Kisérettségi feladatsorok matematikából

Átírás

1 Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b) Ha egy egész szám osztható 4-gyel és 6-tal is, akkor osztható 4-gyel is.. feladatsor. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya : 5. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? pont [ [ 3. Határozza meg a 35 ; intervallumon értelmezett f( )= 4 függvény értékkészletét! 4. Mivel egyenlő + ha + = 5? 4 5. Hány számjegyű a ( ) + ( 0 ) 6 tízes számrendszerbeli alakja? 6. Egy négyszög minden oldala 5 cm, és az egyik átlója 30 cm. Mekkora a négyszög területe? 4 pont 7. Egy 40 fős társaság 60%-a fiú. Hány lánynak kell érkeznie még, hogy a társaság 60%-a legyen lány? 8. Az alábbiak közül melyik lehet egy függvény grafikonja? pont a) y b) y

2 Kisérettségi feladatsorok matematikából c) y. feladatsor Az A = {; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0} halmaznak hány olyan eleme van, mely relatív prím 00-hez? 0. Ábrázolja számegyenesen a + < egyenlőtlenséget teljesítő valós számokat!. Ha favágó nap alatt 0 m 3 fát vág ki, akkor hány favágó vág ki 4 nap alatt 00 m 3 fát? pont II./A rész. Hét egymást követő egész szám közül az első 4 négyzetének összege egyenlő a következő 3 négyzetének összegével. Melyek ezek a számok? 3. Az irányítótorony 0 magasan levő ablakából a 350 m magasságban közeledő vitorlázó repülőt,7 -os emelkedési szögben látjuk. Állandó magasságban repülve a gép 300 m-t tett meg a torony felé. Mekkora emelkedési szögben látjuk most a gépet? 4. Egy négyzet alakú park közepén kör alakú kis tó található. A tó területe fele a körülötte levő füves rész területének. a) Mekkora a tó átmérője, ha a park oldalai 60 m hosszúak? 5 pont b) Az ábrán látható módon sétányokat készítenek a parkban. Hány méter a teljes úthálózat hossza? (A tó körül is vezet út.) 7 pont 8

3 Kisérettségi feladatsorok matematikából II./B rész 5. Egy 35 fős osztály 3 feladatból álló dolgozatot írt matematikából. A javítás után a következőket állapította meg a tanár: Az első és a harmadik feladatot 0-an, a második és a harmadik feladatot 8-an tudták megoldani. Csak az első, illetve csak a második feladat - tanulónak lett jó. Az első vagy második példát 9-en oldották meg jól. Ugyanennyien voltak, akiknek sikerült a harmadik feladat megoldása. Hibátlan dolgozat mindössze 3 darab volt. a) Hány tanuló van, aki pontosan feladatot oldott meg jól? 8 pont b) Hányan nem tudtak egyetlen feladatot sem megoldani? 4 pont c) A diákok hány százaléka oldott meg legfeljebb egy példát jól? 5 pont 6. Egy egyenlő szárú háromszög szára 0 cm, az alaphoz tartozó magassága 6 cm. a) Mekkora a szárhoz tartozó magasság? 5 pont b) Számítsa ki a háromszög köré írható kör sugarát! 6 pont c) Egy hozzá hasonló háromszög területe 44%-kal nagyobb. Mekkora ez utóbbi háromszög köré írható kör sugara? 6 pont 7. Két egymásra merőleges úton a kereszteződés felé halad egy-egy autó 0 m s, illetve 8 m s sebességgel. A gyorsabb autó 480 m távolságra van a kereszteződéstől, amikor a lassabb 60 m-re. a) Mennyi idő múlva lesz a gyorsabb autó kétszer olyan messze a kereszteződéstől, mint a lassabb? 6 pont b) Milyen távol van egymástól a két autó, amikor a lassabb 360 m-re van a kereszteződéstől? 6 pont c) Adja meg a két autó egymástól való távolságát az idő függvényében addig, amíg az első autó eléri a kereszteződést! 5 pont 9

4 . feladatsor megoldása I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b) Ha egy egész szám osztható 4-gyel és 6-tal is, akkor osztható 4-gyel is.. feladatsor a) Igaz, mert két egész szám összege csak akkor lehet páratlan, ha az egyik páratlan, a másik pedig páros. b) Hamis, mert például a osztható 4-gyel és 6-tal is, de nem osztható 4-gyel.. Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya : 5. Mekkorák a háromszög hegyesszögei? a a: b= : 5 tg α = =, b 5 amibõl α, 8 és β 90, 8 = 68, [ [ 3. Határozza meg a 35 ; intervallumon értelmezett f( )= 4 függvény értékkészletét! 3 < 5 0 < 5 4 4< < 4 4 pont így az értékkészlet: 4 ; 4. Mivel egyenlő ] ] + ha + = 5? + = = = 4 5. Hány számjegyű a ( ) + ( 0 ) 6 tízes számrendszerbeli alakja? 47

5 . feladatsor ( ) + ( ) = = 0 ( 0 + )=, 0 0 pont A szám 3 jegyű. 6. Egy négyszög minden oldala 5 cm, és az egyik átlója 30 cm. Mekkora a négyszög területe? A négyszög egy rombusz, amelynek területe T A másik átló kiszámolható a Pitagorasz-tétel alkalmazásával: e f = f, amiből f = 40. pont A négyszög területe T = = 600 (cm ). 7. Egy 40 fős társaság 60%-a fiú. Hány lánynak kell érkeznie még, hogy a társaság 60%-a legyen lány? A társaságban 40 0, 6= 4 fiú van, és 6 lány. A lányok érkezésével a fiúk száma nem változik. Az új társaságnak 40%-a fiú. Így 4 = 60 fős a társaság, azaz 0 lánynak kell érkezni. 04, 8. Az alábbiak közül melyik lehet egy függvény grafikonja? a) y b) y

6 c) y A c) és a b) ábrán egy értékhez több y érték is tartozik, ezért nem függvények grafikonjai. Csak az a) ábra lehet egy függvény képe. pont 9. Az A = {; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0} halmaznak hány olyan eleme van, mely relatív prím 00-hez? Mivel 00 = 3567, így a 00 valódi osztói az adott halmazból a ; 3; 5; 6; 0. Az A halmazból a 4-nek, a 8-nak és a 9-nek van ezeken kívül közös osztója a 00-zel. Így a relatív prímek az ; és a 7, azaz darab 00-hez relatív prím van az elemek között. pont 0. Ábrázolja számegyenesen a + < egyenlőtlenséget teljesítő valós számokat! A + kifejezés csak számokra értelmezhető. Négyzetre emelés után + < 4, amiből <. pont Az egyenlőtlenség megoldása: Ha favágó nap alatt 0 m 3 fát vág ki, akkor hány favágó vág ki 4 nap alatt 00 m 3 fát? A munkaidő és a kivágott fa mennyisége között egyenes arányosság van, így favágó 0 nap alatt 00 m 3 fát vág ki. A munkások száma és a munkaidő között pedig fordított arányosság van, így 4 nap alatt 00 m 3 fát 5 favágó vág ki. 49

7 II./A rész. feladatsor. Hét egymást követő egész szám közül az első 4 négyzetének összege egyenlő a következő 3 négyzetének összegével. Melyek ezek a számok? Jelöljük a középső számot -szel, ekkor a 7 egymást követő szám: - 3; - ; - ; ; + ; + ; + 3, ahol Î. ( ) + ( ) + ( ) + = ( + ) + ( + ) + ( + ) pont 3 3 pont 4 + 4= pont 4 = 0 ( 4)= 0. pont Ennek = 0 és = 4 a két megoldása. pont Ha = 0, akkor a hét egész szám a: -3; -; -; 0; ; ; 3. Ha = 4, akkor a keresett számok a: ; ; 3; 4; 5; 6; Az irányítótorony 0 magasan levő ablakából a 350 m magasságban közeledő vitorlázó repülőt,7 -os emelkedési szögben látjuk. Állandó magasságban repülve a gép 300 m-t tett meg a torony felé. Mekkora emelkedési szögben látjuk most a gépet? Készítsünk ábrát! R 300 R 330 Q,7 b P T Az RPT derékszögű háromszögben RP = 330 és tg, 7 =, pont 330 PT amiből PT = 7 464, 3. pont tg, QT = PT = 64, R QT derékszögű háromszög ből b számolható. tg β =, amibõl β 5, 8. 64, 3 5,8 -os emelkedési szögben látjuk most a gépet. 50

8 4. Egy négyzet alakú park közepén kör alakú kis tó található. A tó területe fele a körülötte levő füves rész területének. a) Mekkora a tó átmérője, ha a park oldalai 60 m hosszúak? b) Az ábrán látható módon sétányokat készítenek a parkban. Hány méter a teljes úthálózat hossza? (A tó körül is vezet út.) a) Legyen r a tó sugara, t a területe! A park területe 3600 m. t = ( t) 3600, amiből t = 00 (m ). r π = 00 összefüggésből r 9,5. A tó átmérője 39 m. b) Az oldalfelező pontokból induló utak hossza legyen, a csúcsokból indulóké pedig y! y 60 r + r = 60, amibõl = 30 r 0, 5. pont y+ r = 60, amibõl y = 30 r, 9. A teljes úthálózat hossza rπ y 56, m. pont 5

9 II./B rész. feladatsor 5. Egy 35 fős osztály 3 feladatból álló dolgozatot írt matematikából. A javítás után a következőket állapította meg a tanár: az első és a harmadik feladatot 0-an, a második és a harmadik feladatot 8-an tudták megoldani. Csak az első, illetve csak a második feladat - tanulónak lett jó. Az első vagy második példát 9-en oldották meg jól. Ugyanennyien voltak, akiknek sikerült a harmadik feladat megoldása. Hibátlan dolgozat mindössze 3 darab volt. a) Hány tanuló van, aki pontosan feladatot oldott meg jól? b) Hányan nem tudtak egyetlen feladatot sem megoldani? c) A diákok hány százaléka oldott meg legfeljebb egy példát jól? a) Legyen E, M, H az első, második, illetve a harmadik feladatot megoldó tanulók halmaza! Ábrázoljuk Venn-diagramon a halmazok elemszámát! 6 pont Pontosan két feladatot = fő oldott meg. pont E 0 M H b) EÈM È H = 33, azaz 33-an ol dot tak meg legalább egy feladatot. pont Így tanuló nem tudott egyetlen feladatot sem megoldani. pont c) Pontosan feladatot = 8 fő oldott meg. Egyetlen példát sem tudott megoldani fő. A legfeljebb feladatot megoldók száma így , 857, azaz a diákok 8,57%-a oldott meg legfeljebb feladatot. pont 6. Egy egyenlő szárú háromszög szára 0 cm, az alaphoz tartozó magassága 6 cm. 5

10 a) Mekkora a szárhoz tartozó magasság? b) Számítsa ki a háromszög köré írható kör sugarát! c) Egy hozzá hasonló háromszög területe 44%-kal nagyobb. Mekkora ez utóbbi háromszög köré írható kör sugara? a) Az alap hossza Pitagorasz-tétellel meghatározható. a 6 0 a 4 + =, amibõl = cm. pont A háromszög területéből a m = b m pont a b 4 6 m b = = 9, cm. C 0 b E D A a B b) A rajz elkészítése: C b K R m R A D a B A háromszög köré írható körének sugara legyen R! Ennek a körnek a középpontja (K) az alaphoz tartozó magasságra illeszkedik, és m- R távolságra van az alap felezőpontjától (D). Az ADK derékszögű háromszögben írjuk fel a Pitagorasz-tételt! pont 53

11 . feladatsor a m R R + ( ) = + 6 3R+ R = R, amiből R =,5 cm. pont c) Legyen a hozzá hasonló háromszög területe T, a hasonlóság aránya l! T ' T' = 44, T, és = λ pont T Ezekből λ =,. pont A hozzá hasonló háromszög köré írható körének sugara: R' = λ R=,, 5= 5 cm. pont 7. Két egymásra merőleges úton a kereszteződés felé halad egy-egy autó 0 m s, illetve 8 m sebességgel. A gyorsabb autó 480 m távolságra van a kereszteződéstől, s amikor a lassabb 60 m-re. a) Mennyi idő múlva lesz a gyorsabb autó kétszer olyan messze a kereszteződéstől, mint a lassabb? b) Milyen távol van egymástól a két autó, amikor a lassabb 360 m-re van a kereszteződéstől? c) Adja meg a két autó egymástól való távolságát az idő függvényében addig, amíg az első autó eléri a kereszteződést! a) A gyorsabb jármű t másodperc múlva méterben mérve 480-0t távolságra, a lassabb pedig 60-8t távolságra lesz a kereszteződéstől. pont 480 0t = ( 60 8t ) pont t = 65 s Behelyettesítve: 65 s múlva a gyorsabb 80 m-re, a lassabb pedig 90 m-re lesz a kereszteződéstől. pont b) Jelöljük t -vel azt az időt, amíg a lassabb autó 900 m-t tesz meg! 8 t = 900, ahonnan t = 50 s. pont Ezalatt a másik autó 000 m-t tesz meg, így 480 m-re lesz a kereszteződéstől. pont A távolságuk: d = = 600 (m). pont c) A gyorsabb autó 74 s, a lassabb 70 s alatt éri el a kereszteződést. A köztük lévő távolság az idő függvényében: ( ) + ( ) = + d()= t 480 0t 60 8t 74t 04560t (m), ahol 0 t