2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Átírás

1 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP / XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet 114 Budapest, Szobránc u Telefon: (+6-1) Fax: (+6-1)

2 1. A B = {; } A \ B = {5; 7} Megjegyzés: Ha a vizsgázó az 1-et prímszámnak tekinti, de egyébként jól dolgozik, akkor ot kapjon (Ft). 8 cm Ha a vizsgázó nem ír mértékegységet, akkor legfeljebb ot kapjon. 4. Módusz: jeles (5) Medián: jó (4) 5. ( =) , 1, 1, 4 Megjegyzés: Ha a vizsgázó a tagok megadása során egyszer hibázik, de a hibás eredménnyel jól számol tovább, akkor ot kapjon. Egynél több hiba esetén nem jár pont. 7. A) Hamis, mert a fokszámok összege nem lehet páratlan szám. B) Igaz, mert a 6 pontú teljes gráfnak 15 éle van. 4 pont 8. x = 1 Ha a vizsgázó nem veszi figyelembe a függvény alaphalmazát, akkor legfeljebb ot kaphat. / 10

3 9. (A szinusztétel alapján:) b sin 70 6 sin 40 b 8,77 cm pont Ha a vizsgázó nem ír mértékegységet, akkor legfeljebb ot kapjon. 10. (Az egyenlet diszkriminánsa:) D b 40. (Az egyenletnek nincs valós megoldása, ha) b (A legnagyobb ilyen egész szám) b 6. pont 11. ( x ) ( y 1) Összesen -féleképpen húzhatnak ki 5 számot a 5 90-ből. 85 Dani szelvénye -féleképpen lehet kitöltve, ha 5 nincs egyetlen találata sem. 85 A keresett valószínűség: 5 p = , pont / 10

4 1. a) Egy tört értéke pontosan akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelűek. Mivel a számláló negatív, így a nevező is negatív, azaz, így. x x 0 A megoldáshalmaz (a megadott intervallumon) ]; 5]. 1. b) első megoldás 5 x (és 7 x (Négyzetre emelve és rendezve:) x 15x 44 0 Az egyenlet gyökei: x 1 4 és x 1 4 x pont ) nem megoldása az egyenletnek. x 11 megoldása az egyenletnek. Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy a [7; [ intervallumon ekvivalenciára való hivatkozással. 6 pont Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. Más helyes jelölés is elfogadható. Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó behelyettesítéssel ellenőriz. 1. b) második megoldás Az f ( x) x 7 függvény ábrázolása. Az g( x) x 5 függvény ábrázolása ugyanabban a koordináta-rendszerben. (A függvénygörbék közös pontjának leolvasása.) x 11 Ellenőrzés behelyettesítéssel. 6 pont 4 / 10

5 14. a) Mivel 5 1 1, így a Pitagorasz-tétel megfordítása miatt a háromszög valóban derékszögű. 14. b) A Thalész-tétel megfordítása miatt a súlyvonal hossza az átfogó fele, azaz 6,5 cm. 14. c) első megoldás A háromszög területét kétféleképpen felírva 51 1 m, ahonnan 60 m 1 (cm). 14. c) második megoldás pont Ez a pont akkor is jár, ha a vizsgázó a Thalész-tételre hivatkozik. (A 1 cm és 1 cm hosszúságú oldalak által közrefogott szögre:) 5 m sin, ahonnan m ( 4,6) (cm). 1 pont 14. d) (Jelölje V a kettőskúp térfogatát, V1 és V a kúpok térfogatát.) V V 1 V 60 m ( m m 1 m ) Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 5 / 10

6 (cm ) A dísz tömege (90,66 ) 771,4 g. 6 pont 15. a) 015-ben Andráséknál az életkorok összege (5 0 =) 150 év. 015-ben Barbaráéknál az életkorok összege (4 9 =) 156 év. 016-ben mindenki 1 évvel idősebb, így az életkorok összege 15 év. Átlagéletkoruk ekkor 15 : 9 = 5 év. 15. b) = 40, így 1000 Ft kiadás az ábrán (60: 40 =) 1,5º-nak felel meg. A megfelelő középponti szögek: 75º (Rezsi), 195º (Étkezés), 60º (Ruházkodás), 0º (Egyéb). Az átlagéletkor 015-ben 06 : 9 = 4 év, egy év múlva pedig 5 év. 4 pont Ezek a pontok járnak, ha ezek a gondolatok csak a megoldásból derülnek ki. a helyes középponti szögekért, a megfelelő jelmagyarázatért jár. 15. c) András januárt követően minden hónapban előző havi fizetése 1,0-szorosát kapja. Éves fizetése: , ,0 forint, így egy mértani sorozat első 1 tagját kell összegezni; a sorozat első tagja , hányadosa 1,0. 6 / 10 4 pont Ez a pont jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki.

7 1 1,0 1 S ,0 1 Ez a pont nem jár, ha a vizsgázó rosszul kerekít vagy nem Ft. kerekít. A Ft is elfogadható válasz. 5 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó hónapról hónapra helyesen kiszámolja, majd összegzi a fizetéseket, teljes pontszámot kapjon. 16. a) (Az 1. díjcsomaggal Andrea várható havi költsége:) 6000 Ft-ot befizet, de (000 : 15 =) 00 perc beszélgetésért nem kell külön fizetnie. Az előfizetés, a fennmaradó 100 perc és a 40 sms ára: = = 8700 Ft. (Az. díjcsomaggal Andrea várható havi költsége:) (8000 : 5 =) 0 percet beszélhet havonta további költség nélkül, így a telefonálásért nem kell majd külön fizetnie. Mivel az sms-ekért sem kell majd fizetnie, ezért 8000 Ft a teljes költsége. A. díjcsomagot érdemes választania. 8 pont Ez a pont jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 16. b) (0) 1, A óráig üzemel. 16. c) 1,5 t 8 1,5 t t log lg lg t log ( t )lg lg lg lg t lg lg 0,415 év, azaz kb. 5 hónap múlva. 7 pont 7 / 10

8 17. a) első megoldás Az ötszög belső szögeinek összege: 180 = 540. Ha a legkisebb szög, a differencia, akkor 4 S (+) 5 = = 108, azaz (a sorozat harmadik tagja,) az ötszög egyik szöge valóban 108 -os. 5 pont 17. a) második megoldás Az ötszög belső szögeinek összege: 180 = 540. Ha a középső szög, a differencia, akkor S ( ) ( ) ( ) ( ) = 540. = 108, azaz (a sorozat harmadik tagja,) az ötszög egyik szöge valóban 108 -os. 17. b) Ha a 70 az első tag, akkor = ( ) : = 19. A legnagyobb szög: = 146. Ellenőrzés a szöveg alapján. (A sokszög szögei: 70, 89, 108, 17, 146, amely megfelelő.) Ha a 70 a második tag, akkor = = 8, az ötödik tag (a legnagyobb szög) = = 184, amely nem lehetséges, mert az ötszög konvex. 5 pont 6 pont 8 / 10

9 17. c) A szabályos ötszög egy belső szöge: (( 180) : 5 =) 108. Az ötszög egy oldala: 14 : 5 =,8 (cm). Az ABC háromszög egyenlő szárú, így a B-ből induló magasság szögfelező, és felezi az AC átlót Ez a pont jár, ha ez a gondolat * csak a megoldásból derül ki. * sin 54 AC,8, ahonnan AC (= 5,6 sin 54) 4,5 (cm). * 6 pont Megjegyzés: A *-gal jelölt pont az alábbi gondolatmenetért is jár: Koszinusztétellel: AC,8,8,8,8 cos108 AC 4,5 (cm) pont 18. a) A háromjegyű szám pontosan akkor kisebb 500-nál, ha az első kihúzott szám 5-nél kisebb (a többi számjegy ezt nem befolyásolja). A kedvező esetek száma 4. (Az első kihúzott szám az 1,, vagy 4.) Az első kihúzott számjegy 9-féle lehet. A kérdéses valószínűség pont Ez a pont akkor is jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 9 / 10

10 18. b) első megoldás Összesen -féleképpen húzhat. P(van 1-es) = 1 P(nincs 1-es) -féleképpen húzhat úgy, hogy nincs a kihúzott számok között 1-es A kérdéses valószínűség: p pont b) második megoldás Összesen féleképpen húzhat. 8 Az 1-es mellé -féleképpen húzhat másik két számot. Minden számhármas esetében! = 6-féle sorrend lehetséges. 8 6 A kérdéses valószínűség: p Az 1-es három helyen lehet,. 18. c) A háromjegyű szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel. (Ha szerepel a 9 a számjegyek között, akkor a lehetséges számhármasok:) 9, 8, 1 9, 7, 9, 6, 9, 5, 4 (Ha nem szerepel a 9 a számjegyek között, akkor a lehetséges számhármasok:) 8, 7, 8, 6, 4 7, 6, 5 6,, 1 5,, 1 4,, a másik két szám 8 7- féleképpen rendezhető el. 8 7 p pont 10-féle számhármas van (a sorrendtől eltekintve). A számok sorrendje ezekben! = 6-féle lehet, így ( 10 6 ) 60 ilyen számot kaphatott Réka. 8 pont Ez a pont jár, ha ez a gondolat csak a megoldásból derül ki. 10 / 10