3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

Átírás

1 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük. Jelöléseik: f) = a a sorozat -edik eleme, f = a ) a sorozat maga, { a : N } a sorozat értékkészlete. Sorozat megadása: képlettel pl. a = N), rekurzív módo pl. a =, és a + = 2 + a szabállyal pl. a = -edik prímszám. Defiíciók. Az a ) sorozatot felülről korlátosak alulról korlátosak N), evezzük, ha értékészlete felülről korlátos alulról korlátos. Azaz Az a ) sorozatot evezzük, hogy felülről korlátosak alulról korlátosak evezzük, ha k R k R N) a k N) a k. szám, melyet a sorozat egy felső korlátjáak felső korlátjáak Az a ) sorozatot korlátosak evezzük, ha alulról és felülről is korlátos. Köyű beláti, hogy egy a sorozat akkor és csakis akkor korlátos, ha va olya K R hogy a K mide N-re. Az a ) sorozatot Az a ) sorozatot mooto övekvőek mooto csökkeőek evezzük, ha N) a + a N) a + a. szigorúa mooto övekvőek szigorúa mooto csökkeőek evezzük, ha N) a + > a N) a + < a. Egy sorozatot szigorúa) mootoak moduk, ha szigorúa) mooto övekvő vagy csökkeő. Példa. Legye a := N). Ez a sorozat alulról korlátos pl. k = 0 alsó korlát), és felülről is korlátos pl. k = felső korlát), így korlátos. Sorozatuk szigorúa mooto csökkeő. Az is igaz, hogy övekedésével a egyre közelebb kerül 0-hoz jóllehet soha sem éri el a 0-t). Potosabba, 0 akármilye kis köryezetét vesszük, azo belül va a sorozatak véges sok kivételével mide eleme. Defiíciók. Az a ) sorozatot kovergesek evezzük, ha va olya a R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olya Nε) R szám, hogy a a < ε ha > Nε). A a számot a sorozat határérték éek limeszéek) evezzük és az a a ) vagy lim a = a jelölést haszáljuk. Nε) az ε-hoz tartozó küszöbszám. Az a ) sorozatot divergesek evezzük, ha em koverges.

2 2 Állítás. [a kovergecia köryezetes átfogalmazása] Az a ) sorozat koverges és határértéke a akkor és csakis akkor, ha az a pot bármely köryezeté kívül a sorozatak csak véges sok eleme va. Bizoyítás. Ha a a ), akkor mide ε > eseté va olya Nε), hogy a a < ε ha > Nε), ami úgy is írható, hogy a ε < a < a + ε, azaz a Ka, ε) ha > Nε). De ez azt jeleti, hogy a Ka, ε) köryezete belül vaak az Nε)-él agyobb idexű elemek, míg kívül csak az Nε)-él em agyobb idexűek lehetek, melyek száma éges. Fordítva, ha mide ε > 0 eseté a Ka, ε) köryezete kívül csak véges sok elem va, pl. a p darab a k, a k2,..., a kp elemek, akkor Nε) := max{k, k 2,..., k p } választással a a < ε ha > Nε), azaz sorozatuk koverges és határértéke a. Következméy. Ha egy sorozatba véges sok elemet teszőlegese megváltoztatuk, a sorozatból véges sok elemet elhagyuk, a sorozathoz véges sok elemet hozzáveszük, akkor sem a sorozat kovergeciája és határértéke divergeciája) em változik. Állítás. [a határérték egyértelműsége] Koverges sorozatak potosa egy határértéke va. Idirekt bizoyítás. Ha az a a ) sorozatak két határértéke vola, a, ba < b) akkor ε = b a 3 választással a defiícióból elletmodásra jutuk. Példák. a = N) koverges és határértéke ulla. a = ) N) diverges. Tétel. [kovergecia és korlátosság kapcsolata] Koverges sorozat korlátos. Va olya korlátos sorozat mely diverges em koverges). Bizoyítás. ε = -gyel kapjuk, hogy a a < ha > N). Világos, hogy a sorozat felső korlátja, míg a sorozat alsó korlátja. a = ) N) korlátos de em koverges. k := max{a +, és a Ka, ) köryezete kívüli elemek } k := mi{a, és a Ka, ) köryezete kívüli elemek } Tétel. [kovergecia és mootoitás kapcsolata] Mooto Bizoyítás. Tegyük fel pl. hogy a ) övekvő felülről korlátos, és legye a := sup{ a : N }. övekvő és felülről korlátos sorozat koverges. csökkeő és alulról Véve egy ε > 0 számot a ε em felső korlátja a sorozatak, így va olya 0 N idex, hogy a 0 > a ε. Legye Nε) := 0, akkor > Nε) = 0 eseté és ezt kellett bizoyítai. a ε < a 0 a a < a + ε azaz a a < ε

3 3 3.2 Műveletek, redezés és kovergecia kapcsolata Defiíciók. Ha a ), b ) sorozatok c R, akkor az a + b ),, a b ), a b ), ca ), a ) sorozatokat redre az a ), b ) sorozatok összegéek, szorzatáak, háyadosáak, az a ) c-szereséek, abszolút értékéek evezzük. A háyados defiíciójába fel kell teük, hogy b 0. Tétel. [kovergecia és műveletek kapcsolata] Koverges sorozatok összege, szorzata, háyadosa ha értelmezve va), kostasszorosa, abszolút értéke is koverges, és e sorozatok határértékeiek összegéhez, szorzatához, háyadosához, kostasszorosához, abszolút értékéhez kovergál, azaz ha a a, b b ) akkor a + b a + b ), a b ab ), a a b b ), ha b, b 0, ca ca ), a a ). Bizoyítás. Itt csak az első állítást igazoljuk. Tetszőleges ε > 0 mellett a a < ε ε 2 ha > N, és b b < 2) ε ε 2 ha > N 2, 2) amiből a + b ) a + b) < a a + b b < ε 2 + ε { ε ) ε )} 2 = ε ha > Nε) := max N, N 2 2 és ezt kellett igazoli. Tétel. [kovergecia és a redezés kapcsolata] ) Koverges sorozat jeltartó, azaz ha a a 0 ), akkor va olya 0 R, hogy sg a = sg a ha > 0. 2) A kovergecia megőrzi a mootoitást, azaz ha a b N) és a a, b b )), akkor a b. 3) Érvéyes a redőrtétel, azaz ha a a, b a ) és a x b N), akkor x ) is koverges és x a, ). Az első állításba sg a sigum előjel) függvéyt jelöli, melyek defiíciója ha x > 0 sg x := 0 ha x = 0. ha x < 0 Bizoyítás. Az első állítás igazolásához legye ε = a /2, akkor a a < a /2 ha > 0 := N a /2). Ie a a /2 < a < a + a /2 ha > 0 amiből a > 0 ill. a < 0 esetszétválasztással adódik állításuk. A második állítást idirekt úto igazoljuk. Ha a > b vola, akkor a b > 0 így a jeltartóság miatt a b > 0 vola elég agy -re, ami elletmodás. A redőrtétel igazolása. Az a x b N) feltételből a kivoásával kapjuk, hogy 0 x a b a vagy x a b a < ε ha > Nε) ami éppe azt jeleti, hogy x a 0 ) amiből x = x a ) + a ) + a = a ha.

4 4 3.3 Bővített valós számok, végtelehez tartó sorozatok Defiíció. Az R b := R {+ } { } halmazt a bővített valós számok halmazáak evezzük + helyett gyakra csupá -t íruk). Műveletek R b -be: bármely x R-re legye x + ± ) = ± ) + x = ± ± ) + ± ) = ± x± ) = ± )x = ± ha x > 0 x± ) = ± )x = ha x < 0 ± )± ) = + x ± = 0. Nicseek értelmezve az alábbiak: ± ) + ), ± ) ), 0± ), ± )0, ± ±, x 0. Redezés: mide x R eseté, a korábbi redezés megtartása mellett) < x < +. Megjegyzés. R b em test! A határérték fogalmáak kiterjesztése. Az a = ), a = ), a =, a = 2 N) valameyie diverges sorozatok, de közülük az első kettő másképpe viselkedik, mit az utolsó kettő: azok agy eseté -hez ill. -hez közeledek. Defiíció. Azt modjuk, hogy az a ) sorozatak a határértéke + bármely K R számhoz va olya NK) R, hogy a > K a < K ha > NK). + vagy a sorozat tart a -hez) ha Jelölése az első esetbe) a + ) vagy lim a =. Ha a ) akkor a sorozat diverges, de va határértéke. Ha a + köryezetei a ]K, + [ itervallumokat, a köryezetei a ], K[ itervallumokat értjük,ahol K R tetszőleges, akkor egyszerű beláti, hogy érvéyes az alábbi Állítás. Egy sorozat határértéke + vagy ) akkor és csakis akkor, ha + vagy ) bármely köryezeté kívül a sorozatak csak véges sok eleme va. Példák. Az a = N) sorozat határértéke +. Az a = 2 N) sorozat határértéke. Defiíció. Ha A R felülről em korlátos akkor sup A :=. Ha A R alulról em korlátos akkor if A :=.

5 5 Ezzel a kiegészítéssel mide A R halmazak va supremuma és ifimuma, de lehet hogy ezek végteleek azaz if A sup A +. Továbbá mide mooto sorozatak va határértéke R b -be): övekvő em korlátos sorozat tart + -hez, csökkeő em korlátos sorozat tart -hez. A határérték és műveletek kapcsolata is kiterjeszthető, az alábbi tétellel. Tétel. Ha a a, b b ) ahol most a, b R b, c R, akkor továbbá ha a akkor a + b a + b ), ha a + b értelmezve va, a b ab ), ha ab értelmezve va, a a b b ), ha b 0, és a értelmezve va, b ca ca ), ha ca értelmezve va, a 0 ). 3.4 Nevezetes határértékek Tétel. ) 2) 3) Ha a > 0, akkor + ha a > 0, a ha a = 0, ) 0 ha a < 0. 0 ha a <, a ha a =, + ha a >, ) diverges ha a. a ). 4) Ha a <, k R, akkor 5) ). k a 0 ). 6) Ha a R akkor a 0 ).! 7)! + ). 8) Az a = + ) N) sorozat szigorúa mooto övekvő és felülről korlátos, a < 3, így koverges. Határértéke egy evezetes szám, amit e-vel jelölük, közelitő értéke e = 2, ) Ha 0 c 0, akkor + c ) c e ).

6 6 Bizoyítások. ) Ha a = 0, akkor az állítás yilvávaló, mert 0 = mide N-re. Ha a > 0, akkor tetszőleges pozitív) K-t véve a > K potosa akkor, ha > K /a így defiíció alapjá a +. Ha a < 0, akkor a = a = 0, mivel most a > ) A Beroulli egyelőtleség szerit + x) + x, ha N, x és itt egyelőség akkor, és csakis akkor teljesül, ha = vagy x = 0. Ha a > akkor a = + h, ahol h > 0, így a = + h) + h, a +. Legye most a <. Ha a = 0, akkor a = 0 = 0 0. Így feltehetjük, hogy 0 < a <, ezért a = a ) + = 0, amiből a 0. Ha a =, akkor a =. Ha a =, akkor a = ) diverges. Ha a <, akkor a 2 = a 2 ) + mivel a 2 >, és a 2 = a2 ) a, így sorozatuk diverges. 3) Ha a, akkor b := a 0, a Beroulli egyelőtleség alapjá kapjuk, hogy a = + b ) + b, amiből 0 b a. Ie a redőrtétellel adódik, hogy b 0, a. Ha 0 < a <, akkor a, az előzőek miatt a, a. 4) Ha k < 0, akkor a sorozat első és második téyezője is zérushoz tart, így a sorozat is. Ha k = 0 akkor a 2. Állítás miatt 0 a = a 0. Ha k > 0, akkor legye k 0 egy k-ál agyobb egész, és tegyük fel, hogy > k 0. Va olya h > 0, hogy a = + h, és 0 k a k0 + h) < k0 ). h k 0 + A jobboldali kifejezést övelhetjük... h k 0+ k 0 + )! )... k 0) = k 0 + )! h k 0+ k 0+ ) )... k 0 k0 ) 0, mivel a jobboldali szorzat második téyezőjéek evezőjébe az első k 0 db. téyező -hez tart, míg az utolsó + -hez. Ezért a redőrtétel miatt k a 0, és az abszolút érték elhagyásával kapott sorozat is ullához tart. 5) Legye ε > 0 adott, alkalmazzuk az előző állítást a =, k = -él, akkor + ε + ε) 0, amiből + ε) <, ha > N) = N ε). Ie átredezéssel, majd gyökvoással kapjuk, hogy azaz < + ε), ε < < + ε < ε ha > N ε)

7 7 bizoyítva állításukat. 6) Legye 0 egy a -él agyobb természetes szám, > 0, akkor 0 a! = a a =! 0! 0 + ) 0 + 2)... a 0! 0 + ) 0 = 0 + ) 0 0! ) a. 0 + A jobboldali sorozat 0-hoz tart, mivel a zárójeles tört abszolút értéke kisebb mit, így a redőrtétel miatt a! 0 es a! 0. 7) A sorozatuk szigorúa mooto övekvő, mert az! < + + )! egyelőtleség ekvivales az + ) < = ! 2 egyelőtleséggel, ami igaz, mert a jobboldalo levő szorzat mide téyezője -él agyobb. Másrészt sorozatuk em korlátos felülről, ugyais ha az vola, akkor! K,! K, K! következe, ami em lehet, mert K 0 a 6. Állítás szerit.! 8) A mootoitás igazolása: ha > akkor + ) ) ) + + a = a + ) = ) = ) = 2 2 = ) 2 > ) 2 = ) =, ahol a Beroulli egyelőtleség szigorú változatát haszáltuk. A korlátosság igazolása: a biomiális tételt haszálva kapjuk, hogy a = + ) ) = k k. k=0 Az l l = 0,..., k ) egyelőtleséget haszálva az előző összeg általáos tagját felülről megbecsüljük: ) )... k + ) = k k k = ) 2 )... k )! k! k! = 2... k = 2 k. Ezt felhaszálva kapjuk, hogy a = + /2) = + 2 /2 ) < 3. /2 9) Nem bizoyítjuk. )