Integrálszámítás. b a. (f) az integrálszámítást felhasználhatjuk területszámításhoz, átlagérték számoláshoz

Átírás

1 IV Integrálszámítás H ismert z egyváltozós f() függvény, differenciálhtju, hogy megpju pontonénti változásán sebességét, df/d mennyiséget Enne folymtn fordítottj (inverze) z integrálás, mior derivált ismeretéből ívánun függvényre öveteztetni Az integrálot átlgoláshoz, átlgértée és özépértée számításához hsználju leggyrbbn Foglm () vlmely f() függvény htároztln integrálj minden olyn F() függvény, melyne deriváltj z dott f() függvény; jelölés: f ( ) d = F( ) + c (b) z F() függvényt z f() függvény primitív függvényéne (htároztln integrálján) nevezzü z (,b) véges vgy végtelen intervllumon, mennyiben differenciálhánydos (deriváltj) ezen intervllum minden pontjábn f() (c) z integrálndó függvény neve integrndus (d) Newton Leibniz formul értelmében htározott integrálo számítás övetezőéppen történhet: ( ) d = [ F( ) ] b b f = F( b) F( ) + +, Af A (e) z integrálás mint lineáris operátor: ( f g) d = fd gd ( Af + Bg) d = A fd B gd + d = fd és (f) z integrálszámítást felhsználhtju területszámításhoz, átlgérté számoláshoz b ( t = fdt /( b ) ), négyzetes özépérté számoláshoz, ívhossz számoláshoz, térfogt és felszín számításához, súlypontszámításhoz (g) lpvető függvénye integrálfüggvényei függvény, y() f ( ) d függvény, y() A, onstns A + c sin(+b) n + n cos(+b) + c, n n + / ln + c tg(+b) e e + c e e + c f ( ) d + sin cos + c sh ch + c cos sin + c cos( + b) + c sin( + b) + c ln cos( + b) + c sin + c tg + c 9

2 Mintfeldto A fenti táblázt segítségével htározzu meg övetező ifejezés htároztln integrálját: cos() sin( ) Megoldás: A tábláztbn cos( ) d = + c szerepel Jelen esetben =, így sin cos d = + c A fenti táblázt segítségével htározzu meg övetező ifejezés htároztln integrálját: sin( + ) cos( + b) Megoldás: A tábláztbn zt tlálju, hogy sin( + b) d = + c Jelen cos( + ) esetben = és b =, így sin( + ) d = + c t + t Számítsu i övetező htározott integrált: dt t + t + f ( ) Megoldás: Tudju, hogy d = ln f + c Enne segítségével már önnyen f ( ) 4 4 megoldhtó feldt: dt = [ ln t + t + ] = ln8 ln, 8 t + t t + t + 4

3 Gyorló feldto d Számíts i övetező htároztln integrálot: () (d) cos d ; (e) e d ; (f) (i) e d e d ; (b) d ; (g) + d Számíts i övetező htározott integrálo értéét: () d ; (b) π (d) sinθ dθ ; (e) e d ; (f) d Adj meg övetező htározott integrál értéét: I = e d Htározz meg, hogy mivel egyenlő tg d Adj meg z y = függvény átlgos értéét intervllumon ; (c) d ; ; (h) d; Htározz meg z y = és z y = görbé áltl htárolt síidom területét! 4 d b ; (c) ; d Egy m tömegű rugó esetében legyen itérítéssel () rányos visszhúzó erő, f, itérítéssel lineárisn rányos (Hooe-törvén, zz f =, hol z ún rugóállndó Adj meg rugór vontozó V() potenciálfüggvény lját, mennyiben tudju, hogy potenciál első deriváltján -szerese (visszhúzó) erő A grvitáció htás ltt szbdon hulló m tömegű testre F = mg, lefelé muttó irányú erő ht Integrálszámítás segítségével htározz meg, meor munát végez grvitáció ezen testen, mennyiben h mgsságból hulli le test és Δ W f ( ) Δ Különbözi-e ettől munától test h mgsságú, grvitáció ellenében végzett megemeléséhez szüséges mun? Két, egymástól távolságbn lévő, q, illetve q töltésű részecse özött Coulombtörvény értelmében váumbn F( ) = erő ht, hol ε qq váum permittivitás () Htározz meg zt munát, mely ezdetben egymástól végtelen (4πε ) távolságbn lévő, zonos töltésű részecsé egymástól távolságr történő összehozásához szüséges (b) Milyen ölcsönhtást jellemző eletroszttius potenciál lj? Mennyi mun ell hhoz, hogy ideális gázt izoterm módon V térfogtról V/ térfogtr nyomjun össze?

4 A pv m = RTZ állpotegyenlettel (Vm moláris térfogt és Z egy ompressziós tényező) jellemezhető gáz fugcitási együtthtój megdhtó, mint p Z ln γ = dp A p ( V m b) = RT állpotegyenlet esetére mutss meg, hogy p bp Z = + és ezután dj meg γ ( p, T ) függvényt RT Egy egyenes vonlú mozgát végző részecse t időpillntbeli sebessége v = t Adj meg t = és t = időpillnto özött részecse áltl megtett utt Egy enyhén nemideális gáz esetében vn der Wls állpotegyenlet lj n p + ( V nb) = nrt V Adj meg zot ifejezéseet, melye leírjá gáz áltl végzett munát, mennyiben z V -ről V térfogtr tágul () állndó nyomás és (b) állndó hőmérsélet mellett Mennyi munát ell végeznün, hogy V ( ) = e potenciál minimumhelyén lévő tömegpontot végtelenbe elvigyü? (A biztonság edvéért ellenőrizze z energimegmrdás segítségével számoltt!) Jvsolt irodlom Bárczy Brnbás: Integrálszámítás, Műszi Könyvidó, 97

5 IV Prciális integrálás Prciális integrálás llmzásávl egy szorzt lú függvény integrálását övetező módon végezzü el: dv du u d = uv v d d d A lényeg, hogy mennyiben szorztfüggvény egyi tgj deriváltfüggvény, úgy ezen derivált helyett áttérhetün mási függvény deriváltjár z integrálszámítás során, mennyiben zt formulát hsznosbbn ítéljü A differenciálszámítás ismert szbályi segítségével prciális integrálás szbály önnyen levezethető, illetve megjegyezhető: d d du dv dv d du ( uv) = v + u u = ( uv) v d d d d d Mintfeldto Htározzu meg övetező integrált: I = e sin d Megoldás: Allmzzu prciális integrálást z u = e és v = sin válsztásol Eor u = e és v = cos / lpján e cos e cos e sin d = + d = e cos + e cos d Ismét prciálisn integrálun, most z u = e és v = cos válsztásol Eor u = e és v = sin / lpján e sin d = e sin e sin d, zz I = 9 e cos + e sin e sin d Az egyenlőséget rendezve ( eresett 4 4 integrál mind bl, mind jobb oldlon előfordul) megpju eresett végeredményt: e I = ( sin cos ) + C Gyorló feldto Htározz meg övetező integrál értéét: I = e d Htározz meg övetező integrál értéét: I = e d Htározz meg övetező integrál értéét: I ln ( ) = d

6 IV Helyettesítéses integrálás A helyettesítéses integrálás differenciálszámításnál megismert láncszbály integrálási megfelelője Ngyon fontos megjegyezni, hogy htározott integrál esetén helyettesítés öveteztében z integrálási htáro vátozhtn A techni hsználtát legegyszerűbb példáon eresztül szemléltetni Mintfeldto,7 + d dz Megoldás: Végezzü el z = + helyettesítést Eor =, zz d = dz / d,7,7,7 z + Tehát, z z + ( ) d = c = + c,7, 7 Adju meg övetező ifejezés htároztln integrálját: ( ) Gyorló feldto Számolj i z R sugrú ör területét helyettesítéses integrálássl (Segítség: érdemes ör negyedéne területét számolni, ör egyenlete R = + y, és z integrál iszámolásához érdemes z Rsin ( u) = éplettel definiált helyettesítést llmzni 4

7 IV Integrálás prciális törtere bontássl Mintfeldto Adju meg övetező ifejezés htároztln integrálját: d + Megoldás: Végezzü el nevező felbontásávl z integrálndó függvény ét tgr A B + C bontását: = = + = A( + ) + ( B + C), zz A =, + ( + ) + B = és C = Tehát, Gyorló feldto d = = + + d ln ln + + c Prciális törtere bontássl számolj i övetező integrált: I = d + + 5

8 IV4 Integrálás sorfejtéssel Foglm H z integrálndó függvény f ( ) = c lbn írhtó fel (például özelítően), + úgy f ( )d = c d, zz f ( )d = c Ez z integrálási techni or + műödi, h sor onvergens Gyorló feldto Láss be htvány- ( ) + ( ) Tudju, hogy cos( ) = és sin ( ) = = ( )! = ( + )! soror vontozó integrálási szbály segítségével, hogy cos( ) sin ( ) d = + c 6

9 IV5 Ívhossz és ívhosszintegrál Foglm Amennyiben z y = f() függvény z [,b] intervllumon folytonos és differenciálhtó, továbbá differenciálhánydos orlátos, úgy z és b bszcisszá áltl htárolt b vonldrb ívhosszát z s = + y d htározott integrál dj Ez tuljdonéppen megfelel egy slárfüggvény integrálján egy megdott görbe mentén A éplet helyessége önnyen beláthtó, mint felidézzü, hogy ds = d + dy = + ( y ) d () Amennyiben görbe prméteres egyenletrendszerrel ( = (t) és y = y(t)) dott, t úgy s = & + y& dt t (b) H görbe (síbeli) polároordinátál dott, úgy s = r + r& dφ A leírtn mindenben megfelelően lehet iszámítni egy térgörbe ívhosszintegrálját, mely egy slárfüggvény (pl ϕ ( r ) = ϕ(, ) integrálás egy C görbe mentén Az ívhossz integrál: B A I = ϕ(, ds Sí görbére ds ismerete lpján zt írhtju, hogy C I = ϕ (, y( )) + y d Amennyiben r(t) dj g görbe prméteres egyenletét t B d dy ( = (t) és y = y(t) ), úgy I = ϕ ( ( t), y( t)) + dt dt dt Mintfeldto ta Htározzu meg z + y = 5 ör ívéne hosszát z = és = 5 bszcissz ponto áltl htárolt szsz felett Megoldás: Az egyenlet lpján y = 5 és ( ) / y = 5 ( ) =, zz s = + d = d d 5 = 5 5 Integráltáblázt segítsé- ( ) 5π gével s = 5rcsin = 5rcsin = 5 Ez vlóbn egy negyed örív hossz (hiszen z r sugrú ör erülete K = rπ), mennyiben sugár φ φ 7

10 Számítsu i z = és = 4 bszcissz ponto özött z yds -t zon C görbe mentén, melyne egyenlete y = Megoldás: Tudju, hogy ds = d + dy = + ( y ) d, zz C 4 y ds = + d = hnem iszámítottun egy ívhosszintegrált 4 + d = 56 Itt persze nem z ívhosszt ptu meg, Gyorló feldto Htározz meg z y = cosh függvénygörbe = és = bszcisszájú ponto áltl htárolt ívéne hosszát Htározz meg z y = függvény görbéjéne z = és = 4 bszcissz pontji áltl htárolt ívéne hosszúságát ( megoldás icsit nehézes, enne során hsználj fel z lábbi helyettesítést: = sinh u ) 8

11 IV6 Vonlintegrál A vonlintegrál, (, b ) [ P d + Q dy] (, b ) számítás egy vetorfüggvény integrálásán felel meg egy görbe mentén A vonlintegrál áltlábn függ z úttól De vnn olyn speciális és természettudománybn rendívül fontos esete, mior vonlintegrál értée nem függ z úttól A vonlintegrálo tuljdonsági mindenben megfelelne hgyományos integrálo (mint lineáris operátoro) tuljdonságin Kétdimenziós (síbeli) esetben legyen dott F(, = P(,i + Q(,j, hol i és j megszoott Descrtes egységvetoro, eor F(, ds = ( P(, i + Q(, j ) ( di + dyj ) = P(, d + Q(, dy Ezt formulát C C lehet mgsbb rendere is értelemszerűen áltlánosítni Különítsün el néhány lesetet ét-dimenziós esetben: () H C görbe egyenlete z y = f() formábn dott, or y = f() és dy = dy = f ( ) d lpján vonlintegrál [ P{, f ( )} d + Q{, f ( )} f ( ) d] ifejezés szerint hgyományos módon számíthtó (b) Amennyiben C görbe z = g( lbn dott, or vonlintegrál t b C d = g ( dy lpján [ P { g(, y} g ( dy + Q{ g(, y} dy] ifejezés segítségével számolhtó b (c) Amennyiben C görbe prméteres formábn, = φ (t) és y = ψ (t), dott, úgy [ P{ φ ( t), ψ ( t)} ] φ ( t) dt + Q{ φ( t), ψ ( t)} ψ ( t) dt t t és t t értéei z A(, b ) és B(, b ) pontobn vonlintegrál iszámításán módj, hol A fenti módszere ombinációi is gyort sieresen llmzhtó Megjegyzendő, hogy mennyiben F z erő és r z út, z Fdr ifejezés zon teljes C munát jelenti, melyre z objetum C menti mozgtásához szüség volt 9

12 Mintfeldto (,) Számítsu i z [( d + ( y + ) dy] integrált z () [,]-ből [,]-be menő (,) egyenes mentén; és (b) [,]-ből [,]-be, mjd z [,]-ből [,]-be menő egyenese mentén Megoldás: () [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete y = +, zz dy = d, és így ( + ) [( ) d + ( + ) + ) d] = ( + ) = d = (b) [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete y =, zz dy =, vlmint z [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete =, zz d =, tehát [( ) d + ] = ( ) d = és [( )() ( )d ] ( ) d y + y + y = y + y =, = y= F ( ) vetormezőne z ( ) [ ] zz vonlintegrál értée ezen út mentén = 8 Megállpíthtju tehát, hogy vonlintegrál áltlábn függ z úttól A fiziábn és fizii émiábn mjd ülönös jelentőségűe leszne zo z esete, mior z integrál értée útfüggetlen, cs ezdeti és végállpottól függ Gyorló feldto Adj meg z, y = (, r t = (cos t,sin t), t, π prméteres görbén vett vonlintegrálját, y = ( y, ) Adj meg z F ( ) vetormezőne z ( t) = (cos t,sin t), t [, π ] r prméteres görbén vett vonlintegrálját 5 4

13 IV7 Többszörös integrál Természetesen z integrál és z integrálás foglm többváltozós függvényere is iterjeszthető, émi gyorltábn többnyire ilyen eseteel tlálozun Foglm Kettős integrál Legyen F(, egy zárt része z y sín Osszu fel ezt területrészt n db is részre, eze területe legyen Δ A, =,,, n Képezzü z lábbi összeget: n F( ξ, η ) Δ = y oordinát értéet jelöli Teintsü A, hol ξ és η -di területrészben lévő vlmely, illetve lim htárértéet H ez htárérté létezi (be lehet bizonyítni, hogy ez htárérté or létezi, h F(, leglább drbonént folytonos és zt is, hogy htárérté független ξ és η értée válsztásától), úgy enne jelölése integrálján nevezzü z R térrész felett R n n = F (, da F( ξ, η ) ΔA és z F(, étváltozós függvény ettős Többszörös integrálo iszámításor áltlábn z integrálás sorrendje felcserélhető, de htárol mjdnem mindig vigyázni ell Mintfeldto Számítsu i z ellipszis területét övetező ettős integrál segítségével: ddy y Megoldás: Az ellipszis orábbról ismert egyenlete + = ( és b is és ngy b tengel, így y = b és T = d dy = 4b d = 4b b / t dt, hol helyettesítéses integrálássl ( t = / ) próbálozun fellépő htározott integrál iszámításához A fellépő integrál iszámításához integráltábláztr (vgy számítógépes lgebr szoftverre, pl Mthemtic) vn szüségün, mely szerint T = 4b [ t t + rcsint], zz T = bπ Ez éplet természetesen jól ismert orábbi tnulmányoból Gyorló feldto A lsszius sttisztius mechni szerint hőmérséleti egyensúlybn lévő rendszere átlgos ε energiáj z lábbi éplettel számolhtó (z energi bármely értéet felvehet): ε = ε e e ε / BT ε / BT dpd, hol B z ún Boltzmnn-állndó, p és dpd pedig z impulzus (lendület), illetve oordinát Egyszerű hrmonius oszcillátorr p ε ( p, ) = +, hol m reduált tömeg és vdrtius erőállndó Az m 4

14 integrál iszámításávl htározz meg z átlgos energiát Mennyivel járuln hozzá z egyes vdrtius tgo z átlgos energiához? Teintsü (,), (,), (,), (,) ponto áltl htárolt négyzetet Mennyi z ( + függvény ltti térfogt ezen trtományon? + + Végezze el z lábbi integrál iszámítását: e + y ddy 4