JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR

Átírás

1 Írta: PLETL SZILVESZTER MAGYAR ATTILA JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Egyetem tananyag

2 COPYRIGHT: 6, Dr. Pletl Szlveszter, Szeged Tudományegyetem Természettudomány és Informata Kar Műsza Informata Tanszé; Dr. Magyar Attla, Pannon Egyetem Műsza Informata Kar Vllamosmérnö és Informácós Rendszere Tanszé LEKTORÁLTA: Dr. Jeges Zoltán, Dunaújváros Fősola Informata Intézet Creatve Commons NonCommercal-NoDervs 3. (CC BY-NC-ND 3.) A szerző nevéne feltüntetése mellett nem eresedelm céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4..-8//A-9-8 számú, Tananyagfejlesztés mérnö nformatus, programtervező nformatus és gazdaságnformatus épzésehez című projet eretében. ISBN KÉSZÜLT: a Typotex Kadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votsy Zsuzsa AZ ELEKTRONIKUS KIADÁST ELŐKÉSZÍTETTE: Dudás Kata KULCSSZAVAK: jele felosztása, rendszere, rendszere felosztása, Fourer transzformácó, FFT, LTI rendszere, Bode dagram, szűrő, modulácó, mntavételezés, A/D átalaítás. ÖSSZEFOGLALÁS: A Jele és rendszere példatár elsősorban a felsőotatásban részt vevő mérnö nformatus alapszaos hallgató számára észült. A példatár a választott témaörö tárgyalásmódját lletően mnden esetben bemutatja a szüséges elméletet, majd példáon eresztül gyesz érthetővé tenn a tananyagot. A feldolgozott témaörö a övetező: a jel és rendszerelmélet alapfogalma, a folytonos és a dszrét-dejű onvolúcó, a folytonos és dszrét-dejű jele Fourertranszformácója, a z-transzformácó, a jele szűrését végző rendszere, az alapvető modulácós megoldáso, a mntavételezés és tartás és végül az A/D átalaítás.

3 Tartalomjegyzé Bevezető Jel és rendszerelmélet alapfogalma Rendszertechna alapfogalma Jel fogalma Jele felosztása A jel értéészlete szernt felosztás: Lefolyás szernt felosztás: Az nformácó megjelenés formája szernt felosztás: Az érté meghatározottsága szernt: A jelhordozó fza mennység szernt felosztás Néhány fontosabb folytonos dejű jel... 3 Ugrásfüggvény... 3 Az egységugrás vagy Heavsde-féle függvény Néhány fontosabb dszrétdejű jel Pédá jele ábrázolására Rendszere felosztása A rendszer osztályo Lneárs dőnvaráns rendszere Példa egy ét tárolós nemlneárs rendszer vzsgálatára A folytonos és dszrét onvolucó Bevezetés A súlyfüggvény fogalma Folytonos-dejű onvolúcó Defnícó Konvolúcó más tartományoban Perodus jele onvolúcója Tulajdonságo Algortmus Mntapéldá az FI onvolúcó számítására Dszrét-dejű onvolúcó Defnícó Konvolúcó más tartományoban Perodus jele onvolúcója dszrét esetben Tulajdonságo Mntapéldá DI jele onvolúcójára

4 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 3. Folytonos dejű jele Fourer transzformácója A Fourer-sor A Fourer-ntegrál Mntapéldá FI jel frevencatartománybel ábrázolására A dszrét dejű jele és rendszere Fourer analízse DI jele Fourer transzformáltja A dszrétdejű Fourer transzformált tulajdonsága: Dszretzálás frevencatartományban Véges sor Dszrét Fourer Transzformáltja Mntapéldá A gyors Fourer-transzformácó (Fast Fourer Transform FFT) A Z-transzformácó A Z-transzformácó defnícója Tulajdonságo: Az nverz z-transzformácó Az egyoldalas Z-transzformácó Tulajdonságo Feladato A jele szűrését végző rendszere... 6 Bode dagram... 7 Sávszélesség... Szűrés Analóg szűrő vzsgálata Dgtáls szűrő Modulácó A mntavételezés Az analóg jele mntavételezése A jelfeldolgozás néhány alapvető módszere A/D átalaítás Irodalomjegyzé

5 Bevezető A jele és rendszere elmélete, és anna gyaorlat alalmazása nélül nem műödne orun nformácós társadalma. A mérnöö nagy szerepet játszana az egyes megoldáso tervezése, vtelezése és műödtetése terén. A mérnö-nformatus szaembere esetében elengedhetetlen a jel és rendszerelmélet terén való ompetenca megszerzése. A Jele és rendszere tárgy a mérnö nformatus alapszaos hallgató számára a legtöbb felsőotatás ntézményben alapozó és ötelező tárgyént szerepel a tantervben. A témaörben számos, mnőséges tanönyv, jegyzet és példatár észült. Jelen példatár célja, hogy a hallgató számára rövden bemutatva a szüséges elméletet, példáon eresztül tegye érthetővé a jele és rendszere egyes témaöret. A példá után dolgozandó feladato serent a hallgatóat munára. A jel és rendszerelmélet területe nagyon széles, az egyes eleme ülönböző mélységgel tárgyalható, jelen példatár a témaör lefedését tentve nem töresz a teljességre, és az alapépzésben használható, nem túl mély elmélet tárgyalásmódot alalmazza. Az első fejezet (6. oldal) tárgyalja a jel és rendszerelmélet alapfogalmaat. A másod fejezet (54. oldal) tér a folytonos és a dszrét-dejű onvolúcóra, hangsúlyozza az LTI rendszere fontosságát. A harmad fejezet (73. oldal) foglaloz a folytonos dejű jele Fourer transzformácójával. A negyed fejezet (78. oldal) tartalmazza a dszrét dejű jele és rendszere Fourer analízséne elméletét és néhány példán eresztül gyesz elmélyíten a szüséges smereteet. Az ötöd fejezet (9. oldal) foglaloz a Z-transzformácóval. A jele szűrését végző rendszere rövd bemutatása és a témához apcsolódó példá a hatod fejezetben (6. oldal) található. A heted fejezet (49. oldal) teljes mértében a modulácóval foglaloz. A mntavételezés és tartás a nyolcad fejezetben (6. oldal) apott helyet és végül a lenced fejezet (65. oldal) tárgyalja az A/D átalaítást.

6 . Jel és rendszerelmélet alapfogalma Ebben a fejezetben erül sor a jele és rendszereel apcsolatos elmélet rövd áttentésére, dőben folytonos és dszrét jele leírására, a folytonos és dszrét dejű lneárs dővaráns (LTI) rendszere jellemzésére és tulajdonságana smertetésére. Ez a fejezet tartalmazza a jele és rendszere reprezentácójához szüséges matemata alapfogalmaat. Dszrét és folytonos dejű esetben bemutatásra erülne a legfontosabb alapfüggvénye, mnt az mpulzusfüggvény, egység ugrásfüggvény, omplex exponencáls függvény. Végül, ezen smerete megalapozásához dolgozott példáat tartalmaz ez a fejezet... Rendszertechna alapfogalma A tananyag megértése érdeében mndenépp tsztázn ell néhány a rendszerrel apcsolatos alapfogalmat. A rendszer fogalmána meghatározása többféle szempontból lehetséges. Szadovszj professzor Általános rendszerelmélet alapja c. művében több jelentős defnícót ad meg. Az első csoportba tartozna a matemata modelle rányából megözelítő defnícó, a másod csoport defnícó a rendszert, mnt relácó által összeapcsolt eleme halmazát tent, míg a harmad csoportba sorolható meghatározáso a bemenet, menet, nformácófeldolgozás fogalmával operálna. A továbbaban a mérnöö számára ét egyenértéű érdemes defnícó erül megadásra:. A valóságna mnden térben elhatárolt részét, ahol a ülönböző anyag- és mozgásformá elemet ölcsönhatáso és ölcsönös összefüggése apcsoljá össze, rendszerne nevezzü.. A rendszer, valóságos vagy elépzelt objetumo vszonylag jól örülhatárolható olyan halmaza, melyeet ölcsönhatáso és ölcsönös összefüggése apcsolna egybe. Elmélet szempontból rendszerne tenthető mnden olyan transzformácó, amely adottna tentett gerjesztésehez meghatározott válaszoat rendel. A rendszer eleméne tentjü azt az objetumot, amelyet a rendszer vzsgálatához már tovább részere nem szüséges felbontan. A rendszer eleme özött és a örnyezethez fűződő összefüggése és apcsolato megvalósítása lehetne egyszerű vagy bonyolult fza, éma, bológa vagy nformácós jellegűe. A rendszer leírását, az összefüggése matemata meghatározását, a matemata modellt rövden (bár nem eléggé szabályosan) szntén a rendszer szóval jelöljü. Mvel mnden természetben előforduló, vagy ember által létrehozott rendszer, folyamat, jelenség ölcsönhatásban van egymással, ha bármlyen rendszert tanulmányozun s, fgyelembe ell vennün a örnyezet hatását a rendszerre, és a rendszer hatását a örnyezetre. Eze a hatáso lehetne olyano, amelye a rendszer meghatározott pontjaban összpontosulna, például a rendszer egy elemére ható erő formájában. A hatáso azonban lehetne elosztotta s, eor az egész rendszerne vagy valamely részéne felületére, esetleg mnden egyes pontjára hatna. Ilyen elosztott jellegűe a hőmérsélet, vagy nyomás hatása, amelye egy rendszer felületéne bzonyos részere hatna, vagy a gravtácós és mágneses tere hatása stb. A rendszer és örnyezete összetartozó,

7 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 7 daletus egységet épező fogalma. Szétválasztásu, a rendszer határvonalana jelölése, a rendszer örülhatárolása a feladattól, a vzsgálat szempontjatól, a beavatozást génylő sztuácótól függ. Az.. ábra vázlatosan tüntet fel a rendszert a tér olyan részeént, amelyben összes eleme, és a örnyezethez fűződő összes apcsolata összpontosítva (oncentrálva) vanna. Unverzum Rendszer.. ábra. A rendszer és örnyezete. A apcsolatoat ábrázoló nyla a hatáso terjedéséne rányát mutatjá. Mnden rendszer jellemezhető az azt felépítő eleme tulajdonságaval, és azoal a apcsolatoal, amelye az adott rendszer és örnyezet ölcsönhatását jellemz. Meg ell jegyezn, hogy aármlyen részletesen és alaposan s tanulmányozzu a rendszer tulajdonságát és vseledését, sohasem tudju fgyelembe venn mnd azt a végtelen so tényezőt, amely a rendszert özvetve vagy özvetlenül befolyásolja. Ezért mnden tanulmányozás, ísérlet eredményét csas megfelelő fenntartással fogadhatju el és alalmazhatju a gyaorlatban. A rendszereben erngő és áthaladó hatásoat, amelye nformácós apcsolatoat valósítana meg, jelene nevez, ugyans a jelne legfontosabb jellemvonása az nformácótartalom. Elmondható, hogy a jel mnden olyan folyamat, amelyne segítségével az nformácó anyag jellegűvé vál és továbbítható vagy tárolható... Jel fogalma Egy rendszer egyes eleme özött, vagy ülönböző rendszere özött olyan apcsolato vanna, melyeen eresztül ölcsönhatásban állna egymással. Eze a apcsolato az energa vagy az anyag átadását jelenthet az egymásra ható eleme vagy rendszere özött. A apcsolato azonban olyano s lehetne, hogy nformácó tartalmu lesz lényeges, azaz azo az smerete, amelyeet az elem vagy rendszer más rendszere vagy eleme állapotáról ap, vagy a saját állapotáról özöl. Eor az smereteet hordozó anyag forma csa másodrangú jelentőségű lesz. A rendszereben erngő és áthaladó hatásoat, amelye nformácós apcsolatoat valósítana meg, jelene nevezzü. A jelne legfontosabb jellemvonása az nformácótartalom (özleménytartalom), az energasznt nagysága csa másodlagos jelentőségű. Legtöbbször a jelet, mnt dőtől függő nformácót hordozó mennységet

8 8 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR határozzá meg. E meghatározás csa részben gaz, ugyans gyaran jelént tentün azon függvényere s melye független változóént nem tartalmazzá az dőt, valamnt előfordul, hogy omplex függvényeet s jelént ezelün. Jelhordozó lehet mnden mérhető fza, éma állapothordozó, amelyne segítségével az nformácó anyag jellegűvé vál és továbbítható vagy tárolható. Matemata modell esetén a jeleet változóal jelöljü. Jelhordozó jelölése esetén a változóna fza értelme van. Jellemzőne nevezzü azoat az állapothatározóat, amelye a rendszer állapotát vagy állapotána változását jellemz vagy befolyásoljá (pl. nyomás, hőmérsélet, oncentrácó). Tehát a jellemző olyan jel, amely a rendszer állapothatározóna értééhez vagy értéváltozásához rendel nformácót. Az a rendszer vagy özeg, amelyen eresztül apju a jelet, a hírözlő csatorna. A jeleet nagy távolságra lehet özvetíten, így megvalósítható a térben elválasztott rendszere özött apcsolat s. A jele rögzítése (memorzálása) lehetővé tesz, hogy megfelelő dő elteltével özvetítsü őet, és így az dőben elválasztott rendszerváltozás folyamatoat s össze lehet apcsoln..3. Jele felosztása A jele matemata leírására függvényeet használun, am egy független változó és egy függő változó özött egyértelmű apcsolatot valósítana meg. A függvény értelmezés tartományát a független változó tartományát jelent, ezt nevezzü argumentumna, a függő változó összes értée pedg a függvény értéészlete. A jel értelmezés tartományán legtöbb esetben az dőt, értéészletén pedg a vzsgált jel által leírt fza mennység értéét értjü. A jeleet feloszthatju: értéészlet szernt, lefolyás szernt, az nformácó megjelenés formája szernt, az érté meghatározottsága szernt, a jelhordozó fza mennysége szernt, Az alábbaban bemutatásra erülne a fenteben felsorolt jelcsoporto..3.. A jel értéészlete szernt felosztás: Folytonos a jel, ha meghatározott tartományban tetszés szernt értéet vehet fel és értéészlete folytonos, vagys egy összefüggő tartomány. Szaaszos a jel, ha meghatározott tartományban csa meghatározott, dszrét (zolált) értéeet vehet fel, egy megszámlálható számhalmaz elemeből, ét szomszédos dszrét értée özött értéészlete hányz. Az lyen jel, dőben folytonos, de értéészletében dszrét. (lépcsős, más néven vantált jelala, vagy dszrét értéű jel)..3.. Lefolyás szernt felosztás: Folyamatos a jel, ha a független változó egy adott tartományában megszaítás nélül fennáll.

9 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 9 A folyamatos jel matemata modellezésénél olyan függvényt alalmazun ahol a független változó t R ( R a valós számo halmaza). Folyamatos jelnél fontos, hogy az egyértelműen defnált legyen a teljes R felett esetleg, néhány véges számú pont épezhet vételt. Például a y ( t) t nem értelmezett a t < értéere, a poztívora pedg ét megoldással s rendelez. Gyaran, főleg dnamus rendszere esetében a független változó az dő. Ilyenor folytonos dejű jelről beszélün, melyne jele FI. A jele valós matemata függvénye, de néhány rajtu végzett transzformácó hatására omplex változóént jelentezhetne. Ilyen például a forgóvetoro ábrázolása j ( ) ampltúdójual és fázsual. Y ( j) A( j) e ϕ. Ahol: Y ( j) egy omplex fejezés, j ϕ jelöl a fázsszöget. a forgás szögsebessége, A ( ) a forgó vetor ampltúdója és ( ).. ábra. Folytonos dejű jel. Szaggatott a jel, ha az a független változó egy adott tartományában csa megszaításoal áll fenn. A független változó meghatározott értéeben szolgáltatna nformácót a jel a több értéenél megszaad. Az nformácószolgáltatás a független változó bzonyos értéere értelmezett. Időt alalmazva független változóént eljutun a dszrét dejű jel fogalmához, melyne jele a DI. A dszrét dejű jel matemata meghatározása, hogy az egy Z ( Z az egész számo halmazát jelöl) független változó függvénye y y[ ]. Az egyértelmű megülönböztetés érdeében a folyamatos jelet jelölő függvénynél egyszerű zárójeleet alalmazun, míg a szaggatott jel esetében t y DI jel jelölése. özépzárójelet. Így y ( ) FI míg [ ] A.3. ábrán látható [ ].3. ábra. Dszrét dejű jel. g függvény esetében dszrét dőt jelöl másodpercben, percben, órában vagy egyéb dőszeletben megadva.

10 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR.3.3. Az nformácó megjelenés formája szernt felosztás: Analóg a jel, ha az nformácót a jelhordozó értée vagy értéváltozása özvetlenül épvsel. Az analóg jel nformácótartalma tetszőlegesen s változásoat s özvetít. Dgtáls a jel, ha az nformácó a jelhordozó számjegyet fejező, dszrét, jelép értéeben (ódjaban) van jelen Az érté meghatározottsága szernt: Determnsztus a jel, ha értée meghatározott dőfüggvénnyel egyértelműen megadható, elegendő pontossággal lehet mérn, és megsmételhető folyamatot hoz létre. Sztochasztus a jel, ha véletlen lefolyású, és csa valószínűség-számítás módszereel írható le, a jel méréseor véletlenszerű eredményeet apun. Ilyenor nem tudun egyértelmű dőfüggvényt megadn. A jel statsztus tulajdonságat ell meghatározn, mnt például a várható értéét, szórását..4. ábra. Sztochasztus jel. A jele egy specáls osztályát jelent a perodus jele, ahol a jel alaja peródusonént smétlőd, és aperodus jele, ahol ez a perodctás nem áll fenn. Jelfeldolgozás szempontból fontos szerepet játszana a belépő jele, melye az dő negatív értéere azonosan nulla értéűe, csa poztív dőértéere szotu őet elemezn. Példá folytonos dejű jelere: Egy x jelet folytonos dejűne mondju, amor a jel az dő mnden valós értéére értelmezett: x x(t), t R, vagy < t < A determnsztus jel megadható matemata modell segítségével. A övetezőben példát látun belépő és nem belépő jele matemata modellen eresztül leírására: Egy függvénnyel az x(t) jelet bármlyen t dőpllanatban meghatározhatju (t[sec]), ha t < Belépő exponencáls: x (t) 5e t, ha t, ha t <, Belépő jel: x (t) t, ha t t <,5;, ha t,5; Perodus jel: x 3 (t) 3cos (t + π 4rad) Nem belépő aperodus jel: x 4 (t) 4,5t

11 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK A jel dőbel lefutása megadható grafus ábrázolással s. Jeleet lyen módon csa véges dőntervallumra és behatárolt pontossággal tudju felrajzoln. Van, amor a jel perodus, vagy lecsengő jellegű, ebben az esetben öveteztethetün a jel, ábrázoláson ívül részere s. Az.5. ábra perodus és aperodus belépő jeleet mutat be..5. ábra. Perodus (fent), és nem perodus jele (lent). Az.6. ábra egy folytonos jel látható, jelölése x(t). A jel perodus dőözönént vett mntát ponttal, vantált értéet pedg csllaggal jelz az ábra..6. ábra. Mntavételezett és vantált jel A jelhordozó fza mennység szernt felosztás Jelhordozó bármely fza vagy éma mennység lehet. A továbbaban megemlítésre erül néhány, a mérnö gyaorlatban gyaran használt mennység. Ezen mennysége attól függően csoportosítható, hogy mlyen az elsődleges rendszer besorolása. Például a orszerű számítógépere alapozott rányítás rendszereben a étrányú nformácócsere vllamos jeleel történ. A vllamos jeleel műödő rendszere mellett opta, eletromágneses, pneumatus és hdraulus rendszere s gyaran épez vzsgálódáso

12 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR tárgyát. Az opta rendszer jelhordozója a fény. Az eletromágneses rendszere esetén rádó vagy mrohullám továbbítja az nformácót. Pneumatus rendszere jelhordozója sűrített levegő, a hdraulus rendszereé pedg folyadé és azon belül s leggyarabban az olaj nyomása. Robbanásveszélyes üzemeben pneumatus vagy megbízható, robbanás bztos vllamos berendezéseet alalmazna. A vllamos jeleel műödő rendszere elterjedését ndoolja, hogy a vllamos energa széles örben rendelezésre áll, a vllamos jele nagy távolságra jól átvhető, fza mennysége gyors változásat s épese övetn és a orszerű híradástechna és számítógép-hálózat eljáráso alalmazásával önnyen csatlaoztatható ülönböző berendezésehez. A vllamos jel esetében az nformácóhordozó a feszültség vagy áramerősség változása lehet. Az nformácó özölhető a vllamos jel ampltúdójával, frevencájával vagy fázsával, vagy az mpulzuso ampltúdójával, az mpulzuso vagy mpulzuso özött szünet dőtartamána vszonyával vagy az mpulzuso számával. Az analóg vllamos jele ampltúdója általában valamely szabványos tartományba es, így értéü a övetező ntervallumoba található: -V, - V-os, -5mA, -ma-es vagy 4-mA. A rendszer állapotára jellemző nformácóat az érzéelő szolgáltatjá, az rányító hatásoat pedg a rendszerbe beépített beavatozó szerve bztosítjá. Az érzéelés folyamatra példa a hőmérsélet ellenállás-hőmérővel való mérése. A hőmérsélet, mnt állapotjelző, nem özvetíthető egy szabványos hírözlő csatornán eresztül. Ezért a rendszer egy adott pontjába egy ellenállás-hőmérőt helyezün el, amelyne ellenállása a rendszer adott pontjána hőmérséletével arányosan változ. Az ellenállás-hőmérő egy egyenáramú hídban helyezed el. Az ellenállás értée arányosan változ a rendszer adott pontjána hőmérséletével, vagys a híd menő feszültségével. Ez a feszültség a helyszínen érzéelhető. Ha ezt az nformácót nem a helyszínen, hanem attól távolabb aarju felhasználn, a híd menőjelét úgy ell átalaítan, hogy az zavarmentesen legyen átvhető egy rányító berendezés felé. E célra egy mérő-átalaítót használna, amelyne bemenőjele a híd feszültsége, a menőjele pedg -ma-g terjedő áramjel..7. ábra. Az érzéelés folyamat hatáslánca.

13 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 3 Ez a jel már szabványos, és egy vezetéeből felépített hírözlő csatornán, vagys a hőmérséletről szerzett nformácó ülönböző fza mennysége változásán eresztül, (hőmérsélet ellenállás feszültség áramerősség) eljuthat egy áramjelet fogadó rányító berendezéshez. Az rányítástechnában a hagyományos vllamos, pneumatus vagy hdraulus jeleet mnd több esetben váltjá fel a számítástechnában és számítógép-hálózatoban alalmazott hírözlő, ódolt dgtáls jele. Az rányítástechnában az alap érzéelőn (ellenállás-hőmérő, hőelem, pezo eletromos nyomásérzéelő, stb.) ívül az érzéelő és mérő-átalaító együttesét s érzéelőne (szenzorna) nevez. Nagyon fontos, hogy az érzéelőne megfelelő pontosságúna, megfelelő méréstartományúna, lneársna, relatív gyorsna és mndenépp megbízhatóna ell lenne. Jele és rendszere példá: gazdaság előrejelzése, nformácó nyerése zajos örnyezetben (repülőgép) felvétele reonstruálása épfeldolgozás rányítástechna ódolás techna Alapvetően az analóg jele gyöere a fza rendszerere és az utóbb dőben az eletromos rendszerere nyúlna vssza (ommunácó). A dgtáls rendszere alapjat a numerus megoldáso, a statszta és az dősoro analízse épez..4. Néhány fontosabb folytonos dejű jel A továbbaban bemutatásra erül néhány fontosabb folytonosdejű (FI) jel. Az alább jeleet rendszere vzsgálatára, transzformácó eredményéne ompatabb ábrázolására használju. Ugrásfüggvény Az ugrásfüggvény ét értéű függvény. Maga a függvény, az ugrás dőpontjában felvett értéétől függően három módon s megadható, legyene eze: h (t), h (t), h 3 (t). h (t) A t < t, h B t t (t) A t t, h B t > t (t) A+B A t < t t t B t > t Bármely meghatározás mód választásával érvényes, hogy anna ntegrálja: h (t)dt A(t α) + B(t α),,,3 α β

14 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Az egységugrás vagy Heavsde-féle függvény Az egységugrás függvény olyan ugrásfüggvény, amely nulláról egyre ugr a független változó nulla értéében. Jelölése az rodalomban ε(t), vagy h(t) elnevezése pedg Heavsde függvény. A függvény övetezőéppen defnálható: h (t) t < t Feladat.4.. Grafusan ábrázolja a Heavsde függvényt! h(t).8. ábra. Heavsde függvény. t Az deáls apcsoló aratersztája az.8. ábrán látható Heavsde függvénnyel egyez meg. Az egységugrás függvény határértée a t( )-ban nulla, a t(+) pedg egy. Defnálhatju az egységugrás dőben eltoltját s a övetezőéppen: t > τ h(t τ) t < τ h(t τ) τ t.9. ábra. Eltolt egységugrás függvény. Az egységugrás függvény más nagy előnye az, hogy segítségével ablaozn tudju a függvényt. Ezt úgy érhetjü, el, hogy elem egységugrás függvényeből észítün egy általun meghatározott szélességű ablaot, majd ezt összeszorozva a vzsgáln ívánt függvénnyel apju az ablaozott jelet. Az.. ábrán prossal erült jelölősre a ét egységugrásból előállított négyszög abla.

15 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 5.. ábra. Négyszög jel. A sgnum függvény, előjel függvény. Az előjelfüggvény a jele és rendszere területén egy gyaran használt nemlneartás. t < Analtusan meghatározva: sgn(t) t t > Feladat.4.. Grafusan ábrázolja az előjel függvényt!.. ábra. Sgnum függvény. A sorompó függvény A rendszere vzsgálatánál gyaran használatos a sebesség, vagy sorompó függvény, am lényegében egy egységny ránytényezőjű auzáls egyenes függvény. A sorompófüggvény előállítható az egységugrás ntegráljaént. t t Analtusan: r(t) t < t h(τ)dτ

16 6 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat.4.3. Grafusan ábrázolja a sorompó függvényt!.. ábra. Sorompó függvény. A Drac-mpulzus Az mpulzus függvény δ(t), vagy más néven Drac delta függvény egy, csa az elméletben létező jel, amely gen nagy jelentőséggel bír a jel és rendszerelmélet területén. A jel többféle épen bevezethető. Úgy s defnálható, mnt egy megfelelő határral választott függvény egységny területtel (ntenztással), melyne határat a nullához özelítjü úgy, hogy özben a területe mndvégg egységny marad. Ez a segédfüggvény az egységny területű függvény. δ(t) t t ; δ(t) lm τ h(t + τ) h(t τ) τ ; δ(t) dt δ(t) dt +.3. ábra. Drac delta mpulzus. A függvény mnden t értére nulla, véve a t helyen, ahol értée végtelen nagy, mözben területe változatlanul egységny marad. Egy más megözelítéssel s defnálható: b f(), ha a < < b f(t)δ(t)dt, ha a < b < vagy < a < b a nem defnált, ha a vagy b ahol az f(t) bármlyen folytonos függvény lehet. A Drac mpulzusna s létez eltoltja, mely a övetezőéppen defnálható, ahol f(t) szntén bármlyen folytonos függvény lehet:

17 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 7 f(t)δ(t t )dt f(t ) Ha az f(t) jel folytonos a t t helyen, aor egy olyan függvény apun, melyne értée mndenütt nulla, véve a t t helyet, ahol s egy olyan Drac mpulzus lesz az értée, melyne nagysága arányos lesz az f(t ) értéel. Néhány tovább tulajdonság az mpulzus függvényne: δ(αt) α δ( t) δ(t) x(t)δ(t) x()δ(t) ha x(t) függvény folytonos a t -ban x(t)δ(t t ) x(t )δ(t t ) ha x(t) függvény folytonos a t t -ban Feladat.4.4. Határozzu meg a Heavsde függvény derváltját! A feladat megoldása érdeében fgyeljü az.4. ábra szernt meghatározott h a (t) függvényt, t < a h a (t) t + a t < a a. t > a A függvényre érvényes, hogy lm a h a (t) h(t)..4. ábra. Illusztrácó a Heavsde derválthoz..5. ábra. A h a (t) függvény derváltja. A h a (t) függvény derváltja eor: t < a dh a (t) t < dt a a δ a(t), lm dh a(t) hhhh dh(t) lmδ a t > a dt dt a (t) δ(t) a Tehát a Heavsde függvény derváltja a Drac delta mpulzus. Enne az nverze s gaz, ugyans a Drac delta mpulzus dő szernt ntegrálja a Heavsde függvény: h(t) δ(τ)dτ t

18 8 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Az mpulzus sorozat vagy fésű függvény: Analtusan: comb(t) p(t) n δ(t nt) ahol n egész szám. Az mpulzus sorozat Drac mpulzuso perodus eltolt összegéből áll elő. Feladat.4.5. Grafusan ábrázolja az mpulzus sorozat függvényt!.6. ábra.. Az mpulzus sorozat függvény. Az egységny négyszög függvény: t < Analtusan megadva: rect(t) t. t > Feladat.4.6. Grafusan ábrázolja az egységny négyszög függvényt!.7. ábra. Az egységny négyszög függvény.

19 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 9 Az egységny háromszög függvény: t ; t < Analtusan: tr(t) ; t >. Feladat.4.7. Grafusan ábrázolja az egységny háromszög függvényt!.8. ábra. Az egységny háromszög függvény. Az egységny snc függvény A snc függvényne nagy jelentősége van a jelfeldolgozás terén. Analtusan: snc(t) sn(πt) πt Feladat.4.8. Grafusan ábrázolja a snc függvényt!.9. ábra. A snc függvény.

20 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A sznusz függvény Általános esetben a harmonus, perodus sznusz felírható a övetező szernt: x(t) A cos π T t + φ A cos(πf t + φ) A cos( t + φ).. ábra. A sznusz függvény. Feladat.4.9. Grafusan ábrázolja a övetező exponencáls sznusz függvény: f(t) e.t sn(πt).. ábra. Az exponencáls sznusz függvény.

21 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK A omplex exponencáls függvény: Tentsü és vzsgálju az ( t) számo. at x Ce függvényt, ahol C és a általános esetben omplex Amennyben ahol C és a valós számo, aor x ( t) egy valós exponencáls függvény ábra. A valós exponencáls függvény. a> és a< esete, C. ϕ A továbbaban tentsü az Euler épletet: e j cosϕ + jsnϕ. Az Euler-éplet szoros apcsolatot teremt a matemata analízs és a trgonometra özött, lehetővé tesz a sznusz és osznusz függvényene az exponencáls függvény súlyozott összegeént való értelmezését: jϕ jϕ jϕ jϕ e + e e e cos( ϕ), sn( ϕ). j Amnt már említettü általános esetben a r + j jt Egy specáls eset, ha a valós része nulla és C, aor, x( t) e. Egy érdees tulajdonsága enne a jelne, hogy perodus. j ( t+ T ) jt jt j x( t) e e e T e amennyben aor x ( t) és az a jel perodus mnden T értére, amennyben, aor a jel alapperódusa az a T legsebb poztív érté, amre a jel perodus. jt jt Vegyü észre, hogy az x( t) e és x( t) e jelene azonos a peródusu, azaz π T, melyne örfrevencája: πf. Mvel általános esetben a r + j és C C e j (C) θ (C) eor x(t) Ce at C e jθ e (r+j )t C e rt e j(θ+ t) x(t) Ce at C e rt e j(θ+t) C e rt cos( t + θ) + jsn( t + θ) C e rt cos( t + θ) + jsn( t + θ) C e rt cos( t + θ) + jcos t + θ π

22 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR ábra. Komplex exponencáls függvénye r > és r < esetere. A Drhle féle függvény Analtus ala: drcl(t, N) sn(πnt) Nsn(πt). Feladat.4.. Grafusan ábrázolja a függvényt!.4. ábra. A Drhle féle függvény, ülönböző argumentum értéere..5. Néhány fontosabb dszrétdejű jel Nncs egységes jelölésmód a dszrétdejű jele ábrázolására. Jelöljü a dszrétdejű jelet a x ( t) hez hasonlóan t nt helyettesítéssel x [ nt ] vel, ahol T a mntavételezés peródusdeje n pedg egész szám. Gyaran T -t elhagyhatju és így x [ n] jelölést apju. A továbbaban használju az x [ n] jelölést. Fontos megemlíten, hogy a dszrétdejű jele esetében nem beszélün szngulárs pontoról, vagy nem defnált pontoról, ugyans egy adott mntavétel értée mndg meghatározott. Két mntavétel özött érté pedg nem létez.

23 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 3 Az egységugrás függvény Igen gyaran alalmazott jel, mely a övetező épen adható meg:, ha < h[] ε[], ha A függvény értée < ütemere, ütemere pedg..5. ábra. A DI egységugrás függvény. A folytonos dejű egységugráshoz hasonlóan tt s defnálhatun tetszőleges ütemmel, ha < eltolt egységugrás függvényt: ε[ ], ha.6. ábra. Eltolt DI egységugrás függvény. Drac-mpulzus, egységmpulzus..7. ábra. A DI Drac mpulzus. A dszrét dejű Drac mpulzust a övetezőépen defnálhatju: δ[n] n n Hasonlóan a folytonos dejű megfelelőjéhez érvényes, hogy x[n ] de rá nem érvényes a sálázhatóság tulajdonsága δ[an] δ[n]. (δ[n n ]x[n]) Az egységmpulzus értée csa a n helyen lesz, bármely más helyen az értée. Itt s defnálhatju az egységmpulzus eltoltját:, ha n < δ[n ], ha n, ha n >

24 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Dszrét dejű omplex exponencáls függvény A függvény sorozata a övetezőépen adható meg: x[n] e jω n Újból felhasználva az Euler formulát tudju fejezn x[n] értéét: x[n] e jω n cos Ω n + j sn Ω n.8. ábra. A DI omplex exponencáls poztív valós rész esetén (bal). Negatív valós rész esetén (jobb ). A sorozat valós része a cos Ω n épzetes része pedg a j sn Ω n. Ahhoz, hogy perodus legyen a jel N-ne,és Ω -na a övetező feltételeet ell telesítenü: Ω m ahol m poztív egész. π N Ebből az övetez, hogy a sorozat nem mnden Ω ra lesz perodus, csa aor, ha Ω /π egy raconáls szám lesz. Lényeges ülönbség ez a folytonos dejű függvénynél tapasztaltaal szemben, ahol s bármlyen -ra perodus volt. Ha Ω megfelel a perodctás feltételéne, azaz Ω valamnt N-ne és m-ne nncs özös tényezőjü, aor felírhatju az alapvető perodus egyenletet: N m π Ω

25 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 5.6. Pédá jele ábrázolására A feladatsor célja megsmeredn a jele ábrázolásával MATLAB örnyezetben. Feladat.6.., ha n < 6, ha n MATLAB ábrázolju a övetező függvényt: x[n], ha n 5, ha n, ha n > A feladat megoldását végző ód: n[ ]; x[ 6-5 ]; stem(n,x); Az eredményül apott grafon jobbról látható ábra. A MATLAB-ban rajzolt grafon. Feladat.6.. MATLAB-ban ábrázolju a övetező függvényt: x[n] e.n A feladat megoldását végző ód: n-:; xexp(.*n); stem(n,x); Az eredményül apott grafon jobbról látható ábra. A MATLAB-ban rajzolt grafon.

26 6 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat.6.3. MATLAB-ban ábrázolju a övetező DI exponencáls függvényt: x[n] (e.n )sn(n p/5) A feladat megoldását végző ód: xexp(.*n).*sn(n*p/5); stem(n,x); xlabel('n'); ylabel('x[n]'); grd; Az eredményül apott grafon jobbról látható. x[n] n A függvény FI változata: t-:.:; xexp(.*t).*sn(t*p/5); plot(t,x); xlabel('t'); ylabel('x(t)'); Az eredményül apott grafon jobbról látható. x(t).3. ábra. A MATLAB-ban rajzolt grafon t.3. ábra. A MATLAB-ban rajzolt grafon. Feladat.6.4. MATLAB-ban ábrázolju a övetező függvényt:, ha n < N n + N, ha N n < x[n] sn(ωn), ha < n N N 5, Ω π, ha n > N

27 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 7 A MATLAB ód: close all;clear all; N5;omegap/;x[]; for n-n-5:n+5 f n<-n xn; else f n< xnn+n/; elsef n<n xnsn(omega*n); else xn; end end x[x xn]; end fgure(); stem(-n-5:n+5,x); ábra. A baloldal MATLAB ód eredménye. Most ábrázolju a függvény x[n + a] eltolt változatát, amor a 5. A MATLAB ód: a-5; xp[]; tart_n-n-5:n+5; hossz_n length(tart_n); elso_n tart_n(); utolso_n tart_n(hossz_n); for ntart_n f (n+a > elso_n) && (n+a < utolso_n) xnpax(n+a+n+6); else xnpa; end xp[xp xnpa]; end fgure(); stem(tart_n, xp); ttle('eltolt jel x(n+a)'); xlabel('n'); ylabel('x(n+a)'); x(n+a) Eltolt jel x(n+a) n.34. ábra Az eltol függvény.

28 8 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR MATLAB-ban ábrázolju a függvény sálázott változatát a övetező szernt: x[bn]eet, amor b 3: A MATLAB ód: Salazas x(bn) b3; xs[]; for ntart_n f (b*n > elso_n) && (b*n < utolso_n) end else end xbnx(b*n+n+6); xbn; xs[xs xbn]; fgure(3); stem(tart_n, xs); ttle('salazas x(bn)'); xlabel('n'); ylabel('x(bn)'); x(bn) n.35. ábra. A sálázott függvény. Feladat.6.5. MATLAB-ban ábrázolju a övetező függvényeet:, ha n <, ha n < 5 x[n] 7 n, ha n [,] és y[n] 4e n, ha n [ 5,5], ha n, ha n > 5 A megoldás első lépésében fejtsü az abszolút értéeet., ha n <, ha n < 7 n, ha 7 n 7 n, ha n < 8 x[n] (7 n), ha 7 n < n 7, ha 8 n <, ha n, ha n, ha n < 5, ha n < 5 4e y[n] ( n), ha n < 4e 4e n n, ha 5 n <, ha n 4e n, ha n < 6, ha n > 5, ha n 6 Valamnt a z[n] x[n] + y[n], ha n < 5 4e n, ha 5 n < 7 n + 4e y[n] n, ha n < 6 7 n, ha 6 n < 8 n 7, ha 8 n <, ha n 6

29 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 9 A MATLAB ód: n-5:5; u tol_8_g (n>) & (n<8); u_8_tol g (n>8) & (n<); x (7-n).*u tol_8_g + (n-7).*u_8_tol g ; u_mnus5_tol g (n>-5) & (n<); u tol_6_g (n>) & (n<6); y 4*exp(n).*u_mnus5_tol g + 4*exp(-n).*u tol_6_g; u_6_tol_8_g (n>6) & (n<8); z 4*exp(n).*u_mnus5_tol g + (7-n+4*exp(-n)).*u tol_6_g... + (7-n).*u_6_tol_8_g + (n-7).*u_8_tol g ; fgure(); subplot(3,,); stem(n,x); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); grd; subplot(3,,); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('y(n)'); grd; subplot(3,,3); stem(n,z); xlabel('n'); ylabel('z(n)'); grd; x(n) n 4 y(n) n z(n) n.36. ábra. A ód futásána eredménye.

30 3 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat.6.6. MATLAB-ban ábrázolju az előző példában szereplő függvénye páros Ev x[n] x[n] + x[ n] és páratlan Od x[n] x[n] x[ n] részét. A megoldás MATLAB ódja: ev_x/*(x+x(end:-:)); % x paros resze od_x/*(x-x(end:-:)); % x paratlan resze ev_y/*(y+y(end:-:)); od_y/*(y-y(end:-:)); ev_z/*(z+z(end:-:)); od_z/*(z-z(end:-:)); fgure(); subplot(3,,); stem(n,ev_x); xlabel('n'); ylabel('ev[x(n)]'); subplot(3,,); stem(n,ev_y); xlabel('n'); ylabel('ev[y(n)]'); subplot(3,,3); stem(n,ev_z); xlabel('n'); ylabel('ev[z(n)]'); fgure(3); subplot(3,,); stem(n,od_x); xlabel('n'); ylabel('od[x(n)]'); subplot(3,,); stem(n,od_y); xlabel('n'); ylabel('od[y(n)]'); subplot(3,,3); stem(n,od_z); xlabel('n'); ylabel('od[z(n)]'); 5 Ev[x(n)] 5 Od[x(n)] n n 4 Ev[y(n)] n Od[y(n)] n 5 Ev[z(n)] Od[z(n)] n n.37. ábra. A program futásána eredménye.

31 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 3 Feladat.6.7. A övetező gyaorló feladatnál MATLAB segítségével rajzolja meg az alább ét függvény szorzatát a < t < ntervallum felett. A függvénye: x (t), sn(πt), sn(πt) < x t, sn(πt) (t) t, sn(πt) <.38. ábra. A függvénye és szorzatu ábrázolása.

32 3 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat.6.8. Rajzolja meg az alább g( t) f g( t) 4 függvényeet. függvényehez tartozó f g( t), f g( t), g ( t ) f 3 és.39. ábra. Az eredmény függvénye. A megoldás:.4. ábra. Az eredmény függvénye.

33 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK ábra. Az eredmény függvénye..4. ábra. Az eredmény függvénye. Feladat.6.9. Adja meg a ( t) t 3t + 6 g függvény páros és páratlan részét! A megoldás: a páros rész: g p (t) [g(t) + g( t)] és a páratlan g n(t) [g(t) g( t)] rész. Eszernt: g p (t) t + 6 és g n (t) 3t.

34 34 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat.6.. Rajzolja meg az alább g(t) függvénye től t g tartó ntegráljat..43. ábra. A függvénye..44. ábra. A megoldás. Feladat.6.. Adja meg és rajzolja fel az alább jelet és dőben derváltját: x ( t) t; t t + ; < t ; < t ; t > A megoldás: ábra. A megoldás.

35 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK Rendszere felosztása A rendszereet vseledésü és az őet leíró matemata modell alapján osztályozzu. Egy rendszer több osztályba s tartozhat. Az osztályo gyaran ellentétpároból állna. Az alábbaban rövden bemutatásra erülne az osztályo. A rendszer szmbolus jelölését az.46. ábra mutatja. u(t) Σ y(t).46. ábra. A rendszer szmbolus jelölése. A Σ -val jelölt rendszer bemenő és menő jelene értéét a t pllanatban u t és y ( t) jelöl, míg u ( ) és y ( ) jelöl a teljes megfgyelhető jelet. És u t Σ y t. értelemszerűen ( ) érvényes: ( ) ( ).7.. A rendszer osztályo Folytonos vagy dszrét Amennyben a rendszer bemenetén vagy menetén található jel dőben folytonos aor folytonos rendszerről beszélün, de ha dőben csa dszrét értéeben van értée aor dszrét rendszerről beszélün. Tehát a folytonos és dszrét meghatározás az dőre vonatoz. Folytonos dejű rendszer esetében az dő ntervalluma [ a, b] vagy R, dszrétdejű rendszernél pedg egy valós számsorozat, tpusan {, T,T,3T,, nt, }, ahol T a mntavétel dő. Példa folytonos dejű rendszerre: y ( t) u( t t ), t. 3 > Példa dszrétdejű rendszerre: y [ n] u[ n] + 3u[ n ], ahol [ n] dőben a menet értée. A fentvel egyenértéű leírás: y[ nt ] u[ nt ] + 3u[ ( n ) T ] Kauzáls vagy nem auzáls y az n -ed mntavétel. A auzáls rendszernél (o-oozat rendszernél) o-oozat apcsolat áll fenn anna bemenő és menő jele özött. Ráju jellemző, hogy rendszer válasza egy t dőpontban csa az dőpontot megelőző gerjesztésetől függ t t. Más szóval a auzáls rendszerene nncs előrelátó épességü. A valós fza rendszere auzálsa. A nem auzáls rendszere fzalag nem reálsa. Ilyene a jósláso és más prognoszta, gondolat rendszere. A mérnö gyaorlat azonban alalmazza a nem auzáls rendszereet s. A folytonos dejű rendszere vzsgálatánál gyaran egyszerűbb matemata tárgyalást bztosítana. A dszrétdejű rendszere esetében a jele memorzálható és valósdőn ívül feldolgozható. Itt megemlíthető a épfeldolgozás, a hangfeldolgozás, a meteorológa vagy más hasonló terület s.

36 36 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A auzaltás fogalma terjeszthető a jelere s. A auzáls jele értée t < esetén nullával egyenlő. Eze a belépő jele. Példá auzáls rendszerere:, > Folytonos dejű: y ( t) u( t t ) t, dszrétdejű: [ n] u[ n] + u[ n ] Példá nem auzáls rendszerere: y. M + Folytonos dejű: y ( t) u( t + t ), t >, dszrétdejű: y[ n] u[ n ] Az utóbb rendszert gyaran használjá átlagépzésre. Status vagy dnamus A status rendszer menete egy t dőpontban csa s zárólag az abban a pllanatban jelentező gerjesztéstől (bemenettől) függ. A status rendszerene nncs memóráju. A status rendszere vseledése nem függ az dőtől. A status rendszer algebra vagy dő szernt derváltaat nem tartalmazó özönséges vagy parcáls dfferencálegyenleteel írható le. A dnamus rendszere esetében egy adott dőben gerjesztett menet értée függ a múltbel gerjesztésetől s. A dnamus rendszere energatárolót(at) tartalmazó rendszere, vagys memórával rendelező rendszere. Matemata modelljü olyan özönséges vagy parcáls dfferencálegyenleteel adható meg, amelyeben szerepel dő szernt dervált. Koncentrált paraméterű vagy elosztott paraméterű Koncentrált paraméterű rendszer esetében az elemeet paramétere tentetében dealzáltna, terjedés nélülne tentjü. Ilyen dealzált elem a tömegpont, amely bzonyos eseteben alalmas egy bolygó fgyelembevételére egy oncentrált paraméterű rendszeren belül. Az elosztott paraméterű rendszerben a paramétere általában térben folytonos eloszlásban hatna. Az elosztott paraméterű rendszere matemata modellje parcáls dfferencálegyenleteel adható meg. Homogén vagy nem homogén Σ u t y t Σ Homogén rendszerre érvényes: ( ) ( ) Au( t) Ay( t), vagys amennyben a bemenetet megnöveljü A szorosára aor a menet s A szorosra növesz. Példa homogén rendszerre: y( t) 5u( t). Példa nem homogén rendszerre: y ( t) 5 u( t) +. M M Addtív vagy nem addtív Legyen u ( t) gerjesztésre egy rendszer válasza y ( t) és u ( t) gerjesztésre y ( t) ét bemenet összegére u ( t) + u( t) a válasz a ét menet összege y ( t) y ( t), aor a +, tehát addtív rendszerre érvényes: Σ Σ Σ u ( t) y( t),u( t) y( t) ( u( t) + u( t) ) ( y( t) + y( t) ) Az addtvtást gen jól szemléltet a övetező, ha például egy függvény leépezés az:.

37 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 37 y(t) F(u(t)) törvényszerűség szernt történ, aor a modell addtív, ha F(u+ũ) F(u) + F(ũ) és nem addtív ha F(u+ũ) F(u) + F(ũ) Lneárs vagy nemlneárs A lneárs rendszer egyszerre homogén és addtív s. Ezt a tulajdonságot szuperpozícóna nevezzü. Vagys Σ Σ Σ ( t) y ( t) u ( t) y ( t) ( Au ( t) + Bu ( t) ) ( Ay ( t) By ( t) ) u, + Az egyenlete aor lneársa, ha a független változó (vagy anna derváltja) csa első hatványon és transzcendens függvénye által történő leépezése nélül fordulna elő benne, egyébént nemlneársa. Ha a lneartás valóban fennáll, aor jelentősen leegyszerűsít a rendszer vseledéséne elemzését. A valós vlág számos rendszere gen széles tartományban, legalábbs első özelítésben, lneárs. d y dy Példa lneárs rendszerre: a + a + a y bu dt dt d y dy 3 Példa nemlneárs rendszerre: a + a + a y bu dt dt A folytonos rendszerehez hasonlóan, amennyben a dszrét rendszer egyszerre homogén és addtív s aor az lneárs dszrétdejű rendszer. Időnvaráns vagy dővaráns Ha a rendszer apcsolata és paramétere dőfüggetlene, aor a rendszer dőnvaráns (autonóm). Időnvaráns rendszere esetén egy adott gerjesztésre ugyanaz a válasz függetlenül attól, hogy az mor lett alalmazva. Vagys Σ Σ u t y t u t t y t. ( ) ( ) ( ) ( t ) Dszrét rendszere esetén pedg ha [ n] dőnvaráns rendszer válasza x[ n ] bemenetre [ n ] n x bemenetre a válasz y [ n] y. n, aor az Invertálható rendszer A rendszer nvertálható, ha anna menetéből egyértelműen meghatározható a bemenete. Más szóval a rendszerne létez nverze amennyben ülönböző gerjesztése ülönböző válaszoat generálna. P P ábra. Invertálható FI rendszer.

38 38 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Ez gaz dszrét rendszere esetében s. Például az [ n ] x[ n] n smert rendszer nverze az x [ n ] y[ n ] y[ n ] rendszer. P P ábra. Invertálható DI rendszer. n y aumulátorént s Determnsztus vagy sztochasztus A determnsztus rendszer független változó, függvényeel adható meg térben és dőben. A sztochasztus rendszer egyes független változó csa valószínűségszámítás összefüggéseel írható le..7.. Lneárs dőnvaráns rendszere A jel és rendszertechnában tüntetett szerep jut az dőnvaráns lneárs rendszerene, vagys az LTI (Lnear Tme Invarant) rendszerene. Amnt már ez előzőben s láttu egy rendszer dővaráncájána vagy nvarancájána az dőtől való függését nevezzü. Az dőtől való függetlensége az explct függést jelent, a rendszerben jelentező jele természetesen függhetne az dőtől. Az dőnvaráns rendszer esetében a vzsgálat elvégzéséne dőpontja lényegtelen, a ezdődőpontot tetszőlegesen megválaszthatju, a menőjel meghatározásánál csa a vzsgálat vagy mérés dőntervallumána hossza a lényeges. Máséppen úgys megfogalmazhatju egy rendszer dőnvarancáját, hogy ugyanaora értéel eltolva a vzsgálat ezdő- és végpontját, vszont megegyező ezdőállapotoban ugyanazt a bemenő jelet használva, ugyanabba a végállapotba hozzu a rendszert. Az dővaranca lletve nvaranca matematalag az állapotátmenet- és olvasó függvénye megadásánál valósul meg. Idővaráns rendszerenél explct módon jelen meg az dőváltozó a függvényargumentumban, vszont nem így van ez az dőnvaráns rendszerenél. Ez a ülönbség a fza rendszere esetében a övetezőépen mutatható be. Amor dővaráns rendszereet vzsgálun, aor nemcsa az állapotváltozó, a bemenő és a menő jele függne az dőtől, hanem a rendszert jellemző paramétere dőváltozóént vanna jelen. Egy rendszer dővaránssága a paramétere általában vagy a hosszútávon beövetező változásából (például alatrészopás), vagy valamely zavaró tényező (például a ülső hőmérsélet) fgyelmen ívül hagyása matt jelen meg. SISO LTI rendszer matemata modellje A övetezőben rövden bemutatásra erül az egy bemenetes és egy menetes SISO (Sngle Input, Sngle Output) LTI rendszer matemata modellje. Egy y ( t) folytonos menetű és u ( t) folytonos bemenetű autonóm, állandó és oncentrált paraméterű rendszer menet-bemenet vszonya a övetező n-ed rendű általános dfferencálegyenlettel írható le : n n m d y( t) d y( t) d u( t) an + a... a y( t) b... bu( t) n n + + n m + + m dt dt dt,

39 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 39 Vagys a rendszer a övetező: Σ.49. ábra. A rendszer matemata modellje. az a és b együttható rendszerállandó, és fza rendszere esetében érvényes az összefüggés. A fent dfferencálegyenlet felírható az alább d y n m a dt j b j j d u j dt m n formában s. A rendszerre jellemző dfferencálegyenlet rendszámát alapvetően a rendszer energatárolóna száma szabja meg. Mvel a rendszer lneárs és dőnvaráns, így a belső energá által gerjesztett menet jelösszetevő és a bemenet hatására jelentező menet jelösszetevő egyszerűen összeadható. Matematából tudju, hogy az n edrendű állandó együtthatójú lneárs dfferencálegyenlet teljes y ( t) megoldása a homogén egyenlet általános megoldásána y H ( t) és az nhomogén egyenlet egy partulárs y P ( t) megoldásána szuperpozícójaént állítható elő a övetező épen: y( t) yh ( t) + yp ( t) A homogén egyenlet: n ( n ) d yh ( t) d yh ( t) an + a( n ) ( ) + + a y ( t) n n H dt dt, a esetén a gerjesztést nem vesszü fgyelembe. A rendszer belső energána felhasználásával λt mozog és eredményez y H ( t) függvényt. A homogén egyenletbe yh ( t) e helyettesítéssel apju a P n n ( λ) anλ + a( n ) n ( n ) λ + + a aλ aratersztus egyenletet. A n( λ) ( λ) ( λ λ ) ( λ λ ) λ ( σ ± j ) P felírható gyöevel s: l lµ ( ) ( λ ( j ), v Pn v σ µ ± µ v µ + l n. n ahol

40 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Itt az λ értée ülönböző, multplctású omplex gyöpáro. multplctású gyöö, ( ) σ ± pedg ülönböző, l j A P ( λ) egyes tényezőne a övetező függvényeet feleltetjü meg: a ( λ ) tényezőne az n l függvényt, a ( λ ( σ )) ± j l ( l ) β ( t) B + B t + + B t α tényezőne az λt ( ) e ( ) ( t) A + A t + + A t σ t l ( l ) σ t ( ) e cos( t) + ( C + C t + + C t ) e sn( t) j j j függvényt. A szabad együttható A, B, C száma pontosan n. Így az smert peremfeltétele segítségével meghatározhatóa a szabad együttható. A rendszer homogén részéne általános megoldása felírható az alább alaban: y ( t) α ( t) + β ( t). µ A rendszer partulárs részéne megoldása a gerjesztéstől, vagys a bemenettől függ. A bemenet függvény alaja meghatározza mlyen formában eressü azt. A lneárs MIMO rendszere matemata modellje A több bemenetű és több menetű rendszere, vagys a MIMO (Multple-Input and Multple-Output) rendszere leggyaorbb modellezés alaju az állapotteres modell. Koncentrált paraméterű fza rendszert tentve, az állapottér modell a övetező alaban adható meg. Legyen x(t) az állapotváltozó vetora, u(t) a bemenő változó vetora, y(t) a menő változó vetora. A sma, FI, MIMO, nemlneárs, dővaráns rendszer megható az alábbaal: x(t) dt H v f(t, x(t), u(t)), y(t) f(t, x(t), u(t)) λ.5. ábra. Sma FI, MIMO rendszer. n r Az ábrán megadott rendszerre általánosan érvényes, hogy x R, u R, y R az állapotváltozó száma, r a bemenete száma és m a menete száma. A sma, FI, MIMO, nemlneárs, dőnvaráns rendszer megható az alábbaal: x(t) dt f(x(t), u(t)), y(t) f(x(t), u(t)) A sma, FI, MIMO, lneárs, dővaráns rendszer megható az alábbaal: x(t) dt A(t)x(t) + B(t)u(t), y(t) C(t)x(t) + D(t)u(t) m. n

41 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK ábra. Sma FI, MIMO lneárs rendszer. m n r Az ábrán x R, u R, y R t t D t rendre n n, n r, m n, m r méretű dőben változó elemeet tartalmazó mátrxo. A sma, FI, MIMO, lneárs, dőnvaráns rendszer megható az alábbaal: x(t) dt A, B ( ), C( ) és ( ) és ( t) Ax(t) + Bu(t), y(t) Cx(t) + Du(t) ábra. Sma FI, MIMO dőnvaráns lneárs rendszer..8. Példa egy ét tárolós nemlneárs rendszer vzsgálatára A feladatsor célja a modellépzés bemutatása, valamnt a modell analzálása, MATLAB és analóg számítógépes modell segítségével, SIMULINK felhasználásával. Feladat.8.. A feladatban megadott mechana rendszer egy fx ponthoz rögzített clndrlus (azaz henger alaú) csulóból, a csulóhoz rögzített hosszúságú rúdból áll. Emellett a rúdhoz a clndrus csulótól α távolságon található egy más clndrus csuló, amre egy vszózus súrlódást adó henger van csatlaoztatva. A rúd végére pedg egy harmad clndrus csulón eresztül egy rugó van erősítve. A rendszer az alább ábrán látható:

42 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR B O l a A.53. ábra. A mechanus rendszer. Amennyben a rendszert ϕ szöggel mozdul a ezdet nyugalm helyzetéből, aor az hosszúságú merev rúd elmozdítja a teljes rendszert, mondju lefelé. A rúd sebessége eor ϕ. A rúd súlya legyen G. A vszózus súrlódás erő F w. A Q súly a rúd végére függesztett súly, amely mozdította a rendszert az egyensúly helyzetéből. Az F c erő pedg az rúdra ható rugóerő, az A pontban. A mozdult rendszert ábrázoló ábra: B O A.54. ábra. A mozdított mechanus rendszer. A rendszer egyenlete az alábba szernt alaul: Az olajhengerben ható ellenálló erő, azaz a vszóz súrlódás erő ntenztása egyenlő a vszóz súrlódás együttható β, és a vszózus özegben mozgó dugattyú ν sebességéne szorzatával. Tehát mnél nagyobb a sebesség, lletve mnél nagyobb a súrlódás együttható (mnél sűrűbb a vszózus özeg), annál nagyobb ez az erő. A ν α ϕ, erület sebesség egyenlő a sugár (α ) szorozva szögsebességgel ( ϕ ). Tehát a súrlódás erő: Fw βv βa ϕ. Írju fel ez alapján a nyomatéegyenletet az O pontra: J ϕ Gl cos ϕ Fwa cos ϕ+ Ql cos ϕ Fcl cos ϕ

43 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 43 G J az O pont örül forgatott rúd tehetetlenség nyomatéa. Enne értée J 3 g azaz 3 -szor tömeg szorozva a hosszúság négyzetével. Alalmazva Newton-törvényét forgó mozgás esetére az egyenlet jobb oldalán a tehetetlenség nyomaté és a szöggyorsulás ( ϕ ) szorzata szerepel. Az egyenlet bal oldalán, pedg az összes erő nyomatéána vetoráls összege szerepel. A rendszerre hat a G súlyerő cosϕ erőarral, vagys a legrövdebb távolsággal ell számoljun a pont és az erő hatásvonala özött. Ez legyen poztív, mert lefelé húzza a rudat. Felfelé hat a vszózus súrlódás a cosϕ, amely ezért negatív. Az F w a súrlódás erő, melyne a cosϕ az erőarja. Hat még lefelé, ezért poztívan vesszü a súlyerő által fejtett nyomaté Ql cosϕ, ahol a Q a súlyerő és l cosϕ az erőar. Végül felfelé hat és azért negatívan vesszü a rugóerő F c l cosϕ, ahol az F c a rugóerő melyne erőara l cosϕ. Az O pont örül a teljes tehetetlenség nyomaté: F w G Q J l + l 3 g g A g a gravtácós gyorsulás, értée 9,8 a G pedg a rúd súlya. Mvel a rúd végén van még egy tömeg, ezért a teljes tehetetlenség nyomaté a rúd és a rúd végén elhelyezett súly Q tehetetlenség nyomatééna ( ) az összege. g A rugóban ható erő értée: F c( f + lsnϕ ) c s Ez az erő ét részből áll, egy status előfeszítésne f s -ne és a c rugóállandóna szorzatából valamnt a c -ne és az összenyomás mértééne, azaz az snϕ -ne a szorzatából. Az így apott egyenlet nemlneárs, mert szerepel benne a ϕ sznusza és osznusza s. Lnearzálhatju az egyenletet a munapont örül, am annyt jelent, hogy ha ϕ majdnem nulla, azaz csa s mozdításoat végez a rendszer, aor az elmozduláso özelítően egyenes mentére feltételezhető. Ha az elmozdulás cs aor a övetező özelítés gaz: snϕ ϕ és cosϕ. Tehát a nyomaté egyenletben, mndenhol ahol sn ϕ vagy cos ϕ volt ott ϕ vagy írható. Továbbá behelyettesítve a fent egyenleteet: tehetetlenség nyomaté, vszózus erő nyomatéát, a rugóerő nyomatéát. Az alább egyenlethez jutun: 3g ( G + 3Q ) l ϕ G l βa ϕ+ Ql cl ( f + lϕ) A fent egyenletben vanna olyan tago, melye összege status egyensúly esetén. Ilyen a rúgó súlya matt súlyerő nyomatéa, a tömeg súlya matt súlyerő nyomatéa, és a rugóerő status részéne nyomatéa. Ezen tago összege az alábbaban látható: s

44 44 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR G l+ Ql clf s. Ezt felhasználva, és az egyenletet -ra rendezve apju, a övetező fejezést: ( G + 3Q ) l ϕ+ βa ϕ+ cl ϕ. 3g Itt paraméterént szerepelne a súlyerő, a távolságo, a gravtácós gyorsulás, a rugóállandó, a vszoztás állandó. A változó pedg ϕ ( t) elmozdulás. Az egyenletet tovább egyszerűsíthetjü azzal, hogyha bevezetjü az alább jelölésmódot. ϕ + δϕ + ϕ Az új paramétere pedg: δ 3 ag β Q l ( G+ 3 ) 3cg,. G+ 3Q Eor aptun egy olyan egyenletet, mely valamlyen perodus mozgást ír le. A π perodus mozgás frevencája ha ezt helyettesítem a összefüggésne T π megfelelően aor a övetező egyenletet apju: ϕ + δϕ + ϕ. T Ha az egyenlet mndét oldalát beszorozzu apju: T ϕ+ δt ϕ+ 4π ϕ. T -el aor a övetező egyenletet Így eljutottun a rendszert leíró állandó együtthatós dfferencálegyenlethez, ez esetben az együttható állandó, az egyenlet homogén, ugyans jobb oldala -val egyenlő. A dfferencálegyenlet homogén megoldásához a aratersztus polnom gyöene σ meghatározásával jutun: ϕ e t (Asn Ωt + BcosΩt). H Az A és a B együttható értéét a ezdet feltétele ϕ () és a ϕ () alapján határozható meg. Az Ω a aratersztus polnom omplex onjugált gyöene épzetes, σ pedg a valós része. A rendszer perodus vseledése esetén érvényes, hogy δ <. Ilyenor a mozgás örfrevencája: Ω + δ ( + ) l ( G+ 3Q) 4 4 cl g G 3Q 9a g β Aperodus vseledés esetén: δ >, mely alaulásána feltétele, hogy: l β 3cg G ag ( Q) A mozgás perodus amennyben van átlengés a végtelenben felvett értéen, vagys ez esetben az aszmptotán, -án, és aperódus ha nem leng át a -án hanem beáll -ra. Ez a vseledés tt attól függ, hogy meora a csllapítás, amennyben nagy aor lassan beáll a rendszer átlengés nélül, ha pedg cs, aor leszne átlengése, a folyamat belső energána lecsengése során. Ha nncs csllapítás, aor nem fog a rendszer beálln, állandó harmonus rezgést fog végezn.

45 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 45 Most pedg nézzü meg, hogy hogyan lehet megoldan a fent dfferencálegyenletet analóg számítógépes modell segítségével, lletve szmuláln a SIMULINK örnyezetben. Legyene adotta a övetező paraméterértée. N s a 4 m, l 5 m, c, N, G N, Q 5 N m m [ ] [ ] β [ ] [ ] a4; l5; c; beta; G; Q5; g9.88 Eze alapján meghatározhatju a δ-t és az -t: sgma(3*a*a*g*beta)/((g+3*q)*l*l)/ omegasqrt((3*c*g)/(g+3*q)) Ebben az esetben a δ és az, lletve ez alapján a T a övetező épen fog alauln: δ.77, , T.4655 s Az aperódus vseledés alaulásána feltétele ezen értée mellett: β , δ Nézzün egy általános állandó együtthatós homogén másodrendű dfferencálegyenletet, ahol: dx( t) d x( t) x ( t) x ( t) x ( t) x dt dt m x + x + cx Az analóg számítógépes modell felállításához fejezzü a legmagasabb derváltat: x x cx m A feladat megoldásához szüség lesz ét ntegrátorra, az első ha ntegrálja az x másod derváltját aor abból x első derváltja lesz, a másod ha ntegrálja x első derváltját, aor abból megapju az x-et. Az x másod derváltjána épzése pedg a fent éplet alapján történ. Ez egy ét tárolós rendszer, mert van benne ét ntegrátor. Állítsu össze SZIMULINK-ben a övetező rendszert: [ ].55. ábra. A megfelelő erősítése helyére írju be a onstanso megadott értéet. Szmulácóhoz a ezdet feltétel helyén legyen. az elmozdulás és a sebesség ezdet értée. Így a -es

46 46 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR ntegrátornál ezt a.-es ezdet feltételt adju meg. A szmulácó eredménye az.56. ábrán látható ábra. A szmulácó eredménye β..57. ábra. A szmulácó eredménye β 7,3. Látható, hogy mvel tt a β am sebb mnt a 7,8, így perodus vseledés alault t. A peródus tt Ω az ampltúdó e σ -vel csöen. π Határozzu meg a peródusdőt s, mszernt: T, w 4.96, T. 46 [sec]. w Állítsu a β 7,3-ra így már aperodus lesz a vseledés. Természetesen tt újra ell számoln a állandó értéeet. Eredményül, eor az.57. ábra szernt aperodus jelet apju ábra. A szmulácó eredménye β..59. ábra. A szmulácó eredménye 4-szeres c esetén. Most pedg állítsu át a csllapítást, β -t -ra. Ilyenor sohasem fog beálln a rendszer állandósult állapotba, eredményül az.58. ábra szernt lengő mozgást apju. A szebb görbe érdeében, szüség van arra, hogy a numerus ntegrálás maxmáls lépését sebbre vegyü. A övetezőben fgyeljü meg a rugóállandó (merevség) hatását a rendszer vseledésére. Változtassu meg a rugóállandó értéét, az az c értéét -re. Az frevenca gyöösen függ a c-től. Ha a c-t 4-szeresére változtatom, aor az frevenca -szeresére változ. Ha a c értée 4-lesz, aor az frevenca -szeres lesz, a

47 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 47 peródusdő pedg fele, azaz.4 helyett,7. Ezt próbálju s. Az eredményül apott vseledést az.59. ábra llusztrálja. A görbéről leolvasható, hogy,7 lesz az új frevenca. Keressü meg, hogy menny dő alatt csllapod le a jel a maxmáls ezdet érté %- ára? Tehát.-ne az %-a.. Mor ér el ezt a jel? Menny dő ell a jelne ehhez? Határozzu meg a aratersztus polnom gyöet, MATLAB-ban: roots([ sgma omega]) A gyöö: onjugált omplex számo leszne, hsz a perodus jel ampltúdója egy tölcséren belül.589t mozog. Ezt helyettesítsü be a övetezőe szernt: e. ln(.589) Ebből övetez, hogy a eresett dő t [sec].. Feladat.8.. Vzsgálju meg egy éttárolós rendszer vseledését, eressü meg dőállandóját. Ennél a példánál megvzsgálun egy olyan ét tárolós rendszert, amelyet leíró dfferencálegyenlethez tartozó aratersztus polnomna ét valós gyöe lesz. Legyen ez a rendszer a övetező: L R C u u L u R u C.6. ábra. Kéttárolos rendszer. Ez a rendszer egy ellenállás, egy ondenzátor és egy teercs sorba ötéséből áll. Két energatároló van tehát a rendszerben, a ondenzátor eletrosztatus energát, a teercs pedg mágneses energát tárol. A rendszer bemenete legyen az u (t) feszültség, melyet a feszültséggenerátor állít elő, menete a ondenzátor u C (t) feszültsége. A örben egyetlen duc áram foly az ( t) L ( t) R ( t) C ( t) C. A Krchoff törvénye alapján az egyes dt

48 48 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR áramör elemeen eső feszültségere fennáll a övetező egyenlőség s: dl RL ( t) + L + uc ( t) u( t). dt duc ( t) d uc ( t) Behelyettesítve apju, hogy RC + LC + u ( t) u( t) C. dt dt A passzív áramör eleme értéet behelyettesítve, apju, hogy: d u ( t) 4 du ( t) C C + + u ( t) u( t) C 3 dt 3 dt A fent egyenlet egy állandó együtthatós, nhomogén dfferencálegyenlet. d uc ( t) duc ( t) Rendezve az egyenletet apju, hogy u ( t) 3u( t) C. dt dt Ha a gerjesztésün egy egységugrás függvény, aor t értéere u ( t), így t> d uc ( t) duc ( t) azaz, ha u ( t) esetén érvényes, hogy u ( t) 3 C dt dt Enne az nhomogén dfferencálegyenletne a megoldása uc ( t) uch ( t) + ucp ( t), tehát a megoldás egyenlő a homogén és a partulárs megoldáso összegével. A megfelelő homogén egyenlet: u CH + δu CH + u CH, ahol δ 4 és 3. A rendszer vseledése aperodus, mert δ >. A dfferencálegyenlet homogén megoldásána meghatározásához oldju meg a aratersztus polnomot, azaz az s + 4s + 3 -t, melyne, megoldása s, s 3. Ebből övetez, hogy a homogén megoldás t 3t v ( t) e + e CH Itt látható hogy az dőállandó τ, τ. Az egyes belső energá elveben másmás dőállandó mentén vseledne. Fgyelembe véve a ezdet feltételeet, azaz az 3 L( ), vc ( ). 5V, meghatározhatju a, értéeet e + e.5, +.5 dvc dvc L L C C dt dt C dv C 3 3 dt Megoldva a fent ét egyenletet,, -re apju, hogy a homogén megoldás: t 3t v ( t),75e,5e CH

49 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 49 A bemenet egy egységugrás, így a dfferencálegyenlet partulárs megoldását d vcp ( t) dvcp( t) v CP ( t) 3t + 4 alaban eressü. Ezt behelyettesítve a v ( t) 3 CP dt dt dfferencálegyenletbe, apju, hogy t , , 3 3 Ebből övetez, hogy 3, 4. A dfferencálegyenlet teljes megoldása egységugrás gerjesztés esetén tehát: t 3t vc ( t) (,75e,5e + ) u( t) Oldju meg a fent dfferencálegyenletet a SIMULINK segítségével. A dfferencálegyenletnél a legmagasabb derváltat fejezve apju: d vc ( t) dvc ( t) 3 4 3v dt dt Ez SIMULINK-ben megvalósítva az.6. ábra látható: C ( t).6. ábra. A éttárolós rendszer modellje. A ezdet feltételene megfelelően az első ntegrátor esetében az ntal condton, míg a másod ntegrátor esetében az ntal condton.5. A rendszer ülső gerjesztés nélül vseledése az.6. ábrán látható ábra. A rendszer vseledése gerjesztés nélül..63. ábra. A rendszer válasza egységugrásra.

50 5 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A fent ábra nulla bemenet esetére vonatozó szmulácó eredménye. Az.63. ábra mutatja a gerjesztést és belső energát s tartalmazó rendszer meneténe dődagramját. Itt az egységugrás mnt bemenet az s-ban lép be. Amor lényegében elezd süln a ondenzátor, az energa egy része töltőd át a teercsbe, egy más része dsszpál (hőenergává vál) az ellenálláson, majd jön az egységugrás bemenet, és a ondenzátor feltöltőd V-ra. Mnél ésőbb lép be az egységugrás bemenet, annál jobban sül a ondenzátor. A aratersztus egyenlet együttható, jelen esetben,4,3. Ha ezt MATLBA-ban megoldju, aor apju, hogy a gyöö -, -3 ahogy ezt orábban s láthattu. Változtassun a rendszer paraméteren. Vegyü le a csllapítást -re, azaz legyen a 4-es együttható, δ <. Eor ét omplex onjugált gyööt apo. Eze a gyöö:,5 ± Nézzü meg, m történ aor, ha az egységugrás bemenetnél a fnal value-t -ra állítom, tehát lényegében nncs bemenet, lletve az erősítéseet a fentene megfelelően módosítom. Eor a magára hagyott rendszer meneténe vseledése az.64. ábra szernt alaul ábra. A rendszer válasza ha a csllapítás..65. ábra. A renszer válasza ha a csllapítás. Látható, hogy a homogén vseledés perodus lesz, nem pedg aperodus. A lengés frevencája, f azaz,639 Hz és a peródusdő 3,7889s. Ez a rendszer π sajátfrevencája. A rendszer csllapítása τ. Vegyü le az előbbeben -re,5 állított csllapítást -ra. A rendszerben nem lesz csllapítás. Eor a rendszer vseledése az.65. ábra szernt alaul. A rendszer aratersztus polnomjána gyöe, ebben az esetben ±.73. A sajátfrevenca,757hz, a peródusdő pedg 3,675s. A rendszer csllapítása. Vzsgálju meg a rezonanca jelenségét. Rezonanca esetén a sajátfrevencával megegyező frevencájú bemenettel gerjesztem a rendszert. Gerjesszü ezt a rendszert a sajátfrevencájána megfelelő snusos jellel. Cseréljü le az egységugrást sznusz jel generátorra. Eor az.66. ábra szernt rezonanca vseledéshez jutun. A jel ampltúdója lneársan növesz.

51 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK ábra. A rezonanca jelensége..67. ábra. Látható hogy alaul a rezonanca jelensége. Anna érdeében, hogy csa a partulárs rész jusson fejezésre, a ezdet feltételt s -ra állíthatju. A rendszer ampltúdójána növeedése lneárs. Ha van csllapítás a rendszerben, aor pedg nem fog a válasz ampltúdója a végtelenségg nőn, hsz az ampltúdó növeedését exponencálsan n csöentjü (gyorsabban tart -hoz mnt a t ) a csllapítással. A rezonancát a csllapítással meg lehet féezn. Ebben az esetben az.67. ábra szernt vseledést észleljü. Feladat.8.3. A övetező dfferencál egyenlete mndegye egy rendszer műödését írja le: du a) y( t) 4u( t) + dt b) y ( t) u 3 ( t) du c) y( t) 3tu( t) + 4 dt d) y ( t) tu 3 ( t) Végezzü el a rendszere osztályozását. A megoldás: a) A rendszer lneárs és állandó paraméterű b) A rendszer nem lneárs és állandó paraméterű. c) A rendszer lneárs és változó paraméterű. d) A rendszer nem lneárs és változó paraméterű. Feladat.8.4. Egy rendszer műödését a övetező dfferencáls egyenleteel írhatju le:

52 5 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR d c( t) dt d c( t) dt dc( t) dt a) b + b + ( b3 + b4 cos( t) ) + b5c( t) r( t) b) b ( c[ ( + ) T ]) + [ b + b c( T ) + b ( T )] c( T ) r( T ) 3 4 sn b T c) c ( T ) { r( T ) r[ ( ) T ]} + b Határozzu meg a b, b, b 3, b 4 és b 5 paramétere értéet úgy, hogy a rendszer: lneárs változó paraméterű legyen. A megoldás: a) A rendszer aor lesz lneárs, ha a b és b 4. Eor a rendszer dfferencál d c( t) dc( t) egyenlete: b + b3 + b5c( t) r( t) dt dt A rendszer aor lesz változó paraméterű ha b 4. b) A rendszer aor lesz lneárs, ha a b, b 3 b 4. Eor a rendszer dfferencál egyenlete: b c( T ) r( T ) A rendszer aor lesz változó paraméterű ha b 4. c) A rendszer lneárs ha b. A rendszer állandó paraméterű függetlenül a b és b paramétere értéétől. Feladat.8.5. Vzsgálju az adott rendszer lneartását: c( T ) ( r( T ) r(( ) T )) T ahol a T a mntavételezés gyaorsága és,, Amennyben r r ( T ) aor az egyenlet: c ( T ) ( r ( T ) r (( ) T )) T Ha r r ( T ) aor az egyenlet: c ( T ) ( r ( T ) r (( ) T )) T Ha r r ( T ) ar ( T ) + ar ( T ) aor az egyenlet: a a c( T ) ( r ( T ) r (( ) T )) + ( r ( T ) r (( ) T )) T T Ha a c ( T ), c ( T ) értéét behelyettesítjü az alább egyenletbe: c ( T ) ac ( T ) + ac ( T ) a övetező fejezést apju:

53 . JEL ÉS RENDSZERELMÉLETI ALAPFOGALMAK 53 a a c( T ) ( r ( T ) r (( ) T )) + ( r ( T ) r (( ) T )) T T Mvel a fent fejezése megegyezne, arra a öveteztetésre jutun, hogy az adott rendszer lneárs. Feladat.8.6. Vzsgálju az alább rendszer lneartását: c T ) r ( T ) ( Megoldás: Ha r r ( T ) aor az egyenlet: Ha r r ( T ) aor az egyenlet: c ( T ) r ( T ) c ( T ) r ( T ) Ha r r ( T ) ar ( T ) + ar ( T ) aor az egyenlet: c ( T ) ( ar ( T ) + ar ( T )) a r ( T ) + aar ( T ) r ( T ) + a r ( T ) Ha a apott értéét behelyettesítjü: mvel: c ( T ) ac ( T ) + ac ( T ) ar ( T ) + ar ( T ) c ( r ( T ) + r ( T ) c( r ( T )) + c( r ( T )) a fenteből arra öveteztethetün, hogy az adott dszrét rendszer nem érvényes a szuperpozícó, vagys az adott rendszer nem lneárs.

54 . A folytonos és dszrét onvolucó Ktérün mnd a folytonos- mnd a dszrét-dejű onvolucó matemata leírására és hangsúlyozzu a fontosságát az LTI rendszere meneténe (válaszána) a meghatározásánál tetszőleges bemenő jelere. E fejezetben s példáal szemléltetjü a onvolucó számításána mechanzmusát... Bevezetés A onvolúcó mnt művelet, gen fontos az rányítástechna és a jelfeldolgozás területén. Folytonos esetben onvolúcós ntegrálról, míg dszrét esetben onvolúcós összegről beszélün. Általánosságban elmondhatju, hogy a onvolúcó segítségével meghatározhatju egy olyan lneárs dőnvaráns (LTI Lnear Tme-Invarant) rendszer válaszát, melyne smerjü az mpulzus-válaszfüggvényét és a bemenő jelét. Két fontos vzsgálójellel találozhatun. Egy a Drac-mpulzus [δ(t)], a más pedg a Heavsde - féle egységugrás függvény [ε(t) vagy (t)].... A súlyfüggvény fogalma A sma, FI, SISO rendszerre jellemző függvény a súlyfüggvény. Ismeretében, tetszőleges bemenő jel esetében s meghatározható a rendszer menete. Szemléltessü egy módosított Drac függvénnyel:.. ábra. A függvény özelítése. A Drac mpulzus özelétése: δ (t) [u(t) u(t )] δ ( t ) ht ( ) LTI rendszer.. ábra. A rendszer gerjesztése Drac mpulzussal.

55 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ 55 A függvény özelítése: Majd: h(t) lm x (t) x( )δ (t ) x (t) lm x(τ)δ(t τ)dτ ahol h ( t) a rendszer ( t) x( )δ (t ) δ Drac mpulzusra adott válasza. Vagys a rendszer mpulzusválasza (súlyfüggvénye). A lneartásból adódóan a rendszer egy bzonyos gerjesztésére adott válasza: y (t) x( )h (t ) Vagys: y(t) x(t) h(t), lm y (t) lm x( )h (t ) y(t) x(τ)h(t τ)dτ y(t) h(t) x(t) u(τ)h(t τ)dτ.. Folytonos-dejű onvolúcó... Defnícó Időtartományban vzsgálódva adott egy folytonos dejű rendszer bemenő jele x(t): és mpulzus-válaszfüggvénye: h(t): R R Eor a LTI rendszer válasza az alább módon számítható: R R y(t) x(t) h(t) x(τ) h(t τ) dτ ahol * a onvolúcó szorzat (operátor) és onvolúcós ntegrálról beszélün. Feltétele a onvolúcóna, hogy x(t) és h(t) özül legalább az egy orlátos, más pedg abszolút ntegrálható ell, hogy legyen. Kétoldal onvolúcóról beszélün, hogyha az ntegrálás határo és + özött vanna. Egyoldal a onvolúcó, amennyben és t özött az ntegrálás határun. δ( t ) ut ( ) LTI rendszer ht ( ) y( t) ut ( ) δ( t).3. ábra. Az mpulzus-válaszfüggvény szemléltetése Drac gerjesztés esetén.

56 56 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR... Konvolúcó más tartományoban Amennyben az dőtartományról áttérün a frevencatartományba, a onvolúcó spetrumát az alább módon határozhatju meg: Y(j) F{x(t)} F{h(t)} X(j) H(j) ahol X(j), Y(j) a gerjesztés és a válasz spetruma, H(j) pedg a rendszerre jellemző frevencafüggvény. A onvolúcó tehát szorzattá egyszerűsöd le a frevencatartományban. Amennyben dőtartományban lévő onvolúcót Laplace transzformálju (megfelelő belépő gerjesztés és belépő mpulzus-válaszfüggvény esetén), átjuthatun a omplex s tartományba: Y(s) L{x(t)} L{h(t)} X(s) H(s) ahol X(s), Y(s) a belépőgerjesztés és a belépőválasz Laplace-transzformáltja, H(s) pedg a rendszer átvtel függvénye. A onvolúcó tehát szorzattá egyszerűsöd le a omplex s tartományban s...3. Perodus jele onvolúcója Perodus jelere s értelmezhetjü ezt a műveletet. Adott ét, x (t) és x (t) T val perodus jel, melye perodus onvolúcója y (t) T x (τ) x (t τ)dτ Eor elmondhatju, hogy az eredmény Fourer együttható: c T a b ahol a az x R(t) jel és b az x (t) jel Fourer együttható...4. Tulajdonságo. Kommutatvtás (felcserélhetőség): x(t)*h(t)h(t)*x(t) azaz y(t) x(τ) h(t τ) dτ h(τ) x(t τ) dτ. Asszocatvtás (csoportosíthatóság): {x(t)*h (t)}*h (t)x(t)*{h (t)*h (t)} 3. Dsztrbutvtás: x(t)*{h (t)+h (t)}x(t)*h (t)+x(t)*h (t)..5. Algortmus A folytonos dejű onvolúcó az alább lépése segítségével algortmzálható:. lépés: Ábrázolju x(τ) és h(t τ) függvényeet fgyelembe véve, hogy h(t τ) h( τ + t). lépés: A h(t τ) függvénnyel végg ablaolju a (, + ) ntervallumot ( t a változó paraméter) és fgyeljü a bemenő jel és az mpulzus-válaszfüggvény relatív pozícóját. 3. lépés: Használva a épletet, felírju a onvolúcós szorzatot és az ntegrálás határoat az adott értéehez gazítju. 4. lépés: Másod és harmad lépést mndaddg folytatju, amíg t fel nem vesz mnden valós értéet, és amíg van új relatív pozcíója x(t)-ne és h(t τ)-na. Segítség a transzlácó (dőtengelyen való eltolás) és a reflexó (dőtürözés) használataor.

57 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ Mntapéldá az FI onvolúcó számítására Feladat.3.. Határozzu meg a rendszer válaszát, ha a gerjesztés x(t) ε(t) és az mpulzusválasz h(t) ε(t) 8 e t! Megoldás Induljun a defnícóból: y(t) x(τ) h(t τ) dτ. Mvel a gerjesztés belépő, ezért az alsó ntegrálás határt -na választhatju. Az mpulzusválasz s belépő, ezért a felső ntegrálás határ t lehet. Eze után az egységugrást elhagyhatju, mvel értée ezen ntervallumon. t Tehát: y(t) 8 e (t τ) dτ. Az exponencáls tagban felbontható a zárójel. Ne feledjü, hogy az ntegrálást τ szernt végezzü el, és onstans érté emelhető az ntegrálás során. t Így: y(t) 8 e t e τ dτ. Ezután meghatározzu a prmtívfüggvényt y(t) 8 e t e τ t Végezetül behelyettesítjü az ntegrálás határoat és elvégezzü a szorzást. y(t) 8 e t e t (4 4 e t ) Mvel a válasz jel s belépő, ezért y(t) ε(t) (4 4 e t ) Feladat.3.. Határozzu meg a rendszer válaszát, ha a gerjesztés x(t) ε(t) és az mpulzusválasz h(t) ε(t) e 3 τ! Megoldás Induljun a defnícóból: y(t) x(τ) h(t τ) dτ. Mvel a gerjesztés belépő, ezért az alsó ntegrálás határt -na választhatju. Az mpulzusválasz s belépő, ezért a felső ntegrálás határ t lehet. Eze után az egységugrást elhagyhatju, mvel értée ezen ntervallumon. Tehát: t y(t) 8 e (t τ) ) e 3 τ dτ.

58 58 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Az exponencáls tagban felbontható a zárójel. Mvel az ntegrálást τ szernt végezzü el, és onstans érté emelhető az ntegrálás során. Így: y(t) 8 e t t e τ e 3 τ dτ Felhasználhatju az exponencáls függvényenél tanult azonosságot t y(t) 8 e t e ( 3 τ+ τ) dτ t 8 e t e τ dτ Ezután meghatározzu a prmtívfüggvényt y(t) 8 e t eτ Végezetül behelyettesítjü az ntegrálás határoat és elvégezzü a szorzást. y(t) 8 e t e t (8 e t 8 e 3 t ) Mvel a válasz jel s belépő, ezért y(t) 8 ε(t) (e t e 3 t ) t Feladat.3.3. Határozzu meg az LTI rendszer válaszát, ha a bemenő jel x(t) ε(t ) ε(t 3) és a súlyfüggvénye h(t) ε(t) ε(t ). Megoldás A defnícó szernt y(t) x(τ) h(t τ) dτ. A onvolúcó számítása során t változó mnden értéet felvesz a valós számo halmazáról. Ezen ívül szüségün van x(τ) és h(t τ) függvényere. Utóbbt a h(t) súlyfüggvényből aphatju meg dőntervallum eltolással és dőtürözéssel (transzlácó és reflexó). Ezután t egy független paraméter és τ az új változó. Az így transzformált h(t) nem rögzítettü egy vonatoztatás rendszerhez, mert az ntegrálás során x(τ) és h(t τ) relatív pozícója változn fog. Amor t <, aor x(τ) h(t τ), mvel nncs átfedés a ét jel özött..4. ábra. A onvolúcó számítása t<. t Amor t 3, aor dτ dτ t.5. ábra. A onvolúcó számítása t 3.

59 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ 59 3 Amor t 3, aor dτ dτ t 5 t.6. ábra. A onvolúcó számítása t 3. Amor t > 3, aor x(τ) h(t τ), mvel nncs átfedés a ét jel özött.7. ábra. A onvolúcó számítása t >3. ha t < lletve t > 5 Összefoglalva:y(t) t ha t [,3) 5 t ha t [3,5].8. ábra. Eredmény. Látható, hogy t 3 pontban az y(t) függvényne maxmuma van. Ez azt jelent, hogy tt a legnagyobb az átfedés x(τ) és h(t τ) özött. Ezt alalmazzá plágumellenőrzésnél s. onvolúcó maxmuma

60 6 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladato Feladat.3.4. Adott a folytonos dejű LTI rendszerün ét dődagramja. Végezzü el a ét jel onvolúcóját grafusan!.9. ábra. A onvolválandó jele. Megoldás.. ábra. Az eredmény. Feladat.3.5. Folytonos dejű rendszerünön méréseet végeztün. Az alább dőfüggvényeet aptu: x(t) ε(t) ε(t 3) ll. h(t) ε(t) ε(t ) Mondju meg, mt mérnén a meneten? Megoldás ha t < ll. 5 < t t ha < t y(t) ha < t 3 5 t ha 3 < t 5

61 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ 6 Feladat.3.6., ha t 5 Folytonos dejű LTI rendszerün bemenőjele x(t) egyébént, súlyfüggvénye t, ha t h(t). Határozzu meg a ét jel onvolúcóját! egyébént Megoldás, ha t < ll. t 5 x(t) h(t) t, ha t 5 5 t,5, ha 5 t 37,5 t + 5 t, ha t < 5 Feladat.3.7. Az előző példát oldju meg grafusan s! Megoldás.. ábra. Az eredmény. Feladat.3.8. Határozzu meg a rendszer válaszfüggvényét, ha a bemenő jel dőfüggvénye ha t [,] x(t) egyébént és az mpulzusválasz h(t) e t, t. Megoldás ha t < y(t) e t ha t (e ) e t ha t

62 6 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat.3.9. Folytonos dejű rendszerün súlyfüggvénye ε(t), a gerjesztése ε(t) e 5 t Határozzu meg a válasz dőfüggvényét! Megoldás y(t) ( e 5 t ) ε(t) 5 Feladat.3.. Tudju folytonos dejű LTI rendszerün gerjesztés- és mpulzusválasz-függvényét. Határozzu meg a menő jel dőfüggvényét! x(t) ε( t) e 9 t és h(t) ε(t) e 9 t Megoldás y(t) 8 e 9 t Feladat.3.. Folytonos dejű LTI rendszerün gerjesztés- és mpulzusválasz-függvénye smert. Határozzu meg a menő jel dőfüggvényét! x(t) ε( t) e, t és h(t) ε(t) e, t Megoldás y(t),5 e, t Feladat.3.. Határozzu meg a rendszer válaszána dőfüggvényét, ha a bemenő jel x(t) ε(t) és az mpulzusválasz h(t) δ(t) + ε(t) e τ! Megoldás y(t) 8 ε(t) (t e t + e t )

63 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ Dszrét-dejű onvolúcó Az általun használt rányítástechna rendszere dgtáls elven műödne. Ezért foglalozn ell a onvolúcóval dszrét esetben s..4.. Defnícó Ha dőtartományban vzsgálun egy dszrét dejű rendszert, melyne bemenő jele x[]: Ζ R, lletve dszrét mpulzus-válaszfüggvénye h[]: Ζ R. Aor az LTI rendszer dszrét válaszfüggvénye az alább összefüggés szernt számítható: y[] x[] h[] x[n] h[ n] n ahol * a onvolúcós operátor és onvolúcós szummáról beszélün..4.. Konvolúcó más tartományoban Amennyben a dszrét dőtartományról áttérün a frevencatartományba, a onvolúcó spetrumát az alább módon határozhatju meg: Y(e jθ ) F{x[]} F{h[]} X(e jθ ) H(e jθ ) ahol X(e jθ ), Y(e jθ ) a gerjesztés és a válasz spetruma, H(e jθ ) pedg a dszrét rendszer átvtel aratersztája. A onvolúcó tehát szorzattá egyszerűsöd le a frevencatartományban. Amennyben a dszrét dőtartományban lévő onvolúcót z-transzformáltját vesszü (megfelelő belépő gerjesztés és belépő mpulzus-válaszfüggvény esetén), átjuthatun a omplex z-tartományba: Y(z) L{x[]} L{h[]} X(z) H(z) ahol X(z), Y(z) a belépőgerjesztés és a belépőválasz z-transzformáltja, H(z) pedg a dszrét rendszer átvtel függvénye. A onvolúcó tehát szorzattá egyszerűsöd le a omplex z-tartományban Perodus jele onvolúcója dszrét esetben Adott ét, x R[] és x R[] N nel peródus dszrét jel, melyene dszrét perodus onvolúcója y [] x [] x [] x [n] x [ n] n N Eor elmondhatju, hogy az eredmény Fourer együttható: c N a m b m ahol a m az x R[] jel és b m az x [] jel Fourer együttható.

64 64 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR.4.4. Tulajdonságo. Kommutatvtás (felcserélhetőség): x[]*h[]h[]*x[]. Asszocatvtás (csoportosíthatóság): {x[]*h []}*h []x[]*{h []*h []} 3. Dsztrbutvtás: x[]*{h []+h []}x[]*h []+x[]*h [].5. Mntapéldá DI jele onvolúcójára Feladat.5.. Legyen a dszrét bemenet jel x[] és a dszrét súlyfüggvény h[]. Határozzu meg a menet jelet!.. ábra. A onvolválandó jele. Megoldás Defnícó szernt y[]x[]*h[] n x[n] h[ n] számíthatju y[] értéet az egész számo (Z) halmazán. y[] + x [ ] h[ ( )] + x[] h[ ()] + x[] h[ ()] + x[] h[ ()] + Mvel x[n] csa [, ] ntervallumon nem nulla,ezért elegendő enny tagot felírn. Helyettesítés értéüet beírva: y[] + ( ) h[] + h[] + () h[ ] + h[ ] Ugyanígy számíthatju y[]-t azon eseteben, amor nem nulla értéet apun: y[ ] + x[ ] h[ ( )] + x[] h[ ()] + x[] h[ ()] + x[] h[ ()]+ y[ ] + ( ) h[] + ( ) h[ ] + () h[ ] + ( ) h[ 3] y[] + x[ ] h[ ( )] + x[] h[ ()] + x[] h[ ()]+x[] h[ ()]+ y[] ( ) h[]+( ) h[] + () h[] + ( ) h[ ] y[] x[ ] h[ ( )] + x[] h[ ()] + x[] h[ ()] + x[] h[ ()] y[]( ) h[3] + ( ) h[] + () h[] + ( ) h[] y[3] x[ ] h[3 ( )] + x[] h[3 ()] + x[] h[3 ()] + x[] h[3 ()] y[3]( ) h[4] + ( ) h[3] + () h[] + ( ) h[] + + ( ) + ( ) y[4] x[ ] h[4 ( )] + x[] h[4 ()] + x[] [4 ()] + x[] h[4 ()]

65 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ 65 y[4] ( ) h[5] + ( ) h[4] + () h[3] + ( ) h[] y[5] x[ ] h[5 ( )] + x[] h[5 ()] + x[] h[5 ()] + x[] h[5 ()] y[5] ( ) h[6] + ( ) h[5] + () h[4] + ( ) h[3] () 4 Belátható, hogy y[ ], y[ 3], és y[6], y[7], ha 3 ha ; ha n y[] 3 ha n 4 4 ha n 5 4 ha n ; n < és n > 5 Feladat.5.. Határozzu meg a menet jelét, ha a gerjesztése x[] ε[] az mpulzusválasz pedg h[] ε[]. A megoldás menete: Defnícóból való ndulás szernt y[] n x[n] h[ n], mvel a gerjesztés és a válasz s belépő függvény, ezért: y[] x[n] h[ n] n. n. n Ezután helyettesítsü be az smert jeleet :y[] Az összegzést n változó szernt végezzü el, a onstans értée emelhetőe y[], n, n A hatványozás azonosságat felhasználva: y[], n n Ezután használva a mértan sor összegépletét: y[], n+. Elvégezve a beszorzást és az egyszerűsítéseet:,n, n n,n 9, mvel a gerjesztés belépő jel, ezért a menet s belépő jel lesz, azaz :y[] ε[] ( 9 9,n ). Feladat.5.3. Adott egy dszrét rendszer. Gerjesztése: x[] ε[],. Impulzusválasza: h[] ε[],5. Határozzu meg a válaszjel dőfüggvényét! Megoldás Induljun a defnícóból: y[] n x[n] h[ n] Mvel a gerjesztés és a válasz s belépő jellegű, behelyettesítve a függvényeet y[], n,5 n n

66 66 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Az összegzést n változó szernt végezzü el, a onstans tag emelhető y[],5, n,5 n Khasználva a hatványozás azonosságát: y[],5 (, n,5 )n,5 n,4 n Mértan sor összegét felírva és a szorzást elvégezve azt apju, hogy: n,5,4+,4 Mvel a bemenőjel belépő, ezért a válaszjel s belépő, azaz,5,5,4,4,4 y[]ε[] ( 5 3,5 3, ),5,4,,6 Feladat.5.4. MATLAB-ban számítsu az övetező jele dsztrétdejű onvolúcóját: h[n] 4 n u[ n] és x[n] n u[n 4] A megoldás MATLAB ódja: n; n-n:n; u(n-4)>; f(-/).^n; ff.*u; xf; u(-n)>; h(4).^n; hh.*u; hh; -n:n; yconv(x,h) length_outputlength(x)+length(h)-; lnspace(-*n,*n,length_output); fgure(); clf; subplot(,,); xlabel(''); ylabel('x[]'); ttle('system Input'); stem(,x,'flled'); grd; subplot (,,); xlabel(''); ylabel('h[]'); ttle ('System Unt Impulse Response'); stem(,h,'flled'); grd; subplot (,,); stem (, y, 'flled'); grd; xlabel(''); ylabel('y[]'); ttle ('System Output Va Convoluton');

67 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ System Output Va Convoluton.5 y[] ábra. A program eredménye. Feladat.5.5. Adotta a övetező jele: x( n) ( n + )( u( n) u( n 7)) MATLAB segítségével határozza meg az y conv{ x, h} A megoldás menete { } y ( n) conv x( n), h( n) x( ) h( n ) A onvolúcó: Az x(n) és a h(n) jel rajzoltatása: és n h( n) 4(.75) u( n) onvolúcót. -5:5; u 7(>) & (<7); u 7(>) & (<7); x(+).*u 7; u(>); hu.*(4*(.75).^); subplot(,,); stem(,h); xlabel(''); ylabel('h()'); subplot(,,); stem(,x); xlabel(''); ylabel('x()');

68 68 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR x() h() ábra. A program futásána eredménye. A h függvény elfordítása és tologatása a onvolúcóna megfelelően: n-5; u_n_mnus_(n->); h_n_mnus54*.75.^(n-).*u_n_mnus_; n3; u_n_mnus_(n->); h_n_34*.75.^(n-).*u_n_mnus_; n; u_n_mnus_(n->); h_n_4*.75.^(n-).*u_n_mnus_; fgure(); subplot(4,,); stem(,x); xlabel(''); ylabel('x()'); subplot(4,,); stem(,h_n_mnus5); xlabel(''); ylabel('h(n-), n<'); subplot(4,,3); stem(,h_n_3); xlabel(''); ylabel('h(n-), <n<7'); subplot(4,,4); stem(,h_n_); xlabel(''); ylabel('h(n-), n>7');

69 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ 69 x() h(n-), n< h(n-), <n<7 h(n-), n> ábra. Az eredmény grafon. A onvolúcó elvégzése: yconv(h,x); fgure(3); subplot(3,,); stem(,x); xlabel(''); ylabel('x()'); subplot(3,,); stem(,h); xlabel(''); ylabel('h()'); subplot(3,,3); stem(y); xlabel(''); ylabel('y()');

70 7 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR x() h() y() ábra. A feladat megoldása. Feladato Feladat.5.6. Ismert a dszrét dejű LTI rendszerün bemenet és mpulzusválasz dőfüggvénye x[] ε[] lletve h[] ( ) ε[] Határozzu meg a menet dőfüggvényét! Megoldás y[] 5 { + } Feladat.5.7. Adott egy dszrét dejű LTI rendszerün bemenet és mpulzusválasz dőfüggvénye x[] ε[] lletve h[] ( 7 9 ) ε[] Határozzu meg a menet dőfüggvényét! Megoldás y[] 4,5 {

71 . A FOLYTONOS ÉS DISZKRÉT KONVOLUCIÓ 7 Feladat.5.8. Dszrét rendszer eseten legyen adott x[], ε[] és h[]ε[]. Határozzu meg onvolúcóval a válasz dőfüggvényét! Megoldás y[],+,8 ε[] Feladat.5.9. Rendszerün dszrét és x[],9 ε[] ll. h[]ε[]. Határozzu meg onvolúcó segítségével a válasz dőfüggvényét! Megoldás y[],9+, ε[] Feladat.5.. Az előző feladato alapján mt mondhatun általános esetben a menő jel dőfüggvényéről, ha a gerjesztés és az mpulzusválasz az alább formában áll rendelezésünre x[]α ε[] ll. h[]ε[] Megoldás y[] α+ α ε[], ha < α < Feladat.5.. Adott a dszrét rendszerün bemenő jeléne és mpulzusválaszána dőfüggvénye: x[]ε[] ε[ 4] és h[],5 (ε[] ε[-6]) Határozzu meg a válaszjel dőfüggvényét! Megoldás y[] ha < ll. > (,5 + ) ha 4 (,5 4,5 + ha 4 < 6) (,5 4,5 7 ha 6 < )

72 7 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat.5.. Adott egy dszrét dejű rendszerün átvtel függvénye és gerjesztéséne dőfüggvénye. Határozzu meg a rendszer válaszána dőfüggvényét! H(z) z z +,4 z,5, x(z) ε[],3 Megoldás y[] ε[] {,67,,8 (,5) + 3,75,3 } Feladat.5.3. Adott egy dszrét rendszer gerjesztése és mpulzus válasza x[] ε[], és h[]5 ε[ ] (,5, ) Határozzu meg a menő jel dőfüggvényét! Megoldás y[]ε[] { 6,5,5 6,5, 5 ( ), } Feladat.5.4. Egy dszrét dejű rendszer mpulzusválasza és gerjesztése smert. Határozzu meg a válasz dőfüggvényét! (Alalmazzu a z-transzformácót s!) Megoldás y[] ε[] (,33, + 7,33,5 +,5 )

73 3. Folytonos dejű jele Fourer transzformácója 3.. A Fourer-sor Mnden szaaszonént folytonos és dfferencálható orlátos perodus f(t,t) függvény előállítható Fourer-sor alajában, tehát harmonus sznuszos vagy osznuszos rezgése összegeént. Egy harmonus dőfüggvény lefolyását a jel csúcsértée (ampltúdója) örfrevencája vagys peródusa, és ezdőfázsa határozza meg. A örfrevenca () és a π peródus (T) özött összefüggés. T 3.. ábra. Illusztrácó a Fourrer sorbafejtéshez. Egy f ( t,t ) perodus jel Fourer-sorát a övetezőéppen határozhatju meg: f f ( t,t) ( A cos( t) + B sn( t) ) ( t,t) A + A cos( t) + B sn( ) t egyenáramúomponens párosomponense páratlan omponense Az együttható a övetező összefüggése alapján számítható: ;

74 74 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR ( ) T T dt t,t f T A ; ( ) ( ) cos, T T dt t T t f T A ; ( ) ( ) sn, T T dt t T t f T B A Fourer-sor omplex alaját a övetező helyettesítése alalmazásával állítható elő: ( ) cos t j t j e e t + ; ( ) j e e t t j t j sn. Eor: ( ) ( ) ( ) ( ) + + ), ( t j t j t j t j j e e B e e A T t f ( ) ( ) ( ) t j t j t j e jb A e jb A e jb A + +. Bevezetve a jb A C omplex együtthatóat, a Fourer-sor omplex alaja: ( ) t j Ce T t f ), ( ; ahol ( ) dt e T t f T C T T t j ), (. Tehát C A, { } C Re A, { } C Im B. A omplex együttható Euler alaja: j e C C ϕ. A ( ), C, ϕ rendezett hármast nevezzü a jel spetrumána. Ha a C együttható C abszolút értéét az függvényében ábrázolju, megapju az ( ) T t f, függvény ampltúdóspetrumát. Amennyben a fázst ábrázolju a frevenca függvényében a fázsspetrumhoz jutun. A spetrum egyértelműen jellemz az eredet dőfüggvényt. Matemata spetrumról beszélün az ( ), C, ϕ hármas esetében ha egész szám ( ), özött vesz fel értéeet. Fza spetrumról beszélün ha ( ), F, ϕ és az egész [ ), özött vesz fel értéeet. A matemata és fza spetrum özött fennáll, hogy R C F,, C F > B A B A A + +, ϕ A B arctg, mvel érvényes, hogy: j j e C C e C C ϕ ϕ. Az ampltúdóspetrum páros, míg a fázsspetrumhoz páratlan. A jel átlagteljesítménye ( ) + tartomány frevenca tartomány dő T C F F dt t f T P meghatározható az ampltúdó-spetrumból. Egy

75 3. FOLYTONOS IDEJŰ JELEK FOURIER TRANSZFORMÁCIÓJA 75 adott frevencára jellemző teljesítmény meghatározható a övetező szernt: F ; P. F ; >. A jel teljesítmény spetrumából meghatározható az az ntervallum, amt a jel spetráls szélességéne nevezün, vagys az ahol a jel jellemző összetevő elhelyezedne. A jelspetrum alajától és a feladat jellegétől függően többféleéppen meghatározhatju a jel spetráls szélességét: az a tartomány, ahol a jel teljesítményéne 9 % található, az az összefüggő tartomány ahol a teljesítményspetrum nem nulla, az a maxmáls teljesítmény örül terület, amt a maxmum örül első nulla értée határolna (frst lobe), az a maxmáls teljesítmény örül terület, melyet a maxmáls teljesítményérté feléhez tartozó frevencá határolna, az a szélesség, amt a maxmáls teljesítményérté örül elhelyezhető evvalens négyzet meghatároz, az átlagteljesítménnyel meghatározott szélesség, az a terület am egy adott érté felett teljesítményeet tartalmazza. és még meg lehet határozn egyéb rtérumoat s. 3.. A Fourer-ntegrál A Fourer-sor által meghatározott fejtés csa a perodus ( t T ) f, függvényere alalmazható. Perodus jele esetében, amennyben a T peródusdőt növeljü eljutun a T határesethez, amely egy nem perodus függvényt eredményez. Enne mntájára állíthatju, hogy mnden aperodus függvény, olyan perodus függvényne fogható fel, π melyne peródusdeje a végtelen felé tart. A dszrét változó a T T határesetre folytonossá vál és a T határátmenetet meghatározva egyre jobban megözelítjü az j( ) t j( t ) f ( t) F( j ) e d ; ntegrált, ahol F( j ) ( ). π f t e dt f t függvény Fourer-transzformáltjána nevezzü Az F ( j) omplex spetrumot az ( ) és soszor { f ( t) } j( t ) F( j ) f ( t) e dt. fejezés a Fourerntegrál, a F alaban jelöljü. Az j( ) t f ( t) F( j ) e d fejezés pedg az nverz Fourer-transzformácó és π

76 76 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR jelölése F F( j ) { } szüséges, hogy. A Fourer-transzformácó onvergencájána bztosításához f ( t) dt < legyen. Az aperodus függvénye F ( j) ampltúdósűrűség-spetruma folytonos. Az ( j) F sorozat értée a sávba tartozó jelösszetevő energájával arányos Mntapéldá FI jel frevencatartománybel ábrázolására Feladat Határozzu meg a 3.. ábrán látható aperodus függvény omplex spetrumát. A f(t) -T T t 3.. ábra. Aperódus függvény. Megoldás: T jt jt jt jt A jt A e e sn( T ) F( j) f ( t) e dt Ae dt e AT j j T T T Tehát a megoldás az alább snc függvény. F(j) T AT -π/t -π/t π/t π/t 3.3. ábra. A megoldás.

77 3. FOLYTONOS IDEJŰ JELEK FOURIER TRANSZFORMÁCIÓJA 77 Feladat Határozzu meg az alább perodus jel x ( t) Fourer sorát. Megoldás: 3.4. ábra. Peródus jel. esetén L Hopal szabály használatával: A övetező ábrán látható a jel spetruma ha T p << T ábra. A jel spetruma.

78 4. A dszrét dejű jele és rendszere Fourer analízse Ebben a fejezetben smertetésre erül a perodus jele leírása a dszrét Fourer sor segítségével, és bemutatásra erül a hasonlóság a folytonos dőtartományhoz épest. Az aperodus jele, leírására bevezetésre erül a dszrét Fourer-transzformácó mnd a szntézs mnd az analízs épletléne bevezetésével és összehasonlításra erül a folytonos dejű Fourer transzformácóval folytonos jele esetében. A önnyebb érthetőség érdeében példáon eresztül mutatju be a Fourer transzformált számítás mechanzmusát. 4.. DI jele Fourer transzformáltja Az FI jele elméletéből már bebzonyosodott, hogy a ülönböző transzformálta alalmazása jelentős a lneárs dőnvaráns rendszere elemzésénél és tervezésénél. A jele és rendszere számos tulajdonsága soal hatéonyabban vzsgálható a jel transzformálásával. Az FI jele esetében a legjelentősebb transzformácó a Fourer és a Laplace transzformácó. A Fourer transzformácó jelentősége lneárs dőnvaráns rendszere esetében ét oból jelentős. Első, hogy az lyen rendszere esetében egy sznuszos gerjesztésre sznuszos a válasz, mely menetne a frevencája megegyez a bemenet frevencájával, fázsa és ampltúdója azonban megváltoz. A más, hogy mnden perodus és aperodus FI jel felbontható véges számú harmonus összetevőre (perodus jel esetében) vagy végtelen sora (aperodus jel esetén). A Laplace transzformácó pedg az LTI rendszere tetszőleges bemenetre adott válaszána vzsgálatánál bír jelentőséggel. A DI jele estében s nagy jelentőségü van a transzformácóna. A DFT bevezetéseént vzsgálju meg előbb a DI jel Fourer transzformáltját. Egy h [ n] súlyfüggvénnyel rendelező DI LTI rendszer bemenetét gerjesszü jn x[ n] e omplex exponencáls jellel. y Amnt már említettü a dszrétdejű onvolúcó a övetező: [ n] x[ n] h[ n] x[ ] h[ n ] y... (4.) Eor a rendszer válasza adott a övetező szernt:, ahol j( n ) j jn j jn [ n] x[ n] h[ n] h[ ] e h[ ] e e H( e ) e j ( e ) h[ ] j H e a rendszer frevencafüggvénye, és meghatározza a omplex exponencáls függvény omplex ampltúdóját. Tehát a DI rendszerenél s érvényes, hogy

79 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 79 a rendszer válasza egy omplex exponencáls gerjesztésre omplex exponencáls, amely frevencája megegyez a gerjesztés frevencájával. A rendszer frevencaaratersztája általános esetben omplex, így: j j j j j j ( ) ( ) + ( ) ( ) ( H( e H e H )) R e jhi e H e e, amnt már folytonos esetben s megszotu, ülön lehet vzsgáln az ampltúdó és fázsaratersztáat. Az FI és a DI rendszere frevencafüggvénye esetében van egy jelentős ülönbség, éspedg a DI rendszer frevencafüggvénye perodus π peródusdővel, ugyans j( + π) j( + π) j jπ j ( ) h[ ] e h[ ] e e H( e ) H e... (4.), így elmondható, hogy a DI rendszereet elég csa π frevencára vzsgáln. Egy tetszőleges jel esetén a j ( ) x[ ] X e e j... (4.3) j X e egy transzformácója fejezés megadja az x [ n] jel frevencatartamát, más szóval ( ) j az x [ n] DI jelne. Tehát ( ) j e x[ ] e j Vegyü észre, hogy x [ n] DI az dőben, míg ( e ) perodus függvénye a frevencána π peródussal. Mvel j ( e ) X a DI jel Fourer transzformáltja. X transzformáltja folytonos és X folytonos és perodus függvény, aor Fourer sorba fejthető. Enne a Fourer sorna az együttható x n sor eleme. Ugyans: éppen [ ] j X e aor j ha ( e ) x[ ] π π j jm j jm ( ) e d x[ ] e e d X e π π... (4.4) a baloldalon szereplő ntegrál értéeléséhez felcserélhető az összeg és az ntegrál: aor x π j( m ) πx[ m ], [ ] e d π π, m m... (4.5) j jm x[ m] ( ) π X e e d π... (4.6) A fent fejezés hasonlít a perodus FI jel Fourer együtthatóna meghatározására, amennyben anna peródusa π. Egyetlen ülönbség az exponens előjelében van, am végül s a (4.3) defnícóból ered. Tehát a (4.6) meghatározásával eljutottun az nverz Fourer transzformácóhoz DI jele esetén.

80 8 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A (4.3), (4.6) egyenlete Fourer transzformácós párt alotna. A Fourer sor onvergál ha az dősor abszolút összegezhető, vagys: x [ ]... (4.7) Amennyben az dősor stabl, aor abszolút összegezhető és a Fourer sora véges. Másrészt mnden véges hosszúságú sor abszolút értelemben összegezhető, amből övetez, hogy a FIR rendszere mndg stabla és Fourer sorba fejthető. Egy más lehetőség, hogy a sor elégít a négyzetes összegezhetőséget: x [ ]... (4.8) Az lyen soro Fourer transzformáltjána onvergencája s bzonyítható. A DI jele Fourer (4.3) szernt transzformáltjána matemata jelentősége van, ugyans végtelen összegeről van benne szó. Gyaorlat megoldáso esetében a DFT Dszrét Fourer Transzformácó alalmazható. A DFT a Fourer transzformácó dszretzálásával apható. A DFT alalmazása a jelfeldolgozás területén nagy jelentőséggel bír A dszrétdejű Fourer transzformált tulajdonsága: j j ( + ). -ban π szernt perodus, azaz ( ). lneartás: ( ) ( ) U e U( e π ) j j au n + bu n au e bu e + jn 3. eltolás tulajdonság j u( n n ) e U e 4. szmmetra tulajdonság: u(n) U(e j ) valós és páros valós és páros valós és páratlan valós és páratlan épzetes és páros épzetes és páros épzetes és páratlan valós és páratlan j 5. dő megfordítása: u( n) U ( e ) 6. modulácó: omplex exponencálssal való szorzást frevenca eltolásba vsz át: jn j ( ) e u n U e ( ) ( ) 7. onvolúcó tétel: ( ) ( ) ( j j h n u n H e ) U ( e ) ( ) u n y n U e Y e dθ π j Θ j ( Θ) 8. perodus onvolúcó tétel: ( ) ( ) ( ) j 9. Parseval tétel: ( ) ( ) n π u n U e d π π π π

81 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE Dszretzálás frevencatartományban A (4.) bzonyításhoz hasonlóan belátható, hogy (4.3) egyenlettel, vagys az j ( ) X( e ) x[ n] jn X e megadott függvény s perodus π peródussal. n ntervallumban N evdsztáns helyen π π mntáat. Eor a mntá frevencáon jelentezne. Legyen, aor N N j Vegyün az ( e ) π X N X spetrumból (,π) n x π j n [ n] e N,,,,, N... (4.9) A végtelen számú eleme összege felírható végtelen számú összegzésre, ahol mnden összegzésne N eleme van, a övetező szernt: π N N ln+ N π j n j n j n X + x[ n] e N + x[ n] e N + x[ n] e N + x[ n] e N n N n n N l n ln... (4.) Amennyben a belső összegnél helyettesítün n helyett n ln-t írun és felcseréljü az összegzéseet, aor: π X N l N n l x π π π j n [ n ln] e N,,,,, N Az x [ n] x[ n ln] fejezés valójában az [ n] p peródussal. A perodus jele Fourer sorba fejthető, így x Az együttható: c N πn j N p[ n] x[ n ln] ce,n,,,, N l N πn j N x p[ n] e,,,,, N N n Eor belátju, hogy az x p N N n π N... (4.) x DI jel perodus smétlése N vagys j n N [ n] X e,n,,,, N π... (4.) c π X N N (4.3)... (4.4) perodus jel vsszaállítható a spetrumból vett mntavételezéssel. Mvel x p [ n] az [ n] x sor perodus terjesztése, így belátható, hogy nem szabad átfedésne lenne az dő tartomány mntá özt. Átfedés nem jelentez, amennyben x [ n] L hossza sebb mnt N. x n dősor, és anna étféle A 4.. ábrán bemutatásra erült egy véges, L hosszúságú [ ] perodus x p [ n] bővítése. Az első esetben átfedés nélül N L a bővítés, a másodban π j n N

82 8 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR átfedéses N<L. Az első esetben az x [ n] jel vehető az [ n] ez nem lehetséges. x p jelből, míg a másod esetben x[n] (a) n x p [n] (b) n x p [n] (c) Mvel x[ n] x [ n] x 4.. ábra. Véges sor bővítése. (a) eredet sor L5, (b) átfedés nélül bővítés L<N6, (c) átfedéses bővítés L>N4. ha n N, így p N N π N j [ n] X e N n,n,,,, N π j és ezt behelyettesítve a ( ) X( e ) x[ n] vezessü be a N N j ( ) X e j ( ) X e P n ( ) N n N... (4.5) N jn X e be az alább összefüggést apju: n N n N π X N e jn π X e N N N N n e e e π j n N j jn j e ( π ) N jn n N... (4.6)... (4.7) sn sn ( N / ) ( / ) e j ( N ) /... (4.8)

83 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 83 jelölést, am valójában egy nterpolácós függvény. A függvény a 4.. ábrán látható. A j( N ) / függvényben szereplő e tag csa a fázsra hat, nem módosítja az ampltúdót. N j A jelölés bevezetése után jutun az ( ) X e π π X P, fejezéshez. N N 4.. ábra. Az nterpolácós függvény N8 értére. π, Mvel P N,... (4.9) így belátható, hogy a vsszaállítás folyamán a mntavétel pontoban a mntá értéét sn apju. A P ( ) ( x) függvényne tt olyan a szerepe mnt a ne dő tartományban. x 4.3. Véges sor Dszrét Fourer Transzformáltja j A fenteből láttu, hogy x p [ n] perodus sor és anna spetruma ( e ) X vsszaállítható π spetrumána N evdsztáns mntavételezésével X,,,, N. Általános N esetben a frevencatartományban vett mntából nem állítható vssza az aperodus dősor, azonban, amennyben x [ n] sor hossza L és L N, aor x [ n] egyértelműen x p -ből a övetező szernt: választható [ n] [ n], x n L x p [ n], L n N... (4.) Ebben az esetben tehát a frevencatartományban vett mntá egyértelműen meghatározzá az aperodus jelet, amennyben L < N, aor a sort egészítjü N-L számú nullával.

84 84 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Az elmondottaat és [ n] x[ n ln] π X N az N n l x N πn j N p ce,n,,,, N l x, valamnt π j n [ n ln] e N,,,,, N π egyenleteet fgyelembe véve jutun N π j n X[ ] X x[ n] e N,,,,, N N n... (4.) DFT fejezéshez, am L N esetében transzformálja az L hosszúságú x [ n] sort anna spetrumána N hosszúságú X [ ] sorába. A DFT tt a Dszrét Fourer Transzformácót jelent. Az dősor vsszaállítása (4.4) és (4.) alapján x N N π j [ n] X[ ] e N n,n,,,, N... (4.) szernt lehetséges, amt IDFT ne, vagys Inverz Dszrét Fourer Transzformácóna nevezün. Feladat Grafusan ábrázolju az dő és a frevencatartományban mntavételezés hatását nem sávorlátos jel esetén az dő és a frevenca térben. Megoldás. A 4.3. ábra (a) grafonja mutatja az x(t) folytonos dejű jelet. A jel véges τ deg tart, tehát dőben orlátos. Az x(t) jel spetruma X() s folytonos értéészletét tentve és folyamatos a frevenca függvényében ((b) grafon), a spetrum nem sávorlátos. A jel dőben történő mntavételezését a (c) grafon mutatja. A T[s] mntavétel peródussal mntavételezett x (t) jel spetrumát jelöljü X () -val. A (d) grafon llusztrálja, hogy az X() spetrum a mntavételezés hatására perodusan smétlőd f s [Hz] frevencánént, ahol f s T. A övetező lépésben végezzün mntavételezést a frevenca tartományban f [Hz] lépéssel, mnt ahogy az (f) grafon mutatja. Eor az dőtérben az x (t) függvény perodusan smétlődve jelen meg, T [s] perodusdővel. Az egyes sznteen levő grafonora érvényes a étrányú transzformálhatóság. Vegyü észre, hogy a (d) és (f) esetben átfedés, alasng tapasztalható az ampltúdó spetrumoban.

85 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE ábra. A mntavételezés hatásána llusztrácója dő és frevenca tartományban.

86 86 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 4.4. Mntapéldá Feladat Grafusan ábrázolju a fázoro állását N 6 értére. A megoldás menete π j n 6 6( n, ) e W. Csa a fázs változ a modulus mnden esetben. Az eredményül apott grafono mutatjá a fázoro állását ülönböző n és értéere. n3 n Im 6 n n Re n,4 Im Re n,3 n4 n5 n,5 Im n,5 Im n,3,5 n,,4 Re Re n,3 3 4 n,4 n4 Im n5 Im n3 5 6 n Re 6 n,,,3,4,5 Re n n 4.4. ábra. A fázoro állása N 6 értére és ülönböző értéere.

87 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 87 π A DFT esetében a sperumból lépésenént N mntát vzsgálun, amhez N fs f frevencalépés tartoz. Itt f a frevenca felbontást jelent. f s pedg az N dőtartománybel mntavétel frevencát melyhez T s peródusdejű mntavételezés f tartoz. Az dősor így T L T dőtartományt fed le. Elmondhatju, hogy a dszrét dejű s jel frevenca válasza perodus, és a peródus: f s. Amnt már az előzőeben Ts megadtu a omplex exponencáls és a sznusz függvénye ugyanazon értéeet adjá π radánonént. Ezért a dszrét omplex exponencáls és harmonus jeleet csa alapsávban f πf szemléljü. Eor [ ] x[ n] jelöl, vagys az x [ n] jel özépértéét. Tentsü x [ n] és [ ] s N s X az egyenáramú omponenst n X soroat vetorént, ahol a vetoroat x N és a transzformácós együttható N N -es mátrxba rendezhető a övetező szernt: X N WN x N... (4.3) ahol N WN WN WN 4 ( N ) W N WN WN WN ( ) ( )( ) N N N N WN WN WN... (4.4) és az egyes eleme által meghatározott W ( n,) W n N e π j n N X N jelöl. Aor N... (4.5) omplex értée ortogonáls bázst épezne. A mátrxban szereplő függvényeet rotácós függvényene nevezzü, ugyans csa a omplex számo argumentuma változ, a modulusu mndg marad. Feladat Adja meg a W 8 és W 4 mátrxo előállításána MATLAB ódját és azo értéet. Megoldás: Az alább matlabód hvatott előállítan a mátrx omplex elemet:

88 88 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR N8; Wones(N); for n :N- for :N- W(n+,+)exp(-**p*n*/N); end end A ód futtatásana eredménye a övetező: Amennyben N4, a forgatómátrx a övetezőéppen alaul: A mátrx eleme özött felfedezhető egyfajta peródusosság és mndegy elem egy egy pontot határoz meg a omplex sí egységöre mentén. Továbbá érvényes, hogy a létez a transzformácó nverze * x N WN X N WN X N N,... (4.6) * W NWN NIN,... (4.7) tehát dagonáls egységmátrx. Ebből öveteztethetün, hogy W N ortogonáls mátrx és, hogy a DFT és az IDFT ortogonáls transzformácó. Feladat Elemezzü az x[n] ; n jelet és határozzu meg anna DFT transzformáltját! A megoldás menete: A jelet ábrázoló grafon a övetező: x[n] n 4.5. ábra. A feladatban megadott jel.

89 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 89 Az ábráról leolvasható, hogy a DI jel perodus és peródusa N. Erre a jelre nem érvényes a n x [ n] < onvergenca feltétel, így a Fourer j transzformácóját sem lehet a hagyományos módon az X( e ) x[ ] e j segítségével meghatározn. Mégs ném oosodással eljuthatun a eresett transzformácóhoz. Szemléljü a feladatban megadott jelet mnt Drac mpulzuso végtelen sorát j jn x [n] δ[n ]. Eor X ( e ) δ[n ] e. Az összegzés sorrendjét n j jn j felcserélve jutun a X ( e ) δ[n ] e, aor ( ) e e n j j pontosításához írju fel, hogy: e e π δ( π) Fourer transzformáltja perodus π peródussal, így ( e ) πδ( ) j X. Az eredmény. Mvel a DI jel X j. Az eredmény az elvárt szernt alault, ugyans a jelne csa egyenáramú omponense van, nem lehet más frevencán összetevője csa az frevencán. Az összetevő értée pedg megegyez a jel átlagértéével. Feladat Határozzu meg az alább DI függvény DFT jét. x p[n] 5 5 n 4.6. ábra. Illusztrácó a példához. A megoldás menete: A DFT általános alaja: esetünben N, eor N π X N n j n [ ] X x[ n] e N,,,,, N π j [ ] x[ n] e n,,,,, 9 X Az egyes összetevő fejtve: 9 n π

90 9 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR j 5 8 j 5 7 j 5 6 j j 5 4 j 5 3 j 5 j 5 j e. e.4 e.6 e.8 e e.8 e.6 e.4 e. X[] π π π π π π π π π vezessü be a övetező egyszerűsítéseet: + + e e e e e e j j j j j j 5 4 cos π π π π π π π + + e e e e e e j j j j j j 5 3 cos π π π π π π π + + e e e e e e j j j j j j 5 cos π π π π π π π + + e e e e e e j j j j j j 5 cos π π π π π π π. Az egyszerűsítése alalmazásával jutun a: ( ) π + π + π + π cos cos.8 5 cos. 5 cos.6 X[] megoldáshoz. Az dősor páros, így a DFT csa valós összetevőet tartalmaz. Az ampltúdó és fázs spetrum a övetező szernt határozható meg: { } { } ] Im X[ X[] Re A[] [] X + és { } { } θ X[] Re Im X[] arctg ] [ az értéeet táblázatba rendezve: A[] θ[] A[] θ[]

91 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 9 A[] 5 Ampltúdó spetrum θ[] Fázs spetrum ábra. Az ampltúdó és fázs spetrum. 9-8 Feladat Határozza meg az alább jelala Fourer együtthatót: 4.8. ábra. Illusztrácó a példához. Megoldás: π j 4 Az ábrából látsz, hogy a peródusdő 4 Ω π/4 és Ω 3 3 n ( 3) c u n n n ( ) ( 3 ) c u 4 n j j + j + j 4 3 n n ( ) ( 3) c u n j n 3n ( ) ( 3 ) c u 3 4 n j + j j j 4 j e e j Feladat Határozza meg az alább jel Fourer együtthatót: u n δ n 4

92 9 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Megoldás 3 π j n 3 π 4 j n u n c e c e 3 π j n 4 c u n e u 4 4 Mnden -ra 4 n Feladat Határozza meg az alább jel Fourer együtthatós alaját: π u n cos n 4 Megoldás A peródus dő: N 8 Ω π/8 π/4 π 4 cos 4 + π π j n j n j n 4 Ω jωn n e e e + e A Fourer együttható az alábba: c / c c +8 c 7 / mnden tovább c együttható. π jω n j7ωn u n cos n e + e 4 Feladat Határozza meg az alább jel Fourer együtthatós alaját: u n cos π π n+ sn n 3 4 Megoldás N 4 Ω π/4 π/ u n e + e + e + e e + j e j e + e j A Fourer együttható az alábba: π π π π j n j n j n j n j 4Ωn j3ωn j3ωn j 4Ωn c 3 j c 4 c 4 c 4+4 c c 3 c 3+4 c j, mnden tovább c együttható.

93 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 93 Feladat Határozza meg az alább jel Fourer együtthatós alaját: π u n cos n 8 Megoldás N 8 Ω π/8 π/4 π π j n j n 8 8 jωn jωn u n e + e e + + e 4 4 A Fourer együttható az alábba: c /, c /4, c c +8 c 7 /, mnden tovább c együttható. Feladat Határozza meg az alább ábrán látható u[n] jel Fourer transzformáltját! 4.9. ábra. Illusztrácó a példához. Megoldás Az ábrából látsz, hogy: u[n] u [n + N ] N -et eltolva -ba N N + adód. j N Így apju: U ( Ω ) e Ω sn Ω N + Ω sn jωn U Végül az eltolás tétel alalmazásával: ( ) e X ( ) sn Ω N + Ω Ω Ω sn

94 94 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat Határozza meg a övetező jel nverz Fourer transzformáltját! U ( Ω ) Ω W W <Ω π 4.. ábra. Illusztrácó a példához. Megoldás π jωn jωn snwn x n X ( ) e d e d π Ω Ω Ω π πn π W W Feladat Határozza meg a övetező jel nverz Fourer transzformáltját! X Ω πδ Ω Ω, Ω, Ω π ( ) ( ) Megoldás π x n πδ Ω Ω e dω e π π jωn jω ( ) n Feladat Határozza meg az x[n] jel Fourer transzformáltját! x n cos Ω n, Ω π Megoldás jω n Ω j n cosω n e + e X ( Ω ) π δ( Ω Ω ) + δ( Ω+Ω)

95 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 95 Feladat Határozza meg az alább jel nverz Fourer transzformáltját! X ( Ω ) Ω j ae a < Megoldás X ( Ω ) Ω j Ω j Ω j ae ae ae x n anu n * anu n n n n a u a u n a ( n n ) a u n + Feladat Határozzu meg az ábrán szereplő DI függvény DFT jét. x[n] 5 5 n 4.. ábra. Illusztrácó a példához. A megoldás menete: X[].e rendezéssel eljutun a.8e π j 5 6π j 5 +.4e.6e π j 5 7π j 5 +.6e.4e 3π j 5 8π j 5 +.8e.e 4π j 5 9π j 5 + e jπ X[] omplex sorhoz. π ( ) π 3 π 4 + j.6cos. cos.8 cos.4cos π X [] A[] Re + { X[] } Im{ X[] }, { } { } X[] Im X[] θ[ ] arctg Re

96 96 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A[] θ[] A[] θ[] A[] Ampltúdó spetrum θ[] Fázs spetrum ábra. Az ampltúdó és fázs spetrum. Feladat DFT felhasználásával határozzu meg az x(t) e t u(t) FI jel spetrumát, ahol u(t) az egységugrás függvény. A megoldás menete: Tudju, hogy a feladatban szereplő FI jelre vonatozóan a Fourer transzformált: e t u(t) Fourer. Ampltúdó spetruma: X() j+ +4 Látható, hogy a jel nem sávorlátos. A jel ampltúdó spetruma monoton csöenő. A továbbaban a jel spetrumána azon részét tárgyalju, ahol az ampltúdó spetrum a maxmáls érté %-a felett van. Mvel X().5, így a sávorlátot meghatározó érté..5.5, és a hozzá tartozó határfrevenca:.5 B +4 B rad sec, B πf B, f B π [Hz]. Fgyelembe véve a számított sávorlátot és a mntavétel törvényt, meghatározhatju az dő tartományban mntavétel peródusdejét: T f B π.578[sec]. A feladat megoldásána folytatásában meghatározzu a jel lefutás dejét. Elméletleg a vzsgált x(t) függvény monoton csöen és csa a végtelemben lesz nullaértéű. A gyaorlatban azonban elegendőne bzonyul az x(4) e választás. Tehát válasszu a lefutás dőt T 4[sec] érténe.

97 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 97 Az dőtartományban vett mntá száma eor , am nem egész.578 szám és nem ettő hatványa. Ezen feltétele teljesülése érdeében vegyü a mntá számát N 56-na. Eor a mntavétel dő T A DFT számításához szüség van a frevencatartománybel mntavételezésre. A mntá lépéséne értée f.5[hz] frevencáént, vagys T π [rad/sec] örfrevencáént található. Amnt már smert a jel spetruma perodus N peródussal, így X[] X[ + 56], tehát X[] X[56]. Ezért elegendő a spetrumot [,55] ntervallumban megfgyeln. A onjugált spetrum szmmetrájána tulajdonságából ered, hogy X[ ] X [], alalmazva még a perodusságot, vagys X[ ] X[ + 56] belátható, hogy a spetrum értée [ 7, ] és [9,55] ntervallumo felett megegyezne a övetező szernt: X[ 7] X[9], X[ 6] X[3],, X[ ] X[55]. Mndent fgyelembe véve belátható, hogy a spetrumot elegendő, N ntervallum felett megfgyeln. A példa esetében: [,8]. A feladat megoldására alalmas MATLAB ód: T_4; N_56; TT_/N_; t(:t:t*(n_-))'; xt*exp(-*t); x()t*(exp(-*t_)+)/; X_fft(x);[-N_/:N_/-]'; omega_**p/t_; omegalnspace(-p/t,p/t,497); X./(j*omega+); subplot(); plot(omega,abs(x),'',omega_,fftshft(abs(x_)),'o'); xlabel('\omega');ylabel(' X(\omega) ') axs([ ]); legend('ft',['dft, ahol T_',numstr(T_),', N_',numstr(N_)],); subplot(); plot(omega,angle(x),'',omega_,fftshft(angle(x_)),'o'); xlabel('\omega');ylabel('\angle X(\omega)') axs([-. 4 -p/-..]); legend('ft',['dft, ahol T_',numstr(T_),', N_',numstr(N_)],); Az eredménye jobb értéelhetősége érdeében a grafono ábrázolását célszerű nem 8 pontra, hanem 8 pontra megtenn. A független változó eor: [,8 ] [,44][rad/sec] értéeet vesz fel. A MATLAB ód futásána eredménye: 4

98 98 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR.5 X().4.3. FT DFT, ahol T 4, N FT DFT, ahol T 4, N 56 X() ábra. Az x(t) e t u(t) függvény ampltúdó és fázs spetrum. Az eredmény alapján jelenthető, hogy az B rad határfrevenca választás megfelelő, ugyans a jel energájána jelentős része ezen frevencán belül helyezed el A gyors Fourer-transzformácó (Fast Fourer Transform FFT) Könnyen belátható, hogy az N pontos DFT műveletgénye N omplex szorzás és N( N ) omplex összeadás, am egy pontos DFT esetén ez b. egymlló omplex szorzást és egymlló omplex összeadást jelent. p Tentsün egy specáls esetet, amor N. Ez a feltétel önnyen teljesíthető, ugyans mndg elvégezhetjü a sor nulláal való egészítését a ívánt elemszámg. A DFT számítható a övetezőből (4.): π N N π j n n X[ ] X x[ n] e N x[ n] WN,,,,, N N n n. Belátható, hogy a fent fejezés jelentős szmmetrát tartalmaz. Például azon eleme, melyene ndexére érvényes, hogy és + ( N / ), ahol ( N / ) azonos súllyal vanna szorozva. Páratlan értéere az együttható csa előjelüben ülönbözne. Az egyszerűbb számítás érdeében a szmmetrá felhasználásával a (4.) átrendezhető dőben vagy frevencában. sec

99 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 99 A m WN tulajdonsága: jπ / N ( e ) e, W N jπ e W N N... (4.8) N + m N W W N / m N jπ /( N / ) / N W N + m N ( e ( e jπ ( e jπ / N ) N jπ / N jπ / N ( e ) m ) N + m jπ / N W ) m N m. (4.9) W N e e... (4.3) W N / 4 jπ /( N / 4) / N jπ / N e e 3N / 4 π jπ /(3N / 4)/ N j3 / WN e e j j... (4.3)... (4.3) A (4.) felbontható ét összegre, a páros és a páratlan ndexeet tartalmazó összegere: N n n [ ] x[ n] WN x[ n] WN + x[ n] X n n A már említett szmmetrát fgyelembe véve: N 4π j N π j ( N / ) W e e W N / vagys n + N W W W n N N / Vezessü be az övetező jelölést: x [ ] x[ ] és x [ ] x[ + ]... (4.33) és ( + ) W W N aor: [ ] x[ ] WN / + WN x[ ] WN /,,,,, N / X A (4.) ét / Így felírható: N / N / N W N / (4.34) N hosszúságú DFT sort reprezentálna, az egy x [ n] a más [ n] [ ] X [ ] + W X [ ],,,,, N / X N Az N / -nél nagyobb ndexere érvényes, hogy:... (4.35) + [ + N / ] X [ + N / ] + W N / X [ + N / ],,,,, N / X N A peródusságból ered, hogy : W + N / N W N vagys: [ + N / ] X [ ] W X [ ],,,,, N / X N... (4.37). x.... (4.36) Az algortmus műödéséne bemutatásaént a továbbaban példáon eresztül erül elemzése egy nyolcpontos FFT. A feladat megértése érdeében először egy étpontos FFT erül megoldásra, majd négypontos és végül a célul tűzött nyolcpontos FFT.

100 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Példa étpontos FFT-re: Az dősor eleme: x [ ], x[ ] n A megoldás menete: X[ ] x[ n] W, n n [ ] x[ n] W x[ n] x[ ] + x[ ] X n n n [ ] x[ n] W x[ n] X n x x x x [ ] W + [ ] [ ] + x[ ] W [ ] + x[ ]( ) [ ] x[ ] n x W (/ ) Grafusan ábrázolva a 4.4. ábrán látható a étpontos FFT. x[] x[] -pontos DFT X[] X[] x[] x[] W n 4.4. ábra. Kétpontos FFT. - X[]x[]+x[] X[]x[]-x[] x[] x[] x[] x[3] Példa négypontos FFT-re: -pontos DFT -l -l -pontos DFT menet x[]+x[] Z[] x[]-x[] Z[] x[]+x[3] V[] x[]-x[3] V[] négypontos DFT menet X[] X[] - X[] - X[3] N/+ N/ ábra. Négypontos FFT.

101 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE Példa nyolcpontos FFT-re: 4.6. ábra. Nyolcpontos FFT nformácóáramlás. A 4.6. ábra llusztrálja az nformácó áramlást egy N pontos DFT esetén ét darab N 4 DFT felhasználásával a feladatban továbbra s érvényes, hogy N 8.

102 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A továbbaban bemutatásra erül az előző modulo eredményet részeredményént felhasználó N 8 pontos DFT megoldását végző strutúra ábra. Nyolcpontos FFT. Egy étpontos lepeművelet strutúrája látható a 4.8. ábrán ábra. Kétpontos lepeművelet.

103 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 3 Egy 8 pontos DFT megoldásána művelet sorrendjét ábrázoló teljes folyam látható a 4.9. ábrán ábra. A 8 pontos FFT megoldásána művcelet sorrendje. Az rodalomban több megoldás s található a DFT hatéony számítására. Eze csoportosítható: p N algortmusora, melye gyűjtőneve rads- p N 4 algortmusora, melye gyűjtőneve rads-4 p N 8 algortmusora, melye gyűjtőneve rads-8 p N R algortmusora, melye gyűjtőneve rads-r, ahol a övetelmény N N N. Mndenütt a cél a omplex összeadáso és szorzáso számána csöentése, valamnt az számítás erőforráso hatéony használása.

104 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR MATLAB programcsomag felhasználásával határozzu meg az x(t).6sn(πf t) + sn(πf t) +.5sn(πf 3 t) dőfüggvény fza ampltúdó spetrumát, valamnt a nulla özépértéű zajjal terhelt jel fza spetrumát. A megoldás MATLAB ódja: Fs ; % a mntavételezés frevenca T /Fs; % a mntavétel perodusdeje L ; % az dőben mntá száma t (:L-)*T; % az dővetor f5;f5;f3; % a jelben jelenlevő frevencá % az dőfüggvény három harmonus összege x.6*sn(*p*f*t) + sn(*p*f*t)+.5*sn(*p*f3*t); s *randn(sze(t)); yx+s; % nulla ozeperteu zaj számítása Fs ; % a mntavételezés frevenca T /Fs; % a mntavétel perodusdeje L ; % az dőben mntá száma t (:L-)*T; % az dővetor close all; fgure(); plot(fs*t(:5),x(:5),'r');hold on;stem(fs*t(:5),x(:5)); ttle('zaj nélül jel');xlabel('dő (mlsec)');hold off fgure(); plot(fs*t(:5),y(:5));grd; ttle('zajjal terhelt jel');xlabel('dő (mlsec)'); NFFT ^nextpow(l); % a legözelebb pow(), mntá száma X fft(x,nfft)/l; % a hasznos jel spetrumána meghatároása Y fft(y,nfft)/l; % a zajos hasznos jel spetrumána meghatároása f Fs/*lnspace(,,NFFT/); % A fza ampltúdó spetrumo megjelenítése fgure(3); plot(f,*abs(x(:nfft/))); ttle('a zaj nélül jel fza ampltudó spetruma x(t)'); xlabel('frevenca (Hz)'); ylabel(' X(f) '); fgure(4); plot(f,*abs(y(:nfft/))); ttle('a zajjal terhelt jel fza ampltudó spetruma y(t)'); xlabel('frevenca (Hz)'); ylabel(' Y(f) '); A program futása során a 4.. és a 4.. ábrán látható grafonoat apju.

105 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 5.5 Zaj nélül jel 6 Zajjal terhelt jel dő (mlsec) 4.. ábra. A zaj nélül jel dő (mlsec) 4.. ábra. A zajjal terhelt jel. A zaj nélül és a zajjal terhelt jel dő tartományban gen jelentősen ülönbözne egymástól.. A zaj nélül jel fza ampltudó spetruma x(t).4 A zajjal terhelt jel fza ampltudó spetruma y(t)..8.8 X(f).6 Y(f) Frevenca (Hz) Frevenca (Hz) 4.. ábra. A zaj nélül jel fza spetruma 4.3. ábra. A zajjal terhelt jel fza spetruma A frevenca tartományban, mndét esetben mpulzuso csúcsosodna a jelet épező frevencáon, ahogy ez a 4.. és a 4.3. ábrán s látható.

106 6 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR MATLAB alalmazásával demonstrálju a frevencatartománybel mntavételezés hatását a spetrumra. A példában használju fel a x[n] cos π n dszrét harmonus függvényt. A feladat megoldását végző ód: n [:9]; % Harmnc mnta az dőben x cos(*p*n/); % mntát veszün perodusonént N 64; % Három módon számolju az FFT-t N 8;N3 56; X abs(fft(x,n)/sze(x,)); X abs(fft(x,n)/sze(x,));x3 abs(fft(x,n3)/sze(x,)); F [ : N - ]/N; % A frevenca normalzálása tól /N g. F [ : N - ]/N;F3 [ : N3 - ]/N3; subplot(3,,);plot(f,x,'-x'),ttle('n 64'),axs([.6]) subplot(3,,);plot(f,x,'-x'),ttle('n 8'),axs([.6]) subplot(3,,3);plot(f3,x3,'-x'),ttle('n 56'),axs([.6]) Az eredményül apott spetrumo az alább ábrán látható..6 N N N ábra. FFT eredménye ülönböző frevencatartománybel mntavételezés esetén. Látható, hogy a frevencáat normalzáltu és özé. A spetrumon ét csúcs jelent meg a.-nél és a.9-nél. Ez a példában megadott osznusz frevencájána felel meg (/). Az ábrázolt jel csa alap harmonust tartalmaz. Azt s látju, hogy függetlenül attól, hogy 64, 8, 56 mntát veszün, frevencatartományban a spetrum ábrázolása nem módosul jelentsen.

107 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 7 Feladat MATLAB alalmazásával vzsgáljun meg ülönböző hosszúságú dősoro hatását a spetrumra. A példában használju fel a x[n] cos π n dszrét harmonus függvényt. Megoldás: n [:9]; x cos(*p*n/); % 3 peródus x [x x]; % 6 peródus x3 [x x x]; % 9 peródus x4 [x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3]; % 9 peródus N 48;F [:N-]/N; X abs(fft(x,n)/sze(x,));x abs(fft(x,n)/sze(x,)); X3 abs(fft(x3,n)/sze(x3,));x4 abs(fft(x4,n)/sze(x4,)); subplot(4,,);plot(f,x),ttle('3 perodus'),axs([ ]) subplot(4,,);plot(f,x),ttle('6 perodus'),axs([ ]) subplot(4,,3);plot(f,x3),ttle('9 perodus'),axs([ ]) subplot(4,,4);plot(f,x4),ttle('9 perouds'),axs([ ]) 3 perodus perodus perodus perouds ábra. Különböző hosszúságú dősoro hatása a spetrumra.

108 8 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A példában lényegében ülönböző hosszúságú dősoroat elemzün. Az első spetrum a jel 3 peródusú hosszára vonatoz, a másod 6 peródusra, a harmad 9 peródusra és végül a negyed 9 peródus hosszúságú jel elemzéséne eredményét mutatja. A osznusz jelet változó méretű ablaon eresztül fgyeljü. Jelen ablaozás lényegében egy négyszögjellel való szorzást jelent. A négyszögjel Fourer transzformáltja a snc() függvény. A folytonos dejű osznusz Fourer transzformáltja a jel frevencájánál lévő Drac-mpulzus. Tehát mnél nagyobb az abla, annál jobban érvényesül a osznusz Fourer transzformáltja, és annál evésbé a négyszögjelé. Az dősor méreténe növelésével egyre jobban egy Drac-mpulzusra fog hasonlítan a DFT és nem pedg a snc() jelre, mely a jel frevencájára van eltolva. Ha tehát dőben meghosszabbítom a sort, aor jobb mnőségű Fourer transzformácót tudo végezn. A frevencatartományban vett mntá száma vszont nem változtatja meg a Fourer transzformácó eredményét jelentősen. Feladat MATLAB alalmazásával hozzu létre egy harmonus jel matemata és fza spetrumát relatív egységeben. A példában használju fel a x[n] cos π n dszrét harmonus függvényt. Megoldás: n [:49];x cos(*p*n/);n 48; X abs(fft(x,n)/sze(x,));x fftshft(x); fgure(); F [-N/:N/-]/N;plot(F,X), ttle('a matemata spetrum');xlabel('frevenca / f s') fgure(); F [:N/-]/N;plot(F,*abs(X(N/+:N))); ttle('a fza spetrum');xlabel('frevenca / f s');.7 A matemata spetrum.4 A fza spetrum frevenca / f s frevenca / f s 4.6. ábra. A harmónus jel matemata 4.7. ábra. A harmónus jel fza spetruma spetruma A matemata spetrum esetében a jel energája megoszl a poztív és a negatív frevencáon ahogy ez a 4.6. ábrán s látható. A fza spetrum csa poztív frevencáat tartalmaz, melyet a 4.7. ábrán fgyelhetün meg.

109 5. A Z-transzformácó A Z-transzformácó egy hasznos eszöz a dszrét dejű jele és rendszere analízséhez. Míg a folytonos dejű rendszerenél a Laplace transzformácót használju, addg a dszrét dejű jele és rendszerenél a Z-transzformácót. A Z-transzformácó alalmas az egyenlő együtthatójú dfferencaegyenlete megoldására, az adott bemenetű lneárs dő-nvaráns rendszere, és a lneárs szűrő válaszana értéelésére. Ebben a fejezetben bepllantást nyerün a Z-transzformácóba, és megvzsgálju, hogy hogyan lehet enne a segítségével a ülönböző problémáat megoldan. 5.. A Z-transzformácó defnícója A dszrét dejű érté az x(n) sorozat Fourer transzformácójána az összegével egyenlő (DTFTDscrete-Tme Fourer Transform). X e j x(n)e jn n Habár rendszernt ez a sorozat onvergens, szüséges hogy a jel összegezhető legyen. Enne ellenére a legtöbb gyaorlatban előforduló jel nem összegezhető, és ezért ez az összegéplet nem alalmazható. Néhány bevezető példa: x(n) u(n) x(n) (.5)nu( n) x(n) sn(n ) A Z-transzformácó a DTFT általánosítása, amvel az összes sorozat megoldható, és a övetező épen defnálható: Defnícó: A folytonos dejű x(n) jel dszrét dejű Z-transzformácója a övetező épen defnálható: X(z) n x(n) z n ahol z r e j omplex szám. x(n) Z X(z) A Z-transzformácót tenthetjü úgy, mnt a DTFT-ne egy exponencálsan súlyozott sorozatát. Specfusan, magyarázva a z r e j -val: X(z) n x(n)z n n [r n x(n)]e jn így láthatju, hogy az X(z) az r n x(n) sorozat dszrét dejű Fourer transzformáltja. Belátható az s, hogy a onvergencatartomány: n x(n)r n < Mvel a Z-transzformácó omplex értéel való művelet, azért a övetező épen s felírható: z Re(z) + j Im(z) re j ahol Re(z) a z-sí valós, míg az j Im(z) a z-sí épzetes része. Ahogy az 5.. ábrán látható, z-vetor felfogható egy egység sugarú ör egy vetoraént, vagys z. A vízszntes tengely a valós tengely, míg a függőleges a épzetes tengely. Tehát a Z-transzformácó értéelhető az egységsugarú örön s a DTFT-hez a övetező épen: X(e j ) X (z) z e j

110 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 5.. ábra Több specfácóban az X(z) értéelését úgy értelmez, mnt egy egységny sugarú ör örvonalána pontjat. Enne ezdőpontja z ( ), ez folytatód z j -n eresztül ( π/ ), egészen z g ( π ). Így megaphatju az X (e j ) értéét a π ntervallumban. A fontosabb jele többségéne a dgtáls jelfeldolgozásban van Z-transzformáltja, am egy raconáls törtfüggvény formájában írható fel: B( z) X( z) Az ( ) q p b( ) z a( ) z A számláló és a nevező megfelelő polnomjana hányadosával az egyenlet a övetezőépen írható fel: X( z) C q ( β z ) p ( α z ). A számláló polnomjána gyöe, β R, az X(z) zérusa, a nevező polnomjána gyöe, α, az X(z) pólusa. Tehát így a raconáls törtfüggvény tartalmazza a pólusoat és a zérusoat, valamnt egy onstans szorzót. Éppen ezért ez a éplet soal reprezentatívabb az X(z)-vel apcsolatban, mert megadja a z-sí pólus-zérus pontjat. A pólusoat "x "-szel, míg a zérusoat " "-val jelöljü. A megoldáso halmaza, amt onvergencasugárna, vagy onvergencatartományna nevezne (regon of convergenceroc), általában α < z < β nagyságú örvonal. Haα, aor a megoldáso halmaza tartalmazza a z pontot, lletve haβ, aor a megoldáso halmazába beletartoz a végtelen s. Az X(z) raconalzálásához a megoldáso halmaza nem tartalmazhat pólust. A megoldáso halmazána 3 fontos tulajdonsága van:. Egy véges hosszú sorozatna van Z-transzformáltja, és a megoldáso halmazába beletartoz a teljes z-sí, véve a z -t és a z -t. A z pontot aor tartalmazhatja, ha az x(n), n > esetén. A z -t aor tartalmazza, ha az x(n), n < esetén.. A jobbról orlátos sorozatna van Z-transzformáltja, és a megoldáso halmazába a ör ívül rész tartoz bele, vagys z > α 3. A balról orlátos sorozatna van Z-transzformáltja, és a megoldáso halmazába a ör belső része tartoz bele, vagys z < β 5.. Tulajdonságo: Tovább DTFT-vel apcsolatos fontos és hasznos tulajdonságo: Lneartás A Z-transzformácó egy lneárs operátor. Tehát ha x(n)-ne létez Z-transzformáltja (X(z)), amelyne a onvergencasugara R x, és y(n)-ne s létez Z-transzformáltja (Y(z)),

111 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE amelyne a onvergancasugara R y, aor : w(n) ax(n) + by(n) Z W(z) ax(z) + by(z) és a w(n) megoldásána a onvergencasugara tartalmazza R x és R y metszetét R w R x R y Például: x(n) u(n) és y(n) u(n ), így az X(z) és az Y(z) megoldásána a halmaza z >. Habár w(n) x(n) y(n) δ(n), vagys az egész z-sí. Eltolás Legyen x(n) olyan sorozat, amelyet (tetszőleges módon) terjesztün negatív ndexere s, és legyen u n ()P az egységugrás sorozat. Legyen továbbá az X Z{xn} Z-transzformált onvergenca sugara R, és legyen > rögzített egész. Eor a) Z u n () x n z X(z), z > R, (eltolás jobbra) b) Z x n+ z X(z) n x n z n, z > R, (eltolás balra) Idő megfordítása Ha x(n) sorozatna létez X(z) Z-transzformáltja R x onvergencasugárral, amne a örgyűrűje α < z < β nagyságú, aor az dőben vsszafordított sorozat x( n) Z- transzformáltja x( n) z X(z ) és a onvergenca sugara /β < z < /α, am egy /R x onvergencasugarat jelent. Exponencálssal való szorzás Ha egy x(n) sorozatot egy omplex α n exponencálssal szorzun aor, α n x(n) X(α z) ezáltal a onvergenca sugár sálázód r < z < r α + α r < z < α r + Konvolúcós tétel Talán a legfontosabb Z-transzformácós tulajdonság a onvolúcós tétel. Két dőfüggvény onvolúcója, a függvénye transzformáltjana szorzataént s megadható. f(t) g(t) F(j) G(j) z Ezt, ha onvergens sorora terjesztjü, aor: y(n) u(n) h(n) Y(z) U(z)H(z) Y(z) onvergenca sugara így R x és R y metszete lesz. R R u R y Megjegyzés: Az Y(z) onvergenca sugár aár nagyobb s lehet az U(z)H(z) eredmény pólus-zérus ejtésével. Konjugálás Ha x(n) Z-transzformáltja X(z), aor x(n) omplex onjugáltjána Z-transzformáltja: x (n) z X (z ) Követezéséppen ha x(n) valós érté (x(n) x (n)) aor: X(z) X (z )

112 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Derválás Ha x(n) sorozat Z-transzformáltja X(z), aor nx(n) Z-transzformáltja: nx(n) -z dx(z) dz Ez a tulajdonság érvényes bármely n x(n) sorozat Z-transzformálására (bármely egész számra). Kezdet érté tétel Ha x(n), n <, aor x() meghatározható a sorozat Z-transzformáltjána smeretében: x () lm z X(z) lm z (x () + x ()z + x ()z +... ) z 5.3. Az nverz z-transzformácó A Z-transzformácó egy hasznos eszöz a lneárs rendszere analízsében. Ugyanolyan fontos egy x(n) sorozat Z-transzformálása, mnt egy X(z) érté nvertálása, hogy abból vsszanyerjü az eredet x(n) sorozatot. Itt található 3 lehetséges mód az nvertálásra. Raconáls törtfüggvény alaú z-transzformálta esetén X(z) q b()z p C q ( β z ) a()z p ( α z ) Ez egy egyszerű és vszonylag önnyen elvégezhető módja az nverz Z- transzformácóna, ha X(z)-t parcáls törtere bontju. Feltételezve, hogy p > q, és a nevező gyöe egyszeres póluso, α α mnden p A -ra X(z) a övetezőépen írható fel: X(z) α z ahol A a övetezőépen írható fel: A [( α z )X(z)] zα. Ha p q, aor a parcáls törtfüggvényün egy polnom osztás lesz. A polnom osztás együtthatót hosszú osztás eredményeént apju meg. Magasabb rendű póluso esetén a törtfüggvény módosul. Például másodrendű póluso B esetén z α, részre oszl: + B ahol B α z ( α z ) és B a övetezőépen adható meg: B α d ( α dz z ) X(z), B [( α z ) X(z)] zα zα Hatványsor A Z-transzformált nem más mnt egy hatványsor: X(z) n x(n)z n + x( )z + x()z + x()z + x()z + Ha sorba tudju fejten X(z)-t, x(n) eleme z n együttható leszne. Görbe ment ntegrál A harmad lehetőség, hogy egy X(z) nverz Z-transzformáltját megapju, hogy vesszü az X(z) görbe ment ntegráltját. Ez a módszer a Cauchy-féle ntegrál tételen alapsz, azaz hogy létez egy C poztív rányítású zárt görbe, am özrezárja az orgót, és teljes egészében a onvergencasugárban fesz, aor x(n) együtthatót a övetezőépen apju meg:

113 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 3 x(n) πj X(z)zn dz c Ezt az ntegrált a Rezduum-tétel segítségével értéeljü : x(n) πj c X(z)zn dz [Res( X(z)z n z α )] Rezduumo C-be eső z α egyszeres pólus esetén: Res[x(z)z n- z α ] [( - α z ) X(z)z n ] z α A vonal ment ntegrálás aor hasznos, ha x(n)-ne csupán néhány értéére vagyun íváncsa Az egyoldalas Z-transzformácó Az eddge során a étoldalas, úgynevezett blateráls Z-transzformácót tárgyaltu. A övetezőben az egyoldalas, úgynevezett unlateráls Z-transzformácóról lesz szó. Az egyoldalas Z-transzformácót a övetezőépen defnálju: X (z) x(n) z n Tulajdonságo Ugyanazo a tulajdonságo érvényese az egyoldalas Z-transzformácóra, mnt a étoldalasra, véve egyet; az eltolás tulajdonságot. Arra a övetező éplet érvényes: x(n ) z X (z) + x( ) Az egyoldalas Z-transzformácót a ezdet értéel rendelező állandó együtthatós dfferencaegyenlete megoldására használjá Feladato z Feladat M a övetező sorozat Z-transzformáltja? Használju a Z-transzformácó defnícóját. Ábrázolju a onvergenca tartományt! x(n) α n u(n) Megoldás X(z) n x(n)z n n α n z n n (αz ) n Im(z) αz A sorozat aor onvergens, ha αz <. Ezért a onvergenca tartomány az α < z. vagys, az α-nál nagyobb sugarú onvergenca tartomány (onvergenca sugár). Vagys X(z) z. Tehát X(z)-ne z -ban z α van zérusa, és z α- ban van pólusa. A pólus-zérus, és a onvergenca tartományt az 5.. ábrán láthatju. α 5.. ábra Re(z) n

114 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Feladat Számítsu az x(n) sn(an) sorozat Z-transzformáltját! Használju a Z- transzformácó lneartás tulajdonságát! Megoldás Euler-formula szernt: sn(an) ean e an Z(sn(an)) [Z(ean ) Z(e an )] z z e a z sn(an) z z cos a + z z e a z ze a z + ze a z (e a + e a )z + Feladat Oldju meg a 3x n+ 3x n, x dfferencaegyenletet! Megoldás Vegyü az egyenlet mndét oldalána Z-transzformáltját z X(z) zx 3X(z) és használju a ezdet érté feltételt: (z 3) X(z) z z z X(z) z z. z 3 (z ) (z 3) z z, Feladat M a övetező sorozat Z-transzformáltja? x(n) αn/, n,,,3, ahol α <. egyébént Megoldás X(n) sorozatot tenthetjü egy exponencáls sorozatna s. α n u(n) z z > α Így x(n) Z-transzformáltja: X(z) αz αz z > α Feladat Számítsu az nverz Z-transzformáltját a övetező Z-transzformáltna: X(z) z z z +z Megoldás z Parcáls törtere bontás módszerével: X(z) z z z +z 3 3 z z 4 vagys: Z {X(z)} 3 ( 5)n + 3 4n + z +5 3 z 4 3 z z

115 4. A DISZKRÉT IDEJŰ JELEK ÉS RENDSZEREK FOURIER ANALÍZISE 5 Feladat M a övetező dőfüggvény onvolúcója? x(n) α n u(n) h(n) δ(n) α δ(n ) Megoldás x(n) Z-transzformáltja: X(z) αz z > α h(n) Z-transzformáltja: H(z) αz z < Mnt látsz, a sorozat Z-tanszformáltja egymás nverze. Így a Z-transzformált onvolúcója: Y(z) X(z)*H(z) αz αz Feladat M a övetező függvény nverz Z-transzformáltja? X(z) z + z (z ) Megoldás x(n) 3n + Feladat Z-transzformált módszerével adju meg a övetező reurzóat! x n + 5x n+ + 6x n, x, x, Megoldás X(z) 3 n + 3 n Feladat M a övetező sorozat Z-transzformáltja? x(n) 3 n cos n X(z) Megoldás z 3z cos z 6z cos +9 Feladat M a övetező függvény nverz Z-transzformáltja? X(z) z +3z (z 3) Megoldás x(n) (n +) 3 n

116 6. A jele szűrését végző rendszere Általában a szűrő feladata, hogy összetevőet válasszana szét. A jelfeldolgozás esetében a szétválasztás általában frevenca alapon történ. Am valójában azt jelent, hogy a szűrő bemenetére vezetjü a szűrn ívánt jelet, a meneten pedg megjelen a nem ívánt összetevő nélül, módosított bemenet. Mvel a szűrő LTI rendszere, így anna menete FI esetben meghatározható mnt a rendszer súlyfüggvényéne és a bemeneténe onvolúcója: y(t) g(t) u(t), ahol g (t) a szűrő súlyfüggvénye, u (t) a szűrő bemenete, y (t) pedg anna menete. Amnt smeretes az dő tartománybel onvolúcó frevenca tartomány megfelelője a F F szorzás. Ezért : Y(j ) G(j)U(j ), ahol y( t) Y ( j), u( t) U ( j), F Y(j) g( t) G( j). A rendszer frevencafüggvénye eor: G(j ). U(j) A frevencafüggvény a szűrő ampltúdó erősítését és fázseltolását írja le a frevencatartományban. A omplex függvény felbontható az ampltúdót módosító részre: Y(j) Y(j ) G(j)U(j) Y(j) G(j) U(j) G(j) U(j) és a fázst módosító részre: argy(j) argg(j) + arg U(j) argg(j) argy(j) arg U(j). A frevencafüggvény ét polnom hányadosaént jelentez, ugyans az egy bemenetű és egy menetű LTI rendszer állandó együtthatós dfferencálegyenlettel írható le a övetező szernt: N M d y(t) d u(t) a b dt dt, vagys: N N M M d y d y dy d u d u du an + a a a b b b b N N N M + M M M dt dt dt dt dt dt A fent dőtartománybel leírásna a épe frevencatartományban, fgyelembe véve, hogy az dőben derváltna j -val való szorzás felel meg a övetező: N M a (j) Y(j) b (j) U(j) Y(j) G(j) U(j) M N b (j) a (j) P Q M N (j) (j) N a (j) Y(j) M b (j) U(j). A polnom per polnomos ala jelentősen megönnyít az ampltúdó és fázsváltoztatás elemzését.

117 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 7 Bode dagram Az ampltúdó és a fázs frevencafüggéséne ábrázolására alalmazható a Bode dagram. Az ampltudó: G ( j) ( Re{ G( j) }) + ( Im { G( j) }) változat, am a övetezőépen számítható: G( j) log G( j) db G( j ) db grafus ábrázolása > alalmas számítása a logartmust felhasználó. Az erősítés esetében a Bode dagram ampltúdó görbéje. Az ábrázolás során a független változót s logartmus sálában vesszü fel. A omplex számban hordozott más nformácó a fázs. A szűrő fázst módosító függvénye a fázs araterszta. Számítása a övetező: Im { ( )} { G( j) } { ( )} arg G j arctg. Az { G( j) } Re G j arg ábrázolása a frevenca függvényében a Bode dagram fázs dagramja. A frevencafüggvény polnomja felírható gyötényezős alaban a övetező szernt. A nevező: N N ν N R c λ ξ ( α + j) ( ς + σ + σ ( j) + ( j) ), QN ( j) a ( j) an ( j) ahol ν - az gyö multplctása, N R -a ülönböző valós nullá száma, ( α )- valós nulla λ - pedg anna multplctása, NC -a ülönböző omplex nullá száma, ( σ + jς )- a omplex nulla, ξ - pedg anna multplctása. j + σ + jς j+ σ jς (j) + σj+ σ + ς. A polnom valós, így érvényes, hogy a [ ( )] [ ( )] zérushelye száma P M N R N C ν + λ + ξ N. A számlálóra gyötényezős alaja: ( j) M b ( j) b M R c µ η ( β + j) ( γ + ρ + γ ( j) + ( j) ), m M β M R -a ülönböző valós nullá száma, ( ) M -a ülönböző omplex nullá száma, ( γ + ) - valós nulla µ - pedg anna multplctása, C jρ - a omplex nulla, η - pedg anna multplctása. Itt s érvényes, hogy a polnom valós, így érvényes, hogy a zérushelye + M R M C µ η M száma A fenteel összhangban a frevencafüggvény a övetező szernt alaul: P G(j) Q M N (j) (j) a N b (j) MR Mc µ ( β + j) ( γ + ρ + γ (j) + (j) ) m ν NR Nc λ ( α + j) ( ς + σ + σ (j) + (j) ) ν ξ

118 8 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR ( ) ( ) ( ) ( ), ) /( ) (j ) ) /( (j / j ) (j ) /( ) (j ) ) /( (j / j K c R c R N N M M ξ λ ν η µ + σ ς + + σ ς σ + α + + ρ γ + + ρ γ γ + β + ahol ( ) ( ) ξ λ ν η µ + σ ς α + ρ γ β c R c R N N N M M m ) (j a b K. Vegyü a függvény modulusát és anna decbeles változatát: ( ) ( ) ( ) ( ) + σ ς + + σ ς σ + α + + ρ γ + + ρ γ γ + β + ξ λ ν η µ c R c R N N M M db ) /( ) (j ) ) /( (j / j ) (j ) /( ) (j ) ) /( (j / j K log ) G(j ) log G(j A szorzat és a hányados logartmusára vonatozó törvény alalmazásával: + σ ς + + σ ς σ + ξ α + λ ν + ρ γ + + ρ γ γ + η + β + µ + C R C R N N M M ) /( ) (j ) ) /( (j log / j log log ) /( ) (j ) ) /( (j log / j log log K A függvény argumentuma: ( ) ( ) + σ ς + σ ς σ ξ α λ π ν + ρ γ + ρ γ γ η + β µ + σ ς + + σ ς σ + ξ α + λ ν + ρ γ + + ρ γ γ + η + β + µ C R C R C R C R N N M M N N M M ) /( ) ) /( (j arctg arctg ) sgn( ) /( ) ) /( (j arctg arctg ) /( ) (j ) ) /( (j ) / j ( ) arg(j ) /( ) (j ) ) /( (j arg ) / j arg( ) arg G(j A fent egyenleteből látható, hogy az ampltúdó és a fázs araterszta előállítható 4 alapvető grafon összegéből és ülönbségéből. Eze özül az első: logk ) (j G ) (j argg (K)dB ; logk ) (j G Az első alahoz tartozó ampltúdó és fázs araterszta a 6.. ábrán látható.

119 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK ábra. Az első ala. A grafon egyszerű. Az ampltúdó araterszta állandó, a fázs araterszta pedg nulla, a frevencától függetlenül. A másod ala: π G (j) νlog( j), G (j) νlog j υlog ; argg( j) ν sgn( ) A másod alahoz tartozó ampltúdó és fázs araterszta a 6.. ábrán látható. 6.. ábra. A másod ala. Az ampltúdó araterszta ebben az esetben egy egyenes, mely annyszor db/deád meredeséggel es ameora az adott gyö multplctása. A fázs araterszta pedg állandó. Egy egyszeres multplctású lyen típusú gyö 9 foot fordít a fázson. A harmad ala: (j ) plog( + j/ a) G ( j ) plog + j / a G 3, ( ) 3

120 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR G ( j) 3 plog(+ G3( j) plog + a argg3( j) p arctg a j / a ) plog G ( j) plog + 3 a plog a << a argg ( j) p arctg π 3 a p >> a << a >> a plog a << a >> a Bode javaslatára a grafon egyszerűbb ábrázolása érdeében fogadju el a övetező approxmácót: < a G 3 (j) plog > a a A harmad ala ábrázolásána megértésére elemezzü a övetező példát: Legyen G 3 (j). A példához tartozó Bode dagram, mely a 6.3. ábrán látható + j / ét grafont tartalmaz. A szaggatottal ábrázolt a való, míg a telvel az aszmptotus ampltúdó dagram. Az ábrából látható, hogy az aszmptotus és valós dagram özött legnagyobb eltérés éppen a esetben mérhető, az eltérés értée pedg 3 db. A görbe lefelé tör mert az átvtel függvény pólusáról van szó (j) log( + j/ ). G ábra. A harmad ala.

121 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK A fázsaraterszta ábrázolására Bode azt javasolta, hogy a fázsváltozást egy egyenessel özelítsü, mely o ból ndul. a frevencánál és π nél fejeződ π a érténél. Értée a nál pontosan. Itt s szaggatottal látható a pontos 4 fázsaraterszta, telvel pedg anna özelítése. A negyed ala a övetező: j G 4 (j) qlog + jbc+ G4( j) qlog + jbc + c, Ebben az esetben és özelítsü a függvényt a övetező szernt: j G 4 (j) qlog + c j argg 4 (j) qarg + c q4log c qarctg c < c > c A negyed ala ábrázolásána megértésére elemezzü a övetező példát: G4(j) + j4b + (j / ) A példához tartozó grafon a 6.4. ábrán látható. j c 6.4. ábra. A negyed ala.

122 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A 6.4. ábra elemzéséből derül, hogy jelen esetben az approxmácó nem mnden esetben helytálló. A csllapítás függvényében jelentős eltérés tapasztalható a valós és a özelítő görbe özött. Példa egy tetszőleges összetett függvényre: + j G( j) j( + j /) A példára jellemző Bode dagram a 6.5. ábrán látható ábra. Példa megoldása. A dagram rajzolása előtt szüséges meghatározn a törésfrevencáat. A példában az első frevencán található, ezért az első típusú alahoz tartozó elem hatására az rad erősítés db/deád meredeséggel csöen. A másod sec frevencán van. Ez a rad törésfrevenca felfelé tör a görbét. A harmad frevencán újból lefelé tör a sec görbét. Az eredő ampltúdó araterszta az egyes aszmptotus aratersztá összegéből áll össze és vastag tel vonallal van ábrázolva a 6.5. ábrán. Sávszélesség Egy jel esetében azon omponense jelentőse, melye ampltúdója nagyobb az ampltúdó -el szorzott értéénél. Ebből ndulva beszélhetün sávszélességről. Az az, melyre érvényes, hogy:

123 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 3 X(j ) X() a jel sávszélessége. X(j log X( Szűrés u(t) log Szűrő G(j) 6.6. ábra ( ) 3dB y(t) Y(j)G(j)U(j) A szűrő feladata, hogy a bemeneten megjelenő, szűrn ívánt jelet módosítja úgy, hogy a meneten a nem ívánt összetevő nélül jel, vagys a módsított bemenet, jelenjen meg. A lneárs, folytonosdejű szűrő tag ábrázolható az alábba szernt: A rendszer frevenca függvénye: G(j) G(j) e j arg G(j) Ideáls szűrő esetén a szűrő csa a jel ampltúdóját módosítja, a fázsát nem. Ideáls esetben a jel azon frevenca összetevőt, melyeet nem szeretnén átengedn a szűrőn értéel, míg azoat, amelyeet át szeretnén engedn a szűrőn értéel szorozun. Ideáls szűrő csa elméletben, a matemata felírásoban létez. A valóságban csa az deálshoz özelítő szűrőaratersztáat tudun előállítan. A legfontosabb szűrő típuso:. Aluláteresztő szűrő. Felüláteresztő szűrő 3. Sáváteresztő szűrő 4. Sávvágó szűrő. Az deáls aluláteresztő szűrő ampltúdó frevenca aratersztája: < G(j) b És a leíró függvénye: G (j) aluláteresztő > b b 6.7. ábra Az deáls felüláteresztő szűrő ampltúdó frevenca aratersztája:

124 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR És a leíró függvénye: G (j) < > b b G(j) felüláteresztő b 6.8. ábra Az deáls sáváteresztő szűrő ampltúdó frevenca aratersztája: < < G(j) a b És a leíró függvénye: G (j) Sáv áteresztő < a és > b a b Az deáls sávszűrő ampltúdó frevenca aratersztája: És a leíró függvénye: G (j) a < < < a b > b G(j) 6.9a. ábra sávszűrő a 6.9b. ábra b A valós folytonosdejű aluláteresztő szűrő frevencafüggvénye és frevencaaratersztá, ahol b a szűrő vágás frevencája G( j) + j / b 6.. ábra. Aampltúdó araterszta. 6.. ábra. Fázs araterszta. A valós folytonosdejű felüláteresztő szűrő frevencafüggvénye és j frevencaaratersztá: G(j). + j b

125 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 5 G(j) db argg(j). b b b π/. b b b π/4 6.. ábra. Aampltúdó araterszta ábra. Fázs araterszta. A valós folytonosdejű sáváteresztő szűrő frevencafüggvénye és j / frevencaaratersztá: G(j ). ( + j / )( + j / ) G(j) db argg(j) π/ π/ 6.4. ábra. Aampltúdó araterszta ábra. Fázs araterszta. 6.. Analóg szűrő vzsgálata MATLAB programcsomag segítségével ábrázolju a 6.6. ábrán látható apcsolás frevencaaratersztáját! C U R U be U R 6.6. ábra. Egytárolós rendszer. A feladatban szereplő az áramör egy feszültséggenerátor, egy ondenzátor és egy ellenállás soros apcsolásból áll. Legyen a rendszer bemenete a feszültséggenerátor feszültsége u be (t) menete pedg u c (t) u (t). A rendszer analtus megoldásához Krchoff másod törvénye alapján írju fel, hogy u be (t) u c (t) + u R (t). Másrészt felírható az áramörben folyó egységes (t) áram, hogy (t) c (t) C du c (t). Az dt u R (t) R(t), azaz u R (t) RC du c (t), behelyettesítve a feszültségeet tartalmazó dt

126 6 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR összefüggésbe apju, hogy u be (t) u c (t) + RC du c (t) dt, u c (t) Fourer U c (j), u be (t) Fourer U be (j) és eor U be (j) U c (j) + RCjU c (j) valamnt G(j) U c (j) U be (j) U (j). G(j) atan(rc). U be (j) jrc+ + C R atan(rc) + C R A feladatban megadott áramör egy aluláteresztő szűrő, ugyans: G(j) ahol: b a törés frevenca. RC A feladat megoldására alalmas MATLAB ód: >> Ce-3; Re3*p; >> omb*p*/(r*c) >> num[]; den[/omb ]; >> bode(num,den) +j b Magntude (db) Bode Dagram System: sys Frequency (rad/sec):.998 Magntude (db): -3-4 Phase (deg) -45 System: sys Frequency (rad/sec): Phase (deg): Frequency (rad/sec) 6.7. ábra. A MATLAB-ban apott grafon. A rendszer paramétere alapján a törés frevenca b rad. Ezen a frevencán a csllapítás 3dB, a fázsésés pedg 45 fo. Módosítsu az előző rendszert úgy, hogy a menete legyen u R (t) u (t). Eor G (j) U R (j) U (j) jrc és G U be (j) U be (j) jrc+ (j) sec atan RC + C R A feladatban megadott áramör egy felüláteresztő szűrő, ugyans: G (j) ahol: b a törés frevenca. RC j b +j

127 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 7 A feladat megoldására alalmas MATLAB ód: >> Ce-3; Re3*p; >> omb*p*/(r*c) >> num[ ]; den[ omb]; >> bode(num,den) ; grd; Magntude (db) Bode Dagram System: sys Frequency (rad/sec):.999 Magntude (db): Phase (deg) 45 System: sys Frequency (rad/sec):. Phase (deg): Frequency (rad/sec) 6.8. ábra. A MATLAB-ban apott grafon. Nem decbelben az ampltúdó araterszta meghatározása: >>w:.:; omb; >>maggs./sqrt(+./(w.*omb).^); >>semlogx(w,maggs); grd ábra. Nem decbelben az ampltúdó araterszta. Az ábrán leolvasható a csllapítás értée a törésfrevencán, am.

128 8 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 6.. Dgtáls szűrő A dgtáls szűrőne, mnt dszrétdejű lneárs rendszerne az a feladata, hogy a bemenetén jelentező jelsorozaton ampltúdó és fázsmódosításoat végezzen el. A dgtáls szűröne ét típusa van. Eze: a véges mpulzusválaszú FIR (Fnte Impulse Response) és a végtelen mpulzusválaszú IIR (Infnte Impulse Response) dgtáls szűrő. Legyen x [ n] a rendszer bemenete y [ n] pedg a menete, eor a DI rendszer általános M N alaja adott a övetező szernt: y[ n] b [ ] [ ] x n a y n a Amennyben a, mnden -ra, vszont az a, aor FIR (Fnte Impulse Response) szűrőről van szó azaz a FIR szűrő esetében a menetet csa a orább bemenet határozzá meg, és nem vesszü fgyelembe a orább meneteet. Az IIR (Infnte Impulse Response) szűrő esetében, pedg van olyan a, érté, amely -tól ülönböző. Ebben az esetben tehát a menet meghatározásához fgyelembe vesszü a orább bemenete mellett a orább meneteet s. A dgtáls szűrő tervezés a övetező lépéseből áll:. Eldöntjü, FIR vagy IIR strutúrával aarju-e özelíten az előírt paramétereet,. Kválasztju a szűrő foszámát és meghatározzu az együtthatóat, 3. Megválasztju a szűrő strutúrát a vantálás hatásána fgyelembevételével, 4. Ellenőrzzü, mennyben tesz eleget a szűrő az előírt specfácóna. Ha nem megfelelő a szűrő vseledése, más beállításoal megsmételjü a tervezés eljárást. A dgtáls szűrő tervezése így teratív módon történ.. Feladat 6... Tervezzün dgtáls FIR aluláteresztő szűrőt, melyne vágás frevencája f pass 96[Hz]. A megoldás menete A szűrő megtervezéséhez MATLAB-ban ndítsu el az fdatool (Flter Desgn and Analyss Tool) szűrőtervező programot. A program szabad paramétere legyene a övetező szernt adotta: % All frequency values are n Hz. Fs 48; % Samplng Frequency Fpass 96; % Passband Frequency Fstop ; % Stopband Frequency Dpass ; % Passband Rpple Dstop.; % Stopband Attenuaton dens ; % Densty Factor

129 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 9 Az aluláteresztő szűrőre vonatozó, a tervezést befolyásoló paramétere értelme az fdatool ezelőfelületét bemutató 6.. ábrán láthatóa. 6.. ábra. Az fdatool ezelőfelülete. A tervezés eredményéne vzsgálata a 6.. ábrán látható. 6.. ábra. Ampltúdó araterszta Az ampltúdó aratersztát megvzsgálva belátható, hogy az eredményül apott FIR szűrő eleget tesz a feladatban meghatározott feltételene.

130 3 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 6.. ábra. A szűrő fázs aratersztája ábra. A csoport ésés. A csoport ésés változása a frevenca függvényében állandó: A szűrő egységugrásra adott válasza a 6.4. ábrán látható ábra. Az egységugrásra adott válasz. Ellenőrzzü a apott rendszer szűrés épességét. Vezessün a szűrő bemenetére egy harmonus jelet, melyne frevencája megegyez a tervezett vágás frevencával. A feladat megoldására alalmas MATLAB ód: % teszteljü a megtervezett szűrőt: bhd.numerator; a; t:/fs:e-3; xsn(*p*fpass *t); yflter(b,a,x); fgure() ; stem(t,[x',y']) ; x -3 x ábra. A szűrő fázs aratersztája ábra. A csoport ésés.

131 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 3 A szűrő menete ebben az esetben csa s mértében tér el a bemenettől. Most végezzü el a vzsgálatot a vágás frevencával megeggyező frevencájú harmónus jellel. A feladat megoldására észített ód: xsn(*p* Fstop *t); yflter(b,a,x); fgure() stem(t,[x',y']) ; A szűrő menet ebben az esetben özel nulla, tehát a szűrő elnyomja a magasabb frevencáat. Feladat 6... Készítsen dszrétdejű felüláteresztő szűrőt a övetező szernt: Fs 48; % Samplng Frequency N ; % Order // változtatható Fstop 96; % Stopband Frequency Fpass ; % Passband Frequency Wstop ; % Stopband Weght Wpass ; % Passband Weght dens ; % Densty Factor A szűrő modelje: M N y[ n] b [ ] [ ] x n a y n., ahol x [ n] a rendszer bemenete, y [ n] pedg a a menete. Végezzen változtatásoat, a szűrő foszámát lletően és a tervezés módszereet s változtassa. Hogyan hatna eze a változtatáso az ampltúdó és a fázs aratersztára, valamnt a csoport ésésre? Hasonlítsa össze az egyes szűrő válaszát egy adott bemenetre. Adja meg a menete özött hbajel energáját. A megoldás menete: A feladatun egy felülátresztő FIR szűrő megtervezése a fent paramétere alapján. Mvel FIR (Fnte Impulse Response) szűrőről van szó, így a fenteben megadott egyenletben, az a, mnden -ra, vszont az a, azaz a FIR szűrő esetében a menetet csa a orább bemenet határozzá meg, és nem vesszü fgyelembe a orább meneteet. A szűrő megtervezéséhez ndítsu el az fdatool-t és állítsu be a fenteben megadott paramétereet.

132 3 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 6.7. ábra. A feladat megoldásához szüséges beállításo.. Amennyben beállítottu a paramétereet, megezdhetjü a szűrő tervezését. Az így megtervezett szűrő esetében az Analyss->Magntude and Phase Responses menüpontra attntva megtenthetjü az ampltúdó és fázsaratersztát, mely a 6.8. ábrán látható Magntude (db) and Phase Responses Group Delay Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) 6.8. ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) 6.9. ábra. A csoport ésés. Az Analyss->Grup Delay Response-ra attntva, pedg megnézhetjü a szűrő csoportésleltetését, mely a 6.9. ábrán látható. Látható, hogy a szűrő csoportésleltetése független a frevencától, értée pedg. Készítsü el a szűrőhöz tartozó m-fle-t, a Fle->Generate M-fle menüpont segítségével. Ezt mentsü el, mert majd ésőbb az összehasonlításonál fel fogju használn. A övetező feladat, hogy válasszun más tervezés módszert. Legyen ez a Least-squares módszer.

133 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK ábra. A feladat megoldásához használt beállításo. Itt s vzsgálju meg és hasonlítsu össze az előbb apott eredményeel az ampltúdó és fázsaratersztát, valamnt nézzü meg a szűrő csoportésleltetését. 3.6 Magntude (db) and Phase Responses Group Delay.4 Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) 6.3. ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) 6.3. ábra. A csoport ésés. A 6.3. és a 6.3. ábrán látható, hogy a tervezés módszertől függ a apott ampltúdó és fázsaraterszta, de a csoportésleltetés nem változ. Itt s észítsü el a szűrőhöz tartozó m-fle-t, és mentsü el. Állítsu vssza a tervezés módszert a orább Eqrpple módszerre, és változtassu meg a szűrő foszámát 4-re. A szűrő foszáma azt határozza meg, hogy hány darab orább bemenetet veszün fgyelembe.

134 34 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR ábra. A feladat megoldásához szüséges beállításo. Nézzü meg ennél a szűrőnél s az ampltúdó és fázsaratersztát, valamnt a csoportésleltetést Magntude (db) and Phase Responses Group Delay.4 Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) ábra. A csoport ésés. A és a ábrán látható, hogy a szűrő foszámána megváltoztatása nemcsa az ampltúdó és fázsaratersztát módosítja, hanem a szűrő csoportésleltetését s. Ebben az esetben a csoportésleltetés lett. Nézzü meg a három ülönböző paraméterrel megtervezett szűrő F pass és F stop frevencájú sznuszos gerjesztésre adott válaszát, majd nézzü meg a menete özött hbajel energáját. A feladat megoldásához szüséges ód:

135 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 35 % Equrpple Hghpass flter desgned usng the FIRPM functon. % All frequency values are n Hz. Fs 48; % Samplng Frequency N ; % Order Fstop 96; % Stopband Frequency Fpass ; % Passband Frequency Wstop ; % Stopband Weght Wpass ; % Passband Weght dens ; % Densty Factor % Calculate the coeffcents usng the FIRPM functon. b frpm(n, [ Fstop Fpass Fs/]/(Fs/), [ ], [Wstop Wpass],... {dens}); Hd dflt.dffr(b); % FIR least-squares Hghpass flter desgned usng the FIRLS functon. % All frequency values are n Hz. Fs 48; % Samplng Frequency N ; % Order Fstop 96; % Stopband Frequency Fpass ; % Passband Frequency Wstop ; % Stopband Weght Wpass ; % Passband Weght % Calculate the coeffcents usng the FIRLS functon. b frls(n, [ Fstop Fpass Fs/]/(Fs/), [ ], [Wstop Wpass]); Hd dflt.dffr(b); % Equrpple Hghpass flter desgned usng the FIRPM functon. % All frequency values are n Hz. Fs 48; % Samplng Frequency N 4; % Order Fstop 96; % Stopband Frequency Fpass ; % Passband Frequency Wstop ; % Stopband Weght Wpass ; % Passband Weght dens ; % Densty Factor % Calculate the coeffcents usng the FIRPM functon. b frpm(n, [ Fstop Fpass Fs/]/(Fs/), [ ], [Wstop Wpass],... {dens}); Hd3 dflt.dffr(b); % Teszteljü a megtervezett szűrőt: t:/fs:e-3; xsn(*p*fpass *t); xsn(*p* Fstop *t); a; % Első szűrő tesztelése bhd.numerator; yflter(b,a,x);yflter(b,a,x);fgure(); subplot(,,);stem(t,[x',y']);ttle('frst flter test wth Fpass frequency'); subplot(,,);stem(t,[x',y']);ttle('frst flter test wth Fstop frequency'); % Másod szűrő tesztelése bhd.numerator; y3flter(b,a,x);y4flter(b,a,x);fgure(); subplot(,,);stem(t,[x',y3']);ttle('second flter test wth Fpass frequency'); subplot(,,);stem(t,[x',y4']);ttle('second flter test wth Fstop frequency'); % Harmad szűrő tesztelése bhd3.numerator; y5flter(b,a,x);y6flter(b,a,x);fgure(3); subplot(,,);stem(t,[x',y5']);ttle('thrd flter test wth Fpass frequency'); subplot(,,);stem(t,[x',y6']);ttle('thrd flter test wth Fstop frequency'); ey-y3;ey-y5;e3y-y4;e4y-y6; Ee*e';Ee*e';E3e3*e3';E4e4*e4'

136 36 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A ód első részében a három szűrőhöz tartozó, a orább lépése során legenerált MATLAB ód található. Ezután létrehozun ét sznusz jelet. Az egy frevencája megegyez a szűrő F pass, a más a szűrő F stop frevencájával. Ezután, ezeet a sznusz jeleet használju a szűrő bemeneteént és megvzsgálju, hogy mlyen válaszoat apun. Végül számolju a apott válaszo özött ülönbséget, a ábrána megfelelően. Flter u[] - X + Flter e[] ábra. A apott válaszo ülönbsége. Végül, pedg meghatározzu enne a hbajelne az energáját a övetező összefüggés alapján: N [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]... [ ] [ ] E e e e + e e + + e N e N. Vesszü a hbajel négyzetét, am lényegében egy salárs szorzásna felel meg. Ezt a MATLAB esetében egyszerűen a ét vetor összeszorzásával érhetjü el. A apott eredmény az Equrpple tervezés módszer és -as szűrő foszám esetén ábrán látható. Frst flter test wth Fpass frequency x -3 Frst flter test wth Fstop frequency x ábra. Equrpple tervezés módszer -as szűrő foszám. A apott eredmény a Least-squares tervezés módszer és -as szűrő foszám esetén ábrán látható.

137 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 37 Second flter test wth Fpass frequency Thrd flter test wth Fpass frequency x -3 Second flter test wth Fstop frequency x -3 Thsrd flter test wth Fstop frequency x x ábra. Least-squar es -as szűrő foszám ábra. Equrppler 4-es szűrő foszám. A apott eredmény az Equrpple tervezés módszer és 4-es szűrő foszám esetén ábrán látható. A szűrő menete özött ülönbség, vagys a hba energája, pedg az alábbana megfelelően alaul. A számítás során az Equrpple tervezés módszerrel, -as foszámot választva megtervezett szűrő menetéhez hasonlítju a más ét módszerrel megtervezett szűrő menetét, mnd az F pass mnd, pedg az F stop frevencá esetén. E.596, E , E3.385, E4.65 Feladat Készítsen dszrétdejű sáváteresztő szűrőt az alábba alapján: Fs 48; % Samplng Frequency N ; % Order Fstop 7; % Frst Stopband Frequency Fpass 96; % Frst Passband Frequency Fpass ; % Second Passband Frequency Fstop 44; % Second Stopband Frequency Wstop ; % Frst Stopband Weght Wpass ; % Passband Weght Wstop ; % Second Stopband Weght dens ; % Densty Factor Végezzen változtatásoat a szűrő foszámát és a tervezés módszereet s változtassa. Hogyan hatna eze a változtatáso az ampltúdó és a fázs aratersztára, valamnt a csoport ésésre? Hasonlítsa össze az egyes szűrő válaszát egy adott bemenetre. Adja meg a menete özött hbajel energáját.

138 38 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR A megoldás menete Ebben a feladatban, fenteben megadott paramétereel rendelező sáváteresztő szűrőt ell észítsün. Itt s ugyanúgy járun el és ugyanazoat a teszteet végezzü el, mnt az előző feladat esetén. A szűrőtervező program (fdatool) beállítása a 6.4. ábrán látható ábra. Az fdatool beállítása a feladatna megfelelően. A megtervezett szűrő ampltúdó és fázsaratersztája, valamnt a csoportésleltetés a 6.4. és 6.4. ábrán látható Magntude (db) and Phase Responses Group Delay Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) 6.4. ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) 6.4. ábra. A csoport ésés. Tervezzü meg ugyanezt a szűrőt a Least-squares módszer segítségével s. Eor a apott ampltúdó és fázsaraterszta valamnt a csoportésleltetés a és a ábrán látható.

139 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK Magntude (db) and Phase Responses Group Delay Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) ábra. A csoport ésés. Tervezzü meg ugyanezt a szűrőt az Equrpple módszer segítségével, de 4-es foszámmal. Eor a apott ampltúdó és fázsaraterszta valamnt a csoportésleltetés a és ábrán látható Magntude (db) and Phase Responses Group Delay Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) ábra. A csoport ésés. Teszteljü a három, ülönböző paramétereel megtervezett szűrőt, az előző feladathoz hasonlóan. Itt azonban három ülönböző F stop, F stop, és F pass +(F pass -F pass ) frevencájú sznusz jelet használjun, és nézzü meg, hogy valóban csa a ét stop frevenca özött részt enged át a szűrőn. Az ezt megvalósító MATLAB ód a övetező.

140 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR % A megtervezett 3 szűrő MATLAB ódja % Teszteljü a megtervezett szűrőt: t:/fs:e-3; xsn(*p*fstop *t); xsn(*p* Fstop *t); x3sn(*p* (Fpass+(Fpass-Fpass)) *t); a; % Első szűrő tesztelése bhd.numerator; yflter(b,a,x);yflter(b,a,x);y3flter(b,a,x3);fgure(); subplot(3,,);stem(t,[x',y']);ttle('frst flter test wth Fstop frequency'); subplot(3,,);stem(t,[x',y']);ttle('frst flter test wth Fstop frequency'); subplot(3,,3);stem(t,[x3',y3']);ttle('frst flter test wth Fpass+(Fpass- Fpass) frequency'); % Másod szűrő tesztelése bhd.numerator; y4flter(b,a,x);y5flter(b,a,x);y6flter(b,a,x3);fgure(); subplot(3,,);stem(t,[x',y4']);ttle('second flter test wth Fstop frequency'); subplot(3,,);stem(t,[x',y5']);ttle('econd flter test wth Fstop frequency'); subplot(3,,3);stem(t,[x3',y6']);ttle('second flter test wth Fpass+(Fpass- Fpass) frequency'); % Harmad szűrő tesztelése bhd3.numerator; y7flter(b,a,x);y8flter(b,a,x);y9flter(b,a,x3);fgure(3); subplot(3,,);stem(t,[x',y7']);ttle('thrd flter test wth Fstop frequency'); subplot(3,,);stem(t,[x',y8']);ttle('thrd flter test wth Fstop frequency'); subplot(3,,3);stem(t,[x3',y9']);ttle('thrd flter test wth Fpass+(Fpass- Fpass) frequency'); ey-y4;ey-y7;e3y-y5;e4y-y8;e5y3-y6;e6y3-y9; Ee*e';Ee*e';E3e3*e3';E4e4*e4';E5e5*e5';E6e6*e6' A ábrán található az Equrpple tervezés módszerrel és -as szűrő foszámmal meghatározott szűrő válasza. Frst flter test wth Fstop frequency x -3 Frst flter test wth Fstop frequency x -3 Frst flter test wth Fpass+(Fpass-Fpass) frequency x ábra. Equrpple -as szűrő foszám. A ábrán látható eredmény a Least-squares tervezés módszer és -as szűrő foszám esetén.

141 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 4 Second flter test wth Fstop frequency Thrd flter test wth Fstop frequency x -3 Second flter test wth Fstop frequency x -3 Second flter test wth Fpass+(Fpass-Fpass) frequency x x -3 Thrd flter test wth Fstop frequency x -3 Thrd flter test wth Fpass+(Fpass-Fpass) frequency x ábra. Least-squares -as szűrő foszám ábra. Equrpple 4-es szűrőfoszám. A ábrán látható eredmény az Equrpple tervezés módszer és 4-es szűrő foszám esetén. A 3 ülönböző módszerrel megtervezett szűrő özött hba energája, a három ülönböző frevencájú bemenet jel esetén: E.65, E.9733, E3.5, E4.44, E5.6, E Feladat Készítsen dszrétdejű sávszűrőt az alábba alapján: Fs 48; % Samplng Frequency N ; % Order Fpass 7; % Frst Passband Frequency Fstop 96; % Frst Stopband Frequency Fstop ; % Second Stopband Frequency Fpass 44; % Second Passband Frequency Wpass ; % Frst Passband Weght Wstop ; % Stopband Weght Wpass ; % Second Passband Weght dens ; % Densty Factor Végezzen változtatásoat a szűrő foszámát és a tervezés módszereet s változtassa. Hogyan hatna eze a változtatáso az ampltúdó és a fázs aratersztára, valamnt a csoport ésésre? Hasonlítsa össze az egyes szűrő válaszát egy adott bemenetre. Adja meg a menete özött hbajel energáját. A megoldás menete Hasonlóan az előző ét feladathoz, tt s egy szűrőt, méghozzá egy sávszűrőt ell tervezn a fenteben megadott paramétereel, az fdatool segítségével. A tervezőprogram beállítása a 6.5. ábrán láthatóa.

142 4 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 6.5. ábra. A feladat megoldásához szüséges beállításo. A megtervezett szűrő ampltúdó és fázsaratersztája, valamnt a csoportésleltetés a 6.5. és a 6.5. ábrán láthatóa. 3.3 Magntude (db) and Phase Responses Group Delay Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) 6.5. ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) 6.5. ábra. A csoport ésés. Tervezzü meg ugyanezt a szűrőt a Least-squares módszer segítségével s. Eor a apott ampltúdó és fázsaraterszta valamnt a csoportésleltetés a és ábrán láthatóa szernt alaulna.

143 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK Magntude (db) and Phase Responses Group Delay Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) ábra. A csoport ésés. Tervezzü meg ugyanezt a szűrőt az Equrpple módszer segítségével, de 4-es foszámmal. Eor a apott ampltúdó és fázsaraterszta valamnt a csoportésleltetés a és ábrán látható módon alaul Magntude (db) and Phase Responses.59.5 Group Delay Magntude (db) Phase (radans) Group delay (n samples) Frequency (Hz) ábra. A szűrő fázs és ampltúdó aratersztája Frequency (Hz) ábra. A csoport ésés. Teszteljü a három, ülönböző paramétereel megtervezett szűrőt, az előző feladathoz hasonlóan három ülönböző frevencájú sznusz jellel a szűrőnél beállított frevencatartományona megfelelően. A ábrán található az Equrpple tervezés módszerrel és -as szűrő foszámmal meghatározott szűrő válasza.

144 44 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Frst flter test wth Fstop frequency x -3 Frst flter test wth Fstop frequency x -3 Frst flter test wth Fpass+(Fpass-Fpass) frequency x ábra. Equrpple -as szűrőfoszám. A ábrán látható eredmény a Least-squares tervezés módszer és -as szűrő foszám esetén. Second flter test wth Fstop frequency Thrd flter test wth Fstop frequency x -3 Second flter test wth Fstop frequency x -3 Second flter test wth Fpass+(Fpass-Fpass) frequency x x -3 Thrd flter test wth Fstop frequency x -3 Thrd flter test wth Fpass+(Fpass-Fpass) frequency x ábra. Least-squares -as szűrőfoszám ábra. Equrpple 4-es szűrőfoszám. A ábrán látható eredmény az Equrpple tervezés módszer és 4-es szűrő foszám esetén. A 3 ülönböző módszerrel megtervezett szűrő özött hba energája, a három ülönböző frevencájú bemenet jel esetén: E.7, E.6376, E3.6, E4.698, E5.5, E Feladat Készítsen FIR rendszert, am egy útszaaszon az perc alatt áthaladó járműve számát tartalmazó dősorból előállítja az 5 perc alatt áthaladt járműve számát tartalmazó sort.

145 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 45 A megoldás menete Tegyü fel, hogy van egy forgalmas út, ezen csa autó özleedne. Percenént feljegyezzü, hogy hány autó haladt el előttün. A megfgyelés eredménye a övetező:. perc:. perc: 7 3. perc: 4. perc: 5. perc: 3 6. perc: 8 7. perc: 4 8. perc: 8 9. perc: 4. perc: 8. perc: 4. perc: A feladatna megfelelően egy FIR szűrőt ell tervezn, am számolja az 5 percenént áthaladó autó számát. Felhasználva a dgtáls szűrő első feladatban bemutatott egyenletét a övetező MATLAB óddal megoldható a fent feladat: a; b[ ]; auto_szama[ ]; yflter(b,a,auto_szama) stem(y);grd; Itt tehát egy olyan FIR szűrőt ell tervezn, amely esetében az előző 5 bemenetet vesszü fgyelembe, mndegyet -es súllyal. A apott eredmény a 6.6. ábrán látható ábra. Percenént áthaladó autó száma ábra. Öt percenént áthaladó autó száma. Készítsün egy olyan FIR szűrőt s, amely segítségével az 5 percenént áthaladó autó számána átlagát lehet meghatározn. Ezt a feladatot megoldó MATLAB ód: a5; b[ ]; auto_szama[ ]; yflter(b,a,auto_szama) stem(y);grd; Az eredmény értéene grafus ábrázolása a 6.6. ábrán látható.

146 46 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Mndét esetben jól látható a szűrő 5-ös csoportésleltetéséne a hatása, ugyans 5 darab atuáls bemenet ell anna érdeében, hogy a szűrő menetén a helyes érté jelenjen meg. Egy más módszer a feladat megoldására. Az előbbeben megtervezett FIR szűrő (az 5 percenént az áthaladó autó számát összeadó) mpulzus válasza [ ]. Ha ezt onvolválju a bemenettel, aor megapju a szűrő menetét. A bemenet tt most az áthaladó autó száma. Tehát: h[ ]; u[ ]; yconv(h,u); Az autó 5 percenént átlagát számító FIR szűrő mpulzus válasza [/5 /5 /5 /5 /6]. Tehát: h[/5 /5 /5 /5 /5]; u[ ]; yconv(h,u); Feladat Feladat: zaj létrehozása és elemzése. Generáljun ét féle zajt, egyet normáls eloszlással és egyet Gauss-eloszlással, majd elemezzü a apott jeleet. Azt, hogy az X valószínűség változó normáls eloszlást övet, a övetező módon X Ν m, σ, ahol m a özépértéet, σ pedg a szórás négyzetét jelöl. A szotu jelöln: ( ) hozzá tartozó sűrűségfüggvény: f ( x) Specálsan, ha X Ν(,) ( x m) σ e. σ π, aor X-et standard normáls eloszlásúna (vagy sztenderd normáls eloszlásúna) nevezzü. A feladat megoldása A feladat megoldását végző MATLAB ód a övetező:

147 6. A JELEK SZŰRÉSÉT VÉGZŐ RENDSZEREK 47 N4; % Defne Number of samples Rrandn(,N); % Generate Normal Random Numbers Rrand(,N); % Generate Unformly Random Numbers fgure(); % Select the fgure subplot(,,); % Subdvde the fgure nto 4 quadrants plot(r); % Plot R n the frst quadrant grd;ttle('normal [Gaussan] Dstrbuted Random Sgnal'); xlabel('sample Number');ylabel('Ampltude'); subplot(,,); % Select the second qudrant hst(r); % Plot the hstogram of R grd;ttle('hstogram [Pdf] of a normal Random Sgnal'); xlabel('sample Number');ylabel('Total'); subplot(,,3);plot(r);grd; ttle('unformly Dstrbuted Random Sgnal'); xlabel('sample Number');ylabel('Ampltude'); subplot(,,4);hst(r);grd; ttle('hstogram [Pdf] of a unformly Random Sgnal'); xlabel('sample Number');ylabel('Total'); A színes és a fehér zaj dőfüggvényet és hsztogramjat a 6.6. ábra tartalmazza. 4 Normal [Gaussan] Dstrbuted Random Sgnal 3 Hstogram [Pdf] of a normal Random Sgnal 3 5 Ampltude Total Sample Number Sample Number Unformly Dstrbuted Random Sgnal Hstogram [Pdf] of a unformly Random Sgnal.9.8 Ampltude Total Sample Number Sample Number 6.6. ábra. Színes és fehér zaj dőfüggvénye és hsztogrammja. A 6.6. ábra első sorában az látható, hogy Gauss-os eloszlású a hsztogram, tehát bzonyos (a frevencához tartozó ampltúdó, az egyenáramú omponens) ampltúdó többször szerepelne a jelben. Az alsó sorban, pedg egy egyenletes eloszlású hsztogram látható, tehát az egyes ampltúdó nagyjából azonos számban szerepelne, a jelben. Keressü meg a Fourer transzformáltját ezene a jelene:

148 48 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR N4; % Defne Number of samples Rrandn(,N); % Generate Normal Random Numbers Rrand(,N); % Generate Unformly Random Numbers fgure(); % Select the fgure subplot(,3,); % Subdvde the fgure nto 4 quadrants plot(r); % Plot R n the frst quadrant grd;ttle('normal [Gaussan] Dstrbuted Random Sgnal'); xlabel('sample Number'); ylabel('ampltude'); subplot(,3,); % Select the second qudrant hst(r); % Plot the hstogram of R grd;ttle('hstogram [Pdf] of a normal Random Sgnal'); xlabel('sample Number');ylabel('Total');subplot(,3,4); plot(r);grd;ttle('unformly Dstrbuted Random Sgnal'); xlabel('sample Number');ylabel('Ampltude');subplot(,3,5); hst(r);grd;ttle('hstogram [Pdf] of a unformly Random Sgnal'); xlabel('sample Number');ylabel('Total'); N 48; X abs(fft(r,n));x fftshft(x);f [-N/:N/-]/N; subplot(,3,6),plot(f,x),xlabel('frequency / f s') X abs(fft(r,n));x fftshft(x);f [-N/:N/-]/N; subplot(,3,3),plot(f(4-:4+),x(4- :4+)),xlabel('frequency / f s') A apott eredményből, mely a ábrán látható tűn a nagy hasonlóság a hsztogram és az ampltúdó spetrum özött. Normal [Gaussan] Dstrbuted Random Hstogram Sgnal [Pdf] of a normal Random Sgnal Ampltude - Total Sample Number -5 5 Sample Number frequency / f s Unformly Dstrbuted Random Sgnal Hstogram [Pdf] of a unformly Random Sgnal Ampltude Total Sample Number.5 Sample Number frequency / f s ábra. Színes és fehér zaj Fourer transzformáltja.

149 7. Modulácó Ebben a részben rövden tárgyalásra erül néhány alapvető modulácós eljárás, mnt: a sznuszos ampltúdó modulácó folytonos dőtartományban, az ampltúdó modulácó a dszrét dőtartományban, a frevenca modulácó, valamnt megemlítésre erül az dőosztásos és a frevencaosztásos multplexelés elve. Számos esetben, módosítás nélül lehetséges a jeleet átvnn valamlyen átvtel csatornán eresztül. Az lyen átvtelt nevezzü alapsávon történő átvtelne, azonban napjanban rendelezésre állna más jelátvtel megoldáso s. Ezen megoldáso mndegye az átvtel előtt és után jelfeldolgozás feladatoat gényel. Az eljárás lényege, hogy egy determnsztus perodus jel valamely paraméterét módosítju az átvtelre erülő jel jellemzőne függvényében. Az eljárást modulácóna nevezzü. Az eljárás célja, hogy a hasznos nformácót hordozó jelet úgy dolgozzu fel, hogy az alalmas legyen az átvtel csatornán való továbbításra. Az átvtelre szánt jelet moduláló jelne, a determnsztus, perodus segédjelet hordozóna, míg az eljárás végén jelentező jelet modulált jelne nevezzü. Természetesen az átvtel után a vevő oldalon szüséges nyern az nformácót modulált jelből. A vevő oldalán elengedhetetlen egy olyan jelfeldolgozás folyamat alalmazása, mely a modulácó nverze. Ezt az eljárást demodulácóna nevezzü. Az eljárásoat végző eszözöet MODULÁTOR-na, vagy DEMODULÁTOR-na nevezzü. Azt a berendezést, amely mndét műveletet épes elvégezn egy étrányú csatornán, MODEM- ne nevezzü. Tehát a modulácó és demodulácó ét együtt járó eljárása a jelátvtelne. Napjanban számos modulácós eljárást smerün. Az eljárásoat elsősorban a modulált jel alaja alapján osztályozzu, így megülönböztetün folytonos és mpulzusos modulácóat. A folytonos modulácó esetében a sznuszos hordozójel három paramétere özül, ampltúdó, frevenca és fázs, módosítun valamt. Amennyben a moduláló jel módosítja a hordozó jel ampltúdóját, aor ampltúdómodulácóról (AM) beszélün. Amennyben a moduláló jel módosítja a hordozó jel frevencáját, aor frevencamodulácóról (FM) beszélün. Amennyben a moduláló jel módosítja a hordozó jel fázsát, aor fázsmodulácóról beszélün. A frevenca és fázs modulácóat szögmodulácóna hívju. Feladat 7... Határozzu meg az AM jel spetrumát. Legyen a hordozójel a övetező: x c (t) cos( c t + φ), a modauláló jel pedg: x(t). Az ampltúdómodulált jel eor úgy áll elő, hogy a hordozó jel ampltúdóját módosítju a moduláló jellel: y (t) (x(t) + B)cos( c t + φ). A továbbaban feltételezzü, hogy ϕ aor:

150 5 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR y (t) (x(t) + B) ejct +e jct F{y (t)} X j( c) + X j( + c ) + πb δ( c ) + δ( + c ) Az y (t) modulált jel spetrumából tűn, hogy amennyben B, aor nem jelen meg mpulzus a hordozó frevencáon. Eor hordozó elnyomásáról beszélün. 7.. ábra. A moduláló jel matemata ampltúdó spetruma. 7.. ábra. A modulált jel matemata ampltúdó spetruma. A 7.. és 7.. ábra mutatjá a moduláló x(t) és a modulált y (t) jel ampltúdó spetrumát, amennyben a moduláló jel sávorlátos b orláttal. A példát llusztrálju egy onrét jel AM modulálásával. Legyen a moduláló jel a π π sn( t) övetező: x(t) u(t) + u(t + ) + u(t ) ; u(t). 4 4 π t A jel spetruma és dőfügvénye ebben az esetben a 7.3. ábrán látható. X(j) π + cos >

151 7. MODULÁCIÓ ábra. A jel dőfüggvénye és spetruma. A modulált jel: y(t) ( x(t) + ) cos( πt) 7.4. ábra. A modulált jel dőfüggvénye és spetruma. Feladat 7... Jelölje az x m (t) a moduláló jelet, melyne spetruma orlátozód az ( m, + m ) frevencatartományra. Jelölje x c (t) cos( c t) a hordozójelet. Határozzu meg az c hordozófrevenca értéét úgy, hogy a modulált spetrum szélességéne és az c értééne aránya % legyen! Megoldás. Jelöljü x(t) vel a modulált jelet. Eor: x(t) x m (t) x c (t) x m (t)cos c t A moduláló jel és a modulált jel spetruma a 7.5. ábrán látható.

152 5 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 7.5. ábra. A moduláló és a modulált jel spetruma. A modulált jel sávszélessége: B c + m ( c m ) m A feladatban megadotta szernt: B %., c c. m m B Feladat Az x m (t) moduláló jelet egy cos (πf c t) alaú jellel szorozzu. A modulált jel enne megfelelően x(t) x m (t) cos (πf c t). Az így apott jelet demodulálju úgy, hogy szorozzu cos (πf c t + θ)-val. a) Határozzu meg az alulátáresztő szűrő menetén megjelenő jelet, ha bemenetére a modulált jelet vezettün! A szűrő feladata, a demodulált jelből emeln az alapsávban elhelyezedő moduláló jelet. b) Meora a θ értée ha a meneten megjelenő jel ampltúdója a maxmáls lehetséges ampltúdó 9% ell, hogy legyen? c) Ha az x m (t) spetruma f (,Hz) tartományban található, meora ell legyen f c legsebb értée, hogy az x(t) cos (π c t + θ) szorzatból az x m (t) moduláló jel emelhető legyen! Megoldás: Az alább ábrán a modulácós és demodulácós eljárás látható ábra. Modulácó és demodulácó. a) A modulácós eljárás leírható az x m (t) cos (πf c t), míg a demodulácót az alább módon írhatju le: x m (t) cos(πf c t) cos (πf c t + θ). Jelöljü x (t)-vel a demodulált jelet, eor az a övetezőépp alaul:

153 7. MODULÁCIÓ 53 x (t) x(t) cos(πf c t + θ) x m (t) cos(πf c t) cos (πf c + θ). A trgonometrus függvénye szorzatána összegere való bontása után: x (t) x m(t) cosθ + x m(t) cos (4πf c t + θ). cos (θ) Az x (t) demodulált jelne ét összetevője van. Az első a csllapított moduláló jel. A másod tag alajára való tentettel, szntén egy modulált jel amelyne hordozó frevencája f c. Az x (t) demodulált jelet az aluláteresztő szűrő bemenetére vezetjü. Szerepe az alapsávban lévő moduláló jel emelése a fent jelompozícóból. Enne megfelelően a menetén megjelenő x (t) jel alaja: x (t) x m(t) cosθ. Amnt látható mnd a modulácós mnd a demodulácós eljárás jele szorzatára vezethető vssza. Az így apott szorzatoat, az eljárásna megfelelően szűrő segítségével átdolgozzá a ívánt hatás elérése érdeében. Mvel a modulált jel spetruma nem tartalmazza a hordozó jel omponensét, ezt a modulácós eljárást elnyomott hordozójú ét oldalsávos ampltúdó modulácós eljárásna nevezzü. AM-DSB-SC. b) Tételezzü fel, hogy a demodulácós eljárás deáls, azaz θ. Eor az aluláteresztő szűrő menetén megjelenő jel: x (t) x m(t) cos θ x (t) x m(t) x max. Mvel a cos (θ) csöenő függvény a θ, π tartományban, a x (t) menő jel sebb lesz anna lehetséges legnagyobb értéétől. Amennyben x (t).9 x max feltételt ell elégíten, aor: x mn (t) x m(t) cosθ max. Az x.9 x max feltétel teljesítése érdeében bztosítan ell az: x m(t) cosθ max.9 x m(t). Az egyenlőtlenséget megoldva, a eresett θ érté cosθ max.9.45[rad]. c) A 7.7. ábrán az x (t) demodulált jel spetruma látható. θ max 7.7. ábra. Az x (t) demodulált jel spetruma.

154 54 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Az dőben analtus ala: x (t) x m(t) cosθ + x m(t) cos (4πf c t + θ) A 7.7. ábrán látható, hogy az alapsávban lévő spetrumösszetevő csa aor emelhető, ha az egyes spetrumösszetevő nem fed egymást, azaz f c KHz Hz. Az egyenlőtlenséget megoldva f c Hz és végül: f c Hz. Feladat Az x m (t) moduláló jelet az x(t) x m cos( c t) modulácós eljárás segítségével magasabb frevencatartományba helyezzü át. Amennyben az x(t) jelet egy cos (π(f c + f)t) loáls hordozójel segítségével demodulálju, majd az eredményt egy aluláteresztő szűrővel szűrjü, határozzu meg a szűrő menetén megjelenő jelet! Megoldás. A demodulácós és jel reonstrucós eljárás az alább ábrán adott ábra. Demodulácós és jel reonstrucós eljárás. Az pont jel alaja: x (t) x(t) cos(π(f c + f)t). Behelyettesítés után: x (t) x m (t) cos(π(f c + f)t) cos(πf c t). A sorozat összegre való bontása után: x (t) x m (t) + cos(π ft) + x m(t) cos(π(f c + f)t). Az aluláteresztő szűrő feladata, hogy az alap sávtartományoon ívül eső demodulált jelomponenseet elnyomja, az alapsávba esőet pedg emelje. Az elmondotta alapján a pont alaja x (t) x m(t) cos(π ft). Feladat A szögmodulácó. Adott a cos ( c t + φ(t)) alaú hordozójel. A perodus négyszög alaú φ(t) jel ampltúdó π és π. a) ábrázolju a cos( c t + φ(t)) jelet a φ(t) jel függvényében, ábrázolju a fázsszöget az dő függvényében, b) ábrázolju a frevencát az dő függvényében ha a φ(t) jel ampltúdó-értée π 3 és π 3. Megoldás: a) A φ(t) jel nélül a hordozójel egy egyszerű harmonus jel lenne c örfrevencával.

155 7. MODULÁCIÓ 55 Amennyben a φ(t) állandó, aor egy újabb perodus jelet apun bzonyos fázseltolással. Amennyben a fázsérté dőbe változ, aor a perodus jel pllanatny értée s változ majd a fázsérté változásána függvényében. A feladat megoldására alalmas SIMULINK acsolás a 7.9. ábrán található: modulálo jel Sgnal Generator *p *5 t Sne Wave Functon modulált jel Constant Product t Sne Wave Functon hordozó jel smout Cloc To Worspace 7.9. ábra. A SIMULINK modell. A hordozó a moduláló és a modulált jel a 7.. ábrán található: ábra. A hordozó, a moduláló és a modulált jel. A 7.. ábrán látható sznuszos jel a hordozó jel, a négyszögjel a fázs változását llusztrálja a özépső ábra pedg a modulált jel. A példában szereplő jel paraméter módosítást szögmodulácóna nevezzü. A szögmodulácós eljárásoat tovább ét csoportba osztju: fázs modulácó és frevenca modulácó, attól függően, hogy a fázsváltozás arányos-e a moduláló jellel, vagy pedg a

156 56 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR moduláló jel ntegráljától függ. Az első esetben fázs a másodban frevenca modulácóról beszélün. Mvel a példában szereplő esetben a φ(t) jel a moduláló jellel arányos, tt fázs modulácóról beszélün. A jel fázsa φ t, ahol a örfrevenca t pedg az dő. A pllanatny örfrevenca, vagys a szögsebesség dφ. Legyen α a perodus hordozójel argumentuma. Az dt argumentum egyenlő α t + φ(t). Enne dőszernt első derváltja a jel örfrevencáját adja, azaz dα (t) dt + dφ(t). Amor a fázsjel a π értéről az π dt 3 3 értére ugr, az első derváltja az ugrás helyén egy poztív Drac delta mpulzust fog tartalmazn amelyne magassága π. Amor a fázsjel π -ról π -ra ugr, első derváltja az ugrás helyén egy negatív delta mpulzust fog tartalmazn melyne magassága π. A 3 örfrevenca dőbel változását a 7.. ábra szemléltet. 7.. ábra. A örfrevanca dőbel változása. Feladat A övetező cos ( c t + sn( m t)) fázsmodulált jel esetében a moduláló jel perodus harmonus függvény. Ábrázolju a fázsmodulált jel spetrumát a 5.,., értéere! A megoldás menete: A modulált jel spetrumána meghatározásaor egy lehetséges megoldás a jel Bessel sorba fejtése. Az adott esetben a sor alaja az alább u(t) cos c t + sn( m t) J () cos( c t) + n J n () cos (( c ± n m )t) Amnt az látható, a sort végtelen so perodus jel összege alotja, amelye a hordozó jel örfrevencája örül helyezedne el. Mnden jel ampltúdója az n-rendű és argumentumú Bessel együtthatóval arányos. A Bessel féle együtthatóat vagy táblázatból, vagy analtus úton határozzu meg.

157 7. MODULÁCIÓ 57 A.5 értére a Bessel együttható értée a övetező: J.9385, J.43, J.36, J 3.6, J 4., J 5. A sor végessé tehető, ha bevezetjü azt a feltételt, hogy csa azon omponenseet vesszü fgyelembe, melye teljesítménye meghaladja a modulálatlan hordozójel teljesítményéne %-át. Az adott feltétel alapján az alább egyenlőtlenséget írhatju fel:. < J n (.5).. n,,. A fent feltétele csa a J.9385 együttható tesz eleget így a modulált jel alaja: u(t).9385 cos( c t). A szögmodulált jele spetruma dszrét jellegű, mnt ahogy azt a fent fejezés s mutatja. A spetrum szélességét a Bessel együttható értée határozza meg. Mnél nagyobb a argumentum, annál nagyobb a Bessel együttható értée s. Az értée növeedésével növeedne az egyes omponense teljesítménye s. Ha a omponens teljesítménye meghaladja a fent meghatározott rtérumot, aor, az már nem tenthető elhanyagolhatóna, és mnt jelentős omponens fog megjelenn a modulált jel spetrumána szélen, növelve ezzel a spetrum szélességét. A modullált jel fza spetruma a 7.. ábrán látható. 7.. ábra. A modulált jel fza spetruma. A. értére a Bessel együttható: J.67, J.4983, J.593, J 3.39, J 4.5, J 5.6, J 6.. Ebben az esetben s a fent említett rtérumot fogju alalmazn, így a modulált jel alaja: u(t).67 cos( c t) cos ( c t ± m t). Amnt látható a jelet három összetevő alotja: egy, amely a hordozó jelet írja le és ét omponens amelye a hordozó jel omponense örül helyezedne el a moduláló örfrevenca távolságában. A örnyező omponense ampltúdó a Bessel együttható értéétől függne. Mvel megnőtt a Bessel görbe argumentuma, ét újabb omponens jelent meg, amelyene teljesítménye nem tenthető elhanyagolhatóna a fent rtérumna megfelelően. A modulált jel spetruména szélessége BW u(t) ( c + m ) ( c m ) m. A fza spetrum a 7.3. ábrán adott.

158 58 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 7.3. ábra. A fza spetrum. A értére a Bessel együttható értée: J.459, J.435, J.546, J 3.584, J 4.96, J 5.34, J 6.45, J 7.67, J 8.379, J 9.99, J.75. A fent említett eljáráso alapján a modulált jel alaja u(t).379 cos ( c t ± 8 m t) ebben az esetben a fza spetruma a 7.4. ábrán adott ábra. A fza spetrum. Feladat A ommunácós csatorna használásána javítása érdeében gyaran alalmazun multplexelés (nyalábolás) eljárásoat. Az rodalomban megülönböztetün: frevencaosztásos, dőosztásos és hullámhosszosztásos multplexelés eljárásoat. Az dőosztásos multplexelés esetében több s sebességű forrásból beérező jelet továbbítun egy özös nagy sebességű csatornán eresztül. Sznron dőosztás esetén egy-egy forrás az átvtel csatornát örörösen csa egy-egy rövd dőszelet dejére apja meg. Az alább példa esetében egy 4 csatornás dőosztásos (Tme-Dvson Multplexng TDM) módszerrel műödő csatornanyalábolást alalmazó rendszert vzsgálun meg. Tehát a TDM rendszeren át 4 jelet továbbítun, melye legyene a övetező: x (t) cos( t), x (t).3 sn( t), x 3 (t) 3 cos( t), x 4 (t) sn(4 t). Feladat, hogy meghatározzu a szüséges legsebb mntavételezés frevencát egy jel esetében, valamnt határozzu meg a ommutátor sebességét fgyelembe véve, hogy mnden jelet azonos frevencával mntavételezün!

159 7. MODULÁCIÓ 59 A megoldás menete: A TDM átvtel rendszert a 7.5. ábra szemléltet ábra. A TDM átvtel rendszer. A jeleet átvtele folyamán egy multplexer(mux) segítségével sorra mntáat veszün a bemeneteből és egy jelbe tömörítve átvezetjü azoat a hírözlő csatornára. Az így létrehozott jelet a csatorna az átvtel aratersztája alapján módosítja. Mután a jelet az átvtel rendszeren át továbbítottu, egy demultplexer (DEMUX) segítségével a mntáat a megfelelő menő csatorna bemenetére válogatju. Az egyes análso bemenetén elhelyezett aluláteresztő szűrő a bemenetére jutó mntá alapján reonstruálja az analóg jelet. Ha az átvtel elején a mntavételezés törvényne eleget tettün és a csatorna átvtel aratersztája G(j), aor az aluláteresztő szűrő menetén a torzításmentes analóg jelet apju vssza. Az átvtelre szánt jele alapján látható, hogy az x 4 (t) jel frevencája a legnagyobb, 4. Ez azt jelent, hogy a mntavételezés frevencána egy jel esetében legalább étszer nagyobbna ell lenne ennél a frevencánál, azaz f s 4 π f s 8 π. A ommutátor frevencája alatt a örbeapcsoló loga frevencáját értjü. Mvel 4 csatorna nyalábolásáról van szó, így a apcsolás frevenca f K 4f s. A művelet llusztrácója a 7.6. ábrán látható.

160 6 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 7.6. ábra. A négy cstorna nyalábolásána llusztrácója. A nem töéletes sznronzácóból eredően az átvtelben hbá léphetne fel. A sznronzácó lényege, hogy a bemenet csatornán megjelenő jel a ne megfelelő menet csatorna menetén jelenjen meg. Amennyben ez nem serül, aor megtörténhet, hogy a ommutátor a jelet rossz csatornára továbbítja, esetleg az egy csatorna átvtel dejéne egy része a szomszédos csatornára tevőd át. Ezt a jelenséget a híradástechnában áthallás jelenségéne nevezzü, mert egy csatorna menetén hallan lehet a más csatorna jelét s. Feladat Egy TDM rendszeren át 3 jelet továbbítun, melye legyene a övetező: x (t) cos( t), x (t).3 sn( t), x 3 (t) 3 cos( t), ahol f 5[Hz], π f. Határozzu meg ommutátor frevencáját! Megoldás: Tételezzü fel, hogy a jele alap sávtartományban defnálta. A ommutátor frevencája a csatornaszám és a mntavételezés frevenca szorzata. Tehát f 3f S, f S [Hz] [Hz], így f 6[Hz]

161 8. A mntavételezés Ebben a fejezetben bevezetésre erül az analóg (folytonos) jele mntáal való reprezentácója és a mntavétel tétel, valamnt a folytonosdejű jel vsszaállításána technája. Példáon eresztül érzéeltetjü mnd a mntavételezés mnd a vsszaállítás mechanzmusát. 8.. Az analóg jele mntavételezése Legyen a mntavételezendő jel: x ( t) p (t) δ, tentsü a övetező mpulzus sorozatot (t T), eor az dő tartományban mntavételezett jel előállítható mnt: t nt y(t) x(t)p(t) x(t) δ(t T) y(t) x(nt) δ(t nt) t nt Grafus ábrázolva a 8.. ábrán látható az analóg jel, az mpulzus sorozat és a mntavételezett jel. A mntavételezett jel csa a mntavétel dőpontoban értelmezett. x(t) δ y(t) t t 8.. ábra. Az analóg jel mntavételezése. t Feladat 8... Legyen az analóg jel a övetező szernt meghatározott: x(t) u(t) + u(t 4 π π sn( t) + ) + u(t ) ; u(t) 4 π t,

162 6 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR X(j) P(j) Ω Ω Ω Ω Y(j) Ω Ω Ω Ω Ω Ω+ Ω Ω ábra. Az analóg és mntavételezett jel spetruma. A mntavételezett jel az dő tartományban: π y(nt) u(nt) + u(nt + ) + u(nt 4 4 sn( nt) u(nt) δ(t nt) ; π nt π ) δ (t nt) ; y(t), ha t nt Most vzsgálju meg a mntavételezés hatását frevencatartományban: F{ y(t) } Y(j) F{ x(t)p(t) } X(j) P(j) π P(j) Ω Ahol: δ( Ω) π ; Ω T Y(j) X(j) P(j) X(j) Ω δ( Ω) π π X[ j( Ω) ] T T X(j) δ( Ω) Grafusan ábrázolva a 8.. ábrán látható, hogy a orlátos spetrumú analóg jel spetruma mntavételezés után peródusan megjelen a mntavétel frevenca peródusával. Amennyben a mntavételezés eleget tesz a mntavétel törvényne, mszernt a mntavételezés frevencája a orlátos spetrumú analóg jel felső orlátjána legalább étszerese, azaz Ω, aor a mntavételezett jelből, nformácó vesztés nélül, sávszűrő segítségével vsszaállítható az eredet jel. A frevenca orlátot gyaran nevezzü Nyqust

163 8. A MINTAVÉTELEZÉS 63 frevencána Ω N. Amennyben a mntavétel törvény nem teljesül átfedés, alas jelentez a frevenca tartományban, mnt ahogy a 8.3. ábra s mutatja. X(j) P(j) Ω Ω Ω Ω Y(j) Ω Ω Ω Ω Ω 8.3. ábra. Az alas hatás. Feladat 8... Határozzu meg a zérusredű tartószerv átvtel függvényét. Az átvtel függvény meghatározásához szüséges a Laplace transzformácó alalmazása. x t jel étoldal Laplace transzformácója meghatározható mnt: Egy ( ) st X(s) x(t)e dt { x(t) } L, ahol s σ + j ábra. Az deáls mntavételező Az deáls mntavételező menete a bemeneten megjelenő analóg jel értée a mntavétel dőpontban. f t, menete pedg Legyen a mntavételező bemenete ( ) f * ( t). Eor a Drac mpulzus sorozattal mntavételezett jel meghatározható mnt: (t) f (T ) δ(t T ) f () δ(t) + f (T ) δ(t T ) + f (T ) δ(t T ) + * f Ts T s Az dőben eltolt mpulzus Laplace transzformáltja: { } F Eor : { } L δ ( t T ) e ( e ) * * T s Ts Ts (s) L f (t) f (T )e f () + f (T )e + f (T e ) +

164 64 JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR 8.5. ábra. f(t) analóg jel deáls mntavételezése ábra. A nulladrendű tartószev menete. Egy auzáls f(t) analóg jel mntavételezése T mntavételezés peródussal, deáls mntavételező apcsoló alalmazásával található a 8.5. ábrán. Amennyben a mntavételezett jelet nulladrendű tartószerv bemenetére vezetjü, az a menetén megtartja a mntavétel jelértéet a övetező mntavételg. A 8.6. ábra a nulladrendű tartószerv menet jelét ábrázolja, abban az esetben, ha a bemenet a 8.5. ábra szernt sorozat. A nulladrendű tartószervet dőtartományban az m (t) f (T )[ ( t T ) ( t ( ) T )] összefüggéssel adhatju meg, ahol ( t) + egységugrás függvény. Enne Laplace-transzformáltja: T s (+ )T s T s Ts M (s) f ( T ) [ e e ] f ( T ) e [ e ]. Mvel: F (s) s s Ts M(s) e így a zérusrendű tartószerv átvtel függvénye: H(s) * F (s) s az f (T )e * Ts

165 9. A jelfeldolgozás néhány alapvető módszere Ebben a fejezetben bemutatásra erül az A/D (analóg/dgtáls)és D/A (dgtáls/analóg) átalaító műödése és típusa. A vantálás zajmodellje. A véges regszterhosszúság hatás a jelfeldolgozás pontosságára. 9.. A/D átalaítás Az Analóg/Dgtáls átalaítás fontos lépése a vantálás. Kvantálás esetében a függvény értéészletét véges számú dszrét értéere osszu. Ez a felosztás lehet egyenletes, lneárs 9.. ábra. Lneárs vantálás. 9.. ábra. Lneárs vantálás. f jelne. Amennyben a nulladrendű tartószerv menetén jelentező jelet vantálju, dgtáls jelhez jutun. Az lyen jelet ábrázolja a 9.. ábra. és lehet nemlneárs s. A 9.. ábra egy lneárs vantálás lehetőségét ábrázolj az ( t) 9.3. ábra. Az A/D átalaítás hatásvázlata. Az Analóg-Dgtáls (A/D) átalaítás hatásláncána utolsó lépése a vantált jelértée ódolása. A ódolás dgtáls jelfeldolgozás esetén valamely dgtáls számábrázolással történ. Az deáls A/D átalaító a valóságban nem megvalósítható. Enne több oa s van, például: a valós folytonos jele sosem teljesen sávorlátosa, az deáls szűrő nem megvalósíthatóa. Az deáls A/D átalaító a valóságban csa approxmálhatóa. A valóságban az analóg-dgtáls átalaító tervezése és megvalósítása számos megoldandó érdést vet fel. j A H ( e ) (LP, Low Pass) aluláteresztő szűrő feladata, hogy a mntavételezés törvény alapján határolja az analóg jel spetrumát frevencára, ahol a mntavételezés