Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Átírás

1 Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű! ( pont) Mivel a háromszög szögeinek összege 80, ezért + = 80, valamint + = 80 és cos ( 80 ) = cos, valamint cos ( 80 ) = cos A megadott egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha sin : sin = cos : cos Ebből a sin cos = sin cos egyenlőség következik A kétszeres szög szinuszára vonatkozó azonosságot használva kapjuk, hogy sin = sin ( pont) Egy háromszög bármely szög kétszeresének értéke 0 és 60 közé esik, ezért a fenti egyenlőség két esetben áll fenn: ( pont) =, vagy + = 80 Az első esetben =, a háromszög két szöge egyenlő, tehát a háromszög egyenlő szárú A második esetben + = 90, a háromszögben = 90, a háromszög derékszögű Összesen: pont ) Jelölje H a 0; intervallumot. Legyen A a H azon elemeinek sin halmaza, amelyekre teljesül, hogy egyenlőtlenség, és B a H azon cos részhalmaza, amelynek elemeire teljesül a egyenlőtlenség. Adja meg az A halmazt, B halmazt és az A\ B halmazt! ( pont) sin 0 Az egyenlőtlenségeket írjuk cos 0, illetve alakba A -es alapú eponenciális függvény szigorú monoton nő sin ezért pontosan akkor teljesül, ha sin 0 cos ezért pontosan akkor teljesül, ha cos 0 Az alaphalmazon a sin 0 egyenlőtlenség megoldása 0 A = 0; azaz Az alaphalmazon a cos 0 egyenlőtlenség megoldása azaz B = ; Mindezek alapján A\ B = 0; Összesen: pont - 8 -

2 005-0XX Emelt szint ) Az a és b vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: a ( cos t; sin t ) és b ( sin t; cos t ) 5 a) Adja meg a és b vektorok koordinátáinak pontos érékét, ha t az 6 számot jelöli! b) Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge t = 5 6 esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) (5 pont) c) Határozza meg t olyan valós értékeit, amelyek esetén a és b vektorok merőlegesek egymásra! (7 pont) a) 5 5 a cos ;sin = a 6 6 ; b 5 5 sin ;cos = b ; 6 6 b) Jelöljük a két vektor által bezárt szöget -val. A koordinátáival adott vektorok skaláris szorzata kétféleképpen is kiszámítható: ab = + = 8 illetve ab = a b cos Mivel a = és 0 0 b = = 6 Ezért 0 cos =, ebből cos = 0, Innen 78,. Tehát a két vektor ebben az esetben kb. 78 -os szöget zár be. c) A két vektor akkor és csak akkor merőlege egymásra, ha ab = 0 A keresett t ismeretlent a szokásosabb módon jelöli. Mivel ab = cos sin + sin cos, így a cos sin + sin cos = 0 egyenlet megoldása a feladat. Azonos átalakítással adódik: cos sin sin + cos = 0 ( ) Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha cos = 0 vagy sin = 0 vagy sin + cos = 0 () = + n, ahol n vagy () = k, ahol k vagy () sin + cos = 0 A () alatti egyenletnek nem megoldásai azok az számok, amelyek koszinusza 0, így az egyenlet megoldáshalmaza azonos a tg = egyenletével Azaz = + m, ahol m - 8 -

3 Trigonometria - megoldások A két vektor tehát pontosan akkor merőleges egymásra, ha t = n vagy t = + m, ahol nm, Összesen: pont ) Hány ( ; y ) rendezett valós számpár megoldása van az alábbi egyenletrendszernek, ha és y is a 0; π zárt intervallum elemi? sin cos y = 0 sin (6 pont) + sin y = Az () egyenletből felhasználva, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0, két eset adódik: sin = 0, cos y = 0 sin = 0 eset: Az egyenletrendszer megoldásaira vonatkozó feltétel miatt érték tesz eleget az () egyenletnek: = 0, =, = A sin = 0 feltételt behelyettesítve a () egyenletbe: sin y = tehát siny = és siny = 5 a siny = egyenletnek két y érték tesz eleget: y =, y = a siny = egyenletnek két y érték tesz eleget: y =, y = 6 6 Így összesen y érték tesz eleget az egyenletrendszernek ebben az esetben Tehát ebben az esetben y ; rendezett számpár tesz eleget = darab ( ) az egyenletrendszernek cos y = 0 eset: Az egyenletrendszer megoldásaira vonatkozó feltétel miatt két y érték tesz eleget az () egyenletnek: y5 =, y6 = Ha cos y = 0, akkor sin y = Ezt behelyettesítve a () egyenletbe: sin = ami a 0; intervallumon két értékre teljesül (,9897, 5, 5) Ebben az esetben = rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek A sin = 0 és a cos y = 0 esetekben különböző számpárokat kaptunk, így összesen + =6 rendezett számpár tesz eleget az egyenletrendszernek Összesen: 6 pont

4 005-0XX Emelt szint 5) Oldja meg a következő egyenletrendszert, ha és y valós számok, továbbá 0, és y 0, y. log y + log y = sin ( + y ) + sin ( + y ) = ( pont) Áttérve azonos alapú logaritmusra: log y + = log y Mivel egy pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám ezért log y = azaz = y Behelyettesítve a második egyenletbe: sin5 =, azaz sin5 = Innen 5 = + k 6 5 vagy 5 = + l 6 ahol k és l A megoldások így: = y = + k ( k 0 5 ) és = y = + l ( l 6 5 ) A kapott értékek kielégítik az egyenletet Összesen: pont 6) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! sin sin + + sin + sin + = sin + 7 sin +, 5 A gyökök teljes négyzetté állnak: ( sin ) ( sin ) ( sin,5 ) (6 pont) + + = + Elvégezve a gyökvonást: sin + sin + = sin +,5 Mivel sin, ezért sin + 0 sin 0 minden sin +,5 0 esetén ( pont) Így az abszolút értékek elhagyása után: sin + + sin + = sin +,5 sin = Innen = + k

5 Trigonometria - megoldások 5 és = + l 6 ahol k Ellenőrzés Összesen: 6 pont 7) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! log ( y ) + log y ( y ) = 9 (6 pont) cos ( + y ) + cos ( y ) = 0 A logaritmus miatt és y -től különböző pozitív számok lehetnek Az első egyenlet bal oldalát alakítsuk át a logaritmus azonosságát használva: log y + log y = + log y + log + = + log y + log ( pont) ( ) ( ) ( ) y y y Így az első egyenlet: log y + log = A log y és a log y egymás reciprokai, és összegük y Ez pontosan akkor teljesül, ha mindkettő -gyel egyenlő, amiből azt kapjuk, hogy = y Beírva a második egyenletbe: cos + cos 0 = 0, ahonnan cos = Ez akkor és csak akkor teljesül, ha = + k, azaz = + k, ahol k ( pont) Összevetve az y, 0 feltétellel, = y = + k, k Összesen: 6 pont 8) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! cos + sin 5sin = 0 ( pont) cos = sin felhasználásával a megoldandó egyenlet: sin 5sin = 0 A sin -re másodfokú egyenlet megoldásai és. A sin = egyenletnek nincs megoldása, hiszen sin maimális értéke A sin = egyenlet megoldásai: = + k, ahol k 6 7 vagy = + n, ahol n 6 A kapott számok megoldásai az eredeti egyenletnek. Összesen: pont

6 005-0XX Emelt szint 9) a) Igazolja, hogy a, a 0 és a is gyöke a 5 = 0 egyenletnek, és az egyenletnek ezeken kívül más valós gyöke nincs! (5 pont) b) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! cos 5cos cos = 0 (6 pont) c) Mutassa meg, hogy a = 0 egyenletnek nincs valós gyöke! (5 pont) a) ( ) 5 = 5 = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla! Az = 0 valóban gyök. A többi gyököt a megmaradt másodfokú egyenletből kapjuk meg: 5 = 0 A két gyök: és, azaz a megadott három szám valóban gyöke az eredeti egyenletnek. Másodfokú egyenletnek legfeljebb két különböző valós gyöke lehet, ezért több gyök nincsen. b) Vezessünk be új ismeretlent: y = cos! A y 5y y = 0 egyenletnek keressük a valós gyökeit, melyeket az a) feladatrészből tudhatunk is: y = 0, y =, y =. Mivel a cos kifejezés értéke és között mozoghat csak, ezért a nem jó megoldás. A cos = 0 egyenlet megoldása: = + k, ahol k A cos = egyenlet megoldásai:, = + m, ahol m c) Az egyenlet bal oldalán kiemelhető: ( ) = 0. Az eponenciális függvény értékkészlete a pozitív valós számok halmaza, így = 0 nem lehetséges. Másodfokúra visszavezethető a megmaradt egyenlet: ( ) = 0. = vagy =. Az eponenciális függvény már említett értékkészlete miatt ezek nem valós gyökei, így valóban nincs megoldása az egyenletnek. Összesen: 6 pont

7 Trigonometria - megoldások 0) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin sin = cos (5 pont) b) lg lg = + (7 pont) a) Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítva: sin sin = sin. sin sin + = 0, Innen sin =, = + k, ahol k. Ellenőrzés b) A logaritmus függvény értelmezése miatt 0. Mivel lg lg 5 ( 5 ) lg ( ) lg =, ezért az egyenlet = alakban is írható. lg Az 5 -re nézve másodfokú egyenlet megoldásai: lg 5 lg = és 5 = 5. lg Mivel 5 lg 0, ezért 5 = nem lehetséges. lg Ha 5 = 5, akkor = 0. Ellenőrzés Összesen: pont ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin cos = (6 pont) b) = + (7 pont) a) cos = sin helyettesítése. Nullára rendezve: sin sin 0 Szorzattá alakítás után: ( ) + =. sin sin + = 0. sin = 0 pontosan akkor, ha = k, k. sin = pontosan akkor, ha = + l, l. Ellenőrzés. b) Ha 0, akkor =. Ekkor 0 = +, ahonnan =, de ez 0 miatt nem megoldás. Ha 0, akkor =, és az egyenlet = +. Mivel 0 ezért = +, azaz Ellenőrzés. = Összesen: pont

8 005-0XX Emelt szint ) a) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol és y pozitív valós számok! + y = 0, lg + lg y + y (6 pont) = lg ; halmazon a sin cos = egyenletet! (6 pont) b) Oldja meg a a) Az első egyenletből = 0, y, ezt a másodikba behelyettesítve lg(0, y) + lg y = lg 0,. lg((0, yy ) ) = (A logaritmus definíciója miatt) (0, yy ) = 0,0, b) azaz y 0,y+ 0,0 = 0. Innen y = 0, és (visszahelyettesítve) = 0,. Ellenőrzés például behelyettesítéssel: (az első egyenlet nyilván igaz) a második egyenlet bal oldala: lg 0, 0, =, jobb oldala: lg =. ( cos ) cos = cos + cos = 0 cos = 0 vagy cos = cos = 0 a ; alaphalmazon pontosan akkor teljesül, ha = vagy =. cos = a ; alaphalmazon pontosan akkor teljesül, ha = vagy =. Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivalens átalakításokra hivatkozással. Összesen: pont