12. Trigonometria I.

Átírás

1 Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát mérhetjük az egységsugarú kör kerületén is Az α szög ívmértéke egyenlő az egységsugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körív hosszával Az ívmérték egysége az radián A teljesszöghöz az egységsugarú körben tartozó körív hossza, így a teljesszög ívmértéke Tehát a és a 0 ugyanazt a szöget méri, az első esetben radiánban, a második esetben fokban mértünk Így ( rad) = 0, (rad) = 80 Ha fokban mért szöget váltunk át radiánra, akkor elegendő azt tudnunk, hogy ez a szög a 80 -nak hányszorosa, mert ugyanennyiszerese lesz a -nek is (radiánban) Például a 8 a 80 -nak tizedrésze, ezért 8 = ( rad) Ha a szög radiánban mérve, ez a -nek kilencede, így fokban mérve a szög a 80 kilenced része: ( ) = 0 9 rad 0 9 α α Az átváltások képlete: α( ) ( rad) rad = és α = Legyünk figyelemmel a fok és a radián használatára Nem ugyanazt jelenti a sin 80 és a sin 80 Hegyesszögek szögfüggvényei Ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyesszöge, akkor a háromszögek hasonlók (Hiszen mindkét háromszögnek van még egy derékszöge, így a harmadik szögükben is megegyeznek) Ezért ha két derékszögű háromszögnek ugyanakkora az egyik hegyesszöge, akkor a két háromszögben bármely két megfelelő oldal aránya ugyanakkora, mindegy, mekkorák az oldalak Derékszögű háromszögben az oldalak aránya csak a háromszög hegyesszögétől függ Ezek az arányok csak az α szögtől függenek, ezért nevezzük ezeket az α szög szögfüggvényeinek A lehetséges hat arányból négy arányt használunk, ezek az α szög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvényei

2 a sin α = = c szöggel szemközti átfogó befogó a tg α = = b szöggel szemközti befogó szög melletti befogó b cos α = = c szög melletti befogó átfogó b ctg α = = a szög melletti befogó szöggel szemközti befogó A pótszögek szögfüggvényeit könnyű leolvasni az ábráról ( β = 90 α) : sin ( 90 α) = cos ( 90 α) = tg ( 90 α) = ctgα ctg ( 90 α) = tgα Nevezetes szögek szögfüggvényei Tekintsük a egység oldalú szabályos háromszöget Az ábráról leolvashatók a 0 és a 0 szögfüggvényei: sin 0 = cos0 = sin 0 = cos0 = tg 0 = ctg 0 = = tg 0 = ctg 0 =

3 Vegyünk egy derékszögű háromszöget, melynek a befogói egység hosszúak, az átfogó hoszsza ekkor hosszú Az ábráról leolvashatjuk a szögfüggvényeit: sin = cos = = tg = ctg = Gyakran használt kapcsolatok a szögfüggvények között: sin α + cos α = tg α = cos α tg α = ctg α ctg α = Szögfüggvények értelmezése forgásszögre A koordinátarendszer origója körül forgatott egységvektornak az x tengellyel bezárt szögét jelölje α A sin α és cos α szögfüggvényeket ennek az egységvektornak a koordinátáival azonosítjuk, és ezzel a derékszögű háromszögben definiált sin α, cos α szögfüggvényeket hegyesszögnél nagyobb szögekre is értelmezzük, összhangban az eddigi definíciókkal Az α szög koszinusza az egységvektor első koordinátája; az α szög szinusza az egységvektor második koordinátája

4 α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( ) Tetszőleges szögekre a tangens és kotangens függvényeket kétféle módon is definiálhatjuk, mely definíciók ekvivalensek Az α szög tangense a koordinátasíkon annak a pontnak a második koordinátája, amelyet az ; 0 pontjához húzott érintőből kimetsz ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán (A metszéspont akkor létezik, ha α 90 + k 80, k Z ) α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör ( ) Az α szög kotangense a koordinátasíkon annak a pontnak az első koordinátája, amelyet az 0 ; pontjához húzott érintőből kimetsz ezt látjuk az előző oldalon levő ábrán (A metszéspont akkor létezik, ha α 0 + k 80, k Z ) A másik értelmezés: tg α =, ahol 0, azaz α 90 + k 80, k Z cos α ctg α =, ahol 0, azaz α 0 + k 80, k Z Ha ismerjük a szögfüggvények értékeit az első síknegyedben, abból ki tudjuk számolni a szögfüggvények értékét más síknegyedben is Az α szög helyett vegyük azt az α ' hegyesszöget, amelyet az α szög az x tengellyel bezár Az α ' szöghöz tartozó függvényérték, vagy annak az ellentettje lesz az α szöghöz tartozó függvényérték Negyed Szög Hegyesszög sin α cos α tg α ctg α I 0 < α < 90 α ' = α ' II 90 < α < 80 α' = 80 α ' ' tg α' ctg α' ' tgα' ctgα' III 80 < α < 70 α ' = α 80 ' ' tg α' ctg α' IV 70 < α < 0 α' = 0 α ' ' tgα' ctgα' Példa: Mennyi sin 0 értéke? A 0 a III síknegyedben van, ez a szög az x tengellyel 0 = os hegyesszöget zár be, így a táblázat szerint sin 0 = sin 0 = A szögfüggvények értékeit 0, 90, 80, 70 szögekre a táblázat mutatja ( 0 -hoz ugyanolyan függvényértékek tartoznak, mint a 0 -hoz) sin α cos α tg α ctg α α = Nincs értelmezve α = 90 0 Nincs értelmezve 0 α = Nincs értelmezve α = 70 0 Nincs értelmezve 0

5 Összefüggések a szögfüggvények között Az egységvektor 90 -kal való elforgatása felcseréli a koordinátákat és az egyiknek megváltoztatja az előjelét Ezt használva láthatóak a következő összefüggések: ( α + 90 ) cos( α + 90 ) = ( α 90 ) = cos ( α 90 ) = ( α+ 90 ) = ctgα ctg( α+ 90 ) = tgα ( α 90 ) = ctgα ctg( α 90 ) = tgα sin = sin tg tg Az egységvektor 80 -kal való elforgatása megváltoztatja a koordináták előjelét Erre gondolva kapjuk a következő összefüggéseket: sin ( α + 80 ) = cos( α + 80 ) = ( α+ 80 ) tgα ctg ( α+ 80 ) = ctgα tg = A hegyesszögekre megismert összefüggések (például sin α + cos α =, vagy a pótszögek szögfüggvényei) érvényesek a hegyesszögnél nagyobb szögekre is Geometriai feladatokban nagy segítséget nyújthatnak a szögfüggvények Két hasznos összefüggés: Ha egy háromszög két oldala a és b, a közbezárt szög γ, akkor a háromszög területe absinγ t = Ha egy háromszög a oldalával szemközti szöge α, a köré írt kör sugara R, akkor fennáll az a = R összefüggés II Kidolgozott feladatok Töltse ki a táblázatot! Egy-egy szögnek a nagyságát megadtuk fokban, határozza meg a nagyságát radiánban, illetve fordítva: adott a szög nagysága radiánban, határozza meg, hogy az hány fokos szög! Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián

6 Megoldás: 00 a 80 -nak -szorosa, így a 00 radiánban mérve a -nek - szorosa Arányosság helyett kényelmesen számolhatunk az átváltó képletekkel is: α α α( ) ( rad) 7 rad = és α = 80 Például 7 =,9 ( rad ), illetve,( rad ) = 80 70, 7 A kitöltött táblázat: 80 80, Fok Radián Fok Radián Fok Radián Fok Radián 0 0 0, 70 00,, , 0, , 7, 98 Mennyi az alábbi kifejezések értéke? sin 0 + sin + sin + K+ sin 90 a) cos0 + cos + cos + K+ cos90 b) tg tg tg K tg89 0,7,0 c) ( tg ) ( tg ) ( tg ) K ( tg89 ) d) sin 0 + sin 0 + sin 0 + K + sin 90 e) cos cos cos Megoldás: sin α = cos 90 α, így sin 0 = cos90, sin = cos89, sin = cos88, K a) ( ) A számlálóban és a nevezőben ugyanazon számok összege áll, ezért a tört értéke sin b) ( ) ( 90 α) tg α tg 90 α = = =, ezért tg tg89 =, cos 90 α ( ) tg tg88 =, tg tg87 =,, tg tg = és tg =, a szorzat értéke c) tg = 0, tehát a szorzat értéke 0 lesz d) α = cos( 90 α) sin sin sin sin és sin α + cos α = miatt 0 + sin 80 = sin 0 + cos 0 =, 0 + sin 70 = sin 0 + cos 0 =, 0 + sin 0 = sin 0 + cos 0 =, sin 0 + sin 0 = sin 0 + cos 0 = és sin 90 = Ezért az összeg = e) cos = 0, ezért a szorzat értéke 0 0

7 Mekkora lehet sin α értéke, ha ctg α =? I Megoldás: ctg α = =, azaz cos α = Mivel sin α + cos α =, így sin α + ( ) =, innen sin α =, sin α = ± 0 0 II Megoldás: Tegyük fel, hogy α hegyesszög, majd vegyünk fel egy és egység befogójú, α hegyesszögű derékszögű háromszöget Ennek átfogója a Pitagorasz-tétel alapján sin α = 0 0, innen definíció alapján leolvashatók a keresett szögfüggvényérték, A ctg = ctg( α+ 80 ) α tulajdonság miatt még a III síknegyedben is van egy megoldás, ekkor = 0 Mekkora annak a rombusznak a nagyobbik belső szöge, amelynek rövidebb átlója egység, oldala egység hosszúságú? Megoldás A nagyobbik belső szög a rombusz nagyobbik átlójával szemben fekszik cos α =, ezért α =, A rombusz legnagyobb szöge: α =, 8 7

8 Az ABCD egyenlő szárú trapéz hosszabbik alapján fekvő szögei 0 -osak, a trapézba írt, az oldalakat érintő kör sugara cm Mekkora a trapéz kerülete? Megoldás: A trapéz oldalait a beírt kör négy pontban érinti, közülük hármat megneveztünk az ábrán, ezek a K, M, N pontok A BKO derékszögű háromszögben BK = OK ctg 0 = = 9 cm A CKO derékszögű háromszögben CK = OK ctg 0 = = cm AD= BC = 9 + = cm Az ABCD négyszög érintőnégyszög, ezért a szemközti oldalak összege egyenlő: AB+ CD= AD+ BC = + = cm, a trapéz kerülete + = 8 cm Egy háromszög legkisebb oldala egység Szögeinek nagysága, 0, 7 a) Mekkora a háromszög köré írt körének sugara? b) Mekkora a háromszög területe? c) Mekkora a háromszög kerülete? Megoldás: a) A -os szöggel szemben van az egység hosszúságú oldal, hiszen a legkisebb oldal a legkisebb szöggel szemben van Az a= R összefüggésből (ahol a a háromszög egyik oldala, R a köré írt kör sugara, α az a-val szemközti szög) = R sin adódik R = 0, 707 egység 8

9 Ugyanezt a képletet használva a 0 -os szöggel szemközti oldal sin 0 = egység hosszú Ismét az előbbi képletet használjuk, így a 7 -os szöggel szemközti oldal hossza + sin 7 = sin( + 0 ) = egység ( sin 7 értékét számolhatjuk a megfelelő addíciós képlettel, vagy úgy, ahogyan ezt a 7 ajánlott feladatban tesz- szük Választhatjuk az egyszerűbb utat is: használjunk számológépet!) b) A háromszög területe: ( + 0 ) ab sinγ sin 7 sin + T = = = = 0,9 területegység c) A kerület K = + + = =, 9 egység 7 Egy négyzet egyik csúcsát és a szemközti oldalak felezőpontjait összekötöttük, így kaptunk egy egyenlő szárú háromszöget Mekkora a háromszög szárszöge? I Megoldás: Válasszuk a négyzet oldalát egységnek A Pitagorasz-tétel segít kiszámolni az egyenlő szárú háromszög szárának hosszát: A háromszög területe: t = = A háromszög területét megkaphatjuk úgy is, hogy a négyzet területéből elhagyjuk a felesleges területrészeket: t = + + = Ezekből: t = =, így sin α = és α =, 8 (közelítőleg) 9

10 II Megoldás: Ha a négyzet oldala egység, akkor (Pitagorasz tétellel számolva) a háromszög oldalai:,, A háromszöget az alaphoz tartozó magassággal két derékszögű háromszögre bontjuk: α sin = α 0,, így = 8, (közelítőleg), és α =, 8 III Ajánlott feladatok Melyik a legnagyobb a sin, cos, tg,, számok közül? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! sin cos Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) cos sin a) b) sin tg cos + sin c) cos sin + tg ctg d) cos ctg sin e) tg 0 ctg 0 f) cos 0 sin 70 g) cos 0 + sin + sin sin 00 h) cos 0 + cos0 + cos90 + cos0 + cos70 0

11 Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! a) sin + sin 89 > b) sin < cos c) sin sin < cos cos d) sin 0 cos 0 < sin 0 Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb: a) sin 0 vagy cos 0? b) cos vagy sin? Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy a) sin 0 + cos 0 > b) sin 0 + cos 0 > Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója? 7 Igazoljuk a sin α tgα = azonosságot, ahol 0 < α < + cos α 8 Mennyi sin 7 pontos értéke? Számológép nélkül számoljon! 9 Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög tgα ctgα = = = = + tg α + ctg α + ctg α + tg α 0 Mutassa meg, hogy az r sugarú körbe írt szabályos -szög területe r Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α, egy másik B pontjából β szögben látszik Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony?

12 Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög 0, az innen induló szögfelező a szemközti oldalt az E pontban metszi Mekkora az AEC háromszög területe, ha AB =, AC =? Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza α bc cos f a = b+ c

13 Az ajánlott feladatok megoldásai Melyik a legnagyobb a sin, cos, tg,, számok közül? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! sin cos Megoldás: Ha 0 < α <, akkor sin α <, így sin < cos <, és innen sin < <, továbbá tg = < cos sin cos Tehát az öt szám közül a legnagyobb szám: sin Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) cos sin a) b) sin tg cos + sin c) cos sin + tg ctg d) cos ctg sin e) tg 0 ctg 0 f) cos 0 sin 70 g) cos 0 + sin + sin sin 00 h) cos 0 + cos0 + cos90 + cos0 + cos70 Megoldás: a) cos = sin, így a tört értéke 0 b) = c) 0 ( ) + = d) ( ) = 0 e) tg α ctgα = f) 0 = sin( 90 0 ) = sin 70 cos, így a tört értéke g) + = 0 + h) cos 0 + cos70 = 0, cos 0 + cos0 = 0, cos 90 = 0, ezért az összeg értéke 0

14 Az állítások közül melyik igaz, melyik hamis? Válaszát számológép segítsége nélkül indokolja! a) sin + sin 89 > b) sin < cos c) sin sin < cos cos d) sin 0 cos 0 < sin 0 Megoldás: a) IGAZ A baloldali összeg két tagja egy egység átfogójú derékszögű háromszög két befogójának hossza (ahol az egyik hegyesszög 89 ), így azok összege nagyobb - nél Másképp: sin + sin89 = sin + cos > sin + cos = (Felhasználtuk, hogy > > 0, így sin α > sin α ) b) HAMIS Ugyanis sin α >, ha < α < c) IGAZ sin sin < = cos0= cos cos d) IGAZ sin 0 cos 0 < sin0 < sin 0 Számológép segítsége nélkül döntse el, melyik szám a nagyobb: a) sin 0 vagy cos 0? b) cos vagy sin? Megoldás: a) sin 0 > sin 0 = cos0 b) cos = sin Számológép segítsége nélkül mutassa meg, hogy a) sin 0 + cos 0 > b) sin 0 + cos 0 > Megoldás: Ha 0 < sin x <, akkor sin x < sin x< sin x <, ugyanígy ha 0 < cos x <, akkor cos x < cos x< cos x < Továbbá sin x + cos x= Ezeket használjuk a bizonyításban a) sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 = b) sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 > sin 0 + cos 0 =

15 Mekkora szöget zár be egymással a kocka két különböző testátlója? Megoldás: Vegyük a kockának azt a síkmetszetét, melyen rajta van két testátló Ez a síkmetszet egy téglalap, a téglalap rövidebb oldala a kocka éle, hosszabb oldala a kocka lapátlója, átlója a kocka testátlója Ha a kocka éle egység, akkor a lapátlója, a testátlója hosszú A síkmetszet, a téglalap két szomszédos csúcsát és középpontját összekötve (lásd az ábrát) kapunk egy hegyesszögű, egyenlő szárú háromszöget Ennek területe a téglalap területének negyede: t =, másrészt t = =, így = =, α 70, Megjegyzés: Kényelmesen számolhatunk a szinusz definícióját felhasználva: α sin =, α,, így α 70, sin α 7 Igazoljuk a tgα = azonosságot, ahol 0 < α < + cos α Megoldás: Vegyünk fel egy egységsugarú kört, majd egyik átmérőjén a középpontból mérjünk fel α nagyságú szöget Az ábráról leolvasható az összefüggés

16 8 Mennyi sin 7 pontos értéke? Számológép nélkül számoljon! Megoldás: A -os szöget tartalmazó derékszögű háromszög átfogója a Pitagorasz- tétel alapján: ( ) + = 8+ = + + Ebben a derékszögű háromszögben számolhatjuk a keresett szögfüggvényértéket: + cos = = + + = + és sin 7 = cos, így sin 7 = + = ( + ) + =, 9 Mutassa meg, hogy igazak a következő azonosságok, ahol α hegyesszög tgα ctgα = = = = + tg α + ctg α + ctg α + tg α I Megoldás: Vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszög melletti befogó egység Ekkor a szemközti befogó tg α, az átfogó a Pitagorasz-tétel szerint + tg α Innen tgα =, + tg α = + tg α Majd vegyünk fel egy olyan derékszögű háromszöget, ahol az α hegyesszöggel szemközti befogó egység Ekkor a szög melletti befogó ctg α, az átfogó a Pitagorasz-tétel szerint Innen =, + ctg α + ctg α ctgα = + ctg α

17 II Megoldás: Használjuk a tg α = azonosságot cos α tgα + tg = α = sin α + cos α cos α + sin cos α = α = cos α = Hasonló átalakítással megkapjuk a másik, igazolásra váró összefüggést is 0 Mutassa meg, hogy az r-sugarú körbe írt szabályos -szög területe r Megoldás: A sokszög területe -szerese az OAB egyenlő szárú háromszög területének A háromszög szárszöge γ = = 0 0 A háromszög területe r r sin 0 r = r r = A -szög területe: = r Megjegyzés: Kürschák József (8 9) ezt az állítást egy elegáns átdarabolással bizonyította Egy templomtorony magasságának meghatározása céljából egy, a torony alappontján átmenő vízszintes egyenes A pontjából a torony α, egy másik B pontjából β szögben látszik Ha az A és B pontok távolsága x méter, akkor milyen magas a torony? 7

18 Megoldás: m tg α = és x+ a m tg β = a m = x+ a tg = a tg Ezekből: ( ) α β, így x tgα a = tgβ tgα x tgα tgβ A torony magassága: m = a tgβ = tgβ tgα Az ABC háromszög A csúcsánál levő szög 0, az innen induló szögfelező a szemközti oldalt az E pontban metszi Mekkora az AEC háromszög területe, ha AB =, AC =? Megoldás t = t + t, azaz ABC ABE AEC sin 0 = AE sin + AE sin Ezért AE = sin t AEC = AE sin = sin =, egység sin 8

19 Mutassa meg, hogy az ABC háromszög A csúcsából induló szögfelezőjének hossza α bc cos f a = b+ c Megoldás A háromszöget a szögfelező két kisebb háromszögre vágja Ezek területének összege egyenlő a háromszög területével, azaz α sin sin sin α α α bc α = bf a + cf a, azaz bc = bf a sin + cf a sin α α A = sin cos összefüggést használva, rendezés után kapjuk az α bc cos f a = összefüggést b+ c IV Ellenőrző feladatok Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) a) cos 0 tg b) sin 0 + cos 0 c) tg sin cos + cos 90 d) tg sin 90 e) g) sin 70 cos f) sin 0 + cos 0 tg + tg0 cos80 cos 0 cos + sin h) cos cos 9

20 Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha 0 < α < 90 sin α cos α tg α ctg α 8 Egy háromszög két szöge 0 és A -os szöggel szemközti oldal hossza egység Mekkora a 0 -os szöggel szemközti oldal? Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal egység, az AB alaphoz tartozó magasság egység Mekkora a háromszög szárszöge? Egy egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sorrendben helyezkednek el AB =, BC = Milyen hosszú az AC szakasz? Az ellenőrző feladatok megoldásai Számolja ki az alábbi műveletsorok értékét! (Számológép használata nélkül) a) cos 0 tg b) sin 0 + cos 0 c) tg sin cos + cos 90 d) tg sin 90 e) g) sin 70 cos f) sin 0 + cos 0 tg + tg0 cos80 cos 0 cos + sin h) cos cos Megoldás: a) = 0 b) + = 0

21 c) = + 0 d) = 0 e) ( ) 0+ + = 0 + f) ( ) = g) sin α + cos α = h) = Töltse ki a táblázatot számológép segítsége nélkül, ha 0 < α < 90 sin α cos α tg α ctg α 8 Megoldás: sin α cos α tg α ctg α 8 8 8

22 Egy háromszög két szöge 0 és A -os szöggel szemközti oldal hossza egység Mekkora a 0 -os szöggel szemközti oldal? m Megoldás: Az ábra alapján sin 0 =, így m = m sin =, tehát x x = = Az ABC egyenlő szárú háromszög BC szárához tartozó súlyvonal egység, az AB alaphoz tartozó magasság egység Mekkora a háromszög szárszöge? Megoldás Az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága egyben súlyvonal is, a súlyvonalak harmadolják egymást Így AS =, SE = A Pitagorasz-tétel alapján AE = tgcae =, CAE = 7, 7 A szárszög 0,8

23 Egy egység sugarú kör kerületének egyik felén az A, B és C pontok ebben a sorrendben helyezkednek el AB =, BC = Milyen hosszú az AC szakasz? Megoldás sin α =, így α =, 87 és sin β =, így β =, 8 Az AOC háromszög O-nál lévő szöge α+ β CD sin = CO CD Mivel α + β = 0,, így sin 0, = 0,87=, tehát AC = CD= 8, 7 Az AC húr felezőpontja D, ( α+β)