f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

Átírás

1 Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt kpunk. Jele: : A B. A : értelmezési trtomány, B : képhlmz R Jelei: D { y B A : () y} B : értékkészlet () b () b -hoz üggvény b-t rendeli, képe b vgy b ısképe Deiníció: üggvény injektív, h különbözı elemekhez különbözıt rendel ( ) ( ) üggvény szürjektív, h minden képhlmzbeli elemnek vn ısképe (zz BR) üggvény bijektív, h injektív és szürjektív is (zz minden képhlmzbeli elemnek pontosn egy ısképe vn) Bijektív üggvény invertálhtó (zz hozzárendelési szbály megordíthtó) és h : D R és () b, kkor : R és (b) Függvény vizsgáltánk szempontji: Pritás: () üggvény páros, h és ( ) (). () üggvény pártln, h és ( ) () Periodikusság: () üggvény periodikus, h p> : + p és () (+ p) D. H létezik legkisebb ilyen tuljdonságú p, kkor zt nevezzük üggvény periódusánk. Monotonitás: () monoton növı I-n, h, I és <, kkor ( ) ( ). () szigorún monoton növı I-n, h, I és <, kkor ( ) < ( ). () monoton csökkenı I-n, h, I és <, kkor ( ) ( ). () szigorún monoton csökkenı I-n, h, I és <, kkor ( ) > ( ). Zérushely: () üggvény zérushelye, h ( ). (Ahol üggvény grikonj metszi z tengelyt.)

2 Mgyr Eszter Szélsıérték: ()-nek -bn szigorú lokális mimum vn, h () értelmes egy környezetében és egy környezetében -bn legngyobb üggvény. δ > (, ) D( ) δ +δ és δ> ( δ,+ δ) \{ } esetén ()<() Hsonlóképpen deiniálhtjuk szigorú lokális minimumot (illetve nem szigorúkt). ()-nek -bn bszolút vgy globális szigorú mimum vn, h () értelmezve vn -bn, és üggvény legngyobb elvett értéke (). D és \{ } esetén () < () Hsonlóképpen deiniálhtjuk szigorú globális minimumot (illetve nem szigorúkt). Korlátosság: Az üggvény elülrıl korlátos, h K R, hogy () K ekkor K üggvény egy elsı korlátj Az üggvény lulról korlátos, h L R, hogy () L ekkor L üggvény egy lsó korlátj Az üggvény korlátos, h lulról és elülrıl is korlátos. K R () < K Konveitás: Egy üggvény konve z I intervllumon, h minden [ ; ] I intervllumon üggvény grikonj ( ; ()) és ( ; ( )) pontokt összekötı húr ltt hld. Egy üggvény konkáv z I intervllumon, h minden [ ; ] I intervllumon üggvény grikonj ( ; ()) és ( ; ( )) pontokt összekötı húr elett hld. Elemi üggvények, üggvénytrnszormációk Elemi üggvények: Elsıokú zz lineáris üggvény () m + b m; b R Másodokú üggvény () + b + c ( u) + v ; b;c; u; v R Abszolútértékes üggvény () u + v ; u; v R Htványüggvény n () n Z Gyöküggvény () n n Z Elsıokú törtüggvény Eponenciális üggvény Logritmusüggvény + b () ; b;c;d R c c+ d () Trigonometrikus üggvények () > log > sin, cos, tg, ctg

3 Mgyr Eszter Függvénytrnszormációk: Függvény trnszormációkkl egy-egy üggvénytípus vlmely üggvényébıl hozzárendelési szbály bizonyos megváltozttásávl újbb üggvényeket állíthtunk elı. () + c üggvény grikonj eltolódik ( ; c) vektorrl (+c) üggvény grikonj eltolódik ( c;) vektorrl - () üggvény grikonj z tengelyre tükrözıdik (-) üggvény grikonj z y tengelyre tükrözıdik c () üggvény grikonj λ c rányú tengelyő merıleges initású képe lesz (c ) üggvény grikonj λ / c rányú y tengelyő merıleges initású képe lesz Függvényvizsgált Az elemi üggvények tuljdonságit elhsználv elemi úton vizsgálhtók zok üggvények, melyek vlmely lpüggvény trnszormációjként elıállíthtók. Deiníció: Az () üggvény dierenciálhtó -bn, h értelmes egy környezetében, és () () lim htárérték létezik és véges. () () Ekkor () deriváltj -bn: () lim. A () értéke megdj, hogy z () hez -bn húzott érintı meredeksége mekkor. Így z érintı egyenlete: y () ( ) + () () + () () H egy üggvény dierenciálhtó -bn, kkor -bn olytonos is. () egy I intervllum minden pontjár () monoton nı I elett () egy I intervllum minden pontjár () monoton csökken I elett () > egy I intervllum minden pontjár () szig. monoton nı I elett () < egy I intervllum minden pontjár () szig. monoton csökken I elett ()-nek szélsıértéke vn -bn (). Ez szélsıértéknek csk szükséges eltétele, de nem elégséges, pl. 3 (). (), és () ()-nek szélsıértéke vn -bn. (elégséges eltétel) és h () >, kkor -bn üggvénynek szig. lok. minimum vn h () <, kkor -bn üggvénynek szig. lok. mimum vn vgy monotonitásból is eldönthetı, hogy szélsıértéke vn-e üggvénynek: h () és elıtte egy környezetben derivált negtív/pozitív és után pozitív/negtív, kkor üggvénynek szigorú lokális minimum/mimum vn.

4 Mgyr Eszter Konveitás: () egy intervllum minden pontjár () konve z intervllum elett () egy intervllum minden pontjár () konkáv z intervllum elett h (), és () illetve (), kkor üggvénynek -bn inleiós pontj vn. Elemi üggvények deriváltji: c c. ( ) c. ( ) ln 3. ( ) log ln 4. (sin ) cos 5. (cos) sin cos ctg) sin sin ( sin tg), cos cos ( Mőveleti szbályok:, g dierenciálhtó üggvényekre c konstns kiemelhetı. ( ± g) ± g üggvények összege tgonként deriválhtó 3. ( g) g g üggvények szorzt már nem deriválhtó tényezınként g g 4. g g hánydos-üggvény deriváltj, pláne nem 5. ( o g) ( o g) g összetett üggvények deriválás, láncszbály g() g() g (. ( ) c másképpen: [ ( )] ( ) ) A üggvényvizsgált lépései:. Értelmezési trtomány megállpítás (lehetıleg intervllumosn). Zérushelyek, y-tengely metszet, pritás megállpítás 3. A üggvény htárértékei z értelmezési trtomány szélein 4. A üggvény elsı deriváltjából monotonitás megállpítás 5. A szélsıértékek leolvsás monotonitásból 6. A üggvény második deriváltjából konveitás megállpítás 7. Az inleiós pontok leolvsás konveitásból 8. A üggvény vázltos rjz lpján értékkészletének megállpítás

5 Mgyr Eszter Tétel: n Az () n N + üggvény deriváltj z R helyen () n. Bizonyítás: deiníció lpján n n ( )( () lim lim + n + n ) lim( + n + n n k k n n n n n ) n Tétel: Az () sin üggvény deriváltj z R helyen () cos. Bizonyítás: deiníció lpján sin sin () lim + cos sin lim sin + limcos cos cos mivel lim y sin y y Alklmzás: szélsıérték-eldtok megoldás üggvényvizsgált (izikábn grikonvizsgált) érintı meghtározás iziki mennyiségek közti törvények (sebesség út, gyorsulás sebesség) közgzdságtn (ruglmsság)