A kör. A kör egyenlete

Átírás

1 A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c) x + y + x - 6y - 0 d) x + y - x - 8, 0 e) x + y + 6y - 0 f) x + y + 0x + 6y a) x + y - 8x - 6y 0 b) x + y + 6y - 8y 0 c) x + y - ax - by 0 d) x + y - 0x + y + 0 e) x + y + x-6y-0-0 (A kör középpontjának koordinátái C(- )) 86 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) egyen x - y 7, y - Az ordináták rendre: + és és és - 8 és és és - Az abszcisszák rendre: y esetén + és - y 0 esetén x 6, x - y - esetén nincs megoldás 87 a) x - 6x + y + 0 b) x + y - 6x - y + 0 c) x + y + x - 6y d) x + y + 8x - 7y x + y 0 Belsô pont az A, mert + 0 < 0 A többi pont a körön kívül van, mert például a B pontra + 0 > 0 89 (x + ) + (y - ) Az A pontra (- + ) + (- ) 8<, tehát A a körön belül van C, E, F a körön van, B és D a körön kívül van 80 A kör egyenlete: (x - ) + (y - ) x- y! Ha y x+, akkor a y - x + egyenletben az y helyére x + -et helyettesítve: x + x + adódik Innen x 0 Ekkor y A 0 O külsô pont, mert ( 0 - ) + - > O Ha y x-, akkor ( x ) + 9 $ x Innen x, y A Q O pont a kör belsô pontja, mert ( - ) + - < O 9 8 A kör egyenlete: x- + y O A x- y+ O egyenletbôl x- y+! Ha y x +, akkor az egyenletrendszer gyöke (0 ), amely a körön kívül van Ha y x -, akkor a megoldás ( ) 8 (x + ) + y 9 8 x + (y - )

2 A kör 8 8 Az egybevágósági transzformációknál a sugár hossza nem változik a) r 6, (6 ) b) r 6, (- 6 -) c) r 6, (-6 ) d) egyen az origó az O pont, a kör középpontja a pont Ekkor az O vektor koordinátái (6 -) Az eltolt kör középpontjának koordinátáit az O +v vektor koordinátái adják: (8 -) e) r 6, ( -) f) O( 6 - ), 90 -kal elforgatva O ( 6 ), r 6 g) (- -6) r 6 h) { + qfu 60, tg`{ + tg{ + tg f f j - tg{ $ tg f tg{ + - egyenletbôl tg{ - tg{ (8 ábra) O O Oldjuk v - meg az u + v és a egyenletrendszert: u + u, v - A kör egyenlete: bx-- l + by- + l 6 i) r, ( -8) j) r, ( -) 8 a) (x - ) + y b) (x + ) + y c) x + (y - ) d) x + (y + ) 86 a) ( ), ( -), r ét megoldás van: (x - ) + (y - ) (x - ) + (y + ) b) (x! ) + (y + 6) c) égy megoldás van: (x! ) + (y - ) vagy (x! ) + (y + ) 87 A középpont koordinátái: (!r r) vagy (!r -r), a sugár r égy megoldás van: x + y! rx - ry + r 0 és x + y! rx + ry + r 0 88 a) A középpont koordinátái (aa) a sugár qau A kör egyenlete (x - a) + (x - a) a b) (a a), r qau, x + y - ax - ay + a 0 c) A kör sugara: r a + a a, itagorasz tétele szerint Egyenlete: x + y - ax - ay 0 89 a) ( 9) Mivel a kör mindkét tengelyt érinti, a középpontjának koordinátái: (r r) és sugara r A kör egyenlete: (x - r) + (y - r) r Ekkor ( - r) + (9 - r) r Innen r, r 7 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) és (x - 7) + (y - 7) 89 b) (x - ) + (y - ) 9 és (x - ) + (y - ) c) (x - 0) + (y - 0) 00 és (x - ) + (y - ) d) bx+ 8+ 0l + by+ 8+ 0l b8+ 0l és bx + 8-0l + by + 8-0l b8-0l 80 a) (6 7), r 6 $ -7 $ - + 6,(x-6) + (y - 7) 6 b) ( x- ) + ( y- ) 7 8 a) (9 9), r, (u ), (x - u) + (y - v) r Mivel rajta van a körön, azért (9 - u) + (9 - ) Innen u, u 6 ét megoldás van: (x - ) + (y - ) és (x - 6) + (y - ) b) (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - 6)

3 A kör egyenlete 8 a) Az AB szakasz felezômerôlegesének egyenlete: x - y Ha y 0, x 0 O r A 7 Akör egyenlete: x- + y 9 O b) x + y+ 9 O a) x- + y O b) x + (y + 8) 9 8 a) (x - ) + (y - ) b) (x + 6) + (y + ) 6 c) (x + ) + (y - ) d) x- + y- O O 7 8 a) ( -), (- -), a kör (u, v) középpontja illeszkedik a szakasz felezômerôlegesére, a 7x + y egyenletû egyenesre r qvu Felírhatjuk a következô egyenletrendszert: ( u ) 7u+ v ( v ) v ét megoldás van: u, v -, u, v - A körök egyenletei: (x - ) + (y + ) és (x - ) + (y + ) b) x- b+ le + + y - b+ le b+ l és x-b- le + y-b- le b-l c) (x - ) + y 69 és (x - ) + (y - 8) 86 a) Az érintési pont koordinátái: E( ) E-ben az y x - egyenletû egyenesre emelt merôleges egyenlete: y -x + A kör középpontja az y -x + egyenletû egyenes és a (0 ), E( ) szakaszt felezô merôleges egyenes közös pontja A felezômerôleges egyenlete x- y, r O A kör egyenlete: x- + y- 98 O O 98 b) (x -,) + (y +,), 87 a) Az érintési pont koordinátái: E( ), r (87 ábra) Az x + y egyenletû 0 egyenes normálvektora: n( ) Az egységvektor: n O Akör sugara: r O E Mivel E n 0 O, ezért E vektor koordinátái: ( ) A középpontra O OE + E, ezért a pont koordinátái ( + + ), O ( ) A -nak E-re vonatkozó tükörképe is megoldás: (0 ) 87 A körök egyenletei: (x - ) + (y - ) és x + (y - ) b) x + (y + ) és (x + ) + y 88 a) ( - ), ( ), r 0 A kör (u v) középpontja rajta van a szakasz felezômerôlegesén, amelynek egyenlete: y x Másrészt 0, azaz (u + ) + (v - ) 0 és v u Ebbôl az egyenletrendszerbôl u 0, v 0, u, v 6 adódik ét megoldás van: x + y 0 és (x - ) + (y - 6) 0

4 6 A kör 8 b) (x - 8) + (y - ) és (x - ) + (y + 6) c) (x - ) + (y - ) 0 és (x + ) + (y - 6) 0 89 egyen e : y x + és e : y x - 6 e e a középpárhuzamos egyenlete: e: y x + Az e egyik pontja Q( 0) Q pontnak az e egyenestôl mért távolsága a keresett kör sugara: r A kör középpontjának (u v) koordinátáira a következô egyenletrendszert írhatjuk fel, felhasználva az adott ( ) pont koordinátáit: rajta van a körön, ezért ( - u) + ( - v) 0, másrészt a kör középpontja illeszkedik az e középvonalra, ezért v u + Az egyenletrendszerbôl két megoldást kapunk: (x + ) + (y - ) 0 és (x -,) + (y - 8,) 0 80 együk észre, hogy az adott egyenesek párhuzamosak ét megoldás van: x + y - x - y + 0 és x + y + x r 0 Megoldások: (x - ) + (y - 8) 80 és (x + ) + (y + 8) 80 8 ( ), r (x - ) + (y - ) 8 A háromszög köré írható kör sugara r 8 A( ) pont a háromszög súlypontja is A BC oldal A felezôpontja az A és a pont felhasználásával kiszámítható, mert A : A : A ( ) A BC oldal egyenlete: x + y 7, a háromszög köré írható kör egyenlete: (x - ) + (y - ) 8 A BC oldal és a kör közös pontjai adják a szabályos háromszög csúcspontjait: Bb+ - l, Cb- + l 8 egyen u > 0, u > 0, u > 0, u > 0 Ekkor r u, r u, r u és r u Az egyenes normálegyenlete: 0, ahol az egységvektor n O x+ y-0 0 Alkalmazva a távolságképletet, és figyelembe véve, hogy az egységvektor a,,, pontokat tartalmazó félsíkba mutat-e, vagy sem, a 8 ábra alapján felírhatjuk a következô egyenleteket: u+ u-0 u+ u-0 u+ u-0 u u 0 u, - u, u, u Innen kapjuk a körök középpontjainak koordinátáit és a körök sugarait ( ), r, r 6 6 O 6 (, -,), r, - r O 8 ( ), r (x - ) + (y - ) 86 A Q pont koordinátái: (0 y) Ekkor Q 0 a következôképpen írható fel: 9 + (y - ) 90 Innen y, y 8 A Q (0 ) és a (9 ) pontok meghatározta szakasz felezômerôlegesére, másrészt az y egyenletû egyenesre illeszkedik a keresett kör középpontja A x + y 7, y egyenletrendszerbôl ( ), r adódik Hasonlóképpen számítható ki a Q (0 8) pontban érintô kör középpontjának koordinátái és a kör sugara ( 8), r Megoldások: (x - ) + (y - ) és (x - ) + (y - 8)

5 A kör egyenlete 7 87 A kör középpontja az AB átfogó szakasz felezôpontja: O Az AC oldal egyenlete: -x + y 7 A BC befogó egyenes egyenlete: -x + y -6 A C csúcs koordinátái: C( -) A kör egyenlete: x- + ( y- ) O 88 (x - ) + (y - ) 0 89 Az érintô kör középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen: (x x) -nak az origótól való távolsága: O x az x egyenletû egyenestôl q x - q távolságra van Ekkor x (x - ) Innen x - +, x -- ét megoldás van r -b- + l -, r -b- - l + A körök egyenletei: x -- b + le + y -b- + le b- l, : x+ + D + : y+ + D b+ l 860 Ábrázoljuk az y x egyenletû egyenest és az x + y 9 egyenletû kört ét pont felel meg: (0 ), (0 ) 86 Elegendô a téglalapot az egyik átlójával megfelezni Megoldás: négyzet, t r 86 Az érintési pont: (- ) Az adott egyenes normálvektora: n( -), a normálvektor 0 hossza n Az egységvektor koordinátái: n - O Ekkor a vektor koordinátái: 0 $ n 0 (8-6) O O + innen O( 6 - ) Akeresett kör középpontja: (6 -) Még egy megoldást kapunk, ha -t a -re tükrözzük A körök egyenletei: (x - 6) + (y + ) 00 és (x + 0) + (y - 0) q) s) w) nem kör egyenlete, v) pontkör (r 0), a többi kör egyenlete izsgáljuk például a j) egyenletét: x +, x + y - y,6 Innen (x +,) + (y -,), +, +,6 (x +,) + (y -,) 6, (-,,), r, pl: c) (0 0), r 0 h) (0 ), r k) 0 O, r l) O, r m) Osszuk el az egyenletet -mal O, r 8 n) O, r 0 a b a + b o) (a 0), r qau t) - -, r O 86 a) A (- ) középpontú, r sugarú kör külsô pontjainak koordinátái b) (x - ) + (y + ) - Ilyen pont nem létezik c) ( -) pont d) (x - y)(x + y - ) 0 Az x - y 0 és az x + y - 0 egyenletû egyenesek pontjainak koordinátái 86 a) (x - ) + (y + ) és (x + ) + (y - ) körök egyenletei ( -), r, (- ), r egyenes egyenlete: x + y - b) 7x + 8y B C B + C - AD 866 x + + y + A O A O Szükséges és elégséges, hogy A! 0 és A B + C >AD legyen a) A! 0 és D 0 b) A! 0 és C 0 c) A! 0 és B 0 d) Szüksé-

6 8 A kör ges és elégséges, hogy y 0 esetén az AX + BX + D 0 egyenletnek pontosan egy gyöke legyen B AD és A! 0 e) A! 0 és C AD f) B AD, B C, A! ( ), r 0, x + y - 0x + 6y b x- l + y- r O Tegyük fel, hogy a (x y ), és a (x y ), rácspontok rajta vannak a fenti körön Ekkor bx- l + y - bx - + y - O l O Innen x - x + y -y - _ y- yi _ x-xi Ha x! x, akkor a bal oldal racionális, a jobb oldal irracionális miatt! Tehát x x y -y - _ y- yi 0, innen _ y- yi y+ y- 0 O y y, vagy y+ y Utóbbi nem lehetséges, mert y, y! Z Ellentmondásra jutottunk, ezért igaz a feladat állítása 869 b x- l + y- r O egyen (x y ), (x y ), rácspontok Ekkor x - x + y -y - _ y- yi _ x-xi Innen adódik, hogy x x és y y 870 egyen Q(0 ) Q rajta van az x + y egyenletû körön Tekintsük a Q ponton átmenô y mx + egyenletû egyeneseket Az egyenesnek és a körnek közös pontját az x + y, y mx + egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyöke (i) adja x + (mx + ) Innen m (m + )x + mx 0 x 0, y, x- m + y - m Minden racionális m-re m + x és y is racionális A feladat állítása igaz 87 a) Az x tengely pontjainak második koordinátája 0, az y tengely pontjainak elsô koordinátája 0 Ha y 0, M (6 0), M (- 0), ha x 0, M b0 l, M b0 l + - b) M ( 0), M (- 0), M 0 M b 0 - l c) Mb 0l, M 0 M (0 ), M (0 -) + O - O 87 ( 0), (- 0), Q 0, Q 0 egyen az origó az O pont O O - Ekkor O $ O -, OQ$ OQ - Az origó a kör belsô pontja Az origó a húrt és a Q Q húrt két részre osztja A részek szorzata egyenlô a évfolyamon igazolt tétel szerint 87 A húr végpontjai A és B AB 0 AB felezôpontja legyen F Ekkor AF, F és A r ( a kör középpontja) AF derékszögû háromszögben r +, r, b l ét megoldás van, a körök egyenletei x + y - 0x! 0 y+ 0

7 A kör egyenlete 9 87 ét megoldás van: (x - ) + (y! ) 87 AB 8, r 0, (u v), (0 8) F 9 AB, ezért F pont felezi az AB húrt F v Az AF derékszögû háromszögben v + 0, innen v 8 u + (8-8), 0 u + 0, innen u!0 ét megoldás van: x + y! 60x - 96y $ -$ ( -), r, d 877 ( ), r, (- -6), r 6 A keresett kör középpontja ( -), az átmérô: 0, r, egyenlete: (x - ) + (y + ) A tengelypontok: b! 0l és 87 b0 -! 6lAnégyszög átlói merôlegesek egymásra és a hosszuk és 6 Anégy- szög területe: területegység a b b 878 A kör átmérôje AB a + ( b -) a sugara r + - +, a középpontja a b + a b a b b O, az egyenlete: x - + y O O Rendezve a kör egyenletét: () x + y - ax - (b + )y + b 0 Az x tengelyt olyan pontban metszi a kör, amelynek második koordinátája: y 0 Ekkor () szerint () x - ax + b 0 Ha () diszkriminánsa a - b > 0, akkor valóban a kör olyan két pontban metszi, amelyek abszcisszái () valós gyökei 879 A középpontok koordinátái: ( 9), (- -7) A centrális egyenlete: y x +, a 6, 880 ( ), r A négyszög csúcsai: x 0, A(0 ), C(0 -), y 0, B b- 0l, T Db+ 0l T, T 6 6 9, 9% T 88 ( ), r, (- ), r x + y + x - 8y A keresett koncentrikus kör egyenlete: () x + y - x + y + k 0 ()-nek az x tengellyel való metszéspontjai: b+ -k 0l és b- -k 0l () az y tengelyt a b0 + -k l és a b0 - -k l pontokban metszi A négyszög átlóinak hossza: - k és - k A négyszög területe: -k $ - k 6 6 Innen k - és k 0 A feladatnak a k - felel meg Megoldás: (x - ) + (y + ) 0 88 A kör középpontja az x - y - és az y x, vagy az x - y - és az y -x, egyenletû egyeneseken van Megoldás: (x - ) + (y - ) 0 és (x + ) + (y - ) 80 C C 88 A, B 0 kell legyen Ekkor ( x- ) + y O Innen C! ét 6 megoldás van: (x - ) + (y! )

8 0 A kör 88 a) Meg kell oldani a következô egyenletrendszert: + + a+ b 0 ( ) a+ b a b b) a b- 886 a) A kör egyenlete x + y + ax+ by + c 0 alakú Ezért + - a+ b+ c a+ b+ c a- b+ c 0 egyenletrendszer gyökei: a-, b, c- 8 _ x- i + _ y+ i Afeladatot úgy is megoldhatjuk, hogy kiszámítjuk az ABC háromszögben az oldalfelezô merôlegesek közös pontját, azután a kör sugarát b) ( x- ) + ( y+ ) 00 c) ( x- ) + ( y- ) d) ( x- ) + y- O 9 6 e) ( x- ) + y- O 887 A körív olyan kör része, amely áthalad az A(- 0 0), B(0 0), C(0 0) pontokon A kör egyenlete: x + ( y+ 0) 0 Ha x - 0, y 0, ha x - 0, y, 8 és így tovább, akkor a tartórudak hossza rendre 0,8 8,9 0 méter 888 a) Elôször számítsuk ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit: A ( ), B( - ), + + Feltételezve, hogy az egyenesek m n Ugyanis például az és egyene- és 0 Hasonlóképpen és, illetve és közös pontjai is kielégítik () egyenletet () ( x-y-)( 7x-y- ) + + m( 7x-y- ) $ ( x+ y+ 8) + n ( x+ y+ 8)( x-y- ) 0 A () másodfokú egyenlet akkor és csakis akkor kör egyenlete, ha az x, y együtthatói egyenlôk, az xy tag együtthatója 0 és r > 0 Így m-ra és n-re felírhatjuk () rendezése után a következô egyenletrendszert: 9m+ 7n- m- n Innen m n - Helyettesítsük m és n értékét ()-ben a m és a n helyére Ekkor ( x ) ( y ) valóban kör egyenlete b) 7x + 7y - 9x+ y- 6 0 Megjegyzés: Ha a m és n paraméterekre kapott egyenletek nem függetlenek egymástól, akkor nincs megoldás Ekkor az adott egyenesek közül kettô párhuzamos 890 A metszéspontok koordinátái: A( -,), B(6-0,), C(, 0) A x+ y- 0 egyenletû egyenes merôleges a x-y- 0 egyenletû egyenesre, mert $ - $ 0! AB r egység C( - ) A kör egyenlete: x- + y- 86 O 86 O 698 C( 6 6 ) ( x- ) + ( y- ) c) A (- ), B O x- + y+ O 7 O 889 Az adott egyeneseket jelöljük a következôképpen: : x-y- 0 : 7x-y- 0 : x y 8 0 páronként metszik egymást: () sek metszéspontjának koordinátáira 0, 0, 0 b) A ( ) O, C O - B( - - ),

9 A kör egyenlete 89 A csúcsok koordinátái: A(- -), B(- 6 ), 89 C( -) A körülírt kör egyenlete: ( x+ ) + y Az A(- -) csúcson átmenô belsô szögfelezô egyenlete: x+ y+ 9 - x+ y+ 8, innen () y x+ A C csúcsnál fekvô c szög szögfelezô egyenesének egyenlete: - x+ y+ 8 x+ y+ 6 - Innen () b- l x+ b + l y-6-8 A beírható kör O középpontjának koordinátáit az ()-() egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják x - + és y - + A beírható kör sugara a x+ y+ 9 0 normálegyenlet felhasználásával számítható ki u - 89 A körök középpontjai: ( 0-6), ( 0) Aháromszög egyik oldala 6 egység, a hozzá tartozó magasság egység t területegység, a kerület hossza 0,8 egység 89 Az ABC háromszög derékszögû, mert AC( - 9 ), BC( - 6) és AB 6 6 $ (- 9) + $ (- 6) 0 t területegység, r k r egység 89 A háromszög derékszögû B 90 (89 ábra) a) b) ( ) ( ) 0 0 ( ) c) S O d) ( ) e) M( ) f) A háromszögbe írható kör sugara: AB + BC -AC u - O( + u -u), Ob- + l 89 A B pont koordinátái ( b 0 ),a C pont koordinátái c c O Ekkor c: 6 és b+ c Innen B( 0), C(8 ) A kör egyenlete: ( x - 7) + ( y - ) I megoldás Írjuk fel az ABC háromszög köré írható kör egyenletét és ellenôrizzük, hogy a D pont illeszkedik-e a körre? II megoldás AB( - 7), AD() 7 AB $ AD 7-7 0, tehát AB AD BC( 8 ), CD( - ) BC $ CD , tehát BC CDAnégy pont az AD átmérô fölé rajzolt körön van a) Az A( -), B(8 ), C( ) pontokon átmenô 9 0 kör egyenlete: x O y + 0 O egyen x 0 00 Ekkor y,, y- 9, Megoldás: D(0 -,9) + 89 O 89 b) D 0 adódik az x- + y 6 O 6 O 6 egyenletbôl

10 A kör A skaláris szorzat segítségével számítsuk ki az a és a c szögeket AB( - ), AD( 8) AB, AD 68, AB $ AD 6-0- Másrészt - $ 68 cos a Innen cosa- -, a Hasonlóképpen számíthatjuk ki a cosc értékét cosc, c Mivel a+ c 80, azért az ABCD négyszög húrnégyszög 899 A négyszög ABC pontjain átmenô kör egyenlete: ( x- ) + y A D( ) pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét! 900 Az ABD pontokon átmenô kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) A C pont koordinátái kielégítik a kör egyenletét 90 A( ), C( -) A négyzet középpontja az AC szakasz felezôpontja ( 0) (90 ábra) C( - ) Forgassuk el a C vektort kal D ( ) Ekkor OD O + D, D( ), B(0 -) 90 A B csúcs koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy az A( -) pontot tükrözzük a x+ y egyenletû szimmetriatengelyre AB egyenes egyenlete: x- y Az AB szakasz F felezôpontjának koordinátáit a x+ y x- y egyenletrendszer gyökei adják F( ) B(7 ) A szimmetrikus 90 trapéz köré írható kört egyértelmûen meghatározzák az A, B, D pontok A középpontját a x+ y egyenletû egyenes és az AD szakasz f felezô merôlegesének közös pontja adja f egyenlete x+ y- 0 (9,6-7,), r A, 9 A trapéz köré írható kör egyenlete: ( x - 96, ) + + ( y + 7, ), 9 90 A téglalap B csúcsának koordinátái: B(- -9) Ugyanis AD( - ), AD( - 9 ) Elforgatva +90 -kal kapjuk az AB vektort AB( - - 9) Ekkor OB OA+ AB, OB( - - 9) AB csúcs koordinátái (- -9) A téglalap köré írható kör középpontja azonos a BD szakasz felezô-

11 A kör egyenlete pontjával (- -), a kör sugara: r, egyenlete: k:( x+ ) + ( y+ ) A B csúcsot tükrözve az A pontra még egy téglalapot kapunk: B*( 9 ) Az AB* C* D téglalap köré írható kör egyenlete: k:( x- ) + ( y- ) A k kör a tengelyeket a ( 0), (- 0), b l, b0 -- 6l koordinátájú pontokban metszi A k kör a tengelyeket a ( 0), b0 + l, b0 - l, koordinátájú pontokban érinti, illetve metszi A kimetszett húrok hossza: 6 6 egység 90 A háromszöget helyezzük el az ábrán látható módon a koordináta-rendszerben egyen A(-a 0), B(a 0), ekkor C(0 a) Az ABC háromszög így valóban egyenlô szárú és derékszögû háromszög A CB( a - a) kal elforgatva CC ( a a) Így az OC OC + CC az OC és a C koordinátái ( a a) Hasonló meggondolással kapjuk, hogy B ( a a), a szimmetria miatt A ( a a) ( - a A szóbanforgó csúcsok az origótól a + a a egység távolságra vannak, és így az x + y a egyenletû körön vannak 90 Az egyenesek párhuzamosak Ebbôl következik, hogy a kör (u v) középpontja az x egyenletû egyenesre illeszkedik és a sugara r A középpont rajta van a x- y 6 egyenletû egyenesen is Mivel u, v 9 Megoldás: ( x- ) + ( y- 9) x-b- le + y-b- le b-l egyen e : x+ y- 0, e : x+ y- 0 és e : y x- e e, ezért az érintôkör középpontja rajta van a középpárhuzamoson, amelynek egyenlete k: x+ y Másrészt rajta van az e és e egyenesek által bezárt szögek szögfelezôin f és f egyenleteit az e és e egyenesek normálegyenleteivel, illetve a d Ax + By+ C távolságképlettel írhatjuk fel A + B f egyenlete: x- y Az f egyenlete: x+ y 9 A k kör középpontja a O pont, a sugár r kör egyenlete: x- + y- 907 O O A k kör középpontjának koordinátáit a k és f egyenesek metszéspontja adja ( 0), r egyenlete: ( x- ) + y 908 a) egyen e: x- y 0, e : x+ y- 0 és e : x+ y A középpont rajta van az e és e egyenesek szögfelezôin, másrészt az e egyenesen A szögfelezôk egyenletei:

12 A kör 909 f : x+ y, f: x- y A k kör középpontjának koordinátái kielégítik az f és e egyenleteket Innen: ( - ), a sugár r 0 egység A k kör középpontjának koordinátáit az f és e egyenletrendszer gyökei adják O, a sugár: r A körök egyenletei: 0 ( x- ) + ( y+ ), és x- + y- O O 90 9 b) ( x- ) + ( y- ), és x+ + y-, O O 909 A k kör középpontja rajta van az x 6 egyenletû egyenesen, másrészt egyenlô távol van az x+ y- 0 egyenletû egyenestôl és a ( ), illetve ( 0 ) koordinátájú pontoktól ( ) A ( 6 v) pontra felírhatjuk a következô egyenletet: 6 v () ( 6- ) + ( v - ) + - () egyenlet gyökei: v 9, v 7 Mindkét gyök megoldás Az egyik kör középpontjának koordinátái: (6 7), a sugara egység, a másik kör kö- zéppontja: (6 9), a sugara egység 90 egyen x $ 0 és y $ 0 Ekkor a kettôs egyenlôtlenség a következôképpen írható: # x + y # x+ y Az x + y $ egyenlôtlenséget kielégítô ( x y) számpárok az origó középpontú egység sugarú körvonal vagy a körön kívül fekvô pontok koordinátái Az x + y # x+ y, illetve az ( x- ) + ( y-) egyenlettel megadott ponthalmaz az elsô síknegyedben az ( ) középpontú, r sugarú körön vagy annak belsejében helyezkedik el A kettôs egyenlôtlenséggel megadott síkidomot az ábrán az I síknegyedben bevonalkáztuk Ha x # 0 és y $ 0, akkor a II síknegyedbeli holdacskát kapjuk És így tovább A négy bevonalkázott holdacska egybevágó Egyik területe: 9 b l r r $ t - - O T $ 8 területegység O 9 A ( 6) ponton átmenô egyenesek egyenlete: y mx+ b alakú 6 m+ b, ezért y mx+ 6- m Az egyenesek normálegyenlete: 0 Az ábra alapján mx- y + 6-m m + állítjuk, hogy két egységsugarú érintôkör létezhet: (- ), r, ( - ), r Ekkor pontra: ()

13 A kör egyenlete -m- + 6-m m+ + 6-m -m O pontra: () () egyenletbôl m + m + + m O m, m A feladat követelményeinek az m felel meg Az egyenes egyenlete: x- y+ 0 A ()-es egyenletbôl kapjuk a második megoldást: y 6, x- 8, 9 Az A(0 0), B( ), C( 0) csúcsokon átmenô kör egyenlete: 6 k:( x- ) + y- O A kör 6 O középpontja a D( -) ponttól d 97 egység 6 távolságra van A keresett kör R sugarát úgy kapjuk, hogy a k kör sugarát, -et a felével megnöveljük R Helyezzük el az ABC háromszöget a koordináta-rendszerben úgy, hogy a csúcsok koordinátái a következô számpárok legyenek: A( - a 0), B( a 0), C( c d), ahol a> 0, dy 0 Ekkor a x ( y) pontra A + B + C ( x + a) + y + ( x - a) + y + ( x - c) + ( y - d) Ren- c d 8c 8d 8c + 8d dezve: A + B + C x - + y - + a + + $ a + O O c d A négyzetösszeg akkor a legkisebb, ha x, y Ekkor a pont az ABC háromszög súlypontja 9 álasszuk meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a háromszög csúcspontjainak koordinátái: A - c 0 O, B c 0 O Cx ( y ) legyen ( C > 0, yy 0 ) Ekkor t c y és 8t c y (t jelenti az ABC háromszög területét) Az oldalak négyzetösszegére felírhatjuk a következô egyen- c c c letet: () c + x+ + y + x- + y c y O O Ha y > 0, akkor ()-bôl x + ( y- c) c c adódik, ha y < 0, akkor x + ( y+ c) A mértani hely két kör: ( 0 c), r, c ( 0 - c), r Mindkét kör minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez 9 egyen x ( y ) Ekkor ( x+ ) + y + ( x- ) + y + x + ( y- 6) k Innen rendezéssel: x + ( y- ) `k -j adódik Ha k <, akkor a mértani hely üres halmaz Ha k, akkor a mértani hely egy pont: (0 ) Ha k >, akkor a mértani hely kör, amelynek középpontja a (0 ) koordinátájú pont, a sugara egység A kör minden pontja megfelel k -

14 6 A kör 96 A keresett kör középpontja egyrészt rajta van az origó körül rajzolt egységsugarú körön, másrészt az x+ y egyenletû egyenesre a ( ) pontban emelt merôleges egyenesen A körök egyenletei: ( x ) y és x + ( y+ ) 8 97 egyen a szabályos háromszög oldala a hosszúságú Ekkor a magassága a álasszuk a meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a csúcsok koordinátái a következôk legyenek: B - 0 O, C a 0 O, A a O 0 O A feladat szerint: x y a a a O + - x+ + y + x- + y O O O Innen rendezéssel az x + y+ egyenletet kapjuk A mértani hely olyan kör, amely- a a O O a O a nek középpontja a 0 - pont, a sugara egység A kör minden pontja megfelel O ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje a 98 a) ( ), ( 0) b) ( ) c) ét közös pont van, ha r > a a r mr O egy közös pont van, ha r nincs közös pont, ha r < d) m + m + O, r mr O - - e) ét közös pont van, ha m + m + O r b > egy közös pont van, m + b b ha r, nincs közös pont, ha r < m + m + 99 a) ét közös pont van b) ét közös pont c) Egy közös ponton van d) incs közös pont D < 0 90 a) ( ) és - O b) (0 0) és O c) (,9,) és (0, 0,) d) ( ) és (- -) e) ( -6) 9 9 a) ét közös pont van: ( ) és - O b) Egy közös pont van: ( -) c) Az egyenes egyenlete: x+ y Az egyenesnek és az x + y egyenletû körnek egy közös pontja van: ( ) Az egyenes az x + y 6 egyenletû kört két pontban metszi O O és O O

15 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a szakaszra, ahol az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van (- ), a sugár r 8 <, tehát a körön belül van Az ábra szerint A A -, a legrövidebb húr hossza: AB A húr egyenesének egyenlete: x+ y 9 A kör középpontja az AB szakasz felezômerôlegesére illeszkedik Ennek egyenlete 7x+ y A középpontja: ( ) A sugár r A egység A kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) A C csúcs koordinátáit a kör és az y- x 7 egyenletû egyenes közös pontjai adják C ( 9), C ( - ) 9 x + y + x- 7y 0 96 Számítsuk ki a ( 7) középpontú, r egység sugarú kör és az x+ y 7 egyenletû egyenes közös pontjainak koordinátáit ( - ), ( ) 97 egyen A( ), B(- -) Ekkor az átfogó egyenes egyenlete x- y- 7 Mivel a Tt (, ) illeszkedik az átfogóra, azért t - $, - 7, innen t - 06, Az ABC derékszögû háromszög köré írható Thalész-kör egyenlete: (- ), r, ( x+ ) + ( y- ) A T ponton átmenô magasságegyenes egyenlete: x+ y 8 C( - ), C O 98 A kör középpontja az origó, O(0 0), az érintési pont az E(6-8) pont A keresett kör középpontja rajta van az OE egyenesen, és az E ponttól egység távolságra van OE egyenes egyenlete: x+ y 0 E vagyis ( x- 6) + ( y+ 8) ( - ), ( - 0 ), és a sugár r ét megoldás van: ( x+ ) + ( y- ) és ( x- ) + ( y+ 0) 99 Az ábra szerint CD Mivel E CD, ezért ED A CD egyenes normálegyenlete: x - y A k kör ( u v) középpontjának a CD egyenestôl mért távolsága: 9 d u v 8 A k kör középpontja rajta van az AB szakasz felezômerôlegesén, az f egyenesen f egyenlete: 7x+ y, tehát 7u+ v A keresett 99 kör r A sugarára felírhatjuk a következô egyenletet: ( u+ ) + ( v- ) r Másrészt r E + ED, tehát () ( u+ ) + ( v-) u v b l A k kör egyen- lete: ( x- ) + ( y- 7), a k kör egyenlete ( x - 7) + + ( y + 0) 0 90 Az origón átmenô kör egyenlete: x + y + ax+ by 0 alakú A szögfelezô origótól különbözô pontja p ( p, ) ahol p Y 0 Mivel rajta van a körön, azért p + p + ap+ bp 0

16 8 A kör p Y 0-val egyszerûsítve: p+ a+ b 0, tehát a+ b- p A körnek a tengelyekkel való metszéspontjai: O(0 0) és A( - a 0), illetve O(0 0) és B( - b 0) OA + OB - ( a + b) p Tehát a kérdéses összeg csak a pont megválasztásától függ 9 x+ y 9 Az adott kör - abszcisszájú pontjai: b- l, b- - l A pontokban az érintôk egyenletei: e : - x + y 6 és e : - x - y 6 Írjuk fel a normálvektorok skaláris szorzatát 6$ 6cos{ -, cos{ { 67, Mivel a { nem tom- 6 paszög, azért a két érintô hajlásszöge 67, Az érintôk metszéspontja O { 6, 6 9 Az érintôk egyenletei: y, x -, y - és xx+ yy, ahol 0< x < A trapéz + y csúcsai: A(- -), B - x O, C - y + x O, D(- ) A B csúcs koordinátáit az xx+ yy y - egyenletrendszer, a C csúcs koordinátáit az xx + yy egyenletrendszer gyökei adják A trapéz AC átlójának egyenlete: () - x y + - A trapéz BD y x y x y x x x y x y átlójának egyenlete: () x y () és () egyenlet megfelelô oldalait összeadva y adódik y értékét behelyettesítve ()-ben az x helyére és figyelembe vé- x x y x + y ve, hogy x + y, x 0 adódik M 0 x+ O A nem párhuzamos oldalak érintési pontjai: ^- 0 h, ^ x y h A egyenes egyenlete: - yx+ _ x+ i y y Ha x 0, akkor y y, tehát a x + egyenes átmegy az M ponton 9 a) (0 0) ponton átmenô egyenesek egyenlete y mx- 0m Az m paramétert úgy kell megválasztani, hogy a körnek és az egyenesnek egy közös pontja legyen Ez akkor teljesül, ha az x y + egyenletrendszerbôl adódó x + ( mx- 0m) másodfokú y mx-0m egyenlet diszkriminánsa 0 `+ m j x - 0m x + 00m - 0 egyenletbôl a diszkri- mináns D: m Tehát m! ét megoldás van Az érintôk egyenletei: O x! y 0 Az érintési pontok koordinátái: O, O Az érintôszakasz O hossza: egység Az érintôk hajlásszögét a normálvektorok segítségével számítjuk ki n b l, n b - l, n n cos{ -, { 0 Az egyenes hajlásszöge hegyesszög: ~ 80-0 b) x- y, x- y, ^ -h, ^ h, egység, 90

17 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 9 c) y, x- y 0, ^ 0 h, ^, -, h, 8 egység,, d) x+ y, x- y-, ^ h, ^ - h, egység, Tekintsük azt a derékszögû háromszöget, amelynek befogói a kör sugara és a (8 0) pontból a körhöz húzott érintôszakasz Az átfogó hossza 8 egység Ekkor sina, a 0, 8 a Az A(-,) pontból az x + y 00 egyenletû körhöz húzott érintôk egyenletei 7x+ y-0 és x- y- 0 A ( 0) ponton átmenô és az x + y 00 egyenletû kört érintô egyenesek egyenlete y 0, 60x- y 60 A hiányzó csúcsok koordinátái: 0-0 O, O 98 a) A (0 0) ponton át húzzunk merôleges egyenest a x- y 7 egyenletû egyenesre Ennek egyenlete: x+ y 0 Ez az egyenes kimetszi a körbôl a keresett érintôk pontjait x + y Innen y x+ y 0, y! x " Az érintési pontok koordinátái: E b- l, E b - l Az érintôk egyenletei: x- y- és x- y b) x - y x - y - c) x - y 69, x - y -69 d) Az y x-7 egyenletû egyenesre merôleges egyenes egyenlete: x+ y b alakú A b értékét úgy kell megválasztani, hogy az egyenesnek a körrel pontosan egy közös pontja legyen A diszkrimináns: D 6b -0 `b - j 0, ha b! 0 Az érintôk egyenletei: x+ y 0 és x+ y A pont abszcisszáját a QO derékszögû háromszög segítségével számíthatjuk ki, ahol O a kör középpontja (az origó) OQ, Q, O +, O 7 Az érintési pont koordinátáit az x + y egyenletû kör és az O átmérô fölé rajzolt Thalész-kör közös 0 pontjai adják E 7 7 O, E O Az érintôk egyenletei: x+ y és x+ y- 90 Az alappal szemközti C(6 8) csúcson és a beírt kör O(0 0) középpontján átmenô egyenes a beírt kört az alap C felezôpontjában metszi és merôleges az alap egyenesére Az OC _ x + y 6 8 b egyenes egyenlete: y x A C 6 pont koordinátáit az 8 ` egyenletrendszer gyökei y x 6 b a adják: (,8 6,) és (-,8-6,) Mivel a kör a háromszögbe írt kör, azért a C koordinátái az ábra szerint (-,8-6,) Az AB alapegyenes egyenlete: x+ y- 0 A C pontból a körhöz húzott egyik száregyenes egyenlete: y 8 A csúcs koordinátái: x + -0 egyenletbôl x - - A B 7 csúcs koordinátáit megkapjuk, ha az A pontot tükrözzük a C pontra B(, -0,8) 90

18 0 A kör 9 9 Az AOC háromszögben tg0 OC a Innen a, a szabályos háromszög oldala egység hosszú Az A csúcs koordinátái Ab-6 - l, B b6 - l, C b0 l Az oldalak egyenletei: y x+, y- x+, y - 9 Az adott k kör középpontján át húzzunk merôleges egyenest az adott e egyenesre álasszuk ezt az egyenest x tengelynek, az e egyenest y tengelynek A kör középpontjának rögzített koordinátái (u, 0), az y tengely változó pontjának koordinátái (0 p) A középpontú kör egyenlete: x + ( y- p) u + p - r Innen leolvasha- tó, hogy p-tôl függetlenül a Qc u - r 0m rajta van mindegyik körön megoldás van, ha u > r, megoldás, ha u r, nincs megoldás, ha u < r 9 a) x+ y ( a kör középpontja, a kör adott pontja) b) x- y+ 9 0 c) x- y+ 9 0 és x+ y- 0 9 Az érintési pontok koordinátái: E^ h, E ^- -h Az e érintô normálvektora: n^ -h, e normálvektora: n^ - h Az érintôk egyenletei: e : x - y, e : x- y 7 7 e és e Q metszéspontjának koordinátái: Q - O 9 A kör a tengelyeket a (0 0), (0 8), (6 0) pontokban metszi Ezekben a pontokban a kör érintôinek egyenletei rendre x+ y-, x- y- 8, x+ y 6 A hajlásszögek az érintôk és a tengelyek által beárt szöggel egyenlôk:, és 6,6 96 A pálya egyenletét a ( ) pontban a körhöz húzható érintô egyenlete adja: x-y A kör középpontjának koordinátái: ( -) A x- y 0 egyenessel párhuzamos körérintôk érintési pontjait úgy kapjuk meg, ha a középponton átmenô, és a x y egyenesre merôleges egyenesnek és a körnek a közös pontjait határozzuk meg Az érintési pontok koordinátái: E^ -h, E^ - h Az érintôk egyenletei: e : x - y , e : x- y Az érintô egyenlete: y x+ b alakú A b-t úgy kell meghatározni, hogy az egyenesnek és a körnek egy közös pontja legyen Ekkor a kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D ( 6b-6) -0`b - b+ j D 0, ha b - 9! ét érintô létezik Egyenletük: y x- 9! 99 ét érintôt kapunk: x+ y- 7 0, x+ y 90 a) Az érintô egyenlete: y mx alakú m-et úgy kell meghatározni, hogy az y mx egyenletû egyenesnek az x + y -0x- y+ 0 egyenletû körrel egy közös pontja legyen 0 Az egyenletrendszer diszkriminánsa: D 80m- 8m D 0, ha m 0, m ét érintôt kapunk Egyenleteik: y 0 és 0x- y 0 b) x- y+ 0, x - y-7 0 c) x, x -y- 0 d) 9x + 0y 8, x

19 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje 9 A kör egyenlete: ( x- ) + ( y+ ) 6 A (0 -) pont a kör ( -) középpontjától egység távolságra van A pontból a körhöz húzható érintôszakasz olyan derékszögû háromszögnek a befogója, amelynek átfogója egység, a másik befogó egység Az érintôszakasz hossza rajta van a körön, belsô pont -re 0 9 ét megoldás van (-0, 8,8), (6 ) Ugyanis a (- 0) ponton átmenô körérintôk egyenlete: - x+ y, - x+ y 9 Tekintsük az ábrát A A felezi az A-nál fekvô derékszöget A AE 9 derékszögû háromszög átfogója 0 egység Így ( a - ) + 0 Innen a! ét megoldás van A b 0l, A b 0l a) A közös külsô és belsô érintôk átmennek a körök külsô, illetve belsô hasonlósági pontjain, a Q és a Q ponton A két kör olyan helyzetû, hogy az egyik külsô érintô egyenlete: y A Q pont koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy elôször felírjuk centrális egyenletét y x O, azután a Q pont koordinátái egyszerûen adódnak Q ( ), Q O Ezután kiszámítjuk a Q és a Q ponton átmenô, például az ( x- ) + ( y- ) egyenletû kör y egyenestôl különbözô érintôjének egyenletét: x- y 0 A Q ponton átmenô másik érintô egyenlete: x+ y b) A két kör metszi egymást Csak külsô érintôik vannak Egyenleteik: x+ y 7 és x- y 7 c) Csak közös külsô érintôk léteznek Egyenleteik: x+ y b! l 9 9 A közös érintô egyenlete: x+ y 96 A harmadik csúcs rajta van a körön és az AB oldal felezômerôlegesén ét megoldás van: C (6 8), C (-, -0,) 97 Az A( ) csúccsal szemközti oldal A felezôpontjának koordinátái A ( 7) A szabályos háromszög magassága: AA egység A szabályos háromszög oldala legyen a hosszúságú a 6 A BC oldal egyenlete: x+ y 8 A szabályos háromszög B(b b ) csúcsa raj- ta van a BC oldal egyenesén, másrészt az A csúcstól 6 egység távolságra van A keresett csúcsok koordinátái: B b- 7+ l, C b+ 7- l 98 A négyszög csúcsai: A, B, C, D Az A csúcs koordinátáit a x+ y 0, x- y+ 0 egyenesek közös pontja adja A(- ) Az A átló egyenlete: y BD átló egyenlete: x

20 A kör x A B csúcs koordinátáit az x- y+ 0 egyenletrendszer, a D csúcs koordinátáit az x x+ y 0 egyenletrendszer megoldása adja B( 6), D( -) Írjuk fel az A, B, D pontokon átmenô kör egyenletét: ( x- ) + ( y- ) A C csúcs koordinátáit a kör és az A átló egyenleteibôl álló egyenletrendszer gyökei adják C( 9) 99 ét megoldás van, mert két érintô húzható O, O 960 A ( -0) középpontú r 0 egység sugarú kör 0 egység hosszúságú húrjai a középponttól d egység távolságra vannak A húrok felezôpontjai egy ( x- ) + ( y+ 0) egyenletû körön vannak Az origón átmenô y mx egyenletû egyenesek közül azt az egyenest kell kiválasztani, amely érinti az ( x- ) + ( y+ 0) egyenletû kört Az egyik érintô egyenlete x 0 (az y tengely) A másik érintô egyenletét az y mx ( x ) ( y 0) egyenletrendszerbôl adódó diszkriminánsból számíthatjuk ki m - 0, m - Az x 0 egyenletû egyenes az ( x- ) + ( y+ 0) 0 egyenletû kört a (0 -) és a (0 -) pontokban, az y- x egyenletû egyenes a kört a Q ( -) és a Q ( -9) pontokban metszi QQ 0 egység 96 A kör középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen, tehát a középpont koordinátái: u v, a sugár r u, mert a kör érinti az origóban az y-x egyenletû egyenest A kö- zéppont r távolságra van az x - y + 0 normálegyenletû egyenestôl is Tehát u ét megoldás van: ( x- ) + ( y- ) 8, vagy ( x+ ) + ( y+ ) 8 96 k : x-b - le + y-b- le b -l és k : x-b-- le + y- b+ le b+ l 96 Meg kell keresni az adott körnek azt a pontját, amelyik legközelebb van az AB egyeneshez Ezt a pontot a (8 ) ponton átmenô, és az AB egyenesre merôleges e egyenes metszi ki a körbôl Megoldás ( -) 96 A (6 ) ponton átmenô e egyenes egyenlete: y mx+ -6m alakú e normálegyen- mx- y + -6m lete: 0 m-et úgy kell meghatározni, hogy - m+ + -6m legyen m + m + Megoldás: y és x- y 96 ( x- ) + ( y- 7) 0 A ponthalmaz kör, a kör minden pontja hozzátartozik a felté- telt kielégítô ponthalmazhoz 966 Az ABCD paralelogramma A csúcsának koordinátái (0 0), a C csúcs koordinátái (p q) Az AC átló felezôpontja: F p O F illeszkedik az x+ egyenletû egyenesre, tehát

21 ör és egyenes kölcsönös helyzete ör érintôje () p + $ q Másrészt C rajta van a körön, ezért () ( p- 8) + ( q- ) () és () egyenletekbôl álló egyenletrendszer gyökei adják a C csúcspont koordinátáit ét megoldás van C (8 0) és C ( 8) Az AC átló felezôpontja: F ( ) A paralelogramma B és D csúcsait úgy számíthatjuk ki, hogy felírjuk a F egyenesre merôleges, és az F ponton átmenô szelô egyenletét (Ugyanis F felezi a B D húrt, ezért a (8 ) középpontból a húr felezôpontjához húzott szakasz merôleges a húrra) A szelô kimetszi a körbôl a B és a D csúcsokat A szelô egyenlete: x, B és D koordinátái: B ( ), D ( 8) Hasonló meggondolással kapjuk a C ( 8) pont felhasználásával a B, D csúcsok koordinátáit B (8 0), D ( 8) Az AB C D és az AB C D négyszögek valóban paralelogrammák és eleget tesznek a feladat követelményeinek 967 ét megoldás van ( ), (8 0) 968 A kör középpontjának koordinátái: (u u), az érintési pont koordinátái E( ) Az adott egyenes irányvektora: v(- ), a E ( -u - u) E v E $ v 0 Innen u A kör egyenlete: ( x- ) + ( y- ) 969 olyan kör van, amely megfelel a feladat követelményeinek Ezek közül legkisebb az A(0 0), B b 0l, C(0 ) csúcsokkal kifeszített háromszögbe írt kör Ennek a középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen, tehát (u u), r u Az adott egyenes normálegyenlete: x+ y- 0 A beírt körre felírhatjuk a következô egyenletet: u + u - - u - O - O - O A kör egyenlete: x- + y- O O O Az oldalak egyenletei: y! x, x A kerület 9 egység, a terület területegység 97 egyenek a téglalap csúcsainak koordinátái: A(0 0), B(a 0), C(a a), D(0 a) Az E koordinátái: a a O AE $ BD 0 97 Az origón átmenô érintô egyenlete y mx Az egyenes akkor érinti a kört, ha az x + y - 8x+ y- + a 0 egyenletrendszerbôl adódó diszkrimináns 0 y mx D:( 8 -a) m - 8m+ 8 - a 0 ét m érték, két érintô van Ha ezek merôlegesek egymásra, akkor az iránytangenseik szorzata a 97 m$ m -, a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján, a 8 97 Az A( -) csúccsal szemközti BC oldal A 8 - a felezôpontja azonos az adott kör ( ) középpontjával Ebbôl következik, hogy a BC oldal a kör átmérôje égtelen sok megoldás van 97 Tekintsük az ábrát Az érintônégyszög egyenlô szárú trapéz, mert két szemközti oldala párhuzamos és a trapéz tengelyesen szimmetrikus Az alapok összege 0, mert a szárak összege $ AD 0 egység A má-

22 A kör sik szár irányvektorát úgy számíthatjuk ki, ha elôször kiszámítjuk az M pont koordinátáit _ úgy, hogy MD AD 0 egység legyen Az M(p q) pontra () q p- b ` () p + ( q- 6) 0b a 8 6 ()-() egyenletrendszerbôl: p, q A trapéz BC szára párhuzamos az MD szakaszszal MD egyenes irányvektora v O, illetve v MD ( -7) egyen a B(b b ), a C(c c ) 8 Ekkor B és C koordinátáira felírhatjuk a következô egyenletrendszert: () b b- () c c- 6 () b + _ b+ i + c + _ c+ 6i 0, mert az érintônégyszög szemközti oldalainak összege egyenlô és (6) -, mert BC egyenes iránytangense b b- c 7 - c egyenlô az MD egyenes iránytangensével ()-(6) egyenletrendszer megoldása, mivel 6 b, b, c, c > 0, b b 8 c 6 c 97 A rajta van a körön, mert a koordinátái kielégítik az adott kör egyenletét ( x- ) + ( y- ) 69 egyenletbôl ( ) A C csúcsot úgy kapjuk, hogy az A pontot tükrözzük a középpontra C(- ) A( - ) Elforgatva! 90 -kal, B( 7), D(-9 -) 976 A és B valóban a k:( x- ) + y 6 kör pontjai Igazoljuk! A C pont koordinátái _ c+ i + _ c+ i 9 (c c ) Ekkor () és () _ c - i + c 6 ét megoldás van C c 6 c ( ), _ - i + _ - i 0 C - O 977 Az egyenes egyenlete: y- x+ a, ahol a > 0 Az egyenes érinti az x + y O egyenletû kört, ha a Az érintési pont: E O Ábrázoljuk a deltoidot A beírt kör O középpontja az y tengelyre esik, mert az y tengely szimmetriatengely Másrészt O rajta van az ABC szög szögfelezôjén x+ y- AB egyenes normálegyenlete: 0 x-y- 8 A BC egyenes normálegyenlete: 0 A O(0 v) középpontra felírhatjuk a következô egyenletet: v- v A deltoidba írható kör középpontjának koordinátái O(0 -)

23 örök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása Az OB egyenesre merôleges, és a B ponton átmenô egyenes egyenlete: 7x+ y 9 A pont 7 koordinátái: 7x + 9 egyenletbôl 8 O, illetve O A Q pont koordinátái: Q - O 8 A QRS egyenlô szárú trapéz, ezért R O, S - O A R átló egyenlete: x- y, az SQ átlóegyenlete: x+ y- Mindkét átló átmegy az O ponton, mert O koordinátái mindkét egyenletet kielégítik x y 979 Az origónak az + egyenletû egyenesre esô merôleges vetülete legyen koordinátái x, y ahol ab Y 0 Ekkor x + y állandó A mér- a b ab a b a + b a + b + a b tani hely origó középpontú kör A kör sugarának négyzete r A kör tengelypontjai ( pont) nem tartoznak a mértani + a b helyhez örök kölcsönös helyzete, közös pontjaik meghatározása 980 a) A két körnek egy közös pontja van, érintik egymást a ( 0) pontban 8+ - O b) O, 8- + O, c) (- ) d) - O O 98 ( ) az érintési pont A keresett kör középpontja rajta van az y x egyenletû egyenesen, mivel mindkét koordinátatengelyt érinti Ezért u v és r u A kör egyenlete: (x - u) + (y - u) u Mivel a pont illeszkedik a keresett körre, azért ( - u) + ( - u) u Innen u 7! 6 Megoldás: x- b7! 6lE + y- b7! 6lE b7! 6l 98 a) A körök közös pontjainak koordinátái: ( 00 ), ( ) A keresett kör uv ( ) középpontjára és a sugár r u + v és ( u- ) + ( v- ) ét megoldás van: x + y - x+ y 0 és x + y + x- y 0 b) A kör középpontja a (0 0) és az ( ) pontokat összekötô szakasz felezôpontja Megoldás: x + y -x- y A körök közös pontjainak koordinátái: ( - ), O A keresett kör középpontja az x tengelyen van, tehát a koordinátái: (u 0), másrészt ( u + ) + u - + O Innen u, r A kör egyenlete: x- + y 6 O 6 98 A két kör közös pontjainak koordinátái: ( -), ( - ), és az adott ( -) pontok derékszögû háromszöget feszítenek ki A kör egyenlete: x + y - x+ y ( ), ( )