A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)"

Sára Fodorné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő komple számok esetén a z z z z z z z z értékeket: z i z i z i z i z i z z 5i z i z i z i. z z z z z z z ) Írjuk át algebrai alakba a következő komple számokat: z cos isin 6 6 z cos isin z cos isin z cos isin. ) Írjuk át trigonometrikus alakba a következő komple számokat: z z z z i z5 i z6 i z7 i z8 i z9 i z0 i z i

2 z i z i z i z i i i i z6 i i... i ) Számítsa ki a következő komple számok esetén a z z 0 z z z z z z zz z z értékeket (az eredményeket elég trigonometrikus alakban megadni de fontos a főargumentum azaz 0 ). 0 z z cos isin z cos isin z cos isin z cos isin z cos isin 6 6 z cos isin z cos isin z cos isin ) Oldjuk meg a következő egyenleteket: z 0 z z0 0 5 z 0 5 z i 0 5 z i. 6) Határozzuk meg a következő komple számok komple köbgyökeit (elég a trigonometrikus alakot megadni főargumentummal): z i z i z i. 7) Számítsuk ki a következőket: ( i) 8 ( i).

3 . Mátriok sajátértékei sajátvektorai: ) Számítsuk ki a következő mátriok sajátértékeit sajátvektorait: ) Számítsuk ki a következő mátriok sajátértékeit sajátvektorait: 0 A B C D Differenciálegyenletek: ) Oldjuk meg az alábbi szeparálható egyenleteket: y y y y' y y y' ' y y y y' y y' e e y y y' kezdeti feltétellel

4 e y y y '. ) Oldjuk meg az alábbi elsőrendű lineáris (inhomogén) egyenleteket (előbb oldjuk meg a hozzárendelt homogén differenciálegyenletet majd használjuk a konstans variálásának módszerét): y' y sin y' y cos cos y ' y e y kezdeti feltétellel y' yth 6e. ) Oldjuk meg az alábbi (homogén) állandó együtthatós lineáris másodrendű differenciálegyenleteket: y" y' y 0 y" y' y 0 y" 7 y' 6y 0 y" y' y 0 y" 6 y' 9y 0 y" 7 y' y 0 y" 8 y' 0 y" 8 y' 0y 0 y" 9y 0. 5) Oldjuk meg az alábbi (inhomogén) állandó együtthatós lineáris másodrendű differenciálegyenleteket (próbafüggvény módszerrel): y" y' y e 5 y" y' y e 5 y" y' y e cos y" 9y cos y" 8 y' 0y e sin y" y cos sin. y kezdeti érték feladat y '

5 Az előbbi differenciálegyenletek megoldásához mindenképpen érdemes legalább a következőket átnézni: Elemi függvények határozatlan integrálja: f d f függvény Feltételek y 0 c - y c r r y c r y ln c 0 y a a c ln a a a 0 a speci. y e e c y sin cos c y cos sin c y cos c k y sin ctg c k r y arcsin c y arch c y arsh c y arctg c y arth c ha intervallumfüggő ar cth c ha y sh ch c y ch sh c y c h th c y sh cth c 0 5

6 ' ln d c 0 r r ' d c ahol r r sin ' d cos c cos ' d sin c ' d arctg c. Tétel (Helyettesítéses integrálás módszere I.): Ha értékkészlete az I intervallum és ezen az intervallumon az f udu F u c akkor f ' d F c. differenciálható függvény melynek f függvény folytonos és Parciális integrálás módszere: A logaritmusokat a trigonometrikus függvényeket és inverzeiket eponenciális függvényeket tartalmazó függvények sok esetben csak a parciális integrálás módszerével vagy ennek a módszernek többszöri egymás utáni alkalmazásával integrálhatók. Maga formula nagyon egyszerű a szorzatfüggvény deriváltjából következik. ' f g f ' g f g ' ahonnan kifejezve f g ' ' ' -t kapjuk hogy ' f g f g f g majd mindkét oldalt tagonként kiintegrálva ' ' f g d f g f g d (parciális integrálás képlete). A parciális integrálásnál nagyon fontos a szereposztás azaz melyik függvény játssza az melyik a g' f és szerepét. Hibás szereposztással az integrált nem tudjuk kiszámolni inkább bonyolultabb integrálokhoz jutunk. Ezért érdemes megjegyezni hogy parciálisan integrálunk amennyiben: az integrandus polinom- és eponenciális vagy trigonometrikus esetleg hiperbolikus függvény szorzata (ekkor a polinomfüggvény játssza az f szerepét); az integrandus polinom- és logaritmusfüggvény szorzata vagy polinom- és trigonometrikus függvény inverzének (arkusz függvénynek) a szorzata esetleg polinom- és hiperbolikus függvény inverzének (area függvénynek) a szorzata (ekkor a polinomfüggvény játssza a g szerepét); ' az integrandus eponenciális és trigonometrikus függvény szorzata (ekkor igazából mindegy a szereposztás csak következetesen kell csinálni mert az ilyen feladatoknál egymás után 6

7 kétszer kell parciálisan integrálni és ha nem vagyunk következetesek sok számolás után visszajutunk az eredeti integrálunkhoz). Példák parciális integrálásra: ln d ln d ' ln d ln d ln c ln c ' 9 ln d ln d ln d ln d ln c arctgd ' arctgd arctg d arctg d arctg ln( ) c arccos d ' arccos d arccos d 9 arccos d arccos d arccos c. 9 acionális törtfüggvények integrálása: bármelyik alapesetben amennyiben a számláló fokszáma nagyobb vagy egyenlő a nevező fokszámánál a legelején mindig maradékosan osztunk. (ld. pl. az feladatsor 5) feladatát vagy az feladatsor ) példáját a változócsere után). Tehát igazából elég azt tekinteni amikor a nevező foka nagyobb a számlálóénál. Egyszerű alapesetek: A A ) ha a nevező elsőfokú ekkor az d ln a b c a b a a helyes megoldás ) A A n d a b c n a b a n ha n ) konstans számláló és másodfokú nevező esetén amennyiben a nevező diszkriminánsa b ac 0 a következő a teendő: visszavezetjük az du arctgu c integrálra u ) amennyiben a másodfokú nevezőnk diszkriminánsa vissza integrálunkat b ac 0 akkor a ) esetre vezetjük 7

8 5) ha b ac 0 akkor vagy u du integrandust alakra hozzuk vagy parciális törtekre bontjuk az 6) Amennyiben elsőfokú a számláló visszavezetjük a feladatot két integrál összegére amit az eddigiekkel könnyen ki tudunk számolni éspedig: ab a b b A B A d A d a b c a a b c Példák racionális törtfüggvény integrálására: ) Számítsuk ki az 65 d határozatlan integrált. Megoldás: Tekintve hogy nincs a nevezőnek valós gyöke nem lehet szorzattá alakítani. A ) alapesetünk van így d d 6 5 d 9 5 d 6 6 d arctg c ) Számítsuk ki az 65 d határozatlan integrált. Megoldás: Tekintve hogy van a nevezőnek valós gyöke parciális törtekre bontható: d d A B A 5 B A B 5A B A B 0 5A B A B d d d ln ln 5 c ln c

9 . Kétváltozós függvények differenciálszámítása: f y 9 y (egy origó középpontú sugarú félgömb). Adjuk ) Legyen meg a következőket: D f f szintvonalak állapítsuk meg hogy az értelmezési tartomány ( D ) zárt vagy nyílt vagy egyik sem továbbá számítsuk ki az elsőrendű f parciális deriváltakat valamint a másodrendűeket is (beleértve a vegyes másodrendű parciális deriváltakat is). ) Legyen deriváltját. y f y e ln y. Határozzuk meg az összes másodrendű parciális f y arctg y " " ) Igazoljuk hogy az függvény kielégíti az f y f y Laplace egyenletet. 0 yy y ) Számítsuk ki az f y másodrendű parciális deriváltjait. 5) Számítsuk ki az f y 6) Határozzuk meg az a P pontban. y másodrendű parciális deriváltjait. f y ( y) függvény 7) Határozzuk meg az f y ( y) függvény Q pontban. f y ( 6 ) y y felület 8) Írjuk fel az irányú iránymenti deriváltját v irány menti deriváltját a Q pontban vett érintősíkjának egyenletét. 9) Határozzuk meg a következő függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait ha léteznek: f y y y y 5 f y ( 6 ) y y. 0) Határozzuk meg az f y ( 6 ) y y függvény legkisebb és legnagyobb értékét az 0 y 0 és y 6 egyenesekkel határolt zárt tartományon. ) Határozzuk meg a sin sin ysin z szorzat maimumát ha y és z egy háromszög szögei. 9

10 5. Kettősintegrál: ) Számítsuk ki az y e dt integrált ahol T ) Számítsuk ki az ydt integrált ahol T az határolt zárt síkrész. ) Határozza meg az f y tartományon. ) Számítsuk ki az csúcspontú háromszöglap. 5) Számítsuk ki az T T T y :0 ln ; 0 y ln. y és y görbék által y függvény integrálját a 0 ; tg y y dt integrált ahol T az T A B 0 és C 0 y dt integrált ahol T az origó középpontú sugarú körlap 0 közé eső része (körcikke). 6) Számítsuk ki az ln y dt integrált ahol T az origó középpontú és sugarú körök által határolt körgyűrű. T 6. Térgörbék: r t t t i j t k térgörbe érintő egyenesének egyenletét a t t t paraméterű pontban. r t at at at e ti e t j be k 0 t ívhosszát. r t t i j t k 0t ívhosszát. ) Írjuk fel az ) Számítsuk ki az cos sin ) Számítsuk ki az r t t i (t ) j t k. Tekintsük a térgörbe t paraméterű ) Legyen pontját. Adjuk meg ebben a pontban a kísérő háromélt (triédert) a simulósík a normálsík és a rektifikáló sík egyenletét. Számítsuk ki az adott pontbeli görbületet és torziót. r t (t t) i t j t k. Tekintsük a térgörbe t paraméterű 5) Legyen pontját. Adjuk meg ebben a pontban a kísérő háromélt a simulósík a normálsík és a rektifikáló sík egyenletét. Számítsuk ki az adott pontbeli görbületet és torziót. 6. Felületek: ) Írjuk fel annak a kúpnak a paraméteres egyenletrendszerét melynek vezérgörbéje az r u ui u j görbe és csúcspontja az a j 7k helyvektor végpontja. ) Számítsuk ki az érintősíkjának egyenletét. r u v ucos vi usin v j vk felület tetszőleges pontjában vett 0

11 ) Számítsuk ki az y z felület P -ben vett érintősíkjának egyenletét. ) Számítsuk ki az ( ) r u v u v i uv j u v u k felület u v pontjában vett érintősíkjának egyenletét. r u v chu cos vi u j chu sin vk 0u és 0v 5) Számítsuk ki az felületdarab felszínét. 6) Osztályozzuk a felületi pontokat: ( cos ) sin r u v v u i v u j vk z z yz y 0.

Hasonló dokumentumok

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6 Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja