Robotok direkt geometriája
|
|
- Lilla Szőkené
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Robotok drekt geometrája. A gyakorlat célja Drekt geometra feladatot megvalósító osztály mplementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy Stanford kar végberendezése pozícójának meghatározásához. 2. Elmélet bevezető 2. Robotok leírása A soros robotok geometra szempontból nytott knematka láncok. A mechanka struktúra nem más, mnt egy n+ elemből álló mechanka rendszer, ahol ()-val jelölk a robot bázsát, melyhez a vlágkoordnáta-rendszer vagy a bázsrendszer van rögzítve, melynek jelölése OXYZ. A több n elem képez a robot mozgatható részét, és különkülön ezek a struktúra knematka elemenek ll. a robot karjanak s nevezendők. Jelölésük - a bázshoz hasonlóan - (), ahol =l n. Mnden elemhez egy saját koordnáta rendszer csatolódk, {}=OXYZ. Ezeket, a robot mozgó vagy mobl vonatkoztatás rendszerenek s nevezzük, és ezek segítségével alkothatjuk meg a robotok geometra, knematka és dnamka modellezését. Az említett karok csuklókkal vannak összekötve, melyekhez mnden esetben hajtás van társítva. A tovább vzsgálatok leegyszerűsítése végett a csuklók mechanka szempontból deáls csuklóknak lesznek tekntve: - nncs alakváltozás a csuklóban a belső érntkezésekből adódóan (merev csukló); - véges és végtelenül ks mozgások esetén s a szabadságfokok száma megegyezk (nncs játék a csuklóban).
2 . Ábra. Az R és a T típusú csuklók vázlatos ábrázolása Ezeket a csuklókat (R és T) vázlatosan az. ábra szernt tudjuk jelöln. A csukló az alsó végével az {-} elemhez kapcsolódk, lletve teknthető mnt az {}-edk karhoz tartozó csukló, így ehhez a csuklóhoz kapcsolható a kar vonatkoztatás rendszere. Az ábrán fel van tüntetve a q csukló változó s, mely természetesen csuklóhoz és karhoz kötött az ndexen keresztül. A q határozza meg, hogy mekkora az {-} és az {} karok között relatív elmozdulás, és a változó dmenzója lehet szög, lletve hossz mértékegység annak függvényében, hogy R vagy T típusú csuklóról van szó. A fenteket fgyelembe véve kjelenthető, hogy ha egy robotnak n karja van, akkor mndegykhez hozzárendelhető egy csukló változó, melyeket összesítve robotparamétereknek s nevezhetünk. A q változókat egy mátrxba s foglalhatjuk, mely a robotparaméterek vektorjaként smeretes: q [ q, ] T n vagy q ( nx) ( nx) q n ()
3 Az így meghatározott vektor a robot egy konfgurácóját képvsel, a csuklóváltozókat tömörít. Ha ezek a változók értéke zérus elemek, akkor az () egyenlet sajátos alakuvá válk - a robot kezdet, zérus konfgurácóját tartalmazza, egy csuklóban sncs elmozdulás: T [ q, n] vagy ( nx) ( nx) (2) Az említett konfgurácós vektorral párhuzamosan bevezethető a koordnáta oszlopmátrx, mely egy test helyzetét írja le a derékszögű, 3 dmenzós vonatkoztatás rendszerbe: [ x, ; ] T j j m m n X (3) ( nx) ahol az m a vonatkoztatás térben lehetséges lletve khasznált szabadság fokok számát képvsel. Fontos megjegyezn, hogy habár a térben hat szabadság foka lehet egy szabad testnek, ha a feladatunk úgy kívánja, akkor m=4 lesz. A hat lehetséges mozgásból csak 4- et használunk (pl. 3 haladó és forgó mozgást). Egy robot használata során az elsődleges feladat annak meghatározása, hogy egy bzonyos robot konfgurácóhoz mlyen karaktersztkus pont koordnáták tartoznak, lletve ennek fordítottját s meg kell határozn (főleg vezérlés esetén elengedhetetlen). Egyenletekbe öntve az előbb kjelentést, mondhatjuk, hogy keressük az X vektort (3), ha smert a robotparaméterek vektora, vagy k kell számtanunk a oszlopvektort (), ha adott a mozgatandó test térbel helyzete. Az első esetben a robot mehanka struktúrájának drekt geometra modellezéséről beszélhetünk, míg a fordított rányú számítást nverz vagy fordított geometra modellezésnek nevezzük. Egy robot struktúráját három fő részre oszthatjuk:.a pályageneráló rész, am nem más, mnt a térbel pozícót megadó mechanzmus, am állhat úgy R mnt T csuklókkal összekapcsolt karokból, 2. a test rányítását megadó mechanzmus: mvel ez egy, kettő vagy három tengely körül forgást gényel, a használt csuklók kzárólag csak R típusúak lehetnek, 3. a szerszámbefogó rész, am rögzít a mozgatandó terhet ll. szerszámot. Mvel ez utóbbnak működése nem befolyásolja a robot és a teher mozgását, csak ezek relatv helyzetét rögzít, eltekntünk a vzsgálásától. Egy un. karaktersztkus ponttal helyettesítjük, melyet P-vel fogunk jelöln, és ezt az n.-k karhoz rözítettnek tekntjük.
4 Hogy az első két részt matematkalag skeresen modellezzük, egy általános geometra mátrxot vezetünk be, mely meghatározza a mechanka struktúrát a zérus konfgurácóban. Ez egy (n+)x6-os mátrx, melynek hat oszlopa és anny sora van ahány csuklója, ll. az utolsó sor a karaktersztkus pontot határozza meg. Az -edk sor első három eleme a csukló középpontjának helyzetvektor tengelynek () ( k ) () ( ) p komponensen, míg az utolsó három tag a csukló rányítását határozza meg három ránykosznusz segítségével. Természetesen ezek a vektorok a vlágkoordnátarendszerben értendőek, ezért a bal-felső ndex nullát mutat, lletve a zéros konfgurácót jellemzk (ezért jelenk meg zárójelben a zérus érték): T T () () M p k n () g ( n) x6 (4) A homogén transzformácós mátrx: Matemetka szempontból egy vektort az un. homogén módon s fel lehet írn. Bevezetjük a mátrxnak fogunk nevezn. Ennek alakja: T (4x4) jelölést, amt homogén transzformácós T (4x4) R (3x3) f (x3) p w (3x) (5) ahol R egy rotácós mátrx, p helyzetvektor lletve f egy perspektvkus transzformácós vektor, melynek vzsgálatunk során állandó értéket adunk: [ ]. A w egy léptéktényező és w= értékkel lesz ellátva. A TT homogén transzformácós mátrx az elcsúsztatást képvsel: T T I3 r (4x4) (6) A TR a rotácót megjelenítő homogén transzformácós mátrx: T R R (4x4) (7)
5 Tehát a homogén transzformácós mátrx, amely szorzás útján megvalósítja az átmenetet az {} rendszerből az {-} rendszerbe: I 3 r R R r T T T TR (4x4) (4x4) (4x4) (4x4) (8) A következő egyenlet segítségével meg lehet határozn a P karaktersztkus pont helyzetét a vlágkoordnáta rendszerben smerve az {n} rendszerbel helyzetét, lletve z ezt követő ennek fordítottjára ad lehetőséget. n n n n P T T T T P T P 2 n n n 2 P T T T T P T P n n (9) () 2.2. Drekt geometra feladat A geometra modellezés a két vektor között összefüggés megállapítását jelent: X () Ennek érvényessége két megszorítás elmélet teljesítését feltételez:. statkus feltétel: a () egyenlet független az dőtől 2. szlárdság feltétel: mnden knematka elem véges számú alkatrészből áll, és ezek relatív helyzete nem változk. Ezenkívül a csuklók s deáls csuklóknak vannak tekntve. Két féle modellezésről lehet beszéln - drekt geometra modellezés (DGM): X f - nverz vagy fordított geometra modellezés (IGM): f X Denavt-Hartemberg paraméterek használata: Az eddgekben hat paraméter volt használva, hogy leírható legyen egyk kar máskhoz vszonyított helyzete. A Denavt- Hartenberg (DH) paraméterek segítségével ugyanez megvalósítható, vszont ezek száma csak négy. Legyen a 3. ábrán látható két egymást követő kar, és vzsgálva legyen szokásos módon az. kar helyzete az -l. -hez képest. A relatív helyzetet a négy paraméterrel adhatjuk meg:
6 [a-;α-;d;θ] Mndegyk meghatározása a 3. ábráról olvasható le: - a- a két tengely ( k - és k ) közös merőlegesének hossza, - α- a két tengely ( k - és k ) között szög, - d a k tengely két közös merölegese között szög, a k tengelyre mérve, - θ - a k tengely két közös merölegese között szög. Annak függvényében, hogy az. csukló R vagy T tpusú, a q csukló-változó más paramétert kell befolyásoljon. Ha R csukló szerepel a két kar között, akkor q (melyet ebben az esetben szög mértékegységben mérünk) a θ elemet befolyásolja. 3. Ábra. Denavt-Haztenberg paraméterek Ha tarnszlácós csukló köt össze a két kart, akkor a q dmenzója hosszmérték lesz, és természetesen akkor a d paramétert befolyásolja. Általánosítva az egész robot struktúrára = n : a ; ; d ; q ; n, ha R a ; ; d q ; ; n, ha T Hogy ezeket a paramétereket be tudjuk építen homogén transzformácós mátrxba, a struktúra koordnátarendszeret kellő képen kell kválasztan. Az első lépés a rendszerek középpontjanak (O) a megválasztása kell legyen: (2)
7 k k, ha a a O C tetszőleges pont ha k k a k, ha a ( ), (3) Ezek után a z, x és y tengelyek meghatározása következk: z x k a a, ha a z z, ha k k y z x (4) (5) (6) A {} és az {n} rendszerre a következő megkötések érvényesek: O O ; z k n On xn k n (7) Ha meghatározzuk a rendszereket a DH paraméterekkel, akkor ezek értéke s kszámíthatók: a-;α- a távolság lletve a szög a z z tengelyek között az x mentén d;θ a távolság lletve a szög az x x tengelyek között a tengely mentén Meghatározva a paraméterek értéket, mndegyket, egyenként egy homogén transzformácós mátrxba lehet foglaln: z a c s TR ( x, ) TT ( x, a ) s c c s s c TR ( z, ) TT ( z, d ) d (8)
8 Az eredő transzformácós mátrx nem lesz más, mnt ezek szorzata: T T ( x; ) T ( x; a ) T ( z; ) T ( z; d ) (9) R T R T Az (9) egyenlet kdolgozása után skeresen átalakítható a robot bármely mozgó rendszeréhez tartozó pont helyzete a vlágkoordnáta rendszerbe. 3. A mérés menete 3. Az Armadllo könyvtár függvényenek megsmerése Az Armadllo C++ alatt megírt függvény csomag, amely segítségével C++ környezetben nagyon könnyen lehet mátrxműveleteket végezn. A könyvtár ngyenesen letölthető és könnyen lleszthető C++ alatt fejlesztett tervekhez. A könyvtár bevezet mátrx és vektor típusokat, ezekekkel operátorok használatával lehet műveleteket elvégezn. Néhány mátrx típusok: - Általános mátrx: Mat<t> m(n, m) általános mátrx deklarálása, n sorok, m oszlopok száma, t a típus lehet nt, float double, stb. - Row<t> r(n) sorvektor, n az elemek száma - Col<t> v(n) oszlopvektor, n az elemek száma - Eye<t>(n,m) egységmátrx, nem felülírható típus Néhány fontosabb művelet: - értékátadás: m=m; m=i - mátrx elemenek megadása: m(,j)=2,3; r=m(2,3) - mátrxszorzás: m=m*m2; v=m*v; - elemek számának kelkérdezése: nt n=sze(a); Szorzásnál, értékátadásnál kell vgyázn, hogy a mátrxok soranak és oszlopanak száma a műveletnek megfelelően egyezzenek meg. 3.2 A drekt geometrát megvalósító osztály mplementálása Az osztály a RobotGeometryProj tervben található RobotGeometry.cpp állományban kell megvalósítan a Newmat osztály segítségével. Az osztály már hozzá van csatolva a tervhez. A megvalósítandó függvények: nt RobotGeometry::TranslatonX(double d, Mat<double> &T) Eltolás x mentén. A vsszatérítendő T mátrx egy egységmátrx, amelynek módosítjuk az,4 elemét d értékkel nt RobotGeometry::TranslatonY(double d, Mat<double> &T) Eltolás y mentén. A vsszatérítendő T mátrx egy egységmátrx, amelynek módosítjuk a 2,4 elemét d értékkel
9 nt RobotGeometry::TranslatonZ(double d, Mat<double> &T) Eltolás z mentén. A vsszatérítendő T mátrx egy egységmátrx, amelynek módosítjuk a 3,4 elemét d értékkel nt RobotGeometry::RotatonX(double a, Mat<double> &T) Elforgatás x körül. A vsszatérítendő T mátrx egységmátrx, amelynek a bal felső 3X3 blokkját az alább mátrxxal módosítjuk: cosa sn a Rot ( z, a) sn a cosa nt RobotGeometry::RotatonY(double a, Mat<double> &T) Elforgatás y körül. A vsszatérítendő T mátrx egységmátrx, amelynek a bal felső 3X3 blokkját az alább mátrxxal módosítjuk: cosa sn a Rot( z, a) sn a cosa nt RobotGeometry::RotatonZ(double a, Mat<double> &T) Elforgatás z körül. A vsszatérítendő T mátrx egységmátrx, amelynek a bal felső 3X3 blokkját az alább mátrxxal módosítjuk: Rot( z, a) cosa sn a sn a cosa nt RobotGeometry::DHMatrx(double theta, double d, double a, double alpha, Mat<double> &T) Denavtt Hartenberg mátrx egy csuklóra: A függvényben meghívjuk a RotatonZ-t a thetara, a TranslatonZ-t a d-re, a TranslatonX-et az a-ra, a RotatonX-et az alpha-ra, amjd a kapott 4 mátrxot összeszorozzuk és vsszatérítjük a T-ben. nt RobotGeometry::DrectGeometry(nt DOF, Col<double> Theta, Col<double> D, Col<double> A, Col<double> Alpha, Mat<double> &T) A drekt geometra feladat megoldása. A DOF (Degree Of Freedom) a robot szabadságfoka. A tovább függvény argumentumok oszlopvektorok, amelyek a teljes robotra tartalmazzák a theta, d, a, alpha paramétereket. A dmenzójuk meg kell egyezzen a robot szabadságfokával. A függvényben DOF-szor meghívjuk a DHMatrx függvényt az oszlopvektorok megfelelő elemere, majd a kapott mátrxokat összeszorozzuk és vsszatérítjük a T mátrxban.
10 3.3 A Stanford kar drekt geometrája Legyen a 4 Ábrán látható a Stanford kar és a csuklókhoz hozzárendelt paraméterek. A kar Denavt Hartenberg paramétere az. Táblázatban találhatóak. 4. Ábra: Stanford kar. Táblázat: A Stanford kar Denavt Hartenberg paramétere d a d= /2 2 /2 d2= -/2 3 /2 d3= A RobotGeometryProj.cpp állomány man függvényében hozzunk létre egy RobotGeometry obektumot, majd töltsünk fel 4 sorvektort az Táblázat szernt. A feltöltött vektorokkal hívjuk meg a DrectGeometry függvényt. Írassuk k az eredményül kapott mátrxot, a 4. Ábra alapján ellenőrzzük az eredmény helyességét. 4. Kérdések és feladatok. Határozzuk meg analtkusan a Stanford kar végberendezésének x, y, z koordnátáját, majd teszteljük az eredményeket a programban kapott értékekkel. 2. Oldjuk meg analtkusan a Stanford kar drekt geometra feladatát a Denavt Hartenberg táblázat alapján, majd teszteljük a megoldást a program kapott értékekkel. 3. Módosítsuk úgy a programot, hogy a mátrxok szorzását saját függvénnyel oldjuk meg.
Robotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenHely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel
Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenVadas Norbert Robotkarok problémája
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Vadas Norbert Robotkarok problémája matematka BSc szakdolgozat alkalmazott matematkus szakrány Témavezetõ: Szeghy Dávd Geometra Tanszék Budapest, 2013
RészletesebbenRobotirányítási rendszer szimulációja SimMechanics környezetben
Robotrányítás rendszer szmulácója SmMechancs környezetben 1. A gyakorlat célja A SmMechancs szoftvereszköz megsmerése, alkalmazása robotka rendszerek rányításának szmulácójára. Két szabadságfokú kar PID
Részletesebben,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,
Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer
RészletesebbenAz elektromos kölcsönhatás
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenDFTH november
Kovács Ernő 1, Füves Vktor 2 1,2 Elektrotechnka és Elektronka Tanszék Mskolc Egyetem 3515 Mskolc-Egyetemváros tel.: +36-(46)-565-111 mellék: 12-16, 12-18 fax : +36-(46)-563-447 elkke@un-mskolc.hu 1, elkfv@un-mskolc.hu
RészletesebbenEgyenáramú szervomotor modellezése
Egyenáramú szervomotor modellezése. A gyakorlat élja: Az egyenáramú szervomotor mködését leíró modell meghatározása. A modell valdálása számításokkal és szotverejlesztéssel katalógsadatok alapján.. Elmélet
RészletesebbenMerev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai
TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenMechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése
echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenAlapmőveletek koncentrált erıkkel
Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban
Részletesebben2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A
Mechatronika alapjai 2. E L Ő A D Á S D R. H U S I G É Z A elmozdulás erő nyomaték elmozdulás erő nyomaték Mechanizmusok Mechanizmus: általánosságban: A gép mechanikus elven működő részei Definíció: A
RészletesebbenAz entrópia statisztikus értelmezése
Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
RészletesebbenNyeregetetős csarnokszerkezetek terhei az EN 1991 alapján
BME Hdak és Szerkezetek Tanszék Magasépítés acélszerkezetek tárgy Gyakorlat útmutató Nyeregetetős csarnokszerkezetek terhe az EN 1991 alapján Összeállította: Dr. Papp Ferenc tárgyelőadó Budapest, 2006.
Részletesebben8. Programozási tételek felsoroló típusokra
8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy
RészletesebbenSCARA robot munkatere és pályagenerálás
SCARA robot munkatere és pályagenerálás 1. A gyakorlat célja Egy SCARA robotkar munkatere korlátainak meghatározása felhasználva az direkt geometriai feladatot megoldó programot. SCARA robot elírt, világkoordinátákban
RészletesebbenPéldák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):
F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).
RészletesebbenFuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika
Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
RészletesebbenKörnyezetvédelmi analitika
Az anyag a TÁMOP-4...A/- /--89 téma keretében készült a Pannon Egyetemen. Környezetmérnök Tudástár Sorozat szerkesztő: Dr. Domokos Endre XXXIV. kötet Környezetvédelm analtka Rezgés spektroszkópa Blles
RészletesebbenKiegészítés a felületi hullámossághoz és a forgácsképződéshez. 1. ábra. ( 2 ) A szögváltozó kifejezése:
Kegészítés a felület hullámossághoz és a forgácsképződéshez Két korább dolgozatunkban [ KD1 ], [ KD2 ] s foglalkoztunk már a fapar forgácsoláselméletben központ szerepet játszó felület hullámosság kalakulásával,
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenIII. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök
. Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebben2. Koordináta-transzformációk
Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,
RészletesebbenBevezetés a kémiai termodinamikába
A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenA mágneses tér energiája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek
A mágneses tér energája, állandó mágnesek, erőhatások, veszteségek A mágneses tér energája Egy koncentrált paraméterű, ellenállással és nduktvtással jellemzett tekercs Uáll feszültségre kapcsolásakor az
RészletesebbenDr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola
Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy
RészletesebbenSzárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval
Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka
RészletesebbenTamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei
Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei A derékszögű háromszögekben könnyedén fel lehet írni a nevezetes szögek szögfüggvényeit. Megjegyezni viszont nem feltétlenül könnyű! Erre van egy könnyen megjegyezhető
RészletesebbenMolekuláris dinamika: elméleti potenciálfelületek
Molekulárs dnamka: elmélet potencálfelületek éhány szó a potencál felület meghatározásáról Szemempírkus és ab nto potencál felületek a teles felület meghatározása (pontos nem megy részletek: mndárt éhány
RészletesebbenOptikai elmozdulás érzékelő illesztése STMF4 mikrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése. Szakdolgozat
Mskolc Egyetem Gépészmérnök és Informatka Kar Automatzálás és Infokommunkácós Intézet Tanszék Optka elmozdulás érzékelő llesztése STMF4 mkrovezérlőhöz és robot helyzetérzékelése Szakdolgozat Tervezésvezető:
RészletesebbenBékefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció
Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenSzámítógépes geometria (mester kurzus)
2010 sz, Debreceni Egyetem Csuklós szerkezetek animációja (Kép 1985-b l: Tony de Peltrie) Csontváz-modellek Csuklós szerkezet (robotkar) A robotkar részei: csuklók (joints) rotációs prizmatikus (transzlációs)
RészletesebbenAz ipari robotok definíciója
Robot manipulátorok Az ipari robotok definíciója Mechanikai struktúra vagy manipulátor, amely merev testek (szegmensek) sorozatából áll, melyeket összeillesztések (csuklók, ízületek) kapcsolnak össze A
RészletesebbenMátrix-vektor feladatok Összeállította dr. Salánki József egyetemi adjunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálint Gusztáv
Mátrx-vektor feldtok Összeállított dr. Slánk József egyetem djunktus Begépelte Dr. Dudás László és Bálnt Gusztáv 1. feldt Adottk z n elemű, b vektorok. Képezn kell c vektort, hol c = b / Σ( ), ( = 0,1,,
RészletesebbenVARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)
VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.
RészletesebbenNKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.
NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa
Részletesebbenv i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M
Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenAz előadás kvaternió alapú dárumtranszformációs analitikus megoldást ismertet Bemutatja
A dátumtranszformácó a geodézában alkalmazott számítás módszer számos, különböző algortmuson alauló megoldása smert A megoldások többsége ks szögelfordulásokat feltételez lnearzálás szükséges a transzformácós
RészletesebbenIPARI ROBOTOK. Kinematikai strukturák, munkatértípusok. 2. előadás. Dr. Pintér József
IPARI ROBOTOK, munkatértípusok 2. előadás Dr. Pintér József Az ipari robotok kinematikai felépítése igen sokféle lehet. A kinematikai felépítés alapvetően meghatározza munkaterének alakját, a mozgási sebességét,
RészletesebbenMérések állítható hajlásszögű lejtőn
A mérés célkitűzései: A lejtőn lévő testek egyensúlyának vizsgálata, erők komponensekre bontása. Eszközszükséglet: állítható hajlásszögű lejtő különböző fahasábok kiskocsi erőmérő 20 g-os súlyok 1. ábra
Részletesebben1. Egy lineáris hálózatot mikor nevezhetünk rezisztív hálózatnak és mikor dinamikus hálózatnak?
Ellenörző kérdések: 1. előadás 1/5 1. előadás 1. Egy lineáris hálózatot mikor nevezhetünk rezisztív hálózatnak és mikor dinamikus hálózatnak? 2. Mit jelent a föld csomópont, egy áramkörben hány lehet belőle,
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenA sokaság/minta eloszlásának jellemzése
3. előadás A sokaság/mnta eloszlásának jellemzése tpkus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vzsgálata, a sokaság/mnta eloszlásgörbéjének elemzése. Eloszlásjellemzők Középértékek helyzet (Me,
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. IX. Előadás. Robot manipulátorok I. Alapfogalmak. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA IX. Előadás Robot manipulátorok I. Alapfogalmak Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Robot manipulátorok definíciója és alkalmazásai Manipulátorok szerkezete
Részletesebben4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme
HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató
RészletesebbenTurbulens áramlás modellezése háromszög elrendezésű csőkötegben
Turbulens áramlás modellezése háromszög elrendezésű csőkötegben Mayer Gusztáv mayer@sunserv.kfk.hu 2005. 09. 27. CFD Workshop 1 Tartalom - Vzsgált geometra Motvácó Az áramlás jellemző Saját fejlesztésű
RészletesebbenMechanika és szilárdságtan (Mecanica şi rezistenţa materialelor) Egyetemi jegyzet. Dr. Szilágyi József
Mechanka és szlárdságtan (Mecanca ş rezstenţa materalelor) Egyetem jegyzet Dr. Szlágy József Tartalomjegyzék. Fejezet 3. Fogalomtár-termnológa 3. Fejezet 4.. Bevezetés 4.. Statka alapfogalmak 4.3 Az anyag
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenTérbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
RészletesebbenMéréselmélet: 5. előadás,
5. Modellllesztés (folyt.) Méréselmélet: 5. előadás, 03.03.3. Út az adaptív elárásokhoz: (85) és (88) alapán: W P, ( ( P). Ez utóbb mndkét oldalát megszorozva az mátrxszal: W W ( ( n ). (9) Feltételezve,
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK
Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016
Részletesebben3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás
3D - geometra modellezés, alakzatrekonstrukcó, nyomtatás 17. 3D Szegmentálás http://cg.t.bme.hu/portal/node/312 https://www.vk.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav54 Dr. Várady Tamás, Dr. Salv Péter BME, Vllamosmérnök
RészletesebbenALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor
MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz
RészletesebbenIT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád
IT jelű DC/DC kapcsolóüzemű tápegységcsalád BALOGH DEZSŐ BHG BEVEZETÉS A BHG Híradástechnka Vállalat kutató és fejlesztő által kdolgozott napjankban gyártásban levő tárolt programvezérlésű elektronkus
Részletesebben2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17
Táguló sqgp tűzgömb többkomponensű kéma kfagyása Kasza Gábor 1 és Csörgő Tamás 2,3 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem 2 Wgner Fzka Kutatóntézet 3 Károly Róbert Főskola 2015. augusztus 17. Gyöngyös - KRF 1
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenAz egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenMETROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS
METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
RészletesebbenDarupályák ellenőrző mérése
Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza
RészletesebbenHALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.
HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
RészletesebbenMECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája
Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre
RészletesebbenA K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-
A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS- Forgatónyomaték meghatározása G Á L A T A Egy erő forgatónyomatékkal hat egy pontra, ha az az erővel össze van kötve. Például
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenStatisztika I. 3. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statsztka I. 3. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Vszonyszámok Statsztka munka: adatgyűjtés, rendszerezés, összegzés, értékelés. Vszonyszámok: Két statsztka adat arányát kfejező számok, Az un. leszármaztatott
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenKvantum-tömörítés II.
LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek
RészletesebbenMechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó
Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenA bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek
BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenBevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 1.(a) Rugalmas hullámok Utolsó módosítás: 2012. szeptember 28. 1 A deformálható testek mozgása (1) A Helmholtz-féle kinematikai alaptétel: A deformálható test elegendően
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Részletesebben