Folytonos görbék Hausdorff-metrika Mégegyszer a sztringtérről FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, Hausdorff-mérték. Czirbusz Sándor

Átírás

1 Metrikus terek, Hausdorff-mérték Czirbusz Sándor Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar március 22.

2 Vázlat 1 Folytonos görbék Affin függvények Definíciók A Koch-görbe A Cantor-halmaz Térkitöltő görbék 2 Hausdorff-metrika Definíciók A Hausdorff-távolság metrika Konvergencia, teljesség Következmények Mégegyszer a sztringtérről

3 Affin függvények Affin függvények Definíció Legyen T R k konvex, S = R n, f T S affin, ha : ha x, y T és 0 t 1. Tétel f(tx + (1 t)y) = tf(x) + (1 t)f(y) f : [u, v] R R pontosan akkor affin, ha f(x) = mx + b valamilyen m, b R esetén. Ha f(x) = mx + b, akkor nyilván affin. Megfordítva, legyen f affin [u, v]-n. Ha u = v, akkor nincs mit bizonyítani, legyen tehát u < v. Ha most x [u, v], akkor :

4 Affin függvények Affin függvények Definíció Legyen T R k konvex, S = R n, f T S affin, ha : ha x, y T és 0 t 1. Tétel f(tx + (1 t)y) = tf(x) + (1 t)f(y) f : [u, v] R R pontosan akkor affin, ha f(x) = mx + b valamilyen m, b R esetén. Ha f(x) = mx + b, akkor nyilván affin. Megfordítva, legyen f affin [u, v]-n. Ha u = v, akkor nincs mit bizonyítani, legyen tehát u < v. Ha most x [u, v], akkor :

5 Definíciók Definíciók Definíció Egy f C([0, 1], S) függvényt S -beli folytonos görbének nevezünk. H f R d beli folytonos görbe és létezik olyan 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 felosztása a [0, 1] intervalumnak, hogy f affin minden [a i, a i+1 ] részintervallumon, akkor szakaszonként affinnak nevezzük. Ekkor f értékkészlete poligon vagy poligonális görbe.

6 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.

7 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.

8 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.

9 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.

10 A Koch-görbe A Koch-görbe Tétel A görbe konstrukciójában szereplő poligonsorozat egyenletesen konvergál a Koch görbéhez. ρ u (g 0, g 1 ) 1. ρ u (g k, g k+1 ) k. {g k } Cauchy sorozat: ρ u (g n, g m ) m 1 j=n j Mivel C([0, 1], R 2 ) teljes, {g k } konvergens, a határértéke folytonos.

11 A Cantor-halmaz A Cantor-halmaz Adottak E = {0, 1} és E ω

12 A Cantor-halmaz A Cantor-halmaz Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp :

13 A Cantor-halmaz A Cantor-halmaz Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp : 0 g 0 (σ) = 0. Ekkor g 0 (E ω ) = L 0 1 g 1 (0σ) = 0, g 1 (1σ) = 2. Ekkor g 1(E ω ) = L 1 és g 1 folytonos, mivel [0] és [1] nyíltak. k+1 g k+1 (0σ) = g k(σ) és g k+1 (1σ) = g k(σ)+2

14 A Cantor-halmaz A Cantor-halmaz Adottak E = {0, 1} és E ω Definiáljuk a g k : E ω R függvényeket a következőképp : 0 g 0 (σ) = 0. Ekkor g 0 (E ω ) = L 0 1 g 1 (0σ) = 0, g 1 (1σ) = 2. Ekkor g 1(E ω ) = L 1 és g 1 folytonos, mivel [0] és [1] nyíltak. k+1 g k+1 (0σ) = g k(σ) és g k+1 (1σ) = g k(σ)+2 A következők láthatók be : g k folytonos, Cauchy-sorozat, így konvegál, a határérték folytonos.

15 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány

16 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány

17 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány

18 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány

19 Térkitöltő görbék Térkitöltő görbék Definíció Egy [0, 1] R d folytonos görbét térkitöltőnek nevezünk, ha értékkészlete tartalmaz gömböt. Példák A Penao görbe Hilbert görbék Heighway sárkány

20 Definíciók Definíciók Ha S metrikus tér, A, B S, A és B egymástól mért Hausdorff távolsága kisebb mint r, ha A minden pontja közelebb van r nél a B valamely pontjához és a B minden pontja közelebb van r nél az A valamely pontjához. Ha A S, r > 0, akkor az A r sugarú nyílt környezete az N r = {y S : x A,ρ(x, y) < r} halmaz. Az A, B S halmazok Hausdorff-távolsága D(A, B) = inf{r : (B N r (A)) (A N r (B))} Jelölés : H(S) az S metrikus tér nemüres kompakt részhalmazai, az S hipertere.

21 Definíciók Definíciók Ha S metrikus tér, A, B S, A és B egymástól mért Hausdorff távolsága kisebb mint r, ha A minden pontja közelebb van r nél a B valamely pontjához és a B minden pontja közelebb van r nél az A valamely pontjához. Ha A S, r > 0, akkor az A r sugarú nyílt környezete az N r = {y S : x A,ρ(x, y) < r} halmaz. Az A, B S halmazok Hausdorff-távolsága D(A, B) = inf{r : (B N r (A)) (A N r (B))} Jelölés : H(S) az S metrikus tér nemüres kompakt részhalmazai, az S hipertere.

22 Definíciók Definíciók Ha S metrikus tér, A, B S, A és B egymástól mért Hausdorff távolsága kisebb mint r, ha A minden pontja közelebb van r nél a B valamely pontjához és a B minden pontja közelebb van r nél az A valamely pontjához. Ha A S, r > 0, akkor az A r sugarú nyílt környezete az N r = {y S : x A,ρ(x, y) < r} halmaz. Az A, B S halmazok Hausdorff-távolsága D(A, B) = inf{r : (B N r (A)) (A N r (B))} Jelölés : H(S) az S metrikus tér nemüres kompakt részhalmazai, az S hipertere.

23 Definíciók Definíciók Ha S metrikus tér, A, B S, A és B egymástól mért Hausdorff távolsága kisebb mint r, ha A minden pontja közelebb van r nél a B valamely pontjához és a B minden pontja közelebb van r nél az A valamely pontjához. Ha A S, r > 0, akkor az A r sugarú nyílt környezete az N r = {y S : x A,ρ(x, y) < r} halmaz. Az A, B S halmazok Hausdorff-távolsága D(A, B) = inf{r : (B N r (A)) (A N r (B))} Jelölés : H(S) az S metrikus tér nemüres kompakt részhalmazai, az S hipertere.

24 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.

25 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.

26 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.

27 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.

28 A Hausdorff-távolság metrika A Hausdorff-távolság metrika Tétel Ha S metrikus tér, a Hasdorff-távolság merika H(S) n. 1 Nyilvánvaló, hogy D(A, B) 0 és D(A, B) = D(B, A). Mivel A, B kompaktak, ezért korlátosak, így D(A, B) < 2 D(A, A) = 0 triviálisan, mivel A N r(a) minden r re. Megfordítva, ha D(A, B = 0, akkor x A esetén x N r(b) minden r re, így ρ(x, B) = 0, de B kompakt, tehát zárt, így x B, azaz A B 4 Háromszögegyenlőtlenség : Ha A, B, C H(S), x A, akkor y B : ρ(x, y) < D(A, B) + ε. Ekkor hasonlóan z C : ρ(y, z) < D(B, C) + ε. Így az A a C (D(A, B) + D(B, C) + 2ε) környezetében van. Hasonlóan a C az A(D(A, B) + D(B, C) + 2ε környezetében van. Ezért D(A, C) D(A, B) + D(B, C) + 2ε. Innen infimumra áttérve kapjuk az állítást.

29 Konvergencia, teljesség Konvergencia, teljesség Tétel Ha A n egy sorozat H(S) ben és A H(S) hez konvergál, akkor A = {x : van olyan x n sorozat, hogy x n A n és x n x} Feladat. Tétel Ha (S,ρ) teljes metrikus tér, akkor (H(S), D) is az. Hosszú. elhagyjuk.

30 Konvergencia, teljesség Konvergencia, teljesség Tétel Ha A n egy sorozat H(S) ben és A H(S) hez konvergál, akkor A = {x : van olyan x n sorozat, hogy x n A n és x n x} Feladat. Tétel Ha (S,ρ) teljes metrikus tér, akkor (H(S), D) is az. Hosszú. elhagyjuk.

31 Következmények Következmények Következmény Legyen A 1 A 2 A... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metikában az A = n N A n halmazhoz konvergál. Feladat. Következmény Ha f n, f S T, S kompakt és f n f egyenletesen, akkor f n f(s) a Hausdorff metrika szerint H(S) ben. Feladat.

32 Következmények Következmények Következmény Legyen A 1 A 2 A... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metikában az A = n N A n halmazhoz konvergál. Feladat. Következmény Ha f n, f S T, S kompakt és f n f egyenletesen, akkor f n f(s) a Hausdorff metrika szerint H(S) ben. Feladat.

33 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)

34 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)

35 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)

36 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)

37 Mégegyszer a sztringtérről Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ,τ E ω. Ha σ = ασ,τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ,τ) = k r. Állítás 1 (E ω,ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω,ρ r ) homeomorf. Ha h : E ω R a Cantor halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2, h(1σ) =. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, azaz 1 ρ 1 (σ,τ) h(σ) h(τ) ρ 1(σ,τ)