f (ξ i ) (x i x i 1 )

Átírás

1 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = < <...< n = b. Megjegyzések: Az F n felosztás függ z osztópontok számától és zok elhelyezkedésétől is. Az F n felosztás finomságán z [, ], [, ],..., [ n, n ] részintervllumok közül leghosszbbik hosszát, zz d (F n )=m ( i i )-et értjük, hol i {,,..., n}. Az [, b] intervllum felosztásink egy F, F,..., F n,... soroztát végtelenül finomodónk nevezzük, h lim n d (F n )=. Definíció Legyen z f függvény értelmezett z [, b] intervllumon és legyen F n ={,,..., n } z intervllum egy felosztás. A σ n = n i= f (ξ i ) ( i i ) összeget z f függvény [, b] intervllum vett integrálközelítő összegének nevezzük, h i {,,...,n} eseténξ i [ i, i ]. Készítette: Vjd István 74

2 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg Megjegyzések: Az f függvény [, b] intervllumon vett integrálközelítő összege függ válsztott felosztástól és ttól is, hogy z egyes részintervllumokbn hogyn válsztjuk ξ i helyet. Az integrálközelítő összeget tégllpok területének összegével szemléltethetjük, h függvény z dott intervllumbn csk pozitív értékeket vesz fel. (. ábr) y ξ ξ ξ... n ξ n n. ábr. Integrálközelítő összeg Készítette: Vjd István 75

3 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg Definíció H z f függvény értelmezett z [, b] intervllumon és integrálközelítő összegeinek minden olynσ n sorozt, mely z [, b] intervllum vlmely végtelenül finomodó F n felosztássoroztához trtozik, ugynhhoz z I R vlós számhoz trt, kkor z f függvényt z [, b] intervllumon Riemnn-értelemben integrálhtónk nevezzük, és fenti I szám ennek függvénynek z [, b] intervllumon vett Riemnn-integrálj. Jelölés: b f, illetve b f () d. Megjegyzés: H z f függvény z [, b] intervllumon csk pozitív értékeket vesz fel, kkor b f = I értéke megegyezik z f függvény grfikonjánk [, b] intervllumb eső része, z tengely és z =, =b egyenesek áltl htárolt síkidom területével. (. ábr) y b f () d b. ábr. A htározott integrál szemléletes jelentése Készítette: Vjd István 76

4 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg (Az f függvény integrálhtóságánk szükséges feltétele.) H z f függvény Riemnn-értelemben integrálhtó z [, b] intervllumon, kkor f ezen z intervllumon korlátos. (Az f függvény integrálhtóságánk elégséges feltétele.) H z f függvény folytonos z [, b] intervllumon, kkor Riemnn-értelemben integrálhtó is [, b]-n. (Az f függvény integrálhtóságánk (egy másik) elégséges feltétele.) H z f függvény monoton és korlátos z [, b] intervllumon, kkor Riemnn-értelemben integrálhtó is [, b]-n. Készítette: Vjd István 77

5 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg H z f és g függvények integrálhtó z [, b] intervllumon és c R, kkor c f, f+ g és f g függvények is integrálhtók [, b]-n és b c f= c b f b b ( ) f+ g = f+ b g b b ( ) f g = f b g H z f függvény integrálhtó z [, b] intervllumon, kkor [, b] minden részintervllumán is integrálhtó. H <b<c vlós számok és z f függvény integrálhtó z [, b] és [b, c] intervllumokon, kkor integrálhtó [, c]-n is és b f+ c f= c f b Készítette: Vjd István 78

6 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4.. A Newton-Leibniz formul, htároztln integrál Definíció H z f vlós-vlós függvény értelmezett vlmely (véges vgy végtelen) I intervllumon, és létezik olyn F függvény, mely differenciálhtó I-n és és melyre teljesül, hogy I esetén F ()= f (), kkor z F függvényt z f függvény I intervllumon vett primitív függvényének nevezzük. Péld: Az f ()= függvénynek F ()= primitív függvénye vlós számok hlmzán, ( ) ( ) mert R esetén F ()= = = = = f (). (Newton-Leibniz formul) H z f vlós-vlós függvény integrálhtó z [, b] intervllumon és F primitív függvénye f -nek [, b]-n, kkor b f= F (b) F () Péld: 5 d= [ ] 5 = 5 = 5 8 = 7 = 9. H z f vlós-vlós függvénynek F primitív függvénye, kkor C R esetén F + C is primitív függvénye f -nek. Péld: Az f ()= függvénynek z F ()=, stb. függvények is primitív függvényei. 5 függvényen kívül G ()= +, H ()= Készítette: Vjd István 79

7 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg H z f vlós-vlós függvénynek létezik primitív függvénye, kkor végtelen sok primitív függvénye is létezik, de bármelyik kettő különbsége konstns. Definíció Az f vlós-vlós függvény primitív függvényeinek hlmzát f htároztln integráljánk nevezzük. Jelölés: f, f () d Péld: d= + C C R H z f és g függvényeknek létezik primitív függvénye z I intervllumon és c R, kkor c f, f+ g, f g függvényeknek is létezik primitív függvénye I-n és c f= c ( ) f+ g = ( f g ) = f f+ f g g Példák: Mivel d= + C, ezért d= d= + C Minthogy sin d= cos +Cés cos d=sin +C, ezért sin +cos d= cos +sin +C Készítette: Vjd István 8

8 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg H F z f primitív függvénye és, b R,, kkor f (+b) d= F (+b) + C Példák: cos (+) d= sin (+) d = ln + C + C Mindenα R,α esetén f α () f () d= fα+ α+ + C Példák: sin 4 cos d= sin5 + C 5 ( + ) ( d= + ) ( + ) 4 ( + ) 4 d= + C= C f () f () d=ln f () + C Példák: + d= tg d= + d= ln( + ) + C sin cos d= sin d= ln cos +C cos Készítette: Vjd István 8

9 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg H z f vlós-vlós függvénynek létezik F primitív függvénye egy I intervllumon és ugynezen z intervllumon g vlósvlós differenciálhtó függvény, kkor z ( f g ) g függvénynek is létezik primitív függvénye I-n és ( f g ) () g () d= ( F g ) ()+C Megjegyzés: A fenti összefüggést szokás így is írni: f ( g () ) g ()=F ( g () ) + C. Példák: e sin cos d=e sin + C + d= 4 +( ) d= rctg + C (A prciális integrálás szbály) H z u és v függvények vlmely I intervllumon differenciálhtók, továbbá z uv szorztfüggvénynek létezik primitív függvénye I-n, kkor u v-nek is létezik primitív függvénye I-n és u v=uv uv Példák: (+) v e d=(+) e u v u e v d= u (+) e e d= = (+) e e + C=e + C Készítette: Vjd István 8

10 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg ( + ) ( ) ( ) ln d= v + ln v + d= u u u v ( ) ( ) ( ) = + ln + d= + ln 9 +C Mikor lklmzunk prciális integrálást? Erre kérdésre nehéz pontos válszt dni, de vn néhány olyn integrndus, melyre prciális integrálás módszere lklmzhtó: Az integrndus egy polinom és egy eponenciális függvény szorzt, hol z eponenciális függvény kitevője lineáris függvény. Ilyenkor z eponenciális függvényt integrálndó függvénynek (u ) válsztjuk és polinom deriválndó függvény (v). Az integrndus p () sin (+b) vgy p () cos (+b) lkú, hol p () polinom. Itt is polinomot válsztjuk deriválndó függvénynek (v) és trigonometrikus függvényt integrálndónk (u ). Az integrndus sin (+b) e c+d lkú. Kétszer kell prciálisn integrálni és z integrndus primitív függvényét egyenletrendezési lépésekkel kpjuk meg. Az integrndus p () log n (+b) lkú, hol p () polinom. Itt p () z integrálndó függvény (u ), és logritmus függvény deriválndó (v). Az integrndus p () rcsin n (+b), p () rccos n (+b), p () rctg n (+b), illetve p () rcctg n (+b) lkú, hol p () polinom. Itt is p () z integrálndó függvény (u ), ciklometrikus függvény pedig deriválndó (v). (A prciális integrálás szbály htározott integrál esetén) H z u és v függvények differenciálhtók, z u, v pedig integrálhtók z [, b] intervllumon, kkor z u v és uv függvények is integrálhtók [, b]-n és b u v=[uv] b b uv Készítette: Vjd István 8

11 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg π 4 Péld: u rctg d= rctg u v v π 4 π 4 u d= π + π 4 v + d= = π π 4 ( ) d= π + [ ] rctg π 4 =π π 8 +, Az integrálszámítás lklmzás területek kiszámításár. Számítsuk ki z y=sin, ( [,π]) görbe és z tengely közé zárt területet. y T= π sin π sin d=[ cos ] π = = cosπ+cos =. Mekkor területű korlátos síkidomot htárolnk z y= és y= egyenletekkel megdott lkztok? Ábrázolj ezt korlátos síkidomot derékszögű koordinátrendszerben. y y= y= A = másodfokú egyenletet megoldv z = és = gyököket kpjuk, zz két lkzt z = és = helyeken metszi egymást. T= ( ) [ d= = ( = ) ( ) ] = 9 Készítette: Vjd István 84

12 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4.4. Feldtok Számíts ki következő htároztln integrálokt:. Alpintegrálokr visszvezethető feldtok: ) c) g) i) Megoldás: ( 5+ ) d b) ( + cos sin ) d d) ( ) ch + 4 sh d f) sin cos d h) ( sin ) + d ( ) d (e + 5 cos ) d ctg d + d ) ( 5+ ) d= 5 + +C b) ( ) d= ( ) d= C c) ( + cos sin ) d= + sin +cos +C d) (e + 5 cos ) d=e + 5 sin ln + C ( ) ch + 4 sh d= sh + 4 ch +C f) cos ctg sin ( ) d= sin d= sin d= sin d = ctg +C sin cos g) d= sin d= +C ( ) + ( h) + d= 4 d= 4 ) d= 4 rctg +C + + ( ) i) + d= rcsin +C Készítette: Vjd István 85

13 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg. ) c) g) i). ) c) g) i) 4. ) c) 5. ) d) (4+) 6 d b) 5 d ( d] d) ) d (sin 5 cos ) d f) +9 d ( ) 4 d h) cos d 4 sh (6 ) d +5 d b) d ( ) 6 ( + 5+) 7 d d) ( cos sin cos sin ) d rctg sin d f) + d rcsin ch d h) sh sh d ( ) 5 d d b) ctg d tg d d) th(+)d e cos d f) e + 5 sin d ( e d b) ( ) sin ) d c) e d e ch (e 6) d + 4 d 6. Alklmzz prciális integrálás módszerét. ) sin d b) cos d c) sin d d) sin d (+) cos d f) e d g) ln d h) rcsin d i) rctg d 7. Alklmzz rcionális törtek integrálásár tnult módszereket. 4 ) d b) d c) d d d) d f) (+) d 8. Végezze el következő integrálásokt helyettesítéssel: Készítette: Vjd István 86

14 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg ) d) d + e + e b) d e + d c) + d f) sin e e + d d +cos Készítette: Vjd István 87

15 Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg. Számíts ki következő htározott integrálok értékét: ) i) π π ( + 5 ) d b) d + f) cos 5 d j) 4 π π π 4 d c) d cos g) cos d k) sin 6 π π sin d d) π 6 tg d h) 4 ln d l) + d d e rctg + d m) π π sin sin 6 d n) ch 5 d. Alklmzz prciális integrálás módszerét htározott integrálokr: π ( ) e d b) sin π ) π d c) cos d 4 d) rctg( )d e (+) ln d. Alklmzzon helyettesítéses integrálást következő integrálok kiszámításár: π 4 ln 5 sin e + ) d b) d c) 4+ cos + e + d 4. Számolj ki megdott függvény és z -tengely közötti területet megdott intervllumbn: ) [ ] f () =, [, 4] b) f () = ln, [, e] c) f () = rcsin,, 5. Htározz meg z f ()=4 + és g()= + 8 függvények grfikonji áltl htárolt korlátos síkidom területét. Készítette: Vjd István 88