10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

Átírás

1 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A háromszögben bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál a+b>c a+c>b b+c>a Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

2 Háromszögek nevezetes vonalai 1. Szakaszfelező merőlegesek A szakaszfelező merőleges azon pontok mértani helye a síkon, melyek egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától. A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré szerkeszthető kör középpontja. - A hegyesszögű háromszög köré szerkeszthető kör középpontja a háromszög belsejében van. - A derékszögű háromszög köré szerkeszthető kör középpontja az átfogó felező pontjában van. - A tompaszögű háromszög köré szerkeszthető kör középpontja a háromszögön kívül van. 2. Szögfelezők A szögfelező félegyenes azon pontok mértani helye a síkon, melyek egyenlő távolságra vannak a szög két szárától. A háromszög belső szögfelező egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögre írható kör középpontja. (A háromszöget belülről érintő kör középpontja egyenlő távolságra van a háromszög oldalaitól.) 3. Magasságvonalai A háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges egyenest a háromszög magasságvonalának nevezzük. Minden háromszögnek három magasságvonala van. Jelölésük: m a ; m b ; m c. Azt a szakaszt, mely a háromszög csúcspontját köti össze a hozzá tartozó magasságvonal és a szemközti oldalegyenes metszéspontjával, a háromszög magasságának nevezzük. A háromszög magasságvonalai egy pontban, a magasságpontban (M) metszik egymást. - A hegyesszögű háromszög magasságvonalai a háromszög belsejében metszik egymást. - A derékszögű háromszögben a két magasság egybeesik a két befogóval. A magasságvonalak metszéspontja a derékszög csúcspontjában van. - A tompaszögű háromszög egy magasságvonala a háromszög belsejébe, a másik kettő az oldalak meghosszabbítására esik. A tompaszögű háromszög magasságvonalai a háromszögön kívül metszik egymást.

3 4. Középvonalai A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. - A háromszögnek három középvonala van. - A háromszög bármely középvonala párhuzamos a harmadik oldallal, és a hossza ennek az oldalnak a fele. - A háromszöget három középvonalra, négy egybevágó háromszögre vágja. 5. Súlyvonalai A háromszög valamely csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük. - A háromszögnek három súlyvonala van. - A háromszög súlyvonalai egy pontban, az úgynevezett súlypontban metszik egymást. A súlypont a súlyvonalaknak a csúcstól távolabb eső harmadoló pontja. Ha kartonból kivágunk egy háromszöget és az egyik csúcsánál felfüggesztjük, akkor az ugyanott felfüggesztett függő ón zsinórja a súlyvonal mentén áll be. Ha a háromszöglemezt a súlyvonal mentén támasztjuk alá, akkor az egyensúlyba marad. A súlypontban alátámasztva egyensúlyba marad. Összefüggések a háromszög oldalai, szögei között 1. Háromszög-egyenlőtlenség: egy háromszögben bármely két oldalhossz összege nagyobb a harmadik oldalnál. a + b > c; a + c > b; b + c > a. Háromszög csak akkor szerkeszthető, ha teljesül a háromszög egyenlőtlenség. 2. A háromszög szerkesztésének alapesetei a = 5 cm a = 5 cm a = 5 cm b = 4 cm b = 3 cm b = 3 cm c = 3 cm c = 2 cm c = 1 cm igen nem nem A háromszög egyértelműen megszerkeszthető, ha adott: - három oldala (a háromszög-egyenlőtlenség figyelembevételével) - két oldala és a közbezárt szög - egy oldala és a rajta nyugvó két szög - két oldala és a hosszabbikkal szemközti szöge

4 3. A háromszögek egybevágóságának( ) alapesetei: 1. Két háromszög, ha két oldalukban és az általuk közbezárt szögben megegyeznek. 2. Két háromszög, ha oldalaik páronként megegyeznek. 3. Két háromszög, ha egy oldalukban és az azon fekvő két szögükben megegyeznek. 4. Két háromszög, ha két oldalukban és a nagyobbikkal szemközti szögükben megegyeznek. 4. A háromszög belső szögeinek összege: α + β + γ = 180o Az abc háromszög A csúcsán keresztül húzzunk párhuzamos egyenest az ab oldal egyenesével, egyenes szög keletkezik. β + α + γ = 180o Így β, illetve γ váltószögéhez β, illetve γ szöghöz jutunk. β = β és γ = γ Ezt behelyettesítve: α + β + γ = 180o 5. A háromszög egy belső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével. A háromszög A csúcsán keresztül húzzunk párhuzamost a bc oldal egyenesével. Ezzel az A csúcsnál lévő külső szöget két szögtartományra bontottuk fel. A β és β egyállású szögek, γ és γ váltószögek. β = β és γ = γ α = β + γ. 6. A háromszög belső és mellette lévő külső szöge 180o-ra egészíti ki egymást. β + β =180o 7. A háromszög külső szögeinek összege: 360o. α + α = 180o β + β = 180o γ + γ = 180o 540o - 180o 360o külső és belső szögek összege belső szögösszeg külső szögösszeg

5 8. Egy háromszögben egyenlő hosszúságú oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak. Az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők. AB = AC. Kössük össze a bc oldal F felezőpontját az A ponttal. Az ABF és az AFC háromszög oldalainak hossza páronként egyenlő, tehát e két háromszög egybevágó. Ezért: β = γ. Vagy: tükrözzük F tengelyre. 9. Egy háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van.