A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

Átírás

1 A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex (értékű) sorozatról. A f: N R függvényjelölés helyett gyakoribb az a n jelölés alkalmazása, ahol a n a függvényértékeket jelöli (a n = f(n) n N esetén), melyeket a sorozat tagjainak mondunk. Egy a n valós(!) számsorozatot monoton növekvőnek mondunk, ha a n a n+1 teljesül minden n N-re. Szigorúan monoton növekvő az a n sorozat, ha a n < a n+1 teljesül minden n N- re. Analóg módon értelmezzük a monoton csökkenő, illetve szigorúan monoton csökkenő sorozatok fogalmát.

2 a n = 1 1 n 2 szigorúan monoton növekvő b n = [ 100 n ] monoton csökkenő, korlátos c n = log 2 n, d n = ( 1) n n nem korlátosak k(n) = 5 konstans sorozat t n = 1 n q n = a 1 q n mértani sorozat

3 s n = a 1 + (n 1)d számtani sorozat a 1 = 1, a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2 Fibonacci sorozat Definíció. Egy a n sorozat torlódási pontján olyan a számot értünk, melynek tetszőleges ε > 0 sugarú nyílt környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja található. Azt mondjuk, hogy az a n sorozat konvergens és határértéke a, ha a-nak bármely ε > 0 sugarú nyílt környezete a sorozat összes tagját tartalmazza véges sok kivételével, azaz ha bármely ε > 0-hoz létezik olyan n 0 N küszöbszám, hogy minden n > n 0 esetén a n a < ε. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy a n konvergál (vagy tart) a-hoz, jelben: a n a, vagy lim a n n = a.

4 a határérték = torlódási pont is a határérték = torlódási pont ha a n korlátos, s csak egyetlen torlódási ponttal rendelkezik, akkor konvergens is, és határértéke az egyetlen torlódási pont lesz konvergens sorozatnak csak egyetlen határértéke van a konvergens sorozatok korlátosak Példák

5 konvergens sorozatra: a n = 1. Ez a sorozat konvergens, s n határértéke 0, hiszen ha tetszőleges ε > 0-t választunk, hozzá lehet találni olyan küszöbindexet, pl. n 0 = bármely n > n 0 esetén valóban a n 0 = 1 n [ ] 1 ε + 1-et, melyre < ε. Nem konvergens viszont, pl. az b n = ( 1) n + 1 n is van. sorozat, hiszen két torlódási pontja

6 Álĺıtás. Valós, monoton növekvő korlátos sorozat konvergál a pontos felső korlátjához. Valós, monoton csökkenő korlátos sorozat konvergál a pontos alsó korlátjához. Bizonyítás. Az a n monoton növekvő korlátos sorozat pontos felső korlátját jelölje a, s tekintsünk egy tetszőleges pozítív ε- t. a ε nem felső korlátja a sorozat elemeinek, ezért van olyan n 0 N, hogy a n0 > a ε. A monotonitás miatt ekkor minden n > n 0 esetén a a n > a ε, tehát a n a < ε. Hasonló érvelés adható monoton csökkenő sorozat esetén is.

7 Műveletek konvergens sorozatokkal Sorozatokkal ugyanazon műveleteket végezhetjük, mint a valós, illetve a komplex számokkal: Az a n és b n sorozatok összegének, szorzatának, illetve ha b n 0, akkor hányadosának nevezzük rendre az a n + b n, a n b n, a n b n sorozatokat. Álĺıtás. Ha a n 0 és b n korlátos, akkor a n b n 0. Ha a n a és b n b, akkor a n + b n a + b.

8 Ha a n a és b n b, akkor a n b n ab. Ha a n a, b n b és b n 0, b 0, akkor a n b n a b.

9 Bizonyítás. Jelölje K a b n sorozat egy korlátját: b n K. Tetszőleges ε > 0 esetén a n 0 miatt van olyan n 0, hogy ha n > n 0, akkor a n < ε K. Ezért a n b n = a n b n < ε K K = ε. A második igazolásához is tetszőleges ε > 0-ból indulunk ki. a n és b n konvergenciája miatt ε/2-höz van olyan n 1 és n 2, hogy n > n 1, illetve n > n 2 esetén a n a < ε/2, illetve b n b < ε/2 teljesedik. Ekkor minden n > max{n 1, n 2 } esetén (a n + b n ) (a + b) a n a + b n b < ε/2 + ε/2 = ε.

10 Szorzat esetében a következő átalakítást végezzük el: a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a Az a n sorozat korlátos, hiszen konvergens, tehát a n K valamely K R-ra. a n a miatt létezik olyan n 1, hogy ha n > n 1, akkor a n a < ε/2 b. Másrészt, b n b miatt létezik olyan n 2, hogy ha n > n 2, akkor b n b < ε/2k. Ha n > max{n 1, n 2 }, akkor a fenti becslést is figyelembe véve a n b n ab < ε adódik.

11 A konvergencia monotonitása Álĺıtás. a b. Ha a n a, b n b és a n b n minden n N-re, akkor Bizonyítás. Tegyük fel indirekten, hogy a > b. Legyen ε = a b 2. a n a miatt van olyan n 1, hogy ha n > n 1, akkor a n (a ε, a + ε). Hasonlóan b n b miatt van olyan n 2, hogy ha n > n 2, akkor b n (b ε, b + ε). Ezért, ha n > max{n 1, n 2 } teljesül, akkor b n < b + ε = a + b = a ε < a n. 2 Ez ellentmond álĺıtásunk feltételének.

12 Megjegyzés. Ha a feltételben szigorú egyenlőtlenség teljesül, a következményben mégsem álĺıtható, hogy a < b. Ezt mutatja az a n = 0, b n = n 1 sorozatok példája. Álĺıtás. (Rendőrelv) Ha a n a, b n a, és a n c n b n minden n N-re, akkor c n a. Bizonyítás. Tetszőleges ε > 0 esetén a n a miatt van olyan n 1, hogy ha n > n 1, akkor a n (a ε, a + ε). Hasonlóan b n a miatt van olyan n 2, hogy ha n > n 2, akkor b n (a ε, a + ε). Ezért minden n > max{n 1, n 2 } esetén a n c n b n miatt c n (a ε, a + ε) is teljesül.

13 Valós számsorozat tágabb értelemben vett határértéke Definíció. Azt mondjuk, hogy az a n sorozat tart a végtelenhez, ha bármely K valós számhoz van olyan n 0 N, hogy ha n > n 0, akkor a n > K. Jele: a n, vagy lim a n n =. Hasonlatosan, az a n sorozat tart a mínusz végtelenhez, ha bármely K valós számhoz van olyan n 0 N, hogy ha n > n 0, akkor a n < K. Jele: a n, vagy lim a n n =.

14 A műveletekkel kapcsolatosan majdnem ugyanazon tulajdonságok érvényesek, mint a szűkebben értelmezett konvergencia esetében, pl.: Ha a n, b n, akkor a n + b n. Ha a n, b n, akkor a n + b n. Ha a n, b n, akkor a n b n. Ha a n, b n b > 0, akkor a n b n. Ha a n, és a n 0, akkor 1 a n 0. Ugyanis, adott ε > 0 esetén K = 1 ε -hoz van olyan n 0 N, hogy ha n > n 0, akkor

15 a n > K = 1 ε, azaz 1 a n < ε. Fordítva viszont a n 0-ból következik 1 a n, hasonló érveléssel.

16 Nevezetes határértékek Álĺıtás. Legyen a n = p rn r + p r 1 n r p 1 n + p 0 q s n s + q s 1 n s q 1 n + q 0. Ha r = s, akkor a n p r q r. Ha r < s, akkor a n 0. Ha r > s, akkor p r a n. q s > 0 esetén a n, míg p r q s < 0 esetén

17 Bizonyítás. Példákon keresztül: r = s a n = n2 +3n+1 2n 2 5n Osszuk el a számlálót és a nevezőt is n 2 -el: a n = n + 1 n n A számlálóban és a nevezőben szereplő 1 n i tagok mindegyike 0-hoz tart, s kihasználva a műveletek és a határátmenet sorrendjének felcserélhetőségét, valóban a n 1 2.

18 r < s a n = 3n+1 2n 2 5n Most n 2 -el osztjuk a számlálót, s nevezőt is: 3 n a n = + 1 n 2 2 n 5 Ugyanazon érveléssel a számláló nullához tart, a nevező 2-hez, összességében a n 0. r > s a n = n5 +3n+1 2n 2 5n n 2 -el egyszerűsítve, s kiemelve n 3 -et: a n = n n n n

19 n 3, míg a tört 1 2 hez tart, ezért szorzatuk végtelenhez tart

20 Álĺıtás. Legyen a n = q n, ahol q R konstans. Ha q > 1, akkor a n. Ha q = 1, akkor a n 1. Ha 1 < q < 1, akkor a n 0. Bizonyítás. Ha q > 1, akkor q = 1 + h alakban írható, ahol h > 0. A Bernoulli egyenlőtlenség miatt a n = q n = (1 + h) n 1 + nh, ezért ha adott K esetén n > n 0 = [ K 1 h ] + 1, akkor a n 1 + nh > 1 + K 1 h = K. h Ha 1 < q < 1, q 0, akkor 1 a > 1, ezért 1 a n = 1 q n. Egy előző álĺıtásunk miatt a n 0.

21 Álĺıtás. Az a n = ( n) n sorozat konvergens. Bizonyítás. A) a n szigorúan monoton nő: Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az számokra: n n, n,..., n, 1 (1 + 1 n )... (1 + 1 n ) n n + 1 n + 1

22 n + 1-dik hatványra emelve: azaz ( n) n ( ) n+1 n + 1 a n a n+1 B) a n korlátos: Alkalmazzuk most a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az n, n,..., n, 1 2, 1 2 számokra: n+2 (1 + 1 n )... (1 + 1 n )

23 n + 1-dik hatványra emelve: ( azaz n n n n ) n a n 4 Az a n = (1 + 1 n )n sorozat határértékét e-vel jelöljük: e = lim n (1 + 1 n )n. Belátható, hogy ez a szám másik sorozattal is előálĺıtható:

24 e = lim n ( ! + 1 2! + 1 3! n! ). Bebizonyítható, és az alkalmazásokban gyakran szükséges, hogy ha egy b n sorozat olyan, hogy b n, akkor lim n (1 + 1 ) bn = e. b n 1 mft kamatoztatása 100 % kamattal 1 év alatt: Egy éves tőkésítésnél: 2 mft Féléves tőkésítésnél: ( )2 =2,25 mft Negyedévesnél: ( )4 2,44 mft Havi tőkésítésnél: ( )12 2,61 mft

25 1 )n = a e v/n-es to ke sı te sne l: (1 + n n

26 Bernoulli egyenlőtlenség: Álĺıtás. Bármely n N és h 1 esetén teljesül a egyenlőtlenség. (1 + h) n 1 + nh Bizonyítás. A bizonyítást n szerinti teljes indukcióval végezzük. n = 1 esetén nyilván teljesül az álĺıtás. Tegyük fel, hogy igaz valamely n-re: (1 + h) n 1 + nh. 1 + h 0, ezért vele szorozva az egyenlőtlenséget, kapjuk, hogy (1 + h) n+1 (1 + nh)(1 + h) = 1 + (n + 1)h + nh (n + 1)h. Tehát n + 1 esetén is teljesül az álĺıtás.