6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

Átírás

1 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f. (D) Az f és a g. (E) Csak a g. BME 015. szeptember 11. (17B) Az ( ) sin x f x függvény grafikonja: (A sin x függvény grafikonja az x tengely mentén - szorosára nyúlik.) Mivel,14, ezért az x tengelyen az 1 az árán bejelölt helyen található. A kérdezett intervallumon a függvény szigorúan monoton nő. A g x cos x függvény grafikonja: (A cos x függvény grafikonját tükrözzük az x tengelyre.) Az ábrán látható, hogy a megadott intervallumon ez a függvény is szigorúan monoton nő. 1

2 h x x x függvény grafikonja: (Az x függvény grafikonja egységgel A tolódik pozitív irányba az x tengely mentén.) Ez viszont a 0;1 intervallumban csökkenő függvény Tehát a jó válasz a (D).. Az ábrán látható parabola az a) b) c) d) x x x x x x x x x x x x függvény grafikonja. ELTE 014. decemberi teszt Az x x függvény grafikonja parabola. Nézzük meg, milyen transzformációs lépésekkel kaptuk az x x függvény grafikonjából az ábrán látható grafikont! A parabola lefelé fordított, tehát 1 -gyel meg van szorozva: x x Az x tengely mentén el van tolva a 1;0 vektorral: x ( x 1) Az y tengely mentén felfelé tolódott a 0;4 vektorral: x ( x 1) 4 Bontsuk fel a zárójelet! ( x 1) 4 x x 1 4 x x Tehát a jó válasz a (b).

3 . Adottak a valós számok halmazán értelmezett f és g függvények: 1 f x x, g x x 4x 4. Ábrázolja a két függvényt, és oldja meg az f x g x egyenlőtlenséget! ELTE 015. szeptember (fizika BSc) Az f x egy lineáris függvény, a meredeksége 1, az y tengelyt -nél metszi. A g x függvényt alakítsuk át: x 4x 4 x x. Az abszolútérték-függvény alakja V, itt az x tengely mentén kell eltolnunk pozitív irányban -vel. Az f x g x egyenlőtlenség megoldásához tegyük a két függvényt közös koordinátarendszerbe:

4 A két metszéspont könnyen leolvasható: x1 0, x 6. Ellenőrizzük le a metszéspontokat: f x, g x f x, g x f x g x ott igaz, ahol az f ( x ) függvény grafikonja van feljebb, tehát a metszéspontok között. A megoldás: 0 x 6. 4

5 II. Ismételjünk! 1. Függvény fogalma, tulajdonságai 1-.oldal. Néhány nevezetes függvény -4.oldal. Függvény-transzformációk 4.oldal 5

6 III. Gyakorló feladatok 1. Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát és a zérushelyüket! a) b) c). Az alábbiak közül melyik intervallum lesz a valós számok halmazán értelmezett f ( x) x függvény értékkészlete? (A) ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) ;. Adja meg az f x x x függvény 1; értékét, és azt is, hogy hol veszi fel ezeket az értékeket! 4. Egy másodfokú ( ) 5. Az Mennyivel egyenlő BME 015. szeptember 11. (16A) intervallumon felvett legkisebb és legnagyobb ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) f x függvényről tudjuk, hogy f 1 0, f 0 és f? (A) 7 (B) 9 (C) 16 (D) 5 (E) Ezek egyike sem. f ( x) x x c f 1 0. BME 014. május 19. (14) függvényt a valós számok halmazán értelmezzük. Hogyan kell megválasztani a c értékét ahhoz, hogy a) b) c) a függvény grafikonja érintse az x tengelyt; a függvény minimuma 5 legyen; a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartozzanak? A válaszokat indokoljuk! ELTE 007. február (matematika BSc) 6. Ábrázolja az f : \, x 4 függvényt! x 7. Ábrázolja az f :, x 1 x függvényt! 6

7 8. Az alábbi ábrán az f(x) függvény grafikonját láthatjuk. A következő négy grafikon közül melyik az f (1 x) függvény grafikonja? A. B. C. D. 9. Az x x log 1 függvény grafikonja az y tengelyt A: sehol sem metszi. B: -nál metszi. BME 011. szeptember 1. (16A) alapján C: 1-nél metszi. D: -nál metszi. ELTE 014. decemberi teszt 7

8 f : ;, f ( x) log ( x ) Adja meg azt a legbővebb halmazt, melyek esetén az függvény értéke pozitív! 11. Az alábbi függvények közül mely(ek) lesz(nek) páratlan(ok)?, g x cos x, 1 h x x f x x x ( ) 1 (A) Csak az f. (B) Csak a g. (C) Csak a h. (D) Több is. (E) Egyik sem. BME 014. szeptember 1. (17A) f x x 1. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett hozzárendelési utasítását! 1 függvény inverzének (A) x x 1 (B) Nincs inverze. (C) x x 1 (D) x x 1, x 1 E) x x 1, x 0 BME 015. szeptember 11. (17B) f x x helyettesítési értéket! 1. Tekintse az cos függvényt! Határozza meg az f f 4 (A) 1 (B) 1 (C) (D) (E) Ezek egyike sem. BME 015. február 1. (16B) 14. Oldja meg grafikusan a cos x egyenlőtlenséget! 15. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A feladatokban szereplő függvényeket a lehető legbővebb halmazon értelmezzük. A: Az f ( x) tg x függvény páros. B: A g( x) log 1 x függvény szigorúan monoton csökkenő. C: A h x 1 sin x függvény periódusa. D: Az i x x függvénynek nincs zérushelye. 8

9 IV. Megoldások: 1. Az alábbi ábrákon lineáris függvények grafikonja látható. Adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát és a zérushelyüket! a) b) c) A lineáris függvények hozzárendelési utasítása x mx b alakú, ahol m a függvény meredeksége, b az y-tengellyel való metszéspont. Zérushelye: ahol 0-t vesz fel, vagyis, ahol az x tengelyt metszi. a) b) c) A függvény meredeksége m (1-et jobbra lépve -t megyünk felfele), az y tengelyt 4-nél metszi. A hozzárendelési utasítás: x x 4. Zérushelye ott van, ahol x 4 0. Ebből x. A grafikonon is látszik, hogy itt metszi az x tengelyt. A függvény meredeksége. Mert ha -at megyünk jobbra, akkor -t kell lefele lépni. Ez azt jelenti, hogy 1-et jobbra lépve, -ot lépünk lefele, vagyis -ot felfele. Az y tengelyt - nál metszi. A hozzárendelési utasítás: x x. Zérushelye: 0 x, ahonnan x 9 4,5. A grafikonon is ellenőrizhetjük, hogy valóban ez a zérushely. Keressünk két rácspontot a grafikonon! A( 1;) és B(; 1). Tehát, ha -at megyünk jobbra, 4 akkor 4-et lefele. A meredekség. Az y-tengellyel való metszéspontot megkapjuk, ha az A ponttól 1-et lépünk jobbra, ezalatt a függvény éppen 4 -ot megy lefelé. Tehát 4 5 b. A hozzárendelési utasítás: 4 5 x x. 4 5 Zérushelye: x 0, vagyis 4x 5, tehát ellenőriznünk a zérushely helyességét. 5 x 1,5. Ismét érdemes a grafikonon is 4 9

10 . Az alábbiak közül melyik intervallum lesz a valós számok halmazán értelmezett f ( x) x függvény értékkészlete? (A) Megoldás I.: ; (B) ; (C) ; (D) ; (E) ; Az abszolútérték függvény értékkészlete a nemnegatív számok halmaza: x 0, ugyanígy x 0. Emiatt x 0. x x A helyes válasz tehát az (E). Megoldás II.: Ábrázoljuk a megadott függvényt! Az ábrázolás lépései: 1. x ( V alak; fekete) BME 015. szeptember 11. (16A). x (x tengely mentén tolódik negatív irányba -vel; piros). x (x tengelyre tükröződik; kék) 4. x (y tengely mentén tolódik felfelé -mal; zöld) Az ábráról látszik, hogy a végeredmény (zöld) függvény értékkészlete: y. A helyes válasz az (E).. Adja meg az f x x x függvény 1; értékét, és azt is, hogy hol veszi fel ezeket az értékeket! intervallumon felvett legkisebb és legnagyobb ELTE 007. szeptember (földtudományi szak) 10

11 Alakítsuk át a függvény képletét! f x x x ( x 1) 1. Ábrázoljuk a megadott intervallumon! Az x x függvény képe parabola, ezt kell eltolnunk az (1; 1) vektorral. A függvény minimumhelye az x 1, minimumértéke az y 1. A megadott intervallum szimmetrikus az x 1 egyenesre, a függvénynek az intervallum mindkét végpontjában maximuma van. Maximumhelye: x1 1, x ; maximumértéke y. 4. Egy másodfokú ( ) Mennyivel egyenlő f x függvényről tudjuk, hogy f 1 0, f 0 és f? (A) 7 (B) 9 (C) 16 (D) 5 (E) Ezek egyike sem. Megoldás I.: f 1 0. BME 014. május 19. (14) Ábrázoljuk a megadott pontokat egy koordinátarendszerben, és illesszünk rájuk parabolát! A parabola egyenlete ebből könnyen kitalálható: Érdemes a megadott értéket ellenőriznünk: x. 11

12 f f f Behelyettesítéssel kapjuk f értékét: f 9 A jó megoldás a (B). Megoldás II.: Kereshetjük algebrai úton is a megoldást. Egy másodfokú függvény alakja: Ebbe behelyettesítve a megadott értéket egy egyszerű egyenletrendszerhez jutunk: 0 a 1 b 1 c 0 0 a b c a b c A második egyenlet szerint c. Ekkor a másik két egyenlet: a b a b y a x bx c. Innen a és b 0. Tehát y x. Az I. megoldás szerint befejezhető a feladat. 5. Az f ( x) x x c függvényt a valós számok halmazán értelmezzük. Hogyan kell megválasztani a c értékét ahhoz, hogy a) b) c) a függvény grafikonja érintse az x tengelyt; a függvény minimuma 5 legyen; a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartozzanak? A válaszokat indokoljuk! ELTE 007. február (matematika BSc) Egészítsük ki teljes négyzetté a megadott másodfokú kifejezést! x x c ( x 1) 1 c a) b) c) A függvény grafikonja akkor érinti az x tengelyt, ha a másodfokú kifejezésnek egyetlen zérushelye van, vagyis ha a függvény egy kéttagú összeg négyzete (a diszkrimináns nulla). Tehát 1 c 0, c 1. A függvény minimumértéke 1 c. Ennek kell 5 -nek lennie. Tehát c 4. Ha a függvény értékkészletébe csak negatív számok tartoznak, akkor a függvény grafikonjának minden pontja az x tengely alatt van. Ez egy parabola esetén csak akkor lehetséges, ha ez egy lefelé fordított parabola, vagyis, ha a négyzetes tag együtthatója negatív. A megadott 1

13 másodfokú függvényre ez nem igaz, így nem lehet megfelelő c-t találni. A feladatnak nincs megoldása. 6. Ábrázolja az f : \, x 4 függvényt! x Az 1 x függvény képe hiperbola, első lépésben ezt kell eltolnunk a x tengely mentén negatív 1 irányba -mal. Így kapjuk az függvény grafikonját. (Az ábrán a fekete az alapfüggvény, x piros az eltolás után kapott grafikon. A szaggatottal berajzolt x egyenes az új y tengely, nem tartozik a grafikonhoz, csak segíti az ábrázolást.) A számlálóban lévő -es miatt ezt meg kell szoroznunk -vel, vagyis az y tengely mentén kell kétszeresére nyújtani. Így a grafikonját kapjuk. (Ismét fekete az előző lépés végeredménye, x piros az új grafikon.) 1

14 Végül a kapott függvényből ki kell vonnunk 4-et, vagyis az y tengely mentén kell 4-gyel lefelé tolnunk a függvényt. (A piros grafikon a feladat megoldása a szaggatott egyenesek csak segédvonalak.) 7. Ábrázolja az f :, x 1 x függvényt! (Az előző feladathoz hasonlóan az ábrákon mindig a piros az új függvény, a fekete az előző lépés végeredménye.) Ábrázoljuk először az x 1 x függvényt! 14

15 A grafikont az y tengelyre tükrözve kapjuk az 1 x x függvény grafikonját: Ebből az 1 x x függvény grafikonját az x tengelyre tükrözve kapjuk: x 1 Végül az f : x függvény grafikonját megkapjuk, ha az előző grafikont -vel feljebb toljuk az y tengely mentén: 15

16 Megjegyzés: Az ábrázolás előtt átalakíthatjuk a függvényt a negatív kitevő értelmezése szerint: x 1 x. Így a x függvényből indulva eggyel kevesebb lépésben jutunk a megoldáshoz. 8. Az alábbi ábrán az f(x) függvény grafikonját láthatjuk. A következő négy grafikon közül melyik az f (1 x) függvény grafikonja? A. B. C. D. 16 BME 011. szeptember 1. (16A) alapján Nézzük meg, milyen transzformációs lépésekkel kapjuk az f ( x) függvény grafikonjából az f (1 x) f (1 x) f x 1. Az f ( x 1) grafikonját úgy kapom, ha az f ( x) függvény -ét. grafikonját az x tengely mentén eltolom negatív irányba 1-gyel.

17 Most nézzük az f ( x 1) -et! Ellentett változóértékekhez fog ugyanaz a függvényérték tartozni, tehát ez a grafikon az előzőnek az y tengelyre vonatkozó tükörképe lesz. Tehát a B grafikon a helyes. 9. Az x x log 1 függvény grafikonja az y tengelyt A: sehol sem metszi. B: -nál metszi. C: 1-nél metszi. D: -nál metszi. A függvény grafikonja az y tengelyt az x 0 f 0 log A jó válasz a D. -nál felvett helyettesítési értéknél metszi. ELTE 014. decemberi teszt f : ;, f ( x) log ( x ) Adja meg azt a legbővebb halmazt, melyek esetén az függvény értéke pozitív! Ábrázoljuk a megadott függvényt függvény-transzformáció segítségével! Az ábrázolás lépései: 1. x log x 17

18 . x log x Az előző grafikont -vel kell eltolni az x tengely mentén negatív irányba. (A szaggatott x egyenes csak segédvonal, nem tartozik a grafikonhoz.). x log x Az y tengely mentén kétszeresére nyúlik a grafikon. 4. x x log 4 Az előző grafikont 4 egységgel toljuk lefelé az y tengely mentén. 18

19 A függvényértékek ott pozitívak, ahol a grafikon pontjai az x tengely fölött vannak. Mivel a függvényünk szigorúan monoton nő, ez a zérushelynél nagyobb x értékekre igaz. A zérushely: x. Ellenőrizzük behelyettesítéssel a leolvasás helyességét! f () log ( ) A megoldás: x. 11. Az alábbi függvények közül mely(ek) lesz(nek) páratlan(ok)?, g x cos x, 1 h x x f x x x ( ) 1 (A) Csak az f. (B) Csak a g. (C) Csak a h. (D) Több is. (E) Egyik sem. BME 014. szeptember 1. (17A) Páratlan egy függvény, ha f x f x. A páratlan függvények grafikonja az origóra szimmetrikus. f ( x) x x 1 ( x 1) x 1. Nem páratlan. (Egyrészt a grafikonja V alakú, nem szimmetrikus az origóra. Másrészt x helyére x 1 x 1 x 1.) helyettesítve: x -et g x cos x sin x. Páratlan függvény. (Grafikonja szimmetrikus az origóra, és tudjuk, hogy sin( x) sin x.) h x 1. Páratlan függvény. x (Grafikonja szimmetrikus az origóra, és tudjuk, hogy 1 1.) x x A helyes válasz tehát a (D). f x x 1. Határozza meg a pozitív számok halmazán értelmezett hozzárendelési utasítását! 1 függvény inverzének (A) x x (B) Nincs inverze. (C) x x 1 (D) x x 1, x 1 E) x x 1, x 0 BME 015. szeptember 11. (17B) 19

20 Egy f ( x) y függvény inverze g, ha g( y) x. Az y x majd y-t kifejezve ( y 0 ) kapjuk a keresett inverz függvényt. A helyes válasz a (D). y x x y y 1 1 x 1 y x 1, x 1 1 képletben x-et és y-t kicserélve, f x x helyettesítési értéket! 1. Tekintse az cos függvényt! Határozza meg az f f 4 (A) 1 (B) 1 (C) (D) (E) Ezek egyike sem. BME 015. február 1. (16B) f f cos cos cos cos A helyes válasz a (C). 14. Oldja meg grafikusan a cos x egyenlőtlenséget! Ábrázoljuk a cos x függvényt! 0

21 Jelöljük be az grafikont. y és az y egyeneseket! Keressük, hogy hol metszik az egyenesek a A pontos metszéspontokat kiszámítjuk. Mivel páros függvénnyel van dolgunk, elegendő egyetlen metszéspontot kiszámítanunk, pl. a 0; intervallumban. A további megoldások megtalálásában segít az ábránk. cos x x 4 x 8 Az ábráról leolvasható a ; intervallumba eső megoldás: x1 vagy x A cos x függvény periodusa, emiatt az összes megoldás: 8 1 k1 x1 k1 vagy k x k cos x x 6 x 1, ahol k1, k Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A feladatokban szereplő függvényeket a lehető legbővebb halmazon értelmezzük. A: Az f ( x) tg x függvény páros. B: A g( x) log 1 x függvény szigorúan monoton csökkenő. C: A h x 1 sin x függvény periódusa. D: Az i x x függvénynek nincs zérushelye. 1

22 A: Az állítás hamis. A tg x páratlan függvény. tg x tg x. B: Az állítás igaz. Az log a x függvény szigorúan monoton csökken, ha 0 a 1, és szigorúan monoton nő, ha a 1. 1 C: Az állítás hamis. A sin x függvény periódusa. A sin x függvény periódusa kétszer akkora, tehát 4. D: az állítás hamis. A zérushelyet kiszámíthatjuk, ha megkeressük, hol veszi fel a függvény a nullát. x 0, x, x 4, x 4. (Ami benne van a függvény értelmezési tartományában.)