ORTOGONÁLIS GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTAHÁLÓZAT LÉTREHOZÁSA TETSZŐLEGES PEREMPONTOKKAL ADOTT MERIDIÁNCSATORNÁK ESETÉN. Könözsy László Ph.D.

Átírás

1 ORTOGONÁLIS GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTAHÁLÓZAT LÉTREHOZÁSA TETSZŐLEGES PEREMPONTOKKAL ADOTT MERIDIÁNCSATORNÁK ESETÉN. BEVEZTÉS Könözsy László Ph.D. hallgató Msolc Egyetem, Áramlás- És Hőtechna Gépe Tanszée Jelen cben egy ortogonáls görbevonalú hálózatgeneráló eljárást mutatun be, amely egy ésőbb ét-dmenzós turbulens áramlás probléma [,] adatrendszerét szolgáltatja. A merdánmetszetet határoló ét ontúrt az (r,z) síon dszrét pontoal adju meg, és smító eljárást [] alalmazun, mert a dszrét pontoban megadott függvény értéet ülönböző ooból származó véletlenszerű hbá terhel. A smított pontobel első- és másod derváltaat [] számítju, és a apott pontora Hermte polnomot llesztün. A eresett görbevonalú oordnáta-vonala dszrét pontjat az egymást övető ontúro özé beírható örö özéppontja határozzá meg. A apott beírható örö özéppontjat smét smítju, számítju a pontobel első és másod derváltaat, és ezere smét Hermte polnomot llesztün. Az eljárást addg folytatju, ameddg számunra edvező mennységű tengelyrányú oordnáta-vonalat apun. Ezután az smert ránymezőből az ortogonáls trajetórá számítható.. A SIMÍTÁS ALAPEGYENLETEI Az n nem egyenözű z,... n- (z < z + ) pontoban adotta az η, η,..., η n- smítandó függvényértée, és eressü az r, r,..., r n- smított függvényértéeet, amelye mnmalzáljá a övetező S összeget, ahol (n > m): n ( m ) S m n = ( δ r ) + ε ( = r η ), = és ezt az összeget mnmalzáló r értérendszert a S = r szüséges feltétel alapján eressü meg. A mnmumot eredményező r ( =,..., n ) értéene ell elégítenü az alább lneárs algebra egyenletrendszert:

2 ahol m δ m r m ε ε η r a l r = + = =, l l + Π ( ) + j j= j δ m δ δ m r m r r = + + m a -ad m-ed rendű osztott dfferenca és δ r r. A lneárs algebra egyenletrendszer együtthatót az a l max m m = z ) z ) + j + + Π Π l ( + l ) + j δ ε (5), l mn j= j= j j összefüggés alapján számíthatju, ahol a Kronecer-szmbólum δ =, ha l = l, és δ =, ha l, valamnt a l =, ha [ + l < ] vagy [ + l > n ]. Az ndexe a övetező határo özött érvényese: [ < n ], [ m m], l, [ m ], [ ( ) < n ], [ ( ) + m< n ] és [ j = l+ m ]. Az, épleteben szereplő ε smítás paraméter értée pontról pontra változhat, vagy a smítás folyamán állandó érté lehet, amt úgy célszerű megválasztan, hogy a n K = r = ( η ) smított és a smítandó ponto ülönbségéne négyzetösszege s érté legyen.. AZ ELSŐ- ÉS MÁSODIK DERIVÁLTAK SZÁMÍTÁSA A dszrét pontobel első- és másod derváltaat a Newton-polnom alalmazásával, öt ponton átmenő negyedfoú parabola segítségével számítju. Az első öt ponttól az utolsó öt pontg a övetező formula érvényes:

3 P ) = r r z ) r z ) z ) r z ) z ) z ) r z ) z ) z ) z ) = = r + z ) δr + z ) r z ) [ r r z ) + δ + δ + + ] = = p z + p z + p z + p ), (6) ahol p z = δ r r z ), p z r + = δ + p z ( ), + p z = δ r + p z ( ), r + z = p z r p z = + ( ), amelyeből az első- és másod derválta származtatható: p z = δ r, p z = p z + p z z z ( ), + p z = p z + p z z ), r z = p z = p z + p z z z + ( ), p z =, p z = p z + p z z ), + p z = p z + p z z ), r z = p z = p z + p z z z + ( ). Az utolsó öt pontban pedg a övetező összefüggés érvényes: Q ) = r r z ) r z ) z ) r z ) z ) z ) + r z ) z ) z ) z ) = (7) = r + z ) δr z ) r z ) [ r r z ) + δ + δ ] = = q z + q z + q z + q ahol q z = δ r r z ), q z r = δ q z ( ) +, q z = δ r q z ( ) +, r z = q z r q z = + ( ), amelyeből az első- és másod derválta származtatható: q z = δ r, q z = q z + q z z z ( ), q z = q z + q z z ), r z = q z = q z + q z z z ( ),

4 q z =, q z = q z + q z z ), q z = q z + q z z ), r z = q z = q z + q z z z ( ).. A HERMITE-POLINOM ALKALMAZÁSA A smított pontoban smerjü a pontbel első- és másod derváltaat, amelyere hat feltételt elégítő ötödfoú Hermte polnomot llesztün. Az ( r ) és az ( r ) pontoon átmenő H) Hermte polnom a H ) = r és + + H ) = + r, valamnt a = + H ) r és H ) = + r + feltételene eleget tesz: Hz ( ) = r r z ) r z ) r z ) r z ) z ) r z ) z ), + (8) δ δ δ δ [ ] [ ( ) ( ) ( ) ( ), ] δ 6δ δ [ ] [ 6( )( ) + ( ) ( ) ( ) ], H ) = r + r z ) + r z ) + r z ) z ) + z ) r z z + z z + + H ) = r + r z ) + r z ) z ) z ) 5 r z z ahol δr = r, δ r = r, δ r r r r r = ( ) ( ) ( + ), δ r r r r r r = ( ) ( + ) + ( + ), δ 5 r r r r r r r = ( ) ( ) ( + ), valamnt az adott pontbel görbület a övetezőéppen számítható: gz = [ + H z ] + (9) H z. /

5 5. KÉT KONTÚR KÖZÉ ÍRHATÓ KÖR KÖZÉPPONJÁNAK SZÁMÍTÁSA Az. ábra alapján a övetező egyenlete érvényese az r smeretlenere, ha ét tetszőleges ontúr özé beírható ör özéppontját eressü egy rögzített z érté mellett: tgα r z H z = ( ) = ( ) = r H ), tgα r z H z = ( ) = ( ) =, H ) r z ) [ H ) r ] z ) + = + [ H ) r ]. A -- egyenleteet zérusra rendezve: [ ] [ ] [ ] f ( r ) = H ) r H ) + z z =, (5) f ( r ) = H ) H ) r z + z =, (6) f ( r ) = z z + z z ) + r H ) H ) H ) + H ) =. (7) A megoldás özelítő értéet a övetező egyenletrendszer alajában eressü: D t = f r, ( =,,), (8) ahol r az (+)-ed terácós lépésben: r ( + ) = t + r ( + ) = t + z ( + ) = t ( ) + z ( ), és a leállás feltétele pedg a övetező: r ( + ) r ( ) <Θ and z ( + ) z ( ) <Θ and z ( + ) z ( ) <Θ.

6 5 Az (r,z) merdánsíon található tengelyrányú görbevonalú oordnáta-vonalaat ét egymást övető ontúr özé írható örö özéppontja határozzá meg, amelyeet smítun, számítju a pontbel első- és másod derváltaat, és a ponthalmazra Hermte polnomot llesztün.. ábra Két ontúrgörbe özé írható ör 6. AZ ORTOGONÁLIS TRAJEKTÓRIÁK MEGHATÁROZÁSA Az (r,z) merdánsíon található tengelyrányú görbevonalú oordnátavonala mentén smert az ránymező, mert mnden pontban smert az első- és másod dervált értée. Az első lépésben elndulun a választott -ad oordnátavonalra merőleges ránnyal a övetező +-ed oordnáta-vonalg, és a apott távolságot megfelezzü. A felezés pontból a +-ed oordnáta-vonalra merőleges ránnyal haladun tovább a +-ed oordnáta-vonal metszéspontjág. A apott pontot az ortogonáls-trajetóra pontjána tentjü. Ezt az eljárást a merdánmetszetet határoló ét peremgörbe özött végezzü, és a apott ortogonáls-trajetóra pontora smét Hermte polnomot llesztün. A -ad ontúrra merőleges rány: tgγ = H tr =, (9) H ) ezért az egyenes egyenlete alapján a övetező egyenletet ell megoldan: f z = tgγ z ) + H ) H z = és f z = tgγ H z =. + + Az smeretlen z értééne meghatározása Newton-Raphson módszerrel történ, vagys z ( + ) z ( ) f z =, és az terácó leállás feltétele z ( + ) z ( ) < Θ. f )

7 6 A felezés pont oordnátá a z + ( + ) H ) + H z ( + ) + = és r z ( ) = összefüggése alapján számítható. Legyen z = z ( + ), így a +-ed ontúron a merőleges rány: tgγ = H ( ) tr z =, H ) + ezért az egyenes egyenlete alapján a övetező egyenletet ell megoldan: f ) = tgγ z ) + r ) H ) =, + f ) = tgγ H ) = +. A z smeretlen számítása smét Newton-Raphson módszerrel történ. A övetező lépésben új értéet vesz fel, és z = z lesz. A trajetóráat célszerű a özépvonaltól ndítan. 7. KONKLÚZIÓK A fent tárgyalt ortogonáls görbevonalú oordnáta-hálózat generáló eljárás alalmas egy olyan geometra adathalmaz létrehozására, amely ésőbb felhasználható egy adott áramlástechna probléma dszretzált egyenletene megoldása során. Az eljárás előnye, hogy az adott merdánmetszet ét peremgörbéjét ellő mennységű dszrét ponttal ell megadn, ezért specáls geometrájú merdáncsatorná cellára bontására s alalmas, mert nem szüséges a ontúrgörbé analtus egyenleténe smerete, mnt a hagyományos módszere esetén. A számításo végeredményeéppen a cellára bontott merdánmetszet mnden pontjában az első- és másod dervált, valamnt a görbület vszonyo numerusan smerte. Az eljárás számítástechna szempontból gyorsan vtelezhető és hatéonyan bővíthető, ezért a mérnö gyaorlatban önnyen alalmazható. A szerző ezt az eljárást egy perempontjaval adott félaxáls vízgép merdánmetszete esetén tesztelte egy saját észítésű C/C++ ód segítségével, amelyne eredményet a. ábra mutatja [5].

8 7. ábra Ortogonáls görbevonalú oordnátahálózat egy félaxáls vízgép merdánmetszete esetén HIVATKOZÁSOK [] T. Czbere: Mechansche Ähnlchet Der Turbulenten Flüssgetsströmungen, Publ. Unv. of Msolc. Seres C, Mechancal Engneerng. Vol. 5. (999) pp. -. [] A. Faras - G. Janga - H.J. Kece - R. Praetor - Sz. Szabó - B. Wunderlch: Untersuchung Der Turbulenten Ebenen Strömung In Enem Gerümmten Kanal, mcrocad', Internatonal Computer Scence Conference, Msolc,. [] A. Nyír: Smoothng of Emprcal Functons (n Hungaran), Alalmazott Matemata Lapo, Bp. 6, 98. [] A. Nyír: Soluton of the Three-Dmensonal Flow n the Bladed Space of a Hydraulc Machne Based on Potental Theory (n Hungaran), D.Sc. Thess, Msolc, 99. [5] András Nyír - László Könözsy: A Computatonal Method for Trajectores on a Merdonal Secton the Boundares of Whch are Gven by Dscrete Sets of Ponts, Acta Mechanca Slovaca, /, pp. 7-.