Matematikai analízis II.

Átírás

1 Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6

2 . feladatlap Implicit függvények differenciálása. Határozzuk meg az alábbi, implicit alakban adott függvények y deriváltját, ha y = y()! + y = ; (b) y + y = ; 4y + y = ; (d) + y y = ; cos y = ; (f) y + 3y 3 = 5; (g) + y = ; (h) cos y + ctg = 3; (i) ln y + y = ; (j) arctg y = ln + y.. Határozzuk meg az y + y = 3 görbe P (, ) pontjához tartozó érintő egyenletét! 3. Határozzuk meg az 9 + 6y = 5 egyenletű ellipszis azon érintőit, amelyek párhuzamosak a 9 8y = egyenessel! 4. Határozzuk meg y -t és y -t, ha y + y = és y = y()! 5. Határozzuk meg y -t és y -t az (, ) pontban, ha a sin y = 3 5 görbe átmegy ezen a ponton és y = y()! 6. Igazoljuk, hogy y = y3, ha + y = y és y = y()! 3 7. Határozzuk meg y = dy d Paraméteres alakban adott függvény deriváltja értékét az { (t) = t 3 + t, y(t) = t 7 + t +, t R paraméteres alakban adott görbére! 8. Határozzuk meg y = dy d értékét az { (t) = cos t, y(t) = sin t, t [, π) paraméteres alakban adott görbére, ha t = π 4!

3 9. Határozzuk meg y = dy d és y = d y értékét az alábbi paraméteres alakban adott görbére! d { (t) = et sin t, t R. y(t) = e t cos t,. Határozzuk meg y = dy d és y = d y értékét az d { (t) = cos 3 t, y(t) = sin 3 t, t [, π) paraméteres alakban adott görbére, ha t = π 3!. Határozzuk meg az { = 5 cos t y = 4 sin t paraméteres alakban adott ellipszisnek a t = π 4 érintő iránytangensét! Vázoljuk a görbét! t [, π) paraméterértékhez tartozó pontjához húzott. Adjuk meg az alábbi paraméteres alakban adott görbe t = paraméterértékű pontjában az érintőegyenes egyenletét! { (t) = 3e t, t R. y(t) = 5e t, 3. Hol konve az görbe? { (t) = 3t, y(t) = 9t 3t, t R Polárkoordinátás alakban adott függvény differenciálása 4. Legyen r = cos ϕ. Számítsuk ki az alábbi kifejezéseket! dr dϕ ; (b) d r dϕ ; d 3 r dϕ ; (d) dr 3 d r ( π ) ; (f) dϕ 4 dϕ ( π 6 d 3 r dϕ 3 ) ; ( 5π 6 ).

4 5. Igazoljuk, hogy az r = 3ϕ archimédeszi spirális érintőjének meredeksége 6 + 3π 6 3 π a ϕ = π 6 pontban! 6. Írjuk fel az r = ϕ hiperbolikus spirális érintőjének egyenletét a ϕ = 3π pontban! 7. Határozzuk meg az r = 8. Adjuk meg az r = 4 cos ϕ 4 cos ϕ parabola érintőjének meredekségét a ϕ = π 3 pontban! parabolának azt a pontját, ahol az érintő meredeksége! 9. Írjuk fel az r = sin ϕ kardioid ϕ = pontjában az érintőegyenes egyenletét!

5 . feladatlap A határozatlan integrál, integrálási szabályok. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (i) ) d; ( ( ) d; (b) d; (d) ( e ) d; ( 5 cos ) ( sin d; (f) sin + 3 cos ( ) d; (h) + + d; ( ) ( + 3) d; (j) ( + 3 ) d.. Vezessük vissza elemi integrálokra a következő integrálok kiszámítását! ) d; (g) (i) 3 e d; (b) + d; d; (d) tg d; cos cos sin d; (f) ch ch d; cos cos d; (h) cth d; 3 3d; (j) ( + ) 3 d; (k) ( + ) d; (l) 5 (8 3)6 d; (m) sin cos d; (n) cos 5 sin d; (o) (q) (s) (t) (u) (v) () d; (p) + d; + d; (r) ch sh d; cos 5 sin 3 d; (sz) sin 5 d; 3 + cos ln d; (ty) tg d; + d; (ü) d; e e + d; (w) ln d; arctg + d; (y) + cos d;

6 3. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! sin 3 d; (b) cos(4 + π) d; e 5 d; (d) (e 3 + 3e 3 ) d; ( 3) 4 d; (f) 5 6 d; (g) cos (3 4) d; (h) e 7 5 d. Szorzatintegrálással megoldható feladatok 4. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! e d; (b) sin d; 7 d; (d) cos d; 3 sin d; (f) e d; (g) e 7 d; (h) e +ln d; (i) (k) (m) (o) (q) cos sin 3 d; (j) ln d; ln d; (l) arctg d; arcsin d; (n) arccos d; 3 ln d, (p) arctg d;, arth d, (r) ln d; (s) arctg d; (sz) arctg d; (t) arccos d; (ty) ( + )ch d; (u) ( + ) ln d; (v) ln d; (w) e cos d; () ch sin 5 d; (y) sin 3 cos 5 d; (z) e 3+ ln d.

7 3. feladatlap Integrálás helyettesítéssel. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (i) (k) (m) (o) (q) cos ( 5) d; (b) 6 sin cos d; (d) d + 4 ; 4 sh( 5 6) d; e cos(e ) d; (f) (h) (j) sin d; (l) e d; (n) sin (4 + 7) d; e cos sin d; d; e + e d; e d; + e e d; e + e d; e e 4 e d; (p) e e + 3 ch d;. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (r) d; (b) + cos + sin ; (d) cos 4 + sin ; (f) d; (h) + 3 cos + ch d. d; sin d; ln tg sin cos d; sin 3 + cos d; 9 d; (i) (k) (m) + 5 d; ; (j) (l) d ; (n) d; d; d.

8 Racionális törtfüggvények integrálása 3. Állítsuk elő az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (i) 4 d; ; ; + + d; (b) (d) (f) (h) d; (j) ( ) + 3 d; + d; ( + ) d; d; d. 4. Parciális törtekre bontással számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat! (g) (i) (k) (m) d; (b) ( )( 4) d; (d) ( )( + ) 9 d; (f) (3 5)( 7) d; (h) d; (j) ( ) d; (l) d; (n) ( ) ( + ) d; 3 59 ( + )( ) d; d; d; + ( + ) d; d; + d; Racionális függvények integrálására vezető helyettesítések 5. Állítsuk elő az alábbi határozatlan integrálokat! 3 ( + 3 d; (b) ) e e + 3 d; + 3 d; (d) d.

9 4. feladatlap Trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása. Adjuk meg az alábbi határozatlan integrálokat! (g) (i) (k) (m) (o) (q) sin 3 cos d; sin 3 cos d; cos 3 d; sin 4 d; cos 4 sin d; sin 5 cos d; sin 3 cos d; sh 4 d; ch 3 sh d; (b) (d) (f) (h) (j) (l) (n) (p) (r) sin cos d; sin cos 3 d; sin 5 d d; sin cos d; sin cos d; cos 3 sin 4 d; sh 3 ch 3 d; ch 5 d; th d. Riemann-integrál. Tekintsük az f : [, ] R, f() = függvényt! Osszuk fel a [, ] intervallumot öt részre, majd adjuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, továbbá a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget! 3. Egy egyenes pályán mozgó test gyorsulás-idő függvénye: [ f :, π ] R, f(t) = sin t. Osszuk fel a [, π ] intervallumot négy egyenlő részre, majd adjuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, továbbá határozzk meg közelítőleg a sebesség megváltozását, azaz adjuk meg a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget! 4. Legyen adott az f : [, ] R, f() = 4 függvényt Osszuk fel a [, ] intervallumot nyolc részre, határozzuk meg a felosztás osztópontjait, részintervallumait, valamint a felosztáshoz tartozó alsó és felső integrálközelítő összeget!

10 5 5. Határozzk meg az 4 d Riemann-integrált a definíció alapján! 6. Határozza meg az 5 d Riemann-integrált a definíció alapján! Newton-Leibniz-formula 7. Számoljuk ki az alábbi határozott integrálokat! ( + 5) d; (b) ( + ) d; (d) ( 3 + 3) d; 4 + d; π 3 sin d; (f) π cos sin d; (g) π d; (h) π sin d; (i) (k) 3 ln d; (j) + 3 d; (l) π 4 π + sin d; cos d; (m) 3 sgn( 3 ) d; (n) π sgn(cos ) d. 8. Határozzuk meg az f() = 3 függvény középértékét a [, ] intervallumon! 9. Adjuk meg az f() = [, cos függvény középértékét a π ] intervallumon! 4. Határozzuk meg a b valós paraméter értékét, ha az f() = 3 + b függvény átlagos értéke a [, ] intervallumon 4.

11 . Határozzuk meg az alábbi deriváltakat! Az integrál, mint a felső határ függvénye d d d d 5 + 7t dt; 3 t4 + d; (b) (d) d d d d 4 sin 3 t dt; t dt.. Keressük meg dy -et az alábbi feladatokban! d y = y = + t dt; (b) y = sin t dt; (d) y = t dt, ( > ); cos t dt.

12 5. feladatlap Terület számítása határozott integrállal. Határozzuk meg az f() = függvény grafikonja és az -tengely által határolt tartomány teljes területét, ha [ 3, ]!. Számítsuk ki az f() = 3 4 és az -tengely által közrezárt véges síkrész területének mérőszámát, ha [, ]! 3. Mekkora területet határolnak az f() =, a g() = + 6, = és az = görbék? 4. Adjuk meg annak a tartománynak a területét, amelyet az f() = +cos függvény grafikonja, valamint az y = és az = π egyenesek zárnak közre! 5. Vázoljuk az f() = 3 függvény grafikonja, az y = és az y = egyenesek által határolt tartományt, majd határozzuk meg a területét! 6. Számítsuk ki az f() = és a g() = + görbék által közrezárt síkrész területét! 7. Adjuk meg az f() = és a g() = parabolák által határolt tartomány területének mérőszámát! 8. Számítsuk ki az értékét úgy, hogy az y-tengely, az f() = egyenletű görbe, valamint e görbének az abszcisszájú pontjához húzott érintője által határolt véges terület mérőszáma legyen! T = 3 9. Vázoljuk az f : R R, f() = függvény grafikonját! Számítsuk ki a b R paraméter + 4 értékét, ha a görbe alatti terület a [ b, b] intervallumon!. Ábrázoljuk ugyanabban a koordináta-rendszerben az f() = sin és a g() = cos függvényt, majd számítsuk ki, hogy mekkora területűek a megadott görbék által közrezárt tartományok!. Mekkora területű síkidomot zár közre az y = parabola és az + y = 4 kör? } (t) = 3 cos t. Számítsuk ki az paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe alatti terület y(t) = 3 sin t mérőszámát a t π intervallumban! } (t) = r cos t 3. Számítsuk ki az paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe alatti terület y(t) = r sin t mérőszámát a t π 4. Számítsuk ki az intervallumban (r > )! (t) = 3(t sin t) y(t) = 3( cos t) }, t [, π] paraméteres egyenletrendszerrel adott közönséges ciklois egy íve alatti terület mérőszámát!

13 5. Mekkora az (t) = cos t y(t) = cos t }, t [, π] paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe és az y tengely közé eső síkrész területe? Készítsünk vázlatot! 6. Számítsuk ki az r = 4 cos ϕ görbe (lemniszkáta) területét! Vázoljuk a görbét! 7. Számítsuk ki azon síktartomány területét, amely az r = + cos ϕ görbén belül és az r = körön kívül van! 8. Számítsuk ki azon síktartomány területét, amely az r = cos ϕ görbén belül és az r = körön kívül van! Készítsünk ábrát! 9. Határozzuk meg az r = sin ϕ kör által határolt tartomány r = cos ϕ kardioidon kívül eső részének a területét!. Számítsuk ki annak a síktartománynak a területét, amely az r = 4 cos ϕ görbén belül, de az r = cos ϕ görbén kívül van! Készítsünk ábrát!. Határozzuk meg az r = 4 kör és az r = 4 cos ϕ lemniszkáta közé eső véges síktartomány területét! Készítsünk ábrát!. Határozzuk meg az r = sin ϕ négylevelű lóhere egyik levelének területét! 3. Számítsuk ki az alábbi görbék ívhosszát! Síkgörbék ívhosszának számítása y = ch, [, 3]; (b) y = 4, [, ]; [ π y = ln sin, 4, π ] ; (d) y = ln( ), y = ( + ) 3, [, ] ; [ 6, ] ; (f) 6y = 4 + 3, [, ] Számítsuk ki az (t) = 3 cos t y(t) = 3 sin t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! Vázoljuk a görbét! } 5. Számítsuk ki az (t) = e t sin t y(t) = e t cos t } paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban!

14 6. Számítsuk ki az (t) = t sin t y(t) = cos t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! } 7. Számítsuk ki az (t) = cos 3 t y(t) = sin 3 t } paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π a görbét! intervallumban! Vázoljuk 8. Számítsuk ki az (t) = 4(cos t + t sin t) y(t) = 4(sin t t cos t) paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe ívhosszát a t π intervallumban! 9. Számítsuk ki az r = + cos ϕ kardioid kerületét! Vázoljuk a görbét! 3. Határozza meg az r = e ϕ spirális ívhosszát, ha ϕ [, ln ]! } 3. Határozza meg az r = cos ϕ görbe ívhosszát, ha ϕ [, π]! Forgástest térfogatának számítása 3. Számítsuk ki az alábbi görbék -tengely körüli forgatásával nyert testek térfogatát! y = 4 + 5, [, 6]; (b) y = , [, 3]; y = ch 3, [, ] ; (d) y = 4 + 3, [, ] ; y = + 3, [, 6]; (f) y = ln, [, e]; (g) y = e, [, ]. (h) y =, [, 4]. 33. Számítsuk ki az y = sin görbe -tengely körüli forgatásakor keletkező végtelen gyöngysor egy gyöngyszemének térfogatát! 34. Az y = sin görbe egy fél hullámát megforgatjuk az -tengely körül. Mekkora az így 3 keletkező test térfogata? 35. Tekintsük az y = 3 egyenletű görbe, az y = egyenes és az y-tengely által közrezárt véges síkrészt! Mekkora térfogatú forgástestet kapunk, ha a tartományt az y-tengely körül megforgatjuk? 36. Forgassuk meg az -tengely körül azt a síktartományt, amelyet az y = hiperbola, az =, az = 3 és az y = egyenesek határolnak! Mekkora a keletkező forgástest térfogata?

15 37. Tekintsük az y = ( 3) és az y = 4 görbék által határolt tartományt! Az - illetve az y-tengely körüli forgatással keletkező forgástestek közül melyiknek nagyobb a térfogata? 38. Számítsuk ki az 9 + y = egyenletű ellipszis -tengely körüli forgatásával keletkező forgási ellipszoid térfogatát! 39. Számítsuk ki az (t) = t sin t y(t) = cos t }, t π közönséges ciklois egy ívének -tengely körüli megforgatásakor keletkező forgástest térfogatát! Forgástest felszínének számítása 4. Számítsuk ki az alábbi görbék -tengely körüli forgatásával nyert testek felszínét: y = 3, [, ] ; (b) y = sin, [, π] ; y = r, [ r, r]; (d) y = +, [4, ] ; y = + 3, [, 5] ; (f) y = 3 (3 ), [, 3]. 4. Az y = e + e egyenletű görbe [, ln ] intervallum feletti ívét forgassuk meg az -tengely körül. Mekkora az így keletkezett forgástest térfogata és teljes felszíne? 4. Számítsuk ki az y = +, [, 3] egyenes szakasz y-tengely körüli forgatásával keletkező csonkakúp palástjának felszínét! 43. Számítsuk ki az 4 + y = egyenletű ellipszis -tengely körüli forgatásával keletkező forgási ellipszoid felszínét! 44. Mekkora az (t) = cos t y(t) = + sin t }, t π paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe -tengely körüli forgatásakor keletkező forgástest felszíne? 45. Mekkora annak a forgástestnek a felszíne, amely az (t) = } t 3 3 y(t) =, t 3 t paraméteres egyenletrendszerrel adott görbe y-tengely körüli forgatásakor keletkezik?

16 6. feladatlap Improprius integrálok. Számoljuk ki a következő improprius integrálokat! d; e d; (b) (d) d; e d; (g) (i) (k) ln d; sin d; + d; (f) (h) (j) d; (l) + 3 d; sin e e d; d; + d.. Számoljuk ki a következő improprius integrálokat! d; ln d; (b) (d) d; π tg d; (g) (i) 3 d; (f) 4 sh d; d; 9 d (h) (j) π 4 cos d; d. 3. Határozzuk meg az f : R + R, f() = ln függvény grafikonja és az -tengely által közrezárt véges síkrész területét!

17 4. Számítsuk ki a következő integrálokat! (4 ) d; (b) d; (d) ( ) + 3 ( )( + ) d; (f) 3 d; 3 arctg d; ( + )( + ) d. 5. Legyen f : R R,, ha ; f() =, ha < ; e, ha >. Számítsuk ki az f() d és f() d improprius integrálokat! 6. Milyen α R paraméter esetén teljesül az alábbi egyenlőség? e α d = 7. Milyen β R paraméter esetén lesznek az alábbi integrálok konvergensek? (ln ) β d; (b) (ln ) β d. 8. Tekintsük az f : R R, f() = e függvény grafikonja és az -tengely által határolt síkrészt! Mekkora az első síknegyedbe eső síkrész területe? (b) Forgassuk meg az első síknegyedbe eső síkrészt az -tengely körül! Mekkora a keletkező forgástest térfogata? Forgassuk meg az első síknegyedbe eső síkrészt az y-tengely körül is! Mekkora a keletkező forgástest térfogata?

18 9. Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi improprius integrálok konvergensek-e! Alkalmazzuk az összehasonlító kritériumot a feladatok megoldása során! (g) (i) π d; d; (b) (d) + d; (f) + sin d; (h) e d; (j) π + + d; 6 + d; + cos ln d; d; ( + ) d.. Az integrálkritérium segítségével állapítsuk meg, hogy az alábbi sorok közül melyek konvergensek! n=n ln n ; (b) n=n + ; n n=n + ; (d) n n=e ; n n(ln n) ; (f) arctg n n +. n= n=

19 . Vázolja az f() = 7. feladatlap Fourier sorok {, ha < π π, ha π < < π, f( + π) = f() függvény grafikonját! Fejtse Fourier-sorba f()-et!. Fejtse Fourier-sorba az alábbi függvényeket! {, ha π < π f() = f( + π), egyébként. (b) Felhasználva az előző sorfejtést, számítsa ki az sor összegét! 5 { f() =, ha π < π f( + π), egyébként. {, ha < π (d) f() =, f( + π) = f()., ha π < < π, ha π < < f() =, ha =, = π, f( + π) = f()., ha < < π (f) Felhasználva az előző sorfejtést, számítsa ki az sor összegét! 7 { π, ha < < π (g) f() =, f( + π) = f(), ha = (h) Felhasználva az előző sorfejtést, számítsa ki az sor összegét! 7 3. Határozza meg az f() = sin ( π < π), f() = f( + π) periodikus függvény Fourier-sorában cos és sin együtthatójának az értékét! 4. Határozza meg az f() = cos ( π < π), f() = f( + π) periodikus függvény Fourier-sorában cos és sin együtthatójának az értékét! {, ha π < π 5. Adott az f() = függvény. Vázolja a függvény grafikonját! Adja f( + π), egyébként meg az f függvény Fourier-sorában az a 3 és b 4 együtthatók értékét! {, ha π < π 6. Adott az f() = függvény. Vázolja a függvény grafikonját! Adja f( + π), egyébként meg az f függvény Fourier-sorában a sin és cos 4 együtthatóinak értékét!

20 , ha π π 7. Határozza meg az f() =, ha π < < 3π sorában a 5 és b 3 értékét!, f(+π) = f() függvény Fourier-, ha π π 8. Határozza meg az f() = 3, ha π < < 3π sorában a 3 és b 4 értékét!, f(+π) = f() függvény Fourier- π +, ha π < 9. Adott az f() = π, ha < π, f( + π) = f() függvény. Vázolja a függvény grafikonját! (b) Adja meg az f függvény Fourier-sorát!

21 8. feladatlap Közönséges elsőrendű differenciálegyenletek. Oldjuk meg az y = y differenciálegyenletet!. Oldjuk meg a következő, szétválaszható változójú differenciálegyenleteket! ( + )y 3y = ; (b) ( y + 6y)y + (y ) = ; (y + y ) = ( )y ; (d) dy d = e y ; y + ( ) ctg y = ; (f) yy e = cos 3; (g) y = y + 3y 4; (h) y sin = y ln y; (i) ( )y = y ln y; (j) y = y ln y; (k) y + ( + 5)y = ; (l) y + ( + 4y)y = ; (m) ( + y )d + ( + )dy = ; (n) ( y )dy + (y + y )d = ; (o) ( cos y)y = + sin ; (p) y = + y ; (q) y sin + sin y = ; (r) ( )y = y. 3. Keressük meg az alábbi differenciálegyenletek esetén azt a partikuláris megoldását, amelyik az adott kezdeti érték feltételt kielégíti! ( π ) y = y ln y; y() = e; (b) y sin = y ln y; y = ; e y e y = ; y() = ln ; (d) y = yy ; y ( ) =. 4. Oldjuk meg a következő, alkalmas helyettesítéssel szétválasztható változójú differenciálegyenletre visszavezethető differenciálegyenleteket! (y )y + + y = ; (b) y = y cos y ; yy + y = ; (d) y = e y + y, (y) = ; ( 3 + 3y )y = y + y 3, y() = ; (f) y + ( + 4y)y = ; (g) dy d = + y 3y ; (h) y = (y ) ; (i) ( y) y = 5; (j) y = sin( + y).

22 5. Határozzuk meg annak a görbének az implicit egyenletét, ( amely átmegy a P (, 3) ponton, és amelynek a P (, y) ponthoz tartozó meredeksége + y )! 6. Oldjuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket! y = y ctg + sin ; (b) y + y = e ; y = 3y + ; (d) y + y tg = cos ; y + y sh = sh ; (f) y + y = e + 3e ; (g) y 3 y = ; (h) y y = e ( + 3 ); (i) y = y + y ln y; (j) ( )y = y + ( ). 7. Keressük meg az alábbi differenciálegyenletek adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását! y y = ln, ln e y = ; (b) y y =, y () = ; y cos + y = tg, y() = ; (d) y + y + = +, y () = ; + y + y = + 3, y() =.

23 9. feladatlap Bernoulli-féle differenciálegyenletek. Oldjuk meg az differenciálegyenletet! y y = 4 3 y. Keressük meg az alábbi, Bernoulli-féle differenciálegyenletek áltanános megoldását! ( ) y + 4 y = 3 y ; (b) y y = y 5 ; y y = y 3 ( + ln ); (d) y + y + y = ; (g) y = y y ; (f) yy + y tg = cos ; y + y tg + y3 cos = ; (h) y + y = y. 3. Keressük meg az kezdetiérték feladat megoldását! y + y = ln, y() =, ( > ) y3 Görbesereg differenciálegyenlete, ortogonális trajektóriák 4. Írjuk fel az y = C görbesereg differenciálegyenletét! 5. Írjuk fel az + y = C görbesereg differenciálegyenletét! 6. Írjuk fel az első és a harmadik síknegyedben lévő azon körök differenciálegyenletét, amelyek érintik az y = és az = egyeneseket! 7. Határozzuk meg az y = C, C R \ {},, y parabolasereg ortogonális trajektóriáinak egyenletét! 8. Írjuk fel az y = C, C R \ {},, y görbesereg ortogonális trajektóriáinak egyenletét! 9. Írjuk fel az y = C egyenletű hiperbolák ortogonális trajektóriáinak egyenletét!

24 . Adjuk meg az = Ce y + y + egyparaméteres görbesereg ortogonális trajektóriáit az első síknegyedben! Magasabbrendű differenciálegyenletek. Oldjuk meg az alábbi, hiányos másodrendű differenciálegyenleteket! y = sin cos sin 3 ; (b) ( + sin ) y + cos = ; y (y ) + 4 = ; (d) y = y ln y ; ( )y y = ; (f) ( + )y + (y ) + = ; (g) y y = 3 ; (h) y (y + 3) (y ) = ; (i) y = y y ; (j) yy = (y ) ( y ); (k) 3y = (y ) ; (l) (y ) + yy = yy.. Határozzuk meg a következő differenciálegyenletek esetén az adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást! y = e, y() =, y () = ; (b) y y = ( ), y() =, y () = ; yy (y ) =, y() =, y () = ; (d) y = y e y, y() =, y () =. 3. Oldjuk meg az alábbi, állandó együtthatójú homogén lineáris differenciálegyenleteket! y + y 3y = ; (b) y + 4y + 4y = ; y y + 5y = ; (d) y (4) 5y + 4y = ; y y + y = ; (f) 4y 4y + y = ; (g) y (5) y (4) + 8y 6y + 6y 3y =. 4. Írjuk fel az y y y =, y() =, y () = 5 differenciálegyenlet adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását!

25 5. Határozzuk meg az y + y 5y + 3y =, y() =, y () = 4, y () = 4 differenciálegyenlet adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását! 6. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket! y y + y = e 3 + 3e ; (b) y + 4y = sin ; y 6y + 9y = 5e sin ; (d) y + 6y + 9y = 3 sin 4; y + 4y + 4y = 5 cos ; (f) y + 5y + 4y = 3 ; (g) y + y = + ; (h) y y = 3 5; (i) y y = 3 cos + 4; (j) y (4) + y = + e ; (k) y y = + 6; (l) y (4) y = ;. 7. Oldjuk meg az differenciálegyenletet! y (5) + y = e Írjuk fel az alábbi differenciálegyenletek adott kezdeti feltételeit kielégítő partikuláris megoldását! y + y y = e 5, y() =, y () = ; (b) y + y 6y =, y() =, y () = ; ( π ) ( π ) y y = cos, y =, y = ; 3 3 (d) y + y + y = sin, y() = 5, y () =.

26 . feladatlap Többváltozós függvények. Határozzuk meg az f(, y) = + y 4 y függvény értelmezési tartományát!. Adjuk meg az f(, y) = ln(6 y ) + ln( + y ) függvény értelmezési tartományát! 3. Határozzuk meg az f(, y) = e ln(y) függvény értelmezési tartományát! 4. Határozzuk meg, hogy R 3 mely legbővebb részhalmazán értelmezhető az függvény! f(, y, z) = z y + 4 y z 5. Ábrázoljuk az alábbi felületek által határolt testeket! z = 5 y, z = ; (b) + y + z = 9, z ; z = 6 y, z = + y ; (d) + y = 4, z =, z = 4; z = 4 y, z = 4 + y. 6. Ábrázoljuk azt a térrészt, amelyet a z = 6 + y kúp, a z = + y paraboloid és az + y = 9 egyenletű henger határol! 7. Vázoljuk az + y = egyenletű henger, az y-sík és a z = ( + y ) egyenletű paraboloid által meghatározott testet! 8. Ábrázoljuk azt a térrészt, amelyet a z = + y kúp és az + y = egyenletű henger határolnak! 9. Vázoljuk az 6 + y 9. Határozzuk meg az egyenes, és az ellipszoid metszéspontjait! = egyenletű hengert! 6 3 = y + 6 = z y 36 + z 9 =

27 . Mutassuk meg, hogy a y z = síknak és a z = 9 + y 4 közös pontja van! Adjuk meg a pont koordinátáit! paraboloidnak egyetlen. Igazoljuk, hogy lim 3y = 4. (,y) (,) 3. Határozzuk meg a határértékeket, ha léteznek! lim (,y) (,) 4. Mutassuk meg, hogy a lim 5. Határozzuk meg a határértékeket, ha léteznek! (,y) (,) lim (,y) (,) y és lim + y (,y) (,) y határérték nem létezik! + y y és lim + y (,y) (,) y + y 4 y 4 + y 4 6. Folytonossá tehető-e az origóban az f(, y) = y kétváltozós függvény? + y Parciális deriváltak 7. Határozzuk meg az alábbi függvények elsőrendű parciális deriváltjait! f(, y) = 3 + 4y y + 6; (b) f(, y) = ln ( + y ); f(, y) = y ; (d) f(, y) = + y y ; f(, y) = e y ; (f) f(, y, z) = arctg z y ; (g) f(, y) = ( y + y ) 7 ; (h) f(, y, z) = y +cos z. 8. Határozzuk meg az f y és az f yy parciális deriváltakat, ha f (, y) = 3 y 5 y 3 + 8! 9. Határozzuk meg az f (,, ) és az f yy (,, ) értékeket, ha f (, y, z) = e z y!. Igazoljuk, hogy a z = arctg y. Mivel egyenlő a kétváltozós függvény teljesíti a z + z yy = egyenlőséget! y f + y f yy kifejezés, ha f(, y) = y ln y?

28 . Mivel egyenlő az kifejezés, ha f(, y) = y + y? f + y f y 3. Mivel egyenlő a f y f y kifejezés, ha f(, y) = ln y + y? Az iránymenti derivált, a felület érintősíkja 4. Számítsuk ki az alábbi iránymenti deriváltakat! 5. f (, y) = + y ; P (, ), v = (3, 4). ( π ) (b) f (, y) = sin ( + y); P, π, v = ( 3, ). 6 f (, y) = e y ye ; P (, ), v = (, 5). (d) f (, y) = ln ln y ; P (e, e ), v = (, 5). f (, y) = + y ; P (, ), a v vektor ϕ = π szöget zár be az - tengely pozitív irányával. 3 (f) f (, y) =sh( + y)ch ( y); pozitív irányával. (g) f (, y) = irányával. (h) f (, y) = y; +y ; P (, ), a v vektor ϕ = π 4 szöget zár be az - tengely P (3, 7), a v vektor ϕ = π szöget zár be az - tengely pozitív P (, 4), a v vektor ϕ = π 6 szöget zár be az - tengely pozitív irányával. Írjuk fel az alábbi felületek esetén a felületi normálist, valamint az érintősík egyenletét a megadott pontban! f (, y) = 3 y y; P (,, ) ( π (b) z = e y sin ( + y); P 6,, ) f (, y) = ln + y ; P (,, ) (d) z = e y ; P (,, ) z = y ; P (,, 3) + y (f) yz 4z 3 = 3; P (,, ) (g) e y cos z = ; P (,, ) (h) z + z y = ; P (, 3, )

29 πy 6. Adott az f(, y) = cos kétváltozós függvény. + y Írja fel az f függvény P (, ) pontbeli gradiensét! (b) Határozza meg az f függvény iránymenti deriváltját a P (, ) ponton átmenő v = (, ) irányvektorú egyenes mentén! Írja fel a z = f(, y) felület P (, ) pontbeli érintősíkját! 7. Számítsa ki az f(, y) =arctg y függvény P (, ) pontjában az iránymenti deriváltat az a = (, 3) irányban; (b) a z = f(, y) felület P pontbeli érintősíkját! 8. Határozzuk meg az alábbi f : R R függvények Hesse-mátriát! f (, y) = 3 y + y 3 ; (b) f (, y) = e y ; f (, y) = sin (y) ; (d) f (, y) = y ; f (, y) = ln ( + y). A kétváltozós függvény szélsőértéke 9. Határozzuk meg az alábbi többváltozós skalárértékű függvények ((, y) R ) lokális szélsőértékeit! f (, y) = 3 + y + y ; (b) f (, y) = ( ) + 4 (y 3) ; f (, y) = y + e y ; (d) f (, y) = 4 3y 3 y; f (, y) = + y + y; (f) f (, y) = 3 3y + y 3 ; (g) f(, y) = + y y + 4 y + 5; (h) f(, y) = 4 + y 3 3 7y ; (i) f(, y) = y( + 4y + ). 3. Vizsgáljuk meg az f(, y) = + y + 8 8y függvényt lokális szélsőérték szempontjából! 3. Legyen f(, y) = 3 y 4 + 5y függvény adott. Hol van a függvénynek lokális maimuma vagy minimuma?

30 3. Hol van az f(, y) = 3 y + 5 y függvénynek lokális maimuma vagy minimuma? 33. Hol van lokális maimuma vagy minimuma az f(, y) = e 3 +y 3 3y függvénynek? 34. Mutassuk meg, hogy az f(, y) = ( y)( y) kétváltozós függvénynek nincs sem lokális maimuma, sem pedig lokális minimuma! 35. Adjuk meg azokat az, y, z pozitív valós számokat, amelyekre +y+z = 8 és yz maimális! 36. Határozzuk meg azokat az, y, z pozitív valós számokat, amelyekre yz = 64 és + y + z minimális! 37. Igazoljuk, hogy az adott felszínű, téglatest alakú, tetővel ellátott dobozok közül a kocka alakúnak a legnagyobb a térfogata!

31 . feladatlap. Írja fel a ( y) Kettős integrálok f, ddy kettős integrálban az integrálás határait, ha először, azután y szerint integrálunk (majd fordítva), és a T tartomány a) + y 6 ; b) + y 9, y<; c) y, + y 4 ; d) =, y =, + y = 6 egyenesek által határolt háromszög; e) y 8, y, 4 + y 4; f) y, y, y.. Vázolja az alábbi kettős integrálok integrálási tartományát: 4 4 a) f (, y) ddy ; b) (, y) = y= c) f (, ) = y= = y= π cosϕ f ddy ; y dyd ; d) f ( r, ϕ ) drdϕ. ϕ = r= 3. Cserélje fel az integrálás sorrendjét az alábbi kettős integrálokban: a) f (, y) ddy ; b) (, y) = y= 3 = 6 y= c) f (, y) ddy ; d) (, y) = y= y y= = y 4. Számítsa ki a következő kettős integrálokat: a) ( ) = y= π 4 c) = y= e) ( ) = y= 3 y ddy ; b) y sin ddy ; d) y ddy ; f) T f ddy ; f ddy. 6 4y ddy ; 4 3 = y= π y cos( + y) ddy ; y= = y ddy. + y 6 5. Számítsa ki a ( y) ddy kettős integrált, ha T az y = 3, az y = 4 görbék és az -tengely által határolt tartomány! 6. Határozza meg annak a tetraédernek a térfogatát, amelyet a koordinátasíkok és a z = y sík határolnak! 7. Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet az + y = egyenes henger, az y sík és az + z = sík határol! T= y, : ; y tartományt! Számítsa ki a 8. Vázolja a ( ) { }

32 T (sin + y) ddy kettős integrált! 9. Számítsa ki az Aa ( ) = ddy kettős integrált, ahol T 3 a az origó T a ( + y + ) középpontú, a sugarú körtartomány. Határozza meg az így kapott Aa ( ) kifejezés határértékét, ha a!. Számítsa ki a yddy kettős integrált, ahol a T tartomány az origó T középpontú egységnyi sugarú körnek az a része, amelyre teljesül, hogy és y!. Vázolja azt a T síktartományt, amely az r = + cosϕ görbén belül és az r = körön kívül van! Számítsa ki a ddy kettős integrált! + y. Számítsa ki az alábbi felületek által határolt térrész térfogatát: a) z = 5 y, z = ; b) + y + z = 3, z = + y ; c) d) z y z y = 6, = + ; z y z y = 8, = + ; e) + y =, z = + y, z = ; f) z = 4 y, y =, z = ; g) + y = 4, z = + y +, z =. 3. Számítsa ki annak a testnek a térfogatát, amelyet a z = felületek metszenek ki az + y = 4 hengerből! T 3 z = ( + + y ) és a 4. Számítsa ki integrálszámítás segítségével az R = 3 sugarú gömb térfogatát! 5. Számítsa ki annak a térrésznek a térfogatát, amelyet a z y = 6 + kúp, a z = + y paraboloid és az + y = 9 egyenletű henger határol! 6. Legyen T az y = görbe és a + y = 3 egyenes által határolt tartomány. Határozza meg T területét kettős integrállal! 7. Számítsa ki integrálszámítás segítségével az R = 5 sugarú gömb térfogatát és felszínét! 8. Számítsa ki a következő felületek felszínét: a) 6+ 3y+ 3z =,, y, z ; b) z = y, + y 4; c) + y + z =, + y 4, z ; d) + y = 3 z, + y Számítsa ki a z = 5 y és a z = 6 felületekkel határolt test teljes felszínét!

33 . Számítsa ki annak a térrésznek a térfogatát és a teljes felszínét, amelyet a z y = 6 + kúp, a z = + y paraboloid és az + y = 9 egyenletű henger határol!. Határozza meg annak a tetraédernek a térfogatát és a teljes felszínét, amelyet a koordinátasíkok és a z = 6 + 3y sík határol!. Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet az + y = egyenes henger, az y -sík és az + z = sík határol! 3. Határozza meg az r = + cosϕ kardioid területét kettős integrállal! 4. Határozza meg az + y + z = 4z gömb azon részének felszínét, amely a z = + y paraboloid belsejében van! 5. Számítsa ki az + y + z = 5 gömb azon részének felszínét, amely a z = és a z = 4 síkok között van! 6. Mekkora a y z = arctg felületnek az + y = 4 henger által kimetszett részének a felszíne? 7. Számítsa ki a z = 5 y felület azon részének felszínét, amely az origó közép-pontú sugarú hengeren belül van! 8. Számítsa ki a következő hármas integrálokat, és vázolja az integrációs alaptartományokat: 3 4 a) dzdyd ; b) = y= z= y c) yzdzdyd ; d) = y= z= 4 dzdyd ; = y= z= 3 y 3 y zdzdyd. = y= z=