Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Átírás

1 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2

2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt valós számsorozatnak (röviden sorozatnak) nevezzük. Megjegyzés. Az a sorozat n helyen felvett helyettesítési értékét, amit az a sorozat n-edik tagjának (elemének) nevezünk, a n -nel jelöljük. A sorozat jelölésére az (a n ) szimbólumot használjuk. Sorozatok p. 2/2

3 A sorozat megadása A sorozatokat általában explicit módon adjuk meg. Ez azt jelenti, hogy képlettel megadjuk az általános, n-edik tagot. Példa. a n =5 2n 2 b n = 1 n ( 3 c n = 1+ 2 n ) 2n Sorozatok p. 3/2

4 Sorozatok szemléltetése Koordinátarendszerben. a n = n 1 n ,8 0,6 y 0,4 0, x A sorozat tagjait számegyenesen is megjelölhetjük. a 1 a 6 0 a 2 a 3 a 4 a 5 1 Sorozatok p. 4/2

5 Sorozatok tulajdonságai Mivel a sorozat is egy speciális függvény, ezért a függvényeknél tanult tulajdonságokat itt is megvizsgálhatjuk. Ezek a következők: Monotonitás, korlátosság, szélsőérték. Sorozatok p. 5/2

6 Monotonitás Definíció. Az (a n ) sorozatot monoton növőnek nevezzük, ha minden n N esetén fennáll, hogy a n a n+1. Az (a n ) sorozatot szigorúan monoton növőnek nevezzük, ha minden n N esetén fennáll, hogy a n <a n+1. Az (a n ) sorozatot monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden n N esetén fennáll, hogy a n a n+1. Az (a n ) sorozatot szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha minden n N esetén fennáll, hogy a n >a n+1. Sorozatok p. 6/2

7 A monotonitás kiszámítása Feladat. Döntsük el, hogy az a n = n 1 n+2 tekintve, milyen tulajdonságú? sorozat, a monotonitást a n+1 a n = (n +1) 1 (n +1)+2 n 1 n +2 = n n +3 n 1 n +2 = n (n +2) (n 1) (n +3) = = (n +3) (n +2) = (n2 +2n) (n 2 +3n n 3) = (n +3) (n +2) 3 = (n +3) (n +2) > 0. Azaz: a n+1 a n > 0, amit átrendezve: a n+1 >a n. A sorozat szigorúan monoton növő. Sorozatok p. 7/2

8 Korlátosság Definíció. Az (a n ) sorozatot alulról korlátosnak mondjuk, ha értékkészlete alulról korlátos, azaz létezik k R úgy, hogy k a n minden n N esetén. Az (a n ) sorozatot felülről korlátosnak mondjuk, ha értékkészlete felülről korlátos, azaz létezik K R úgy, hogy K a n minden n N esetén. Az (a n ) sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. Megjegyzés. Ha egy sorozat monoton növő, akkor alulról korlátos, és az egyik alsó korlátja a sorozat első tagja. Ha egy sorozat monoton csökkenő, akkor felülről korlátos, és egyik felső korlátja a sorozat első tagja. Sorozatok p. 8/2

9 Definíció. 1. Az (a n ) alulról korlátos sorozat legnagyobb alsó korlátját az (a n ) sorozat pontos alsó korlátjának vagy infimumának mondjuk. Jele: inf a n. 2. Az (a n ) felülről korlátos sorozat legkisebb felső korlátját az (a n ) sorozat pontos felső korlátjának vagy suprémumának mondjuk. Jele: sup a n. Sorozatok p. 9/2

10 Szélsőérték Definíció. Az (a n ) sorozat minimuma a sorozatnak az az a m0 tagja, amelyre minden n N esetén teljesül, hogy a m0 a n. Az (a n ) sorozat maximuma a sorozatnak az az a m0 tagja, amelyre minden n N esetén teljesül, hogy a m0 a n. Megjegyzések. Legyen az inf a n = k 0. Amennyiben van olyan eleme a sorozatnak, amely éppen k 0, akkor ez azt jelenti, hogy a sorozatnak van minimuma. Legyen a sup a n = K 0. Amennyiben van olyan eleme a sorozatnak, amely éppen K 0, akkor ez azt jelenti, hogy a sorozatnak van maximuma. Sorozatok p. 10/2

11 Korlátosság és szélsőérték kiszámítása Feladat. Jellemezzük az a n = n 1 n+2 szempontjából! sorozatot korlátosság és szélsőérték 0 n 1 n +2 = (n +2) 3 n +2 =1 3 n +2 < 1. a 1 a 6 0 a 2 a 3 a 4 a 5 1 alsó korlátok felső korlátok } inf a n =0, sup a n =1, min a n =0, } max a n : nincs. Sorozatok p. 11/2

12 Sorozatok konvergenciája Definíció. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat konvergens és határértéke az A R szám, ha minden ε>0-hoz létezik N N (ε-tól függő) szám úgy, hogy a n A <εminden n>nesetén. Azt, hogy az (a n ) sorozat határértéke az A szám, így jelöljük: lim a n = A, és így olvassuk: limesz n tart a végtelenbe a n egyenlő A. A lim a n = A jelölés mellett szokás még alkalmazni az a n A (n ) jelölést is, amit így olvasunk ki: az a n tart az A-hoz. Sorozatok p. 12/2

13 Megjegyzések. Az a n A <εegyenlőtlenség azt jelenti, hogy A ε<a n <A+ ε, azaz az a n az ]A ε, A + ε[ nyílt intervallumban, vagyis A-nak az ε sugarú környezetében van. Az (a n ) sorozat konvergenciája azt jelenti, hogy létezik olyan A R szám, amelynek minden környezete olyan, hogy azon kívül a sorozatnak csak véges sok eleme, azon belül pedig végtelen sok eleme van. A definícióban szereplő ε pozitív számot hibakorlátnak, az N számot az ε-hoz tartozó küszöbindexnek nevezzük. Definíció. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat divergens, ha nem konvergens. Sorozatok p. 13/2

14 Küszöbszám keresés Feladat. Határozza meg, hogy az a n = n 1 n+2 sorozat elemei, hányadik tagtól kezdve esnek a határérték ε =10 2 sugarú környezetén belülre! a 1 a 6 ( 0 a 2 a 3 a 4 a 5 1 ε } } ε ) a n A <ε, n 1 n +2 1 < 1 100, Sorozatok p. 14/2

15 Küszöbszám keresés (n 1) (n +2) n +2 < 1 100, 3 n +2 < 1 100, 3 n +2 < 1 100, 300 <n+2, 298 <n. A sorozat elemei a 299. tagtól kezdve esnek a határérték ε sugarú környezetén belülre. Sorozatok p. 15/2

16 Konvergencia, korlátosság, monotonitás kapcsolata Tételek. A határérték mindig egyértelmű. Minden konvergens sorozat korlátos. Ha az (a n ) sorozat monoton növekvő és felülről korlátos, akkor konvergens és lim a n = sup(a n ). Ha az (a n ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens és lim a n =inf(a n ). Sorozatok p. 16/2

17 Határértékre vonatkozó tételek Tétel. Legyen (a n ), (b n ) konvergens sorozat. Ekkor az (a n + b n ) is konvergens sorozat és lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n. Tétel. Legyenek az (a n ) és (b n ) konvergens sorozatok. Ekkor (a n b n ) is konvergens sorozat és lim (a n b n )= ( ) ( lim a n lim b n Tétel. Legyenek az (a n ) és (b n ) konvergens sorozatok és lim b n 0. ( ) an Ekkor az sorozat is konvergens, és b n ). ( ) an lim b n = lim a n lim b. n Sorozatok p. 17/2

18 Tétel. Legyen az (a n ) sorozat konvergens és λ R. Ekkor a (λ a n ) sorozat is konvergens sorozat és ( ) lim (λ a n)=λ lim a n. Sorozatok p. 18/2

19 A végtelen, mint határérték Definíció. Az (a n ) sorozat a + -be divergál, ha minden K R esetén létezik N N (K-tól függő) küszöbindex, hogy a n >K minden n>n-re. Jele: lim a n =+. Definíció. Az (a n ) sorozat a -be divergál, ha minden k R esetén létezik N N (k-tól függö) küszöbindex, hogy a n <k minden n>n-re. Jele: lim a n =. Sorozatok p. 19/2

20 Nevezetes határértékek lim cn = lim nq = lim lim lim lim, ha c>1 1, ha c =1 0, ha 1 <c<1, ha q>0, q Q 1, ha q =0 0, ha q<0, q Q n c =1,hac>0. n n =1. ( 1+ 1 n) n = e. ( 1+ c n ) n = e c. Sorozatok p. 20/2