Robotmechanizmusok. I. rész. Budapest, 2014

Átírás

1 Equaton Chapter Secton Robotmechanzmuso I. rész Buda Csaba Budapest, 4

2 Tartalomjegyzé Tartalomjegyzé... Bevezetés... 3 A roboto fontosabb részegysége és feladata... 3 A robotrányítás mechana alapja... 5 Roboto geometra és nemata jellemzése... 6 Homogén transzformácós mátrxo... 7 Denavt-Hartenberg paramétere... Roboto nemata leírása... 5 Roboto stata jellemzése... Roboto dnama jellemzése... 5 Luh-Waler-Paul algortmus... 37

3 Bevezetés Az elmúlt éve során egyre nagyobb gény volt az par részéről, hogy olyan gépeet, berendezéseet alalmazzana, amelye segítségével meggyorsíthatjá és automatzáljá a termelést, épese több, aár omplex feladatot pontosan és rövd dő alatt elvégezn. Ez az gény a ma napg átjárja a robota fejlesztéseet, a cél, hogy unverzáls robotoat fejlesszün, amelye gyorsabba és pontosabba, mnt a orább modellje. A ma par roboto összetett mechana-eletrona rendszere, amelye a legülönbözőbb par folyamatoban apna helyet, mnt embert helyettesítő munaerő. Tentettel arra, hogy az par roboto omplex műsza alotáso, a orábban egymástól vszonylag függetlenül fejlődő egyes műsza tudományága az par roboto megjelenésével és elterjedésével gen szorosan összefonódta. Ez a folyamat oda vezetett, hogy egy-ét évtzeddel ezelőtt a legfejlettebb par országoban delaráltá egy új műsza tudományág, a robota megszületését. Eszernt a robota olyan nterdszcplnárs tudományág, melyben a mechana, hdraula, pneumata, eletrotechna, rányítástechna, eletrona, számítástechna egyes részterülete ötvöződne. Az eddgeből az s övetez, hogy mnden olyan szaember, a par roboto tervezésével, gyártásával, üzembeállításával, alalmazásával, programozásával, lletve vzsgálatával íván foglalozn, meghatározott szntű smereteel ell, hogy rendelezne a orábban felsorolt tudományterülete özül, azaz valamennyről, hanem s egyenlő mértében. Jelen jegyzet céltűzése özött szerepel, hogy előészítse a roboto rányításával és szabályozásával foglalozó tantárgyaat. A jegyzet tematáját lletően a roboto mechana leírásához szüséges eszözöet tárgyalja, hogy alaposan megsmerjü az par roboto műödését, és modellezésü lehetőséget. A jegyzet megírása során gyeeztün mndvégg azonosuln a robota többé-evésbé már alault szemléletmódjával. Tentsü most át rövden, mlyen főbb részegységeből épül fel egy orszerű par robot. A roboto fontosabb részegysége és feladata Alapvetően mnden par robot feladata, hogy meghatározott munafolyamato elvégzése érdeében bzonyos mozgásoat végezzen a térben, szüség van egy (többé-evésbé bonyolult) mechanzmusra, amelyet a legülönbözőbb rányoba lehet mozgatn, és amely jelentősebb deformácó nélül elvsel az üzemelés özben fellépő erőhatásoat. Ez a mechana váz funcóját tentve legnább az ember törzs, ar és éz csontrendszeréhez hasonlítható. Természetesen bonyolult térbel mozgásora csa aor van lehetőség, ha a mechana váz egyes elemene egymáshoz vszonyított elmozdulása bztosított. Az elmozdulást az embernél ízülete, a robotonál csuló tesz lehetővé. Például a robot mechana vázána egyes elemet artagna (angolul: ln), lletőleg a artago özt elmozdulást lehetővé tevő elemet egységesen csulóna nevezzü (angolul: jont), tentet nélül arra, hogy az elcsúszást vagy elfordulást tesz lehetővé. Logusan tovább gondolozva a övetező szerezet egység a csulóban (esetleg másutt) elhelyezett meghajtó, vagy beavatozó egység (angolul: actuator), amelyet fonetusan írva a 3

4 magyar termnus technus s atuátorna nevez. Műödés mód szernt osztályozva megülönböztetün hdraulus, pneumatus és vllamos hajtású robotoat. Az utóbba nagy előnye a tsztaság, egyszerűség, önnyű rányíthatóság és gazdaságos energaátalaítás, azonban a nagy üzem terheléssel dolgozó robotonál a hdraulus hajtás mód domnál. A beavatozó szerveet legnább az ember zomrendszeréhez hasonlítható. A övetező fontos részegység az rányítóegység (angolul: control unt), amely a robot egyes csulóna (ezáltal artagjana) célrányosan összerendezett mozgását tesz lehetővé. Ezt az egységet az ember agy mozgásözpontjához hasonlíthatju. A műsza gyaorlatban a megoldáso a csulónént önálló egyszerű analóg szabályozótól a legbonyolultabb számítógépes megoldásog terjedne. Az eddg felsorolt részegysége lényegében mnden par robotnál megtalálható. A legfejlettebb roboto a fenteen túlmenően még ülönböző bonyolultság foú érzéelő (angolul: sensor, hasonlóan a beavatozó szerv angol megfelelőjéhez, az érzéelőt s szotu szenzorna nevezn) rendszereel s rendelezne, melye épessé tesz a robotot arra, hogy a ülvlágból érező nformácóat érzéeljé, feldolgozzá, és egyes eseteben valamlyen döntés folyamat eredményeént műödésüet, vagy aár mozgásuat s orrgáljá. A most felvázolt négy fő terület özül (mechanzmuso, hajtáso, rányításo, érzéelő) alapvetően a robotmechanzmuso témaörével fogun foglalozn, azonban egyes esteben utalva a több területtel való apcsolatra s. A továbbaban tentsü át, mlyen főbb feladattípusoal találozhatun a roboto alalmazás területen. A legegyszerűbb özé tartozna a ülönböző raodás, palettázás feladato (angolul: pc and place, azaz fogd meg és rad le valahova ). Ilyenor a cél többnyre csupán az, hogy bzonyos alotórészeet, munadaraboat a robot valahonnan valahová átrajon egy a feladatra alalmas robotéz vagy megfogó (angolul: hand, grpper, end effector) segítségével. Ezen feladat során elegendő csupán a ndulás és a véghelyzetet defnáln, egyébént érdetelen, hogy e ét pont özött mlyen pályán mozgatja a robot a munadarabot, sőt so esetben még anna sncs jelentősége, hogy a tárgy egy adott helyen (pl. szállítószalagon) mlyen helyzetet vesz fel, vagys egyes eseteben a munadarab orentácója s tetszőleges lehet. (Az előtanulmányoból smert, hogy egy merev test térbel elhelyezedéséne egyértelmű megadásához általános esetben hat független paraméterre van szüség, eze özül három a pozícót, három pedg az orentácót írja le.) A övetező feladattípus az, amor a robot valamlyen munadarabot vagy szerszámot szaaszosan mozgat úgy, hogy özben több, esetleg gen nagyszámú térbel pontot feltétlenül érntene ell (pl. ponthegesztés), míg az egyes ponto özött mozgás pályája csupán másodlagos jelentésű. A magyar szarodalom ezt a robotrányítás módot talán nem a legszerencsésebb pontvezérlésne nevez, az angol termnológa pont-to-pont control-na, amt gen elterjedten PTP-ne rövdítene. A mnőségleg legmagasabb övetelmény aor adód, ha a robot mozgása során valamlyen (esetleg előre nem s smert) tér- vagy sígörbe mentén ell, hogy haladjon, azaz az előírt pályát 4

5 a robotna övetne ell. Természetesen a pályaövetés génye nemcsa a pozícó, hanem az orentácó vonatozásában s fennállhat. Az rányításna ezt a módját pályavezérlésne szoás nevezn (angolul: contnous path control, CP). Pusztán vezérlés megoldásról lyenor nylvánvalóan szó sem lehet, hszen a pályaövetés feladat csa az atuáls pozícó és orentácó (sőt számos esetben erő és nyomatéo) folyamatos érzéelésével és vsszacsatolásával, vagys zárt szabályozás huro alaításával valósítható meg. A ma par roboto elsősorban ét, orábban s már művelt techna ágból nőtte. A robota egy őse a számjegyvezérlésű (angolul: numercal control, NC) szerszámgépe technája volt. Ez teremtette meg az alapot egyrészt a nagy pontosságú, precíz mozgáso megvalósításához, másrészt a roboto programvezérléséhez (rányításához). A ma roboto más elődje a már évtzedeel orábban alalmazott távrányítású manpulátor, vagy más néven teleoperátor volt, amely ember ar-és ézmozdulatoat mtálva, özvetlen ember rányítással és megfgyeléssel végzett olyan feladatoat, melye vagy jelentős erőfejtést gényelte, vagy pedg ember számára veszélyese vagy nehezen hozzáférhetőe volta. E ét techna előnyet egyesítve születte meg az ötvenes éve özepe táján az első olyan szerezete, amelyere már ráll az par robot elnevezés. Eze egyszerű (pl. pc and place feladato) feladatato elvégzésére alalmas, ma szemmel nézve prmtív (ún. mátrx-stecdugó) módszerrel programozható, önműödő manpulátoro volta. Itt ell említést tenn arról, hogy az par robot fogalmána meghatározása az egyes országoban ma sem teljesen egységes. Japánban például soág a legegyszerűbb célmanpulátoro s robotna nevezté, am azt eredményezte, hogy a statsztá ugróan nagy számoat özölte a Japánban üzemelő roboto mennységére vonatozóan. A legáltalánosabb felfogás szernt par robotna nevezün mnden olyan több (általában hat) szabadságfoú manpulátort, amely egy meghatározott munatéren belül tetszőleges pozícót és orentácót felvehet, (hardver és/vagy szoftver eszözöel) tetszés szernt bármor újraprogramozható, a beprogramozott műveletsort elvben tetszés szernt számban egymás után önműödően épes végrehajtan, ezáltal a legülönfélébb munafolyamato elvégzésére alalmas. A robotrányítás mechana alapja Már a bevezetőben s utaltun arra, hogy a roboto bármennyre s omplex műsza alotásna tenthetőe elsődlegesen gépe, vagys mechana szerezete. Ezért a felmerülő ülönféle rányítástechna feladato vtelezéséhez alapvetően az par roboto onstrucóna mechana modelljére van szüségün. A legalapvetőbb feladat az, hogy a robotezet egy folytonos (vagy dszrét) térbel pontsorozaton véggvezessü, mözben az orentácót fejező oordnátá folytonosan (vagy dszrét értéeet felvéve) változhatna. A pozícó és orentácó dőpllanatról dőpllanatra történő előírása azonban még távolról sem jelent a feladat (mechana szempontból vett) teljes értéű leírását, hszen ugyanlyen lényeges a sebessége és szögsebessége, valamnt a gyorsuláso és szöggyorsuláso fgyelembe vétele s. 5

6 Az par roboto műödését többféle paraméter s befolyásolja, legyen az pl. a beavatozó szerve teljesítménye, vagy a geometra alaítása, mégs egy par robot felhasználhatóságát legnább a szabadságfoana száma orlátozza. Hszen mnél több az adott robot szabadság foana a száma, annál több féle feladat ellátására alalmas. Az unverzáls roboto általában hat szabadságfoúa, így egy adott munatéren belül tetszőleges pozícó és orentácó megvalósítására alalmasa. Létezne hatnál több szabadságfoú, ún. redundáns roboto s, eze egy adott pozícót és orentácót végtelen soféle onfgurácóban meg tudna valósítan (az ember ar s lyen redundáns manpulátor -na tenthető). A redundáns robotoat rendívül jó lehet alalmazn pl. olyan pályaövetés feladatoban, amelyne során a valamlyen aadályt ell erüln a robotna. Roboto geometra és nemata jellemzése Equaton Secton (Next)A bevezetőben elmondotta alapján a roboto csulóal összeapcsolódó artagoból álló mechana rendszere. Jelen jegyzeten belül csa olyan robotstrutúráal foglalozun, melyeben mnden csuló csas ét artagot apcsol össze, vagys a artago egymásutánja ún. nyílt nemata láncot alot. Ellenező esetben zárt nemata láncú, vagy párhuzamos műödésű robotoról beszélhetün. A továbbaban feltesszü, hogy hogy a artago deáls merev teste, a csuló pedg holtjáté-, otyogás-, és súrlódásmentese. A fenteen túlmenően azzal a ötéssel s élün, hogy mnden egyes csuló vagy csa lneárs, egyenes ment elmozdulás (transzlácót), vagy csa tengerörül elfordulást (rotácót) tesz lehetővé. Az előbb P típusú (angolul: prsmatc jont, P), az utóbbt R típusú (angolul: revolute jont, R) csulóna s fogju nevezn. Egészen specáls estetől eltentve a valóságos robotoban s csa ez a ét csulófajta fordul elő. Ha egy robot artagjaról és csulóról beszélün, célszerű azora valamlyen sorszámmal hvatozn. Csanem teljesen egységesen a robot (rögzített) törzsét. artagna szoás nevezn, a hozzá apcsolódó artag az. artag, és az ezeet összeötő csuló az. csuló. Mnd a artago, mnd a csuló sorszáma a törzstől a robotéz felé haladva, és általánosságban az. és az (+). artagot az (+). csuló öt össze. Mvel a roboto nemata jellemzéseor mozgásoat írun le, be ell vezetnün ülönböző vonatoztatás rendszereet. Az egy legézenfevőbb lehetőség a robottörzséhez (vagy a örnyezethez) rögzített oordnáta rendszer felvétele. Ezen rendszerhez vszonyított adatoat leggyarabban vlágoordnátána (angolul: world coordnates) nevezzü. Továbbá mnden artaghoz ugyancsa hozzárendelhetün egy-egy oordnátarendszert. Az így defnált Descartes-oordnátarendszere tulajdonéppen már elegendőe lennéne mndenfajta robotmozgatás leírására, azonban az esete többségében rendívül számítástechna nehézségeel járna, ha mndenáron a jól megszoott Descartesoordnátához ragaszodnán. Célszerű ezért bevezetn az ún. csulóoordnátáat (angolul: jont coordnates), melyeet úgy értelmezün, hogy a robot egy önényesen megállapított onfgurácójában mnden csulóhoz zérus értéet rendelün hozzá, majd a robotot ebből az alaphelyzetből (angolul: home poston) mozdítva mnden csuló elmozdítását egy előjeles 6

7 számmal fejez. Ez a szám fzalag P típusú csuló esetén a lneárs elmozdulás mértée (pl. mm-ben), R típusú csuló esetén a szögelfordulás mértée (pl. foban). Az eddgeből tűn, hogy a robot bármely onfgurácója fejezhető aár a csulóoordnátá atuáls értéevel, aár a robotéz pozícóját és orentácóját jellemző (a vlág-oordnátarendszerben értelmezett) adatoal. A ét fajta adathalmaz özött apcsolat megtalálása az egy legbonyolultabb matemata probléma a robotában. Egy hat csulóval felszerelt, hat szabadságfoú robot egyes csulóna q -vel jelölt csulóoordnátából egy hat dmenzós vetort épezhetün [ q q q ] T q = K. 6 Ugyancsa hatdmenzós vetorral adható meg a robotéz pozícója és orentácója s, ezt a vetort p-vel jelöljü. A p vetor meghatározása a q smeretében az ún. dret nemata feladat, míg az ezzel ellentétes rányú transzformácót nverz nemata feladatna nevezzü. Az utóbb probléma megoldását súlyosbítja az a örülmény s, hogy a robotéz egy adott pozícója és orentácója általában több ülönböző csulószög helyzettel s megvalósítható, lyenor az nverz nemata feladat megoldása matematalag nem egyértelmű. Vzsgálju most meg ssé részletesebben ét Descartes-oordnátarendszer egymáshoz vszonyított ölcsönös helyzeténe leírását. Homogén transzformácós mátrxo Vegyün fel térben tetszőleges helyen egy derészögű oordnátarendszert az. ábrán látható módon! Legyen az { O; x, y, z } oordnátarendszer a vlág oordnátarendszer, melyne O az orgója, tengelye pedg rendre x, y és z. Helyezzün el a tér tetszőleges helyén egy merev testet, ehhez az { O ; x, y, z } oordnátarendszert rendeljü (a merevtesthez rögzített oordnáta rendszert b b b body frame-ne nevez az angol termnológa). Az, és b b b x y z tengelye rányába mutató egységvetoroat jelöljü rendre n-, t- és b- vetoroal jelöljü, továbbá az O vlág oordnáta rendszer orgójából az O merev testhez rögzített oordnáta rendszer orgójába az 7

8 x = [ x y z ] T vetor mutat. Az x vetor a ét oordnátarendszer egymáshoz épes ölcsönös pozícóját írja le. Vezessü be az R-rel jelölt 3 3-as mátrxot, amelyne oszlopvetora rendre az n, t, b vetoro, ezáltal R = [ n t b ]. Fontos megjegyezn, hogy az n, t, b vetoro ortonormált bázst alotna, azaz a vetoro egymásra merőlegese (ortogonaltás), valamnt egységny hosszúa. Ezáltal az R mátrx nverze megegyez a mátrx transzponáltjával ezáltal T R = R, R T R = E, ahol E a 3 3-as egységmátrxot jelöl. Válasszu a tér egy tetszőleges P pontját, és eressü enne oordnátát az előzőeben defnált ét oordnátarendszerben fejezve. Legyen a P pont pozícóvetora a vlág oordnátarendszerben [ x y z] T x =, valamnt a merevtesthez rögzített oordnáta rendszerben [ ] T x b = u v w. Célun, hogy ölcsönösen egyértelmű apcsolatoat találjun x és eddge alapján írhatju x b vetoro özött. Az x = x + un + vt + wb, (.) továbbá Szorozzu meg mndét oldalát balról Az (.3) egyenletből fejezve x b vetort x = x + Rx b. (.) T R -tal, ezáltal az (.) egyenlet a övetező formát ölt T T T T b R x = R x + R Rx = R x + x. (.3) b b = T T x R x R x. (.4) 8

9 Mvel az x vetor a ét oordnátarendszerben ölcsönös pozícóját, R mátrx pedg eze ölcsönös orentácóját fejez, ezáltal az (.4) egyenlet alalmas ét derészögű oordnátarendszer özött legáltalánosabb transzformácó leírására. Specáls példaént tentsü azt az esetet, amor az { O ; x, y, z } oordnátarendszert az b b b { O; x, y, z } oordnátarendszerből úgy apju, hogy azt anna z tengelye örül γ szöggel elforgatju. A puszta forgatás matt O pont egybees O -vel, ezért x = a övetezőéppen írható fel (bzonyítás nélül) Míg az x = ( γ ) ( γ ) ( γ ) ( γ ) cos sn R = sn cos, az R mátrx pedg vetort az orgó özött transzlácót írja le, az R mátrx pedg zárólag a forgatás transzformácót fejez, ezért s nevez rotácós mátrxna. Az R mátrx elemene smerete egyértelműen, de redundáns módon írja le ét derészögű oordnátarendszer ölcsönös orentácóját, hszen a mátrx lenc elemet tartalmaz, az orentácó eltérés megadásához pedg, mnt tudju, három független adat elegendő. Ezért érdemes megjegyezn, hogy az R mátrx eleme özött csa három lneárson független elemet találhatun. A ölcsönös orentácó megadása három független (szög-) adattal többféleéppen s lehetséges. Az egy lehetőség az orentácó megadása az ún. Euler-szögeel. A. ábra és az alább gondolatmenet alapján belátható, hogy három alalmasan megválasztott, egymást övető forgatással előállítható olyan oordnátarendszer, mely az eredethez épest a lehető legáltalánosabb orentácójú. Az eredet { O; x, y, z } oordnátarendszert rendre a övetező forgatás transzformácóna vetjü alá. Forgatás z tengely örül ϕ szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O ; x, y, z }, ahol z z. 9

10 . Forgatás x tengely örül ϑ szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O ; x, y, z }, ahol x x. 3. Forgatás z tengely örül ψ szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O; xb, yb, z b}. A fent módon defnált ϕ, ϑ, ψ szögeet nevezzü Euler-szögene. Természetesen a fent forgatáso mndegyéhez hozzárendelhető egy-egy rotácós mátrx, melye rendre ( ϕ ) ( ϕ ) ( ) ( ) cos sn R z ( ϕ ) = sn ϕ cos ϕ, (.5) R x ( ϑ ) = cos( ϑ) sn ( ϑ), (.6) sn ( ϑ) cos( ϑ ) ( ψ ) ( ψ ) ( ) ( ) cos sn R z ( ψ ) = sn ψ cos ψ (.7) A három forgatás egymásutánja az R( ϕ, ϑ, ψ ) = R ( ϕ) R ( ϑ) R ( ψ ) eredő transzformácós z x z mátrxszal írható le. Elvégezve a számításoat a övetező formát aphatju meg cϕ cψ sϕ cϑ sψ cϕ sψ s c c s s ϕ ϑ ψ ϕ ϑ R = sϕ cψ + cϕ cϑ sψ sϕ sψ + cϕ cϑ cψ cϕ sϑ, sϑ sψ sϑcψ c ϑ ahol = cos ( ϕ), = cos ( ϑ), = cos ( ψ ), = sn ( ϕ), = sn( ϑ), valamnt s ψ c ϕ c ϑ = sn ( ψ ) jelöléseet alalmaztu. c ψ Tovább lehetőséget az ún. hajómozgás szögeel, vagy máséppen RPY szögeel (Roll, Ptch, Yaw) való leírásmód ad Az eredet { O; x, y, z } oordnátarendszert rendre a övetező forgatás transzformácóna vetjü alá. Forgatás z tengely örül α szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O ; x, y, z }.. Forgatás y tengely örül β szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O ; x, y, z }. s ϕ s ϑ

11 3. Forgatás x tengely örül γ szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O; xb, yb, z b}. A fent módon defnált α, β, γ szögeet nevezzü RPY-szögene. Természetesen a fent forgatáso mndegyéhez hozzárendelhető egy-egy rotácós mátrx, melye rendre ( α ) ( α ) ( ) ( ) cos sn R z ( α ) = sn α cos α, (.8) ( β ) ( β ) cos sn R y ( β ) =, (.9) sn ( β ) cos ( β ) R x ( γ ) = cos( γ ) sn ( γ ) (.) sn ( γ ) cos( γ ) A három forgatás egymásutánja az R( α, β, γ ) = R ( α) R ( β ) R ( γ ) eredő transzformácós z y x mátrxszal írható le. A számításo hasonló módon történne, mnt a orábban bemutatott Eulerféle szögeel történő reprezentácó során. A térbel orentácó leírására tovább lehetőséget ad az ún. Tat-Brant szöge alalmazása s, mszernt az eredet { O; x, y, z } oordnátarendszert rendre a övetező forgatás transzformácóna vetjü alá. Forgatás x tengely örül ϕ szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O ; x, y, z }, ahol x x.. Forgatás y tengely örül ϑ szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O ; x, y, z }, ahol y y. 3. Forgatás z tengely örül ψ szöggel, a forgatás után apott oordnáta rendszer { O; xb, yb, z b}. R x ( ϕ ) = cos( ϕ ) sn ( ϕ ), (.) sn ( ϕ ) cos( ϕ ) ( ϑ) ( ϑ) cos sn R y ( ϑ) =, (.) sn ( ϑ) cos( ϑ)

12 ( ψ ) ( ψ ) ( ) ( ) cos sn R z ( ψ ) = sn ψ cos ψ. (.3) A három forgatás egymásutánja az R( ϕ, ϑ, ψ ) = R ( ϕ) R ( ϑ) R ( ψ ) eredő transzformácós mátrxszal írható le. x y z Az összetett transzformácó (transzlácó és rotácó) tömör, ompat leírására a robotában s terjedten alalmazzá a 4 4-es ún. homogén transzformácós mátrxoat. R T H =, ahol R a 3 3-as forgatás mátrx, T a 3 -as transzlácós vetor, valamnt az 3-as nullvetor. Fontos megjegyezn, hogy a homogén transzformácós mátrxo alalmazása során a orábban 3 elemű vetoroat ell bővíten egy -es elemmel, másülönben a számításo nem végezhetőe el. Általánosan elterjedt továbbá az egyes artago saját oordnátarendszeréne felvételére, valamnt eze ölcsönös helyzeténe leírására az ún. Denavt-Hartenberg-féle reprezentácó. Denavt-Hartenberg paramétere A roboto geometrájána általános leírására Denavt és Hartenberg 955-ben publálta egy módszert. A módszer alalmazásával a csulóoordnátá transzformálása a vlágoordnáta rendszerbe az un. Denavt-Hartenberg féle transzformácós mátrxszal történ. A Denavt-Hartenberg oordnáta transzformácó során egy oordnáta rendszer egy tetszőleges oordnáta rendszerben átvhető, ha ét eltolást és ét elforgatást a megfelelő sorrendben alalmazun. A roboto leírása során a ét távolságot d-vel és a-val, valamnt a ét elforgatást leíró paramétert α -val, lletve q-val jelöljü. A onvenconáls paramétere bevezetéséhez első lépésént defnálnun ell a roboto csulóhoz rendelt oordnáta rendszereet. Első lépésént az -ed és (+)-ed csulóra egy-egy derészögű oordnátarendszert llesztün, tehát a oordnáta rendszere orgója a csuló özéppontoba lleszedne. A csulóba llesztett oordnáta rendszere z tengelye a csuló rányába mutatna. A szabályrendszer értelmében az (+)-ed csulóba az { O ; x, y, z } oordnáta rendszert rögzítjü. A orábba alapján a z tengelyt az (+)-ed csuló rányába helyezzü. Az x tengelyt az (+)-ed és -ed csuló (z rányú) tengelyene özös normálsába (normál transzverzáls) es, és az (+)-ed csuló felé mutat. Az y tengelyt pedg úgy választju meg, hogy az { O ; x, y, z } oordnáta rendszer jobbsodrású oordnáta rendszert alosson.

13 Továbbá az -ed csulóba az { O ; x, y, z } oordnáta rendszert rögzítjü. A orábba alapján a z tengelyt az -ed csuló rányába helyezzü. Az x tengelyt az (-)-ed és -ed csuló (z rányú) tengelyene özös normálsába es, és az -ed csuló felé mutat. Az y tengelyt pedg úgy választju meg, hogy az { O ; x, y, z } oordnáta rendszer jobbsodrású oordnáta rendszert alosson. A robot több tengely esetén hasonló módon járun el. A onvenconáls paramétere a övetezőe. Első paraméterént defnálju a q paramétert rotácós csuló esetén az x tengely és az x tengely özött bezárt jobbcsavar rányú szög nagysága. Másod paraméterént vezessü be a d paramétert, amely a orábban jelölt csuló normál transzverzálsana távolságát jelöl, azaz a ét normáls özött, az -ed csuló z tengelye mentén mért távolság. Harmad paraméterént az a távolságot vezetjü be, mszernt az -ed és (+)-ed csulótengelye özös normálsána a hossza, amelyet az x tengely mentén mérün. Negyed paraméterént a α paramétert vezetjü be, amely az -ed csuló z tengelye, valamnt az (+)-ed merőleges síban. z tengelye özött mért jobbcsavar rányú szög, az a paraméterre A Denavt-Hartenberg transzformácós eljárás során ét szomszédos oordnáta rendszer, az átvhető egymásba a ét transzlácós és ét rotácós transzformácó megfelelő sorrendben történő végrehajtása segítségével. Általános esetben az { O ; x, y, z } oordnáta rendszer átvhető az { O ; x, y, z } oordnáta rendszerbe a övetezőépp Első lépésben az { O ; x, y, z } x tengely az ( q ) ( d ) ( a ) ( α ) D = D D D D. (.4) q szöggel a z tengely örül, egészen addg, amíg az x tengellyel párhuzamos nem lesz. A q szöggel történő forgatás a övetező homogén oordnáta transzformácós mátrxszal írható le ( q ) ( q ) ( q ) ( q ) cos sn sn cos D ( q ) =. (.5) Másod lépésént a z tengely mentén d nagysággal eltolju a oordnáta rendszert, amíg a z tengely és az x tengely nem metsz egymást. A d paraméterrel történő eltolást a övetező homogén oordnáta transzformácós mátrxszal írható le 3

14 D ( d ) =. (.6) d Harmad lépésént eltolju a oordnáta rendszert a nagysággal az x tengely mentén, amíg a ét oordnáta rendszer orgója nem metsz egymást, azaz az eltolást az O orgóg hajtju végre. Az a paraméterrel történő eltolást a övetező homogén oordnáta transzformácós mátrxszal írható le a D ( a ) = (.7) Végezetül negyed lépésént elforgatju a oordnáta rendszert x tengely örül α szöggel, amíg a ét oordnáta rendszer fedésbe nem jön, azaz az y és y tengelye, valamnt a és z tengelye nem fed egymást. Az α szöggel történő forgatás a övetező homogén oordnáta transzformácós mátrxszal írható le cos( α ) sn ( α ) D ( α ) = (.8) sn ( α ) cos ( α ) Tehát ét egymást övető rotácós csuló özött transzformácó (általános esetben az (-)-ed csulóból az -ed csulóba), elvégezve a (.4) egyenletben szereplő számításoat a övetező rotácós csulóhoz rögzített oordnáta rendszer esetén a Denavt-Hartenberg féle transzformácó mátrx a övetező ( q ) ( q ) ( α ) ( q ) ( α ) a ( q ) ( q ) ( q ) ( α ) ( q ) ( α ) a ( q ) sn ( α ) cos ( α ) d cos sn cos sn sn cos sn cos cos cos sn sn D =. (.9) Amennyben transzlácós csulóra alalmazzu a Denavt-Hartenberg féle onvencóat, a övetező változócseréet ell végrehajtanun, mszernt az a paraméter értée zérus, a d paraméter q lesz, végezetül a rotácós csuló leírásához használt szög pedg θ paraméter lesz, azaz a =, d = q, q = θ. z 4

15 Felhasználva a bevezetett paraméter cseréet a (.9) egyenlegben írt transzformácós mátrx transzlácós csuló esetén a övetező alara módosul ( θ ) ( θ ) ( α ) ( θ ) ( α ) ( θ ) ( θ ) ( α ) ( θ ) ( α ) sn ( α ) cos ( α ) cos sn cos sn sn sn cos cos cos sn D = (.) q Am után a orábban leírta alapján mnden csuló esetén meghatároztu a Denavt-Hartenberg féle transzformácós mátrxoat, azaz felírtu mnden (-)-ed csulóból az -ed csulóba meghatározhatju a robot álló (azaz a talajhoz rögzített pontjához rögzített oordnáta rendszer) oordnátarendszere, valamnt a végberendezés oordnáta rendszere özött transzformácós mátrxot. A transzformácós mátrxot az egymást övető csuló Denavt-Hartenberg féle mátrxo szorzata adja, azaz T = D D... n D n D. (.) n n n Az így apott T mátrx a robot végberendezés szerszámözepéne pozícóját és orentácóját adja meg az álló oordnáta rendszerben. Roboto nemata leírása A oordnáta transzformácó áttentése után rátérhetün a roboto nemata leírásána érdésére, vagys a robotmozgáso olyan jellegzetességével fogun foglalozn, amely a roboto mozgásána sebességet írja le. A nemata jellemzést legegyszerűbb formában úgy fogalmazhatju meg, hogy eressü a apcsolatot a robotéz sebességéne, lletve szögsebességéne apcsolatát a robot egyes csulóna sebessége lletve szögsebessége özött. A roboto nemata jellemzéséne egyszerűbb tárgyalás módjána érdeében a 3. ábrán látható ét szabadság-foú síbel manpulátort vzsgálju. A manpulátor végpontjána oordnátája legyen x, y. Az ábra alapján az x, y oordnátára vonatozóan a övetező egyenleteet írhatju fel, azaz ( ϕ, ϕ ) cos ( ϕ ) cos( ϕ ϕ ) x = l + l +, (.) 5

16 ( ϕ, ϕ ) sn ( ϕ ) sn ( ϕ ϕ ) y = l + l +. (.3) Mvel célun a mozgáso dőben lefolyásána vzsgálata, elő ell állítanun a végpont sebességvetorát és a csuló szögsebessége vetorát. Ezért épezzü a fent ét egyenlet dő szernt teljes derváltját, mszernt ( ϕ, ϕ ) dϕ x ( ϕ, ϕ ) d x x dϕ = +, (.4) dt ϕ dt ϕ dt ( ϕ, ϕ ) dϕ y ( ϕ, ϕ ) d y y dϕ = +. (.5) dt ϕ dt ϕ dt Vegyü a orább ét egyenletet, amelyet vetor-mátrx formalzmussal s felírhatun ( ) x( ) d x x ϕ, ϕ ϕ, ϕ dϕ dt ϕ ϕ dt d y y y dt ϕ dt ϕ = ( ϕ, ϕ ) ( ϕ, ϕ ) dϕ (.6) amelyet a övetező tömör alaban adhatju meg, ahol J jelöl az un. Jacob-mátrxot. v = Jφ& (.7) Az így defnált J mátrxot a manpulátor adott onfgurácójára érvényes Jacob-mátrxna nevezzü. A példánban szereplő egyszerű manpulátorra nézve önnyen belátható módon- a övetező Jacob-mátrx adód ( ϕ ) ( ϕ ϕ ) ( ϕ ϕ ) ( ϕ ) ( ϕ + ϕ ) ( ϕ + ϕ ) l sn l sn + l sn + J =. (.8) l cos l cos l cos A mozgáso vzsgálata megövetel, hogy az elem (nfntezmáls) elmozduláso sajátosságaval s megsmeredjün. Fgyelmünet a övetezőben az elem elforgatáso vzsgálatára összpontosítju, mert amnt ésőbb látn fogju eze bzonyos mértében eltérő tulajdonságoal rendelezne a véges szögű elforgatáshoz épest. Elem elforgatásoat bármely térbel tengely mentén végezhető, ezért célszerű azoat vetormennységene tenten. Ha defnálun egy { O; x, y, z } derészögű oordnátarendszert, aor abban bármely elem elforgatás dφ vetora három merőleges összetevőre bontható a övetező alaban T = dϕx dϕy dϕz dφ. 6

17 Végezzü el a dφ szögű elem elforgatást előállítan a dϕ, dϕ, dϕ elforgatás összetevő egymás után végrehajtásaént! 7 x y z Vegyü sorra először az x tengelyörül elforgatást, azaz végezzü el az elem forgatást dϕ x elem szöggel. A dϕ x szöggel történő forgatás mátrx R x ( dϕx ) = cos( dϕx ) sn ( dϕ x ) dϕ x. (.9) sn ( dϕx ) cos( dϕx ) dϕx A özelítő megoldás meghatározásaor használtu, hogy s szögelforduláso esetén cos ( dϕx), valamnt sn ( dϕx) dϕx. az y tengelyörül elforgatást, azaz végezzü el az elem forgatást dϕ y elem szöggel. A dϕ y szöggel történő forgatás mátrx ( ) ( ) cos dϕ y sn dϕ y dϕ y R y ( dϕ y ) =. (.3) sn ( dϕ ) cos ( ) d y y dϕ ϕ y Hasonlóan az x tengely örül forgatás apcsán írt s szögere vonatozó összefüggéseet az y tengely örül forgatásnál s felhasználtu. Végül a z tengelyörül elforgatást vzsgálju, azaz végezzü el az elem forgatást dϕ z elem szöggel. A dϕ z szöggel történő forgatás mátrx ( ) ( ) ( ) ( ) cos dϕz sn dϕz dϕz R z ( dϕz ) = sn dϕz cos dϕz dϕz. (.3) Hasonlóan az x tengely örül forgatás apcsán bemutatott s szögere vonatozó összefüggéseet a z tengely örül forgatásnál s felhasználtu. Nézzü meg a ét egymásra merőleges tengely örül forgatást, példaéppen vzsgálju meg az x tengely, lletve y tengely örül forgatást, mszernt R ( dϕ ) ( dϕ ) R = R R, xy x x y y dϕy dϕ y dϕ = = dϕ dϕ dϕ. dϕx dϕ y dϕy dϕx xy x x y x

18 Elem forgatást alalmazva ét elem szög szorzata ellőéppen cs, azaz dϕ dϕ, ezért a vegyes tagoat elhanyagolju, ezáltal az elem forgatás mátrx a övetező dϕy R xy = dϕx. (.3) dϕy dϕx Vzsgálju meg, hogy m történ aor, ha a fordított sorrendben forgatun tengelye örül, azaz R ( dϕ ) ( dϕ ) R = R R, yx y y x x dϕy dϕy = dϕ dϕ. (.33) dϕy dϕx dϕy dϕx yx x x Tehát, ha a ét elem elforgatást fordított sorrendben végezzü el, aor a forgatás sorrendjétől függetlenül az elem forgatás mátrxo megegyezne, tehát a jelen példa esetén R = R. xy Ebből tehát az övetez, hogy ét, egymásra merőleges tengelye örül elem elforgatás tetszőleges sorrendben elvégezhető. Ugyancsa önnyű belátn, hogy három, egymásra merőleges tengely örül elem elforgatás eredője s független attól, hogy az egyes elforgatásoat mlyen sorrendben végeztü el. A fenteel ellentétben ugyanez nem mondható el a véges szögű elforgatásoal apcsolatban. Ha azonos alaphelyzetből ndulva ugyanazon ét tengely örül 9 9 foos elforgatásoat végzün, az eredmény forgatáso sorrendjétől eltérő lesz a ét lehetséges esetben. A továbbaban egy általános, hat szabadságfoú robot nemata leírásával foglalozun. Amnt már a bevezetőben utaltun rá, a robotéz (end effector) pozícóját és orentácóját tömören egy hatelemű vetorral fejezhetjü. yx [ ] T p = x φ (.34) e A robotéz sebességét, és szögsebességét fejező, ugyancsa hatelemű vetor a p vetor dőszernt derválja lesz e x y x& e ve p = = φ& ω e e (.35) Tudju továbbá, hogy egy hat szabadságfoú robot q csulóoordnátá ugyancsa egy hat elemű vetorban foglalhatóa össze. 8

19 [ q q q q q q ] T q = (.36) Fölmerülhet az a érdés, hogy mlyen apcsolat van a végpont, az a robotéz sebességéne és szögsebességéne &p és a csuló sebessége q& vetora özött. A apcsolat általános esetben s a (étdmenzós esetre már bevezetett) J Jacob-mátrx írja le az alább módon p& = Jq&. (.37) Anna érdeében, hogy a rendívül tömör (.37) összefüggés mögött rejlő fza tartalmat vlágosan lássu, fel ell bontanun az (.37) egyenletben szereplő 6 6-os Jaob-mátrxot az alább módon JL JL... JL6 J = A A.... (.38) J J J A6 Az (.38) egyenlet szernt szétbontás (ahol a JL - és J A - háromelemű oszlopvetoroat jelentene) lehetővé számunra, hogy az egyes csulómozgásona a robotéz mozgására fejtett hatását ülönválasszu aszernt, hogy az transzlácóban, vagy rotácóban nylvánul meg. A J L vetoro a transzlácót oozó hatást reprezentáljá (az L betű az angol lnear velocty fejezésből adód) a övetező összefüggés szernt v = J q& J q&. (.39) e L L6 6 A orábbaban leírt Denavt-Hatenberg paramétere alfejezet alapján smeretes, hogy az -ed csuló tengelye az (-)-ed z tengelyével es egybe a Denavt-Hartenberg-féle jelölésrendszer szernt. Jelöljü a z poztív rányában mutató egységvetort b -gyel! Eor P típusú (przmatus) csuló esetén a övetező összefüggés lesz érvényes (az -ed csulóra nézve) J q& = b d&, (.4) L ahol d & az -ed przmatus csuló változó Denavt-Hartenberg paraméteréne dő szernt derváltja. Továbbá, ha az -ed csuló R típusú (rotácós), aor a z tengely örül forgás szögsebessége a övetezőéppen fejezhető ahol ω = b Θ&, (.4) Θ & az -ed csuló R típusú (rotácós) csuló dő szernt derváltja. (.4) egyenletben felírt ω szögsebesség a robotéz lneárs elmozdulásához s hozzájárul. Jelöljü r, e -vel azt a helyvetort, amely az (-)-ed artag oordnátarendszeréne orgójából, O -ből (a b 9

20 vetor ezdőpontjából) a robotéz, vagy végberendezés oordnátarendszeréne orgójába mutat. Eor a övetezőt írhatju J & ω r ( b r )&. (.4) Lq =, e =, e Θ Az előzőeben említett hatásszétválasztás másod lépéseént most a robotéz szögsebességével fogun foglalozn, melyet az alább összefüggéssel fejezün ω = J q& J q&. (.43) e A A6 6 Az A betű most az angol angular velocty fejezésből származ. Az (.43) összefüggés fzalag azt fejez, mlyen mértében járulna hozzá az egyes csulósebessége a robotéz szögsebességéne alaulásához. Ha az -ed csuló przmatus, aor a megfelelő J A vetor mnden eleme értelemszerűen zérus lesz, hszen egyenes ment elmozdulás nem ooz elfordulást a robotézen. Rotácós csulóra ezzel szemben a övetező összefüggés lesz érvényes J q& = ω = b Θ&. (.44) A Az eddgeet összefoglalva megállapíthatju, hogy az (.38) egyenlettel defnált Jacob-mátrx -ed teljes (hatelemű) oszlopvetora Przmatus csuló esetén JL b = J A (.45) rotácó csulóra esetén J b r = J b L, e A. (.46) Ha eze után feltesszü magunna a érdést, hogy m az a legfontosabb, eredmény, amt az eddge során elértü, azt mondhatju, hogy a robot csulóoordnátána és azo derváltjána smeretében meg tudju határozn a végpont pozícóját és orentácóját, valamnt a sebesség és szögsebesség vetorát. Ezt az ún. dret nemata feladat. A orábba türében felmerülhet az a érdés, hogy épese vagyun-e az nverz nemata feladat megoldása s. A válasz az, hogy bzonyos eseteben, elvben épese vagyun megtaláln a megoldást. Ha ugyans az (.37) egyenlet mndét oldalát balról formálsan megszorozzu J -vel, az nverz Jacob mátrxszal, a övetező összefüggést apju q& = J p&. (.47) A fent, látszólag egyszerű összefüggés azonban a övetező problémáat vet fel

21 . A J Jacob-mátrx függ a robot onfgurácójától. Mnden robot arnál találun olyan szngulárs onfgurácóat (pl: valamely artag teljesen nyújtott állapotban van), amor a robotar csupán öt szabadságfoú mozgás végzésére épes. Ilyen szngulárs esetben a Jacob-mátrx nem nvertálható.. Ha vzsgált eset nem szngulárs, aor az (.47) egyenlet matematalag hatod foú polnomhoz vezet, ezt a gyaorlatban a hatod foú egyenlet gyöene megeresését jelent. Egy hatod foú egyenlet gyöene meghatározására általános algebra módszer nem létez (nncs zárt alaú megoldó éplet), csa numerusan tudju özelíten. 3. Ha valamlyen specáls esetben találun s algebra megoldást, az sem lesz mndg egyértelmű, hanem általában véges so ( 3) ülönböző megoldást apun. A másodént említett probléma feloldására D.L. PIEPER adott 968-ban egy elégséges feltételt, amelyne teljesülése esetén az nverz nemata feladat algebra úton megoldható. Amely szernt, ha egy robot rendelez három olyan egymást övető rotácós csulóval, melye tengelye egy pontban metsz egymást, aor az nverz nemata feladatna létez algebra megoldása. Ez esetben ugyans az eredetleg hatod rendű probléma szeparálható (szétválasztható), azaz lebontható ét harmadrendű polnom gyöene megeresésére. Egy harmadfoú polnom gyöe pedg mndg meghatározhato algebra úton. A gyaorlatban alalmazott par robotoat általában úgy onstruáljá, hogy a három utolsó rotácós csuló tengelye egy pontban messe egymást (pl. a PUMA típusú roboto). Roboto stata jellemzése A roboto mechana szempontból történő leírásána övetező fontos eleme a stata jellemzés, amelyne során a nyugalomban lévő robotoban ébredő erőel és forgatónyomatéoal foglalozun. Ezt az ndoolja, hogy so esetben smernün ell, meora csulóerő lletve nyomatéo szüségese ahhoz, hogy a robot egy adott munadarabot nyugalm helyzetben meg tudjon tartan. A stata leírást a 4. ábra segítségével övethetjü nyomon.

22 A artago, csuló és oordnáta rendszere sorszámozása lletve ndexelése az eddg onvencóna megfelelő. Írju fel először a nyugalomban lévő -ed artagra az erő egyensúlyát fejező egyenletet! Legyen az -ed artag tömege m, jelöljü továbbá az -ed artag által az -ed artagra fejtett erőt f, -vel az -ed artag által az (+)-edre fejtett erőt pedg f, + -gyel. Eor a övetező egyenletet írhatju fel f f + m g =, ( =... n). (.48),,, + Ha a csulóban ébredő forgatónyomatéoat (az erő leírásához hasonló ndexelést alalmazva) N, -vel lletve N, + -gyel jelöljü, továbbá a 4. ábrán látható rányvetoroat fgyelembe vesszü, aor a forgatónyomatéo egyensúlyát az alább egyenlet fejez N N ( r + r ) f + ( r ) ( f ) =, ( =... n). (.49),, +,, C,, C, + Ha a szemelt -ed artag a legutolsó vagys az n-ed, aor s alalmazhatju a fent ét egyenletet, azzal a ötéssel, hogy a örnyezetet formálsan (n+)-ed artagént vesszü számításba. Az utolsó artag által a örnyezetre fejtett erőet és forgatónyomatéoat együttesen a továbbaban egy hatelemű F vetorral fejezzü, azaz fn, n+ F =. (.5) Nn, n+ Bevezetjü továbbá az ún. evvalens csulónyomatéo (angolul: equvalent jont torques) fogalmát. Az -ed csuló evvalens csulónyomatéa erő, vagy nyomaté dmenzójú leehet. Nagysága egyenlő anna az erőne vagy nyomaténa a nagyságával, amelyet az -ed csuló atuátora fejt a csulótengely rányában, lletve a tengely örül. Az egyes csulo evvalens csulónyomatéaból egy n (általában hat) elemű vetort épezhetün

23 [ τ τ τ ] T τ =. (.5)... n A τ vetor egyes eleme a orább jelöléseel a övetezőéppen fejezhető przmatus csuló esetén rotácós csuló esetén T τ, = b f. (.5) T τ, = b N. (.53) Keressün apcsolatot a (.5) egyenlettel defnált F és a (.5) egyenlettel defnált τ vetor özött! Állításun a övetező ahol J a orábbaban bevezetett Jacob-mátrx. T τ = J F, (.54) A bzonyításhoz a vrtuáls muna elvét fogju felhasználn. Ha a rendszer eredetleg egyensúlyban van, aor az egyensúlyhelyzetből az adott geometra ényszerene eleget tevő vrtuáls elmozdulásoal mozdítva a rendszeren végzett eredő muna zérus. Tegyü fel eze után, hogy a robotot valameora vrtuáls elmozdulásona vetjü alá, amt fejezhetün egyrészt a végpont másrészt a csulóoordnátá elmozdulás vetorával. δ xe δp = δφ, (.55) e [ q q q ] T δq = δ δ... δ n (.56) Valamenny erő és forgatónyomaté hatását fgyelembe véve a végzett vrtuáls muna a övetezőéppen írható fel, azaz amelyből továbbá T T... n n n, n+ e n, n+ e δw = τ δ q + + τ δ q f δ x N δφ, T T T T T T δw = τ δq F δp = τ δq F Jδq = ( τ F J) δq, δw T T = ( τ J F) δq. (.57) 3

24 A levezetés során fgyelembe vettü, hogy δ p = Jδ q. Mvel az (.57)-ben felírt δ W vrtuáls muna tetszőleges δ q vrtuáls elmozdulásra zérus ell, hogy legyen, ez csa aor teljesülhet, ha T τ J F =. (.58) A (.58) összefüggést átrendezve valóban a bzonyítan ívánt (.54) összefüggéshez jutun. A továbbaban tovább fejlesztjü eredet robotmodellünet. Mndeddg ugyans első özelítésént feltételeztü, hogy a robot artagja deáls merev teste, csuló és beavatozó szervez, azaz atuátora pedg otyogásmentese (holtjáté), továbbá feltételeztü azt s, hogy súrlódásmentese. E feltételezése egye sem ülön teljesül gazából a valóságos robotonál. Modellün pontosítása során elsőént a csulóban elhelyezett atuátoro orlátozott merevségéne hatását fogju fgyelembe venn. Szabályozástechna szempontból ugyans döntő jelentőségű, hogy ha valamely q csulóoordnáta az előírt értétől valameora értéel eltér, aor erre a szabályozóval ellátott atuátor egy megfelelő τ csulónyomaté változással reagáljon. Egyelőre lneárs özelítést fogun alalmazn, am az esete többségében elfogadható eredményt ad. Mnden egyes csulóra tehát egy alaú lneárs összefüggést írun fel, ahol értelmezhető. A tényezőből épezhetün egy q τ = q, (.59) tényező egyfajta rugóállandóént ( ) dag,,..., n K = (.6) dagonáls mátrxot, amelyet csulómerevség mátrxna nevezün. Most arra a érdésre eressü a választ, hogyan érvényesül az evvalens csulónyomatéo megváltozásána ( τ -na) a hatása a robot és a örnyezet özött ölcsönhatást fejező F vetor megváltozásában. Az (.54) összefüggés most értelemszerűen T τ = J F (.6) alaban lesz érvényes. Másfelől a (.59) és (.6) egyenlete alapján írhatju, hogy τ = K q, (.6) ha használju, továbbá a jól smert p = J q összefüggést. Ha a (.59) egyenlettel defnált együttható egye sem zérus (am műödésépes, szabályozott hajtásoal ellátott robotonál nyílván valóan fönnáll), aor a K dagonáls mátrx nvertálható. A (.59) - (.6) egyenlete felhasználásával végül s a övetező eredményt írhatju fel 4

25 p = C F, (.63) ahol T C = JK J (.64) a robot úgynevezett végpontra vonatoztatott engedéenység (angolul: complance) mátrxa. A C engedéenység mátrxról jegyezzü meg, hogy az K csulómerevség mátrxszal ellentétben általában nem dagonáls mátrx. Ez abból adód, hogy a robot egyetlen csulójána mozgása s a végpont több szabadságfoú mozgását eredményezhet. Roboto dnama jellemzése A orábban bemutatotta alapján jelenhető, hogy roboto nemata jellemzése során zárólag a robot mozgáso leírásána lehetőségere szorítoztun, a mozgást létrehozó oo fgyelmen ívül hagyásával. A robotmozgáso mechana jellemzése a jelen alfejezetben teljesed, amelyne során eljutun a robot rányítás legalapvetőbb egyenleténe felállításához és megsmeredün egy elterjedt és hatéony számítás algortmus elv alapjaval, mely algortmus számos robot rányítás feladat megvalósításaor gen eredményesen alalmazható. A robotmozgáso dnama tárgyalását egy tetszőlegesen megválasztott, -ed artag mozgásána vzsgálatával ezdjü, az 5. ábra segítségével, amely a negyed ábra némleg módosított változata. Elöljáróban megjegyezzü, hogy aárcsa a nemata feladato esetében beszélhetün dret és nverz dnama feladatról. Az előbbnél adott evvalens csuló nyomatéo esetén vzsgálju a robot mozgását, az utóbbnál azt eressü, hogy az általun megövetelt robotmozgás az evvalens csulónyomatéo mlyen értéevel valósítható meg. 5

26 A dnama egyenleteet először az ún. Newton Euler- formalzmus szernt fogju felírn. Ez az eljárás lényegében a Newton axómáon nyugvó mechana szemléletmódot övet. Jelöljü az 5. ábrán látható módon vc -vel az -ed artag tömegözéppontjána sebességvetorát és ω -vel a tömegözéppontja örül forgásána szögsebesség vetorát! Az 5. ábra összes több vetorána értelmezése megtalálható a 4. ábra leírásánál. Ha az -ed artagot gyorsuló vonatoztatás rendszerént fogju fel, aor az erőre vonatozó dnama egyenletet úgy nyerjü, hogy az (.48) egyenlet jobb oldalát egészítjü a m v& c tehetetlenség erővel (az dő szernt derváltaat a szoásona megfelelően, ahol csa lehetséges, az llető mennység betűjele fölé írt ponttal, lletve pontoal fogju jelöln) f f + m g m v& =. (.65),,, + c Kssé bonyolultabb úton juthatun el a forgatónyomatéora vonatozó egyenlet az ún. Newton-Euler-egyenlet felírásához. Ehhez mndeneelőtt defnálnun ell a robot artagjana tehetetlenség tenzorát. Tetszőleges merev test tenzora alatt a övetező 3 3-as vadratus mátrxot értjü I I I xx xy xz = I yx I yy I yz I, (.66) I zx I zy I zz ahol (( ) ( ) ) I xx = y yc + z zc ρdv, ( )( ) I xy = I yx = x xc y yc ρdv, (( ) ( ) ) I yy = z zc + x xc ρdv, ( )( ) I xz = I zx = z zc x xc ρdv, ( )( ) I yz = I zy = y yc z zc ρdv, (( ) ( ) ) I zz = z xc + y yc ρdv, ahol ρ a test anyagána sűrűsége;, és c c c x y z a test tömegözpontjána oordnátá ( abban a oordnátarendszerben, amelyben a tehetetlenség nyomatéot meg aarju határozn); x, y és z a test egyes anyag pontjana oordnátá (mnt futóoordnátá), dv pedg az elem térfogat, 6

27 mnt ntegrálás változó. Természetesen valamenny szereplő ntegrált a test teljes térfogatára ell terjeszten. Egy s térőént emléeztetün arra, hogy egy rögzített tengely örül forgó merevtest forgás tehetetlensége egyetlen állandó salárs adattal, az I tehetetlenség nyomatéal jellemezhető, továbbá ha a forgás ω -val jelölt szögsebessége nem állandó, a forgó mozgás fenntartásához szüséges N forgatónyomaté az alább egyenletből határozható meg N Iω& =. (.67) Bonyolultabbá aor vál a helyzet (így a robotmozgáso esetében s), ha a forgástengely, lletve forgáspont nem rögzített, hanem változó helyzetű. Ilyen esetben az (.67)-gyel felírt perdület tétel (mpulzusmomentum-tétel) csa olyan formában érvényes, ha a perdület teljes dő szernt derváltját épezzü, am a övetezőéppen írható fel d d dω ( Iω) = Iω + I = ω ( Iω) + Iω&. (.68) dt dt dt A fent összefüggés a mechana előtanulmányoból feltehetően smert, hogy ha egy forgó oordnátarendszerben felírt vetor dő szernt derváltját épezzü egy rögzített oordnátarendszerben, aor az így nyert dervált ét tagból fog álln. Eze özül az egynél a d / dt dfferencáloperátor szerepét lényegében a szögsebesség vetorral balról történő vetoráls szorzás ( ω... ) tölt be. Enny elősmeret brtoában felírhatju a forgatónyomatéora vonatozó dnama egyenletet N, N, + + r, c f, + r, c f, Iω & ω ( Iω ) =, ( =... n) (.69) A fent egyenletben magyarázatra lényegében csa a baloldal utolsó tagja szorul. Ez a tag nem más, mnt az előbbeben smertetett effetusoból adódó ún. groszopus nyomaté. A (.65) és (.69) egyenleteből álló Newton-Euler formalzmus rendelez mnd előnyös, mnd hátrányos tulajdonságoal. A módszer javára írható, hogy az egyenleteben szereplő tago mndegyéhez jól örülhatárolható, szemléletes fza jelentés rendelhető hozzá. Számítástechna szempontból tovább előny, hogy ezen egyenlete alapján vszonylag egyszerű az adott feladat algortmzálhatósága. Ugyanaor hátrányént ell elönyveln azt a tényt, hogy az egyenleteben szereplő v sebesség és ω szögsebesség vetoro nem alotna független rendszert, hszen valamenny artag mozgása hatást gyaorol az összes tovább artag mozgására. Az említett hátrány üszöbölésére a robotában s használatos az ún. Euler-Lagrange formalzmus, mely a Newton-Euler formalzmussal fzalag teljesen egyenértéű dnama leírást tesz lehetővé. 7

28 A orább tanulmányoból smert, hogy a Newton-Euler formalzmus a dnama problémá energeta megözelítésén alapul, és egyenleteben ún. általánosított erő és általánosított oordnátá, valamnt az utóbba dő szernt derváltja szerepelne. Mnd az általánosított erő, mnd az általánosított oordnátá független (nem csatolt) rendszert alotna, s lehetőség nyíl ún. zárt alaú dnama egyenlete felállítására. q Ha a Lagrange-formalzmust robotora ívánju alalmazn, általánosított oordnátána a csulóoordnátáat, általánosított erőne pedg a τ evvalens csulónyomatéoat választju, amhez egyes eseteben még egy járuléos tag hozzáadódhat. A járuléos tagot jelöljü τ% -vel. Ha egy adott állapotban lévő mechana rendszer, pl. robot teljes netus energáját T-vel, teljes potencáls energáját pedg U-val jelöljü, aor a rendszer Lagrange függvénye defnícószerűen (, & ) L q q = T U (.7) A robot mnden egyes szabadságfoára felírhatju, az alább alaú, gen tömör Lagrange-féle mozgásegyenletet ahol Q az -ed általánosított erő. d L L = Q, (.7) d t q& q Fejtsü eze után ssé részletesebben a fent egyenlet egyes tagjat! Az -ed artag netus energája T T T = m c c + v v ω Iω, (.7) ahol mnden szereplő mennység azonos jelentésű a orábban defnáltaal. A robot teljes netus energája tehát T n = T. (.73) = Az -ed artag netus energájára felírt (.7) összefüggés azonban az előbbe értelmében nem zárt alaú egyenlet, hszen az egyes vc - és ω - nem függetlene egymástól. Célun tehát most az, hogy a artago netus energájára (majd pedg potencáls energájura s) zárt alaú, a csulóoordnátáat lletve azo derváltjat tartalmazó összefüggéseet nyerjü. A orább (.39) és (.43) egyenleteel megteremtettü anna lehetőségét, hogy a végpont sebességéne lletve szögsebességéne vetorát az egyes csulósebességeel fejezzü, felhasználva a (.38) szernt szétbontott Jacob-mátrxot. 8

29 Semm aadálya nncs anna, hogy hasonló összefüggéseet írjun fel bármely -ed artag v c sebesség- lletve ω szögsebesség vetorára. Természetesen n ( < 6) esetben az -ed artag mozgását csa az azt megelőző csuló mozgása befolyásolja, így az -ed artagg bezárólag ( < n) értelmezett Jacob-mátrx amt a továbbaban ( ) J -vel jelölün mndenéppen eltér az (.38) szernttől annyban, hogy az utolsó (n+) darab oszlopvetora nullvetor lesz, vagys ( ) ( ) ( ) JL... J... L J =. (.74) ( ) ( ) J A... J A... Az (.39) és (.43) egyenlete analógájára most már felírhatju, hogy valamnt c ( ) ( ) L q& L q& v = J + K + J, (.75) ( ) ( ) = A q + + J A ω J &... q &. (.76) Továbbá a (.75) és a (.76) egyenleteet megadhatju ennél tömörebb alaban s c ( ) L v = J q& és ( ) A ω = J q. (.77) A ( ) J mátrx egyes elemere felírhatju továbbá J ( ) Lj b = b j r j o, c ( P típusú csulóra) ( R típusú csulóra), ( j < ), (.78) lletve J ( ) Aj ( P típusú csulóra) = b j ( R típusú csulóra) ( j < ). (.79) Megjegyezzü, hogy a b j vetor a (j-)-ed csulótengely poztív rányba mutató egységvetor; az r o, c vetor értelmezését. Felhasználva az (.7) (.79) összefüggéseet, a robot teljes netus energájára az alább fejezés apju ahol ( ) T T ( ) ( ) ( ) ( ) L L A A n T q J J q T q J I q T q Hq = T = m & & + J & = & &, (.8) 9

30 n = ( ) T T ( ) ( ) ( ) ( ) m L L L A H = J J + J I J (.8) a robot egészéne tehetetlenség nyomaté tenzora, mely az egyes artago I tehetetlenség nyomaté tenzorahoz hasonlóan ugyancsa onfgurácófüggőe. Ha Hj -vel jelöljü a H mátrx [, j] -ed elmélet. Aor az (.8) egyenletet átírhatju a övetező alaba T n n = Hjqq j & &. (.8) = j= Egy cst egyszerűbb dolgun van, ha a robot potencáls energáját aarju fejezn, ez ugyans egyszerűbben alaban írható U n = m g r (.83) = T o, c Továbbaban azt a érdést vzsgálju meg, mor azonosíthatju az általánosított erőet az evvalens csuló nyomatéoal, és mor ell az utóbbaat még egy, a orábbaban már említett járuléos taggal egészíten. A válasz az, hogy ha a robot végpontja a örnyezettel ölcsönhatásban van és a örnyezettet F e erővel ( F e hatelemű, erőet és nyomatéoat s magában foglaló vetor) hat a robot végpontjára, aor állításun szernt az általánosított erő alaban fejezhető. T Q = τ + J F (.84) Állításunat smét a vrtuáls muna elvéne felhasználásával bzonyítju be. Fejtsü, ugyans az atuátoro τ evvalens csulónyomatéoat, a örnyezet pedg F e erőhatást, s tegyü fel, hogy a robot nyugalomban van! Eor bármely vrtuáls elmozdulás a csulóoordnátá térben δq -val, a végpont vlágoordnátában δp -vel jelölhető. A végzett vrtuáls muna T T T T e ( e ) e δw = τ δ q + F δ p = τ + J F δ q. (.85) Másfelől a vrtuáls muna az általánosított erő és a csulóoordnátában fejezett vrtuáls elmozduláso szorzatána összegével egyenlő δw T = Q δq. (.86) Az (.85) és (.86) egyenlete jobb oldalána összevetésével az (.84) állítás, bzonyítást nyert. 3

31 Most már mnden szüséges részeredmény (a tejesség génye nélül, a robot teljes netus és teljes potencáls energájána fejezése) rendelezésünre áll ahhoz, hogy felírhassu a robot Euler-Lagrange-féle dnama egyenletét. Az (.8) alapján az (.7) egyenlet első tagja a övetezőéppen írható fel A j d T d H dt q& d t dt n n n d j = Hjq j = Hjq j + q j & && & j= j= j=. (.87) H eleme a q, K, qn csulóoordnátá függvénye, ezért dő szernt derváltju a övetezőéppen s számítható d H n H n d q H = = dt q dt q j j j q &. (.88) = = Am a robot potencáls energáját llet, az a csulósebességetől független, vagys értelemszerűen δu δ q&, (... n) =. (.89) Az (.7) egyenlet másod tagjában a netus és a potencáls energa csulóoordnátá szernt parcáls derváltja jelenne meg, és pedg lletve n n n n T H j = H jq jq = q jq q q & & & &, (.9) j= = j= = q r G m g m g J, (.9) n n U T o, cj T ( ) = = j = j L q j= q j= mvel az r o, cj helyvetor q szernt parcáls derváltja önnyen belátható módon az (.74)-gyel defnált ( ) J Jacob-mátrx ( ) L J oszlopvetorával egyenlő. Az (.87) (.9) egyenleteet (.7)-ba helyettesítve végül s a övetező egyenletet apju n n n && & & (... n) H q + h q q + G = Q j j j j j= j= = =, (.9) ahol h j Hj = q H q j. (.93) 3

32 Az egész eddg tananyag legfontosabb eredményéne az (.9) egyenletet tenthetjü, amt joggal nevezhetün a robotrányítás alapegyenleténe s. Az egyenlet egyenes tagjahoz a övetező fza jelentést rendelhetjü hozzá: a) a baloldal első tagja tartalmazza a artag lneárs gyorsulásához szüséges erőt, lletve szöggyorsuláshoz szüséges forgatónyomatéot. b) j = esetben a baloldal másod tagja fejez a artag forgásaor fellépő centrfugáls erőt c) j esetben a baloldal másod tagja azt a Corols-erőt fejez, amely aor lép fel, ha valamely artag egy más artaghoz rögzített forgó oordnátarendszerhez épest haladó mozgást végez. d) a baloldal harmad tagja a artago saját súlyát, lletve az azoból adódó forgatónyomatéoat reprezentálja. Az ábra felső részén látható téglalap az rányítóegységgel (esetleg számítógéppel) összeapcsolt robotot, mnt omplex rendszert jelépez. Enne bemenő jelet a τ ( t ), K, τ ( t ) mennysége, vagys az evvalens csulónyomatéo dőfüggvénye alotjá, míg a menete csulóoordnátá q ( t ), K, q ( t ) dőfüggvénye. Az alsó téglalap ugyanazt a n rendszert jelépez, mnt a felső, azonban a - és bemenete szerepet cserélte. Az nverz dnama feladat megoldását tehát a övetezőéppen s megfogalmazhatju. A robot használatána célja többnyre az, hogy a végpont (a robotéz) egy általun megívánt, az elvégzendő feladat által meghatározott térbel mozgást valósítson meg. Ennél fogva bemenőjelént az egyes csulóoordnátá q ( t ) dőfüggvényet írhatju fel. Az rányítórendszer (számítógép) feladata lényegében az egyes evvalens csulónyomatéo τ ( t) dőfüggvényene előállítása, vagys az egyes τ értée dőpllanatról dőpllanatra történő számítása. n 3

33 Az nverz dnama feladat megoldása általában so számítástechna nehézséget rejt magában. Mnt láttu, az Euler-Lagrange-féle dnama egyenlete (.9) szernt alaja rendívül tömör, ompat módon írja le a robotmozgáso dnamáját. Ha azonban valósdejű (angolul: real-tme) számítógépes robotrányítást ívánun megvalósítan, az Euler-Lagrange formalzmus alalmazása meglehetősen előnytelen, tentettel arra, hogy az Euler-Lagrange-egyenletere alapozott algortmuso számításgénye gen nagy. Ez esetben egy-egy feladat megvalósításához elvégzendő artmeta művelete száma nagyjából a szabadságfoo számána harmad-negyed hatványával arányos. Ezért jóval célszerűbb a Newton-Euler formalzmuson alapuló algortmuso alalmazása, ahol a számításgény csupán a szabadságfoo számána első hatványával arányos. A 7. ábra egy Newton-Euler formalzmuson alapuló reurzív algortmust szemléltet, am tulajdonéppen a dret nemata és az nverz dnama feladat ombnácójána tenthető. 33

34 Az eljárás abból ndul, hogy (mnt teljesítendő övetelményt) smerjü, valamenny csulóoordnáta q ( t ) dőfüggvényét, így azo dő szernt első és másod derváltját s q& ( t) és a q&& ( t) függvényne meghatározható, tehát smertne feltételezhető. Az eljárás első részében rendre meghatározzu az (.75), (.76) és (.77) egyenleteben szereplő neta változóat. Például első lépésént q, q& és q&& smeretében meghatározzu az első artagra jellemző vc, ω, v& c = ac ésω&, és így tovább. Az eljárás ezen első fázsát mndg folytatju, míg el nem jutun az utolsó artag neta jellemzőne értéeg. Ezután erül sor az algortmus dnama részéne megvalósítására. Az (.65) egyenletet = n helyettesítéssel a övetező alara hozhatju ahol f = f m g + m a, (.94) n, n n, n+ n n cn a = v&. (.95) cn Az eljárás reurzív jellege most már vlágosan látható, hszen az (.94)-hez teljesen hasonló módon megaphatju fn, n -t ugyans smerjü fn, n, mn és a c, n értéét. A reurzív eljárás dnama szaaszát tehát most a forgatónyomatéot fgyelembe vevő Newton-Euler-egyenleteet s felírva a övetező egyenleteel jellemezhetjü. cn f = f m g + m a, (.96),, + c ( ) N = N r f + r f + Iω& + ω& Iω. (.97),, +, c, +, c, A jelen fejezet befejezéseént egy onrét, jól bevált számítás algortmust fogun smertetn, enne előészítéseént azonban meg ell smerednün néhány olyan jelenséggel, melye aor lépne fel, ha valamlyen mozgást ét, egymáshoz épest forgó mozgást végző oordnátarendszerben s le aarun írn. 34

35 Vegyü fel a 8. ábra szernt egy, a örnyezethez épest nyugalomban lévő { O; x, y, z } vlág-oordnátarendszert, valamnt egy, az előbbhez épest ω szögsebességgel puszta forgó mozgást végző { O; x, y, z } oordnátarendszert! Tentsün egy, az { O; x, y, z } vonatozás rendszerhez épest nyugvó (ezáltal a vlág-oordnátarendszerből szemlélve ugyancsa ω szögsebességgel forgó) tetszőleges s vetort! Keressü ezen s vetor dő szernt derváltját a vlág-oordnátarendszerben! Egy rövd t dőntervallumban az s vetor az { O; x, y, z } oordnátarendszer szöggel fordul el. ϑ = ω t (.98) Ha a 8. ábrán látható AOC szöget ϕ -vel jelöljü, aor az s vetor megváltozásána nagysága az ábra alapján ( ) sn ( ) AB = AC ϑ = AO sn ϕ ω t = s ω ϕ t. (.99) Az AB ur vetor merőleges mnd a forgástengelyre, mnd az s vetorra, ennél fogva párhuzamos az ω s vetorral. A t O határátmenetet épezve ezért mondhatju, hogy az s vetor dő szernt derváltja a vlág-oordnátarendszerből szemlélve ds dt fx = ω s. (.) A 9. ábrán három oordnátarendszert láthatun, melyeet egy épzeletbel robot nullad, -ed lletve (+)-ed artagjához rögzítettne feltételezün. 35

36 Az ábra alapján írhatju r = r + r (.) o, + o,, + Célun az, hogy az (.) egyenlet jobb oldalána dő szernt derváltját előállítsu (vlágoordnátában), feltételezve, hogy az { O ; x, y, z } oordnátarendszer ω szögsebességgel forog az { O ; x, y, z} -hoz épest. A (.) egyenlet mndét oldalána dő szernt derváltját épezve Az o, + dr dr d r = + dt dt dt o, + o,, + fx fx. (.) r és r o, vetoro ezdőpontja a vlág-oordnátarendszer O orgója; jelöljü eze dő szernt derváltjat v+ -gyel lletve v -vel. Az r, + vetor ellenben az -ed oordnátarendszer orgóját öt össze, ezért a vlág-oordnátarendszerben értelmezett dőderváltját nem épezhetjü a fent egyszerű módon. Jelöljü n -nel, t -vel és b -vel rendre azoat az egységvetoroat, amelye az adott dőpllanatban az -ed oordnátarendszer x, y lletve z tengelyene poztív rányába mutatna! Jelölje x, y, és z az r, + vetorna a forgó oordnátarendszerben vett omponenset! Eor a övetező összefüggést írhatju fel az O + pont d r, + d d x d y d z d d d [ x y z ] n t b = n + t + b = n + t + b + x + y + z. (.3) dt d t dt dt dt d t d t dt fx O -hez épest mozgásából adódó sebességre vezessü be a övetező jelölést dr, + d x d y d z = n + t + b, (.4) d t dt dt dt rel 36

37 ahol a rel rövdítés a relatív szóra utal. A (.3) egyenlet jobb oldalán a zárójele özé tett másod három tag a forgó oordnátarendszer forgásából származó sebességént értelmezhető. Mvel az n, t és b vetoro a forgó oordnátarendszerrel együtt forogna, a vlágoordnátá szernt értelmezett dőderváltju, a (.) összefüggés alapján számítható. Így a (.) egyenlet, valamnt a (.) (.4) egyenlete fgyelembevételével a övetező összefüggésre juthatun dr v v ω r. (.5), + + = + +, + dt rel A fent eredmény általánosításaént megállapíthatju, hogy a rögzített és mozgó (forgó) oordnátarendszereben érvényes dfferencáloperátoro özött formálsan a övetező apcsolat áll fenn d dt fx = d dt + ω (.6) rel Képezhetjü eze után az r o, + vetor másod derváltját s a (.6) dfferencáloperátor smételt alalmazásával d v+ d v d dr, + dω d r, + = + + r, + + ω (.7) dt fx d t fx dt fx dt dt rel fx d t fx A fent egyenlet bal oldala az (+)-ed, jobb oldalána első tagja pedg az -ed artag vlágoordnátában értelmezett lneárs gyorsulása; jelöljü ezeet rendre a + lletve a. Eor ném átalaítással a (.7) egyenletet a övetező formába írhatju át d r, + d r, + + = + +, + + +, + dt dt rel rel ( ) a a ω& r ω ω ω r, (.8) amely tehát magában foglalja az (+)-ed artag valamenny (lneárs, Corols és centrfugáls) gyorsulás összetevőjét. Luh-Waler-Paul algortmus A mechana alapoat összefoglalása után megsmeredün az ún. Luh-Waler-Paul-féle algortmussal, amely egy 986-ban adott amera szaönyv szernt (aorban) a leghatéonyabbna számított a robotdnama feladato megoldása során. Az algortmus első részeént reurzív nemata összefüggéseet fogun felírn, amelye ülönböző alaúa leszne attól függően, hogy a vzsgált csuló przmatus (P), vagy rotácós (R). 37

38 Eszernt, ha az (+)-ed csuló przmatus, aor az (+)-ed artag szögsebessége lletve szöggyorsulása ω ω, (.9) + = + = ω& ω&. (.) Ha ellenben az (+)-ed csuló rotácós, aor az (+)-ed artag szögsebessége lletve szöggyorsulása + + ω = ω + q& b, (.) ω& = ω& + q&& b + ω q& b. (.) + + A lneárs sebessége és gyorsuláso przmatus csuló esetén dr d, + dt d r rel, + t rel = &, (.3) q + b = &&. (.4) q + b Ha (.3) és (.4) egyenleteet vsszahelyettesítjü a (.5) lletve a (.8) egyenletebe a övetező összefüggéseet apju v = v + q& b + ω r, (.5) + +, + ( ) a = a + q&& b + ω& r + ω q& b + ω ω r. (.6) + +, + +, + Az ezene megfelelő összefüggése rotácós csuló esetén a övetező alaban leszne érvényese d d r, + t rel dr, + dt lletőleg a szüséges helyettesítése elvégzése után rel = &, (.7) q + b r, + = q&& b r + q& b ( q& b r ). (.8) +, + + +, + v = v + ω r, (.9) + +, + ( ) a = a + ω& r + ω ω r. (.) + +, + + +, + 38

39 Ezzel az algortmus nemata részét lletően mnden szüséges összefüggés rendelezésünre áll. Melőtt rátérnén a dnama szaasz smertetésére, ném fgyelmet ell, hogy szenteljün anna a örülményne, hogy a Newton-Euler egyenleteben szereplő változó mnd tömegözéppontra vonatozó mennységeel, ezzel szemben a jelen algortmus csulóra vonatozó mennységeel számol. A ét ülönböző reprezentácó özött apcsolatot az alább egyenlete adjá meg Az egyenlete értelmezését a. ábra segít. v = v + ω r, (.) c, c v& = v& + ω& r + ω ( ω r ). (.) c, c, c Tsztázásra szorul még az a érdés, hogyan módosul a (.69) egyenletben szereplő Iω perdület (mpulzusmomentum), ha azt nem tömegözéppontra vonatoztatju. Mnt smeretes, mnden artag I tehetetlenség tenzora a artag orentácójától függő mennység. o Jelöljü R -val azt a 3 3-as rotácós mátrxot, amely az -ed artag oordnátarendszeréből a vlág-oordnátarendszerbe történő transzformálását valósítja meg, jelöljü továbbá az -ed artag saját oordnátarendszeréne orgóján (tehát nem a tömegözéppontjára) értelmezett tehetetlenség tenzorát I -sal. Energeta megfontolásoal (a forgásból adódó netus energá elemzésével) belátható, hogy a tehetetlenség tenzor ét fajta reprezentácója özött az alább összefüggés érvényes ( ) T = o o I R I R. (.3) Most már valóban mnden összefüggés rendelezésünre áll ahhoz, hogy a Luh-Waler-Paul-algortmust teljes egészében átlássu. 39

40 Equaton Chapter Secton Robotmechanzmuso II. Rész Szabó Zsolt Kovács László Stépán Gábor Budapest, 4 4

41 Tartalomjegyzé Tartalomjegyzé... 4 A mozgásvzsgálat eleme Az anyag pont mozgása Anyag pont nematája Az anyag pont mozgásegyenlete Erőtere, onzervatív erőtér, potencáls energa Centráls erő, felület tétel Kényszerített mozgáso Az elsőfajú Lagrange-féle egyenlete Időtől függő ényszerfeltétele Nem deáls ényszere Anyag pont egyensúlya A vrtuáls muna elve A d'alembert-elv Mozgó vonatoztatás rendszere Merev teste nemata egyenlete A dnama alapegyenlete mozgó vonatoztatás rendszerben... 5 Merev test rendszere dnamája A mozgásegyenlete szntetus leírása Anyag pontrendszer dnama alapegyenlete Merev teste dnama egyenlete Elsőfajú Lagrange-egyenlete Holonom rendszere analtus leírása Általános oordnátá Vrtuáls sebesség A másodfajú Lagrange-egyenlete A netus energa függése az általános oordnátától A mozgásegyenlete potencálos erő esetén A mechana összenerga változása Nem potencálos általános erő Az általános potencál A Hamlton-féle anonus mozgásegyenlete

42 .. Routh-egyenlete Mozgáso jellemzése és stabltása Egy szabadság foú csllapított rezgése Szabad rezgése Gerjesztett rezgése Mechana rendszere egyensúlya Vrtuáls teljesítmény elve Dnamus egyensúly Stabltás alapfogalma Holonom szleronom rendszere s mozgása A mátrx dfferencálegyenlet Csllapítatlan rezgése Stabltás A saját-örfrevencá becslés módszere Mechanzmuso vzsgálat módszere Szerezet vzsgálat Knemata pár, szabadság fo Mechanzmuso csoportra bontása Roboto nemata és dnama alapegyenlete Geometra összefüggése Homogén transzformácó Knemata alapegyenlete A robot Jacob-mátrxa Dnama egyenlete Anholonom rendszere mozgásegyenlete Routh Voss-egyenlete Appell Gbbs-egyenlete Merev test mozgásegyenlete

43 A mozgásvzsgálat eleme. Az anyag pont mozgása.. Anyag pont nematája A háromdmenzós térben mozgó anyag pont mndenor helyzetét három salárfüggvénnyel adhatju meg, melyeet a pont oordnátána nevezün. Derészögű Descartes-féle oordnátarendszerben (DDKR) eze az x( t ), y( t ) és z( t ) függvénye. Ezeel megadható az anyag pont dőtől függő helyvetora, mozgásána törvénye: x( t) r = r ( t) ( ) y t (.) z( t) A helyvetoro végpontjat összeötve apju meg az anyag pont mozgásána pályáját. Az anyag pont sebességvetora, mnt a helyvetor változás gyorsasága, megegyez a helyvetor dő szernt derváltjával: dr v( t) = r & (.) dt A derválás természetéből adódóan ez érntőleges a pályára az adott pllanatban: v( t) v( t) e ( t), (.3) = t ahol v a sebesség vetor nagysága, az ún. pályasebesség és e t a pálya érntőegységvetora. A v pályasebesség dő szernt ntegrálásával apju az anyag pont által megtett utat vagy pályabefutás törvényét: t = s( t) v( τ )d τ. (.4) t A sebességvetor dő szernt derváltja az a gyorsulásvetor, amely felbontható egy pálya ment a t tangencáls gyorsulásra és egy pályára merőleges a n normáls gyorsulásra: det v a( t) = v& v& e + & t v ve +, d { t e n (.5) t { ρ ahol a ( ) = & t t v az ún. pályagyorsulás, ρ a pályagörbe görbület sugara az adott pontban és e n a főnormáls rányú egységvetor. Tehát a tangencáls gyorsulás a sebességvetor nagyságána változását adja meg, míg a normáls gyorsulás omponens a sebességvetor rányána változásával van összefüggésben. at ( t) an ( t) 43

44 Példa Anyag pont mozgása csavarvonalon: R cosϕ Rω snωt Rω cosωt r( t) = sn ( ) = cos R ϕ v t Rω ωt a ( t) = Rω snωt cϕ = t cω ϕ ω a v = a a n, v ω R + c a t =, s( t) = ( s + ) vt... Az anyag pont mozgásegyenlete Dnama alapfogalma (emléeztető): merev test, vonatoztatás rendszer, oordnáta rendszer, szabadság fo. Newton axómá: nercarendszer, dnama alaptörvénye, acóreacó elve, (erőösszeg). A dnama alaptörvénye Ismerjü az m pontszerű tömegre, anyag pontra ható erő eredőjét, az F = F( r, r &, t) (.6) vetorfüggvényt (egy nercarendszerben). Meghatározandó az anyag pont r = r ( t) mozgástörvénye. Megoldás a m && r = F (.7) dnama alapegyenlet segítségével: másodrendű vetor dfferencálegyenlet ntegrálása. Az (.7) egyenlet három vetület omponense adja meg az anyag pont mozgásegyenletet. Az általános megoldás 6 ntegrálás állandót tartalmaz, melyeet a ezdet (ndítás) feltétele határozna meg. Bzonyos eseteben felírható a mozgásegyenlete egy vagy több első ntegrálja, egy f ( r, r &, t) = const. alaú, elsőrendű dfferencálegyenlet. Elem muna, munatétel, teljesítménytétel Az (.7) egyenletet &r -tal megszorozva a övetezőt apju: mr &&& r = F r &, d ahol m&&& r r mr & T& az anyag pont netus energájána dő szernt derváltja, dt P = F r & pedg az anyag pontra ható F erő teljesítménye, azaz a teljesítménytétel: Ezt az dő szernt ntegrálva apju a munatételt: T & = P. (.8) 44

45 t t d dt mv t T = d d F d r, azaz T T = W, (.9) ahol Fr & d t F dr Fds cosα az F erő ún. elem munája. A muna tehát az erő út szernt ntegrálja (PONCELET, 89), amely általában a ezdő és végpontoon túl függ az ezeet összeötő görbétől s. Több erő munája algebralag adód össze, az erő vetor összeadásából övetezően...3 Erőtere, onzervatív erőtér, potencáls energa Specáls esetben: F = F( r, t) vetortér. Az dőben állandó F( r ) erőteret onzervatív erőtérne hívju, ha van olyan U( r ) salárs függvény potencál, vagy potencáls energa (LAGRANGE, ), amelyne negatív gradense az erő: F = gr adu U U. r (.) Konzervatív erőtérben bármely zárt görbe mentén végzett muna zérus, azaz a végzett muna független az úttól, és egyenlő a ezdő- és végpontoban felvett potencálértée ülönbségével: W = Fdr d U U U. (.) Konzervatív erőtérben az elem muna teljes dfferencál. A potencálos erőtér örvénymentes (rotácója zérus): rotf F =. A U( r ) = const. egyenlettel meghatározott felületet evpotencáls felület (nívófelület). A potencálos erő mndg merőleges a nívófelületre. Példá: Föld nehézség erőtér: U ( z) = mgz. γ Gravtácós erőtér: U ( r) = Mm. r Lneárs rugó potencálja: U ( x) = sx, (ahol x az s merevségű rugó deformácója). A T + U (teljes) mechana energa megmaradásána tétele. Konzervatív erőtérben a munatétel: T T = ( U U ), azaz T + U = T + U = const., (.) tehát a mozgásegyenlete egy első ntegrálja. az F( r, t) erőtér potencálos, ha V ( r, t) potencálfüggvény, melyre F( r, t) = V ( r, t). 45

46 Nem-onzervatív erő: az F erő függ az dőtől, vagy az anyag pont sebességétől, vagy nem örvénymentes erőtérhez tartoz...4 Centráls erő, felület tétel Azt az anyag pontra ható erőt, melyne hatásvonala mndg a vonatoztatás rendszer egy rögzített pontján (legyen ez az O orgó) megy eresztül centráls erőne nevezzü ( Fr ). Ilyen például az egyenletes örmozgást vagy ellptus rezgést létrehozó erő, de a gravtácós erő s. Szorozzu meg az (.7) egyenletet vetorálsan r -ral: a párhuzamosság matt, másrészt mr && r = F r (.3) d ( r& r ) && r r + r{ & r& && r r =, azaz &r r = c (onstans vetor), (.4) d t ahol &r r a ráduszvetor által az dőegység alatt súrolt terület étszerese. Tehát bármlyen centráls erő hatása esetén az anyag pont felület sebessége állandó, azaz a pálya sígörbe, és a ráduszvetor egyenlő dőözö alatt egyenlő területet súrol (Kepler másod törvénye). Az (.4) egyenletben a három ntegrálás állandó által alotott c vetor a pálya síjána normálsána rányát valamnt a felület sebesség nagyságát rögzít. Ez utóbb a pálya síjában felvett polároordnátáal: tehát x r cosϕ x& r& cosϕ r& ϕ snϕ = = = + sn sn + cos & y r ϕ y& r& ϕ r& ϕ ϕ. Kényszerített mozgáso & ϕ, v r r, c r& r r & ϕ = const. v = r& +. r Ha az anyag pont mozgását előírt geometra feltétele orlátozzá, ényszermozgásról beszélün. A ényszerfeltétele általában egy adott, merevne tenthető és nyugvó felületen vagy görbén történő mozgást írna elő a felület lletve görbe egyenletene formájában: felület: f ( r) =, görbe: f ( r) =, f ( r) =. A felületen való áthatolást, lletve az attól való elválást rendszernt egy felületre merőleges (deáls) K ényszererő gátolja meg: mr && = F + K. (.5) 46

47 Nyugalomban levő anyag pont esetén a K ényszererő az anyag pontra ható F atív vagy szabaderő felületre merőleges F n összetevőjéne ellentetjével egyenlő: K = F n... Az elsőfajú Lagrange-féle egyenlete A K ényszererő tehát a felület lletve a görbe gradensene lneárs ombnácójaént s előállítható: f K = λ, r lletve (.6) f f K = λ + λ r r. (.7) Ezeel apju az elsőfajú Lagrange-féle mozgásegyenleteet: az (.5) mozgásegyenletben 4 (lletve 5) salár smeretlen (függvény) lesz ( x( t), y( t), z( t ) és λ ( t) lletve λ ( t) és λ ( t) ), de a megoldáshoz szüséges egyenletet lletve egyenleteet éppen a geometra ényszer, az előírt felület (lletve görbe) egyenlete szolgáltatjá: 47 m&& r = F + λ f, (.8) f ( r ) =. Az (deáls) ényszererő munája nyugvó felület vagy görbe esetén zérus, hszen az elmozdulás a felület vagy görbe mentén, érntőlegesen történ, azaz a ényszererőre merőlegesen. A muna számításánál elegendő a szabaderőet fgyelembe venn, és így érvényes az energamegmaradás tétele (ld. szabadon eső anyag pont, vagy tetszőleges görbe mentén mozgó anyag pont). Példá:. Mozgás lejtőn: lejtő rányú oordnátáal ζ =, m&& r = G + λe. Megoldás: λ a normáls rányú ényszererő nagysága, && η = g sn α. A mozgástörvény: ξ ( t) = ξ + & ξ t, η( t) = η + & ηt + g sn α t.. Mozgás csavarvonalon: a z tengelyű csavarvonal paraméteres egyenlete R cosϕ r = sn R ϕ, cϕ amből a görbe egyenlete ϕ = z / c behelyettesítéssel: a mozgásegyenlet pedg: z z x R cos =, y R sn =, c c ζ

48 m&& r G λ λ. R z R z λ sn λ cos c c c c = +.. Időtől függő ényszerfeltétele Mozgó felület (vagy görbe) esetén f ( r, t) =, vagy az dő szernt dfferencálva: f f r& + =. r t (.9) Vszont elépzelhető f ( r, t) = alara nem hozható, nem ntegrálható, ún. nemata ényszerfeltétel s, f% ( r, r &, t) =, mely so esetben az (.9) egyenlethez hasonlóan lneárs függvénye az &r sebességvetorna: Ez alapján a ényszere az alábba szernt csoportosítható:. holonom, szeloronom: f ( r ) =. holonom, reonom: f ( r, t) =,, f % f % f % 3 r & + f % =. (.) 3. anholonom, szleronom: f% ( r) x& + f% ( r) y& + f% 3( r) z& + f% ( r ) = 4. anholonom, reonom: f% f% (, t) =,,,3 r, ( ) 5. egyéb (pl. egyenlőtlenségeel megadott ényszerfeltétele, ld. fonálnga) A szabadság foo számát mnden ényszeregyenlet eggyel csöent, azonban az anholonom ényszerfeltétele a ezdet onfgurácós teret nem orlátozzá, csa az (nduló) lehetséges pályáat...3 Nem deáls ényszere A csúszás súrlódásra vonatozó tapasztalat törvény (COULOMB, ): az érntező felülete özött fellépő súrlódás erő S = µ N v, (.) v ahol µ a csúszás súrlódás együttható, N = λ grad f a felülete özött ébredő nyomóerő, v pedg anna a testne (érntezés pontjána) a sebessége, amelyre S hat (gátolja a test mozgását). A súrlódás erőne ez a formája hbrd jelleget mutat, u. egy olyan fza törvényszerűséget taar, amely az N ényszererőtől függ és így nylván nem tenthető egyértelműen szabad erőne. 48

49 Ezzel szemben nyugalm vagy tapadás súrlódásor, azaz amor a sí felületen nyugvó test a rá ható érntőleges F t húzóerő hatására mndaddg nyugalomban marad, míg a felületen ébredő meg..3 Anyag pont egyensúlya Ft µ N (.) S = F t erőomponens valód ényszererő, amt az F t szabaderő határoz Anyag pont egyensúlya alatt anna tartós nyugalm állapotát (vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását) értjü, azaz amor a gyorsulása zérus: &&r =. Így az (.8) egyenlet alapján: f F + K F + λ =, r (.3) azaz egyensúlyban levő anyag pontra ható szabad- és ényszererő eredője zérus ( egyensúlyban vanna ). Példa Anyag pont egyensúly helye egy gömbfelszínen ( r R =, = G + λr )..3. A vrtuáls muna elve Tentsü a szabad anyag pontot, mely egyensúlyban van: F =. Vegyü enne egy lehetséges s, dő nélül, épzelt elmozdulását. Ezt az elgondolt δ r elmozdulást vrtuáls elmozdulásna nevezzü, mely végtelen rövd dő alatt megy végbe ( δ t = ). Így tehát az egyensúlyban levő szabad anyag pontra ható erő vrtuáls munája zérus: F δr =, δ r F =. (.4) Ez a megfogalmazás ényszerere s általánosítható, amennyben ezentúl a δ r vrtuáls elmozduláson a ényszerfeltétele által megengedett elmozdulást értün ( f δr =, ), eor ugyans az deáls K = λ f ényszererő vrtuáls munája s zérus ( K δr = ), és így f F + λ = r f F δr =, δr : δr =,. r (.5) A jobbról balra rány gazolása a Lagrange-féle multplátor módszer alalmazásával történhet, a többváltozós függvénye szélsőértéene melléfeltétele esetén való számításához hasonló módon: f F δ r + λ δ r =, r 49

50 .3. A d'alembert-elv A mozgásegyenlete szabad és ényszermozgáso esetén s összefoglalható a vrtuáls muna elvéhez hasonló alaban, amennyben D'ALEMBERT nyomán az mr && ellentettjét mnt olyan nercáls erőt tentjü, amellyel az &&r gyorsulású anyag pont egyensúlyban van: ( F m&& r) δr =, δ r : f δr =,, (.6) deáls ényszere és a ényszerfeltételeet elégítő δ r vrtuáls elmozdulás esetén. Példa Anyag pont mozgása gömbfelületen. Mozgás előírt görbén. Ebben az esetben az m&& r = F + K, vagy F + K m&& r = dnama alapegyenletet célszerű felbontan a görbe t érntő rányú, n főnormáls rányú és b bnormáls rányú összetevőne rányába F ma =, a = v&, t t t v Fn + Kn man =, an =, ρ F + K b b =, ahol a t a sebesség nagyságát megváltoztató gyorsulás, a (harmad) egyenlet a szabaderő és ényszererő bnormáls rányú összetevőne egyensúlyát fejez, míg a n a v sebességű anyag pont ρ görbület sugarú pályán való mozgásához szüséges gyorsulás (centrpetáls gyorsulás), az ezt bztosító erő eredője pedg a centrpetáls erő. Amennyben a ma tagot látszólagos, ún. tehetetlenség erőént fogju fel, amely az anyag pont normáls rányú látszólagos egyensúlyát bztosítja, aor ezt a tagot centrfugáls erőne nevezzü..4 Mozgó vonatoztatás rendszere.4. Merev teste nemata egyenlete Egy merev test ét tetszőleges, A és B pontja özött távolság állandó: n d dt AB = AB AB = AB AB AB = AB r áll. r& r r& r : r& ω r, (.7) azaz r & AB merőleges rab -re, mégpedg rányána változását az ω szögsebesség vetorral adhatju meg. Így az A és B ponto sebessége: d dt rb = ra + r AB vb = v A + ω r AB. (.8) 5

51 Ez a merev test tetszőleges ét pontjána sebessége özött összefüggést leíró ún. reducós éplet, am a merev teste statájában tanult, egy F erő A lletve B pontora számított nyomatéa özött fennálló reducós formulával analóg: MB = M A + rba F. (.9) Ez azt jelent, hogy a merev test tetszőleges pontjána sebességéne megadásához elég smernün a [ ω, v ] ún. nemata vetorettőst, azaz a nemata vetorettős jellemz a merev test sebességállapotát. A A A (.8) fejezést tovább derválva az dő szernt apju az A és B ponto gyorsulása özött összefüggést: a = a + ε r + ω ( ω r ), (.3) B A AB AB ahol = & ε ω a merev test szöggyorsulása. Ez a éplet írja le tehát a merev test gyorsulásállapotát, azaz ehhez egy pont gyorsulásána, a merev test szöggyorsulásána és szögsebességéne smerete szüséges. A továbbaban vzsgálju az anyag pont pllanatny mozgását egy smert mozgásállapotú merev testhez rögzített oordnátarendszerben..4. A dnama alapegyenlete mozgó vonatoztatás rendszerben Ismerjü egy merev testhez mnt mozgó vonatoztatás rendszerhez (MVR) rögzített { Ω; ξ, ξ, ξ 3} oordnátarendszer Ω orgójána v Ω sebességét és a Ω gyorsulását, valamnt a merev test ω szögsebességét és ε szöggyorsulását. Ezzel az éppen a P geometra ponton áthaladó anyag pont álló oordnátarendszerbel r és mozgó oordnátarendszer szernt ρ helyvetora özött a apcsolat: ΩP = 3 r = rω + ρ, r ρ = ξ e (.3) ahol r a [, ] Ω ω v Ω Ω sebességállapotú MVR Ω orgójána helyvetora az abszolút, álló { O; x, y, z } oordnátarendszerben. Az anyag pont álló rendszerben észlelt és a MVR-bel sebessége özött apcsolat (.3) derválásából: 3 3 v = v + ξω e + ρ& v + ω r + v, v ρ& = 443 & ξ e (.3) Ω Ω ΩP rel. rel. = = v P,száll. ahol v rel. a P ponton áthaladó anyag pont relatív sebessége a MVR-ben, P,száll. 5 v pedg a P -ne mnt a MVR-hez rögzített pontna a sebessége, az álló rendszerből észlelt ún. szállító sebesség. A &ρ tehát a MVR-bel dő szernt derváltat jelöl, azaz csa a oordnátá derváltját,

52 a MVR-ben állóna épzelt oordnátatengelyeét nem. Így egy tetszőleges MVR-bel λ = λe vetor tényleges dő szernt derváltja a övetező: d λ = ω λ + λ &, λ & & λ e. dt Az anyag pont gyorsulása pedg az előzőeet újból dő szernt derválva: azaz a = a + ε r + ω ( ω r + ρ& ) + ω ρ& + ρ&&, a ρ&& = && ξ e, (.33) Ω ΩP ΩP rel. = a = a + ω v + a a +,,száll. a + Cor. a rel. P,száll. rel. rel. ahol acor. = ω v rel. az ún. Corols-gyorsulás (CORIOLIS, ), rel. látszólagos gyorsulás a MVR-ben, rendszerből észlelt gyorsulása az ún. szállító gyorsulás. P 3 a az ún. relatív vagy a P,száll. pedg a MVR-hez rögzített P pontna az álló Ezt beírva az { O; x, y, z } nercarendszerben érvényes ma = F alapegyenletbe átrendezés után megapju a mozgó rendszerben érvényes alapegyenletet: mρ&& = F + F + F Φ, (.34) száll. ahol az F atív erő mellett ét tag az ún. tehetetlenség erő: az Fszáll. = ma P,száll. szállító erő, és a FCor. = ma Cor. Corols-erő. Példa Cor. Az z = x / 3 egyenletű parabola pályán mozog egy m tömegű anyag pont.. Határozzu meg a gyorsulásvetort az (3,,3) helyen, v = 5 m/s állandó sebesség esetén! e t = (cos α,,sn α), tan α = z (3), e n = λ f (,,) / 5, = z + z 3/ ρ / ( ), így:.33 m 5 m 5 v v =, at = a = an e n. s ρ 5 3 s.66. Írju fel a pályán mozgó anyag pont mozgásegyenletet, ha a pálya a függőleges z tengely örül ω szögsebességgel egyenletesen forog! A pályagörbén való mozgást reonom (dőtől függő) ényszeregyenlete határozzá meg: f ( r) z ( x + y ) / 3 = és f ( r, t) x snωt + y cosωt =. 5

53 Így a d'alembert-elv alapján, mvel F G a nehézség erő az egyetlen atív erő: ( G m&& r) δr =, ( x, y, 3) δr =, ( sn ωt,cos ωt,) δr =, f f amből δ y = δ x tanωt és δ z = ( x + y tan ωt ) δ x felhasználásával apju, hogy 3 mx && my && tan ωt m( g + && z) ( x + y tan ωt) δx =. 3 Mvel δ x teljesen szabadon választható és az f = és f = ényszere által megengedett δr vrtuáls elmozdulás más ét oordnátája fente szernt δ x -szel már fejezhető, ezért && x + && y tan ωt + (&& z + g)( x + y tan ωt) =, 3 ahol y, y&& és z&& a ényszerfeltételeből lletve dő szernt derválással apható meg. Vzsgálju meg, hogy m a feltétele a pályagörbén való relatív egyensúlyna, azaz amor nncs függőleges elmozdulás, hanem az xy síal párhuzamos r sugarú örpályán mozog az anyag pont a forgó parabolapálya egy adott pontjával együtt! Tehát x r cosωt && x rω cosωt y = r snωt és && y = rω sn ωt, z && z amt beírva a apott dfferencálegyenletbe adód, hogy: sn ωt sn ωt r rω cosωt + + gr cosωt + g ω =. cosωt 3 cosωt 3 cosωt Ez a fejezés csa r = vagy ω = 3 g esetén teljesül. Míg r = esetén ω tetszőleges, az utóbb esetben pedg r, azaz bárhová helyezve a parabola pályán az anyag pontot relatív nyugalomban marad, ha ω = 3 g. 3. Nézzü meg a relatív egyensúly feltételét a forgó parabolapályához rögzített { O; ξ, η, ζ } oordnátarendszerben felírt vrtuáls muna elvével f z ξ / 3 =, f η = és ( G + F + F ) δ r =. száll. Cor. Így ( mg + mξω eξ mω vr ) δr mgδ z + mξω δξ m( ω ( & ξeξ + z& )) δr =, amből a δ z ξδξ = és a δη = összefüggéseel adód az egyensúly 3 feltétele:. 3 g ω + ξ = 53 ωξ & eη

54 4. Írju fel a forgó parabolapályához rögzített oordnátarendszerben a parabolapályán mozgó anyag pont mozgásegyenletet! Az elsőfajú Lagrange-egyenleteel: f f m száll. Cor. λ ρ&& = G + F + F + % + % λ, ρ ρ azaz && ξ ξ ω ξ 3 m η m m ωξ mλ mλ && = + & + +. z mg && Vagys a mozgást meghatározó egyenlete rendszere: && ξ = ω λ ξ, z ξ =, 3 3 && η = ωξ& + λ, és η =, && z = g + λ, amből & η = && η =, λ = ωξ& valamnt Ezzel a ξ ( t) Ugyanez az fejezéssel: && ξ + ξ && + ω ξ = && = ξξ + ξ 3 3 -t megadó dfferencálegyenlet: s = + ξ dξ ( && & ) ( z g) és z ξ && ξ 9 ξξ & 3 g ω ξ =. 4 ívhossz, és a 9 4 ξ && s g ω ξ =, && s = & && ξ ξξ ξ ξ amből övetez, hogy ξ > esetén a pályagyorsulás előjelét az ω 3 g előjele adja meg. 5. Hogyan változ az (a) pontra adott válasz, ha a pálya a függőleges z tengely örül ω =.36 rad/s szögsebességgel egyenletesen forog? Határozzu meg az m tömegpontot a pályán tartó ényszererő összetevőt ebben az esetben! ( v = (,3, ) 5, a rel. = (.6,,.8) m/s, a = ( 7.6,,.8) m/s, K = m( 7.6,,8.63) ) 6. Határozzu meg a (3,,3) pontból v rel. = 5 m/s elndított anyag pont sebességét az orgón való áthaladásor (6.34 m/s)! Adju meg a mozgást meghatározó erőtér potencálfüggvényét (ha van lyen)! 54

55 Merev test rendszere dnamája Equaton Secton (Next)A övetezőben anyag pontoból vagy tömegpontoból álló rendszere mozgásegyenletet vezetjü le, azonban ésőbb ezeet az egyenleteet merev testeből álló rendszerere s érvényesne tentjü.. A mozgásegyenlete szntetus leírása.. Anyag pontrendszer dnama alapegyenlete Az N tagú anyag pontrendszer m tömegű tagjána mozgását a rá ható ülső, szabad- és reacóerő F + R eredője és a több anyag ponttal való ölcsönhatásból származó belső erő B eredője határozza meg a dnama alapegyenlete szernt: N m && r = F + R + B ( =,, N), (.) = ahol r&& a -ad tömegpont gyorsulása. Továbbá nylvánvaló, hogy B = és Newton III. axómája matt B = B, valamnt tegyü fel, hogy a belső erő centráls erő, azaz B ( r r ) =. Az anyag ponto özött műödő B belső erő némelye lehet az anyag ponto özött lévő geometra vagy nemata ényszerapcsolatból származó deáls belső ényszererő, melyene az m anyag pontra ható eredőjét K -val jelöljü, az egyéb belső erő eredőjét pedg B -val, azaz N B = B + K ( =,, N). = Az m anyag pontra hathatna tehát a geometra vagy nemata ényszerfeltétele által meghatározott deáls ényszererő ( R + K ), lletve a ényszerfeltételetől független, de valamlyen módon előírt vagy fza törvényszerűség által meghatározott szabaderő ( F + B ). Amennyben az anyag ponto r helyvetora egymástól lletve a örnyezettől geometralag lletve nematalag függetlene, úgy szabad mechana rendszerről beszélün, melyne állapotát egy tetszőleges t dőpllanatban a (nematalag) független r ( t) mozgástörvényeet alotó 3N darab salárfüggvénnyel adhatju meg. Ezeet a salárfüggvényeet a fent 3N darab dnama salár egyenlet határozza meg. Egy mechana rendszer szabadság foa alatt állapotána egyértelmű leírásához szüséges független saláregyenlete számát értjü, tehát egy N darab anyag pontból álló szabad mechana rendszer szabadság foa 3N. Az egyes anyag pontora felírható dnama egyenlete összegzésével, a belső erőet ejtve, jutun az mpulzustételhez: 55

56 N mr&& I = F, = & (.) ahol F = ( F + R ) a ülső erő vetor összege, I = mr& S, m = m és r S a pontrendszer mpulzusa, tömege lletve súlypontjána (tömegözéppontjána) helyvetora. Az utóbbt a pontrendszerne az O orgóra számított stata nyomatéából határozhatju meg: N N r = m r S S m r = ( r = r + r ), (.3) S O S S S S m = m = azaz a pontrendszer stata nyomatéa a saját súlypontjára nulla. Felhasználva, hogy a belső erő centrálsa, az egyes anyag ponto mr&& mpulzusderváltjána orgóra számított nyomatéat összegezve a perdülettételt apju: ahol M O az F és N r mr&& O = O, = R erő orgóra számított nyomatéana összege, D M (.4) D O pedg a pontrendszer orgóra számított neta nyomatéa, am a oordnátarendszer egy rögzített pontjára vonatoztatva megegyez a pontrendszer ugyanazon pontjára számított perdületéne dő szernt derváltjával: N N N d d Π m m m. dt t r r& r& r& + r && r = D 443 = = = O O d (.5) A perdületvetor és a neta nyomaté vetor defnícója alapján megmutatható, hogy a [ I, Π ] ún. mpulzus vetorettősre és a [ I&, D A ] A ún. neta vetorettősre s érvényes a A A reducós formula: Π = Π + r I és D = D + r I &. (.6) B A BA B A BA Általánosan a neta nyomaté és a perdületdervált vetor özött apcsolat: d Π & A = ( ΠO roa I) Π, d { & O + rao I & ra I DA v A I t & (.7) tehát D A = Π & A, ha például v = vagy A S. A D O 56

57 A dnama alapegyenlete anyag pontrendszerre tehát a övetező alaban foglalható össze: [ I &, D ] = [ F, M ] vagy máséppen: [ m && r, Π& ] = [ F, M ], (.8) A A A A S S S S azaz az anyag pontrendszer egy bzonyos pontra reduált neta vetorettőse egyenlő a pontrendszerre ható F + R ülső erőne ugyanarra pontra reduált vetorettősével. A (.) egyenleteet salársan megszorozva az anyag ponto r& sebességvetoraval és összegezve apju a teljesítménytételt: N N m && r r& = ( F + B + K + R ) r& P T& = P, 3 = = d mr& dt (.9) azaz a pontrendszer T netus energájána dő szernt derváltja egyenlő a pontrendszerre ható ülső és belső erő P teljesítményével. Ennél több csa abban az esetben állítható, ha feltesszü, hogy a pontrendszer elemene mozgását csa holonom szleronom deáls ényszere orlátozzá, azaz és így R r& =,, K r& =, = N N N dt & = ( ) F + B r& = ( F + B ) d r, (.) = = T T T W azaz a pontrendszer netus energájána megváltozása a t és t dőpllanato özött egyenlő az egyes pontora ható szabaderő által végzett muná összegével. Az energamegmaradás tétele csa onzervatív, azaz potencálos szabaderő esetén gaz feltéve, hogy a onzervatív erőön ívül ényszererő teljes munája zérus... Merev teste dnama egyenlete A merev testet olyan ontnuum pontrendszerne tentve, mely egyes nfntezmáls dm tömegű eleme özött csa deáls, geometralag megfogalmazható ényszerapcsolat van, a (.) (.5) alatt összegzéseet ntegrállá írhatju át és a övetezőet apju. Súlypont, mpulzus, perdület, tehetetlenség nyomaté Egy merev testne az O orgóra számított S O stata nyomatéát lletve súlypontjána r S helyvetorát a övetező szernt határozhatju meg ( R az S -ből az egyes dm elem tömegehez húzott helyvetor): S = rd m, lletve r = S, S = ( r r )d m S r m =. 3 O S O S S O S m ( m) ( m) R (.) 57

58 A merev test I mpulzusvetora és I & mpulzusderváltja: I = r & dm = m r & és I & = && r d m = m&& r ; (.) S ( m) ( m) S az orgóra lletve egy tetszőleges A pontra számított perdülete ( v r& ) : Π O = r vdm és Π A = ( r ra ) vd m = Π O + r. { AO I (.3) ( m) ( m) A merev test súlypontra számított perdülete (az R X + Yj + Z jelöléssel és az ω szögsebesség vetorral fejezve): ra Π = R vd m R ( v + ω R)dm Rd m v + R ( ω R)d m, S S S ( m) ( m) ( m) ( m) 443 S = S (.4) ahol R ( ω R) R ω RR ω. Itt RR egy oszlopvetor és egy sorvetor mátrx jellegű szorzásával vagy másnéven dadus szorzásával ( R R ) apott 3 3 -as mátrx. Tehát a Π S perdületvetor a Θ S súlypontra számított tehetetlenség nyomaté tenzor segítségével az alább módon határozható meg: Π S = ( R I RR )dmω ΘSω ( m) Θ X DXY DXZ és Θ S = DYX Y D Θ YZ, (.5) DZX D ZY ΘZ továbbá (.6) Θ = + Θ = + Θ = + X ( Y Z )d m, Y ( X Z )d m, Z ( X Y )d m, ( m) ( m) ( m) és (.7) D = D = XY d m, D = D = X Z d m, D = D = YZ d m. XY YX XZ ZX ZY YZ ( m) ( m) ( m) 58

59 A perdület defnícója alapján egy tetszőleges, mozgó A pontra: azaz Π = ( r + R ) v d m ( r + R ) ( v + ω ( r + R ))dm (.8) A AS AS A AS ( m) ( m) Π Θ ω r v Θ Θ Θ Θ ( r + R) v d m + ( r + R) ω ( r + R))dm AS A AS AS ( m) ( m) Θ ω r v + r I r r ω + + Θ ω AS m A ( AS AS AS )d m S, ( m) Θ AS y + z xy xz A = A + AS m A és A = S + AS, ll. AS = m yx x + z yz, A zx zy x + y ahol x, y, z az r AS vetor oordnátát jelöl. Tehát Π A = Θ Aω, ha például v = A vagy A S. A fenteből övetez a Stener-tétel vagy párhuzamos tengelye tétele: az S súlyponton és az A ponton átmenő párhuzamos s lletve a tengelyere számított tehetetlenség nyomatéo özött a összefüggés áll fenn ( as az a és s tengelye özött távolság). Θ a = Θ s + mas (.9) Kneta nyomaté, perdületdervált, mpulzus- és perdülettétel A merev test S súlypontjára számított neta nyomatéa ( a r&& ) : D = R ad m R ( a + ε R + ω ( ω R))d m Θ ε + R ( ω ( ω R))d m, S S S ( m) ( m) ( m) ω Π! ahol az utolsó tagban a specáls forma matt az első R és ω formálsan felcserélhető, és így az ω emelésével az ntegrál a Π perdületvetort adja. A Π vetor (.4) alatt defnícójából, azt derválva apju, hogy S S S Π& d ( Θω ) Θε + ω Π = D, dt 4443 S S S S S Θ ω& + ( ω Θ ) ω S S (.) 59

60 azaz az állandó nagyságú, de változó rányú vetoroból összeállított tehetetlenség nyomaté mátrx dő szernt derváltjaω ΘS ΩΘ S, ahol Ω az ω lneárs operácó mátrxa. Ennél fogva a eresztszorzás a mátrxszorzással asszocatív: ( ω Θ ) ω ( ΩΘ ) ω Ω( Θ ω) ω Π. S S S S Mvel mnd a (.6)-ben özölt reducós éplete, mnd a pontrendszerre levezetett (.7) szernt eredmény érvényes merev testere s, a neta nyomaté vetor egy tetszőleges A pontra számítva: a D = Π & + v I, (.) A A A Π A perdületvetor derváltja pedg a (.8) alatt levezetés eredményéből: d Π& A = ( ΘAω + ras mv A ) ΘAε + ω ΘAω + ( r& S r& A ) mv A + ras ma A. dt v mv v I S A A (.) Tehát, ha egy A pontra smerjü a Θ A tenzor mátrxát valamlyen oordnátarendszerben, aor az A pontra számított neta nyomaté D A = Θ Aε + ω Θ Aω, (.3) ha például a = vagy A a A ras vagy A S. (Az A pont v A sebességéne nem ell ehhez nullána lenne, hacsa a Π A perdületvetorra nncs szüségün. Eor ugyansθ Aω Π A!) Ezzel a merev testre vonatozó I & = F és D = M dnama alapegyenlete, az mpulzus- és A A a perdülettétel használható alaja: m && r = F, (.4) S Θ Aε + ω Θ Aω = M A (ha a A = vagy a A ras vagy A S!). (.5) (Fontos megjegyezn, hogy az I & mpulzusdervált vetor mndg a merev test vagy anyag pontrendszer súlypontjána a S gyorsulásából számítandó, mvel a neta nyomaté vetor mellett szabad vetorna tentendő, aárcsa az F erő az M A oncentrált erőpár mellett!) Knetus energa A merev test netus energáját az alább ntegrál számításával apju meg: T = r& d m ( v + ω R) d m mv + v ω Rd m + ( ω R) d m, (.6) S S S ( m) ( m) ( m) ( m) 443 ahol az utolsó tag az ( a b) c = a ( b c ) azonosságot felhasználva és ω-t emelve: 6

61 ω ( )d m S R ω R ω Π ( m) T = mvs + ω ΘSω. (.7) Máséppen: T = vs I + ω Π S. Egy tetszőleges A pontot választva az egyes dm elem tömege sebességene felírásához: T = ( ( ) ) d ( )d v A + ω ras + R m mv A + ω AS + m A + A r R v ω Θ ω ( m) ( m) mv A + ω ( ras mv A ) + ω Θ Aω. (.8) Látható, hogy a netus energa (.7) épletében az S ndex nem cserélhető le tetszőleges pontra. Azonban, ha v A =, aor a netus energa fejezése egyszerűbb alaot ölt: T = ω Θ Aω ( v A = esetén!). (.9)..3 Elsőfajú Lagrange-egyenlete A ülső és belső erő egyaránt lehetne szabad- (vagy atív) erő és a ényszerfeltételeel apcsolatos ényszererő. A ényszerfeltétele általában az anyag ponto r helyvetorana oordnátá özött fennálló, a rendszer szabadság foát csöentő valamlyen geometra összefüggést írna le: f f f (, t) = vagy + = ( =,, g), r & (.3) t N r rp p= p azaz ún. nstaconárus geometra ényszere, de lehetne f % ( r, r &, t) = ( j =,, κ ) (.3) j alaú ún. (nstaconárus) nemata ényszere s. Ha a fent fejezéseben nncs explct dőfüggés ( / t = ), aor staconárus ényszerfeltételeről beszélün. Az dő szernt teljes derválással a geometra ényszere s megfogalmazható nemata ényszerént, és ezért valód nemata ényszerne csa a nem ntegrálható ényszereet nevezzü (azaz ha a f % ( r, r &, t)dt ún. Pfaff-féle fejezése nem teljes dfferencálo). j Mvel so esetben a nemata ényszere a geometra ényszere dő szernt derváltjához hasonlóan a sebessége lneárs függvénye, ezért a továbbaban lyen alaúna feltételezzü őet: 6

62 N f% j f jp( r, t) r& p + f j( r, t) = ( j =,, κ) azaz f jp =. r& p= p (.3) A orábbaban bevezetett dő nélül δ r vrtuáls elmozdulást felfoghatju ét nematalag lehetséges, ugyanazon dt dő alatt végbemenő d r és d r elmozduláso ülönbségeént s, melyeel a ényszeregyenlete dfferencáljana ülönbsége: N f (, t r ) δrp = ( =,, g ), r p= p (.33) N f jp ( r, t) δr p = ( j =,, κ ), (.34) p= ahol r = dr dr. Ugyanenne megfelelő eredményt apun, ha vrtuáls elmozduláso δ p p p helyett vrtuáls sebességere gondolun és az előbb elem elmozduláso ülönbségét a dt dőre vonatoztatju: δ r& = r& r&.ezzel pl. a nemata ényszerere: f% j (,, t) f j (,, t) f j (,, t) r r & % r r& % r r& δr& p =. r& A mechana rendszer szabadság foana számát eggyel csöent mnden egyes ényszerfeltétel: p n = 3 N g κ. (.35) Az anyag pontora felírt (.) szernt dnama alapegyenleteet a d'alembert-elvne megfelelően átrendezve és a δ r vrtuáls elmozdulásoal vett salárs szorzataat összegezve a övetezőt apju: ahol F az N ( F B m r ) δr = + && =, (.36) m anyag pontra ható ülső szabaderő, belső) ényszererő teljes vrtuáls munája zérus: ( ) B egyéb belső erő, valamnt a (ülső és K δ + R r =. Innen vsszafelé a Lagrange-féle multplátor módszer alalmazásával jutun meg az N darab anyag pont mozgásegyenletehez, vagys adju hozzá a vrtuáls muna elvét fejező egyenlethez a vrtuáls elmozduláso és a ényszerfeltétele özött apcsolatot előíró fejezése λ - lletve µ j -szorosat: + && + f + =. (.37) N g κ F B mr λ µ jf j δr = = r j= 6

63 A szabadság foo alapján a δ r vrtuáls elmozduláso 3N oordnátája özül eredetleg csa n = 3N g κ darab független, vszont a g + κ darab λ és µ j Lagrange-féle multplátor bevezetésével valamenny δ r vrtuáls elmozdulást tetszőlegesen választhatju meg, és így éppen 3N darab salár egyenletet apun: f f% j m = ( =,, N), r& g κ && r F B λ µ j = r j= (.38) bár az smeretlene számát g egyenleteet a ényszerfeltétele adjá: + κ -val megnövel a λ és µ j multplátoro. A hányzó f ( r, t) = ( =,, g), (.39) N f jp ( r, t) r& p + f j( r, t) = ( j =,, κ ). (.4) p= Ez a 3N + g + κ egyenletből álló egyenletrendszer alotja az elsőfajú Lagrange-egyenleteet, melye általánosan anholonom rendszere mozgásana leírására s alalmasa. Az egyenletrendszer megoldása megadja az egyes tömegponto r ( t) mozgástörvényét, valamnt a multplátoro λ ( t) és µ ( t) dőfüggvényét. Az utóbba smeretében meghatározható az egyes anyag pontora ható ényszererő: j K R f f g κ + = λ + µ j j = r j=. (.4) 63

64 Példa: Egy l hosszúságú elhanyagolható tömegű rúddal összeötött, ét m tömegű anyag pont súrlódásmentesen mozog a függőleges xy síban úgy, hogy a rendszer súlypontjána sebessége mndg rúdrányú. A geometra lletve nemata ényszerfeltétele: és eze gradense: f ( r, r ) ( r r ) l =, f % ( r, r, r &, r & ) ( r + r ) ( r r ) =, & & f f f% f% ( r r ), ( r r ), = ( + j) ( r r ), r r r& r& v S Mozgásegyenlete az elsőfajú Lagrange-egyenlete felírásával Most λ helyett m λ -val és µ helyett mµ -vel szorozzu meg a ényszere előbb épzett gradenset: Vezessü be a övetező jelöléseet m&& r mgj mλ r r mµ = ( ) +, ( x x ) m&& r mgj mλ r r mµ y y = + ( ) +. ( x x ) u = x x, v = y y, y y és az m -mel való egyszerűsítés után írju fel a 4 saláregyenletet: && x λ u µ v = +, && y λ v µ u g =, && x λ u µ v = +, && y λ v µ u g =. A λ és µ paramétere elmnálásához fejezzü egyenletből: λu -t és µ v -t az első és a harmad && λ u x && x &&, µ v x + && = = x, és helyettesítsü be ezeet a másod és negyed egyenlet alább lneárs ombnácóba: 64

65 (&& y && y ) u = λvu (&& x && x ) v, (&& y + && y ) v = µ uv vg (&& x + && x ) u vg. A p = x& + x&, és q = y& + y& paramétere bevezetésével tovább egyszerűsödne a mozgásegyenlete és így a ényszeregyenleteet s felsoroló dfferencál-algebra egyenletrendszer az alább alaot ölt: vu && uv && =, pu & + qv & + vg =, pv & qu & =, u + v = l. A mozgásegyenlete levezetése d'alembert-elvre felírt vrtuáls munából Ha az ( m&& r + mgj) δ r + ( m&& r + mgj) δ r = fejezéséből ívánju levezetn a mozgásegyenleteet a ényszerfeltételeet elégítő vrtuáls oordnátáal, azaz f δr r f% = és δrj =, r& j aor a övetező saláregyenleteet ell megoldan: && x δ x + (&& y + g) δ y + && x δ x + (&& y + g) δ y =, ( x x )( δ x δ x ) + ( y y )( δ y δ y ) =, ( y y )( δ x + δ x ) ( x x )( δ y + δ y ) =. Ha az utolsó ét egyenletet megszorozzu ( x x ) -gyel lletve ( y y ) -gyel és összeadju, valamnt az ( y y ) -gyel lletve ( x x ) -gyel vett szorzatuat vonju egymásból, aor az alább ét egyenlethez jutun: l δ x (( x x ) ( y y ) ) δ x ( x x )( y y ) δ y =, l δ y + (( x x ) ( y y ) ) δ y ( x x )( y y ) δ x =. Átrendezés után és az u = x x lletve v = y y jelöléseel: l δ x = ( u v ) δ x + uvδ y, 65

66 l δ y = ( u v ) δ y + uvδ x, melyeet beírva a vrtuáls muna fent egyenleténe l -szeresébe apju, hogy ( && && && ) δ ( && && && ) l x + ( u v ) x + uv( y + g) x + l ( y + g) + uvx ( u v )( y + g) δ y =. Ebben az egyenletben δ x és δ y tetszőlegese, tehát az együtthatóna ell zérusna lenne: u (&& x + && x ) v (&& x && x ) + uv( && y + g) =, v (&& y + && y + g) u (&& y && y ) + uvx && =, ahol vsszaírtu l = u + v fejezését. De ezt még tovább egyszerűsíthetjü p és q változóal, valamnt felhasználva, hogy Tehát a mozgásegyenlete: && x = p& + u&&, lletve && y = q& + v&&. & && + (& + &&) + =, u p v u uv q v uvg & && + ( & + &&) + =. v q u v uv p u v g Ha most az első egyenletet leosztju u -val és a másodat v -vel és ezeet vonju egymásból, aor v u l l u&& + vv&& + v&& uu&& u&& + v&& = vu&& + uv&& =. u v u v Továbbá, ha ebből vu&& = uv&&-ot vsszahelyettesítün az első vagy a másod egyenletbe, aor apju, hogy u up& vq& vg v u&& v u&& ( + + ) + =, amvel megaptu a orábban levezetett mozgásegyenleteet. Vzsgálju most a modellt adott helyzetben smert sebességállapotban, tehát legyen u = l, v = v, ω = ω. S S Eor a geometra ényszer matt v =, v = S ( ) r& + r& -ből övetezően p = v S, valamnt r& = r& + ω ( r r ), azaz u& = ωv =, v& = ωu = ωl. 66

67 Az egyenletrendszerben szereplő smeretlene: u, v, u&, v&, u&&, v&&, p, q, p& és q& ( darab), a levezetett 4 egyenlethez még hozzátehetjü a nemata ényszer dőszernt első derváltját, a geometra ényszerne pedg az első és másod derváltjat: pv & + pv& qu & qu& =, uu& + vv& =, & + & + && + && =. u v uu vv (Vegyü azonban észre, hogy a másod egyenlettel egyenértéű egyenletet a ét pont sebessége özött felírt összefüggés során már felhasználtu: lu& + vωl =. Ez nem véletlen, hszen a ét pontot összeötő, most x rányú sebessége egyenlősége ( u & = ) szorosan összefügg a ét pont özött távolságát előíró ényszerfeltétellel.) A ényszerfeltétele alapján tehát a nduló feltevéseből smert u = l, v =, u& =, v& = ωl, p = v S és rendelezésre áll az alább 5, még fel nem használt egyenlet vu&& uv&& =, up& + vq& + vg =, pv qu =, pv & + pv& qu & qu& =, & + & + && + && =, u v uu vv melyeből a tovább smeretlen mennysége: v&& = p& = q = q& = v u&& = l,,, Sω, ω. Az -es lletve a -es anyag pontra ható ényszererő így már meghatározható a dnama alapegyenleteből: mvel l l ω ω K = m&& r + mgj m és K = m, vsω + g vsω + g && x = p& u&&, && y = q& v&&, && x = p& + u&&, && y = q& + v&&. A ényszererő eredője pont a súlyponton megy át, az mpulzus tétel szernt pedg: 67

68 mp& m&& rs = mgj + K. mq = + mg m( vsω + g) &. Holonom rendszere analtus leírása Mvel a modellezett rendszere jelentős részében csa geometra ényszere fordulna elő, ezért érdemes megvzsgáln, hogy hogyan lehet az lyen, holonom mechana rendszere mozgását a szabadság foo számával megegyező mnmáls számú egyenlettel leírn... Általános oordnátá Legyen adott az N anyag pontból álló pontrendszer, melyne térbel mozgását g darab geometra ényszer orlátozza, azaz a rendszer szabadság foa: n = 3 N g. Ez egyben azt s jelent, hogy a rendszer állapotát (helyzetét az dő függvényében) n darab, egymástól független paraméterrel, pontosabban salárfüggvénnyel lehet megadn. A ényszere geometrájána smeretében mndg választható n darab lyen független változó, másnéven általános oordnáta, melyeel az anyag ponto helyvetora fejezhető úgy, hogy a geometra ényszere automatusan teljesülne: r = r ( q, t), f ( r ( q, t), t), ( =,, g). p p Az anyag ponto sebességvetora lletve a vrtuáls elmozduláso a fente alapján: r&, = r q& p + r δr = r δ q p, (.4) q t q p ahol p az Ensten-féle onvencó szernt összegző ndex. Az r& sebességvetoro tehát a q& p általános (oordnáta) sebessége lneárs fejezése: p r& q& p r = q p. (.43).. Vrtuáls sebesség A vrtuáls elmozduláso helyett most használju a már orábban bevezetett vrtuáls sebesség fogalmát. Ez alatt tehát egy olyan épzelt sebességet értün, am ét nematalag lehetséges, a ényszere által megengedett sebesség ülönbsége: így az előzőe alapján: δ r& = r& r&, (.44) δr& r& = q& p δ q& p (.45) 68

69 és a vrtuáls muna elvéhez hasonlóan mondható a vrtuáls teljesítmény elve, valamnt az deáls ényszere esetében a vrtuáls teljesítmény zérus...3 A másodfajú Lagrange-egyenlete Vegyü az anyag pontrendszerre felírt d'alembert-egyenleteet és szorozzu meg salársan az anyag ponto vrtuáls sebességével és összegezzü az így apott fejezéseet: N ( m && r F R ) δ r& =, (.46) = ahol F a -ad anyag pontra ható szabad (a ényszerfeltételetől független) erő eredője és R a -ad anyag pontra ható ülső ényszererő (reacó) eredője. Az anyag ponto özött ényszereből származó K belső ényszere eredőne vrtuáls teljesítményene páronént összege belátható, hogy zérus, ezért ezeet az erőet már el s hagytu. A (.46) egyenletben a zárójelet felbontva az mpulzusderválta vrtuáls teljesítményéne összege a övetező módon írható át: d r& d r& d r& N N N m && r δr& m r& δ q& p mr& δ q& p mr& δ q& p = = dt q& p = dt q& p dt q& p N N d r& r& m m δ qp, r& r& & dt = qp = q & p (.47) mvel az utolsó tagban d r & d r r & dt q& dt q q p p p. A (.47) fejezésben r& T r& T N N N mr& m, lletve m, qp q r& = p = r& & & q& p = q p q p ahol T a rendszer netus energája és ezzel a d'alembert-elv: N d T T δ q p =, r & F & dt q& p q p = q& p 443 Qp (.48) amennyben az R reacóerő a geometra ényszereel összefüggő deáls ényszere, vagys a vrtuáls munáju lletve vrtuáls teljesítményü zérus: R δ r& =,. 69

70 A F szabaderő vrtuáls teljesítménye alapján defnálhatjua Q p általános erőet: N δ P r& r& = F δr& F δ q& p Qpδ q& p, azaz Qp =. q F & p = q& (.49) p Mvel a d'alembert-elv vrtuáls teljesítményére vonatozó fejezésben a δ q& p vrtuáls sebessége függetlene és tetszőlegese, ezért az egyenlet csa aor teljesülhet, ha az alább n = 3N g darab ún. másodfajú Lagrange-egyenlete által meghatározott dfferencálegyenletrendszer s érvényes: d T T = Q dt q& q p p p ( p =,, n). (.5)..4 A netus energa függése az általános oordnátától Az N darab anyag pontból álló holonom rendszer netus energája: ahol N N r r T = mr& m q& p + ajq& q& j + a { q& + a {, (.5) = = q p t 443 T T N j = = q q j j p T a m r r a ( q, t), (.5) a m r r a ( q, t), (.53) N = = q t p N r = = t a m a ( qp, t). (.54) Látható, hogy holonom szleronom rendszer esetében ( / t = ) a, ( =,,, n), azaz q& p -na homogén másodfoú fejezése T ( qp, q& p) T ( qp, q& p) aj ( qp) q& q& j q& Aq& (.55) T q& T & T &, és ezért ( ( q p, lq p ) = l ( q p, q p )) = a q & T, lletve q & = a q & q & T. (.56) j j j j q& Tétel: T poztív defnt fejezés, azaz T q& esetén és T = q& =. 7

71 Bzonyítás: T = T = m r& = r& =, q& =. Követezmény: det aj (Különben ajq & j = -na lenne q& j megoldása, azaz T q& q& = T = q& =, j am ellentmondás.)..5 A mozgásegyenlete potencálos erő esetén Tegyü fel, hogy az =,, p anyag pontora ható F erő potencálosa, azaz U U U r r U ( r, ) : F = ( =,, ) F. (.57) p p t p r qr = r qr = qr Eor a Q r általános erő felbontható potencálos és nem potencálos erőből származó általános erő összegére: Q N p N r r r U ĺ = F F + F + Q. = qr = qr = p+ qr q { r r r Q pot r (.58) Általánosan, ha az -ed anyag pontra F potencálos és F ĺ nem potencálos erő hatna, és F U =, aor r Q pot r U = q r N és Qr = r ĺ ĺ F. q = r (.59) Legyen L ( q, q&, t) = T ( q, q&, t) U ( q, t) (.6) r r r r r az ún. Lagrange-függvény vagy netus potencál. Ezzel a másodfajú Lagrange-egyenlete potencálos erő esetén: d L L = t q& q d r r L T mvel =. q& q& r r (.6) 7

72 Példa: A gömb nga mozgásegyenlete A övetezőben vzsgálju az l hosszúságú fonálon függő m tömeg mozgását. Az anyag pont mozgástörvényét meghatározó vetoregyenlet: m&& r = mg + K( r), (.6) ahol K = λ f az f ( r) r l = geometra ényszert bztosító reacóerő. A vrtuáls elmozdulásoal megfogalmazott d'alembert-elvvel és a vrtuáls elmozdulásoat orlátozó ényszeregyenlettel: m( g && r) δr =, f δr r δr =, (.63) azaz ( g + && z) δ z && yδ y && xδ x = és egyenlete: δ x y z = x y z δ z δ. Ezzel a mozgást meghatározó zx && + ( g + && z) x =, (.64) zy && + ( g + && z) y =, (.65) x + y + z = l. (.66) Az utóbb, a ényszert megfogalmazó, (.66) egyenletből x fejezhető és x&& meghatározható, amet ha vsszaírun a (.64) egyenletbe, aor egy, már csa z( t) -t és y( t) -t (lletve derváltjaat) tartalmazó dfferencál-egyenletrendszert apun. Síbel nga mozgásegyenlete Korlátozzu a mozgást az x = síra, azazδ x =, és így zy && + ( g + && z) y = (.67) y + z = l. Átírva az y = l snϕ és z = l cosϕ oordnátáal apju, hogy Az utóbb egyenletet g l && ϕ + gl snϕ =, vagys && ϕ + snϕ =. (.68) l d dt ml ϕ& -tal megszorozva (majd felhasználva, hogy &&& ϕϕ = ( ϕ ) dő szernt ntegrálva apju az energamegmaradást fejező elsőntegrált: ( ϕ ) cosϕ = const. cos ϕ, & ) és az frac m l & mgl mgl (.69) 7

73 ahol ϕ a legnagyobb szögtérés ( & ϕ = ). A (.69) egyenletet egyszerűsítve és átrendezve α = : ( g / l) ϕ( t) dϕ g dϕ = (cosϕ cos ϕ) αt =, ( ϕ() ). dt l = (.7) (cosϕ cos ϕ ) Mvel az nga a ϕ = helyzeten való áthaladás után t = T / 4 dő múlva ér el a szélső helyzetet, a ϕ cosϕ ϕ sn = sn ψ, = sn helyettesítéssel (.7)-ből a övetezőt apju: ψ T cosψ dψ dψ α = (, ), 4 F ψ sn ψ 4 sn ψ cosϕ sn ψ π π hszen sn ψ cosϕ = cos ψ lletveψ =. Így tehát a síbel matemata nga lengésdeje T l ϕ π = F g 4 sn,, (.7) ahol F(, ψ ) az elsőfajú ellptus ntegrál Legendre-féle normálalaja...6 A mechana összenerga változása A teljes mechana energa a fentebb bevezetett jelöléseel: E = T ( q, q&, t) + T ( q, q&, t) + T ( q, t) + U( q, t) T + U, (.7) és enne az dő szernt első derváltja: r r r r r r d E d = T q& r + T q&& r + T + U. dt q q& t dt r r (.73) Ha felhasználju, hogy a másod tag és T d T d T d T T q&& = q& q& q& Q q& q& q& r dt q& r dt q& r dt q& r qr r r r r r r r q& r ( T + T + T ) q& T + T, r 73

74 aor de d d ĺ U T U = E T T U Qr q& r + +, (.74) dt dt q d r t t T + T 443 Q r lletve átrendezés után apju, hogy holonom rendszere esetében d E Q q U T d ( ) mvel d U U q U = & + + T + T & =. (.75) dt t t dt dt q t ĺ r r r r Holonom szleronom rendszerenél az utolsó ét tag zérus, tehát de ĺ U = Qr q& r +, dt t (.76) és amennyben a potencálos erőtér onzervatív, vagys U = U ( ), aor q r de Qr q dt = ĺ & r (.77) lletve, ha az összes atív erő dőtől független potencálfüggvényből származtatható, aor de, azaz dt = E = T + U állandó, (.78) és az lyen rendszereet, ahol a teljes mechana energa állandó, onzervatív rendszerene nevezzü...7 Nem potencálos általános erő A Q ĺ r nem potencálos általános erőet teljesítményü szernt osztályozhatju, vagys anna alapján, hogy hogyan befolyásoljá a rendszer teljes mechana energáját: P ĺ = Q q& =? r r. P = esetén groszopus erőről beszélün (lyen általában groszópot, pörgettyűt tartalmazó mechana rendszereben fordul elő).. P < < esetén dsszpatív erőről van szó, melye a rendszer összenergáját csöent. 3. P > esetén általában valamlyen ülső forrásból származó gerjesztő erőel apcsolatosa az általános erő, melye az általános oordnátána, sebességene és az dőne (legtöbbször perodus) függvénye. Látsz tehát, hogy holonom szleronom rendszerben a teljes mechana energa aor s állandó marad, ha a onzervatív erőön ívül nem potencálos erő vagy groszopus erő, vagy a dsszpatív erő és a gerjesztő erő teljesítményéne összege zérus. 74

75 Bontsu fel most az -ed anyag pontra ható erő dsszpatív és egyéb (gerjesztő) erő összegére: F erdőjét potencálos, groszopus, F = F + F + F + F ĺ, pot g d és vzsgálju a továbbaban a groszopus és dsszpatív erőet lletve az azoból származó általános erőomponenseet. Groszopus erő Amennyben az -ed anyag pontra ható F g erő teljesítménye onstans nulla, g F r&, (.79) az azt jelent, hogy az vagys függ r& -től: g F ún. groszopus erő mndg merőleges az r& sebességvetorra, Az lyen erőből származó F g = F g ( r, r&, t) vagy általánosan F g = F g ( r, r&, t). (.8) Γ r általános groszopus erőre pedg gaz, hogy Γ F r ( q, q&, t), (.8) N r g = Γr = qr p p azaz a q& p általános sebességene s függvénye. Legtöbb esetben a -na homogén lneárs függvénye, azaz így a groszopus erő teljesítménye: 75 Γ r groszopus erő a q& p Γ = g ( q, t) q&, (.8) r rs p s g P = Γ q& g q& q& =. (.83) r r rs r s Mvel a q&, q& általános sebessége függetlene, belátható, hogy a groszopus teljesítmény r csa úgy lehet nulla, ha s g = g és g =, (.84) rs sr rr azaz G = [ ] antszmmetrus mátrx. Ezzel a Γ groszopus erővetor és teljesítménye: g rs g Γ = Gq&, P = q& Gq&. (.85) Megjegyzés Holonom reonom rendszer esetén, azaz ha (.5) szernt T = T + T + T, a másodfajú Lagrange-egyenlete: d T T d T T T = Q + + dt q& q t q q q r r r d & r r r

76 da a r p a = Qr + q& p + dt q q a a & 4443 rp r r p r = Q r qp +. q p q r t qr Vagys az egyenleteben egy grpq& p groszopus tag jelen meg, am nem valóságos, hanem g = g a tehetetlenség erőből származó, de groszopus látszólagos erő. Dsszpatív erő d Dsszpatív erő esetén a F r& < feltevés s az erő sebességfüggését vonja maga után, d d azaz F = F ( r, r&, ). Vzsgálju most azoat az eseteet, amor ez a apcsolat homogén t lneárs fejezés: azaz a dsszpatív teljesítmény: A Raylegh-féle N d = dj t j j= pr r a a F ( r, ) r&, (.86) d P = dj ( r, t) r& j r&. (.87), j d D = P djr& j r& (.88), j dsszpatív függvény bevezetésével az r& sebességmezőn értelmezett potencálfüggvényt apun: F D D és így. N d = djr& j dj = d j r& j= r& r& j (.89) A D dsszpatív függvény erőt adja, mvel q& r -ra vonatoztatott negatív gradense a d Q r dsszpatív általános D D r& r d = Qr. q& q q N N d F r = r& & r = r (.9) A dsszpatív függvényt előállíthatju az általános oordnátá lletve azo sebességene függvényeént s (az egyszerűség edvéért a -at elhagyva és ügyelve az összegző ndexere): 76

77 rj rj r r D = dj ( r, t) q& r + q& s + qr t qs t rj r r j r r j r = dj q& rq& s + ( dj + d j ) q& r + dj, qr qs qr t 443 t t D D D (.9) ahol D - az általános sebességene homogén -edfoú fejezése. Holonom szleronom mechana rendszereben mvel rj r D D = D brs q& rq& s és brs = dj = bsr, (.9) q q q& q& r s r s D D D r& D r r q& q& q& q& q& q r& & r& r& q q 3 j j r s r s r j s j s r d j. (.93) A B = [ ] szmmetrus mátrx bevezetésével: b rs d D D = q& Bq&, Q = q& Bq&, P = Q q& q& D. (.94) q& d d D Amennyben P d = q& =, és mnden q& és tetszőleges q esetén P d <, aor teljes dsszpácóról van szó, és eor D poztív defnt, vagys: det B = / ( B ). A potencáls, a groszopus, valamnt a dsszpatív erő bevezetésével a másodfajú Lagrange-egyenlet: d dt T T U D = + Γ + Q q& q q q& ĺ. (.95) 77

78 ..8 Az általános potencál Amennyben a Q általános erő egy V ( q, q&, t) függvényből a r Q r d V V =, dt q& q r r ( r =,, n) (.96) összefüggéssel származtatható, aor a függvényt általános potencálfüggvényne nevezzü. Az V = V ( q, q&, t) (.97) L = T V (.98) általános Lagrange-függvény segítségével a Lagrange-egyenlete tehát: d L L =. t q& q d r r (.99) Igaz továbbá, hogy Q q X ( q, q, t), d V V V r = && s + & r dt q& r qr q& s q& r (.) ahol X r azoat a tagoat jelöl, melyeben nem fordul elő a q&& s általános gyorsulás. Mvel a mechanában általában olyan erő fordulna elő, melye csa az általános oordnátától, általános sebességetől és az dőtől függene, azonban az általános gyorsulásotól nem, vagys Q V = Q ( q, q&, t), azaz =, q& q& r r r s (.) vagys az V általános potencál az általános sebességene legfeljebb lneárs függvénye lehet: V = Ψ j ( qr, t) q& j + V ( qr, t), (.) 443 V és így a Lagrange-függvény: L = T V T + T + T V V T { + +. T V T V (.3) 3 3 Az általános erő tehát az előbbe alapján: L L L 78

79 dψ r Ψ V Ψ r Ψ r Ψ V Qr = q& + q&. dt qr qr t q qr qr g r (.4) Ha Ψ = Ψ ( q ), aor az általános erő egy groszopus és egy (özönséges) potencálos erő r r összegeént állna elő: V Q r = Γr, ( Γ r = grq&, gr = gr, Γ rq& r = ). q r (.5) Azoat a mechana rendszereet, melyeben az erőne özönséges ( U ) vagy általános ( V ) potencálju van, természetes rendszerene nevezzü. Eor a Lagrange-egyenleteet fejtve a övetezőt apju: L q&& L s q& L L s q& r q& s q& r qs q& r t qr + + =. (.6) A s q&& általános gyorsuláso együttható L = T V V matt: L T q& q& q q ars, & & r s r s (.7) melyne determnánsa zérustól ülönböző, azaz az egyenletrendszer egyértelműen megoldható q&& -re: s q&& = Y ( q, q&, t), (.8) s s r r vagys adott q s () és q& s () ezdet feltétele mellett egy és csa egy megoldás létez (egzsztenca és unctás teljesül), tehát a Lagrange-egyenlete egyértelműen meghatározzá a rendszer mozgását...9 A Hamlton-féle anonus mozgásegyenlete Általános mpulzus Vezessü be HAMILTON (833) ötlete nyomán a potencálos erőtérben mozgó holonom mechana rendszer q általános oordnátájához tartozó általános mpulzust: p L =. & q (.9) Az elnevezés onnan ered, hogy a transzlácós mozgást végző anyag pont esetében ez T T = & matt = x& mx px mx & az anyag pont mpulzusát adja (mvel L ( q, q&, t) = T ( q, q&, t) U ( q, t) ). 79

80 Természetes rendszere esetén, azaz, ha az általános erő Q d V V = dt q& q (.) alaban felírható egy általánosított potencál segítségével és így defnálható a Lagrange-féle általános netus potencál L = T + T + T ( V + V ) T + L + L a ( q, t) q& q& + b ( q, t) q& + L ( q, t), j j T V (.) aor a p általános mpulzus az alább alaot ölt: T L p = + ajq& j + b lletve vetorosan p = A( q, t) q& + b( q, t). q& q& (.) Ebből az nhomogén lneárs (!) algebra egyenletrendszerből q& fejezhető, mvel mnt azt orábban láttu T poztív defntásána bzonyításánál az A együttható mátrx determnánsa nem zérus: és ezzel q& helyett A Hamlton-függvény p bevezethető. q& = A ( p b) q& ( q, p, t), (.3) A ( q, p, t ) Hamlton-féle változó egy n + dmenzós teret határozna meg. Ez az ún. fázstér, melyben a rendszer mozgásána egy adott pályán, ún. trajetórán mozgó pont feleltethető meg. Enne a pontna a mozgása összefüggésbe hozható egy n darab elsőrendű dfferencálegyenletből álló rendszerrel. Ehhez vezessü be a Hamlton-függvényt: H ( q, p, t) = p q& L ( q, q&, t). (.4) Vzsgálju most H -na p lletve q szernt parcáls derváltjat: H q q q q d q p & L & H és p & L & L L = & + = =, p p q& p q q q& q q dt q& d p dt ahol az utóbb fejezésnél felhasználtu a másodfajú Lagrange-egyenletet. 8

81 Ezzel a rendszer mozgását leíró n darab elsőrendű dfferencálegyenlet, másnéven a Hamlton-féle anonus mozgásegyenlete a övetező: q& H H =, p& =. p q (.5) Nézzü meg most a Hamlton-függvény dő szernt teljes derváltját: dh H q H p H H & + & +. dt q p t t (.6) Ha tehát a Hamlton-függvény nem függ explct az dőtől, aor H = H ( q, p ) = h = állandó, (.7) és az lyen rendszereet általános onzervatív rendszerene, H -t pedg általános összenergána nevezzü. Természetes rendszereben L L L H = pq& L q& L q& + q& ( L + L + L ) L L, (.8) q& q& q& 3 3 L L ahol felhasználtu a homogén fejezésere vonatozó Euler-féle azonosságot. A (.8) egyenlet alapján a Hamlton-függvény tpus rendszereben: potencálos erőtérben általános pot. erő esetén ( V = V U ) ( V = V + V ) reonom eset: H = T T + U H = T T + V szleronom eset: H ( q, p, t) = T + U ( q, t) H ( q, p, t) = T + V ( q, t) onzervatív rendszer: H ( q, p ) = T + U ( q ) = áll. H ( q, p ) = T + V ( q ) Tehát a H Hamlton-függvény potencálos erő esetén szleronom ( T = T ) lletve onzervatív rendszerben megegyez a mechana összenergával ( T + U ). Amennyben pedg csa az általános összenerga állandósága teljesül, általánosan onzervatív rendszerről beszélhetün. A gyaorlatban ezeet az egyenleteet nem a Hamlton-függvény derválásával állítju elő, hanem a (.3) egyenletből lletve a másodfajú Lagrange-egyenletbe (.9)-et behelyettesítve, amből aztán q& -ot (.3) alapján üszöböljü. 8

82 .. Routh-egyenlete Clus oordnátá A rendszer helyzetét leíró általános oordnátá özött előfordulhatna olyano, melyene csa az dő szernt derváltja szerepel az L ( q, q&, t) Lagrange-függvényben, és ezeet megülönböztetve a mozgásegyenlete egy újabb formája vezethető le. Az n darab általános oordnáta legyen tehát m m+ n q, q,, q, ϕ,, ϕ, (.9) melye özül az első m darab q épez az ún. pozíconáls oordnátáat, a maradé n m darab ϕ l pedg a clus oordnátáat, melyeel a Lagrange-függvény: L = L ( q, q&, & ϕ, t). (.) l Az ndexes jelölés helyett alalmazzu a vetoros jelölést, és legyen q a pozíconáls oordnátá vetora, φ pedg a clus oordnátá alotta vetor: q = [ q ], φ = [ ϕ ]. (.) Tentsü most a clus oordnátára vonatozó Lagrange-egyenleteet: l d L L L = ψ = állandó. dt { φ& { φ φ& ψ pϕ (.) Írju fel most a Lagrange-függvényt az általános sebessége homogén fejezésene összegeént: Aq B q& L = + + +, q & φ& a q& bφ& L B Aϕ φ& 443 (.3) L L = T q& Aqq& + φ& Aϕφ& + φ& Bq& és eszernt ψ = A ( q, t) φ& + B( q, t) q& + b( q, t) = ψ = állandó. (.4) ϕ Ebből, feltételezve, hogy det A, a clus oordnáta sebessége fejezhető: ϕ φ& = A ( ψ Bq& b) φ& ( q, q&, ψ, t). (.5) ϕ 8

83 A Routh-függvény Képezzü most a Hamlton-függvény mntájára az ún. Routh-függvényt az alább módon: R ( q, qψ &,, t) = ψφ & L ( q, qφ &,&, t). (.6) Ebből a Hamlton-egyenletehez hasonló levezetéssel a clus oordnátára apju, hogy φ R =, =, ψ R & & ψ φ (.7) a (.6)-ból L -t fejezve és a pozíconáls oordnátára vonatozó Lagrange-egyenletebe beírva pedg, hogy d dt ( ψφ & R ) q& q 443 L ( q, qφ &,&, t) d R R + =. dt q& q (.8) Tehát a pozíconáls oordnátára vonatozó egyenlete Lagrange-típusúa, míg a clus oordnátáé Hamlton-típusúa. Mvel a Routh-függvény explct nem függ a clus oordnátától, a pozíconáls oordnátára vonatozó Lagrange-típusú Routh-egyenlete s függetlene leszne ( ) ϕ l t -től (a ezdet feltétele által meghatározott állandó ψ fejezésen eresztül függést leszámítva), ezért a clus oordnátáat elhanyagolható oordnátána s nevez. A clus oordnátára vonatozó Hamlton-típusú egyenlete a mechana rendszer rejtett mozgását írjá le, melyetől független a pozíconáls oordnátá által leírt mozgás. A pozíconáls oordnátára vonatozó egyenlete megoldása q = q ( t, c, c, c ), ( ψ = [ c ], =,, m, l = m +,, n) (.9) l l ahol m + n m = n + m ntegrálás állandón van( c, c, c ). l A rejtett mozgást pedg a övetező mozgástörvény írja le: R ϕl = d t + c l, ( l = m +,, n), ψ l (.3) ahol újabb n m darab ntegrálás állandó ( c ) jelen meg (azaz összesen n darab). l 83

84 Példa Vzsgálju a vízszntes, sma asztallapon örbe-örbe mozgó m tömeget, amhez egy, az asztalon lévő furaton áthúzott l hosszúságú ötéllel egy más m tömeget rögzítün az asztal alatt. Feltételezve, hogy a ötél deáls és nem lazul meg, tehát egy tartós geometra ényszert jelent a ét test özött, és az asztal alatt tömeg csa függőleges rányban mozdul el, ét szabadságfoú mozgáso alaulhatna. Legyen az előbb leírt mechana rendszer helyzetét egyértelműen megadó ét általános oordnáta az asztallapon mozgó tömeg furattól mért r távolsága és a furat és az előbb m tömeg özött ötéldarabna az asztal széléhez vszonyított ϕ szöge: q = r, q = ϕ. Ezeel a rendszer T netus és U potencáls energája: T = m r& + r& + mr& U = mg l r Az eze által meghatározott Lagrange-függvény: azaz látható, hogy a ϕ oordnáta clus. ( ( ϕ) ), ( ). L = T U T ( r, r&, & ϕ ) U ( r), Mvel a rendszer onzervatív, a H Hamlton-függvény megegyez a mechana összenergával: H = L L T + U E. Határozzu meg a ϕ oordnátához tartozó ψ általános mpulzust a defnícó alapján: Írju fel a Routh-függvényt: L ψ = mr &, ahonnan & =. & ϕ mr ψ ϕ ϕ R ( r, r&, ψ ) = ψϕ& ( ψ ) L ( r, r&, & ϕ( ψ )) Erre azonban a Routh-egyenlete felírásához nncsen feltétlen szüség, hszen a pozíconáls oordnátához tartozó főmozgás dfferencálegyenletét a másodfajú Lagrange-egyenletből s származtathatju: d R R d L L mr && mr & + mg = dt r& r dt r& r ϕ, amből ϕ& -t az általános mpulzus bevezetésével üszöbölhetjü. 84

85 A clus oordnáta rejtett mozgásána Hamlton-típusú egyenletene első felét az általános mpulzusból fejezett ϕ& éplete adja, a más fele pedg ϕ clussága matt a ψ & = egyenlet lesz: R & ϕ = ψ ψ, mr R ψ& =. ϕ Tehát a ψ általános mpulzus a ezdet feltételetől függő állandó: ψ mr ω, és ezzel a főmozgás dfferencálegyenlete: 4 ψ r && r r + g = && r ω g =. m r r Az egyenletből látsz, hogyha a ezdet szögsebességω = g / r, aor r && =, vagys az asztallapon lévő tömeg egyenletes örmozgást fog végezn ( & ϕ = ω ). (Tovább példá: forgó rúdon rezgő tömeg, rúd egyensúlyozás, gömb nga.) 85

86 3 Mozgáso jellemzése és stabltása 3. Egy szabadság foú csllapított rezgése 3.. Szabad rezgése Equaton Secton (Next)A legtöbb egyszabadság foú mechana rendszer vseledését s térésű mozgásora jól leírja a lneárs elemeből álló referenca modell mozgásegyenlete: mx && + x& + sx = && x + Dα x& + α x = vagy, ahol α = s / m az ún. csllapítatlan sajátörfrevenca és D = / mα a relatív csllapítás tényező. Az egyenlet megoldását a lneárs dfferencálegyenlete elmélete alapján az alább alaban eressü: x t Ae ξ Dαξ α Ae ξ t ξ t ( ) = ( + + ) =. A nem trváls megoldást a zárójelben szereplő aratersztus polnom gyöevel a övetezőéppen írhatju fel (a D = eset vételével, ld. ésőbb): x t C e C e D D C ξt ξt ( ) = +, ahol ξ = α ± α és.,, Vzsgálju meg az ún. gyöhelygörbét, ha D változ: mvel D < D, R( ξ, ) D továbbá D = R ( ξ, ) = ; vagys, ha D >, aor a gyöö a omplex számsí baloldalán helyezedne el, ha pedg D <, aor a jobboldalán; D < esetén omplex onjugált gyöpár a megoldás ( ξ, = β ± γ ), mégpedg az orgó özéppontú α sugarú örön: ξ = β + γ α ( D + ( D )) α. D = ± esetén ξ, = β Dα étszeres gyöö; D > esetén ξ < ξ = Dα + α D < valósa; D < esetén, < α α ξ < ξ valósa. D D A továbbaban csa a D > esetehez tartozó megoldásoat vzsgálju: D < : γ = α D a csllapított sajátörfrevenca (a lengésdő T / R( C ) I( C ) = π γ ), βt γ t β t+ γ t βt β t x( t) = Ce + Ce ( C + C) e cosγ t + ( C C) e sn γ t, mvel x( t), azaz C = C (omplex onjugálta). A csllapodó rezgés β t x( t) = Ae sn( γ t + δ ) alaban s felírható, melyne segítségével értelmezhetjü a csllapodás hányados 86

87 βt x( t) e DαT = e, lletve a Λ = DαT β ( t+ T ) x( t + T ) e ún. logartmus derementum fogalmát. D = : aperodus határeset; a étszeres gyö matt a megoldás vázpolnom alaú: x( t) = ( C + tc ) e βt. D > : % γ = α D, a jelenség exponencálsan csöenő aperodus mozgás: ahol C = A B és C = A + B. ξ ξ β x( t) = C e + C e e ( A cosh % γ t + B snh % γ t), t t t Rajzolju fel x( t ) grafonjat a ξ omplex számsí néhány tpus pontjában! 3.. Gerjesztett rezgése A referenca modellt most egészítjü az m tömegre ható F ( t) = F cosωt harmonus gerjesztő erővel. Ezáltal a mozgásegyenlet új alaja: mx && + x& + sx = F cosωt vagy && x + Dα x& + α x = α x cos ωt, st ahol x / st = F s az ún. status térés vagy deformácó, am az m tömeg status elmozdulását adja meg onstans F esetén ( ω = ). A mozgásegyenlet most egy nhomogén özönséges dfferencálegyenlet, melyne általános megoldását a homogén rész általános megoldásána és az nhomogén egyenlet partulárs megoldásána összegeént apju meg: x( t) = x ( t) + x ( t) x ( t) = X cos( ωt ϑ) X cosωt + X sn ωt, h h. p t h. p mvel vázpolnomáls gerjesztő függvény esetén a partulárs megoldást s a megfelelő foú és frevencájú függvény alajában eressü. A x. ( t) -t vsszaírva a dfferencálegyenletbe és cos ω t, sn ω t együttható szernt h p szétválasztva: ω X + Dαω X + α X = α x, st ω X Dαω X + α X =, lletve α -tel való osztás után (a ζ = ω / α frevencavszony vagy hangolás bevezetésével) mátrx alaba rendezve: ζ ζ X D st Dζ ζ X = x. 87

88 Az egyenletrendszer megoldása: X ζ Dζ xst x st ζ, X = det Dζ ζ ( ζ ) + 4D ζ Dζ amből apju, hogy xst X Dζ X = X + X, tan ϑ =. ( ζ ) + 4D ζ X ζ N ( ζ, D) = X / x Innen a nagyítás: épest). st, és ϑ a fázsszög (vagy fázsésés a gerjesztéshez A nagyítás függvény szélsőértéhelye megegyez a gyöjel alatt fejezés szélsőértéhelyével (mvel a ζ > tartományon az / x szgorúan monoton változ): ζ ζ + ζ = ĺ ĺ ĺ 4 ( ) 8D. Innen a ζ ĺ szélsőértéhely és az N ĺ szélsőérté: ζ ĺ ĺ ĺ = D, N N ( ζ ) =. D D ĺ ĺ Ha D, aorζ, és N / D tényező. ĺ mnőség tényező, lletve / N D veszteség 3. Mechana rendszere egyensúlya Egyensúly alatt a mechana rendszer tartós nyugalm állapotát értjü, azaz ha ( N anyag pont esetén) v a v r r (3.) =,, ( t) ( =,, N ). Elnevezése: r : egyensúly helyzet; ( r, v ) : egyensúly állapot. 3.. Vrtuáls teljesítmény elve (BERNOULLI, 77; GALILEI: A mechana aranyszabálya ): Egy rendszerne az (deáls) ényszereel összeférő r pozícója egyensúly helyzet az F ( r, r&, t) szabaderő vrtuáls teljesítményéne összege ott tartósan zérus: N δ P F ( r,, t) δ r& = ( t t-ra) (3.) = 88

89 Bzonyítás: δ P = szüséges feltétel, hszen a d'alembert-elv alapján N N N ( m && r + F + K ) δ r& =, && r =, K δ r& = F δ r& =. = = = Másrészt, ha δ P tartósan zérus egy r helyzetben (és tt f r t fˆ r azaz j (, ) j ( ), f j ( r, t) / t = ), aor megegyez a ténylegesen lehetséges teljesítménnyel, mvel δ r& megegyez a lehetséges sebességeel (vagys az lyen helyzet szleronom, dőtől független). Tehát e.h. e.h.. δ P = P = T (3.3) a teljesítménytétel értelmében. Vszont ha ez az r helyzet nyugalm helyzet azaz a T netus energa zérus és egyben mnmáls, hszen T aor a szabaderő zérus vrtuáls teljesítménye esetén a netus energa változatlan, azaz zérus marad, tehát az adott helyzet tartós nyugalm, vagys egyensúly helyzet. Általánosabban megfogalmazva: mvel a nyugalm állapot megszűnése csa e.h.. T >, azaz δ P > (3.4) esetén övetezhet be, az egyensúly szüséges és elégséges feltétele, hogy δ P, (3.5) am egyenlőtlenséggel megadott ényszerfeltétele mellett s alalmazható. Követezmény: holonom mechana rendszerne q ha ott az általános erő tartósan zéruso: Q ( q, q&, t), mvel és qr r q ( =,, n ) egyensúly helyzete δ P Q δ q& = (3.6) r δ & a ényszerfeltételeet elégít, így tetszőlegese (függetlene), tehát Q ( r =,, n). r r Konzervatív holonom szleronom mechana rendszereben a helyzetben q q egyensúly Q r U = q r q (3.7) és mvel δ q& r - függetlene és tetszőlegese az egyensúly szüséges és elégséges feltétele, hogy 89

90 U q r q = r, (3.8) vagys, hogy az U ( q ) potencál függvényne az egyensúly helyzetben loáls szélsőértée legyen. 3.. Dnamus egyensúly Potencálos erőtérben mozgó holonom (reonom) mechana rendszer mozgásegyenlete az L = T + L + L alaú netus potencállal: d T T d L L L + =. dt q& q dt q& q { q 4443 ( ) q&& + ( ) q& ( ) q& (3.9) Egyensúly esetén ( q & =, q && = ) az első, a másod és a negyed tag eltűn: d d T ( q, t) V ( q, t) a q t q t dt t q q r r ( r, ) Ψ ( r, ) + =, d (3.) mvel = a q& Ψ q& L T V és L = T V. Az dő szernt teljes derválás után csa a parcáls dervált marad meg (mert a más tag q& r -tal szorzódna): a Ψ T V t t q q + =, (3.) és enne az egyenletrendszerne a megoldása adja az egyensúly helyzetet. Ez persze nem függhet az dőtől, am tpusan 3 aor teljesül, ha r ( q, t), Ψ ( q, t) az dőne legfeljebb elsőfoú, V pedg nulladfoú fejezése. Ebben az esetben r r T = T ( q ), T = a ( q, t) q&, V( q, t) = Ψ ( q, t) q& + V ( q ). (3.) r r r r r Konzervatív erő (nem rendszer!) esetén ( V = V = U ( q r )) pedg a U q = T q (3.3) feltétel határozza meg a q&, q&& tulajdonsággal bíró hszen tt = v ( q ) q dnamus egyensúly helyzetet, r& s lehetséges, am alapján a netus energa T ( q,, t) T ( q ) >, de az dőben állandó (ld. rtus fordulatszám legegyszerűbb modellje). 3 azaz nem feltétlenül, de gyaran 9

91 3..3 Stabltás alapfogalma Azt mondju, hogy az x& = f ( x, t) dfferencálegyenlet-rendszer ( = f ( x, t) egyenletrendszert elégítő) x ĺ egyensúly helyzete vagy pontmegoldása Ljapunov-stabls, ha ε > számhoz δ >, hogy ĺ x( t) x < ε x( t ) x < δ, t t esetén. ĺ (3.4) Azaz bármlyen s ε számhoz megadható az x ĺ egyensúly helyzetne egy valamlyen (esetleg t -tól függő) δ sugarú örnyezete, hogy az abból ndított megoldáso mndg az egyensúly helyzet ε sugarú örnyezetében maradjana. Azt mondju, hogy az x& = f ( x, t) dfferencálegyenlet-rendszer x ĺ egyensúly helyzete vagy pontmegoldása aszmptotusan stabls, ha Ljapunov-stabls és lm x( t) = x ĺ. (3.5) t Az x& = Ax állandó, valós együtthatós, homogén lneárs dfferencálegyenlet-rendszer általános megoldása: ahol c, β, β j, γ j, β ( j j ) t ( j j ) t t β + γ β γ j j j j x( t) = c C e + c C e + c C e, (3.6) C n, j c, C n, továbbá j β valamnt β ± γ az A együtthatómátrx valamely λ sajátértéével egyez meg (ha az összes λ egyszeres gyö!). Az x& = Ax rendszer x (trváls) pontmegoldása (tetszőleges valós állandó A mátrx esetén s) aszmptotusan stabls, ha Reλ <, $; Ljapunov-stabls, ha Reλ és a Reλ = gyöö multplctása egyszeres A mátrx mnmálpolnomjában (ellenpélda: egyébént pedg nstabl. Példa Ha A = p λ = λ = / p = A A A ( ), de csa ( ), tehát p( λ ) a mnmálpolnom és x ( t) = ( c + ct, c ) nem orlátos megoldás. Vszont A = esetén bár p( λ ) = λ smét, de p% ( λ) = λ lesz a mnmálpolnom és orlátosa az x ( t) = ( c, c ) alaú megoldáso. j j 9

92 3.3 Holonom szleronom rendszere s mozgása 3.3. A mátrx dfferencálegyenlet Időtől független gerjesztés esetén a másodfajú Lagrange-egyenlete holonom szleronom rendszernél az alább alaot ölt: d T T D U ĺ + + = Q ( q, q& ), dt q& q q& q (3.7) ahol Vzsgálju a rendszer q T ( q, q& ) = T aj ( q ) q& jq& q& A( q) q&, D ( q, q&, t) = bj ( q, t) q& jq& q& B( q, t) q&. q egyensúly helyzeténe örnyezetében történő mozgásoat (azaz q q& q&& megoldása a (3.7) egyenletene). Eor az U potencálfüggvény másodfoú tagog történő és a helyzet örül: Q ĺ általános erő első fog történő sorfejtése az egyensúly U U U( q, t) = U ( q, t) + ( q q ) + ( q q )( q q ) +, j j q q q q j q Q Q q Q q& ĺ ĺ ĺ ĺ ( q, q& ) = Q ( q, ) + ( q q ) + q& +, q, q, Tehát az egyensúly helyzetben ( q& q&& matt) U q q = Q q ĺ (, ), (3.8) amből Bevezetve a q meghatározható. q% oordnátáat a q = q + q% összefüggés alapján, majd átparaméterezve az egyenleteet a q% oordnátáal fejezve és elhagyva a ~-t formalag a (3.7) egyenlettel azonos összefüggésre jutun, azonban a vzsgált egyensúly helyzet a onfgurácós tér orgójába erül: q = (eredetleg q% ). Azaz az általánosság megszorítása nélül feltehetjü, hogy az általános oordnátá mndg választható úgy, hogy egy egyensúly helyzetet (e.h.) a q = oordnátaértée azonosítsana. 9

93 Módosítsu D -t és U -t a övetező módon: ĺ Q ĺ Q D( q, q &, t) = D q jq bj q jq, q & & j q & & (3.9) & & e.h. j e.h. ĺ ĺ Q U( q, t) = U Q q e.h. q jq (3.) q j e.h. ĺ U Q ĺ U e.h. e.h. j q q e.h. q j q e.h. j e.h. U ( q, t) + Q q + q q Ezzel a másodfajú Lagrange-egyenlete s mozgáso esetén egy homogén lneárs másodrendű özönséges dfferencálegyenlet-rendszert alotna, melye az alább mátrx alaba rendezhető: ahol a tömeg-, csllapítás és merevség mátrx rendre Mq&& + K( t) q& + S( t) q =, (3.) T D Q U Q M = A q K = S = q& q& q& q& q& q q q ĺ ĺ ( ), ( t), ( t). j e.h. j j e.h. j j e.h. (3.) Időtől független esetben, vagys állandó M, K, S esetén a (3.) egyenletne a homogén általános megoldása q( t) = u e λt (3.3) próbafüggvény (Ansatz) alajában eresendő, amt ha beírun a (3.) mátrx dfferencálegyenletbe, aor egy homogén lneárs egyenletrendszerhez lletve sajátérté sajátvetor feladathoz jutun: λ M λk S u (3.4) ( + + ) e λt =, t am e λ -től függetlenül ell, hogy teljesüljön. Vszont, ha u (nem trváls) megoldásoat (sajátvetoroat) eresün, aor az együttható mátrx determnánsána ell zérusna lenne, azaz λ M λk S (3.5) det( + + ) =, am a λ sajátértéere vonatozó n -edfoú aratersztus egyenlet. A aratersztus egyenlet gyöe özött lehetne omplex onjugált páro, hasonló omplex onjugált sajátvetoroal, vagys 93

94 β és β ± γ, j j úgy hogy ( γ δ γ δ ) β t j j j j j j j j q βt j ( t) = c u e + c e u sn( t + ) + v cos( t + ), (3.6) n ahol már u, u, v valós vetoro és c, c, δ a ezdet feltételetől függő n darab valós j j j j szám (amennyben a sajátértée egyszerese) Csllapítatlan rezgése Sajátörfrevencá, lengésépe Amennyben a K csllapítás mátrx zérus elemeből áll és az összes q ( t) megoldás orlátos (pl. onzervatív rendszereben), aor az Mq&& + Sq = (3.7) hányos másodrendű mátrx dfferencálegyenlet sajátértée tszta épzetes gyöpáro leszne, mvel a λ M + S = (3.8) det( ) aratersztus egyenlet egy λ -re n -edfoú algebra egyenlet lesz. Belátható, hogyha enne gyöe egy c poztív valós szám, vagy egy z onjugált épzetes gyöpár, aor ezehez tartoz poztív valós részű λ gyö ( β > ), am az exponencáls tevőben t esetén a q ( t) megoldáso orlátosságána ellentmond. Vszont, ha λ j < (valós szám), aor λ = ± α tszta épzetes gyööet apun (enne feltétele, hogy S szmmetrus poztív defnt mátrx legyen), amne a j j n n q ( t) = c u sn( α t + δ ) u ( a cosα t + b sn α t) (3.9) homogén általános megoldás felel meg, j j j j j j j j j j= j= c j és δ j ntegrálás állandóal. Tehát a megoldás harmonus függvénye lneárs ombnácója, melyene azaz a magára hagyott rendszer szabad rezgésene örfrevencájaα. Mvel eze értée csa az M tömegmátrxtól és az j S merevség mátrxtól függ melyeet többnyre csa a rendszer fza, geometra paramétere határozna meg, ülső hatáso nem, ezért α -t a csllapítatlan rendszer j -ed sajátörfrevencájána s nevezzü ( α j < α j + ), a j 4 A j -ed onjugált gyöpárhoz tartozó megoldás alternatív alaja: e ( a u + b v ) cos γ t + β t j j j j j j e ( b u a v ) sn γ t 94 β t j j j j j j

95 α M S (3.3) det( + ) = aratersztus egyenletet pedg frevencaegyenletne. Megfelelő ezdet feltételeel elérhető, hogy a megoldás tsztán az egy vagy más sajátörfrevencájú rezgést tartalmazza. Ilyenor az egyes általános oordnátá értéene egymáshoz vszonyított aránya mnden dőpllanatban megegyezne a megfelelő sajátvetor elemene egymáshoz épest arányaval, és a oordnátá egyszerre ér el a szélsőértéeet lletve válna zérussá. E fza tartalom matt a sajátvetoroat az egyes sajátörfrevencához tartozó lengésépe vetorána s nevezzü Stabltás A mozgásegyenletet lnearzálva a q ĺ egyensúly helyzet örül, q = q ĺ + x apju a övetező mátrx együtthatós dfferencálegyenlet-rendszert:, ahol T, U Mx && + Sx = M = S =. q& q& j q q q j ĺ ĺ q bevezetésével (3.3) Az x( t) = u e λt próbafüggvényt behelyettesítve egy sajátérté-sajátvetor feladat homogén lneárs algebra egyenletrendszerét apju: λ M + S u = (3.3) ( ), melyne aor létez nemtrváls ( u ) megoldása, ha det( ξ M + S ) =. Az utóbb aratersztus egyenletne a ξ = λ gyöe valósa, mvel mnd M, mnd S valós szmmetrus mátrxo, továbbá a megfelelő u sajátvetoro s valós eleműe (vagy tszta épzetes onjugálta, am persze nem jelent érdem ülönbséget). Mvel ξ > gyö esetén λ, = ± ξ, azaz az egy gyö mndenéppen poztív lenne és így e ξ t, (3.33) t azaz x ( t ) nem marad orlátos az egyensúly helyzet bármlyen s mértéű megzavarása esetén, ezért csa a ξ = α < gyöö esetén lehet a q ĺ egyensúly helyzet stabls. Eor λ = ± α, azaz Reλ =, és n x( t) = c u sn( α t + δ ), (3.34) = am eleget tesz a Ljapunov-féle stabltás rtérumna (de nem aszmptotusan stabls!). 95

96 Vsszahelyettesítve az előbb aratersztus egyenlet λ megoldását és a hozzátartozó sajátvetort a homogén lneárs egyenletrendszerbe és megszorozva azt balról átrendezés után az alább fejezéshez jutun: Mvel a Ljapunov-féle stabltáshoz u u -val, λ = u Su. (3.35) u Mu λ < szüséges és M szmmetrus poztív defnt mátrx, a számláló poztvtásána elégséges feltételét jelent, ha S mátrx lletve az U potencálfüggvény vadratus alaja az egyensúly helyzet örnyezetében s poztív defnt, azaz U -na az egyensúly helyzetben loáls mnmuma van. Tehát S mátrx összes sajátértée poztív valós szám, am a Sylvester-féle tétel értelmében gaz, ha S összes saroaldetermnánsa poztív. A poztív defntség S lletve U esetében szüséges feltétel s egyben: mnthogy > λ < az összes györe értendő, am az u Su feltételt vonja maga után ( =,, n), amből vszont az u sajátvetoro M -re vonatozó ortogonaltása matt övetez, hogy a Sa = λ a u Mu > A sajátvetoro ortogonaltása Ha a ( a u ). a q( t) = u e αt megoldásoat behelyettesítjü a (3.7) egyenletbe, aor a j -ed lletve -ad sajátörfrevencához és u j lletve u sajátvetorohoz a övetezőet apju: α j j j Mu + Su =, (3.36) Mu + Su =. (3.37) α Az egyenleteet megszorozva balról u -val lletve u j -vel majd vonva őet egymásból: α α u Mu ( j ) j =, (3.38) mvel M és S szmmetrussága matt A (3.38) egyenletből övetez, hogy u Mu = u Mu és u Su = u Su. j j j j u Mu j =, ha j, (3.39) azaz a sajátvetoro ortogonálsa az M tömegmátrxra nézve. 96

97 3.3.4 A saját-örfrevencá becslés módszere A Raylegh-hányados = c Legyen v u a lengésépe valamlyen lnárs ombnácójaént előállított tetszőleges vetor. Eor az hányadost Raylegh-hányadosna nevezzü. R ( ) = v v Sv (3.4) v Mv A netus energa poztív defnt vadratus alajából övetez a szmmetrus M mátrx poztív defntsége. Így a orlátos, nem csllapodó rezgése alaulásána feltétele, hogy a szmmetrus S mátrx s poztív defnt legyen: < v Mv és < v Sv ( v ). Rendezzü sorba az α j sajátörfrevencáat úgy, hogy α α α n, (3.4) és vzsgálju a Raylegh-hányados számlálójában szereplő fejezést: v Sv v Su v Mu u Mu u Mu c cα α c α c, 3 cu Mu 443 v Mv (3.4) ahol v Mu = cu Mu összefüggésben használtu a sajátvetoro ortogonaltását. A (3.4)-ben megfogalmazott egyenlőtlenséget átrendezve apju, hogy v Sv α R( v) = α n, (3.43) v Mv azaz az R( v ) Raylegh-hányados tetszőleges v vetor esetén felülről becsl az első (legsebb) sajátörfrevenca négyzetét (a legnagyobb sajátörfrevencájét pedg alulról). Természetesen mnél jobb özelítést adun v -vel u -re, az első lengésépre, R s annál jobban özelít α - et. Stodola-terácó A (3.36) egyenletet az S merevség mátrx j = esetén az alább terácós eljárást: C = S nverzével véggszorozva balról épezzü ( α ) u = CMu R( u ) CMu. (3.44) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) 97

98 Megmutatju, hogy ez az terácó onvergens, és tpusan u -hez, az első lengésépvetorhoz tart. Az terácóna több fxpontja s van, hszen bármely u sajátvetort behelyettesítve a frevencaegyenlet átírt formáját apju vssza, amt u - elégítene. Az f = ( ) ( ) + ( ) + h.o.t. x ĺ ( + ) ( ) ĺ ĺ x f x f x x x x = x (3.45) terácót az x ĺ ĺ ĺ fxpont ( x = f ( x )) örnyezetében jól özelít a grad x f dervált tenzorral megadott lneárs leépezés, am aor onvergens, ha grad x f mátrxána spetrálsugara f ρ x ĺ x= x <, (3.46) vagys az összes sajátértée a omplex egységör belsejében található. Képezzü tehát a Stodola-terácó jobb oldalán szereplő fejezés gradensét: R( ) R( ) u u Mu u S u Su u M u CM CMu α CM CMu α CM, (3.47) + + v ( u Mu) mvel a másod tagban a számláló zérus, hszen Su = α Mu, továbbá M és S szmmetrus mátrxo (máséppen: mvel az R( v ) Raylegh-hányados v = u esetén mnmáls, ezért ott a gradense ). Nézzü most az α CM mátrx sajátértéet: det( α CM λi) α det( CM % λi) = ( λ = α % λ). (3.48) Belátható, hogy % λ - a det( α CM + I ) = frevencaegyenletből számítható sajátörfrevencá négyzetene recproával egyenlőe: amből vszont % λ =, α α λ =, (3.49) α 98

99 és az egyenlőség csa = esetén áll fenn. Vagys tetszőleges v vetor esetén az u sajátvetoron ívül altérbe eső omponense előbb-utóbb eltűnne, és a Stodola-terácóval v az u lengésép által meghatározott első sajátrányhoz tart. Raylegh-elv Ha a csllapítatlan (onzervatív) rendszer első lengéséphez tartozó megoldását nézzü, lletve ha a rendszer tsztán az első sajátrezgésével rezeg, vagys aor q( t) = u cosα t és q& ( t) = α u sn α t, (3.5) U max = u Su, (3.5) mvel a legnagyobb térésnél maxmáls az alaváltozás energa és ez egyben az E mechana összenerga s, hszen a legnagyobb térésnél a netus energa zérus ( q& = ). A netus energa q = esetén lesz a legnagyobb (és eor U = ): = max max. α u T Mu α T (3.5) Mvel onzervatív rendszerről van szó, a mechana összenerga állandó: Vagys E = T + U = Umax = T max = állandó. (3.53) U α = T ( u ) max ( u ) max u Su u Mu U T max max ( v), ( v) (3.54) am a Raylegh-hányados általánosításaént az első sajátfrevencára ínál becslést végtelen szabadságfoú (ontnuum) rendszere esetén s. Azaz a legsebb sajátfrevencához tartozó lengésalaot megfelelően özelítve (becsülve), a hozzá tartozó hányadosána gyöe α -hez özel értéet ad eredményül. U max és T max fejezése 99

100 Dunerley-becslés Vzsgálju smét a frevencaegyenletet: n α d α d L α dn = det( α CM { + I) [ dj ] α d α d L α d M M O M α d α d L α d n n nn (3.55) α DI α DII α DIII O( α ). A DI, D II, együttható a CM mátrx első, másod, stb. salárnvaránsat jelöl, tehát pl. D = d, am a CM mátrx nyomána felel meg. I A váltaozó előjelű együtthatójú, csupa valós gyöel bíró aratersztus polnom analízsével megmutatható, hogy az α -nél magasabb foú tagoat elhagyva az első ét tag által alotott másodfoú polnom az α helyen negatív értéet vesz fel: vagy máséppen α <, azaz < ( CM ) I, (3.56) n d = α < α. ( ) I CM (3.57) Olyan ülönleges eseteben, amor az M tömegmátrx dagonáls, aor = n CM I cm = α α( I ) α( N ) ( ) és így < + +, (3.58) ahol α ( ) = ( cm ) az eredet mechana rendszerből épzett olyan egyszabadságfoú rendszere sajátörfrevencá, ahol csa az m tömeget tartottu meg és a többt elhagytu, és az így apott részmodell rugómerevsége s = / c lett. Példa Vzsgálju egy rezgető motor IE = 64 Nmm hajlítómerevségű tengelyére erősített h = 4 mm magasságú és R = mm sugarú félhenger alaú m =, g-os rezgő tömeg alotta rezgőrendszer sajátörfrevencát. A teljes henger tehetetlenség nyomatéa Θ = / 4 ( ) + / ( ) lenne, ahol az első tag a ét félhengerne a henger xz z m R m h szmmetrasíjáraszámított / 4 mr nagyságú tehetetlenség nyomatéana összegével egyez meg. Ebből a félhengerne a 4 / 3 R / π távolságra levő súlypontján átmenő xz síal párhuzamos síra számított tehetetlenség nyomatéa a Stener-tételt vsszafelé alalmazva:

101 6R mr m, ambõl Θ, 7, 33gmm. z = mr + mh 4 9π A továbbaban az egyszerűség edvéért feltesszü, hogy a tömeg súlypontja a motor tengelyén helyezed el, l + h / = 4 mm távolságra a tengely csapágyazásától ( l = mm a szabad tengelyhossz). Az l hosszúságú befogott rúd szabad végéne y lehajlása és ϕ szögelfordulása a rúd végére ható F oncentrált erő és M erőpár hatására: 3 Fl Ml y = +, 3IE IE Fl Ml ϕ = +. IE IE Így a szabad tengelyszaasztól h / távolságra levő súlypont y S függőleges elmozdulása a ráható F erő öveteztében: y S 3 h F l hl h l = y + snϕ + +, IE mvel M = Fh / és snϕ ϕ s elmozduláso esetén.. Azaz az egyenértéű rugómerevség lletve az abból számítható sajátörfrevenca: F 64Nmm s rad s = 3,87N/mm α 3 8 ( 4Hz). y 8,67mm m s S. Ha a tehetetlenség nyomatéot s fgyelembe vesszü, aor egy ét szabadság foú rendszert vzsgálhatun, melyne netus lletve potencáls (alaváltozás) energája: ahol S = C és mh h T = my& + Θ my& + y& + Θ + m 4 & S zϕ & ϕ & z ϕ F y ϕ y M y ϕ ϕ ( q C q) q Sq U = (, )d + (, )d d, 3 l l 4 l y F 3 3IE q, vagys. 3 4 ϕ = C M C = S = IE l { l l l l s 3 3 Az Mq&& + Sq = mozgásegyenlet M tömegmátrxa és S merevség mátrxa numerusan:,,4 9 9 M =, =,4,3 S 9 8 és a aratersztus egyenlet: 6,

102 4 α α det( α M + S ) 6,45 6, =, amből α = 869 rad/s (89 Hz) és α = rad/s (873 Hz). 3. Ha az első sajátfrevencával való rezgéshez tartozó rugalmas szál alaját a befogásna megfelelő peremfeltételt ( Y() =, Y '() = ) elégítő legegyszerűbb Y ( x) = a x függvénnyel özelítjü, valamnt y( x, t) = Y ( x) sn α t, ϕ ( l, t) = Y ( l) sn α t és max y& ( x, t) = α Y ( x), stb., aor t T U l = IE Y ( x) dx IEa l és ( ) max h max = mα Y l + Y l mα al l + h ( ) ( ) ( ), amből a Raylegh-hányados szernt α IE / ml / ( l + h) 36 rad/s ( 8 Hz). 4. A netus energa előbb fejezésébe beleszámítva a tehetetlenség nyomatéot s: h max mα Y l Y l zα Y l α al m l h ( ) ( z ) T = ( ) + ( ) + Θ ( ) ( + ) + 4 Θ, és így az első sajátörfrevenca javított becslése (vö. ét szabadságfoú eset) U IE rad α 6 (94Hz). s max ĺ Tmax l m l ( ( + h) + 4Θ z ) 5. A rugalmas szál alaját magasabb foszámú, több smeretlen paramétert tartalmazó polnommal vagy más függvénnyel (pl. cos x ) s özelíthetjü. Legyen most 3 Y ( x) = a x + a x, am továbbra s megfelel a nemata peremfeltételne. Ezzel A potencáls energa maxmuma most: U a netus energa pedg Y ( x) = 6a x + a és Y ( l) = 3a l + a l. l 3 max = IE (9a x 6 a a x a )dx IE(3a l 3 a a l a l), 3 h max = α Θ α + ( ) T m a l a l (3a l a l) 3a l a l. z Most s feltételezhetjü, hogy a sajátrezgése során a rezgő rendszer mnden (anyag) pontja egyszerre ér el a szélsőhelyzetét, amor s U = U és T =, valamnt T = T esetén U =, azaz max U T α max = max a Sa a Ma a S M a = max ( α ),

103 mvel U max és T max s homogén vadratus fejezése az a vetort alotó a és a paraméterene. Az S = [ ] és M = [ ] mátrxoat az U max és T max fejezésene s j a és a j szernt parcáls derválásából aphatju meg: m j 3 6l 3l S = IE 64, 3 l l m = ml ( l + h) + Θz9l 5, 5, m = m = ml ( l + h)( l + h) + Θz 6l 9, 8, m = ml ( l + h) + Θ 4l 33, 96. Trválstól eltérő, a vetort úgy aphatun, ha S α M = det( ), ahonnan α α z rad 869, s rad 76389, s vagys vsszaapju ét szabadságfoú esetnél számított eredményeet, am nem meglepő, hszen a öbös özelítés már elégséges a rugalmas szál pontos alajához. Amennyben a tengely tömege nem lenne elhanyagolható, a tengely ρaα Y ( x)dx mozgás energáját s beszámítva a Tmax -ba az eredménye pontossága tovább javítható. Példa Az ábrán egy m tömegű R sugarú tárcsa és a tetejére helyezett h magasságú, l hosszúságú homogén hasáb látható, melyet a hasáb végét és a falat összeapcsoló s merevségű rugó tart egyensúlyban. A tárcsa gördül a talajon, és a hasáb sem csúsz meg a tárcsa felszínén a s térésű mozgáso alatt. Határozzu meg, hogy mlyen paraméterértée esetén lesz stabls az egyensúly helyzet! A stabltás a rugó és a nehézség erőtér potencáljána poztív defntásától függ. Mvel a tárcsa súlypontjána függőleges helyzete nem változ ( r = x ), csa a hasáb súlypont helyvetorára van szüségün: S 3

104 r S h x + ( R + )snϕ Rψ cosϕ = +, h Rψ snϕ R + ( R + )cosϕ x ahol ψ = ϕ, azaz Rψ = Rϕ x R Feltéve, hogy a rugó az egyensúly helyzetben feszítetlen, a megnyúlása egy tetszőleges térés esetén: Ezzel az U potencálfüggvény: l h l l + x + ( R + )sn ϕ ( Rϕ x + ) cos ϕ. h U = mg R + R + ϕ + Rϕ x ϕ + s l ( ) cos ( )sn, melyne parcáls derváltja és egyensúly helyzet örül lnearzálása: U l h = m g sn ϕ + s ( cos ϕ) + x ( + cos ϕ) + R + snϕ Rϕ cos ϕ ( + cos ϕ), x ϕ U h = mg sn ϕ + ( Rϕ x)cos { ϕ ϕ h h + s x( + cos ϕ) + R + snϕ Rϕ cos ϕ ( Rϕ x)snϕ + cosϕ h m g R ϕ x s x h ϕ h. A lnearzált rendszer S merevség mátrxa tehát: és a determnánsa: 4s sh m g S = h h, sh m g mg R + s 4 h h 4s mg R + s ( sh mg ) > 4σ ( η + ση ) (ση ) 4σ >, 4 ahol σ = sr / mg és η = h / R. Tehát a stabltás feltétele ( S saroaldetermnánsa alapján): 4

105 m g s > > 4R és s. 5

106 4 Mechanzmuso vzsgálat módszere Equaton Secton (Next)Mechanzmus alatt egymással ényszerapcsolatban lévő merev testeből álló ún. nemata láncot (mechana rendszert) értün. A szerezet vzsgálat a mechanzmust felépítő szerezet elemtípuso és ényszerapcsolato számba vételét és végső soron a mechanzmus szabadság foana meghatározását jelent. Mndeze segítségével a mechanzmusoat majd ülönböző csoportoba sorolhatju. A geometra vzsgálat során a mechanzmust alotó merev teste, ún. tago pozícójána és orentácójána leírása, az egyes oordnátá özött a ényszere által meghatározott apcsolato megadása jelent a feladatot. A oordnátá és a ényszereet leíró összefüggése smeretében már választható az egész mechanzmus pllanatny helyzeténe egyértelmű leírásához szüséges, a mechanzmus szabadságfoána megfelelő számú általános oordnáta. A nemata vzsgálat az egyes tago lletve azo választott pontjana sebesség- és gyorsulásvszonyat, a pllanatny és véges mozgásoat elemz, míg a dnama vzsgálat alalmával a newton elve alapján felírható mozgásegyenleteet próbálju megoldan és abból számítan a tagoat, ízületeet terhelő erőet, nyomatéoat, az atuátoro teljesítménygényét. 4. Szerezet vzsgálat A mechanzmust alotó merev testeet a mechanzmus tagjana nevezzü, és rendszernt arab számoal jelöljü azoat. Ide sorolju a rögzített állványt, mnt. tagot s, melyhez a mechanzmus mozgó tagja által alotott rész csatlaoz:. tag állvány. tag. tag mozgó tago 4.. Knemata pár, szabadság fo Az egyes tago özött apcsolatoat meghatározó ényszereet (pl. csuló) nemata párona nevezzü. A mechanzmus térbel onfgurácójána egyértelmű leírásához szüséges független salárfüggvénye száma jelent a rendszer szabadság foát, am meghatározható a mozgó tago száma és a nemata páro által leötött szabadság foo alapján (ld. ésőbb). Az egymáshoz nemata pároal apcsolódó tago sorát nemata láncna nevezzü. Szorosabb értelemben aor beszélün mechanzmusról, ha a tago zárt nemata láncot alotna és csa egy vagy ét szabadság fo marad. Így az ezene megfelelő tagora előírt mozgással (többnyre egy motor által állandó fordulatszámú forgatással) a mechanzmus választott tagjana adott pontja egy bzonyos pályát írna le. 6

107 Ezzel szemben a robotmechanzmuso tpusan nyílt nemata lánccal rendelezne, több szabadságfoúa, és az ezene megfelelő számú atuátor dőben alalmasan változó mozgatásával a nemata lánc végén levő ún. manpulátor tag tetszőleges pályát írhat le a munatérben. Knemata páro osztályozása A nemata pároat az elvett szabadság foo (vagy ötöttség fo) száma alapján osztályozhatju. Mvel egy tagna mnt merev testne legfeljebb 6 szabadság foa lehet a térben ezért.,., 3., 4., és 5. osztályú nemata pároat ülönböztethetün meg, például: ötödosztályú negyedosztályú harmadosztályú sícsuló, sícsúsza (sín), gördülő eré görgős (sma) támasz, csúszó eré gömbcsuló, símozgás (evésbé jelentőse) Mechanzmus szabadságfoa (DoF, szf.), mobltása A mechanzmus szabadság vagy mobltás foát ( m ) az előzőeben bevezetett fogalma segítségével az alább formula szernt számíthatju: m = 6n 5 p 4 p 3 p p p, azaz m = 6 n p, (4.) = ahol n a mozgó tago száma, láncban. p pedg az -ed osztályú nemata páro száma nemata Síbel mechanzmus mobltása enne megfelelően: m = 3 n p p. (4.) 5 4 Szoás a nemata pároat a meghagyott szabadság foo szernt s csoportosítan lletve az állványt s a mechanzmus tagja özé számítan és az azonos topológájú nemata láncoat aszernt csoportosítan, hogy mely tag az állvány. Ezzel a fent éplete az alább alaot ölt: térbel eset: m = 6( l ) 5 4 3, (4.3) síbel eset : m = 3( l ), (4.4) ahol l a nemata láncot alotó összes tag száma, pedg az szabadságfoú nemata páro száma (azaz = p6 ). Ha csa egy szabadság foú (azaz ötödosztályú) nemata páro található nemata láncban, aor apju a mobltásra vonatozó Gruebler-féle formulát: m = 3( l ). 7

108 Példá forgattyús mechanzmus, Peauceller-nverzor, 4.. Mechanzmuso csoportra bontása A fent éplete használata specáls geometrájú lletve ún. redundáns ényszereet tartalmazó mechanzmuso esetén ellentmondásra vezethet, azaz például egy láthatóan szabadságfoú szerezet esetén a éplet alapján szabadságfoot apun. (Példa: parallel 4 csulós mechanzmus egészítve egy harmad párhuzamos csatlórúddal.) Az lyen paradoxono magyarázata abban rejl, hogy vanna ún. redundáns vagy passzív tago, melyene nncs szerepe az nput-output apcsolat szabadságfoána meghatározásában és ezt a fent éplete nem vesz fgyelembe (azaz a redundáns tagoat elhagyva nematalag egyenértéű mechanzmust apun). Vszont, ha egy lyen mechanzmus geometráját ssé módosítju, aor valóban a éplettel meghatározott szabadságfoot apju. (A redundáns tagot tartalmazó parallel mechanzmus befeszül, ha a geometrát megváltoztatju.) Bonyolultabb mechanzmuso szabadságfoána geometra függetlenségét csoportra bontással ellenőrzhetjü. Csoport alatt olyan szabadságfoú nemata láncot értün, amely nem bontható tovább szabadságfoú részere. A nemata láncában megülönböztethetün a szabadságfoona megfelelő számú vezető (nput) tagot és a több tag által alotott ún. vezetett részt. Ha a vezető tagoat rögzítjü, aor a vezetett részne nylvánvalóan egy statalag határozott szerezetet ell alotna, azaz a vezetett rész szabadságfoa ell, hogy legyen. Csa ötödosztályú nemata pároat tartalmazó síbel mechanzmus esetén tehát = 3n p p5 5 3 = n, (4.5) ahol n a vezetett rész tagjana száma, p 5 pedg a vezetett rész ötödosztályú nemata párjana a száma. Mvel eze egész számo, ezért az lyen vezetett rész csa páros számú tagból állhat és, 4, 6, 8, stb. számú tag esetén az ötödosztályú nemata páro száma az alább táblázat szernt alaul: n p A mechanzmus tagjat megülönbözethetjü aszernt s, hogy hány más taghoz apcsolódna. Enne megfelelően a, 3 lletve 4 más taghoz apcsolódó tagot bnárs, ternárs lletve quaternárs tagna nevezzü. Példá A fent táblázat szernt sícsuló és sícsúsza ötödosztályú nemata pároból 5 ülönböző éttagú csoport alotható. Egy négytagú csoport egy vagy ét ternárs tagot (és 3 lletve bnárs tagot) tartalmaz. Egy hattagú csoportban vagy 3 ternárs tag fodulhat elő. 8

109 Így egy egyszabadságfoú négytagú vagy egy étszabadságfoú öttagú láncban egy éttagú csoport alotja a vezetett részt. Az egyszabadságfoú Watt- lletve Stephenson-féle hattagú nemata lánc vezetett része pedg ét éttagú vagy egy négytagú csoportból áll. Knemata nverzó Knemata nverzóna azt nevezzü, amor ugyanazon nemata lánc más-más tagja lesz az állvány. Egy forgattyús mechanzmusnál elsőre látható az így apott négy ülönböző műödésű onstrucó. A négycsulós mechanzmus esetében a nemata nverzóval ugyan nem apun más topológát, vszont a legrövdebb tagna az állványhoz vszonyított helyzete alapján mégs három esetet ülönböztethetün meg (a legrövdebb tag vagy az állványhoz apcsolód, vagy a csatló rúd szerepét tölt be, vagy maga az állvány). Amennyben a hajtóart valamlyen motorral hajtju meg, fontos lehet anna eldöntése, hogy a 36 foos örbe forgatásna m a feltétele. Ezt fejez az alább, Grashof-féle összefüggés: l + l l + l, (4.6) 4 3 ahol l és l 4 a legrövdebb lletve leghosszabb aro hossza, l és l 3 pedg a maradé ét tag hosszúságát jelöl. Amennyben ez a feltétel teljesül, aor a mechanzmust Grashof-típusúna s szotá nevezn. Az egyszabadságfoú hattagú lánco esetében nemata nverzóval étféle Watt-típusú mechanzmust és háromféle Stephenson-típusú mechanzmust apun: Watt-I. Watt-II. Stephenson-I. Stephenson-II. Stephenson-III. egy bnárs tag az állvány egy ternárs tag az állvány egy bnárs tag az állvány, melyhez ét ternárs tag csatlaoz egy bnárs tag az állvány, melyhez egy bnárs és egy ternárs tag csatlaoz az állvány egy ternárs tag 9

110 5 Roboto nemata és dnama alapegyenlete 5. Geometra összefüggése Bár az parban alalmazott roboto ülönböző felépítésűe lehetne, jelentős részü merev tagoból álló nyílt láncú, elágazás nélül olyan mechanzmusént modellezhető, melyne szomszédos tagjat egy szabadságfoú (transzlácós vagy rotácós) ízülete apcsoljá össze. Egy nyílt láncú n -DOF robot esetén tehát az -ed tag helyzetét (pozícóját és orentácóját) csa a láncban őt megelőző tago helyzete és a hozzá tartozó csulóváltozó értée határozza meg. A rögzített bázs vagy nullás tagot B -vel lletve -val jelöljü, míg a manpulátor tag az n -ed tag, melyet E -vel s szoás azonosítan. 5.. Homogén transzformácó Egy P pont helyzetét megadó, az -ed taghoz rögzített értelmezett r P helyvetor és a bázshoz rögzített KR oordánátarendszerben KR B oordnátarendszerben értelmezett helyvetoro özött lneárs transzformácóal adhatju meg a apcsolatot. Ehhez tentsü r először az P és r P vetoro özött apcsolatot: ahol r p a KR oordnátarendszer r r r = p +, P P O orgójába mutató helyvetor a KR -ben. Amennyben a vetoroat a megfelelő oordnátáal reprezentálju, aor fgyelembe ell venn a oordnátatengelye özött forgatás transzformácót s: r p R r P = +, P. Itt tehát R, a KR -bel bázsvetorona KR -bel reprezentácójából felépített mátrx: B r r P R = x y z,,,. Az egyes oordnátarendszere özött forgatás és eltolás transzformácót az alább homogén transzformácóval s megadhatju: azaz célszerű a háromdmenzós r R P, p r P =, { { 4443 P r% A r%, P r P helyvetoro helyett a négydmenzós r % P vetort használn. A továbbaban a helyvetoro alatt mndg ezt a négydmenzós változatot értjü és az egyszerűség edvéért a ~-t elhagyju. Az, A transzformácó mátrxa a Denavt Hartenberg-oordnátá segítségével algortmzálva megadható, amennyben

111 az -ed és -ed tag a J ízületben csatlaoz; az -ed taghoz rögzített KR oordnátarendszer az x tengely a z és z tengelye normáltranszverzálsa; az O orgó az x és z metszéspontja; a H pont az x és z metszéspontja; z d az x és x tengelye távolsága ( d = O H, pontosabban Eze özül J ízület tengelye ; r ) H = dz ϑ az a szög, amellyel x -et z örül elforgatva x -vel párhuzamos tengelyt apun: r r r x sn x = z ϑ ; r r a a z és z tengelye távolsága ( a = H O, pontosabban H = a x, tehát r r r p = d z + a x ); α pedg az a szög, amellyel z -et apun: z r z r = x r sn α ; a, α : geometra függő állandó; ϑ : forgó apcsolatnál, d : przmatus apcsolatnál változ. x örül elforgatva z -vel párhuzamos tengelyt Így az -ed tag transzformácós mátrxa tehát a z tengely mentén történő r ; d eltolás és aörül ϑ elforgatás, valamnt az x tengely mentén történő a eltolás és aörül α elforgatás transzformácó egymásutánjaént s felfogható: A, ( q ) = Trz ( d ) Rot z ( ϑ ) Trx ( a ) Rot x ( α ), ( q = ϑ v. d ) S z S x ahol S x a a Cα Sα Cα Sα = Sα Cα Sα Cα és S z Cϑ Sϑ Sϑ Cϑ = d

112 Cϑ SϑCα Sϑ Sα acϑ Sϑ Cϑ Cα Cϑ Sα a Sϑ Sα Cα d A, = Sz S x Ezzel tehát r S S r P = z x P, és egy hat szabadságfoú nyílt láncú robot nullás és hatos tagjához rögzített 6 oordnátarendszerben ugyanazon P pontot megadó r P és r P helyvetoro özött apcsolat tehát: 6 rp = A( q ) A( q) LA56( q6) rp A6 ( q,, q6 ) A dret nemata feladatban az egyes tago relatív pozícóját özvetlenül meghatározó q általános oordnátá ( d vagyϑ ) előírásával az s meghatározható m r P smeretében. Az nverz nemata feladatnál adott a manpulátorhoz rögzített A m transzformácós mátrx smert és így KR m oordnátarendszer orgójána p r m helyvetora és a oordnátarendszer tengelyene (azaz a manpulátorna) r r r orentácója a xm, ym és zm bázsvetoro által, tehát smert az A m transzformácó mátrxa és eresett a q oordnátá azon értée, melyeel 5. Knemata alapegyenlete 5.. A robot Jacob-mátrxa Az -ed tag súlypontjána hely- és sebességvetora: de vegyü észre, hogy A q A m adód. r A r v = A r n, =, & q& = q A A ( q ) L L A ( q ) = U ( q).,,,, q Tehát az -ed tag súlypontjána sebességvetora: r P O m n = q& v = Az -ed tag relatív szögsebessége ( q = ϑ ): v U r J ( q) q&

113 r r & és így az -ed tag abszolút szögsebessége: [ ] ω,,, = q z ω, = qr, & 443 z ahol ω = ω δ q& R z J ( q ) q&,,, = =, ha J przmatuszület, δ =, ha J rotácószület. A robot egyes tagjana súlypontba reduált nemata vetorettőset tartalmazó nemata vetor és az általános oordnátá vetora özött a Jacob-mátrx teremt apcsolatot: 5.3 Dnama egyenlete { v } { ( )} Jv q ( ). { } = q& J q q& ω { Jω ( q)} A robot mozgásegyenletet holonom (geometra) ényszere esetén a másodfajú Lagrangeegyenlete segítségével vezethetjü le. Ehhez az előzőeben meghatározott sebesség- és szögsebességvetoroal fel ell írnun a netus energát: ω T { M } { v } = + n n,, [{ },{ }] m v ω R ΘR ω v ω = 443 = { Θ } { ω} Θ M( q) azaz T = q& D( q) q&, D( q) = J ( q) M( q) J( q). Ezzel a Lagrange-függvény a nehézség erő és egyéb potencálos erő potencálfüggvényével: L( q, q& ) = T ( q, q& ) U( q ) dj ( q ) q& q& j U ( q ). A másodfajú Lagrange-egyenlet pedg a dsszpatív tagotól eltentve: d L dj dj U L q& djq&& j + q& q& j + = τ, dt q q q q ahol τ a motornyomatéoból lletve egyéb erőből származó -ad általános erő, amt az erő vrtuáls teljesítményéből határozhatun meg. 3

114 5.4 Anholonom rendszere mozgásegyenlete Equaton Secton (Next)Az orábban levezetett elsőfajú Lagrange-egyenlete az anyag pontrendszere általános mozgásegyenletene tenthető mnd geometra, mnd nemata ényszere esetén érvényese, azonban a rendszer szabadság foánál több smeretlen salárfüggvényt (onfgurácós változót) tartalmazna és az egyenletrendszer s evert, ún. dfferencál-algebra egyenletrendszer (DAE). Felmerül a érdés, hogy holonom rendszerere vonatozó másodfajú Lagrange-egyenletehez hasonló egyenlete felírható-e, lletve hogy a másodfajú Lagrange-egyenlete hogyan módosulna nemata ényszere, tehát anholonom rendszer esetén. A levezetéseet most s pontrendszerre végezzü el, amt általánosíthatóna tentün merev testere s Routh Voss-egyenlete Tentsü az N anyag pontból álló térbel mechana rendszert, melye özött g darab geometra és κ darab nemata ényszer írható fel. Válasszun 3N g darab q általános oordnátát, melyeel az anyag ponto r helyvetora fejezhető és a geometra ényszerfeltétele automatusan teljesülne: r r ( q, t), továbbá tegyü fel, hogy a nemata ényszere a sebességvetoro lneárs fejezése: N f% j f% ( r, r&, t) f % ( r, t) r& + f% ( r, t) =, azaz f% jp =, ( j =,, κ). r& j jp p j p= A sebességvetoro és az általános sebessége özött összefüggéssel a ényszeregyenlete felírható az általános oordnátáal és sebességeel: r& r & r Ajl ( q, t) q& l + Aj ( q, t) =, ( j =,, κ ), (5.) 3N g = ql + l= ql t rp ahol Ajl = f % p jp és Aj = f % r j + f % jp. q t l A vrtuáls sebessége özött apcsolat lletve feltétel: azaz most δ q& - nem függetlene. r δ r& = δ q& l és Ajlδ q& l =, (5.) q l Megsmételve a másodfajú Lagrange-egyenlete levezetését a vrtuáls teljesítmény elvéne a d'alembert-elvre alalmazott változatából p 4

115 N N ( m&& r F ) δr& =, K δr& = (5.3) = = apju, hogy d T T Q δ q& =, δ = δ Qδ q = dt q q P F r& & (5.4) & = 3N g N de tt most δ q& - nem függetlene. A Lagrange-féle multplátor módszerrel egészítve a fent összefüggést vszont megfelelő µ együtthatóal δ q& - már függetlenne tenthető: j d T T Q µ j Aj δ q& = dt q& q (5.5) d T T = Q + µ j Aj, ( =,,3 N g). dt q& q Példa bevásárló ocs, gördesza, orcsolya, 5.4. Appell Gbbs-egyenlete Az előzőeben levezetett Routh Voss-egyenlete tehát az elsőfajú Lagrange-egyenletenél g -vel evesebb, összesen 3N g + κ darab smeretlent ( q -t és µ j -t) tartalmazna, de az egyenlete a nemata ényszereel együtt s dfferencál-algebra egyenletrendszerne tenthető, mvel csa a q általános oordnátána szerepelne az dő szernt első lletve másod derváltja az egyenleteben. A vázsebessége A nemata ényszeregyenlete üszöbölése általános oordnátáal nem lehetséges. Pontosabban az általános oordnátá özül választható n = 3N g κ darab, melye sebességene tetszőleges értée esetében a nemata feltétele a több általános sebesség megfelelő értéevel még elégíthető. Általánosabban fogalmazva, választható n darab ún. vázsebesség mnt az általános sebessége bzonyos lneárs ombnácója: σ = B q&, ( j =,, n). (5.6) j j Ez célszerűen úgy történ, hogy a nemata ényszere (5.) lneárs egyenletrendszerét egészítjü a fent egyenletrendszerrel oly módon, hogy az így apott σ j A a q& = (5.7) B σ 5

116 lneárs egyenletrendszer ( κ + n) (3 N g) méretű (négyzetes) együtthatómátrxa regulárs, azaz nvertálható legyen ( A = [ ], = [ ], A j B B j = A j sebessége fejezhető a váz sebessége lneárs ombnácójaént: a [ ] stb.). Így már az általános ( C j ) q& = Cσ + c, C = [ ]. (5.8) Ezzel a vrtuáls sebességvetoro és a vrtuáls vázsebessége özött apcsolat: A Gbbs-féle gyorsulásenerga és a mozgásegyenlete r δ r& = Cljδσ j γjδσ j. (5.9) q l Vezessü be a netus energa mntájára a övetező, ún. Gbbs-függvényt és tentsü a σ& - szernt parcáls derváltját: j mvel G && r G =, (5.) N N N m&& r m&& r m&& r γj = & σ j = & σ j = && r r& γ && r γ & γ γ. = jσ j + = jσ j + j σ j + = j & σ j. (5.) Ezzel a d'alembert-elv: G δ δσ Π δσ =, & N n N ( m&& r F ) r& ( m&& r γ F γ ) j j j j j = j= = σ j (5.) ahol már δσ j - tetszőlegese, így a mozgásegyenletene a σ j vázsebességere és általános oordnátára vonatozó Appell Gbbs-féle, a nemata ényszereel s egészített elsőrendű rendszere: q G & σ j = Π, ( j =,, n) j (5.3) q& = C, (,, ) jσ j + C = n + κ (5.4) ahol Π j = F γ j az ún. vázerő, amt a vrtuáls teljesítményből s meghatározhatun: = Merev test mozgásegyenlete A merev test gyorsulásenergája (Gbbs-függvény): 6 N δ P = F δ r& Π jδσ j. (5.5)

117 mvel a = a + ε R + ω ( ω R ). S G = d ( ), a m ma ( m) S + ε ΘSε + ε ω ΘSω + Ezzel az Appell Gbbs-egyenleteből s származtathatju a Newton Euler-egyenleteet szabad mozgás ( n = 6 DOF) esetén: rs vs q =, σ = q&, δ P F δ vs + MS δω = [ F MS ] δσ φ ω 443 Π G a G ma S S = G as = Π : σ& G εg Θ ε + ω Θ ω = ε Bevásárló ocs anholonom modellje 7 F, M S S S Modell: az xy síban mozgó m és m tömegponto, melyeet l hosszúságú, tömeg nélül merev rúd öt össze. A pontrendszer mozgását az m tömegre ható, rúdrányú F erővel, valamnt az m tömegre ható, a rúdra merőleges F erővel befolyásolju. Az anholonom ényszert az m tömegpont sebességvetorára írju elő: ez szntén csa rúdrányú lehet (azaz az tten eree tengelye rögzített). A ényszeregyenlete tehát: Így az elsőfajú Lagrange-egyenlete: f ( r r ) l =, f% ( r r ) r& =. f f F m r = F % && + λ + µ λ ( r r ) + µ ( r r ), r r& l f f% F m&& r = F + λ + µ [ ] + λ ( r r ), r r& l amt fejtve saláregyenletrendszerré: x x m&& x = F λ ( x x ) µ ( y y), l y y m && y = F λ ( y y) + µ ( x x ), l y y m && x = F + λ( x x ), l

118 x x m && y = F + λ( y y) l a ét ényszeregyenlettel egy dfferencál-algebra egyenletrendszert apun smeretlen x ( t), y ( t), x ( t), y ( t), λ ( t) és µ ( t) függvényeel. A λ és µ multplátoro az egyenlete alább lneárs ombnácójával üszöbölhető: azaz ( m&& r + m && r ) ( r r ) = ( F + F ) ( r r ) F l m (&& r ) ( r r ) = ( F ) ( r r ) F l, ( m && x + m && x )( x x ) + ( m && y + m && y )( y y ) = F l m (&& y ( x x ) && x ( y y )) = F l + f =, f% = (v. && & f =, f% = ). Az egyenlete egyszerűbb alaját apju, ha a geometra ( f = ) ényszeregyenletene megfelelő, N g = 3 darab általános oordnátát választun ( x, y és ϕ ), azaz x l cosϕ x& l& ϕ snϕ r =,. y r = r + = l snϕ r& y + lϕ cosϕ & & Vszont teljesüln ell még a nemata ényszeregyenletne s: f% lx& snϕ + ly& cosϕ =. Ezeel a netus energa és az erő vrtuáls teljesítménye: T m = mr& + mr& ( m + m )( x& + y& ) + ( l & ϕ l & ϕ ( x& sn ϕ y& cos ϕ )), δ P = F δ r& + F δ r& F ( δ x& cosϕ + δ y& sn ϕ ) + F ( δ x& sn ϕ + δ y& cos ϕ ) + F lδϕ&. A netus energa derváltja: T x& T y& T = ( m + m ) x& ml & ϕ s nϕ, =, x T = ( m + m ) y& + ml & ϕ co sϕ, =, y 8

119 T = ml & ϕ ml( x& snϕ y& cos ϕ), & ϕ T = ml & ϕ( x& cosϕ + y& sn ϕ). ϕ A Routh Voss-féle mozgásegyenlete d T T f% = Q + µ dt q& q q& tehát: ( m + m )&& x m l( && ϕ sn ϕ + & ϕ cos ϕ ) = F cosϕ F sn ϕ µ sn ϕ, ( m + m )&& y + m l( && ϕ cosϕ & ϕ sn ϕ ) = F snϕ + F cosϕ + µ cos ϕ, m l && ϕ m lx && sn ϕ + m ly && cos ϕ = F l, melye a nemata ényszeregyenlettel együtt egy evert másod- lletve elsőrendű dfferencálegyenlet-rendszert alotna. Ezt Cauchy-átírással egy 7 dmenzós elsőrendű egyenletrendszerré lehet átírn, amben vszont nem szerepelne a µ multplátor derváltja. A nemata ényszeregyenleteet a N g κ = darab vázsebesség ( σ, σ ) választásával üszöbölhetjü. Egészítsü a nemata ényszeregyenletet a vázsebessége és az általános oordnátasebessége özött olyan lneárs összefüggéseel, melye segítségével az egyenletrendszerből az általános oordnátasebessége fejezhető leszne. Például: snϕ cosϕ x& x& snϕ cosϕ σ cosϕ cosϕ snϕ y& = σ y& = cosϕ snϕ σ σ sn ϕ. & ϕ σ & ϕ σ σ Az Appell Gbbs-egyenlete: G & σ j = Π j, melye felírásához szüségün lesz a Gbbs-féle gyorsulásenergára és a vrtuáls teljesítményre s mnt a vázsebessége függvénye: A tömege gyorsulása tehát: G = m&& r + m && r, δ P = F δσ + Flδσ. r & σ cosϕ σσ snϕ σ snϕ σ cosϕ =, = + l. σ snϕ + σσ cosϕ r r & && && && & & σ cosϕ σ snϕ 9

120 A négyzetre emelés elerülhető hszen azaz az elsőrendű mozgásegyenlete a nemata ényszereből nyert fejezéseel egészítve: G G && r cos sn G ϕ G l ϕ, ( m&& r + m && r ), m. σ j = σ j σ snϕ && r & && r & & σ l cosϕ & ( m + m ) & σ m lσ = F, m l m l & F l σ σ + σ =, x& = σ cos ϕ, y& = σ sn ϕ, & ϕ = σ, ahol az első ét egyenlet függetlenül megoldható, és σ ( t), σ ( t) smeretében adott ezdet feltételeel x ( t), y ( t), ϕ ( t) s ntegrálható. Specáls mozgáso A σ v és σ ét egyenletből ω paraméterű staconárus mozgáso feltétele az első m lω = F, m vω = F. A staconárus mozgáso stabltás vzsgálatához nézzü a varácós rendszert: w σ = v + u µ l, σ = ω + l lletve rendezzü át u& = Ju + f() alara: w lu l & = + l, µ µ ω µ ω l ( ) vω w w& = v + u µ l ω +, l l l l µ w w f3w u µω u α + & l v v. w = µω w + & µ α u w + fuw l uw l l A övetező nemlneárs transzformácóval normál formára rendezve (a v = rtus esetben): ξ + ξη + u 3ω l & ξ ξ δ β ξ η ξ η + + 3ω l 6ω l ( ), w = = µω ξ η + + η η β δ η & ahol

121 ( f f3 f f3 f f f3 f f3 f α ) δ = ( + )( ) + ( + )( + ) +. 8α

122 Robotmechanzmuso III. rész - Mellélet Budapest, 4

123 Példá Tpus nyíltláncú robotaro A Denavt-Hartenberg onvencó értelmében az egyetlen változó a θ szög, a tovább paramétere állandó. Továbbá a mellélet folyamán a övetező egyszerűsített jelölést alalmazzu, amely a robota szaönyveben általános alalmazott rövdítés, azaz c cos( θ ) =, s sn ( θ ) Síbel önyö manpulátor =, cj cos( θ θ j ) = +, és sj sn ( θ θ j ) = +. Ahogy az ábrán s látható, a síbel önyö manpulátor (angolul: planar elbow manpulator) ét artagból áll.. ábra: síbel önyö manpulátor [] A csuló z, z, z tengelye merőleges a lap síjára, és felé mutatna belőle. A manpulátor bázsát az { O; x, y, z } oordnáta rendszer jelz. Fontos megjegyeznün, hogy a oordnáta rendszer felvétele során, a Denavt-Hartenberg onvencó értelmében a oordnáta rendszer orgóját, valamnt a z tengely rányát tudju megválasztan, az x tengely ránya tetszőlegesen megválasztható, ezáltal az y tengely ránya adód. A tovább { O ; x, y, z } és { O; x, y, z } oordnáta rendszereet a Denavt-Hartenberg onvencó értelmében már defnálhatju. A Denavt-Hartenberg paramétereet az alább táblázatba foglaltu össze Kar a α d θ a θ a θ Az { O; x, y, z } oordnáta rendszert az { O ; x, y, z } oordnáta rendszerbe a transzfomácós mátrxszal vhetjü át, azaz D 3

124 c s ac s c as D =. (5.6) Az { O ; x, y, z } oordnáta rendszert az { O; x, y, z } oordnáta rendszerbe az D transzformácós mátrxszal vhetjü át, azaz c s ac s c as D = (5.7) Felhasználva a D és D transzformácós mátrxoat épezhetjü a T transzformácós mátrxot, amely a bázs oordnáta rendszert átszámolja a végberendezés oordnáta rendszerébe, azaz fejtve T = D D, (5.8) c s ac + ac s c as + as T =. (5.9) Elemezve a T transzformácós mátrxot, vegyü észre, hogy a transzformácós mátrx (,4) lletve a (,4) eleme reprezentálja az O orgó x és y oordnátát a bázs oordnáta rendszerben leírva, azaz x = ac + ac, (5.) y = as + as, (5.) amelye továbbá a végberendezés oordnátá a bázs oordnáta rendszerben. A transzformácós mátrx forgatás része pedg az { O; x, y, z } oordnáta rendszer orentácóját mutatja a bázs oordnáta rendszerhez épest. T 4

125 Hengeres robot Ahogy az ábrán s látható, a hengeres robot (angolul: cylndrcal robot) három artagból áll.. ábra: hengeres robot [] Az O orgó az. csuló, talajhoz rögzített bázs oordnátarendszeréne orgója. A z tengely az orgón fut eresztül és a csulóból felé mutat (ezen tengely örül forog az. csuó). Az x tengely rány tetszőlegesen megválasztható, am választásun, hogy az x tengely merőleges a lap síjára. Ebben az esetben a θ paraméter értée zérus. Ezután az y tengely ránya már adód. A másod csuló transzlácót hajt végre. Ez esetben a z és z tengelye egymással párhuzamosa és ugyanabba az rányba mutatna. Ebben az esetben s az x tengely ránya tetszőlegesen megválasztható, de célszerű az x tengellyel párhuzamosan és az x tengellyel azonos rányba felvenn. A Denavt-Hartenberg onvencó értelmében z és z tengelye merőlegese egymásra, valamnt az O orgó a tengelye metszéspontjában helyezed el. Az x tengelyt párhuzamosna választju az x tengellyel, tehát ebben az esetben θ paraméter értée zérus. Végezetül a végberendezéshez rögzített oordnáta rendszert alaítju, amelyne tengelye párhuzamosa az { O; x, y, z } oordnáta rendszerrel, azonban a oordnáta rendszer orgója a végberendezés özéppontjában található. A Denavt-Hartenberg paramétereet az alább táblázatba foglaltu össze Kar a α d θ d θ -9 d 3 d 3 Az { O; x, y, z } oordnáta rendszert az { O ; x, y, z } oordnáta rendszerbe a transzfomácós mátrxszal vhetjü át, azaz D 5

126 c s s c D. (5.) = d Az { O ; x, y, z } oordnáta rendszert az { O; x, y, z } oordnáta rendszerbe az D transzformácós mátrxszal vhetjü át, azaz D = (5.3) d Az { O; x, y, z } oordnáta rendszert az { O3; x3, y3, z 3} oordnáta rendszerbe az D 3 transzformácós mátrxszal vhetjü át, azaz D 3 = (5.4) d3 Felhasználva a D, D és D3 transzformácós mátrxoat épezhetjü a T transzformácós mátrxot, amely a bázs oordnáta rendszert átszámolja a végberendezés oordnáta rendszerébe, azaz fejtve T = D D D, (5.5) 3 3 c s sd 3 s c c d T. (5.6) 3 = d + d 6

127 Gömb csuló Az alább ábrán egy gömb csuló, vagy Euler csuló látható (angolul: sphercal wrst). 3. ábra: Euler csuló [] A gömb csuló esetén a z3, z 4 és z 5 tengelye egy pontban metsz egymást, a 5. csuló oordnátarendszeréne orgójában. A Stanford manpulátor egy jó példája az par robotona, amely gömb csulóval rendelez. A Stanford manpulátor alapját egy RRP robot, vagy gömboordnátás robot épz. A Denavt-Hartenberg paramétereet az alább táblázatba foglaltu össze Kar a α d θ 4-9 θ θ 5 6 d 6 θ 6 A gömb csuló specaltása, hogy a θ 4 θ 5 θ 6 csulóváltozó az Euler-féle szöge, rendre ϕ, ϑ, és ψ az { O3; x3, y3, z 3} oordnáta rendszerben fejezve. A orábba értelmében az { O3; x3, y3, z 3} oordnáta rendszert az { O4; x4, y4, z 4} oordnáta rendszerbe a transzfomácós mátrxszal vhetjü át, azaz 3 c4 s4 s4 c4 D 4 =. (5.7) Az { O4; x4, y4, z 4} oordnáta rendszert az { O5 ; x5, y5, z 5} oordnáta rendszerbe az 4 D 5 transzformácós mátrxszal vhetjü át, azaz c5 s5 s5 c5 D 5 = (5.8) 4 3 D 4 7

128 Az { O5 ; x5, y5, z 5} oordnáta rendszert az { O6; x6, y6, z 6} oordnáta rendszerbe az 5 D 6 transzformácós mátrxszal vhetjü át, azaz Felhasználva a 3 D, 4 4 D és 5 5 c6 s6 s c D (5.9) = d6 6 D transzformácós mátrxoat épezhetjü a transzformácós mátrxot, amely a bázs oordnáta rendszert átszámolja a végberendezés oordnáta rendszerébe, azaz fejtve 3 T = D D D, (5.3) c4c5c6 s4s6 c4c5s6 s4c6 c4s5 c4s5d 6 s4c5c6 + c4s6 s4c5s6 + c4c6 s4s5 s4s5d 6 T 6 =. (5.3) s5c6 s5s6 c5 c5d6 T 8

129 Példa Robot manpulátor vezérlésére A robot manpulátor mechanája öt részre tagolható (lásd a lent ábrán). A manpulátor mozdulatlan része a törzs. A törzshöz a törzsízülettel apcsolód a váll. A vállhoz a vállízülettel a felar, a felarhoz a önyöízülettel az alar apcsolód. Az alarhoz a csulóízület apcsolja a megfogót. A csulóízületet ét független úperé alotja. A ét úperé egydejű és megfelelő rányú mozgatása a megfogó egymástól független bllenő és csavaró mozgását tesz lehetővé. A megfogó három nytható-zárható rugalmas ujjból áll. A mozgást hat négyfázsú léptetőmotor végz. 4. ábra: A robot manpulátor felépítése A vezérelt mozgás programozása alapvetően étféle módon történhet. Az egy lehetőség az, ha a mozgatn ívánt motorhoz rendelt bllentyű megfelelő sorrendű lenyomásával véggvezetjü a robot manpulátort a ívánt pályán, mözben a program a pálya bzonyos pontjahoz rendelt oordnátáat tárolja. A más lehetőség a mozgás programozására az, ha a pálya pontjat vlágoordnátában özöljü a vezérlőprogrammal. A robot manpulátor jelenleg nncs érzéelőel ellátva, ezért beapcsolás után vagy egy előre defnált (lásd a lent ábrán) referencahelyzetbe ell azt hozn, vagy vlágoordnátában özöln ell a programmal a robot manpulátor beapcsolás pllanatában elfoglalt helyzetét. 9

130 5. ábra: A robot manpulátor referencahelyzete A robotrodalomban szoásos jelöléssel ülönböztettü meg a hajlító és a csavaró ízületeet. Az ízület változóat q -vel, az ízülete távolságát b -vel jelöltü. A robot manpulátor Denavt-Hartenberg leírás mód szernt geometra paraméteret az alább táblázatban özöljü.. táblázat: Denavt-Hartenberg paramétere táblázata Tago α [fo] - q q 3 q 4 θ [fo] - q q 5 a [mm] b [mm] A referencahelyzetben mnden artag tengelye merőleges az alapsíra, az ízület változó értée nulla, a megfogó pozícója [,, 7]. A program mozgatása özben mndg azt tartja nylván, hogy az egyes motoro hány lépés megtétele után erülne a robot manpulátor adott helyzetéből a referencahelyzetbe. A programna azt mndg tárolna ell, hogy az egyes motoro mlyen gerjesztés állapotban vanna. 3

131 A tárolt pályapontoon aár folyamatosan, aár pontonént előre-hátra pontonént vezethetjü végg a robot manpulátort, mözben lehetőségün van a pálya módosítására, pontosítására. A véggvezetéses pályatanítás özben a program aor őrz meg egy pályapontot, ha bármely motor az utolsó tárolt pályapont óta lépésben többet tett meg (ez egy artag b. 6 -os elfordulását jelent), bármely motor mozgásránya megváltoz (beleértve a motor elndulását és leállását), egy fontosna ítélt pontnál erre ülön utasítást adun. Az nverz geometra feladat bemutatása Az nverz geometra feladat megoldásaor a megfogó vlágoordnátában megadott állapotából (amelyne megadás módját a ésőbbeben defnálju) az úgynevezett ízület oordnátáat számítju. Az ízület oordnátá alatt az ízületene a referencahelyzetből történő q elmozdulásat értjü. Tentsü az alább ábrát, ahol feltüntettü a Denavt-Hartenberg leírás módszer szernt választott ízület oordnátarendszereet. A megfogó állapotát vlágoordnátában a pozícójával, az orentácójával és az ujja helyzetével adju meg. 6. ábra: Az ízület oordnátarendszere A pozícó három oordnátája ( X m, Ym, Z m) a robot manpulátor munaterén belül tetszőlegesen előírható. Az orentácót az úgynevezett Euler-szögeel adju meg (lásd alább ábra) amelyne a vlágés a megfogó oordnátarendszere özött teremtene apcsolatot. 3

132 7. ábra: Euler-féle szöge Mvel a robot manpulátor csa öt szabadságfoú, ezért az Euler-szöge csa a β és γ választható tetszőlegesen. Az α szöget a pozícó határozza meg. A megfogó ujja helyzetét azzal írju elő, hogy megadju anna a hengeres tárgyna az átmérőjét, amelyet még szorítás nélül épes megfogn. Ismeretes, hogy az nverz geometra feladatna általában több megoldása van. A program alapértelmezésben olyan megoldást eres, amor a robot manpulátor a válltól előre nyúl, vagys a váll oordnátarendszerében a megfogó pozícójána Y,m oordnátája nem negatív értéű. Továbbá az alapértelmezésben a önyö felső helyzetben van, tehát q3. A program lehetőséget nyújt arra, hogy mozgatás során a robot manpulátor az alapértelmezéstől eltérő helyzetbe erüljön. A vlágoordnátában megadott β és γ szöge megegyezne a csulóízület q 4 és q 5 elmozdulásaval. Ha a megfogó pozícóját az x y síra vetítjü (lásd alább ábra) és fgyelembe vesszü a váll oordnátarendszerére tett ötést, aor q törzselfordulást egyértelműen meghatározhatju. 3

133 8. ábra: A q elmozdulás meghatározása Ha X m, aor Ym π q = arctg sgn ( Ym ) sgn ( Xm ) X. (5.3) m Ha X m, és Y m =, aor q értée határozatlan. Ebben az esetben a törzs megtartja orább helyzetét. A q elmozdulással a megfogó orentácója s smertté vál, így öveteztethetün a csulóízület [ Xc8, Yc8, Z c8 ] pozícójára π q = sgn ( Y m ) (5.33) Ha X m =, és Y m =, aor q értée határozatlan. Ebben az esetben a törzs megtartja orább helyzetét. A q elmozdulással a megfogó orentácója s smertté vál, így öveteztethetün a csulóízület [ Xc8, Yc8, Z c8 ] pozícójára c8 m 5 ( ) sn ( ) X = X b cos q β (5.34) c8 m 5 ( ) sn ( ) Y = Y b sn q β (5.35) Z cos( ) c8 = Zm b5 β (5.36) 33

134 Az alar, a felar és a megfogó a váll oordnátarendszerében mndg a z és q tengelye által feszített síba es. Rajzolju meg e síban az említett artagoat (lásd az alább ábra). A csuló-, a önyö- és a vállízület alotta háromszög ét oldalát onstrucós adatoból smerjü. A harmad oldal meghatározása érdeében számítsu a csulóízület pozícóját a (lásd az alább ábra) oordnátarendszerében. Térjün át polár-oordnátára Ha Z, c8, aor ( ) sgn ( ) Y = sgn X X X + Y (5.37), c8 m c8 c8 c8 ( ) Z = Z b + b (5.38), c8 c8, c8, c8, c8 r = Y + Z (5.39) ϕ Y ( Y c ), c8, c8 = arctg sgn, 8 Z, c8 π sgn ( Z, c8 ) (5.4) (5.4) Ha Z, c8 = és Y, c8 = aor π ϕ, c8 = sgn ( Y, c8 ) (5.4) A Z, c8 = és Y, c8 = eset nem lehetséges, ívül es a robot manpulátor munaterületén. Az említett háromszögben a q 3 egészítő szögét a osznusztétellel számítju. Fgyelembe véve a önyö pozícójára tett ötést, a q 3 elmozdulást a övetező egyenlettel apju meg q 3 r, c8 b3 b = π arccos b b3 (5.43) Mvel az alar és a felar hossza megegyez, vagys a vzsgált háromszög egyenlő szárú, a q elmozdulás s önnyen meghatározható: q q3 = ϕ (5.44), c8 Ezzel smertté vált az összes ízület elmozdulás nagysága, amelyeet az áttétele (beleértve a megfogó ujja áttételét) smeretében önnyen átszámíthatun a motoro lépésszámavá. 34

135 Két pályapont özött a motoro állandó sebességgel mozogna. Ha azt szeretnén, hogy az általun megadott ét pályapont özött a robot manpulátor özelítőleg egyenes vonal mentén haladjon, aor utasítást adhatun arra, hogy a program a ezdő- és végpont özé generáljon adott számú az egyenes vonalú pályára eső pályapontot. A program elsősorban otatás céllal észült, ezért a felhasználó a számítógép épernyőjén mndg pontosan nyomon övethet a számításoat és a robot manpulátor helyzetét aár ízület, aár vlágoordnáta-rendszerben. Az nverz geometra feladat számítása özben a program ellenőrz, hogy az adott ízület elmozdulás nem ütöz-e a robot manpulátor onstrucós orlátaba, ugyanaor jelz a felhasználóna, ha a megfogó, vagy végberendezés adott állapotát a robot manpulátor az alapértelmezéstől eltérő módon s meg tudja valósítan. A jövőben a robot manpulátort érzéelőel ívánju ellátn és az otatás célotól az par génye felé gyeszün özelíten. 35

136 Példa A manpulátor llesztése IBM AT ompatbls számítógéphez Az llesztés a számítógép párhuzamos prnterpontján valósul meg. (A manpulátort előzőleg már egy Snclar Spectrum számítógéphez s llesztettü, és az ott alalmazott megoldást módosítottu a szüséges mértében.) Az llesztő áramör az alább ábrán látható. 9. ábra: Az llesztő áramör A motoro gerjesztés állapotát hat D tárolóból álló 4 btes memóra írja elő. E D tároló TTLszntű menetet feszültség- és teljesítményerősítés után apcsolju a léptetőmotoro fázsteercsere. A számítógép egyetlen output utasítással csa egyetlen motor léptetésére adhat parancsot. Az adott motor övetező lépéséne megfelelő gerjesztést a párhuzamos port a nyolc adatvonal özül a felső négy helyértéen ( D 7 D4 ) özl. A léptetendő motor sorszámát a D 3 D adatvezetée tartalmazzá. A sorszám deódolását egy demultplexer végz. A demultplexer megfelelő menete ad engedélyt a léptetendő motorhoz tartozó D tárolóna a motor övetező gerjesztés állapotát előíró adat fogadására. A számítógép strobejele egy monostabl multvbrátor bemenetéhez csatlaoz. E multvbrátor a strobejel hatására a beállított deg engedélyt ad a robot manpulátorna az adato fogadására, ha özben a D adatvezeté a loga nulla szntne megfelelő potencálon van. A 6. ábrán feltüntettü a prnterport azon bemenetet, amelyeet a műödés érdeében állandó potencálra ell apcsoln. 36

137 Példa A robotvezérlő program használat utasítása A program betöltése: c:\ robot\ robvez Az ndítást övetően a övetező érdésre ell választ adn: Referenca helyzetben van a ar? A válasz az I (gen) vagy az N (nem) betű leütése lehet. Ha a válasz N, aor a program megérdez a megfogó pozícóját mllméterben és orentácóját foban. A fent bejelentezést övetően a főmenü jelen meg a épernyőn. (lásd alább ábra). ábra: főmenü A menüponto mellett a épernyő jobb oldalán ét megjegyzést találun: fél lépés, továbbá parancs adás nncs. Mndét megjegyzés a program egy-egy loga változójána állapotára utal. Az első arra vonatoz, hogy a léptető motoroat fél vagy egész lépésenént vezéreljü. E változó beállítása a főmenüben az E vagy az F betű leütésével történ. A más jelző segítségével engedélyezhetjü vagy tlthatju a léptető motoro tényleges mozgását elődéző parancs adását. E jelző beállítása szntén a főmenüben történ a V (parancs adás van) lletve az N (parancs adás nncs) betű leütésével. A főmenüben az egyes menüponto özött választásunat a menüpont előtt lévő sorszám leütésével özölhetjü a program számára. Kéz vezérlés Ebben az üzemmódban a ar manpulátorént műödtethető (a mozgás programozására nncs mód). A épernyőn az alább ábrán jelen meg, ahol leolvasható, hogy az egyes ízülete ülönböző rányú mozgásána mely bllentyű leütése felel meg. A mozgás özben a program folyamatosan csa azt tartja nylván, hogy az adott pozícóból az egyes motoro hány lépés megteltével térhetne vssza a ar referencahelyzetébe. E menüpont a mozgás begyaorlását szolgálja. 37

138 Pályatanítás. ábra: Kezelés útmutató Az előző menüponthoz hasonló mozgatást tesz lehetővé, egészítse azzal, hogy a épernyő jobb oldalán folyamatosan megjelen a léptetőmotoro megtett lépéseneszáma. Továbbá a mozgatás özben a övetező eseteben a program az adott pályapont relatív helyzetét eltárolja ha bármely motor az utolsó tárolt pályapont óta 7 lépésnél többet tett meg (ez egy artag b. 6 -os elfordulását jelent); ha bármely motor mozgásránya megváltoz (beleértve a motor elndulását és leállását); ha egy fontosna ítélt pontnál erre ülönutasítást adun az M betű leütésével. A pálya smétléseor a program ezeen a tárolt pontoon vsz végg folyamatosan a art, de lehetőség van arra, hogy bzonyos pályapontoban a T betű leütésével váraozás dőt írjun elő. A váraozás dőt mlszeundumban ell megadn. (lásd az alább ábrán) A pályatanítás egy almenüpontja a pálya edtálására nyújt lehetőséget.. ábra: Pályatanítás Kjelölhetün pályaszaaszoat, amelyeet törölhetün, smételhetün, vagy az adott helyre újabb mozgássort szúrhatun be. A pályatanítástól eltérően a ar helyzeténe megjelenítése az ízület oordnátáal történ. Az edtor üzemmód lehetséges parancsat az alább ábrán láthatju. 38

139 Off-lne programozás 3. ábra: Edtálás Az off-lne programozás lehetőséget nyújt arra, hogy a robotar mozgását vlágoordnátában írju elő. A pályaponto pozícójána megadása mllméterben történ, a megfogó orentácóját fooban ell előírn. Az off-lne programozás épernyőjét az alább ábra mutatja. 4. ábra: off-lne menü Az adatbevtelnél a program sorra írja a oordnátá jelet s neün mögé ell gépeln az adott oordnáta értéét. (lásd az alább ábra) Ha egy pont oordnátána megadásával végeztün, aor a övetező érdésre ell válaszoln: íván egyenes vonalú pályát generáln? A válasz I (gen) vagy N (nem) betű leütése lehet. 5. ábra: Adatbevtel 39

140 6. ábra: Hbás oordnátá számítása Ha a válaszun I (gen), aor meg ell adn, hogy az utolsó ét pályapont özött hány olyan pontot generáljon a program, amelye a ét pontot összeötő egyenesre esne. A övetező érdés: Kíván tovább pályapontot megadn? A válasz smét az I vagy N betű leütése lehet. Ha I betűvel válaszolun, aor folytathatju a oordnátá megadását, a más esetben a. ábrán látható éphez térün vssza. Az adatmódosításor a megváltoztatn ívánt pályapont sorszámát ell megadn. Az nverz geometra feladat megoldása a orábbaban smertetett algortmus szernt valósul meg. A megoldás során a program ellenőrz, hogy a számított pozícót a ar valóban fel tudja venn-e vagy sem. Ha a oordnátáat rosszul adtu meg, aor a program 3. ábrán látható hbaüzenetet adja, írja az adott pont oordnátát (amely a megfogóra vonatoz), a csuló oordnátát mnd a vlág oordnátarendszerben mnd a váll oordnátarendszerében és az ízület oordnátáat, így önnyen megereshetjü a hba oát. A program a pályát végül az egyes motoro lépésszámara bontja le. Alaphelyzet beállítása Külső aadály elődézhet a léptető motoro lépéstévesztését, megcsúszását, lyenor a pozícóérzéelő hányában a robotart ézzel smét a referenca helyzetbe ell vnn. E menüpont erre nyújt lehetőséget azzal, hogy leapcsolja a léptető motoro gerjesztését, így megszűn a motoro állónyomatéa. A beállítás befejezését a space bllentyű leütésével jelezhetjü a programna. Mozgatás alaphelyzetbe E menüpontban a program a referencahelyzetbe vsz a robotart. A pálya smételtetése A vezérlő program ugyanolyan formátumban tárolja a ar mozgását, függetlenül attól, hogy azt a pályán véggvezetéssel (pályatanítással) vagy off-lne üzemmódban programoztu be. E menüpontban a program véggvsz a robotart az előírt mozgássoron. 4

141 A pálya megjelenítése E menüpontban nem grafus, hanem oordnátáal való megjelenítésről van szó. Végg mehetün a pályapontoon és azo a épernyőn a 4. ábra formátumában jelenne meg. 7. ábra: Pályaponto megjelenítése 4

142 Példá roboto csoportosítása A robot defnícója A robot eletromechana szerezet, amely előzetes programozás alapján épes ülönböző feladato végrehajtására. Lehet özvetlen ember rányítás alatt, de önállóan s végezhet a munáját egy számítógép felügyeletére bízva. Roboto csoportosítása A robotoat rengeteg szempont alapján lehet csoportosítan. Eze özül csa a legfontosabbaat említjü. Mobltásu alapján: mobl roboto helyhez ötött roboto Felhasználásu alapján: anyagmozgató technológa műveletet elvégző szocáls Helyhez ötött roboto nematáju alapján: párhuzamos nematájú láncolt nematájú vegyes nematájú Mobl roboto nematáju alapján: dfferencáls holonomus egyéb Felhasználás szernt csoportosítás Manapság a roboto szerteágazó feladatöröet töltene be, mely folyamatosan bővül a technológa fejlődésével. Ebből adódóan a legcélszerűbb őet a feladatörü szernt csoportosítan Ipar roboto (Industral robots) Az par roboto özé sorolhatóa azo a roboto, amelye a gyártás során végz a feladatuat. Jellemzően eze specáls robotaro, amelye ülönböző műveleteet hajtana végre, az alatrésze behelyezésétől a hegesztésen át egészen a festésg. Taarító vagy háztartás roboto (Domestc or household robots) 4

143 Ide tartozna a háztartás feladatoat ellátó roboto, amelye megönnyít az embere mndennapjat. Például: porszívó robot, medence taarító robot, sepregető robot, eresz taarító robot. Orvos roboto (Medcal robots) Azo a roboto, amelyeet a gyógyszerparban és az orvostudomány területén alalmazna. Elsősorban a sebészet roboto tartozna de. Servce roboto (Servce robots) Roboto, amelyeet feladatu alapján egy ategórába se tartozna. Eze lehetne ülönböző adatgyűjtő és feldolgozó roboto, amelye segíthetne például egy utatást vagy valamlyen szolgáltatást. Katona roboto (Mltary robots) Roboto, amelyeet a hadparban alalmazna. Ide tartozna például a tűzszerész roboto, a ülönböző szállító roboto, vagy a távrányított felderítő repülőgépe. Szóraoztató roboto (Entertanment robots) Ebbe a ategórába azo a roboto tarozna, melyene célja az embere szóraoztatása. Például lyene a táncoló roboto, vagy a ereeen guruló ébresztőóra. Űr roboto (Space robots) Ide tartozna azo a roboto, amelyeet az űrben alalmazna, például a felderítő roboto, vagy a nemzetöz űrállomásoon használt roboto Hobby roboto (Hobby and competton robots) Hobby roboto, amelyeet a felhasználó építhet össze és programozhat be ülönböző feladatora. Természetesen vanna olyan összetettebb roboto, amelye nem sorolhatóa be egyértelműen egy ategórába, mvel több feladatra s alalmasa. Ipar és szolgáltató roboto néhány ülönbsége Felhasználásu szernt a robotoat tehát ét nagy csoportra lehet bontan; par és szolgáltató robotora. Az par roboto már hosszú deje az par automatzálás részét épez, a szolgáltató roboto azonban egyelőre még soal evésbé elterjedte. Az elmúlt ét évtzedben azonban számos utató és fejlesztő projet rányult a szolgáltató robotora, és a roboto felhasználás területe egyre nább bővül. A. táblázat szemléltet az par és szolgáltató roboto özött alapvető ülönbségeet 43

144 . táblázat: Különbsége az par- és a szolgáltató roboto özött IPARI ROBOTOK SZOLGÁLTATÓ ROBOTOK MUNKAKÖRNYEZET Ellenőrzött és jól meghatározott örnyezet Rendezetlenebb, nehezebben defnálható örnyezet FELHASZNÁLÓK Betanítás specáls feladatora A betanítás a tevéenysége szélesörű sáláját ölel fel BIZTONSÁG Gépfüggő Robot és felhasználófüggő MUNKAFILOZÓFIA Roboto és embere elülönítése Robotona és emberene meg ell osztoznu a munaterületen, hogy szolgáltatást nyújtsana/apjana GÉP TERVEZÉSE Megbízásra rugalmasan reagál Igényre rugalmasan reagál Szolgáltató roboto csoportosítása Az alább táblázato az ISO 348 szabvány szernt defnícó alapján mutatjá be a szolgáltató robotoat, és azon belül részletesen a személy gondozó robot típusat. 3. táblázat ROBOT Mozgásba hozott mechanzmus, ét vagy több tengelye programozható, bzonyos foú autonómával rendelez, a örnyezetében mozog, hogy feladatoat hajtson végre. IPARI ROBOT Az par robot egy automatus rányítású, újraprogramozható, többcélú automatus par feladato elvégzésére használt manpulátor, három vagy több tengelye programozható, melye lehetne rögzítette vagy mobla. SZOLGÁLTATÓ ROBOT Olyan robot, amely hasznos feladatoat hajt végre embere vagy berendezése számára, véve az par automatzáló berendezéseet. KISZOLGÁLÓ ROBOT Olyan szolgáltató robot, mely lehetővé tesz a fza ontatust az embereel, támogató tevéenységeet lát ORVOSI/EGÉSZSÉGÜGYI ROBOT Olyan robot vagy robota berendezés melyet orvos eletromos berendezésne használna. 44

145 el, amelye özvetlenül hozzájárul az egyéne életmnőségéne javításához. 4. táblázat: Személy gondozó roboto típusa MOZGÓ SZOLGÁLTATÓ ROBOT Képes szabadon mozogn és egy tervezett feladatot ellátn, lletve tárgyaat fogn (ezelővel vagy anélül). SZEMÉLYI GONDOZÓ ROBOT TÍPUSOK FIZIKAI SEGÍTŐ ROBOT Segít az emberne egy feladat elvégzésévben, pótló vagy növelő épessége nyújtása által. A fza segítő robot egy gyenge vagy dős embert egy jó erőben lévő ember épességevel látja el, vagy növel egy jó erőben lévő ember teljesítményét. EMBERSZÁLLÍTÓ ROBOT Embereet szállít ülönböző helyere autonóm navgálással, rányítással és mozgással. Autonóma defnícója A szabvány az autonóma defnícóját s meghatározza, mely elsősorban az orvos robotonál tölt be ulcsfontosságú szerepet. Autonóma: Anna a épessége, hogy a robot az atuáls állapotból ndulva és érzéelve, ember beavatozás nélül feladatoat hajtson végre. Autonóma foa: Rendelez egy dmenzóval, mely nem más, mnt az operátor bevonásána mértée. Az autonóma foána osztályozása: Alacsony érté = Autonóma hánya Magas érté = Teljes autonóma 45

146 Az ETO robot bemutatása A feladatun során olyan megoldásoat és terveet ell észítenün, amelye ompatblse a MOGI tanszéen épülő robottal. A tervezéseor fgyelte arra, hogy a robotot a ésőbbe során tovább funcóal s el lehessen látn. Hagyta rajta szabad helyet újabb alatrésze számára és rögzítés pontoat s elhelyezte rajta. Enne tudatában első örben áttanulmányoztu a robot felépítését, hogy a tervezés megezdése előtt tudatában legyün a szüséges nformácóna. 8. ábra: ETO robot ember vszonylatban A robot fő jellemző A mozgásért felelős egység épz a robot alapját. Ezen helyezed el a három eré, a belsejében pedg a motoro, a szenzoro, a szabályzó és a taarító egység apott helyet. Erre az alapra épül rá a robot több része, a vázszerezet, lletve az azon lévő egysége. A robot mozgását és funcót egy, a belsejében elhelyezett számítógép vezérl, a tájéozódását pedg egy Mcrosoft Knect amera segít. Az egész szerezet özel egy méter magas és 4 g. A robot egységene részletes bemutatása Mozgás A robot egy fő tulajdonsága a szabad mozgása. Enne öszönhetően özleedés özben szabadon változtathatja a mozgás rányát és a robot elfordulását. Ez az összetett mozgás lehetővé tesz a precíz manőverezést és jobban hasonlít az élőlénye mozgására. 46

147 Ezt a mozgást az úgynevezett holonomus hajtással tudja elérn. Három 4"-os eréel rendelez a robot, amelye egyenlő távolságban helyezedne el a szerezet saranál -ban egymáshoz épest. A eree tulajdonsága, hogy a tengelyüre merőlegesen s el tudna gördüln, emellett mndegyne a sebessége és forgásána ránya egymástól függetlenül szabályozható. Így a robot orentácójától függetlenül bármely rányba tud mozogn. Menet özben a eree szögelfordulásából tudja számítan a helyzetét, amt a amera épéne elemzésével és ülső tájéozódás ponto használatával tud pontosítan. Ez a tulajdonsága előnyt jelent más területeen s, például tud úgy özleedn, hogy a amera épét egy választott objetumon tartja, ezzel bővítve a felhasználás módjat a robotna. A eree méretéből adódóan vanna orláta s a felhasználás területne, mvel csa sebb szntülönbségeen épes áthaladn. A eree meghajtásához három W-os efés DC motort használna, :7-es szíjáttétellel. Mnden motorhoz ülön motorvezérlő eletrona tartoz, a tápellátást pedg egy 4 amperórás V-os ólomzselés aumulátor bztosítja. 9. ábra: Holonomus eré (omndreconáls eré) 47

148 . ábra: A robot hajtása (DC motor) A robot végsebessége a,5- m/s-ot s elérhet. Mvel a robot tömege 4g, és teljesen automatusan, ember beavatozás nélül özleed, ezért nagyon fontos odafgyeln a bztonságra, hogy el tudjon erüln egy véletlen ütözést. Enne érdeében 6 távolságérzéelőt helyezte el örben a robot alsó részén, a sarat pedg gum ütözővel láttá el. A távolságérzéelő -8 mm özött adna használható jelet, vszont ügyeln ell a felhasználás területen elhelyezett tárgyara, ugyans egyes anyagoat ez a rendszer nem épes megbízhatóan észleln, mnt például az üveget. A balesete elerülésére és megelőzésére egy vészleállító gombot s elhelyezte a robot tetején.. ábra: Vészleállító gomb Szerezet Az alapegységre épül rá a robot váza. Az egész szerezet övet a eree osztásána örszmmetráját. A robot magassága úgy lett megtervezve, hogy a amerája még rálásson a legtöbb asztalra. Egy átlagos asztal magassága 7-75 mm, ehhez gazodva a amerát 85 mm-es magasságban helyezté el. A szerezet és 5 mm-es vízvágott alumínum lemezeből, lletve x mm-es rudaból épül fel. A vízszntes lemezere raszteres osztásban 4 mm-es lyuaat fúrta az alatrésze rögzítéséhez. Ezeet a lyuaat lehet tovább eleme rögzítésére s használn. A vázon egységesen M5-ös süllyesztett vagy sma fejű belső ulcsnyílású csavaroat használna. 48

149 A perféráat ellátó hajtáso 3 W-os efés DC motoro :7 szíjáttétellel. A motoroat atív hűtéses teljes H hdas teljesítmény eletroná hajtjá. Eze a özpont eletronától apjá a referencát CAN-buszon.. ábra: A robot váza Kamera A örnyezet megfgyelésére egy Knect amerát használ a robot. A amerát ét motor mozgatja vízszntes és függőleges rányba, amvel nagyban megnövel anna látószögét. Ennél az egységnél fontos szempont a amera stabla helyzete, hogy a épét pontosabban tudja elemezn a számítógép. A mozgató mechanzmus rendelez saját tápmodullal és egy vészleállító funcóval s, am váratlan ütözés esetén leállítja a motoroat. A Knect a színes VGA amera mellett ét nfra érzéelőt és ét mrofont s tartalmaz. Az nfra érzéelőel érzéel a távolságot és ezt vet össze a színes éppel, így egy úgynevezett,5 dmenzós épet ap a örnyezetéről. Az, hogy a épet mlyen funcóhoz használja fel a robot, már a programozáson múl. 49

150 3. ábra: Knect amera 4. ábra: Hajtómű Számítógép A vezérlés alapja egy PC, am USB-n vagy Bluetooth-on eresztül csatlaoz a robot mozgást végző moduljához. A mesterséges ntellgencához szüséges számolás apactást ülső számítógép bevonásával s növelhetjü. A özpont eletrona aphat referencát és parancsoat, lletve adhat nformácót Bluetooth apcsolaton eresztül és USB porton s a PC-ne. A tájéozódást segít még egy 3 tengelyes groszóp, egy gyorsulásérzéelő és egy ránytű. Az egyéb sebb perférá mozgatására egy 4 portos USB csatlaozású RC szervo hubot s beépítette. Taarító egység 5. ábra: PC (Számítógép) 5

151 A robot aljában helyet apott egy taarító egység, amvel özleedés özben tsztán tudja tartan a bejárt területet. Egy forgó efe szed össze a oszt, amt egy fésű távolít el róla tartályba. Aumulátor A robot jelenleg 5 darab 4 Ah-ás aumulátort használ, ezzel 4 órát bír normál használat özben. Ezt lehetőség van tovább bővíten. Az aumulátoro egy nytható tárolón apta helyet a önnyebb szerelés érdeében. Hangszóró 6. ábra: Aumulátor A roboton helyet apott hangszóró, amelye a ommunácójában veszne részt. Flpper ar 7. ábra: Hangszóró Extra funcóént beépítette egy flpper art, amely labdaütögetésre épes. Ezt egy eletromágneses mechana mozgatja. A robot aljána íves formája segít a labdát a arhoz tereln. Ajtónytó A robot épes nytn a mágnesártyás ajtóat, ehhez egy felemelhető art használ, amvel elér a leolvasót. Tálca A robotra felszerelhető egy tálca, amn ülönböző tárgyaat tud szállítan. 5

152 A szocáls roboto típusa A övetező példá áttentést adna azoról a fejlesztés alatt álló robotoról, melye az embere segítésére alalmas jellemzőel bírna. Kompa Fejlesztő: Robosoft Bemutatás: Személy asszsztensént használható több területen. Emléeztető: recepte, naprend Internet hozzáférés: e-male, özösség háló, vdeoonferencá Mndennap segítségnyújtás a felhasználóna Kállítás, múzeum: ölcsönhatásba lép a látogatóal Bron Fejlesztő: Belefeld Unversty Bemutatás: 4 8. ábra Kompa Mobl robot, személy asszsztensént használható. Fel van szerelve egy pan-tlt (pásztázóbllenő) amerával, egy pár mrofonnal, valamnt egy lézeres távmérővel. Megért a beszédet és a ézmozdulatoat, azonosítja a tárgyaat és ölcsönhatásba tud lépn a személyeel. A felhasználó tárgyaat és helyeet mutathatna a robotna a saját otthonuban, melyet a robot megjegyez és ésőbb s emléez ráju. 5

153 9. ábra Bron Hosp-Rmo Fejlesztő: Panasonc Bemutatás: Kényelmes ommunácót bztosít ágyhoz ötött lletve mozgásorlátozott emberene. RobQ Fejlesztő: Yujn Robot Bemutatás: 8 3. ábra Hosp-Rmo Képessége: beszéd alapú parancsot megért és reagál ráju, önfeltöltő, épeet észít, híreet és recepteet mutat, felügyelő amerával és araoe programmal rendelez, angolt tanít. 53

154 3. ábra RobQ Waamaru Fejlesztő: Mtsubsh Heavy Industres Bemutatás: 5 Mobl háztartás robot, ölcsönhatásba tud lépn az embereel, épes beszéln, ezet fogn, és természetes beszélgetésbe elegyedn. Sőt, emléeztet a felhasználóat, hogy vegyé be a gyógyszerüet, és segítséget hív, ha arra utaló jeleet tapasztal, hogy valam baj lehet velü. Képessége: Hang és ép felsmerés, csatlaoztatható az nternethez, emléeztet a felhasználót gyógyszer bevételére, segítséget hív baj esetén, ütözésérzéelés, pozícó mérése, IR és US szenzoro (hőmérséletérzéelés). 3. ábra Waamaru I. 33. ábra Waamaru II. 54

155 RoboVe R3 Fejlesztő: V-Stone Bemutatás: 9 Időse és mozgásorlátozotta mndennapjana segítésére tervezett robot. Humanod, de örülbelül feleaora, mnt egy ember. HAR (Home Assstant Robot) Fejlesztő: Toyota Bemutatás: ábra RoboVe R3 Háztartás robot, egyszerű házmuná elvégzésére épes, például a padló felmosására, mosásra, mosogatásra és még bútortologatásra s. PaPeRo Fejlesztő: NEC Bemutatás: 35. ábra HAR Képessége: beszélő ölcsönhatás, arcfelsmerés, gesztulácóérzéelés, más PaPePo robottal ommunál, 8 mrofon. 55

156 36. ábra PaPeRo Cubo Fejlesztő: IZI robotcs Bemutatás: 6 Képessége: önyveet tud felolvasn gyereene, angolt tanít, otthon felügyeletet bztosít, dőjárás jelentést és híreet mutat, ébresztő funcó, robot "levelet" ézbesít. Mamoru Fejlesztő: Unversty of Toyo Bemutatás: ábra Cubo Mamoru egy sméretű dősgondozó robot, mely úgy néz, mnt egy apró nagymama a s műanyag ontyával. Segít az dősene és fogyatéal élőne emléezn, hogy hova tetté a távrányítót vagy a papucsuat, és udvarasan fgyelmeztet, ha tt az deje a gyógyszerbevételne. A tárgya felsmerésére nagy látószögű amerát használ, hogy nyomon tudja övetn a szobát, és épfelsmerő szoftver segítségével megállapítja, hogy mely tárgy mcsoda. 56

157 38. ábra Mamoru Nao Fejlesztő: Aldebaran Robotcs Bemutatás: 7 A robot elsődleges célja: bztonság támogatás, nformácó, otthon támogatás, ezen ívül tud foczn, hangfelsmerés funcója s van. Cat Fejlesztő: Phlps Bemutatás: ábra Nao Az Cat egy user nterface robot. Képes a hang és a beszéd azonosítására valamnt felsmer a tárgyaat és arcoat egy amera segítségével. Lehet csatlaoztatn az otthon hálózathoz, hogy a háztartás észüléeet rányítsa, vagy az nternethez, hogy nformácót szerezzen. 57

158 4. ábra Cat Paro Fejlesztő: AIST Bemutatás: Paro egy terápás robot, mely lehetővé tesz az állatterápa bzonyított előnyet olyan betege örnyezetében, mnt a órháza és egyéb ntézménye, ahol élő állatoat jelenléte nehézségebe ütöz. 4. ábra Paro I. A 8. generácós alaítását Japánban és Európa-szerte már 3 óta használjá. Ötféle szenzorral rendelez: tapntás, fény, hang, hőmérsélet és testtartás érzéelő, amelyeel épes érzéeln az embereet és a örnyezetet. Megtanulja, hogy mlyen vseledést részesít előnyben a felhasználó, és reagál az új nevére. A mutatáso szernt Paro: Csöent betege és a gondozó stressz-szntjét Serent a betege és a gondozó özött nteracót Foozza a betege phentségét és motvácóját Javítja a betege egymás özött szocalzácóját 58

159 4. ábra Paro II. Kobe Fejlesztő: Electroncs and Telecommuncatons Research Insttute (ETRI) Bemutatás: 7 A oala alaú robot a Paro robothoz hasonló épességeel rendelez. Rabe Fejlesztő: ETRI Bemutatás: ábra Kobe A nyúl alaú robot hét ülönböző érzelem fejezésére épes, például boldogság, szomorúság és meglepődés. Az érzelmet a szeménél található jelző segítségével fejez. 59

160 44. ábra Rabe Pom Fejlesztő: ETRI Bemutatás: 8 A pngvn alaú robot ölcsönhatásba tud lépn az embereel, a neve POMI, am a "Pengun Robot for Multmodal Interacton"-ból épzett egy mozaszó (pngvn robot többféle nteracó elősegítésére). Képes látn, hallan, érnten és arcfejezéseet létrehozn. A hangulatától függően mozgatja a szemöldöét, puplláját, valamnt a száját. Az egy legérdeesebb tulajdonsága, hogy épes ténylegesen szagot bocsátan, am azt jelent, hogy ha dühös, aor ellemetlen szagot áraszt. A beépített szenzoro segítségével felsmer a hangoat és az embere helyzetét. Tovább érdees tulajdonsága, hogy a hangulatától függően ülönböző szívverése létrehozására épes. Roboto ommunácója 45. ábra Pom A szolgáltató roboto örnyezettel való ölcsönhatása ülönböző módoon és fnomultsággal valósulhat meg. A szolgáltató roboto által leggyarabban alalmazott nteratív módozato a övetező. 6

161 Beszéd A beszélgetés a legtermészetesebb módja az embere özött társadalm nteracóna, tehát a robotoal való ommunácóna s ez lenne a legényelmesebb módja. Bár folyamatosan zajlana utatáso a beszédfelsmerés megvalósításáról zajos valós örnyezetben, azonban ez továbbra s nytott probléma. A robot használhat mesterséges beszédgenerálást vagy előre felvett ember hangot. Gesztulácó 46. ábra Beszéd Mvel a testbeszéd fontos összetevője az ember ommunácóna, hasznos lehet a robot és az ember özött ommunácóban s. Az a épesség hogy rámutassun, és elsmerjü a tárgyat, melyre rámutatta, például segít a rárányítan valamre a fgyelmet és összefüggést teremt a mondanvalóval. Továbbá, fzoterápában a testhelyzet felsmerés alapvető fontosságú és növelhet a ölcsönhatást a robot és a felhasználó özött. Közvetlen betáplált nformácó 47. ábra Gesztulácó A felhasználóna néha az a legmegfelelőbb, ha özvetlenül táplálhat be adatot a robotba. Így például, amor a felhasználó egy térépen több hely özül választ, vagy menetrendet eres, aor a verbáls vagy gesztus parancso fárasztóvá válna. Ezeben az eseteben a ommunácó rendívül hatéonnyá tehető egy bevtel eszözzel, például egy egérrel vagy egy érntőépernyővel, még aor s, ha a felhasználó egyébént nem szívesen használja ezeet az eszözöet társadalm nteracóra. 6

162 48. ábra Közvetlen betáplált nformácó 6