Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Átírás

1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok tere. Definiáltuk az l 1 és l 2 tereket Definíció. p 1 esetén a l p teret ( kis el p ) így értelmezzük: l p = {(x n ) : x n p < }. n=1 A norma ebben a térben: x p = ( x n p ) 1/p. n=1 Ha p = +, akkor a l tér ( kis el végtelen ): l = {(x n ) : korlátos}, x = sup x n. n Kérdés. A fenti l p normált tér mikor skalárszorzat tér? Válasz. p = 2 esetén l p -ben VAN skalárszorzat: x, y = Ha p 2, akkor nem skalárszorzat tér. x n y n. Megjegyzés: Pontosabban azt írhatjuk, hogy l p = l p (N). Ez az általános Lebesgue-tér egy speciális esete. Később fogunk erről tanulni. n=1 1

2 1.5. Függvény-terek Azonos halmazon értelmezett vaós vagy komplex értékű függvények összegét, skalárszorosát értelmezni tudjuk (pontonként). Legyen [a, b] R rögzített intervallum. Az itt értelmezett korlátos függvények halmaza vektortér: V = {f : [a, b] R, B : f(x) B, x}, Ebben alteret alkotnak a folytonos függvények, melyen norma definiálható: C[a, b] = {f : [a, b] R, folytonos} C[a, b]-ben skalárszorzat is definiálható: f, g = b HF. Valóban skalárszorzat ( ). a f = sup{ f(x) : x [a, b]}. (1) ( b f(x)g(x)dx f = a ) 1/2 f 2 (x)dx Látható, hogy az így kapott norma különbözik attól, amit (1)-ben definiáltunk. Ennek elnevezése négyzetes norma: Az (1)-ban definiált norma f f 2. ( b 1/2 f 2 = f (x)dx) 2 (2) a Jelölés. C 2 [a, b]: az [a, b]-n értelmezett folytonos függvények tere a négyzetes normával. Kérdés: C[a, b]-n a sup-norma skalárszorzatból származik-e? Válasz. NEM. HF Dimenzió Normált térben és skalárszorzat térben alap valamilyen V vektortér. V dimenziója n, ha van n elemű v 1,..., v n lineárisan független, generátor rendszer Definíció. A V vektortér dimenziója +, ha n-re van n db független vektor. 2

3 1.1. Következmény. Az eddig megismert alap példák általában végtelen dimenziósak, pl. dim(l p ) = +, dim(c[a, b]) = + 2. Metrikus tér topológiája Legyen (M, d) egy metrikus tér Nyílt, zárt, kompakt halmazok 2.1. Definíció. x M középpontú, r > 0 sugarú nyílt gömb B r (x) = {y : d(x, y) < r} 2.2. Definíció. E M nyílt halmaz, ha x E-hez r > 0, melyre B r (x) E Definíció. t M torlódási pontja E-nek, ha ε > 0-ra B ε (t) E. E M zárt halmaz, ha minden t torlódási pontját tartalmazza. ADD ABRA Példák: 1. M = R, Euklideszi távolsággal. Ekkor [a, b] zárt, (a, b) nyílt. 2. M = C[a, b]. k > 0 fix valós szám. E = {f : f(x) < k, x} E C[a, b] nyílt E 0 = {f : f(x) k, x} E 0 C[a, b] zárt 2.1. Állítás. E nyílt M \ E zárt Definíció. E M korlátos, ha x E-hez r > 0, melyre E B r (x). 3

4 2.5. Definíció. E M egy részhalmaz a térben. Lefedése: olyan részhalmazok halmaza, melyek uniója tartalmazza E-t. nyílt lefedés, ha a lefedő halmazok nyíltak, véges lefedés, ha a lefedő halmazok száma véges Definíció. E M kompakt, ha minden nyílt lefedésből kiválasztható véges lefedés. Példa. R-ben E = (0, 1] NEM kompakt. Valóban, legyen ( 1 r n = n 1 ) ( ) 1, G n = B rn. n + 1 n Ekkor (0, 1] G n, és nem választható ki véges sok, ami lefedné. meggondolni) (HF 2.1. Tétel. (Heine-Borel tétel) R n -ben E R n kompakt korlátos és zárt. Példa. Végtelen dimenzióban a Heine-Borel tétel nem igaz. C[0, 1]-ben tekintsük a zárt egységkört: B 1 (0) = {f : [0, 1] R, folytonos, max f(x) 1} Ez korlátos és zárt is. Mégis, belátjuk, hogy nem kompakt. Megadunk egy olyan (f n ) C[0, 1] sorozatot, aminek nincs konvergens részsorozata. Legyen ugyanis f n (x) = 1 ha x = 1 n 0 ha x 1 n + 1 vagy x 1 ( ) n 1 1 lineáris ha x n + 1, 1 n 1 Nincs konvergens részsorozata. Tehát a zárt egységkör nem kompakt. ADD ABRA Megjegyzés. A fenti definíció alapján nehéz belátni egy konkrét halmazról, hogy valóban kompakt. Ezért egy másik kritériumot mondunk ki. 4

5 2.7. Definíció. E M sorozat kompakt, ha (x n ) E sorozatból kiválasztható konvergens részsorozat, melynek határértéke is E-beli: lim x n n k k = x 0 E 2.2. Tétel. Tetszőleges metrikus térben egy E halmaz pontosan akkor kompakt, ha sorozat kompakt. Megjegyzés: Végtelen dimenzióban kompakt halmaz R n -ben korlátos, zárt Teljesség 2.8. Definíció. (x n ) M Canchy sorozat, ha ε > 0-hoz N küszöbindex, melyre d(x n, x m ) < ε n, m N 2.2. Állítás. Ha (x n ) konvergens és lim n x n = x 0 akkor Canchy sorozat. Bizonyítás: Legyen ε > 0 tetszőleges. Ekkor N d(x n, x 0 ) < ε/2, n N. Ezért d(x n, x m ) < d(x n, x 0 ) + d(x 0, x m ) < ε/2 + ε/2 = ε Definíció. Az M metrikus tér teljes, ha Cauchy sorozat konvergens Definíció. (V, ) teljes normált tér Banach-tér. (V,, ) teljes skalárszorzat tér Hilbert-tér. Példák: 1. R n teljes az ismert normákkal. 2. (R, d) diszkrét metrikával teljes, hiszen minden Canchy sorozat egy index után konstans, ezért konvergens. 5

6 3. C[a, b] vajon teljes-e? Legyen (f n ) C[a, b] Cauchy sorozat. Ekkor ε > 0-hoz N, melyre f n f m < ε. Ezért és emiatt max f n(x) f m (x) < ε, x [a,b] f n (x) f m (x) < ε x-re. Tehát rögzített x [a, b]-re az (f n (x)) számsorozat Cauchy sorozat, így létezik határértéke: f 0 (x) = lim n f n (x) f 0 : [a, b] R jól definiált függvény. Ráadásul f 0 C[a, b], hiszen a supremum-norma beli konvergencia ugyanaz, mint az egyenletes konvergencia. (HF!) 4. DE: C 2 [0, 1] nem teljes. Itt a norma: 1 f g 2 = 0 (f(x) g(x)) 2 dx 2.3. Szeparábilis metrikus tér Definíció. (M, d) egy metrikus tér. A B M tetszőleges halmazok. Az A halmaz sűrűn van B-ben, ha x B ε > 0, a A d(x, a) < ε. Ha A M sűrű M-ben, akkor mindenütt sűrű. Példa. R-ben racionális számok halmaza Q R sűrű Definíció. (M, d) szeparábilis, ha létezik benne megszámlálható elemszámú mindenütt sűrű halmaz. 6

7 Példák: 1. (R, d) diszkrét metrikával nem szeparábilis. Tfh. A = (a n : n N) sűrű halmaz. Legyen x A. Ekkor d(x, a) = 1 a A. Ezért pl. ε = 1/2-re nincs közeli pont. 2. C[0,1] szeparábilis. Ugyanis, igaz az alábbi tétel: 2.3. Tétel. (Weierstrass féle approximációs tétel). A polinomok tere sűrű C[0, 1]-ben. P[0, 1] = {p : [0, 1] R polinom} (Azaz, ha f : [0, 1] R folytonos függvény, és ε > 0 tetszőleges, akkor van olyan p polinom, melyre sup x [0,1] f(x) p(x) < ε.) Legyen Q[0, 1] a racionális együtthatós polinomok tere, ez megszámlálható számosságú. Q[0, 1] P[0, 1] sűrű, ezért Q[0, 1] sűrű C[0, 1]-ben is. 7