Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Átírás

1 5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet: x + ( y-) - = = ( x- ) + y - Innen e: x- y+ = 0 A P pont kpott egyenesen fut végig együk észre, hogy e= K K 9 Az ABCD tégllp csúcsi: A(; - ), B(9; ), C(5; ), D(- ; - ) Ugynis AD( - ; ), elforgtv -90 -kl v(; ) OB = v + OA, hol O z origó OB(; 9) Az ABCD köré írhtó kör egyenlete: ( x- ) + ( y- 5) = 5 Legyen y = 0, d 5, d = 9 Az AD vektort +90 -kl elforgtv AB*C*D tégllpot kpunk, 5 A kör z x tengelyt ne etszi 0 Az dott kör középpontj: K(0; - ), sugr r = 5 egység, PK = 50 egység Az érintôszksz d hosszár felírhtjuk következô egyenletet: d = 50-5, d = 5 Az érintési pont koordinátáit z ( ) ( ) = 5 egyenletrendszer gyökei dják ( ; ), x + y + y= - 0 E (; - ) EE = : : A C csúcsot z AB szksz felezôerôlegese etszi ki z dott körbôl Két egoldás vn: C(; - ), C (; - ) A keresett k kör középpontj rjt vn z x = egyenletû egyenesen és z E(; - ), A(0; ) pontokt összekötô szksz felezôerôlegesén Az x =, x+ y= egyenletrendszer gyökei K K J N J ; O k egyenlete: ( N = 9, K O ert r = + A P pont koordinátái: ( x; y) Ekkor ( x+ ) + y + ( x- ) + y = 0+ ( x- ) + y = 6 A kör inden pontj egfelel Htározzuk eg z y= ( x-) és z y=- x egyenletû egyenesek M etszéspontjánk koordinátáit Rögtön dódik, hogy (0; 0) és (; 0) koordinátájú pontok ne lehetnek z ` egyenletrendszer gyökei Ugynis, h y = 0, kkor = 0, vgy _ () y= ( x-) b () y=- x b x = De itt = 0 és ()-es egyenlet szerint x = 0 dódn, i ellentondás Feltételezve, hogy! 0, x =, y =- Küszöböljük ki! R \ {0} ( + ) 6 6 prétert x + y = & x + y = De x, ( + ) + + tehát x + y + x= 0 A értni hely olyn kör, elynek középpontj K(- ; 0) pont és sugr r = A (0; 0) és (; 0) pontok ne trtoznk értni helyhez

2 egyes feldtok 59 5 Jelöléseinket z ábrán láthtjuk Legyen 5 0 E b E 5, kkor 0 # # 0 A C pont koordinátáir igz, hogy ( - 5) + b = 5+ + b - 0= 0 A D pont (x; y) koordinátáir felírhtjuk következô egyenlôségeket: x=, y = + b De + b = = 0= 0x, tehát y = 0x, hol 0 # x # 0 és 0 # y # 0 A értni hely z y = 0x egyenletû prbolánk z ábrán láthtó OE íve 6 Az érintô egyenlete y= x- lkú Az egyenesnek egy közös pontj vn prbolávl, h z x- = x egyenlet diszkriináns 0 =! ; y=! - 7 A P(-; -) ponton átenô egyenessereg egyenlete: y+ = ( x+ )& y & x = + - ( y+ -) Az egyenes érintô, h z y = egyenlet diszkriináns 0 Két érintôt kpunk: e : y= x+, e : y=- x- y= ( -) -6( - ) + 0= + és y= ( + ) - 6( + ) + 0= + 9 b = 0, =- 5 0 Helyettesítsük z y= x + bx+ c egyenletben z x és y helyére z dott pontok koordinátáit A kpott egyenletrendszerbôl =, b =-, c = 6 y= ( x-) - F ; - K J 5 N, O 7 p vezéregyenes egyenlete: y =-, ert p =, = és tengelypont: C(; - ) Oldjuk eg z y x = + x egyenletrendszert x ( ) x 0 y= x + - = Egy közös pont vn, h = Az y= x egyenes érinti prbolát H!, z egyenes két pontbn etszi prbolát, kivéve z y tengelyt, ely (0; 0) pontbn etszi prbolát Az y=- x egyenes- J 5 5 N 5 5 nek prbolávl két közös pontj vn O (; 00 ), M K - ;, O OM = Az y= x és z y= x + egyenletekbôl álló egyenletrendszernek egy egoldás vn, h =! Az érintôk egyenletei: y=! x E( - ; ), E (; ) y= ( x+ ) + c- A tengelypont z x =- egyenletû egyenesre illeszkedik c értékétôl függetlenül H c =, kkor tengelypont T(- ; 0) A P(; ) pont koordinátái kielégítik prbol egyenletét Innen b+ c= 0, c=- b Az y= x egyenletû egyenes érinti z y= x + bx-b prbolát, h diszkriináns ( b- ) + b= 0 b =-, c = 5 A prbol z x tengelyt z A(- ; 0), B(; 0) pontokbn etszi A kör egyenlete + 6 x + ( y- ) = 5 C(; 7), D(- ; 7) Az ABCD trpéz területe: t = $ 7 = 9 területegység

3 590 egyes feldtok 6 A prbol z x tengelyt P (; 0) és P (; 0) pontokbn etszi Az érintô iránytngensét z fx () =- x+ x- függvény deriváltjávl száíthtjuk ki fl() x =- x+ f l() = és f l() =- Az érintôk egyenletei: e : y= x- és e : y=- x+ 6 Az e e = 5, 7 A prbol P (; ) pontjábn z érintô iránytngense z fl() x = x függvénnyel száíthtó ki, = A PA egyenes iránytngense - = PA( 9-; - ) A erôlegesség feltétele: 9 - =- - $ = = 0 9 -,! 9 Az egyenlet bl oldl szorzttá bonthtó ( -7)-5( - ) = 0+ ( - )( + 6+ ) = 0 Innen =, =- 06,, =- 6, A P pontr háro egoldás vn P (; 9 ), P ( , ;, ), P ( , ;, ) I egoldás A P(; - ) ponton átenô egyenesek egyenlete z iránytngenssel kifejezve: y= x-- -et úgy kell eghtározni, hogy z y x _ = b ` egyenletrendszernek egy egoldás legyen A diszkriináns D= 6 - ( 6+ ) Az egyenes y= x--b érinti prbolát, h D = 0; =, =- Két érintô húzhtó: y= x-, vgy y=- x- Az érintési pontok koordinátái: T (; ), T ( - ; ) ) Ekkor = - + igz állítás b) F (; 0 ) PF = 0, TF = 0, T F= lóbn PF = TF $ TF II egoldás Az érintô iránytngensét z fx () = x, x! R függvény derivált függvényével is eghtározhtjuk fl() x = x A T (; ) pontbn f () J N l = = PT - ; + K O L P + A PT érintô iránytngense: = Innen, - = =- T (; ), T ( - ; )! 5! 5 9 Két érintôt kpunk y= x- - együk észre, hogy =- & & z érintôk erôlegesek egyásr P vezéregyenesen vn 50 Az y= x - egyenletû prbolát z y= x+ b egyenletû egyenes két pontbn etszi, h + b > 0 Ekkor etszéspontok bszcisszái: b x = + + b és x = - + A húr felezôpontjánk elsô koordinátáj: x x x = + = =állndó A értni hely z x = egyenletû egyenesnek prbol belsejébe esô pontji Olyn pontok, elyek ásodik koordinátáj y > $ -, y > A Puv (; ) ponton átenô egyenesek préteres egyenlete: y= x+ v-u, hol! R és u < 0 Az egyenes érinti prbolát, h z y = px y= x+ v-u egyenletrendszernek

4 egyes feldtok 59 y egy egoldás vn és! 0 Az y = + v-u egyenlet diszkriináns 0 kell legyen p () D= p -( pv- pu) = 0 () egyenletbôl p! 0-vl egyszerûsítve: () u - v+ p = 0 dódik () egyenletnek -re két vlós gyöke vn, ert diszkriináns ( v - pu)> 0 0 kkor lenne, h z (u; v) pont prbolpont lenne, de P pont prbol külsô pontj, ezért v > pu A Puv (; ) pontból húzott érintôk pontosn kkor erôlegesek egyásr, h =- A ()-es egyenletbôl p = p p, =- + u =- u u A derékszög csúcsánk értni helye prbol vezéregyenese

5 Nezeti Tnkönyvkidó Rt A kidásért felel: Jóki István vezérigzgtó Rktári szá: 67/II Felelôs szerkesztô: Szlobod Tiborné Mûszki igzgtó: Bbicsné svári Etelk Mûszki szerkesztô: Wéber Andre Grfiki szerkesztô: illá Péter Terjedele: 5,9 (A/5) ív kidás, 005 Forkészítés: Nezeti Tnkönyvkidó Rt, Stúdió