Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Átírás

1 Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

2 Két függvények áltl htárolt terület Legyen f és g z, b] zárt intervllumon értelmezett folytonos függvény és tegyük fel, hogy f() g() minden, b] esetén Ekkor z f és g függvények áltl htárolt területe T = y f() g() d f b g H csk nnyit mondunk, hogy z f és g függvények áltl htárolt terület keressük, de nem dunk meg intervllumot, kkor terület függvények két tlálkozási pontj között terjed Azz és b két szomszédos pont, mire teljesül y f() = g() f b g

3 Feldt Htározzuk meg z függvények áltl htárolt területet! f() = 6 + 5, g() = 7 Megoldás: Az f() = g() egyenlet megoldásából megkpjuk z és b értékeket Így = = Ebből = = és b = = 6 Igz, hogy g() f() minden, 6] esetén Ehhez elég két függvény értékét összehsonlítni z intervllum egyik pontján, pl f(3) = 4 < = g(3) A keresett terület T = = 6 g() f() d = d = 7 ( 6 + 5) d = ] 6 = 3 3 Feldt Htározzuk meg z y =, y = görbék áltl htárolt területet! Megoldás: Az ábrából láthtó, hogy keresett terület kétszer kkor, mint z f() =, g() = függvények áltl htárolt terület, ] intervllumon y f g 3

4 Vlóbn keresett terület szimmetrikus z y tengelyre nézve, illetve z f() = g() egyenletből = + = egyenlet következik, melynek egyetlen pozitív megoldás = keresett terület Ezért T = = f() g() d = 3 3 ] = 7 3 d = 4

5 Forgástestek térfogt és felszíne Legyen f egy z, b] zárt intervllumon értelmezett pozitív és folytonos függvény Forgssuk meg függvényt z tengely körül Az így keletkezett forgástestek térfogt V = π f () d és felszíne y S = π f() + (f ()) d b 3 Feldt Htározzuk meg z f() = függvény z, 4] intervllumon tengely körüli forgtásávl keletkezett forgástest térfogtát és felszínét! Megoldás: A keresett térfogt: Mivel 4 V = π f () d = π ( 4 ) d = π d = π f () =, 5 ] 4 = 5 π

6 így keresett felszín: S = π f() + (f ()) d = π 4 = π d = π A t = 4 + helyettesítéssel S = π = π ( ) + d = d = π 4 + d d = π t t 5 d = π 7 t t 3 5 d = π 6 ( ) , 846 ] 7 5 = 4 Feldt Htározzuk meg z r sugrú gömb térfogtát és felszínét! Megoldás: A gömb úgy tekinthető, mint z origó középpontú r sugrú kör felső félkörének tengely körüli forgtásávl keletkezett forgástest A felső félkört z f() = r függvény dj meg, hol r Ezért gömb térfogt: V = π = π r f () d = π r 3 3 ] r = π ( ( r r ) d = π r 3 r3 3 ( 3 + r3 3 )) r d = = 4π 3 r3 Mivel f () = r, így gömb felszíne: r S = π f() + (f ()) d = π r = π r = π ( ) r + d = r r + r r d = π r + d = r r d = πr d = πr ] r = πr(r ()) = 4πr 6

7 3 Ívhosszszámítás Legyen f egy z, b] zárt intervllumon értelmezett folytonos függvény Az intervllumon keletkezett görbeív hossz y L = + (f ()) d f 5 Feldt Htározzuk meg z b f() = függvény, 4] intervllumon keletkezett görbeívének hosszát! Megoldás: Mivel így keresett ívhossz: L = A = sh t helyettesítéssel f () =, + (f ()) d = 4 + () d 4 rsh 8 L = + () d = + sh t ch t dt = rsh 8 ch t dt = = rsh 8 ch t + dt = ] rsh 8 sh t + t = sh t + sh t + t 4 4 = ( rsh 8 ) 6, 88 4 ] rsh 8 = 7

8 4 Feldtok 6 Feldt Htározzuk meg következő függvények áltl htárolt területet! f() =, z tengely f() =, g() = 3 f() = 3, g() = f() = 9, g() = f() = 3, g() = 6 f() = 4 4, g() = 4 7 f() = 4 3, g() = f() = + sin, g() = 9 f() = e, g() = e f() =, g() = + 7 Feldt Htározzuk meg következő görbék áltl htárolt területet! y =, + y = 8 = (y ), + y = 6 3 y =, y =, y = 3 4 y = 4, = 4y 5 y 3 =, y =, = y 9 =, = 4 7 y = sin, y = cos, = 8 y = ln, y =, = e 9 y = ln, y = y = e, y =, = 8 Feldt Htározz meg z y = 7+ görbe és koordináttengelyek áltl bezárt véges területet! 8

9 9 Feldt Mekkor területet zár be z y = 4 4 görbe z (, 3) pontjához húzott érintő és z tengely? Feldt Mekkor területet zár be z y = görbe z = 4 bszcisszájú pontjához húzott érintő és z y tengely? Feldt Mekkor területet zár be z y = +4 3 görbe és z = és = 3 bszcisszájú pontjihoz húzott érintők? Feldt Htározz meg z + y = ellipszis területét! b 3 Feldt Htározzuk meg következő függvények dott intervllumon tengely körüli forgtásávl keletkezett forgástest térfogtát! f() =,, ] f() = 3,, 8] 3 f() =, 4, ] 4 f() =,, ] 5 f() = 4 3 +,, ] 6 f() = sin,, π ] 7 f() = log,, 8] 8 f() = e,, 3] 9 f() =, 3 + e, ] f() = tg,, π ] 8 4 Feldt Htározz meg z + y = ellipszis tengely körüli forgtásávl keletkezett forgástest térfogtát és b felszínét! 5 Feldt Htározz meg z + (y v) = r kör tengely körüli forgtásávl keletkezett forgástest térfogtát és felszínét! 6 Feldt Mekkor lesz nnk testnek térfogt, melyet egy háromszög tengely körüli forgtásávl keletkezik, h háromszög csúcsink koordináti (, ), (, ) és (, 4)? 9

10 7 Feldt Htározzuk meg következő függvények dott intervllumon tengely körüli forgtásávl keletkezett forgástest felszínét! f() = 3,, ] f() = 3,, ] 3 f() = 9,, ] 4 f() = 3 (3 ),, 3], π 5 f() = cos, 6 f() = tg, ], π ] 4 7 f() = e,, 8 Feldt Htározzuk meg következő függvények dott intervllumon keletkezett görbeívének hosszát! f() = 4 3,, ] 3 f() =,, 4] 3 f() = 3 3 +,, 3] 4 4 f() = ln,, e] 5 f() = ln cos,, π 4 6 f() = ln( ), ], ] 4 7 f() = ch,, ln ]