Geometria 1, normálszint
|
|
|
- Géza Mezei
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
2 A félév anyaga Geometria 1, normálszint 2. előadás 2 / 46 A középiskolás előismeretek áttekintése Alapfogalmak (térelemek és viszonyaik) Transzformációk Fontosabb geometriai alakzatok Vektorgeometria Koordináták és vektorok Vektorok szorzása Vektorok alkalmazásai Sokszögek és poliéderek Konvexitás Sokszögek, konvex sokszögek, konvex poliéderek Szabályos poliéderek
3 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 3 / 46 Eltolás és párhuzamosság
4 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 3 / 46 Eltolás és párhuzamosság Bármely eltolás bármely egyenest vele párhuzamos egyenesbe visz, bármely síkot vele párhuzamos síkba visz, bármely félegyenest vele egyirányú félegyenesbe visz.
5 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 3 / 46 Eltolás és párhuzamosság Bármely eltolás bármely egyenest vele párhuzamos egyenesbe visz, bármely síkot vele párhuzamos síkba visz, bármely félegyenest vele egyirányú félegyenesbe visz. Ha A és B tetszőleges pontok és valamely eltolásnál az A pont képe az A pont, a B pont képe a B pont, akkor d(a, A ) = d(b, B ), továbbá az AA és BB félegyenesek egyirányúak.
6 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 3 / 46 Eltolás és párhuzamosság Bármely eltolás bármely egyenest vele párhuzamos egyenesbe visz, bármely síkot vele párhuzamos síkba visz, bármely félegyenest vele egyirányú félegyenesbe visz. Ha A és B tetszőleges pontok és valamely eltolásnál az A pont képe az A pont, a B pont képe a B pont, akkor d(a, A ) = d(b, B ), továbbá az AA és BB félegyenesek egyirányúak. A tér bármely P és P pontjához egyértelműen létezik olyan eltolás, amely P-t P -be viszi.
7 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 4 / 46 Szimmetriák: tükrözés
8 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 4 / 46 Szimmetriák: tükrözés P P Középpontosan szimmetrikus alakzat (akár síkban, akár térben): alkalmas középpontos tükrözés önmagába viszi.
9 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 4 / 46 Szimmetriák: tükrözés P P Középpontosan szimmetrikus alakzat (akár síkban, akár térben): alkalmas középpontos tükrözés önmagába viszi. P P Tengelyesen szimmetrikus alakzat (síkban): alkalmas tengelyes tükrözés önmagába viszi.
10 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 4 / 46 Szimmetriák: tükrözés P P Középpontosan szimmetrikus alakzat (akár síkban, akár térben): alkalmas középpontos tükrözés önmagába viszi. P P Tengelyesen szimmetrikus alakzat (síkban): alkalmas tengelyes tükrözés önmagába viszi. Síkra szimmetrikus alakzat (térben): alkalmas síkra vonatkozó tükrözés önmagába viszi. P P
11 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 4 / 46 Szimmetriák: tükrözés P P Középpontosan szimmetrikus alakzat (akár síkban, akár térben): alkalmas középpontos tükrözés önmagába viszi. P P Tengelyesen szimmetrikus alakzat (síkban): alkalmas tengelyes tükrözés önmagába viszi. Síkra szimmetrikus alakzat (térben): alkalmas síkra vonatkozó tükrözés önmagába viszi. P P Megjegyzés: a síkra vonatkozó tükrözés nem mozgás.
12 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 5 / 46 Szimmetriák: tükrözés Rögzített A B pontokra azon P pontok mértani helye, amelyekre d(p, A) = d(p, B) fennáll:
13 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 5 / 46 Szimmetriák: tükrözés Rögzített A B pontokra azon P pontok mértani helye, amelyekre d(p, A) = d(p, B) fennáll: A B síkban: egyenes (szakaszfelező merőleges),
14 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 5 / 46 Szimmetriák: tükrözés Rögzített A B pontokra azon P pontok mértani helye, amelyekre d(p, A) = d(p, B) fennáll: A B síkban: egyenes (szakaszfelező merőleges), A B térben: sík (szakaszfelező merőleges sík).
15 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 5 / 46 Szimmetriák: tükrözés Rögzített A B pontokra azon P pontok mértani helye, amelyekre d(p, A) = d(p, B) fennáll: A B síkban: egyenes (szakaszfelező merőleges), A B térben: sík (szakaszfelező merőleges sík). A szakaszfelező merőleges az egyetlen olyan egyenes, illetve sík, amelyre vonatkozó tükrözés A-t és B-t felcseréli.
16 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 6 / 46 Szimmetriák: tükrözés Síkban: Adott konvex szögtartományban a száraktól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a szögfelező félegyenes.
17 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 6 / 46 Szimmetriák: tükrözés Síkban: Adott konvex szögtartományban a száraktól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a szögfelező félegyenes. Két metsző egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a két szögfelező egyenes egyesítése. Az ezekre vonatkozó tükrözések felcserélik a két egyenest.
18 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 6 / 46 Szimmetriák: tükrözés Síkban: Adott konvex szögtartományban a száraktól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a szögfelező félegyenes. Térben: Két metsző egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a két szögfelező egyenes egyesítése. Az ezekre vonatkozó tükrözések felcserélik a két egyenest. Adott konvex lapszögtartományban a lapoktól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a szögfelező félsík. Két metsző síktól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a két szögfelező sík egyesítése. Az ezekre vonatkozó tükrözések felcserélik a két síkot.
19 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 7 / 46 Szimmetriák: forgatás
20 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 7 / 46 Szimmetriák: forgatás Forgásszimmetrikus egy alakzat, ha síkban alkalmas pont, illetve térben alkalmas tengely körüli összes forgatás önmagába viszi.
21 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 7 / 46 Szimmetriák: forgatás Forgásszimmetrikus egy alakzat, ha síkban alkalmas pont, illetve térben alkalmas tengely körüli összes forgatás önmagába viszi. Pl. síkban a kör, térben a forgástestek forgásszimmetrikusak.
22 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 7 / 46 Szimmetriák: forgatás Forgásszimmetrikus egy alakzat, ha síkban alkalmas pont, illetve térben alkalmas tengely körüli összes forgatás önmagába viszi. Pl. síkban a kör, térben a forgástestek forgásszimmetrikusak. Egy alakzat n-edrendben forgásszimmetrikus (síkban pont körül, térben egyenes körül), ha alkalmas pont (illetve tengely) körüli 2π/n szögű forgatás önmagába viszi.
23 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság
24 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága:
25 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek.
26 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek. Egyenértékű megfogalmazással: ezek távolságtartó leképezések
27 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek. Egyenértékű megfogalmazással: ezek távolságtartó leképezések, más szóval: egybevágóságok.
28 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek. Egyenértékű megfogalmazással: ezek távolságtartó leképezések, más szóval: egybevágóságok. Az egybevágóságok a távolságon kívül mindenféle egyéb mértékviszonyt is megőriznek
29 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek. Egyenértékű megfogalmazással: ezek távolságtartó leképezések, más szóval: egybevágóságok. Az egybevágóságok a távolságon kívül mindenféle egyéb mértékviszonyt is megőriznek: egyúttal szögtartók, területtartók, térfogattartók.
30 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek. Egyenértékű megfogalmazással: ezek távolságtartó leképezések, más szóval: egybevágóságok. Az egybevágóságok a távolságon kívül mindenféle egyéb mértékviszonyt is megőriznek: egyúttal szögtartók, területtartók, térfogattartók. Megjegyzések: (1) Az eltolások, tükrözések és a forgatások csupán a leggyakoribb példák egybevágóságokra
31 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek. Egyenértékű megfogalmazással: ezek távolságtartó leképezések, más szóval: egybevágóságok. Az egybevágóságok a távolságon kívül mindenféle egyéb mértékviszonyt is megőriznek: egyúttal szögtartók, területtartók, térfogattartók. Megjegyzések: (1) Az eltolások, tükrözések és a forgatások csupán a leggyakoribb példák egybevágóságokra, léteznek rajtuk kívül más egybevágósági transzformációk is.
32 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek. Egyenértékű megfogalmazással: ezek távolságtartó leképezések, más szóval: egybevágóságok. Az egybevágóságok a távolságon kívül mindenféle egyéb mértékviszonyt is megőriznek: egyúttal szögtartók, területtartók, térfogattartók. Megjegyzések: (1) Az eltolások, tükrözések és a forgatások csupán a leggyakoribb példák egybevágóságokra, léteznek rajtuk kívül más egybevágósági transzformációk is. (2) Bármely mozgás egybevágóság
33 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 8 / 46 Egybevágóság Az eltolások, tükrözések, forgatások közös tulajdonsága: bármely szakaszt vele egyenlő hosszúságú szakaszba képeznek. Egyenértékű megfogalmazással: ezek távolságtartó leképezések, más szóval: egybevágóságok. Az egybevágóságok a távolságon kívül mindenféle egyéb mértékviszonyt is megőriznek: egyúttal szögtartók, területtartók, térfogattartók. Megjegyzések: (1) Az eltolások, tükrözések és a forgatások csupán a leggyakoribb példák egybevágóságokra, léteznek rajtuk kívül más egybevágósági transzformációk is. (2) Bármely mozgás egybevágóság, de nem minden egybevágóság mozgás.
34 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 9 / 46 Hasonlóság, nagyítás
35 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 9 / 46 Hasonlóság, nagyítás A B D C A B D C Hasonló alakzatok megfelelő távolságadatai arányosak, megfelelő szögei egyenlők. (Ha az arányossági tényező 1, akkor egybevágóságról van szó.)
36 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 9 / 46 Hasonlóság, nagyítás A B D C A B D C Hasonló alakzatok megfelelő távolságadatai arányosak, megfelelő szögei egyenlők. (Ha az arányossági tényező 1, akkor egybevágóságról van szó.) A középpontos nagyítás minden alakzatot hasonló alakzatba visz. Bármely egyenes képe vele párhuzamos egyenes, bármely szög képe egyállású szög. Tetszőleges pozitív valós szám előírható, mint nagyítási arány.
37 Transzformációk Geometria 1, normálszint 2. előadás 10 / 46 A félév anyaga A középiskolás előismeretek áttekintése Alapfogalmak (térelemek és viszonyaik) Transzformációk Fontosabb geometriai alakzatok Vektorgeometria Koordináták és vektorok Vektorok szorzása Vektorok alkalmazásai Konvexitás Sokszögek és poliéderek Sokszögek és konvex sokszögek Konvex poliéderek, szabályos poliéderek
38 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 11 / 46 Háromszög Háromszög: három nem kollineáris pont páronkénti összekötő szakaszai által körülhatárolt síkrész (háromszöglemez).
39 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 11 / 46 Háromszög Háromszög: három nem kollineáris pont páronkénti összekötő szakaszai által körülhatárolt síkrész (háromszöglemez). C γ b a A α c β B Szokásos jelölések és elnevezések:
40 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 11 / 46 Háromszög Háromszög: három nem kollineáris pont páronkénti összekötő szakaszai által körülhatárolt síkrész (háromszöglemez). C γ b a A α c β B Szokásos jelölések és elnevezések: A, B, C: csúcsok,
41 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 11 / 46 Háromszög Háromszög: három nem kollineáris pont páronkénti összekötő szakaszai által körülhatárolt síkrész (háromszöglemez). C γ b a A α c β B Szokásos jelölések és elnevezések: A, B, C: csúcsok, a, b, c: oldalak (oldalszakaszok, oldalegyenesek),
42 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 11 / 46 Háromszög Háromszög: három nem kollineáris pont páronkénti összekötő szakaszai által körülhatárolt síkrész (háromszöglemez). C γ b a A α c β B Szokásos jelölések és elnevezések: A, B, C: csúcsok, a, b, c: oldalak (oldalszakaszok, oldalegyenesek), α, β,γ: szögek (belső szögek).
43 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 12 / 46 Háromszög Összehasonlítási tulajdonságok:
44 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 12 / 46 Háromszög Összehasonlítási tulajdonságok: nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van: α < β a < b;
45 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 12 / 46 Háromszög Összehasonlítási tulajdonságok: nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van: α < β a < b; α = β a = b (egyenlőszárú háromszög esete);
46 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 12 / 46 Háromszög Összehasonlítási tulajdonságok: nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van: α < β a < b; α = β a = b (egyenlőszárú háromszög esete); háromszög-egyenlőtlenség: a < b + c;
47 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 12 / 46 Háromszög Összehasonlítási tulajdonságok: nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van: α < β a < b; α = β a = b (egyenlőszárú háromszög esete); háromszög-egyenlőtlenség: a < b + c; általában: a tér bármely három pontjára d(a, C) d(a, B)+d(B, C), egyenlőség csak akkor áll, ha B az AC szakaszra esik;
48 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 12 / 46 Háromszög Összehasonlítási tulajdonságok: nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van: α < β a < b; α = β a = b (egyenlőszárú háromszög esete); háromszög-egyenlőtlenség: a < b + c; általában: a tér bármely három pontjára d(a, C) d(a, B)+d(B, C), egyenlőség csak akkor áll, ha B az AC szakaszra esik; szögösszeg: α+β +γ = π;
49 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 12 / 46 Háromszög Összehasonlítási tulajdonságok: nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van: α < β a < b; α = β a = b (egyenlőszárú háromszög esete); háromszög-egyenlőtlenség: a < b + c; általában: a tér bármely három pontjára d(a, C) d(a, B)+d(B, C), egyenlőség csak akkor áll, ha B az AC szakaszra esik; szögösszeg: α+β +γ = π; bármely külső szög a nem mellette fekvő két belső szög összegével egyenlő.
50 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő:
51 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy
52 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy két oldal és a közrefogott szög rendre egyenlő, vagy
53 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy két oldal és a közrefogott szög rendre egyenlő, vagy egy oldal és a rajta fekvő szögek rendre egyenlők, vagy
54 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy két oldal és a közrefogott szög rendre egyenlő, vagy egy oldal és a rajta fekvő szögek rendre egyenlők, vagy két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög rendre egyenlő.
55 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy két oldal és a közrefogott szög rendre egyenlő, vagy egy oldal és a rajta fekvő szögek rendre egyenlők, vagy két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög rendre egyenlő. Két háromszög hasonlóságához elegendő:
56 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy két oldal és a közrefogott szög rendre egyenlő, vagy egy oldal és a rajta fekvő szögek rendre egyenlők, vagy két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög rendre egyenlő. Két háromszög hasonlóságához elegendő: ha az oldalak aránya egyenlő, vagy
57 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy két oldal és a közrefogott szög rendre egyenlő, vagy egy oldal és a rajta fekvő szögek rendre egyenlők, vagy két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög rendre egyenlő. Két háromszög hasonlóságához elegendő: ha az oldalak aránya egyenlő, vagy két oldal aránya és a közrefogott szög egyenlő, vagy
58 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy két oldal és a közrefogott szög rendre egyenlő, vagy egy oldal és a rajta fekvő szögek rendre egyenlők, vagy két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög rendre egyenlő. Két háromszög hasonlóságához elegendő: ha az oldalak aránya egyenlő, vagy két oldal aránya és a közrefogott szög egyenlő, vagy két szög páronként egyenlő, vagy
59 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 13 / 46 Háromszög: egybevágóság, hasonlóság Két háromszög egybevágóságához elegendő: ha oldalaik rendre egyenlők, vagy két oldal és a közrefogott szög rendre egyenlő, vagy egy oldal és a rajta fekvő szögek rendre egyenlők, vagy két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög rendre egyenlő. Két háromszög hasonlóságához elegendő: ha az oldalak aránya egyenlő, vagy két oldal aránya és a közrefogott szög egyenlő, vagy két szög páronként egyenlő, vagy két oldal aránya és a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő.
60 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 14 / 46 Kör Kör: rögzített ponttól adott pozitív távolságra levő pontok mértani helye a síkban.
61 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 14 / 46 Kör Kör: rögzített ponttól adott pozitív távolságra levő pontok mértani helye a síkban. O r O: középpont, r: sugár;
62 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 14 / 46 Kör Kör: rögzített ponttól adott pozitív távolságra levő pontok mértani helye a síkban. O r O: középpont, r: sugár; P belső pont, ha d(p, O) < r, külső, ha d(p, O) > r.
63 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 14 / 46 Kör Kör: rögzített ponttól adott pozitív távolságra levő pontok mértani helye a síkban. O r O: középpont, r: sugár; P belső pont, ha d(p, O) < r, külső, ha d(p, O) > r. Figyelem: a kör szó a körvonalat jelenti a matematikában. Ha a kör belsejéből és a körvonalból együttesen álló alakzatot akarjuk megnevezni, akkor körlemezt vagy körlapot mondunk.
64 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 15 / 46 Kör és egyenes Kör és egyenes kölcsönös helyzete a síkban:
65 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 15 / 46 Kör és egyenes Kör és egyenes kölcsönös helyzete a síkban: r d r < d : nincs közös pont
66 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 15 / 46 Kör és egyenes Kör és egyenes kölcsönös helyzete a síkban: r r d d r < d : nincs közös pont r = d : egyetlen közös pont van (az egyenes: érintő) Az érintő merőleges a közös pontban húzott sugárra.
67 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 15 / 46 Kör és egyenes Kör és egyenes kölcsönös helyzete a síkban: r r d d r < d : nincs közös pont r = d : egyetlen közös pont van (az egyenes: érintő) Az érintő merőleges a közös pontban húzott sugárra. r d r > d : két közös pont van (az egyenes: szelő)
68 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 16 / 46 Kör: elnevezések körív
69 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 16 / 46 Kör: elnevezések körív húr
70 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 16 / 46 Kör: elnevezések körív húr körszelet
71 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 16 / 46 Kör: elnevezések körív húr körszelet körcikk
72 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 16 / 46 Kör: elnevezések körív húr körszelet körcikk középponti szög
73 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 16 / 46 Kör: elnevezések körív húr körszelet körcikk középponti szög Egyenlő (azaz egybevágó) ívekhez
74 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 16 / 46 Kör: elnevezések körív húr körszelet körcikk középponti szög Egyenlő (azaz egybevágó) ívekhez egyenlő húrok, egyenlő középponti szögek, egybevágó körcikkek és egybevágó körszeletek tartoznak
75 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 16 / 46 Kör: elnevezések körív húr körszelet körcikk középponti szög Egyenlő (azaz egybevágó) ívekhez egyenlő húrok, egyenlő középponti szögek, egybevágó körcikkek és egybevágó körszeletek tartoznak (indoklás: forgásszimmetria).
76 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 17 / 46 Kör: érintők Az érintők száma:
77 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 17 / 46 Kör: érintők Az érintők száma: A kör bármely pontjában egyértelműen létezik érintő.
78 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 17 / 46 Kör: érintők Az érintők száma: A kör bármely pontjában egyértelműen létezik érintő. A kör belső pontján át nincsen érintő.
79 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 17 / 46 Kör: érintők Az érintők száma: A kör bármely pontjában egyértelműen létezik érintő. A kör belső pontján át nincsen érintő. Bármely külső ponton át két érintő húzható; a két érintőszakasz egyenlő (tengelyes szimmetria): E 1 P PE 1 = PE 2 E 2
80 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 18 / 46 Kör: kerületi szögek kerületi szög
81 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 18 / 46 Kör: kerületi szögek kerületi szög érintőszárú kerületi szög
82 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 18 / 46 Kör: kerületi szögek kerületi szög érintőszárú kerületi szög Tétel Bármely kerületi szög fele az ugyanakkora ívhez tartozó középponti szögnek.
83 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 18 / 46 Kör: kerületi szögek kerületi szög érintőszárú kerületi szög Tétel Bármely kerületi szög fele az ugyanakkora ívhez tartozó középponti szögnek. Miért?
84 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 19 / 46 Kör: kerületi szögek Bizonyítás:
85 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 19 / 46 Kör: kerületi szögek Bizonyítás: Először az érintőszárú esetben:
86 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 19 / 46 Kör: kerületi szögek Bizonyítás: Először az érintőszárú esetben:
87 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 19 / 46 Kör: kerületi szögek Bizonyítás: Először az érintőszárú esetben: merőleges szárú szögek
88 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 19 / 46 Kör: kerületi szögek Bizonyítás: Először az érintőszárú esetben: merőleges szárú szögek (mindkettő egyformán hegyes-, derék- vagy tompaszög)
89 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 19 / 46 Kör: kerületi szögek Bizonyítás: Először az érintőszárú esetben: merőleges szárú szögek (mindkettő egyformán hegyes-, derék- vagy tompaszög) P C O B Általános eset: két érintőszárú kerületi szög különbsége: AOB = AOP BOP = = 2 APC 2 BPC = = 2 APB A
90 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 19 / 46 Kör: kerületi szögek Bizonyítás: Először az érintőszárú esetben: merőleges szárú szögek (mindkettő egyformán hegyes-, derék- vagy tompaszög) P C O B A Általános eset: két érintőszárú kerületi szög különbsége: AOB = AOP BOP = = 2 APC 2 BPC = = 2 APB (Figyelem: itt AOP a B-t tartalmazó szöget jelöli!)
91 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 20 / 46 Kör: kerületi szögek Következmények:
92 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 20 / 46 Kör: kerületi szögek Következmények: Ugyanabban a körben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak.
93 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 20 / 46 Kör: kerületi szögek Következmények: Ugyanabban a körben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak. Például: a kerületi szög szögfelezője felezi az ívet
94 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 20 / 46 Kör: kerületi szögek Következmények: Ugyanabban a körben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak. Például: a kerületi szög szögfelezője felezi az ívet Látószögek tétele: Adott A B síkbeli pontok és α (0 < α < π) szög esetén a sík azon P pontjainak mértani helye, amelyekre APB = α :
95 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 20 / 46 Kör: kerületi szögek Következmények: Ugyanabban a körben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak. Például: a kerületi szög szögfelezője felezi az ívet Látószögek tétele: Adott A B síkbeli pontok és α (0 < α < π) szög esetén a sík azon P pontjainak mértani helye, amelyekre APB = α : két nyílt körív egyesítése, amelyek AB-re szimmetrikusak. P α A B
96 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 20 / 46 Kör: kerületi szögek Következmények: Ugyanabban a körben egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak. Például: a kerületi szög szögfelezője felezi az ívet Látószögek tétele: Adott A B síkbeli pontok és α (0 < α < π) szög esetén a sík azon P pontjainak mértani helye, amelyekre APB = α : két nyílt körív egyesítése, amelyek AB-re szimmetrikusak. P α A B Speciális eset: Thalész tétele (α = π/2)
97 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 21 / 46 Háromszög: nevezetes vonalak és pontok
98 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 21 / 46 Háromszög: nevezetes vonalak és pontok C O Körülírt kör A B
99 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 21 / 46 Háromszög: nevezetes vonalak és pontok C O Körülírt kör Középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja A B
100 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 21 / 46 Háromszög: nevezetes vonalak és pontok C O Körülírt kör Középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja A B C K Beírt kör A B
101 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 21 / 46 Háromszög: nevezetes vonalak és pontok C O Körülírt kör Középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja A B C K Beírt kör Középpontja a szögfelezők metszéspontja A B
102 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 22 / 46 Háromszög: nevezetes vonalak és pontok C A M B Magasságvonalak, magasságpont
103 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 22 / 46 Háromszög: nevezetes vonalak és pontok C C A M B A S B Magasságvonalak, magasságpont Súlyvonalak, súlypont (A súlyvonalak harmadolják egymást)
104 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 22 / 46 Háromszög: nevezetes vonalak és pontok C C C B 1 A 1 A M B A S B A C 1 B Magasságvonalak, magasságpont Súlyvonalak, súlypont (A súlyvonalak harmadolják egymást) Középvonalak (A 1 B 1 AB, A 1 B 1 = 1 2 AB)
105 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények
106 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények Y α tetszőleges forgásszög: X O α 1
107 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények X O Y α 1 α tetszőleges forgásszög: cosα = OX, előjeles távolság
108 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények X O Y α 1 α tetszőleges forgásszög: cosα = OX, sinα = OY előjeles távolságok,
109 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények X O Y α 1 α tetszőleges forgásszög: cosα = OX, előjeles távolságok, sinα = OY tgα = sinα cosα, ctgα = cosα sinα
110 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények X O Y α 1 α tetszőleges forgásszög: cosα = OX, előjeles távolságok, sinα = OY tgα = sinα cosα, ctgα = cosα sinα Szinusztétel, koszinusztétel:
111 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények X O Y α 1 α tetszőleges forgásszög: cosα = OX, előjeles távolságok, sinα = OY tgα = sinα cosα, ctgα = cosα sinα Szinusztétel, koszinusztétel: Bármely háromszögben sinα a = sinβ b = sinγ c
112 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények X O Y α 1 α tetszőleges forgásszög: cosα = OX, előjeles távolságok, sinα = OY tgα = sinα cosα, ctgα = cosα sinα Szinusztétel, koszinusztétel: Bármely háromszögben sinα a = sinβ b = sinγ c a 2 = b 2 + c 2 2bc cosα
113 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 23 / 46 Szögfüggvények X O Y α 1 α tetszőleges forgásszög: cosα = OX, előjeles távolságok, sinα = OY tgα = sinα cosα, ctgα = cosα sinα Szinusztétel, koszinusztétel: Bármely háromszögben sinα a = sinβ b = sinγ c a 2 = b 2 + c 2 2bc cosα (speciális eset: Pitagorasz tétele)
114 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 24 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései:
115 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 25 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései: Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha két-két szemközti oldal párhuzamos, két-két szemközti oldal egyenlő, két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő, két-két szemközti szög egyenlő, az átlók felezik egymást, középpontosan szimmetrikus.
116 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 26 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései: Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha két-két szemközti oldal párhuzamos, két-két szemközti oldal egyenlő, két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő, két-két szemközti szög egyenlő, az átlók felezik egymást, középpontosan szimmetrikus.
117 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 27 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései: Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha két-két szemközti oldal párhuzamos, két-két szemközti oldal egyenlő, két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő, két-két szemközti szög egyenlő, az átlók felezik egymást, középpontosan szimmetrikus.
118 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 28 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései: Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha két-két szemközti oldal párhuzamos, két-két szemközti oldal egyenlő, két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő, két-két szemközti szög egyenlő, az átlók felezik egymást, középpontosan szimmetrikus.
119 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 29 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései: Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha két-két szemközti oldal párhuzamos, két-két szemközti oldal egyenlő, két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő, két-két szemközti szög egyenlő, az átlók felezik egymást, középpontosan szimmetrikus.
120 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 30 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései: Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha két-két szemközti oldal párhuzamos, két-két szemközti oldal egyenlő, két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő, két-két szemközti szög egyenlő, az átlók felezik egymást, középpontosan szimmetrikus.
121 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 31 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései: Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha két-két szemközti oldal párhuzamos, két-két szemközti oldal egyenlő, két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő, két-két szemközti szög egyenlő, az átlók felezik egymást, középpontosan szimmetrikus.
122 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 32 / 46 Speciális négyszögek: parallelogramma Parallelogramma ekvivalens jellemzései: Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha két-két szemközti oldal párhuzamos, két-két szemközti oldal egyenlő, két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő, két-két szemközti szög egyenlő, az átlók felezik egymást, középpontosan szimmetrikus.
123 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 33 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok:
124 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 33 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: trapéz: két oldal párhuzamos (alapok)
125 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 33 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: trapéz: két oldal párhuzamos (alapok) (A középvonal egyenlő az alapok számtani közepével.)
126 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 33 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: trapéz: két oldal párhuzamos (alapok) (A középvonal egyenlő az alapok számtani közepével.) szimmetrikus trapéz: az alapok felező merőlegese közös
127 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 33 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: trapéz: két oldal párhuzamos (alapok) (A középvonal egyenlő az alapok számtani közepével.) szimmetrikus trapéz: az alapok felező merőlegese közös deltoid: két-két szomszédos oldal egyenlő (szimmetrikus az egyik átlóra)
128 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok:
129 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög
130 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög (mindkét átlóra szimmmetrikus;
131 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög (mindkét átlóra szimmmetrikus; olyan parallelogramma, amelynek merőlegesek az átlói)
132 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög (mindkét átlóra szimmmetrikus; olyan parallelogramma, amelynek merőlegesek az átlói) téglalap: egyenlő szögű négyszög
133 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög (mindkét átlóra szimmmetrikus; olyan parallelogramma, amelynek merőlegesek az átlói) téglalap: egyenlő szögű négyszög (mindegyik szög derékszög;
134 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög (mindkét átlóra szimmmetrikus; olyan parallelogramma, amelynek merőlegesek az átlói) téglalap: egyenlő szögű négyszög (mindegyik szög derékszög; olyan parallelogramma, amelyben az átlók egyenlők)
135 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög (mindkét átlóra szimmmetrikus; olyan parallelogramma, amelynek merőlegesek az átlói) téglalap: egyenlő szögű négyszög (mindegyik szög derékszög; olyan parallelogramma, amelyben az átlók egyenlők) négyzet: negyedrendben forgásszimmmetrikus négyszög
136 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög (mindkét átlóra szimmmetrikus; olyan parallelogramma, amelynek merőlegesek az átlói) téglalap: egyenlő szögű négyszög (mindegyik szög derékszög; olyan parallelogramma, amelyben az átlók egyenlők) négyzet: negyedrendben forgásszimmmetrikus négyszög (egyenlő oldalú téglalap;
137 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 34 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: rombusz: egyenlő oldalú négyszög (mindkét átlóra szimmmetrikus; olyan parallelogramma, amelynek merőlegesek az átlói) téglalap: egyenlő szögű négyszög (mindegyik szög derékszög; olyan parallelogramma, amelyben az átlók egyenlők) négyzet: negyedrendben forgásszimmmetrikus négyszög (egyenlő oldalú téglalap; derékszögű rombusz)
138 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 35 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok:
139 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 35 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: húrnégyszög: körbe írt négyszög (a négy csúcs egy körön van)
140 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 35 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: húrnégyszög: körbe írt négyszög (a négy csúcs egy körön van) Tétel Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha a szemközti szögei kiegészítő szögek.
141 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 35 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: húrnégyszög: körbe írt négyszög (a négy csúcs egy körön van) Tétel Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha a szemközti szögei kiegészítő szögek. érintőnégyszög: kör köré írt négyszög (a négy oldal egy kört érint)
142 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 35 / 46 Speciális négyszögek További fontos négyszögtípusok: húrnégyszög: körbe írt négyszög (a négy csúcs egy körön van) Tétel Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha a szemközti szögei kiegészítő szögek. érintőnégyszög: kör köré írt négyszög (a négy oldal egy kört érint) Tétel Bármely érintőnégyszögben a szemközti oldalpárok összege egyenlő.
143 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 36 / 46 Kúpszeletek
144 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 36 / 46 Kúpszeletek Az ellipszis származtatása mértani helyként:
145 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 36 / 46 Kúpszeletek Az ellipszis származtatása mértani helyként: Adottak az F 1, F 2 pontok a síkon és adott a 2a R szám (F 1 F 2, 2a > d(f 1, F 2 )): F 1 F 2 2a
146 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 36 / 46 Kúpszeletek Az ellipszis származtatása mértani helyként: Adottak az F 1, F 2 pontok a síkon és adott a 2a R szám (F 1 F 2, 2a > d(f 1, F 2 )): F 1 F 2 2a Az F 1, F 2 fókuszú, 2a nagytengelyű ellipszis:
147 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 36 / 46 Kúpszeletek Az ellipszis származtatása mértani helyként: Adottak az F 1, F 2 pontok a síkon és adott a 2a R szám (F 1 F 2, 2a > d(f 1, F 2 )): P F 1 F 2 Az F 1, F 2 fókuszú, 2a nagytengelyű ellipszis: a sík azon P pontjainak mértani helye, amelyekre d(p, F 1 )+d(p, F 2 ) = 2a.
148 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 36 / 46 Kúpszeletek Az ellipszis származtatása mértani helyként: Adottak az F 1, F 2 pontok a síkon és adott a 2a R szám (F 1 F 2, 2a > d(f 1, F 2 )): P F 1 F 2 2a Az F 1, F 2 fókuszú, 2a nagytengelyű ellipszis: a sík azon P pontjainak mértani helye, amelyekre d(p, F 1 )+d(p, F 2 ) = 2a.
149 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 37 / 46 Kúpszeletek A parabola származtatása mértani helyként:
150 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 37 / 46 Kúpszeletek A parabola származtatása mértani helyként: Adott a v egyenes és az F pont a síkon (F / v): F v
151 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 37 / 46 Kúpszeletek A parabola származtatása mértani helyként: Adott a v egyenes és az F pont a síkon (F / v): F Az F fókuszú, v vezéregyenesű parabola: v
152 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 37 / 46 Kúpszeletek A parabola származtatása mértani helyként: Adott a v egyenes és az F pont a síkon (F / v): P F v Az F fókuszú, v vezéregyenesű parabola: a sík azon P pontjainak mértani helye, amelyekre d(p, F) = d(p, v).
153 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 38 / 46 Kúpszeletek A hiperbola származtatása mértani helyként:
154 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 38 / 46 Kúpszeletek A hiperbola származtatása mértani helyként: Adottak az F 1, F 2 pontok a síkon és adott a 2a R szám (F 1 F 2, 0 < 2a < d(f 1, F 2 )): 1 F F 2 2a
155 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 38 / 46 Kúpszeletek A hiperbola származtatása mértani helyként: Adottak az F 1, F 2 pontok a síkon és adott a 2a R szám (F 1 F 2, 0 < 2a < d(f 1, F 2 )): F1 F 2a 2 Az F 1, F 2 fókuszú, 2a valós tengelyű hiperbola:
156 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 38 / 46 Kúpszeletek A hiperbola származtatása mértani helyként: Adottak az F 1, F 2 pontok a síkon és adott a 2a R szám (F 1 F 2, 0 < 2a < d(f 1, F 2 )): P F1 F 2 Az F 1, F 2 fókuszú, 2a valós tengelyű hiperbola: a sík azon P pontjainak mértani helye, amelyekre d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a.
157 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 38 / 46 Kúpszeletek A hiperbola származtatása mértani helyként: Adottak az F 1, F 2 pontok a síkon és adott a 2a R szám (F 1 F 2, 0 < 2a < d(f 1, F 2 )): P F1 F 2a 2 Az F 1, F 2 fókuszú, 2a valós tengelyű hiperbola: a sík azon P pontjainak mértani helye, amelyekre d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a.
158 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 39 / 46 Testek
159 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 39 / 46 Testek kocka
160 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 39 / 46 Testek kocka téglatest
161 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 39 / 46 Testek kocka téglatest (egyenes) hasáb
162 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 39 / 46 Testek kocka téglatest (egyenes) hasáb (ferde) hasáb
163 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 39 / 46 Testek kocka téglatest (egyenes) hasáb (ferde) hasáb gúla
164 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 39 / 46 Testek kocka téglatest (egyenes) hasáb (ferde) hasáb gúla tetraéder
165 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 40 / 46 Testek
166 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 40 / 46 Testek m r henger (forgáshenger)
167 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 40 / 46 Testek m r henger (forgáshenger) m r kúp (forgáskúp)
168 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 40 / 46 Testek m r m r r henger (forgáshenger) kúp (forgáskúp) gömb
169 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 40 / 46 Testek m r m r r henger (forgáshenger) kúp (forgáskúp) gömb A gömbfelület mint mértani hely: Rögzített ponttól adott pozitív távolságra levő pontok mértani helye a térben.
170 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 41 / 46 Terület
171 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 41 / 46 Terület a b m b Parallelogramma területe: ϕ a
172 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 41 / 46 Terület a b ϕ a m b Parallelogramma területe: t = am = ab sinϕ
173 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 41 / 46 Terület a b ϕ a m b Parallelogramma területe: t = am = ab sinϕ A c m a b Háromszög területe: B a γ C
174 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 41 / 46 Terület a b ϕ a m b Parallelogramma területe: t = am = ab sinϕ A Háromszög területe: B c a m a γ b C t = am a 2 = ab sinγ 2
175 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 42 / 46 Terület
176 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 42 / 46 Terület c d m b Trapéz területe: a
177 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 42 / 46 Terület c d m b Trapéz területe: t = (a+c)m 2 a
178 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 42 / 46 Terület c d m b Trapéz területe: t = (a+c)m 2 a r Kör területe:
179 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 42 / 46 Terület c d m b Trapéz területe: t = (a+c)m 2 a r Kör területe: t = r 2 π
180 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 42 / 46 Terület c d m b Trapéz területe: t = (a+c)m 2 a r Kör területe: t = r 2 π α r α középponti szögű körcikk területe:
181 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 42 / 46 Terület c d m b Trapéz területe: t = (a+c)m 2 a r Kör területe: t = r 2 π α r α középponti szögű körcikk területe: t = r2 α 2
182 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 43 / 46 Térfogat
183 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 43 / 46 Térfogat m t Hasáb térfogata: (alapterület) (magasság)
184 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 43 / 46 Térfogat m t Hasáb térfogata: (alapterület) (magasság) V = t m
185 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 43 / 46 Térfogat m t Hasáb térfogata: (alapterület) (magasság) V = t m (Speciális eset: az a, b, c élű téglatest térfogata V = abc, az a élű kockáé V = a 3.)
186 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 43 / 46 Térfogat m t Hasáb térfogata: (alapterület) (magasság) V = t m (Speciális eset: az a, b, c élű téglatest térfogata V = abc, az a élű kockáé V = a 3.) m t Gúla térfogata: 1 3 (alapterület) (magasság)
187 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 43 / 46 Térfogat m t Hasáb térfogata: (alapterület) (magasság) V = t m (Speciális eset: az a, b, c élű téglatest térfogata V = abc, az a élű kockáé V = a 3.) m t Gúla térfogata: 1 3 (alapterület) (magasság) V = tm 3
188 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 44 / 46 Térfogat
189 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 44 / 46 Térfogat m r henger V = r 2 πm
190 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 44 / 46 Térfogat m r henger V = r 2 πm m kúp r V = r2 πm 3
191 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 44 / 46 Térfogat m r henger V = r 2 πm m kúp r V = r2 πm 3 r gömb V = 4 3 r3 π
192 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 45 / 46 Kerület, ívhossz
193 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 45 / 46 Kerület, ívhossz Háromszög, négyszög, stb. kerülete az oldalszakaszok hosszainak összege.
194 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 45 / 46 Kerület, ívhossz Háromszög, négyszög, stb. kerülete az oldalszakaszok hosszainak összege. r Kör kerülete: k = 2rπ
195 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 45 / 46 Kerület, ívhossz Háromszög, négyszög, stb. kerülete az oldalszakaszok hosszainak összege. r α r Kör kerülete: k = 2rπ α középponti szögű körív hossza: rα
196 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 46 / 46 Felszín
197 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 46 / 46 Felszín Síklapokkal határolt test felszíne a határoló lapok területeinek összege.
198 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 46 / 46 Felszín Síklapokkal határolt test felszíne a határoló lapok területeinek összege. r Gömb felszíne: A = 4r 2 π
199 Fontosabb geometriai alakzatok Geometria 1, normálszint 2. előadás 46 / 46 Felszín Síklapokkal határolt test felszíne a határoló lapok területeinek összege. r m r Gömb felszíne: A = 4r 2 π Hengerpalást felszíne: A = 2rmπ
2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
Síkgeometria. Ponthalmazok
Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
Egybevágósági transzformációk. A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá.
Egybevágósági transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek hozzá. Egybevágósági transzformációk azok a geometriai transzformációk, amelyeknél bármely
2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
Bevezetés a síkgeometriába
a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom
1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA. Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria
GEOMETRIA A GEOMETRIA TÉMAKÖR FELOSZTÁSA Síkgeometria Térgeometria Geometriai mérések Geometriai transzformációk Trigonometria Koordináta-geometria A SÍKGEOMETRIA TANÍTÁSA 5-10. OSZTÁLY Síkgeometriai fogalmak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
Matematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
Geometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
I. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21.
Geometria I. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006. április 21. Szilágyi Ibolya (EKF) Geometria 2006. április 21. 1 / 77 Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális
Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.
3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
8. Geometria = =
8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
Geometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Matematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria...........................
10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok
10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest
Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás
Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az
Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
Egybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
GEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
Koordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Elemi matematika 3 c. gyakorlat
1. feladatsor (Szintetikus síkgeometriai feladatok.) 1) Adva van egy sokszög, amelynek hatszor annyi átlója van, mint oldala. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát. ) Igazoljuk, hogy egy háromszög súlyvonalainak
Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz Geometria 1 haladó szint (2011/2012 es tanév, 2. félév)
Feladatok az 1. Geometria gyakorlathoz 1) Az euklideszi síkon adva van két egyenlő sugarú kör k 1 és k 2, amelyek az M, N pontokban metszik egymást. Jelölje r a két kör sugarát. Az M ponttal, mint centrummal,
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
Harmadik epochafüzet
Harmadik epochafüzet Matematika 9. évfolyam Tulajdonos:... HARMADIK EPOCHAFÜZET GEOMETRIA Tartalomjegyzék Kurzus leírás...2 Alapfogalmak...3 Szögszámítás, nevezetes szögpárok...5 A háromszög...8 Összefüggések
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. Tankönyv nyolcadikosoknak. címû tankönyveihez
TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA Tankönyv nyolcadikosoknak címû tankönyveihez 8. OSZTÁLY Óraszám 1. 1 2. Halmazok ismétlés Tk. 6/1 5. Gyk. 3 6/1 10. 2. 3 4. A logikai szita Tk. 9 10/6 20.
Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet
Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok halmaz halmaz megadása, jelölésmód üres halmaz véges halmaz végtelen halmaz halmazok egyenlısége részhalmaz, valódi részhalmaz halmazok uniója
Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
2018/2019. Matematika 10.K
Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép, függvénytáblázat 2 órás, 4 jegyet ér 2019. május 27-31. héten Aki hiányzik, a következő héten írja meg, e nélkül
Geometriai alapfogalmak
Geometriai alapfogalmak Alapfogalmak (nem definiáljuk): pont, egyenes, sík, tér. Félegyenes: egy egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. Ez a pont a félegyenes végpontja. A félegyenes végtelen hosszú.
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter
Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya szibolya@ektf.hu Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 1 / 125 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok.
Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam
Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Geometriai alapismeretek
Geometriai alapismeretek A geometria alapfogalmai a tapasztalat útján absztrakcióval alakultak ki. Térelemek: pont, egyenes, sík Térelemek kölcsönös helyzete, fontosabb alapesetek: Egy pont vagy illeszkedik
Feladatok Házi feladat. Keszeg Attila
2016.01.29. 1 2 3 4 Adott egy O pont és egy λ 0 valós szám. a tér minden egyes P pontjához rendeljünk hozzá egy P pontot, a következő módon: 1 ha P = O, akkor P = P 2 ha P O, akkor P az OP egyenes azon
Matematika felső tagozat
Matematika felső tagozat 5. évfolyam Témakör 1. Gondolkodási módszerek 2. Számtan, algebra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok 4. Geometria, mérés I. félév Követelmény A gondolkodási módszerek követelményei
5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból. 9. évfolyam
Az osztályozó- és javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból Minden évfolyamra vonatkozóan általános irányelv, hogy a matematikai ismeretek alkalmazásán (feladatok, problémák megoldása) van a hangsúly,
Geometria I. Vígh Viktor
Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban
1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?
1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
A Malfatti probléma Fonyó Lajos, Keszthely
Fonyó Lajos: A Malfatti probléma A Malfatti probléma Fonyó Lajos, Keszthely Giovanni Francesco Malfatti (171-1807) olasz matematikus 180-ban vetette fel az alábbi problémát: Adott egy háromszög alapú egyenes
Középpontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
Geometriai transzformációk
Geometriai transzformációk I. Egybevágósági transzformációk 58. a) Eltolás az y tengely mentén -vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -) vektorral.) b) Tükrözés az x = 10 egyenesre. c) A körüli -90 -os