1.1. Két független minta összehasonlítása (Wilcoxon-Mann-Whitney)

Átírás

1 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere EMPAAMÉTEES STATISZTIKAI MÓDSZEEK A leggyarabba haszált próbá (pl. a t-próbá) feltételez a ormáls eloszlást. Soszor ez em teljesül, még traszformácó utá sem. A övetezméy: az első ll. másodfajú hba-valószíűsége eltér a delarálttól (Pl. azt hsszü, hogy p., tehát szgfás a ülöbség, pedg helyese számolva p. lee, tehát em szgfás a ülöbség. Ebbe a jegyzetbe egyrészt a paraméteres próbáa (mt például a étmtás t-próba) megfelelő, de a ormáls eloszlás haszálatát elerülő rag-módszereről lesz szó, másrészt a leszámlálással eletező, tpusa bomáls (esetleg Posso-) eloszlású változóra voatozó vzsgálatoról. A jegyzet harmad fő része olya regresszós eseteel foglaloz, amelyeél a függő változó bomáls (ge/em) típusú.. agoo alapuló próbá Alalmazásu aor merül föl, ha az adato legalább sorred sálá értelmezhető, de az eloszlás em ormáls... Két függetle mta összehasolítása (Wlcoxo-Ma-Whtey) ormáls eloszlás szert gadozás (és azoos varaca) eseté a étmtás t-próbát alalmazzu erre a feladatra... Wlcoxo-Ma-Whtey próba (smtás, egzat eljárás). példa (Coover: oparametrc statstcs, p. yomá) A sola előtt óvodába járta, azo jobba teljesítee-e solába, mt azo, a em járta óvodába? Mta: gyere : - 8 em volt óvodás - 4 óvodás volt átlag járt-e rag Értéelés: Az solába elért átlageredméyüet éztü (sorred sála, a sorred ylvávaló, a ülöbsége a rago özött em egyelő). Sorba redeztü átlageredméye alapjá a dáoat. Az -es sorszámot a legsebb átlagú dá apta, a -es sorszámot pedg a legagyobb átlageredméyű dá apta. Ha az óvodát járta jobba, ragszáma agyobba, a em jártaé sebbe, vlágos helyzet. Itt az óvodát járta ragszáma: 4,7,8,.

2 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere Az összes ofgurácó száma, aháyféleéppe a 4 óvodát járt elhelyezhető a özött: Ha véletleszerűe helyezede el, bármely ofgurácó valószíűsége /495. A próbastatszta az óvodát járta ragszámáa összege (W), ee mmáls lehetséges értée (++3+4), maxmáls lehetséges értée 4 (9+++). Csoportosítsu a ofgurácóat W szert: W P (W W ) P (W W ),,,9 4 /495 /495.,,,8 4 /495 /495.4,,,7 4 /495 4/495.8,,9,8,,,6 39 3/495 7/495.4,,9,7,,9,8,,,5 38 5/495 /495.4,,9,6,,8,7,,9,7,,9,8,,,4 37 6/495 8/495.36,,9,5,,8,6,,9,6,,8,7,,9,7 A példa szert egyoldal eset H : az óvodát járta em jobba a em jártaál (rosszabba vagy ugyaolyao), véletleszerűe osztóda a ragszámo. H : az óvodát járta jobba, agyobb a ragszámu. Ha H egyelőség-része gaz, aor aa valószíűsége, hogy az óvodát járta ragszám-összege 37 vagy agyobb legye,.36. Ha H egyelőtleség része gaz (/495-él sebb a valószíűsége, hogy agyobb ragszámot apjaa, vagys az óvodát járta téylegese rosszabba), aor aa valószíűsége, hogy az óvodát járta ragszám-összege 37 vagy agyobb legye, még sebb, mt ál már túllépé a.5-os határt. Az elutasítás tartomáy 4-37, ha 37 vagy eél agyobb a ragszámo összege, aor.5-os szgfacaszte el ell utasíta a H -t, vagys ell moda, hogy az óvodát járta jobba teljesítee az solába. A példába 4,7,8,, Σ3, tehát elfogadju a H -t. Összegezve: Eze az adato em támasztjá alá, hogy az óvodába járta jobb taulmáy eredméyt érte el, mt azo a dáo, a em járta óvodába. Kapcsolt rag (te): Ez aor merüle föl, ha ét gyere egyforma ragszámot apa. Pl. ha a 6. és 7. helye egyforma a ragszám (mert az sola átlagu egyforma), aor mdét gyere 6.5-es sorszámot ap.

3 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere Tovább lehetséges hpotézs-páro az. példára Kétoldal eset H : az óvodába járt dáo taulmáy eredméye megegyez az óvodába em járt dáo taulmáy eredméyével, az óvodát járta em ülöböze a em jártatól, vagys véletleszerűe osztóda a ragszámo H : az óvodát járta ülöböze, sebb vagy agyobb a ragszámu. Az ellehpotézs érvéyessége eseté az óvodát járta ragszáma vagy a ragsor elejé (,, 3, 4), vagy a ragsor végé va (9,,, ), 38-ál ll. 4-él va a.5-es határ. Az elutasítás tartomáy étoldal határ eseté: (-4) és (38-4) A ullhpotézst elfogadju, ha 5 W 37. A más egyoldal hpotézs-pár a övetező lee: H : az óvodát járta em rosszabba a em jártaál (jobba vagy ugyaolyao), véletleszerűe osztóda a ragszámo (/495-él em sebb a valószíűsége, hogy agyobb ragszámot apjo egy óvodát járt gyere). H : az óvodát járta rosszabba, sebb a ragszámu (/495-él sebb a valószíűsége, hogy agyobb ragszámot apjo egy óvodát járt gyere). Ha 5 vagy eél sebb a ragszámo összege, aor.5-os szgfacaszte el ell utasíta a H -t, vagys ell moda, hogy az óvodát járta rosszabbul teljesítee az solába. A fötebb smertetett próbát Wlcoxo eredetleg ét azoos elemszámú mta ( ) összehasolítására dolgozta. Ma és Whtey a övetező módosított próbastatsztát javasolta ülöböző elemszámú mtára: U + ( + ) W 4 5 A példába U A számolás egzat, agy mtára azoba ehéz... Wlcoxo-Ma-Whtey próba (agymtás, özelítő módszer) Khaszálju, hogy a cetráls határeloszlás tétele értelmébe bármlye eloszlásból vett mtaeleme összege ormáls eloszláshoz özelít, mél agyobb elemszámú mtát veszü, aál ább, tehát a W valószíűség változó ormáls eloszlású. W E( W ) z Var( W ) E ( W H ) ( + + ) ( + ) Var( W H ( + + ) ) (a fejezet végé bemutatott levezetés szert). 3

4 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere z W ( + ) ( + ) Az. példa megoldása agymtás módszerrel: 4 ( ) E ( W H ) 6 4 ( ) 8 Var ( W H ) z Ha az ellehpotézs gaz (az óvodát járta jobba), W agy, tehát fölső határ ell. A.6794-es értéhez a z-táblázatból.75-et olvasu le P ( z.6794). 75. Aa valószíűsége, hogy z a talált próbastatszta-értéél agyobbat vegye föl: P ( z.6794). 48. Elfogadju H -t, mert.48>>.5. Ha apcsolt rago (tes) s vaa, a épletebe bzoyos orrecóat ell alalmaz, az ( + ) ( + ) W W z ( + ) ( ) helyett a z ( ) ( + ) W 4 ( + ) ( ) ahol a -ad elem (a példába gyere) ragszáma. próbastatszta érvéyes. s ( ) Var ( W H ) s Folytoosság (Yates-) orrecó A bomáls eloszlás dszrét, a ormáls eloszlás folytoos. Tehát amor aa valószíűségét eressü, hogy az ábrá szereplő bomáls eloszlású valószíűség változó az x7 értéet vegye föl, a ormáls eloszlásból aa valószíűségét ell olvasu, hogy az x 6.5 és 7.5 özött legye. Az ematt hozzáadott (ll. levot).5-es értéet folytoosság orrecóa evez. 4

5 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere p ( x) x.5 p P z p x +.5 p x +.5 p x.5 p Φ Φ, ( p) p( p) p( p) p( p) ahol Φ a stadardzált ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye xb7 A.5 természetese csa aor megfelelő orrecó, ha az eredet bomáls eloszlású valószíűség változó értéészlete az egész számoat tartalmazza, ez pl. a selejtes darabo számára teljesül. Ha a mtabel selejtaráy a valószíűség változó, aa értée / egész számú többszöröse lehete, lyeor a orrecó.5/. Ha azt ell számítau, hogy az x bomáls eloszlású valószíűség változó mlye valószíűséggel em halad meg egy b (pl. b7) értéet, hozzá ell a orrecót ad b-hez: P ( x b) b +.5 p P z p( p) x b 7 Ha a érdés az, hogy az x bomáls eloszlású valószíűség változó mlye valószíűséggel marad b alatt, le ell vo a orrecót b-ből: P ( x < b) b.5 p P z < p( p). 5

6 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere x < b 7 Vsszatérve az. példa adatara a próbastatszta és a p-érté folytoosság orrecó alalmazásával: z.5944, p Elleőrzzü az. példa adatara, hogy meyre ülöböze a agymtás és az egzat módszerrel apott p-értée. Az egyszerűság edvéért a számolást egy olya esetre végezzü el, ahol az egzat módszer eredméye már redelezésre álla. Feltételezzü tehát, hogy az óvodát járt gyeree ragszámösszege 37. Az egzat módszerrel aa valószíűsége, hogy lye vagy eél agyobb ragszám-összeget apju, ameybe az óvodát járt gyeree em jobba a többeél:.36 (a példa megoldásáál haszált táblázatból leolvasható). Ez a smtás módszer p-értée. A özelítéssel apott p-érté: 37 6 z.868, p folytoosság orrecóval: z.783, p Látható tehát, hogy az egzat és a özelítő módszer eredméye jó egyezést mutat. Mél agyobb a vzsgált mtá elemszáma, aál jobb egyezésre számíthatu. A szarodalomba ülöböző formácó található arról, hogy mlye feltétele mellett alalmazható a agymtás módszer, de a legmegegedőbb forrás s csoportoét legalább előfordulást ír elő. Esetübe ez em teljesül, mégs elfogadható a özelítő számolás. A özelítés jósága em csa a mtá elemszámától függ, haem attól s, hogy a számoladó p- érté meora. Ee magyarázata az, hogy a ormáls eloszlástól való eltérésre a faro-terület számítása érzéey. Ezt fgyelembe véve a agymtás módszert aor jogos alalmaz, ha a számítadó p valószíűség a < p < tervallumba es példa (J. Krauth: Dstrbuto-free statstcs, A applcato-oreted approach, Elsever, 988, p. 5) Pszchátra betegeet lítum-észítméyel ll. placebóval ezele. A 6 páces özül véletleszerűe választottá azt a hármat, a a ezelést apjá. A függő változó a pácese öértéelése a depresszós sálá (VAS: Vsual Aalogue Scale, a agyobb érté súlyosabb 6

7 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere depresszót jelez). A érdés az, hogy a lítum-észítméyel való ezelés csöet-e a depresszót. Legye az elsőfajú hba megegedett valószíűsége α. 5! Az eredméye: ezelt (T) otroll (C) score rag score rag Ksmtás eljárás A rago és ragszám-összege számítása a ét csoportba: csoport T T C T C C score 7 5 rag A ezelte (T) ragszám-összege: W 7.5 A otroll csoport (C) ragszám-összege: 3.5. Tegyü fel, hogy a ragszám csa a véletletől függ. Hogya lehet oszta a ragszámoat? 6, a 6 pácesből a 3-at -féleéppe lehet választa, tehát a teljese véletleszerű 3 osztásál egy ofgurácó valószíűsége.5.. Ha a (bzoyos ragszámmal jelzett) egyedeet cserélgetjü a ét csoport özött, a ragszámösszege a övetezőéppe változa W (T) (T) (T) (C) (C) (C)

8 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere Ha az gaz ísérletbe W mmáls, az arra utal, hogy a ezelése va hatása. A legsebb ragszám-összeg a 6, tehát tt lee a legmeggyőzőbb a L hatása. H : a ezelte eredméye em jobba a em ezelteéél (rosszabba vagy ugyaolyao), véletleszerűe osztóda a ragszámo. H : a ezelte eredméye jobba, tpusa sebb a ragszámu. A ísérletbe W7.5, eze ívül még egy lye ombácó va, és még egy W6-os s. Aa valószíűsége, hogy a W próbastatszta értée a talált vagy aál szélsőségesebb (sebb) 3 legye, ha a ullhpotézs gaz: P ( W 7.5). 5, ez meghaladja az α. 5 határt, tehát el ell fogadu a ullhpotézst. Elhsszü, hogy a véletle műveét állt elő a ezelte adott ragszáma, az adato em modaa ellet aa a feltételezése, hogy a L-a cs hatása a depresszóra. Tegyü fel, hogy W6-ra jö!. P ( W 6).5 Határeset, elveté a ullhpotézst. A ragszámösszege lehetséges értéee megállapításaor haszált cserélgetős techa a Fsher-Ptma-féle radomzácós próba része. Ahogy az tt bemutatott példába s látható, a ragszámösszegere alalmazott Fsher-Ptma radomzácós próba egyeértéű a Wlcoxo- Ma-Whtey próbával. A ét módszer ülöbsége abba áll, hogy a radomzácós próba em csa ragszámora végezhető el. Ee bemutatására a 3. példába erül sor. agymtás (özelítő eljárás) E ( W H ) ( + ) 3 ( ).5 A varacára em haszálhatju az egyszerű épletet, mert apcsolt rago vaa! + E ( H ) 3. 5, ahol a ragszám. s Var z ( W H ) s Alsó határt ell ézü, az z-táblázatból ez -.645, elfogadju a ullhpotézst. Máséppe, aa valószíűsége, hogy z a talált.38 értéet vagy aál szélsőségesebbet (sebbet) vegye föl, , ez meghaladja a.5-ot. 8

9 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere Folytoosság orrecóval: z A z-táblázatból p.34, ez már özelebb va a potos módszer szert.5-hoz. Ha étoldal lee az ellehpotézs, aor a folytoosság orrecót az egy oldalo poztív, a más oldalo egatív ráyba ellee alalmaz. Ehelyett úgy járu el, hogy a ezelte (T) ragszám-összege (tt W 7.5) és a otroll csoport (C) ragszám-összege (tt W 3.5) özül a sebbet helyettesítjü, és a poztív orrecót (+.5) alalmazzu. A folytoosság (Yates-) orrecó alalmazásával ehezebbe utasítju el a ullhpotézst, mt élüle, tehát a próba így ozervatívabb...3 A Ma-Whtey-Wlcoxo-próba alalmazásáa feltétele.) Mdét mtáa véletlee ell lee..) A mtáa egymástól s függetlee ell leü 3.) Legalább sorred sála legye A ullhpotézs és ellehpotézs megfogalmazása (egyoldal esetre) Legye F ( ξ ) az x változó eloszlásfüggvéye, ( ξ ) H : F( ξ ) G( ξ ), P ( x < y) P( x > y) H : F ( ξ ) > G( ξ ), P ( x y) > P( x > y) G az y változóé, ezeel < (x többyre sebb y-ál) F(x) x G(x) y x y Az ellehpotézs szert sztochasztusa sebb x az y-ál, x többyre sebb, mt y. (Vargha Adrás: ét változó ugyaaoraságáa vzsgálata, Matemata statszta pszchológa, yelvészet és bológa alalmazásoal, Pólya Kadó, ) 9

10 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere E < haszálhatóbb (a paraméteres próbáál megszoott alaú) hpotézs lee, de az előbbből csa aor övetez, ha A H : ( x) E( y) 4.) A ét eloszlás alaja azoos, legfeljebb a helyzetübe tére el: F ( ξ ) G( ξ + c) A fötebb ábra éppe lye esetet mutat. Ha a 4. feltétel em teljesül, a ét változó ugyaaoraságára voatozó hpotézs em egyeértéű a ét valószíűség változó várható értée vagy medájáa egyelőségére voatozó hpotézssel. Az alább ábra ét olya eloszlást mutat, amelye várható értée azoos, de az em gaz ráju, hogy x többyre ugyaaora, mt y, mert ha az eloszláso alaja ülöböző, emcsa helyzetübe tére el. Ebbe az esetbe a étféle hpotézs em ugyaazt jelet. Az egy görbe a 3 szabadság foú χ -eloszlás sűrűségfüggvéye, tehát a várható érté 3, a más a 6-χ változó sűrűségfüggvéye utóbba s 6-33 a várható értée. A várható értée azoosa, a H : ξ G ξ P x < y P x > y ullhpotézse mégs elletmodaa. F( ) ( ), ( ) ( ),4,,,8,6,4,,,8,6,4,, A Ma-Whtey-Wlcoxo-próbát aor haszálju, ha folytoos (tervallum-) sálá mért adata vaa, de az gadozás em ormáls eloszlású, vagy ha em folytoos az eloszlás, pl. sorred sálá mért adata vaa. A sorred sálá az adato helyett ragoat alalmazu. A ormáls eloszlású gadozás eseté étmtás t próbát haszálu: t x x s + Ha em ormáls az eloszlás, a ragora haszálu aalóg próbát: t s + Látsz, hogy a Ma-Whtey-Wlcoxo-próba özel áll a ragoo végzett t-próbához. Vargha Adrás ezt a próbát rag Welch-próbáa evez (Matemata statszta pszchológa, yelvészet és bológa alalmazásoal, Pólya Kadó,, p. 7).

11 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere Feladat: hasolítsu össze a. példa adata a Ma-Whtey-Wlcoxo-próbát a ragora végzett t-próbával!..4 Fsher-Ptma-féle radomzácós próba tervallum-sálá mért adatora 3. példa (J. Krauth: Dstrbuto-free statstcs, A applcato-oreted approach, Elsever, 988, p. 43) Az állatoa meg ellett taulu, hogy úgy jussaa el a szaloához, hogy az áramütést elerüljé. A taulás dőt mérté. A vzsgálatba a érdés az volt, hogy a ezelés (amfetam) rotja-e a taulás épességeet. H : a ezelte taulás épessége em rosszabb a em ezelteéél (jobb vagy ugyaolya), az elsajátítás dő rövdebb vagy ugyaaora, H : a ezelte taulás épessége rosszabb, az elsajátítás dő hosszabb, vagys egyoldal (fölső) az ellehpotézs. T C A W próbastatszta tt a taulás dő összege az amfetamal ezelt egyedeél (ragszámot em haszálu, mert a taulás dő tervallumsála, több formácót hordoz, mt a ragszám, a ülöbség s értelmezhető). A táblázat első sora a téyleges eredméy, a továbba az egyede (dő-eredméye) csoporto özött fölcserélgetésével adóda. W W

12 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere Ha a véletlee múl csa a taulás dő, bármely ofgurácó előfordulás valószíűsége /. A táblázat szert 3 olya ofgurácó va, amelybe W aora vagy agyobb, mt a ísérlet eredméye szert (a W próbastatszta aora vagy szélsőségesebb értéet vesz föl, ha csa a véletlee múl a feladat megoldásáa dő-szüséglete, vagys ha a ullhpotézs gaz), eze az., 7. és 8. soro. Vagys a ullhpotézs érvéyessége eseté 3 /. 43 a valószíűsége aa, hogy a W próbastatszta aora vagy szélsőségesebb értéet vegye föl, mt a ísérlet eredméye szert. Ez meghaladja a választott.5-os határt, ll. p P ( W 67.4).4 H -t elfogadju, em szgfás a ezelés hatása. Feladat: Hasolítsu össze a 3. példa adata a radomzácós, a s-és agymtás Ma-Whtey- Wlcoxo-próbát, a szoásos és a ragora végzett t-próbát! A próba relatív ereje Legye és a szüséges mta-elemszám a ét próbára adott α és β mellett. Az első próba másodra voatozó relatív ereje és háyadosa (háyszor agyobb mta ell a másod próbához, mt az elsőhöz). Ha >, az első próba erősebb. A próba aszmptotus relatív ereje (asymptotc relatve effcecy): AE lm Az rodalom szert a ét összehasolítadó soaság ormáls eloszlása eseté a Ma-Whtey- Wlcoxo-próba majdem olya erős mt a étmtás t-próba (AE.95), em ormáls eloszlás eseté erősebb. Tehát ha étségü va az eloszlást lletőe, em veszítü soat ormáls eloszlás eseté sem, ha ezt a próbát alalmazzu...5 A Wlcoxo-próba levezetése [Coover, W.J.: Practcal oparametrc statstcs, J. Wley, 3rd ed. 999] Vegyü ét csoportot, az első (például ezelt) csoport mta-elemszáma, a másé, az összes. A Wlcoxo-féle rag-összeg-próba próbastatsztája: W Az rag-számo (tehát hogy mely elem mely ragot apja) valószíűség változó, mert ha újra elvégezé a ísérleteet, em ugyaezt a osztást apá (pl. másutt lehetée a apcsolt rago). Aa valószíűsége, hogy az -ed elem a ragot apja, p P( ). Valamely elem ragszámáa várható értée:

13 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere 3 ( ) p E Varacája: ( ) ( ) [ ] { } ( ) [ ] p E E E Var A ullhpotézs: mde mtaelemhez bármely rag hozzáredelése egyformá valószíű, tehát aa p valószíűsége, hogy az -ed elem az ragot apja, /, vagys p,..., : H ( ) p H E. ( ) ( ) [ ] ( ) A E H Var A ragszámo (ha csee apcsolt rago) egy öveméyű számta sor eleme, amelyre ( ) + ( )( ) ( ) + H E ( ) ( )( ) ( ) A H Var W várható értée a ullhpotézs érvéyessége eseté: ( ) ( ) ( ) + E E E W H W varacája (em függetle valószíűség változó összegée varacája): ( ) ( ) ( ) +,, j j j Cov Var Var W Var A ovaraca, fgyelembe véve, hogy ( ) ( ), l P j (mvel féle értéet vehet föl, az j már csa - félét, mvel j ): ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] l l l J j E H Cov,,

14 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere ( ) ( l ) ( ) ( ) l és haszáltu, hogy ( ) Var ( W H ) A A A A ( ) ( ) + j, j A A Vgyázat, ez az összefüggés csa aor haszálható, ha csee apcsolt rago! Szoás haszál a övetező jelölést s: s ( ) A, ezzel Var ( W H ) A Ez utóbb összefüggés apcsolt rago eseté s érvéyes! s.. Egymtás Wlcoxo-próba (Wlcoxo sged ra test) Emléeztetőül az egymtás t-próba: ( x) xref E µ x ref : stadard x µ s t A Wlcoxo-próba alalmazásáa feltétele a szmmetrus eloszlás, ezt csa a sorred sálától ezdve értelmezhetjü. Vagys aa elleére, hogy rag-módszerről va szó, az adatoa legalább tervallum-sálá értelmezhetőe ell leü. 4. példa (QS-9, Measuremet systems aalyss, eferece maual, 3 rd ed., p. 87) Egy mua-etalo méretét agyo potos eszözzel meghatároztá (x ref 6.), majd ezt a muaetalot 5-ször megmérté a mősítedő mérőeszözzel. Vzsgálju meg, hogy a mérőredszer torzít-e! Az egymtás t-próba eredméye: Test of meas agast referece costat (value) (gagebas) Mea Std.Dv. Std.Err. eferece t-value df p Varable Costat x Ezt a próbát aor jogos haszálu, ha az gadozásról tudju, hogy ormáls eloszlást övet. 4

15 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere x d x xref x x ref A Wlcoxo-próba ullhpotézse: H µ µ d : x e (a medá valamely meghatározott értéel egyelő) µ próbastatsztája: W d ahol az előjeles rag (sged ra). Lehet a poztív ülöbsége helyett a egatív ülöbségere s szummáz, ll. szoás a ét szumma özül a sebb értéűt választa, esetübe ez 3.5. Az előjeles ragot úgy apju, hogy a zérus ülöbsége fgyelme ívül hagyásával ragsorolju a ülöbsége abszolút értéét (ez adja a fötebb táblázat oszlopát), majd e ragohoz a ülöbség előjelét redeljü. A smtás eljárás részletet tt em smertetjü. agy mtára (vagy so apcsolt rag eseté) a ormáls eloszlással özelítjü a W eloszlását: W E( W ) z Var( W ) z, de ebbe a épletbe már emcsa a poztív ülöbségere szummázu, haem az összes előjeles ragoat összegezzü, ahol a ülöbség em zérus. 3 A példába z

16 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere Az alalmazás feltétele: legalább sorred (ll. tervallum-) sála szmmetrus eloszlás (traszformácó segíthet, ha em teljesül, eor ell az tervallum-sála) az adato függetle valószíűség változó egyetle soaságból.3 Páros próba (Wlcoxo matched pars) Emléeztetőül a páros t-próba d t s / d Ez aor haszálható, ha a d ülöbsége eloszlása ormáls, ostas varacával. Ha evésbé szgorú feltétele mellett alalmazható próbát szereté, em-paraméteres próbát ell végez. (Ugyaaz, mt az egymtás próba, csa ülöbségere végezzü) 5. példa (G. E. P. Box, W. G. Huter, J. S. Huter: Statstcs for expermeters, J. Wley, 978, p. 97) boy materal A materal B B A dfferece d 3.(L) 4.() (L) 8.8() ().(L) (L) 4.() ().8(L) (L) 6.4() (L) 9.8() (L).3() () 9.3(L) (L) 3.6().3 4 average dfferece wear boys materal A materal B 6

17 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere z A z-táblázatból p/.6, p., a páros t-próbáál p.85 volt az eredméy. Matched pars (összellesztett páro) Mvel a páros próba soal érzéeyebb a étmtásál, haszálata előyösebb, ha erre lehetőség va, pl. fogyóúráál mdere a saját testsúlyáa-változását ell éz. Sajos em mdg lehet olya ísérletet végez, ahol mde ömaga otrollja. Ilyeor mél több szempotból ugyaolya egyedeet erese, ezeet pároa tetjü. Józa fgyelmeztetés: S. Segel: oparametrc statstcs for the behavoral sceces, McGraw-Hll, 956, p. 63: Wherever t s feasble, the method of usg each subject as hs ow cotrol s preferable to the parg method. The reaso for ths s that we are lmted our ablty to match people by our gorace of the relevat varables whch determe behavor. Moreover, eve whe we do ot ow what varables are mportat ad therefore should be cotrolled by the parg process, our tools for measurg these varables may be faulty. A matchg desg s oly as good as the expermeter s ablty to determe how to match the pars, ad ths ablty s frequetly very lmted..4. Több (függetle) csoport összehasolítása ormáls eloszlás szert gadozás eseté ez egy fator szert varacaaalízssel oldható meg. A rag-módszere öréből ét emparaméteres próba haszálatos: a Krusal Walls-próba és a Mood-féle medápróba. 6. példa Háromféle gyógyszerrel (A, B és C) ezelt csoport vzeletébe található blrub meységét ell összehasolítau. Az értéeet az aalzátor em számszerűe adja, a övetező lehetségese: egatív Kcs s Mérséelt m agy l A ísérlet adatoat mutatja a háromféle gyógyszerrel ezelt csoportora a övetező táblázat. Gyógyszer A B C s Blrub m meysége s m s s m s s A érdés az, hogy va-e ülöbség a három csoport özött. 7

18 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere.4.. Krusal Walls-próba A próba a Ma Whtey-próba általáosítása több medá összehasolítására. Feltételez, hogy a mtá (az egyes fatorsztehez tartozó csoporto) azoos alaú soaságoból származa, a mtaeleme ε hbá egymástól függetlee, és folytoos a függő változó, vagys legalább tervallumsálá értelmezhető. A ullhpotézs potosa fogalmazva az, hogy a mtá (csoporto) mögött álló soaságo eloszlása azoos. Tehát a ullhpotézse elletmod, ha aár az eloszláso várható értée (medája), aár varacája vagy egyéb alaparamétere ülöböze. Ez azt jelet, hogy ameybe a próba szgfás (a ülöbség a csoporto özött szgfás), em tudju, hogy az eloszlás helyzet (várható érté, medá) vagy alaparamétere (varaca, ferdeség, lapultság) ülöböze. A próbastatszta: ( ) r H + p 3 ahol az összes adato száma ( + ) r p az -ed szt (csoport, mta) ragösszege, p 5, vagys mde csoportba legalább 5 eleme ell lee., A ullhpotézs teljesülése eseté a H próbastatszta χ eloszlású, r szabadság foal. Ha több csoportba s vaa azoos eleme (tes), orrecó szüséges: H corr H 3 ( t t ) 3 ahol t az azoos ragú eleme száma. Először számítju az egyes adato ragszámát úgy, hogy agyság szert sorba redezzü őet. Ha azoos értéeet találu, azo egy átlagos ragszámot apa. Például a (egatve) összese hatszor fordul elő, eszert az első 6 ragszámot ell apu, ezért mdegyüé 3.5 lesz. Az m háromszor fordul elő, eze vselé az utolsó három ragszámot (3, 4, 5), özöse a 4-et apjá. Az így előálló ragszámo és a ragösszeg: A raga B ragb C ragc 3.5 s m 4 s 9.5 m 4 s s 9.5 m 4 s s 9.5 összeg A próbastatszta számított értée: H(, 5).547, az ehhez tartozó p érté:.87. A fatorszte özött eltérés tt em szgfás, mvel a p érté.5-ál soal agyobb. Az esetleges pároét összehasolításra tt a ormáls eloszlást géylő t-próbá (Fsher, Boferro, Scheffé) helyett emparaméteres étmtás próbáat, pl. a Ma Whtey-próbát ll haszál..4.. A Mood-féle medápróba Feltételezése megegyeze a Krusal Walls-próbáéval. Kevésbé érzéey azoba a ugró értéere, de ha lyee csee, gyegébb próba. Ez azt jelet, hogy öyebbe elfogadja azt a 8

19 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere ullhpotézst, hogy a fatorszte özött cs ülöbség, amor pedg va, vagys agyobb vele a másodfajú hba ocázata, mt a Krusal Walls-próbával. A próba elvégzéséhez az adatoat ét csoportra (c ) osztju: az egy csoportba erüle a medáál sebb vagy azzal egyelő agyságú adato, a másba a medáál agyobba. A medá tt az s. Ú. otgecatáblázatot észítü (lásd alább) az adatoból a ét csoport és a fator sztje (,..., r ) szert. Az egyes cellába írju az előforduláso j számát ( mért ). Kszámítju, hogy ha a három fatorszt özött em lee ülöbség (a fatora em lee hatása), mlye számba várá a medához épest ét csoportba az esete előfordulását, ez lesz ˆ ( számított ). Itt a 5 adat özött a 3 csoportba összese -szer fordul elő a és az s j (blrub < medá), csoportoét egyelőe szétosztva 4 jut egy csoportra. Ezzel aalóg módo a medá felett 3 érté s várhatóa egyelőe oszlaa el a három csoportba, ha a gyógyszere hatásába cs ülöbség. < medá > medá A B C Összes mért számított mért-számított - mért 3 számított mért-számított - Összes Ha a fatora cs hatása (cs az A, B és C gyógyszer özött ülöbség), a övetező fejezés r c szabadság foal: χ eloszlású, ( )( ) χ j ( j j ) r χ j. (6.3) Itt r 3, c, tehát a szabadság fo. A χ próbastatszta számított értée.5, az ehhez tartozó p érté.865, tehát em jeletős a fatorszte özött ülöbség..5. ag-orrelácó A özöséges (ú. Pearso-féle) orrelácó aor haszálható szgorúa, ha a ét valószíűség változó, amelye özött összefüggést eresü, ormáls eloszlás szert gadoz. Ez számos esetbe em teljesül, másor szóba se jöhet, pl. ha az adato sorred sálá értelmezhető. A Pearso-féle orrelácós együttható: r ( y y)( x x) ( y y) ( x x) A ragora az ú Spearma-féle rag-orrelácós együtthatót haszálhatju: + + [ ( y ) ( y) ][ ( x ) ( x) ] ( y ) ( x ) ρ [ ( y ) ( )] [ ( ) ( )] + + y x x ( y ) ( x ) 9

20 Keméy Sádor: emparaméteres statszta módszere 7. példa S. Segel: oparametrc statstcs for the behavoral sceces, McGraw-Hll, 956, p. 4 A vzsgált személye autortárus hajlamát és a társadalm belleszedésre való törevésü mértéét potoztá. A érdés az, hogy va-e a ét jellemző özött összefüggés. AUTHOIT STIVIG ρ.88