. feladatsor 8. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a METALLICA szó betűit?...( pont) 9. Tamás elhatározta, hogy fából kifaragja a Kheopsz piramis kic

Átírás

1 . feladatsor. Feladatsor I. rész. Adja meg a következő halmazok elemeit, ha A= { e dit}. Egyszerűsítse a következő törtet: (! ) ; ; ;, B e; mil ; ;! = { } A B; B/ A...( pont) (3 pont) 3. Hány éle van egy hétpontú teljes gráfnak?...( pont) ( ) ( ) Írja fel a kör egyenle- 4. Egy kör átmérőjének két végpontja A 46 ; és B ; 8. tét!...(3 pont) 5. Adja meg a valós számok halmazán értelmezett, az alábbi grafikonnal megadott függvény értékkészletét, szélsőértékét és a szélsőérték helyét!...(3 pont) y A 40 m magasan repülő sas 0 -os lehajlási szögben pillantja meg a bokorban megbújó nyulat. Milyen messze van az adott pillanatban egymástól a két állat? Válaszát számolással indokolja! Az eredményt egészre kerekítve, méterben adja meg!... (4 pont) 7. Adja meg a következő állítások logikai értékét!...( pont) A) A rombusz átlóvektorainak skaláris szorzata pozitív. B) A szabályos tízszög csak 36 -os forgatással vihető át önmagába. C) Van olyan háromszög, amely körülírt körének középpontja a háromszög egyik oldalán helyezkedik el. 0

2 . feladatsor 8. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a METALLICA szó betűit?...( pont) 9. Tamás elhatározta, hogy fából kifaragja a Kheopsz piramis kicsinyített mását. Úgy tervezi, hogy művének alapterülete az eredeti alapterület egy milliomod része lesz. Hányad része lesz Tamás piramisának térfogata az eredeti térfogatnak?...(3 pont) 0. Írja fel tízes számrendszerben a következő kettes számrendszerbeli számot! ( pont). Egy számtani sorozat első tagja 5, nyolcadik tagja 6. Adja meg a differenciát! Válaszát számítással indokolja!...( pont). Adja meg a következő kifejezés értelmezési tartományát! lg ( 4 3)...( pont) II. rész A feladattípus 3. a) Ábrázolja számegyenesen a következő egyenlőtlenség megoldását! (4 pont) b) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! = (7 pont) 4. Egy szabályos sokszög egy oldalának hossza 0 cm, átlóinak száma 89. a) Számítsa ki a sokszög területét!...(7 pont) b) Határozza meg a 4 oldalú szabályos sokszögbe írható kör területét, ha az oldalak hossza 0 cm!...(3 pont) c) Egy szabályos nyolcszög alakú asztalhoz leültetünk nyolc embert, Aleát, Beát, Csabát, Dorkát, Editet, Ferit, Gézát és Hildát. Mennyi a valószínűsége, hogy Alea Csaba mellé kerül, Dorka pedig Edit mellé, ha minden elhelyezkedés egyformán valószínű?... (4 pont) 4 pont

3 . feladatsor 5. a) A győri Audi gyár vezetősége elhatározza, hogy minden évben %-kal több autót gyártanak, mint az előzőben. Imre ebben az évben, 0 éves korában kezd el dolgozni a gyárban. Hány éves lesz, mikor a gyár megkétszerezi a gyártott autók számát?...(7 pont) b) A gyár 04-ben db A3 Limusine-t gyártott. Ha minden évben 5000 darabbal többet gyártanak, mint az azt megelőzőben, melyik évben duplázzák meg ezt a darabszámot? (Forrás: (4 pont) B feladattípus 6. Egyik kézilabda csapatunk játékos kerete a 04/05-ös idényben 8 játékosból állt. A játékosok életkorát az alábbi táblázat mutatja. Életkor (év) Játékos (fő) 4 3 a) Adja meg a játékosok életkorának átlagát és mediánját!...( pont) b) Ábrázolja kördiagramon az életkorok megoszlását a 30 évnél idősebb játékosok esetén!...( pont) c) A következő, 05/06-os idényben egy játékos elment, és két új érkezett. Az adathalmaznak kettővel több módusza lesz, de a terjedelme nem változik. Az átlagéletkor és a medián 30 év lett. Hány éves játékos ment el és hány éves játékosok kerültek a csapatba?... (8 pont) d) A csapat két kapusa 3, illetve 30 éves. Mennyi a valószínűsége annak, hogy hat, véletlenszerűen választott mezőnyjátékosból pontosan fő 5 éves és fő 34 éves?...(5 pont) 7 pont 7. Törpilla Halloween előtt elhatározza, hogy varázsló süveget készít magának és három barátnőjének egy 64 cm átmérőjű körlapból úgy, hogy a körlapból egyenlő nagyságú körcikkekre vágja. a) Határozza meg, milyen magasak lesznek a kúp alakú süvegek? A végeredményt egészre kerekítse!...(7 pont) b) Befér-e a süveg alá Hókuszpók 4 cm átmérőjű varázsgömbje, ha sikerül figyelmét elterelve a törpöknek elcsenni? Válaszát számolással igazolja!... (6 pont)

4 . feladatsor megoldása. Feladatsor I. rész. A halmazábráról leolvasható: A d B t e i l m A B={ ei ; } A és B halmaz közös részének elemei. B\ A= { lm ; }, olyan elemek, amelyek B halmaznak elemei, de nem elemei A-nak. pont. A számláló szorzat alakja: 4 = ( ) ( + ). A nevező szorzat alakja: = ( ) = ( ) ( ). ( ) ( + ) A tört: ( ) ( ), ( -vel ) lehet egyszerűsíteni, mert nem lehet. Az egyszerűsített tört: +. 3 pont 3. ( ) Az n pontú teljes gráf éleinek száma: nn. 6

5 . feladatsor megoldása Ebben az esetben: 7 6 = éle van a hétpontú teljes gráfnak. pont 4. A kör középpontja az AB átmérő felezőpontja: O ; ; O( ; ). A kör sugara: r = OA = ( ( )) + ( ( )) = + = ( ( )) + ( ( )) = ( ) + ( + ) = A kör egyenlete: y 58, + y pont 5. ] ] A függvény értékkészlete: y ;, maimum értéke: y =, maimum helye: =. 3 pont 6. Az α = β, mert váltószögek. α 40 m β A derékszögű háromszög az átfogóját kell kiszámítani, tehát sin β = 40, 40 ebből = 0 = 6, 95. sin A két állat távolsága 7 m. pont 4 pont 63

6 . feladatsor megoldása 7. A) Hamis, mert a rombusz átlói derékszögben felezik egymást, így az átlóvektorok skaláris szorzata e f = e f cos 90 = B) Hamis, mert az elforgatás szöge ( k ) lehet, ahol k = 0 0,,,. C) Igaz, mert a derékszögű háromszög esetén a körülírható kör középpontja az átfogó felezőpontjával egyezik meg, a Thalész-tétel megfordítása szerint., ha bármely két logikai értéket eltalálta, pont 3 jó válasz esetén. pont pont 8. A szó (METALLICA) 9 betűből áll. A szóban az L betű -szer és az A betű is -szer szerepel. Ismétléses permutációról van szó,, 9! így P 9 = = féleképpen lehet a szó betűit sorba rendezni.!! pont T T 9. kicsi eredeti = λ, mivel a két test hasonlóságából következik, hogy az alapjuk is hasonló, így azok területének aránya λ =, ebből λ = = Két hasonló test térfogatának aránya: V V kicsi eredeti = =( ) = λ Tamás piramisának térfogata az eredeti térfogatának egymilliárdnyi része. 3 pont 64

7 . feladatsor megoldása = = 38 pont pont. A számtani sorozat n-edik elemének képzési szabálya szerint: a = a + n d n ( ), a = a + 7 d; 6 = 5+ 7 d. 8 Ebből d = 3. pont. A logaritmus mögött álló kifejezés csak pozitív lehet. 4 3> 0, 4 > 3, > 8. A kifejezés értelmezési tartománya a 8-nál nagyobb valós számok halmaza. pont II. rész A feladattípus 3. a) A törtek nevezőinek legkisebb közös többszöröse a 0. A törtek bővítése után az egyenlet: 5 ( 5 3 ) ( + ) + ( ) Beszorozva a közös nevezővel az egyenlőtlenség mindkét oldalát, majd a zárójelek felbontása után kapjuk Vonjunk össze: ! 65

8 . feladatsor megoldása Az egyenlőtlenségeket célszerű úgy rendezni, hogy az ismeretlen együtthatója pozitív legyen! Vegyünk el mindkét oldalból 5-öt, és adjunk mindkét oldalhoz 4-et: 39 0, így az egyenlőtlenség megoldása: pont b) Alkalmazzuk az azonos alapú hatványok szorzására vonatkozó azonos- 3 ságot = 3. Mivel 9 = 9 = 3 és = ( ) = ( ) az egyenlet 3 ( 3 ) 7 3 8= 3 pont. Vezessük be a 3 = y helyettesítést, és rendezzük 0-ra az egyenletet! 3y 6 y 9= 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletébe helyettesítve kapjuk 6 ± ( 9) 6 ± 8 y = = ; y, 3 6 = és y. 3 = 9 Mivel az f ( )= 3 függvény értékkészlete a pozitív számok halmaza, ezért csak 3 = 9 egyenlet megoldását keressük. 3 = 3 és az említett függvény szigorúan monoton növekvő, ezért az egyenlet megoldása =. pont 7 pont 4. ( ) = a) Az n oldalú sokszög átlóinak száma n n α r m a 66

9 . feladatsor megoldása Az egyenlet rendezése után meg kell oldani a n 3n 378 = 0 egyenletet ( 378) 3 39 n, = ± = ±. A gyökök közül az n = a megfelelő, mert a másik gyök negatív. pont A oldalú szabályos sokszög egy középponti szöge: α = = 7. a A középponti háromszög adatai alapján: sin α pont = r. a Átrendezés után: r = 5 = ; r = 33, 55. α 60 sin sin 7 Az n oldalú sokszög területére vonatkozó összefüggés szerint nr T = 0 33, 55 sin sinα = 7 ; T = 3483, 66 cm. A feladat a középponti háromszög magasságának kiszámításával is megoldható. 7 pont b) A sokszögbe írható kör sugara a középponti háromszög magassága, így a a α tg =, m ebből r = m = = 33, 7 cm. beírható α tg A magasság (a beírható kör sugara) Pitagorasz tételével is számolható. A kör területe: T = r π = 3456, 53. (Ha π-vel számolunk.) beírható beírható cm pont 3 pont c) A nyolcszög alakú asztalnál a nyolc ember összesen 8! = 7! -féleképpen 8 helyezkedhet el. Alea Csaba mellé és Dorka Edit mellé 6! = 5! -féleképpen kerülhet. 6 Mivel ők akkor is szomszédok maradnak, ha Alea Csabával helyet cserél, illetve Dorka Edittel. Ezt 4-féleképpen tehetik meg, így a kedvező esetek száma: 4 5!. pont 4 A keresett valószínűség: p = 5! = = 0095,. 7! 4 pont 67

10 . feladatsor megoldása 5. a) Az autók száma mértani sorozatot alkot, melyben a kvóciens értéke,0. Kezdetben az autók száma a 0. Így n év múlva a gyártott autók száma (mivel megduplázódik): a. a 0 0 = a0 q n. Mivel a kezdeti autók száma nem nulla, az egyszerűsítés és behelyettesítés után = 0, n. A logaritmus függvény szigorú monotonitás miatt, vehetjük mindkét oldal n tízes alapú logaritmusát: lg = lg 0,. pont A hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság miatt: lg = n lg 0,. lg Ebből = n. n = 35, tehát Imre 55 éves lesz. lg 0, 7 pont b) Az autók száma számtani sorozatot alkot, melyben d = 5000; a = 98 70; a n = A számtani sorozat első n tagjára vonatkozó összefüggésbe behelyettesítve kapjuk, = ( n ) = ( n ) 5000, mindkét oldalt osztva 5000-rel n = 9634,, n = 0, 634. Az évenként gyártott autók száma 035-re duplázódik meg. 4 pont B feladattípus a) = = = 30, A medián a nemcsökkenő sorba rendezett elemek 9. és 0. elemének számtani közepe: = 30, 5. pont 68