor kimenetel van, de azok nem egyformán esélyesek (KI LEHET PRÓBÁLNI!). A két kockát a természet mindenképp meg tudja különbözteti, még ha nekünk egyformának tőnnek is! A valóságot tehát az a modell írja le jól, amely a fizikailag különbözı objektumokat különbözınek tekinti, függetlenül attól, hogy mi, mint tökéletlen megfigyelık, meg tudjuk-e különböztetni ıket egymástól. (Kivétel:

3 fizikai kísérletek kimutatták, hogy az elemi részecskék nem mindig így viselkednek, pl. a protonok és a fotonok.) Események valószínőségének kiszámításához érdemes az egyforma vszgő kimenetelekbıl kiindulni, így használható a klasszikus képlet (pl. két kockánál melyik esélyesebb: összeg = 9, összeg = 0). Lottó: 90 számból 5-öt húzunk visszatevés nélkül (sorrend számít-e?) úgy is lehet venni, hogy számít, úgy is, hogy nem 90*89*88*87*86 = val osztva: (mind egyformán valószínő kimenetelek). A valószínőségszámítás születése (röviden) A szerencsejátékok tanulmányozásából alakult ki a valószínőségszámítás, kezdetben nem volt egyéb, mint a kedvezı/összes képlet alkalmazása. Cardano: Liber de Ludo Aleae (A kockajátékok könyve), 663-ban jelent meg, de több, mint száz évvel korábban íródott. (arabul az-zar = kocka, ebbıl származik a hazárd = kockázat szó) 654: Antoine Gombauld, Méré lovagja (de Méré lovag), mővelt, kíváncsi alkat, játéktermeket is látogatott. Ismerte a Régi Szerencsejátékos-szabályt, amely arra vonatkozott, hogy egy adott esemény bekövetkezésére nézve mi az a kritikus kísérletszám, amely esetén az esélyek kedvezıtlenrıl kedvezıre váltanak: Ha a p valószínőségő eseményre a kritikus szám n, akkor a p valószínőségő eseményre n = n *p / p. Pl. a szabályt alkalmazva, ha tudjuk, hogy a hatos dobás kritikus száma 4, akkor a dupla hatos -é 4. (három dobásból 0,4 eséllyel lesz 6-os, négy dobásból 0,5 eséllyel) Igaz-e ez? NEM! Mekkora az esélye, hogy n kísérletbıl legalább egyszer bekövetkezik a p = k/m valószínőségő A esemény? (m k) n / m n = ( p) n. Ez akkor lesz legalább ½, ha n legalább log/log( p). log( p)-t sorbafejtve,

4 helyesen: n = 0,693 / ( p + p / + p 3 /3 + ) felsı egészrésze, ami elég kis p esetén megegyezik 0,693 / p felsı egészrészével. Azaz ekkor igaz, hogy np közel konstans. (A dupla hatos kritikus száma egyébként 5.) A lovag megkérdezte Blaise Pascalt is, aki megoldotta a feladatot. Késıbb az osztozkodási problémát (mely 494-bıl származott) is megoldotta (Két játékos egy igazságos játékban hat gyızelemig játszik, de 5:3-nál abbahagyják: hogyan osztozzanak meg a téten? A helyes válasz: 7: arányban kell osztozni.), majd Pierre de Fermat-val kezdett ezekrıl és más szerencsejátékokról levelezni megszületett a valószínőségszámítás. A modern valószínőségszámítás megalapítója A.N. Kolmogorov, aki az 930-as években dolgozta ki a valószínőségszámítás mai felépítését. 3. Körbeverés: kockákra, számhúzásra (Székely I/3f) A és B azt a játékot játssza, hogy A megszámoz három kockát az -8 számokkal, B választ egyet, majd a maradék kettıbıl A egyet. Az nyer, aki nagyobb számot dob. Kinek elınyös a játék? Válasz: A-nak elınyös, mert legyen I:, 6,,, 3, 4 II:, 3, 4, 5, 6, 7 III: 5, 7, 8, 9, 0, 8 P(II megveri I-t) = P(III megveri II-t) = P(I megveri III-t) = /36, azaz a kockák /36 valószínőséggel körbeverik egymást. Tehát akármelyik kockát választja is B, A tud az övénél jobbat választani. HF: Lehet-e ennél jobb számozást megadni (A szempontjából)? Def: Egy véletlentıl függı mennyiséget valószínőségi változónak nevezünk. Az X (diszkrét) valószínőségi változó megadása: felsoroljuk X lehetséges értékeit: x, x, x 3, és a hozzájuk tartozó valószínőségeket: p, p, p 3, Def: Az X, X,, X n valószínőségi változók körbeverik egymást, ha P(X > X ) = p, P(X 3 > X ) = p,, P(X > X n ) = p n jelöléssel p i > ½ minden i-re. A körbeverési valószínőség a p i számok minimuma. Az elızı példában X I, X II, X III a három kockával dobott érték, ezek nyilván függetlenek egymástól, nincsenek egymásra hatással, valamelyik ismerete nem mond semmit a többirıl (a függetlenséget matematikailag is lehet definiálni, HF: vajon hogyan?).

5 Mennyi a körbeverési valószínőség maximuma, ha n véletlen mennyiség nem feltétlenül független? Válasz: (n )/n. Megvalósítás: A és B játékosok játszanak, elıször A választ egy számot és n között, majd B is, de nem választhatja ugyanazt, mint A. Legyenek a számaik k A és k B. Ezután a játékvezetı kisorsol 0 és (n ) között egy X számot, véletlenszerően. A játékosok ezt hozzáadják saját számukhoz, és az n-nel osztva kapott maradékot kapják meg, azaz az Y A = k A +X mod n és az Y B = k B +X mod n számokat. Itt Y A és Y B nyilván összefüggnek, hiszen ugyanaz a véletlen X mennyiség szerepel bennük. Ez a játék is B számára elınyös, hiszen az Y i = i+ X mod n véletlen mennyiségek körbeverik egymást, amint ez az alábbi táblázatból látszik (n = 5-re): X Y Y Y 3 Y 4 Y P(Y i+ > Y i ) = (n )/n. Ez a játék hasonlít az elızıhöz, úgy képzelhetjük, hogy itt n db. kocka van, de ezek egy fonállal össze vannak kötve, úgy, hogy bármelyik kockán a dobott szám meghatározza az összes többi kockán dobott számot is. Belátjuk, hogy ennél tényleg nem lehet nagyobb a körbeverési valószínőség. Tegyük fel, hogy n mennyiség körbeveri egymást. A k :={X k+ >X k }, P(A k ):= p k jelöléssel (k =,..., n), mivel ennek az n eseménynek a metszete üres, komplementereik uniója a biztos esemény. Mivel tehát ezek a komplementer események lefedik az összes lehetıséget, valószínőségeik összege legalább egy. Ezért van köztük olyan, amelyik legalább /n valószínőségő, azaz olyan k, hogy p k /n. Erre a k-ra p k (n-)/n, azaz min j p j (n )/n. Megmutatható, hogy független mennyiségek esetén a körbeverési valószínőség maximuma (monoton növekvı módon) ¾-hez tart. (Usiskin eredménye)

6 4. Névjegy-probléma (Székely I/6, Weaver 9) n ember esetén mekkora az esélye, hogy névjegyeiket véletlenszerően összecserélve, senki sem a sajátját kapja vissza? Válasz: kb. /e, azaz 37%. (ha legalább 4 ember játszik). ez a szitaformulával számítható ki. Pl. n = 4: -es a helyén van: 34, 43, 43, 43, 34, 34 -es a helyén van: 34, 43, 43, 43, 34, 34 3-as a helyén van: 43, 43, 43, 43, 34, 34 4-es a helyén van: 34, 34, 34, 34, 34, 34 Összesen 5 olyan permutáció van, amelyben valamelyik szám a helyén van, tehát 9/4 = 0,375 a valószínősége, hogy egyik sincs a helyén. Szita-formula: n darab esemény uniójának valószínőségét a logikai szitához hasonlóan úgy számíthatjuk ki, hogy összeadjuk az n esemény valószínőségeit, majd kivonjuk belıle a kettes metszetek valószínőségeit, hozzáadjuk a hármas metszetek valószínőségeit, és így tovább az n-es metszetig. Ha most A i az az esemény, hogy az i. ember a saját névjegyét kapja vissza, akkor ezek uniójára, azaz arra az eseményre, hogy legalább egy ember a sajátját kapja vissza, a k! k! n n k k ( ) = ( ) valószínőség adódik. Ez pedig n növekedésével k = k= 0 gyorsan tart az /e számhoz. Átlagosan hány ember kapja a sajátját? Válasz: nagyon sokszor, mondjuk M-szer, kiosztva a névjegyeket, tegyük fel, hogy a j. kiosztásnál n j ember kapta a saját névjegyét. Jelölje még k j azt, hogy hány kísérletben kapta j ember a saját névjegyét. Az átlag tehát (n + + n M )/M = 0*k 0 /M + *k /M + + n*k n /M. Mivel a k j / M relatív gyakoriság közel van a p j = P(pontosan j ember kapja a saját névjegyét) valószínőséghez, mondhatjuk, hogy nagy átlagban 0*p 0 + *p + + n*p n ember kapja a saját névjegyét. Def: Az X valószínőségi változó várható értéke E(X) = x * p + x * p + x 3 * p 3 + Ahhoz, hogy a várható értéket meghatározzuk, ismerni kellene a p j valószínőségeket. Ezeket elég bonyolult kiszámolni.

7 A fenti példában n = 4-re leszámolhatjuk, hogy p 0 = 9/4, p = 8/4, p = 6/4, p 3 = 0/4, p 4 = /4. A várható érték tehát pontosan. Az általános esetben a következı trükkhöz folyamodhatunk: az n + + n M összeget úgy is megkaphatjuk, hogy minden emberrıl megszámoljuk, hogy hányszor kapta a saját névjegyét, és ezeket összeadjuk. Legyen u j azon kísérletek száma, amikor a j. ember a saját névjegyét kapta. Ekkor tehát n + + n M = u + + u n. Így az átlag: u /M + + u n /M. Viszont az u j /M relatív gyakoriság közel van a P(a j. ember a saját névjegyét kapta) valószínőséghez, ami nem más, mint /n. Így átlagosan n*/n = ember kapja a saját névjegyét, minden n-re. A trükk lényege abban áll, hogy egy valószínőségi változót összegre bontunk, és várható értékét tagonként számoljuk ki. Pl.: permutáció hány van a helyén (X) -es helyén van-e (X ) -es helyén van-e (X ) 3-as helyén van-e (X 3 ) 4-es helyén van-e (X 4 ) A születésnap-paradoxon és az ajándékgyőjtı játék Születésnap-paradoxon (Egy szimulációs program angol nyelven elérhetı a következı helyen: n ember esetén mekkora az esély, hogy van köztük legalább kettı, akik ugyanazon hónap ugyanazon napján születtek, tehát ugyanakkor van a születésnapjuk? Tegyük fel az egyszerőség kedvéért, hogy az év 365 napból áll, és minden ember születésnapja, egymástól függetlenül, véletlenszerően esik e 365 nap valamelyikére. Válasz: Pl. néhány n-re: 366: 00%, 68: 99,9%, 55: 90%, 3: 50%. Képlettel is megadható: 365*364* *(366-n)/365 n. Ebben a feladatban nincs semmi nehézség, az eredmény viszont meglepı, ezért nevezik paradoxonnak. Átlagosan hányadik embernél következik be az elsı ismétlıdés?

8 Válasz: Annak az esélye, hogy a k. embernél következik be az elsı ismétlıdés, p k = (365*364* *(367 k)*(k ))/365 k. A várható érték tehát *p + 3*p 3 + 4*p *p 366 = 4,6. HF: Vajon itt lehet-e összegre bontással egyszerőbb képletet kapni? HF: n ember esetén mekkora az esély, hogy valakinek ugyanakkor van a szülinapja, mint nekem? Ajándékgyőjtı játék (Egy szimulációs program angol nyelven elérhetı a következı helyen: A reggelizıpelyhes dobozokban n különbözı ajándékot lehet találni. Átlagosan hány dobozt kell vásárolni ahhoz, hogy mind az n-féle ajándékot összegyőjtsük? (vagy: dobókockával hányszor kell dobni, hogy mind a hat szám kijöjjön?) Válasz: Kellene annak a valószínősége, hogy pontosan k dobozból győlik össze mindegyik ajándék. Ezt bonyolult kiszámítani. Összegre bontással egyszerőbb: X : hány doboz kell ahhoz, hogy egyféle ajándékunk már legyen, X : ezután még hány doboz kell ahhoz, hogy már kétféle ajándékunk legyen, stb. Pl. ha négy ajándék van, és az egymás utáni dobozokban a ajándékokat találjuk, akkor X =, X =, X =, X = 4, és X = 8. Mennyi X k várható értéke? Ekkor (k )-féle ajándékunk már van, tehát minden további dobozban (n k+)/n eséllyel találunk új ajándékot. Átlagosan mennyit kell várni egy p valószínőségő eseményre? Válasz: annak az esélye, hogy k kísérletet kell rá várni, p k = ( p) k p. Tehát a várható érték *p + *p + 3*p 3 + = /p. Máshogy: a várakozási idıt fel lehet írni végtelen sok valószínőségi változó összegeként, ahol Y k akkor, ha a k. kísérlet elıtt nem következett be a várt esemény, egyébként pedig nulla. Y k várható értéke ( p) k. Tehát az összegük várható értéke /p. Az összes ajándék tehát átlagosan n/n + n/(n-) + n/(n-) + + n/ + n/ dobozból győlik össze. Mekkora az esélye, hogy k doboz nem elegendı? Ez a szita-formulával írható fel. Pl. ha négyféle ajándékot kell összegyőjtenem, akkor 7 doboz megvásárlása után már 5% az esélyem, hogy mind megvan, és átlagosan 8,3 doboz kell. HF: tegyük fel, hogy az ajándékok állatos kártyák, méghozzá hatféle állat van: agár, béka, cica, darázs, elefánt, fóka. Átlagosan hány dobozt kell vennem, ha csak négyféle

9 kártyát szeretnék összegyőjteni? Átlagosan hány dobozt kell vennem, ha az agarat, békát, cicát, darázst szeretném összegyújteni? 6. Fej-írás sorozatok versenye, a Conway-algoritmus Tekintsük a következı játékot: Két (vagy több) játékos mindegyike választ magának egy fej-írás sorozatot, majd egy szabályos érmét elkezdenek dobálni. Az nyer, akinek a sorozata elıször felbukkan. Milyen sorozatot érdemes választani? (Székely I/3c) Pl: Anna sorozata: IFF, Bea sorozata: IIF. A dobássorozat: FFFIFIIIIF Bea nyert, a játék 0 dobás hosszan tartott. Igaz-e, hogy egyenlıek a nyerési esélyek? Hiszen érvelhetünk azzal, hogy minden 3 hosszú sorozat ugyanolyan valószínőséggel jön ki! Mégsem igaz, pl. az IFF és FFI sorozatoknál, FFI csak akkor nyerhet, ha az elsı két dobás F. Ekkor ugyanis még egy ideig F fog jönni, de elıbb-utóbb megjelenik egy I, és ezzel FFI nyert. Ha viszont az elsı két dobásban volt I is, akkor a játék addig folytatódik, amíg megjelenik egymás után két F, és ezzel IFF nyer. Tehát a két sorozat versenyében P(FFI nyer) = ¼, P(IFF nyer) = ¾. Nem minden esetben ilyen egyszerő a valószínőségeket látni. A játék menetét gráffal lehet ábrázolni, azaz felrajzoljuk a lehetséges állapotokat, és hogy melyikbıl melyikekbe léphetünk. Egy állapot azt fejezi ki, hogy a dobássorozat végén mi az a maximális részsorozat, ami még felhasználható valamelyik célsorozat felépítéséhez. Minden állapotból két nyíl vezet kifelé annak megfelelıen, hogy a következı dobás fej-e vagy írás. Azok az állapotok, amikor valamelyik sorozat elkészült, a végállapotok, ekkor befejezıdik a játék. Az egyes sorozatok nyerési esélyét egyenletrendszer felírásával és megoldásával számíthatjuk ki. Pl. az IFF és IIF versenyében /3 valószínőséggel nyer IFF (/3 valószínőséggel pedig IIF): Legyenek az állapotok a következık: 0 kezdı, I, IF, 3 II, 4 IFF (végállapot), 5 IIF (végállapot). Jelölje x k, hogy a k. állapotból indulva, mekkora eséllyel lesz IFF a nyertes. Ekkor nyilván x 4 = (IFF már nyert is), és x 5 = 0 (IIF nyert). Ezt felhasználva a többi állapotra a következı egyenleteket írhatjuk fel:

10 x + 0 = x0 x x = x + x3 x = + x x 3 = 0 + x3 Ennek megoldása x 0 = /3. Könnyen látszik, hogy a játék (dobásszámban mért) hosszának átlagos értéke felülrıl becsülhetı. Ha a darab n hosszú sorozat versenyez egymással, akkor a dobássorozatot n dobásból álló blokkokra felosztva, minden blokkban a/ n eséllyel éppen a versenyzı sorozatok valamelyike fog megjelenni. Korábban megmutattuk, hogy annak a blokknak az átlagos sorszáma, amelyben elıször megjelenik valamelyik versenyzı, éppen n /a. Mivel egy blokk n dobásból áll, átlagosan n n/a dobás kell ahhoz, hogy valamelyik sorozat egy blokkban megjelenjen. A játék legkésıbb ekkor véget ér, persze általában ennél hamarabb, hiszen az is elég, ha két blokkon átnyúlva jelenik meg egy sorozat. Tehát pl. egy n hosszú sorozat megjelenésére átlagosan biztosan kevesebb, mint n n dobást kell várni. Pl. az IFF, FFI sorozatoknál, ha az elsı két dobás F, akkor ezután az elsı I megjelenésére átlagosan két dobást kell várni. Így ebben az esetben átlagosan + = 4 dobásra van szükség. Ha az elsı dobás I, akkor F-re átlagosan két dobást kell várni. Ezután vagy F, vagy I jön. Ha F, akkor vége a játéknak, ha I, akkor folytatódik. Tehát átlagosan 3 hosszú blokkjaink vannak, és ezekbıl átlagosan kettı kell, tehát + 3* = 7 dobás kell. Ha az elsı két dobás FI, akkor nyilván átlagosan + 7 = 8 dobás hosszat tart a játék. Tehát az átlagos játékhossz ¼ * 4 + ¼ * 8 + ½ * 7 = 6.5. Egyenletrendszerrel számítható ki az is, hogy átlagosan hány dobás (a gráfon lépés) hosszan tart a játék. A korábbi példánál maradva, IFF és IIF versenyében, jelölje m k, hogy a k. állapotból indulva, még átlagosan hány lépés kell a játék befejezéséig. Nyilván m 4 = m 5 = 0, hiszen ekkor a játék már véget is ért. Ezt felhasználva a többi állapotra a következı egyenleteket írhatjuk fel: m + 0 = + m0 m m = + m + m3 m = m Ennek megoldása m 0 = 6/3. m 3 = m 3

11 Ez a módszer nagyon fáradságos, ha több és hosszabb sorozat van. Egyszerőbb megoldást kínál a Conway algoritmus (csak vázlatosan bizonyítjuk). Ehhez definiáljuk két sorozat átfedési számát: Azt mondjuk, hogy két sorozat között van k hosszúságú átfedés, ha az elsı sorozat utolsó k tagja megegyezik a második sorozat elsı k tagjával. Az A és B sorozat átfedési száma a azon hatványainak összege, melyekre van k hosszúságú átfedés. Jelölése: A*B. Pl. IFF*FFI = + = 6. FFI*IFF = =. Belátható, hogy az A sorozat megjelenésére átlagosan A*A dobást kell végezni, pl. az FIF sorozathoz 0-et. Ebbıl következik, hogy az n hosszú sorozatok közül a legtöbbet azokra a sorozatokra kell várni, amelyekre minden átfedés megvan, azaz a csupa egyformából állókra, mégpedig n = n+ dobást. Legkevesebbet pedig azokra a sorozatokra, amelyekre csak n hosszúságú átfedés van, pl. a FF FI sorozatra, n dobást. HF: vajon hány ilyen sorozat van? Ha több egyforma, mondjuk n, hosszú sorozat versenyez egymással, akkor az egyes sorozatok nyerési esélyét illetve a játék átlagos idıtartamát egyetlen egyenletrendszer megoldásával kaphatjuk meg. Jelöljük a sorozatokat A, B,, Z-vel, nyerési esélyüket p A, p B,, p Z vel, az átlagos dobásszámot #-vel. Az egyenletek: p A A*A + p B B*A p Z Z*A = # p A A*B + p B B*B p Z Z*B = # p A A*Z + p B B*Z p Z Z*Z = # p A + p B + + p Z = Speciálisan, ha csak egy sorozat van, akkor kapjuk, hogy # = A*A. Speciálisan, ha két sorozat van, akkor az egyenletrendszer megoldása: p A B * B B * A =, A* A + B * B A * B B * A # = A * A B * B A * B B * A A * A + B * B A * B B * A Az utolsó egyenlet azt fejezi ki, hogy valamelyik sorozat biztosan nyerni fog. Nézzük az elsıt, mi indokolja az egyenletet? Egy játékvezetı egy pénzdarabot dobál addig, amíg az A, B,, Z sorozatok valamelyike megjelenik. Képzeljük el, hogy valaki a következı fogadásos játékot őzi: mikor beszáll a játékba, feltesz Ft-ot dupla vagy semmi alalpon arra, hogy a játékvezetı következı dobása éppen az A sorozat elsı eleme lesz. Ha veszít, kiszáll, viszont ha nyer, akkor a most már Ft-ját felteszi arra, hogy a következı dobás az A sorozat második elemét adja. És így

12 tovább, ha nyer, akkor a megduplázott pénzét felteszi a sorozat következı elemére. Ha végül kijön A, akkor mindenképp kiszáll. Ez a játék igazságos, tehát a játékos átlagos nyereménye minden dobás után megegyezik a feltett Ft-tal. Tegyük most fel, hogy sok játékosunk van, a k. játékos a k. dobásnál száll be a játékba, egész addig, amíg a játék véget ér. A játék átlagosan # dobásig tart, tehát átlagosan ennyi a befizetett összeg. Nézzük, hogy mennyit nyertek a játékosaink, ha végül pl. a B sorozat jött ki? Akik az utolsó n dobás elıtt szálltak be, azok mindenképp vesztettek, hiszen az A sorozat nem jött ki. Az pedig, aki csak az utolsó k dobásra szállt be (k n), az akkor nyert k Ft-ot, ha az A sorozat elsı k eleme amikre fogadott megegyezik a B sorozat utolsó k elemével ami kijött. Így éppen B*A Ft a teljes nyeremény. Ezt az összes sorozatra végiggondolva, és nyerési esélyeikkel súlyozva kapjuk az elsı egyenletet, amely tehát azt fejezi ki, hogy az átlagos nyeremény megegyezik az átlagos befizetéssel. A többi egyenlet hasonlóan adódik, ha a játékosok egy másik sorozatra fogadnak. Bıvebben errıl a témáról olvashatunk a a és a írásokban, Móri Tamás tollából. Ez a témakör is szolgáltat meglepı jelenségeket. Itt is megfigyelhetı a körbeverés. Vegyünk egy végtelen hosszú dobássorozatot, és tetszıleges A sorozatra jelölje X A, hogy hányadik dobásra jelenik meg A elıször. A és B versenyében P(X B > X A ) éppen A nyerési esélyét jelenti. Pl. az FFI, FII, IIF, IFF sorozatok ebben az értelemben körbeverik egymást. Olyan sorozatok is vannak, melyeknél A átlagosan hamarabb jön ki, mint B, de B mégis /-nél nagyobb valószínőséggel megelõzi A-t: tekintsük az A = IFII, B = FIFI sorozatokat. A Conway algoritmus szerint A-ra átlagosan 8 dobást kell várni, míg B-re 0-at. Viszont ha a két sorozat egymással versenyez, akkor 9/4, azaz kb 64% az esélye, hogy B jön ki elıbb. (A paradoxon oka: általában egy kicsivel elõbb jön ki a B, de néha nagyon sokkal késõbb.) 7. Pétervári paradoxon

13 Daniel Bernoulli az 700-as évek elején írt cikket a Pétervári Tudományos Akadémia folyóiratában, innen származik az elnevezés. A paradox állítás a következı: annak a játéknak, amelynél n forint a nyereség, ha n-edikre jön ki elõször fej, az ára végtelen. Valóban: a várható nyeremény: * (½) + * (½) + = + +. Azaz akármennyit is fizetünk a banknak azért, hogy ezt a játékot játszhassuk, a bank hosszú távon rosszul jár. Ez meglepı, hiszen nem nagyon találnánk olyan embert, aki hajlandó volna mondjuk egymillió forintot fizetni, hogy beszállhasson ebbe a játékba! Ennek oka az, hogy ugyan nagyon pici valószínőséggel nagyon nagy lesz a nyereményünk, de ha nem nyerünk az elsı néhány játékban, akkor tönkremegyünk. Hogyan lehetne megadni a játék reális árát? Egy módosítás (Buffon, Cramer): a gyakorlatban nem bízhatunk abban, hogy a bank akármilyen nagy nyereményt ki fog nekünk fizetni. Ésszerő feltenni, hogy a banknak csak m forintja van, így ha többet kellene fizetnie a szabályok szerint, akkor is csak ennyit tud adni. Ekkor már csupán m + Ft a játék méltányos ára, hiszen a várható nyereményünk most * (½) + * (½) + + m * (½) m + m * ((½) m+ + ) = = m +. Másik módosítás (Feller): akkor méltányos a játék, ha nagy m esetén m játszma után a nyeremény és a befizetett részvételi díj hányadosa nagy valószínőséggel közel lesz. Kicsit precízebben, tegyük fel, hogy m játszmáért R m forintot kell befizetni, és N m forintot nyerünk. A feltétel az, hogy tetszıleges elıírt c esetén annak a valószínősége, hogy N m /R m c-nél kisebb, egyhez tartson, ha m végtelenbe tart. Ezzel a definícióval méltányos a játék, ha m játszmáért m*log m forintot fizetünk (ez összhangban van azzal, hogy egy játszma ára bármilyen K konstansnál nagyobb lehet, ha sok játszmára fizetünk be). Így pl. 048 játszmáért játszmánként forintot méltányos fizetni. (Buffon: 084 játék alapján azt tapasztalta, hogy 0 forint a méltányos ár játszmánként.) Analóg példa: duplázó- (úgynevezett martingál-) stratégia igazságos játékban, pl szabályos érmét dobálva fejnél veszítek, írásnál nyerek. Ez csak végtelen nagy tıkénél (azaz a gyakorlatban nem) mőködik. A stratégia: az elsı játszmában forint a tétem. Ha veszítek, akkor a következı játszmában már

14 forintot kockáztatok, majd minden vesztés után megduplázom a tétemet. Ennél a stratégiánál, mivel elıbb-utóbb kijön a fej, egy forint a tiszta nyereségem: ha ugyanis n-edikre jön az elsı fej, akkor elvesztettem n- = n- forintot, viszont nyertem n- összeget. Viszont lehet, hogy már azelıtt tönkremegyek, hogy nyernék. (Székely I/7, Weaver 44) 8. A lóverseny játék Lóverseny-játék egyszerősített változata: Érmét dobálva fej esetén -et, írás esetén -t lépünk elıre. Tegyük fel, hogy a pálya végtelen hosszú. Mennyi a valószínősége, hogy egy adott, távoli mezın elhelyezkedı akadályra rálépünk? Megoldás: rekurzióval, zárt alakból adódik a határérték. Azaz: jelölje p n annak az esélyét, hogy az n-edik mezıre rálépünk. Ekkor igaz, hogy p n = p n- * ½ + ( p n- ) *. Ha ugyanis az (n )-dik mezıre ráléptünk, akkor onnan ½ eséllyel lépünk rá az n-edikre is (ha fejet dobunk), ha viszont az (n )-dik mezıre nem léptünk rá, akkor az n-edikre biztosan rálépünk, mert két szomszédos mezıt nem tudunk átugrani. Ebbıl rekurzióval kapjuk, hogy p n = ½ + ¼ + ( ) n (½) n *p 0. Felhasználva, hogy p 0 =, a mértani sorozat összegképlete alapján p n = /3 *( + ( ) n / n+ )). Ebbıl látszik, hogy nagy n esetén a mezıre való rálépés esélye közelítıleg /3. Ezt a játékot úgy általánosíthatjuk, hogy többféle lehetséges lépéshosszal számolunk, amelyek nem feltétlenül egyformán valószínőek. Ekkor igaz, hogy az adott mezıre lépés valószínőségének határértéke (feltéve hogy lnko(lehetséges lépéshosszak)=) éppen /m, ahol m az egyes lépések átlagos hossza. (HF: mi a helyzet, ha lnko(lehetséges lépések)>?) Ez heurisztikusan úgy fogadható el, ha arra gondolunk, hogy n lépés megtétele után közelítıleg az nm-dik mezıig jutottunk, és az addigi mezık közül éppen n darabot érintettünk. Így az érintett mezık aránya n/nm =/m, azaz egy-egy mezıre ilyen eséllyel léptünk rá. Az, hogy p n egyre inkább stabilizálódik, onnan látszik, hogy mindegyik p n néhány elızınek a (súlyozott) átlaga. Például kockadobásnál p n = (p n-6 + p n p n- )/6, hiszen azt az eseményt, hogy n- re rálépünk, hatfelé bonthatjuk aszerint, hogy melyik elızı mezırıl léptünk ide. (Itt p 0 =, negatív n-re pedig p n = 0.) Ebben az esetben az elsı húsz mezıre az eredmények a következık:

15 9. A kezdıszámjegy eloszlása Feladat: képzeljük el, hogy Magyarország összes települése közül véletlenszerően kiválasztottunk tizet, és megszámoltuk a lakosságukat. Írjuk le ennek a kísérletnek egy lehetséges végeredményét! Játék: képzeljük el, hogy valaki véletlenszerően választ egy magyarországi települést. Anna arra fogad, hogy lakosságszáma 4-ig terjedı számmal kezdıdik, Bea arra, hogy 5 9-ig terjedı számmal kezdıdik. Kinek elınyös a játék? 88-ben Simon Newcomb egy matematikai folyóiratban írt két oldalas cikkben megjegyezte, hogy a gyakorlatban elıforduló adathalmazokban a kezdıszámjegyek megoszlása nem egyenletes, azaz nem ugyannyi adat kezdıdik -gyel, -vel, stb. (American Journal of Mathematics) Késıbb 938-ban Frank Benford fizikus ugyanezt a megfigyelést tette, melyet húsz példán mutatott be (a példák egy kicsit túl jók voltak). Benford törvénye: A gyakorlatban elıforduló legtöbb adathalmazban (népszámlálási adatok, tızsdei árfolyamok, termelési mutatók, bevételek, stb.) a k-val kezdıdı adatok aránya körülbelül log 0 (+/k), illetve a legfeljebb k- val kezdıdı adatok aránya körülbelül log 0 (+k) (k =,, 9). Illusztráció: Somogy megye 44 településének lakossága az 99-es népszámlálás szerint. Kezdıszámjegy Arány Benford arány Kezdıszámjegy Arány Benford arány 5,0% 30,% 6 9,0% 6,7% 8,9% 7,6% 7 6,% 5,8% 3,7%,5% 8 5,7% 5,% 4 9,8% 9,7% 9,0% 4,6% 5 0,7% 7,9% Mi lehet a jelenség magyarázata? Magyarázat: A természetben gyakoriak az exponenciálisan növekvı/csökkenı folyamatok, és ezekrıl megmutatható, hogy ilyen eloszláshoz vezetnek: Tegyük fel, hogy vagyonunk minden évben az x-szeresére nı (vagy csökken). Ha egy forintból indulunk ki, akkor az n-dik év végén x n forintunk lesz. Ez akkor kezdıdik -gyel (az elsı értékes számjegyet tekintve), ha van olyan

16 egész s szám, hogy 0 s x n < *0 s, azaz n*log 0 x log 0 < s n*log 0 x. A kérdés tehát az, hogy ebben a log 0 hosszúságú intervallumban van-e egész szám. Ha pl. log 0 x elég kicsi, akkor a jó n-ek aránya éppen log 0. (De pl. 0 hatványai mindig -gyel kezdıdnek!) Ugyanígy számolható ki, hogy az exponenciálisan növı folyamat hány százalékban kezdıdik legfeljebb k-val. Illusztráció: Legyen x =, (pl. a pénzem évente 0% ot kamatozik). Erre log 0, = 0,04, és log 0 = 0,3. Tehát azokat az n eket keressük, melyekre a (0,04n 0,3 ; 0,04n] intervallumban van egész szám. Ez a törvényszerőség akkor is érvényben marad, ha a pénzemet átváltom dollárba, hiszen ez csak annyit jelent, hogy az intervallumokat kicsit eltolom: ha a forintban kifejezett összeg f, akkor a dollárban kifejezett összeg d = yf, ahol y az árfolyam. Az n. év végén tehát yx n dollárunk lesz, ez akkor kezdıdik -gyel, ha van olyan egész s szám, hogy n*log 0 x log 0 + log 0 y < s n*log 0 x + log 0 y Megmutatható, hogy a kezdıszámjegyeknek ez az egyetlen olyan lehetséges eloszlása, ami a mértékegység megváltoztatása után is érvényben marad. Megmutatható, hogy a Benford törvény diktálta egyenetlenség a második számjegy eloszlásában már sokkal kevésbé jelenik meg, és ahogy egyre késıbbi jegyek felé haladunk, az eloszlás egyre egyenletesebbé válik. Hasonló eredményhez vezetı valószínőségszámítási kérdés: Mekkora a valószínősége, hogy egy véletlenszerően választott természetes szám -gyel kezdıdik? A kérdés feltételezi, hogy az összes természetes szám közül lehetséges véletlenszerően választani, ez azonban nincs így (mivel végtelen sok természetes szám van). Kérdezhetjük helyette a következıt: tf. hogy és n között választunk egy véletlen természetes számot (mindegyiket /n eséllyel), jelölje p n ezek között az -gyel kezdıdıek arányát. Ha létezik a p n sorozat p határértéke (amint n végtelenbe tart), akkor természetesnek tőnik azt mondani, hogy egy véletlen természetes szám elsı számjegye p valószínőséggel -es. Ilyen értelemben ½ az esélye, hogy egy véletlen természetes szám páros, vagy 6/π az esélye, hogy egy véletlen törtet nem lehet egyszerősíteni. Azonban a p n sorozat nem

17 konvergál: egyre szélesebb hullámokat vet, ahol a hullámhegyek magassága 0,55, a hullámvölgyek mélysége pedig 0,. Ha azonban ebbıl átlagot számolunk, akkor megint csak kb 30%-ot kapunk. Konkrétan: nyilván olyan n ekre lesz p n a lehetı legnagyobb, melyekre n = *0 s (pl., 9, 99, stb), ezekre p n = (0 s+ ) / (9*(*0 s )) 5/9 = 0,555. Ezután n növekedésével p n számlálója változatlan, míg nevezıje növekszik, egészen n = 0 s+ ig (pl. 9, 99, 999), amikor p n = /9 = 0,. Innentıl p n számlálója és nevezıje is egyesével növekszik a következı csúcsig. Játék: A játékvezetı elrejtett két szomszédos, véletlen természetes számot két borítékba. A játékos véletlenszerően választ egy borítékot. Ha a nagyobb szám van nála, akkor megnyeri a kisebb számot, ha viszont a kisebb szám van nála, akkor ennyit kell fizetnie a játékvezetınek. A játékos számára nyereséges, veszteséges, vagy igazságos a játék? Egyrészt igazságos, hiszen ha a két borítékban az n és az n+ számok vannak, akkor ½ eséllyel nyer n Ft-ot, ½ eséllyel pedig veszít n Ft-ot. Másrészt, tegyük fel, hogy a játékos a borítékban n-et talált. Ekkor a másik borítékban vagy n van (ha a játékvezetı az n, n számokat rejtette el), vagy n+ (ha a játékvezetı az n, n+ számokat rejtette el). Mivel véletlenszerően történt az elrejtés, ennek a két lehetıségnek egyforma az esélye. Tehát a játékos ½ eséllyel nyer n Ft-ot, ½ eséllyel veszít n Ft-ot, azaz veszteséges számára a játék. Nyilván egy játék nem lehet egyszerre igazságos és veszteséges is. Az ellentmondás abból adódik, hogy feltettük, hogy lehet az összes természetes szám közül teljesen véletlenszerően két szomszédosat kiválasztani. 0. Adatsorok, illetve valószínőségi változók jellemzése Korábban definiáltuk a valószínőségi változót, és megnéztük, hogy hogyan lehet leírni viselkedését a lehetséges értékek, illetve valószínőségeik felsorolásával: X lehetséges értékei: x, x, x 3, a hozzájuk tartozó valószínőségek: p, p, p 3,

18 Ha egy adott valószínőségi változó értékét sokszor megfigyeljük, egymástól függetlenül, akkor egy adatsort kapunk. Pl: X: egy kockadobás eredménye X lehetséges értékei:,, 3, 4, 5, 6 a hozzájuk tartozó valószínőségek: /6, /6, /6, /6, /6, /6 megfigyelést végzünk, azaz -szer feldobunk egy kockát. Az adatsor pl., 5, 5,,, 3, 4, 3, 6,,, A nagy számok törvénye szerint az adatsorban az egyes értékek a valószínőségekhez közeli arányban fordulnak elı. Ez alapján a (hosszú) adatsorokat nagy eséllyel helyesen tudjuk összepárosítani a véletlen kísérletekkel. Tekintsük pl. a következı 4 kísérlettel elıállított valószínőségi változót: a) Egy szabályos érmét 0-szer feldobunk. Jelölje X a fejek számát. b) Egy urnában piros és fehér golyó van. 0-et kihúzunk (visszatevés nélkül). Jelölje Y a kihúzottak között a pirosak számát. c) Egy urnában 0 piros és 30 fehér golyó van. 0-et kihúzunk (visszatevés nélkül). Jelölje Z a kihúzottak között a pirosak számát. d) Egy kalapba cédulát teszünk, 0-tól 0-ig számozva. Véletlenszerően húzunk egyet, jelölje ezt V. Tekintsük a következı négy, 30 elemő adatsort (nagyság szerint rendezve)! A: B: C: D: Hogyan tudnánk ıket összepárosítani? (A d, B a, C c, D b) Értékkészlet: mindegyik kísérlet eredménye 0 és 0 között lehet. Várható érték: X, Y, és V várható értéke 5, Z é ennél kevesebb. Szóródás: X, Y, és V közül nyilván V szóródik legjobban, legkevésbé pedig Y. Adatok jellemzı értékei. Középértékek:

19 Számtani közép, azaz átlag: Legyen y = (y,, y n ) egy adatsor. Jelölje az átlagát y n = yi. Ha minden adatból kivonjuk az átlagot, akkor az így kapott adatsor átlaga már nulla. Tetszıleges a és b számokra jelölje ay + b azt az adatsort, melynek i. eleme ay i + b. Tetszıleges y és z azonos hosszúságú adatsorokra jelölje y + z azt az adatsort, melynek i. eleme y i + z i. Ekkor ay + b = a y + b, y + z = y + z Medián, azaz a nagyság szerint középsı elem (vagy a két középsı átlaga), jelölje ezt m(y). Erre is igaz, hogy m(ay + b) = am(y) + b, de m(y + z) = m(y) + m(z) általában nem teljesül. A két középérték közül az átlag érzékeny a kiugróan nagy vagy kicsi értékekre, ellenben a medián nem.. Szóródási mérıszámok: Az adatok szóródását az méri, hogy átlagosan milyen messze esnek a középértéktıl. A használt távolság több féle is lehet. Hagyományos távolságfogalom, azaz két szám különbségének abszolút értéke. Megmutatható, hogy az adatok egy adott konstanstól vett átlagos távolságát a medián minimalizálja, azaz e c (y) = yi c akkor a n legkisebb, ha c = m(y). Az e(y) = e m(y) (y) érték tehát az adatok szóródásának egy fajta mérıszáma lehet. Teljesül, hogy e(ay + b) = a e(y), azaz ha pl. az adatpontokat vízszintes irányban kétszeresen megnyújtjuk, akkor szóródásuk megduplázódik. A fenti állítás bizonyítása: tegyük fel, hogy y nagyság szerint növekvı sorrendbe van rakva. Válasszuk ki elıször a legkisebb és a legnagyobb adatot, ezek y és y n. Az y c + y n c érték akkor minimális, ha c az [y, y n ] intervallumba esik. Haladjunk ezután az adatsoron mindkét irányból befelé, látszik, hogy olyan c minimalizálja az eltérések összegét, amlely mindegyik [y k, y n+ k ] intervallumba beleesik. A négyzetes távolság kevésbé tőnhet természetesnek, viszont könnyebb vele számolni, és az a jó tulajdonsága is megvan, hogy az átlagos

20 i akkor a n négyzetes távolságot az átlag minimalizálja: d c (y) = ( y c) legkisebb, ha c = y. A hozzá tartozó d ( y) = d ( y) mennyiséget az y adatok szórásnégyzetének, a d(y) értéket pedig az adatok szórásának nevezzük. Teljesül, hogy d(ay + b) = a d(y). A szórás kiszámítását gyakran megkönnyíti a következı képlet: d ( y) = dc ( y) ( c y). Ezek a mennyiségek analóg módon a valószínőségi változókra is értelmezhetık. Az átlagnak a várható érték felel meg, az adatok szórásnégyzetének a valószínőségi változó szórásnégyzete: D (X) = E[(X E(X)) ].. Néhány nevezetes modell Mondjunk minél több, véletlen kísérlethez tartozó valószínőségi változót! Próbáljuk meg valahogy csoportosítani ezeket! Vannak-e közöttük hasonlóak? Rögzített számú független kísérletbıl megszámoljuk a sikeres kísérletek számát binomiális eloszlás. Példák: 0 kockadobásból hány 6-ost kapunk? 0 kosárradobásból hány talál be? 5 hallgató közül hányan születtek áprilisban? Egy ötgyermekes családban hány fiú van? Azt a véletlen mennyiséget, amely a 0,,, n értékeket veheti fel, n méghozzá a k értéket p k p k n k ( ) eséllyel, n rendő, p paraméterő binomiális eloszlásúnak nevezzük. Egy ilyen eloszlású mennyiség várható értéke np, szórásnégyzete np( p). Pl. 36 érmedobásból átlagosan 8 fej lesz, a szórás 3. A binomiális eloszlást (p = ½-re) jól lehet szemléltetni a Galton-deszka elnevezéső eszközzel ( Azt, hogy a Galton-deszka egyes szintjein hogyan oszlanak meg a golyók,

21 illetve az egyes szögekhez hányféle úton lehet eljutni, a Pascal-háromszög írja le. Más eloszlást kapunk, ha a kísérletek nem függetlenek egymástól. Erre tipikus példa, ha urnából visszatevés nélkül húzunk golyókat hipergeometrikus eloszlás. Számoljuk ki, hogy ha egy héten millió, egymástó függetlenül és véletlenszerően kitöltött szelvény játszik a lottón, akkor mennyi az esélye, hogy legalább két öttalálatos lesz? Binomiális eloszlással lehet számolni, de nagyon nagy számok szerepelnek. Ilyen esetben a binomiális eloszlást jól közelíti a Poisson eloszlás, amelyet 837-ben Siméon Denis Poisson fedezett fel. Azt a véletlen mennyiséget, amely a 0,,, értékeket veheti fel, méghozzá a k értéket e -s s k /k! eséllyel, s paraméterő Poisson eloszlásúnak nevezzük. Ennek alapján a fenti kérdésre a válasz: kb. 9%. A Poisson eloszlás átlagos értéke és szórásnégyzete is s. Legvalószínőbb értéke az s egészrésze. Ilyen eloszlással modellezhetı pl. a sajtóhibák száma egy szövegben, vagy egy ritka betegségben az évi halálozások száma. További példa: megnézzük, hogy hányadik kísérletre közvetkezett be az elsı siker geometriai eloszlás.. Egyenletes eloszlás egy halmazon Feladat: Egy négyzetbe rajzoljunk be 0 véletlen pontot. Mit jelent itt a véletlen?. próbálkozás: minden egyes pontnak ugyanakkora a valószínősége igen ám, de mivel végtelen sok pont van, ez a közös valószínőség csak 0 lehet. Például annak a valószínősége, hogy pont a négyzet középpontját választjuk ki, 0. Ugyanakkor ez nem lehetetlen. Ez paradox, de nem ellentmondás. Ezzel azonban még csak az egyes pontok valószínőségét definiáltuk, hogyan lehet halmazokra kiterjeszteni ezt?

22 . próbálkozás: mekkora az esélye, hogy a véletlen pont a négyzet bal alsó negyedébe esik? A bal alsó negyed pontjainak valószínőségét kellene összeadni, de ez kontinuum sok nulla (ez különbözteti meg a természetes számoktól: ott láttuk, hogy nem lehet természetes számot véletlenszerően választani, mert megszámlálhatóan végtelen sok nulla összege nulla. Viszont kontinuum sok nulla összege lehet pozitív)! Viszont nyilvánvaló, hogy ezt a valószínőséget ¼-nek szeretnénk definiálni. Ebbıl jön: a valószínőség legyen a területtel arányos! Az X véletlen pont egyenletes eloszlású az A (valahány dimenziós) halmazban, ha minden B részhalmaz esetén P(X B-be esik) = ter(b)/ter(a). Ez a definíció teljesíti a valószínőség axiómáit. Példa: méter sugarú céltáblára lövünk messzirıl, tegyük fel, hogy eltaláljuk. Mekkora az esélye, hogy pont a közepét találjuk el? 0 Mekkora az esélye, hogy a lövedék a középponttól pont fél méterre csapódik be? 0 Mekkora az esélye, hogy a lövedék a középponthoz fél méternél közelebb csapódik be? ¼ Ilyen eloszlással modellezhetı pl. a buszra való várakozási idı ( dimenzió), a csillagok elhelyezkedése az égbolton ( dimenzió), a mazsolák elhelyezkedése a kalácsban (3 dimenzió). Feladat: egy méter hosszú botnak véletlenszerően kiválasztjuk két pontját, majd ezekben a pontokban eltörjük. Adjuk meg, hogy milyen eloszlású lesz a 5 cm-nél rövidebb darabok száma! Megoldás: Jelölje a két töréspontnak a bot bal végpontjától vett távolságát X és Y. Ez két véletlen szám 0 és között. Az (X, Y) kéttdimenziós pontnak tehát mindkét koordinátája véletlenszerő 0 és között, és a két koordináta független. Ez azt jelenti, hogy (X, Y) egyenletes eloszlású az egységnégyzetben. Tehát azt kell megvizsgálni, hogy a négyzet mely pontjai adnak 0,, ill. 5cm-nél rövidebb darabot. A végeredmény: /6 eséllyel 0, 6/6 eséllyel, 9/6 eséllyel rövid darab keletkezik. Buffon-féle tőprobléma. (Georges Buffon, 733). Egy szoba padlóján a padlódeszkák egymással párhuzamosan futnak, szélességük egy egység.

23 Leejtünk egy szintén egy egység hosszú tőt. Mekkora a valószínősége, hogy a tő metszi valamelyik két padlódeszka csatlakozási vonalát? Megoldás: a leesett tő helyzetét két adattal határozhatjuk meg: középpontjának a legközelebbi egyenestıl vett X távolságával, és az egyenesek irányával bezárt Γ szögével. A véletlenszerő leejtés azt jelenti, hogy az (X, Γ) pár egyenletes eloszlású a [0,/] [0, π/] téglalapon. A tő pontosan akkor metszi a hozzá legközelebb esı egyenest, ha X (sin Γ)/. Tehát a téglalapon belül az ezen pontok által meghatározott tartomány területét kell kiszámítani, ami π / 0 sin x dx =. Tehát a valószínőség: (/)/( π/4) = /π 0,637. Ennek alapján, ha n kísérletbıl k esetben volt metszés, akkor π értékét közelíthetjük n/k-val. ( A vetület problémája. Vizsgáljuk meg, hogy átlagosan mekkora lesz a tőnek a deszkák irányára vett vetülete! A tő vetületének hossza cos Γ, tehát ennek az átlagos értékét kell meghatározni, amint Γ 0 és π/ között fut. Az átlagos érték /π, hiszen a [0, π/] [0, /π] téglalapnak pont akkora a területe, mint a cos x függvény alatti terület, éppen. Ebbıl általánosítással kaphatjuk, hogy tetszıleges K kerülető konvex zárt görbét ledobva, vetülete átlagosan K/π hosszú lesz: egy a illetve b oldalhosszúságokkal rendelkezı téglalapot (pl. radírt) véletlenszerően leejtve, annak vetülete egyenlı lesz az a ill. b oldalak vetületeinek összegével. Az összeg átlagos értéke az átlagos értékek összege, így a vetület átlagosan a/π + b/π = K/π. Ezt konvex sokszögre is elmondhatjuk: ha az összes oldal vetületét összeadjuk, akkor a sokszög vetületét kétszeresen kapjuk meg. Sokszögrıl határátmenettel tetszıleges görbére áttérhetünk. Bertrand paradoxon (Joseph Louis Bertrand, 889). Egy körnek válasszuk ki véletlenszerően egy húrját! Mekkora a valószínősége, hogy a húr hosszabb lesz, mint a körbe írható szabályos háromszög oldala? Ez azért paradoxon, mert a véletlen húrt többféleképpen is definiálhatjuk, és a különbözı definíciók más-más eredményt adnak. Például:

24 a) a körben véletlenszerően választjuk a húr középpontját ¼ b) a körvonalon véletlenszerően választjuk a húr két végpontját /3 c) véletlenszerően választunk egy irányt, majd az ilyen irányú húrok közül választunk véletlenszerően ½ d) a körben véletlenszerően választunk egy pontot, majd egy arra illeszkedı irányt e) a körben két véletlen pontot választunk A fenti kérdés azzal ekvivalens, hogy a húr metszi-e a fele akkora sugarú kisebb kört. Általánosításként belátható, hogy ha adott egy K konvex zárt görbe, és annak belsejében egy k másik konvex zárt görbe, akkor K egy véletlen húrja ker(k)/ker(k) valószínőséggel metszi a belsı görbét, ha a véletlenszerő választás azt jelenti, hogy elıször egy véletlen irányt választunk, majd az adott irányú húrok közül választunk véletlenszerően. Elıadáson nem hangzott el, csak érdekességképp: Monte-Carlo módszer:tegyük fel, hogy valamilyen véletlen kísérlettel kapcsolatos valószínőségben vagy várható értékben fellép egy ismeretlen mennyiség. Ekkor az ismeretlen mennyiséget közelíthetjük úgy, hogy a kísérletet sokszor elvégezzük, illetve véletlen számsorozatok segítségével szimuláljuk (ebbıl ered a kissé félrevezetı Monte-Carlo módszer elnevezés, hiszen pl. egy játékkaszinó ruletteredményei felhasználhatók lennének ilyen szimulációkhoz). A fenti Buffon probléma is egy Monte-Carlo módszert ír le a π meghatározására (ennek azonban csak elméleti jelentısége van, hiszen a π-t egymillió tizedesjegy pontossággal más módszerekkel is meg lehet határozni). Más területeken azonban a módszer nagyon hasznosnak bizonyult. Egy egyszerő példa: egy érmét 000-szer feldobva azt látjuk, hogy 600-szor mutat fejet. Vajon tekinthetjük-e az érmét szabályosnak? Még ha nem is tanultunk semmi valószínőségszámítást, szimulációval meghatározhatjuk, hogy egy szabályos érménél mekkora az esélye, hogy 000 dobásból vagy a fej vagy az írás legalább 600-szor jön ki. Ha ennek esélye pl. csak ezrelék, akkor ésszerő feltételezni, hogy ez az egyenlıtlenség nem írható a véletlen számlájára, hanem az érme nem szabályos. Fontos alkalmazási terület még a numerikus integrálás (akár sok dimenzióban): kíváncsiak vagyunk pl. a (0,) intervallumon az f(x) nemnegatív függvény alatti területre. Ha tudjuk, hogy ezen az intervallumon az f(x) maximuma legfeljebb C, akkor véletlenszerően választva egy (0,)-beli X-et és egy (0,C)-beli Y-t, ellenırizhetjük, hogy Y < f(x) teljesül-e. Ha n kísérletbıl ez k-szor teljesül, akkor a területet közelíthetjük a kc/n képlettel. Ehhez természetesen kell, hogy a mai számítógépek nagyon jó véletlenszámgenerátorokkal rendelkeznek, melyek ugyan csak pszeudovéletlen számokat állítanak elı, de a kapott sorozatok ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a valódi véletlen (pl. Mersenne twister, 997).

25 3. A szimmetrikus bolyongás Az egyszerő szimmetrikus bolyongás dimenzióban: Tegyük fel, hogy egy részecske a (függılegesen elhelyezett) valós számegyenes origójából kiindulva idıegységenként lép egy egységnyit úgy, hogy minden alkalommal az elızı lépésektıl függetlenül, véletlenszerően választ, hogy felfelé vagy lefelé lépjen. Jelölje a k. lépést X k, ekkor P(X k = ) = P(X k = ) = ½. n lépés után a részecske az S n =X + X + + X n helyen tartózkodik. Ha egy kétdimenziós koordinátarendszerben ábrázoljuk az (n, S n ) pontokat, képet kapunk a részecske által megtett útról. Általánosítási lehetıségek: a bolyongás Nem egyszerő, ha a lépéshosszak egytıl különbözı értékeket is felvehetnek. Nem szimmetrikus, ha a pozitív illetve negatív irányú lépések nem egyforma valószínőségőek. (Lásd Cliff hanger, Több dimenziós, pl. m dimenzióban a részecske a m darab szomszédos rácspont valamelyikére lép. Alkalmazások (pl):. Modellezhetjük egyszerő szimmetrikus bolyongással egy szavazatszámlálás folyamatát (ilyenkor az út végpontja rögzített).. Növények magasságának növelésére irányuló kezelésnél, ha a kezelés hatástalan, akkor a kezelt illetve a kezeletlen növénycsoport egyedei véletlenszerően követik egymást a nagyság szerinti sorrendben (az út végpontja most is rögzített). 3. Egy szabályos érmét dobálva, a dobások folyamatát szimmetrikus bolyongással írhatjuk le. Alapok: n hosszúságú útból n darab van, ezek mindegyike egyformán n valószínő. Az (n, a) pontba vezetı utak száma N n, a =, ahol p p = (n+a)/ a felfelé tett lépések száma. (Vegyük észre, hogy ha n és a különbözı paritású, akkor N n, a = 0.)

26 A tükrözési elv: Legyen A = (m, a), B = (n, b), a, b > 0, n > m 0. Legyen A tükörképe az x-tengelyre A = (m, a). Ekkor az A-ból B-be vezetı, x-tengelyt érintı utak száma megegyezik az összes A -bıl B-be vezetı út számával. Bizonyítás: A kétféle út között kölcsönösen egyértelmő megfeleltetés létesíthetı úgy, hogy az x-tengely elsı érintéséig terjedı útszakaszt tükrözzük. Következmény (szavazási lemma): Tegyük fel, hogy egy választáson két jelölt indult, A és B. A összesen p szavazatot kapott, B pedig qszavazatot, és p > q. Ekkor annak a valószínősége, hogy a szavazatszámlálás folyamán végig az A jelölt vezet (szavazategyenlıség sem megengedett), (p q)/(p + q). Origóba való visszatérések: legyen u n = P(S n = 0) = N n, 0 / n. (u 0 = ) A Stirling formula alapján nagy n-re u n ~ / π n. ( n n+ 0.5 n! π n e ) Pl. u 0 0,8, u 00 0,08, u 500 0,035, u 000 0,08.. Lemma: P(S 0, S 0,, S n 0) = u n. Bizonyítás: kölcsönösen egyértelmő megfeleltetéssel. Ha van egy olyan utunk, amely n lépés alatt az origóba tér vissza, abból az elsı minimumpontig vezetı szakaszt vágjuk le, tükrözzük a függıleges tengelyre, és ragasszuk az út végéhez. Az origót a kapott út kezdıpontjához tolva, egy nemnegatív utat kapunk. Fordítva, ha van egy nemnegatív utunk, amelynek végpontja a (n, a) pont, akkor keressük meg az a szint utolsó elérését, az út ezutáni szakaszát vágjuk le, tükrözzük a függıleges tengelyre, és ragasszuk az út elejéhez. Az origót a kapott út kezdıpontjához tolva, egy origóba visszatérı utat kapunk.