Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Átírás

1 Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért előjeles távolságát, a második tagja (ordináta), a pont x tengelytől mért előjeles távolságát adja meg. Példa 1. Ábrázold a derékszögű koordinátarendszerben a következő pontokat: A( 1; 2) B( -3; 5) C( 5; -2) D( -6; -3) E(0; 5) F(8; 0) Példa 2. Az ábra alapján olvasd le a pontok koordinátáit! Elnevezések: I. síknegyed: azon pontok halmaza, melyekre teljesül: x > 0 és y > 0 II. síknegyed: azon pontok halmaza, melyekre teljesül: x < 0 és y > 0 III. síknegyed: azon pontok halmaza, melyekre teljesül: x < 0 és y < 0 IV. síknegyed: azon pontok halmaza, melyekre teljesül: x > 0 és y < 0 Feladat: Ábrázold a síkon azokat a pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik a következő feltételeket: a) x = 4 b) y = 2 c) x = -3 d) y = -5 e) x < 1 f) y > 3 g) 2 < x < 6 h) 2 < y < 5 Oldal 1 / 6

2 Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést az A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A B halmaz a képhalmaz. A B halmaz azon elemei, amelyeket az A halmazhoz rendeltük alkotják a függvény értékkészletét. Azokat a hozzárendeléseket, amelyeknél minden A halmazbeli elemnek pontosan egy képe van, és minden értékkészletbeli elemnek pontosan egy őse van, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek (kölcsönösen egyértelmű függvénynek) nevezzük. Függvények megadása a) Hozzárendelési szabállyal pl. f: R R f(x) = 4x + 3 b) Táblázattal x f(x) c) Grafikonnal y x Adott f: A B. Ha a A, akkor f(a) B jelöli az f függvény a helyen felvett értékét, más szóval helyettesítési értékét. Példa: Adott f(x) = 3x + 1 függvény. Határozd meg az x = 2; -3 és 0,9 helyeken felvett helyettesítési értékét! f(2) = = 7, f( 3) = 3 ( 3) + 1 = 8, f(2) = 3 0,9 + 1 = 3,7 Feladat: a) Adott f(x) = 2 x 3, határozd meg az x = 1; 4 és -9 helyen felvett értékeit! b) Adott g(x) = 2 x 1, határozd meg az x = 5; 10 és 0 helyen felvett értékeit! 5 c) Adott h(x) = 2x + 1, határozd meg az x = 3; 0 és -3 helyen felvett értékeit! 3 Oldal 2 / 6

3 Lineáris függvény Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0 és m, b R elsőfokú függvénynek nevezzük. Az f(x) = mx + b képletben - a b megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt - az m (meredekség) megmutatja, hogy az előbb kapott pontból egységnyit jobbra haladva hány egységet lépünk fölfelé (m > 0) vagy lefelé (m < 0) Feladat: Ábrázold a következő függvényeket: a) f(x) = 3x; g(x) = x; h(x) = 2x; k(x) = x b) f(x) = 2x + 1; g(x) = x + 2; h(x) = x 3 c) f(x) = 2 3 x + 1; g(x) = 5 4 x 2; h(x) = 3 2 x + 1; i(x) = 4 3 x 2 Konstans függvény: f(x) = b Két függvény párhuzamos egymással, ha a meredekségük megegyezik. Abszolútérték függvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya f(x) = a x + b + c (a, b, c R, a 0) alakú, abszolútérték függvényeknek nevezzük. Az abszolútérték függvény grafikonja V alakú. Az f(x) = x függvény jellemzése ÉK.: f(x) = [0; + [ Zérushely: x = 0 Szélsőérték: Minimum hely: x = 0 Minimum érték: f(0) = 0 Monotonitás: Szigorúan monoton csökken: ] ; 0] Szigorúan monoton nő: [0; + [ Oldal 3 / 6

4 Másodfokú függvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya f(x) = ax 2 + bx + c (a, b, c R, és a 0) alakú, másodfokú függvénynek nevezzük. A másodfokú függvények grafikonja parabola. Más alakban felírva f(x) = a(x + b) 2 + c A normál parabola f(x) = x 2 függvény jellemzése: ÉK.: f(x) [0; [ Zérushely: x = 0 Szélsőérték: Minimum hely: x = 0 Minimum érték: f(0) = 0 Monotonitás: Szigorúan monoton csökken: ] ; 0] Szigorúan monoton nő: [0; + [ Lineáris törtfüggvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya f(x) = a x+b + c (a, b, c R) alakú lineáris törtfüggvényeknek nevezzük. A lineáris törtfüggvények grafikonja hiperbola. Az f(x) = 1 függvény jellemzése x \{0} ÉK.: f(x) R\{0} Zérushely: nincs Szélsőérték: nincs Szigorúan monoton csökken: ] ; 0[és]0; + [ A függvénynek x = 0-ban szakadása van. Oldal 4 / 6

5 Egészrész függvény Az x szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb az x számnál. Jele: [x] pl. [1] = 1 [-1]= - 1 [1,2] = 1 [-0,9] = 0 [-1,1] = 1 f(x) = [x] ÉK.: f(x) Z Az x szám törtrészén az x [x] számot értjük. Törtrész függvény Jele: {x} pl. {0} = 0 { 1 } = {1} = 0 {1,2} = 0,2 {-0,9} = - 0,9 [-0,9] = -0,9 + 1 = 0,1 ÉK.: f(x) [0; 1[ Előjel függvény Előjel függvény vagy szignumfüggvény (sgn) nevezzük az 1, ha x > 0 f: R R x { 0, ha x = 0 1, ha x < 0 eljárással megadható függvényt. ÉK.: {-1; 0; 1} Oldal 5 / 6

6 A függvények jellemzésekor előforduló fogalmak Zérushely: Ahol a függvény metszi az x tengelyt. Valamely f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindezokat az x értékeit, amelyeknél f(x) = 0. Monotonitás: (növekedés, csökkenés): Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely x 1 < x 2 értékeinél a függvényértékekre f(x 1 ) < f(x 2 ) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény szigorúan monoton növekvő. Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely x 1 < x 2 értékeinél a függvényértékekre f(x 1 ) > f(x 2 ) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: Egy függvénynek minimuma van a változó egy x 0 értékénél, ha az ott felvett f(x 0 ) függvényértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvény. Egy függvénynek maximuma van a változó egy x 0 értékénél, ha az ott felvett f(x 0 ) függvényértéknél nagyobb értéket sehol sem vesz fel a függvény. Oldal 6 / 6