Végtelen sorok konvergencia kritériumai

Átírás

1 Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Végtele sorok kovergecia kritériumai BSc Szakdolgozat Készítette: Gyebár Tüde Matematika BSc, Matematikai elemző szakiráy Témavezető: Bátkai Adrás Alkalmazott Aalízis, és Számításmatematikai taszék Budapest, 204

2 Tartalomjegyzék. Alapismeretek 3 2. Legismertebb kritériumok 5 3. Nevezetes végtele sorok A mértai sor A harmoikus sor Pozitív természetes számok égyzeteiek reciprokaiból álló sor Műveletek végtele sorokkal 4 5. Abszolút, és feltételese koverges sorok 9 6. Kovergecia kritériumok II Mooto csökkeő tagú sorokra voatkozó kritériumok Jermakov-kritérium A háyados kritérium fiomabb alakjai Kummer-kritérium Raabe-kritérium Bertrad-kritérium Gauss-kritérium Logaritmikus kritérium

3 Bevezetés A szakdolgozatom témája a végtele sorok, és ezekek a sorokak a kovergeciájára voatkozó kritériumok. Egyetemi éveim alatt a legalapvetőbb kritériumokkal megismertettek, de dolgozatomba ezeke túlmutató kritériumokra is kitérek majd. Célom, hogy összegyűjtsem a legfotosabb, leghaszálhatóbb kritériumokat, és az ezek közötti kapcsolatokat bemutassam. Dolgozatom elejé bevezetem a végtele sorok legfotosabb defiíciót, tételeit. Leírok pár evezetes végtele sort, majd rátérek a kovergecia kritériumokra, és ezekek alkalmazását példáko keresztül szemléltetem. 2

4 . Alapismeretek Mideek előtt ismerkedjük meg a végtele sorok éháy alapvető defiíciójával, tételével... Defiíció Ha adott az {a } számsorozat, akkor az a + a 2 + a a +... = alakú összeget végtele sorak hívjuk. Tehát a végtele sor egy végtele sok tagú összeg. a () =.2. Defiíció Azt az {s } sorozatot, melyek tagjai s = a s 2 = a + a 2 s = a + a a =. a k (2) k= a végtele sor részletösszegeiek evezzük; s a sor -edik részletösszege..3. Defiíció Ha eseté ezek a részletösszegek meghatározott határérték felé közeledek, akkor ezt evezzük a végtele sor összegéek. s = k= a k = lim a k, k= vagyis s = lim s. Ilyekor azt modjuk, hogy a végtele sor koverges, ugyais a részletösszegek sorozata, a végtele sor összegéhez kovergál. Ha a részletösszegek sorozata em koverges, akkor a végtele sort divergesek modjuk..4. Tétel Ha a koverges, akkor a 0. = 3

5 .5. Megjegyzés Ez azoba em elégséges feltétel. A sor akkor is divergálhat, ha a 0.6. Példa (a 0, de a sor diverges) Az }{{ 2} }{{ 4} } {{ 2 } végtele sor diverges, mert az egyelő tagokat összeadva, midig egyet kapuk, így a részletösszegek mide határo túl őek. A tagokból álló sorozat azoba 0-hoz tart. Az előző tételből kapjuk a következő feltételt, egy végtele sor divergeciájára:.7. Következméy Ha a lim a határérték em létezik, vagy 0-tól külöbözik, akkor a a végtele sor diverges. =.8. Példa (Az előző teszt alkalmazása) A diverges, mivel 2 2 végtele sor =.9. Példa koverges végtele sorra: (x /!) =.0. Példa diverges végtele sorra: 2 = = 4

6 2. Legismertebb kritériumok 2.. Tétel (Cauchy-féle kovergeciakritérium) Egy = a sor akkor, és csak akkor koverges, ha bármely pozitív ε számhoz va olya ν, hogy ha m ν, akkor m k= a k < ε Példa A Cauchy-féle kovergeciakritérium alkalmazását, a harmoikus sor divergeciájáak bizoyításá keresztül mutatjuk be. Erről a sorról a későbbiekbe is belátjuk, hogy diverges. Tegyük fel, hogy a sor koverges,ekkor a Cauchy-kritérium szerit ε = /2-hez is létezik olya ν, hogy ha m ν, akkor m < 2. (3) Legye m = 2, ekkor a (3) bal oldala csökkethető úgy, hogy a evezőbe mide tagba 2-et íruk. Így: + 2 = < m, + mivel, így , ami azt mutatja,hogy ν-t bármely 2 2 m 2 agyak is választjuk, em teljesül mide m ν eseté a (3), így a sor valóba diverges. 5

7 2.3. Tétel (Leibiz-féle kovergeciakritérium) Legye a egy pozitív mooto fogyó számsorozat. Ekkor a ( ) + a = sor kovergeciájáak szükséges, és elégséges feltétele, hogy általáos tagja ullához tartso. ábra: Leibiz-sor Bizoyítás. Ha = 2m páros egész szám, akkor az első tag összege: s 2m = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) (a 2m a 2m ) = a (a 2 a 3 ) (a 4 a 5 )... (a 2m 2 a 2m ) a 2m. Az első egyelőség szerit az s 2m összeg m emegatív tagból áll, mivel a zárójelekbe szereplő kifejezések midegyike legalább ulla.eszerit tehát s 2m+2 s 2m, vagyis az s 2m sorozat emcsökkeő. A második egyelőség szerit s 2m a. Az s 2m sorozat, tehát emcsökkeő, és felülről korlátos, így koverges: lim s 2m = L (4) Ha = 2m + páratla,akkor az első tag összege s 2m+ = s 2m + a 2m+. Mivel a 0 feáll lim m a 2m+ = 0 6

8 is, így amit m s 2m+ = s 2m + a 2m+ L + 0 = L. (5) A (4) és az (5) egyelőségeket összevetve: lim s = L 2.4. Példa Az alteráló harmoikus sor például kielégíti a tétel feltételeit így koverges. (Természetese csak feltételese koverges.) 2.5. Tétel (Majorás kritérium) A = a és tagúak, és a b -re, és = b koverges, akkor koverges és = a = b = b sorok pozitív = a is 2.6. Példa A sor koverges, mivel <, 2, és 2 +l 2 +l 2 koverges Tétel (Miorás kritérium) A = a és = b sorok pozitív tagúak, és a b -re, és = a diverges, akkor = b is diverges Példa A sor koverges, vagy diverges-e? 5 + = Tudjuk, hogy a harmoikus sor diverges.és a = 6 < 5 + = Tehát a sor miorálja a kérdéses sort, így diverges. = 6 = Tétel (Háyados-Majorás kritérium) Ha a u k és v k pozitív tagú sorokba u k+ u k v k+ v k, és v k koverges, akkor u k is az. Bizoyítás. Ekkor ugyais u 2 u v 2 u v, azaz u 2 v 2 u 3 u 2 v 3 v 2 azaz u 3 u 2 v 2 v 3 u v v 2 v 2 v 3 = u v v 3 Általáosa: u k u v v k. A u k sorak tehát majorása a u v v k sor; ez a feltevés szerit koverges, s így a u k is koverges Tétel (Háyados-Miorás kritérium) Ha a u k és v k pozitív tagú sorokba u k+ v k+ ( = ν, ν +,...), u k v k és v k diverges, akkor u k is diverges. 7 v, =

9 A bizoyítás a (2.9) tételéhez hasolóa működik. A feti 4 tételt összehasolító kritériumokak hívjuk. Az első kettőbe a két sor megfelelő tagjait hasolítjuk össze, a második kettőbe pedig az egyik sor két egymás utái tagjáak viszoyát, a másik sor megfelelő tagjaiak viszoyával. 2.. Tétel (d Alembert-féle háyadoskritérium) Tegyük fel, hogy a a, sorra: a 0( N); ) lim =: A R. Ekkor: ( a+ a Ha 0 A <, akkor a a abszolút koverges, Ha A >, akkor a a sor diverges, Ha A =, akkor lehet a koverges, és diverges is. Bizoyítás. Tegyük ) fel, hogy 0 A <. Ekkor lim ( a+ a = A = q : 0 N : a + a q < ( 0 ). Legye 0. Ekkor a + q a q 2 a... q + 0 a 0 = a 0 q 0 q. }{{} c Mivel a Majorás kritérium alapjá 0 q <, ezért c q koverges, tehát a a is koverges,azaz a a abszolút koverges. Tegyük fel, hogy A >. Ekkor lim ( a+ a ) = A = q : 0 N : a + a q ( 0 ). Legye 0. Ekkor: a + q a q 2 a... q + 0 a 0. Mivel q >, ezért lim( a + ) = +, azaz lim a 0, amiből pedig következik a divergecia Példa Tekitsük a a = (a R, a 0) végtele sort, és dötsük el a kovergeciáját a D Alembert-féle! háyadoskritériummal. a + ( + )!! a = lim tehát a szóba forgó sor koverges. a +. a + = 0 <, 8

10 2.3. Tétel (Cauchy-féle gyök-kritérium) Ha az a 0 + a a +... pozitív tagú sorba bizoyos -től kezdve akkor e sor koverges. Bizoyítás. Ugyais az a q < ( = ν, ν +,...), (6) + q q geometriai sor 0 < q < eseté koverges, és mivel a (6) szerit ezért a a koverges. a q ( = ν, ν +...), 2.4. Példa (Cauchy-féle gyökkritérium alkalmazására) A 3 +5 koverges miatt q ], [ eseté 3 0 N, hogy > 0 -ra 3 = 3 < q < Megjegyzés Ha a a sor kovergeciája a D Alembert-féle háyadoskritériummal eldöthető, akkor a Cauchy-féle gyökkritériummal is eldöthető. Továbbá ha a Cauchy-féle gyökkritérium hatástala, akkor a D Alembertféle háyadoskritérium sem alkalmazható Tétel (Cauchy-féle háyadoskritérium) Legye a csupa pozitív tagból álló végtele sor. Tegyük fel, hogy Ekkor: a + lim a. ha P, akkor a sor koverges 2. ha P, akkor a sor diverges = P 3. ha P =, akkor em tudjuk megmodai, hogy koverges, vagy diverges-e a sor, érdemes más kritériumokat alkalmazi a kovergecia elleőrzéséhez. 9

11 2.7. Példa Így például a sor bármely értéke mellett abszolút koverges, hisz x k+ (k+)! x k k! k= x k k! = x k+ k! x k (k + )! = x k +, ez zérushoz tart, ha k, tehát bizoyos tagtól kezdve kisebb, mit pl Példa Háyados kritériummal elleőrizve: = 4 2 a + (+)4 a = 2 + = ( + ) 4 = ( + ) 4 2 Mivel ez kisebb mit, így a feti tétel alapjá azt modhatjuk, hogy a sor abszolút koverges. A a pozitív tagú sor kovergeciáját, vagy divergeciáját most már köyedé eldöthetjük, ha azzal az egyszerű esettel álluk szembe, amikor lim a vagy lim a + a véges, és -től külöböző szám. 3. Nevezetes végtele sorok 3.. A mértai sor 3.. Defiíció A a q (7) alakú sort, mértai/geometriai sorak evezzük. Nyilvávaló, hogy a a = 0, akkor a q bármely értéke eseté koverges lesz a sor,és összege 0 lesz. Feltesszük tehát a továbbiakba, hogy a 0. Ahhoz, hogy a (7) sor kovergecia-viszoyait vizsgáljuk, adjuk meg az s zárt alakját: s = a + aq aq = a q+, (q ) (8) q 0

12 Ha q = akkor a (8) em érvéyes, de akkor s = a lévé a (7) sor em koverges, hisze s,vagy s (az a előjelétől függőe). Mivel q + 0 ha q <, ezért a lim s = a. Azaz a geometriai q a sor koverges, ha q <, és összege akkor. Vizsgálva a q q+ sorozat viselkedését, ha q azt kapjuk, hogy s csak akkor koverges, ha q < Tétel A (7) alakú mértai sor (a 0 eseté) akkor, és csak akkor koverges, ha q < és ekkor összege a. q 3.3. Példa Ha a mértai sorba a = /8 és q = /4, akkor: = = 8 ( ) = /8 4 /4 = A harmoikus sor 3.4. Defiíció A = alakú sort, harmoikus sorak hívjuk. (9) Az elevezés abból adódik, hogy a sor bármely tagja harmoikus közepe a hozzá szimmetrikusa elhelyezkedő tagokak. Ha eek a sorozatak a részletösszegeit kiszámítjuk, akkor azt tapasztaljuk, hogy elég lassa övekedek. Például, ahhoz, hogy a részletösszeg elérje a 00-at, tagot kell összeadi. Ezek utá felmerül a kérdés, hogy akármilye agyra őhet-e az összeg. Másképp fogalmazva: ha előre megaduk egy tetszőlegese agy L számot, akkor lesz-e olya, hogy az s = > L. A válasz ige.tehát a harmoikus sor diverges. Azt fogjuk most beláti, hogy s, ha. Bizoyítás. Tekitsük a sor 2 -edik részletösszegét: s 2 = (0) Csökketsük most a (0) összeget úgy, hogy az + helyett 2 -et, helyett 4 = -et íruk, és így tovább, az utolsó "blokkba" szereplő helyett 2 = -et vegyük

13 Így azt kapjuk, hogy s 2 +, amiből látszik, hogy bármely L számhoz 2 megadható olya 0, hogy ha > 0,akkor s 2 L ugyais elég olya 0 -t vei, amelyre > L, azaz 0 > (L ) 2. Ez defiíció szerit azt jeleti, hogy s 2 ha, amiből az s sorozat mooto övekedése miatt az adódik, hogy s, tehát a sor valóba diverges Megjegyzés Egy érdekesség a harmoikus sorral kapcsolatba: Ha a sorból elhagyjuk azokat a tagokat, amelyek evezői egy adott számjegyet tartalmazak, akkor már koverges sort kapuk. Legye például ez a számjegy a 9. Így: 9/ Írjuk fel eek a sorak éháy tagját. = / ( = ) ( ( ) ) k } 8 8 {{ } (k+) szer Becsüljük felülről a zárójeles összegeket a következőképpe: Így azt kapjuk, hogy a 9/ = 8, = 8 9 0, k k } 8 {{ 8 8} 0, k (k+) szer < ( ) k = 8 0 k=0 ( ) k 9 = Tehát a sor valóba koverges. Ez az összehasolítás természetese a két sor részletösszegeire voatkozik, amiből adódik az eredméy a kovergecia defiíciója alapjá. 2

14 3.3. Pozitív természetes számok égyzeteiek reciprokaiból álló sor 3.6. Defiíció A = reciprokaiból álló sor Tétel A = 2 2 sor, a pozitív természetes számok égyzeteiek koverges. Bizoyítás. Alkalmazzuk az alábbi becslést: s = < ( ), () majd az egyes tagokat botsuk fel törtek külöbségére az alábbi módo: 2 = 2 ; 2 3 = 2 3 ;..., ( ) =. Így a () jobb oldala helyett az írható, hogy: = 2, hisze a közbülső tagok kiesek, hisz ez egy teleszkópikus összeg. Azt kapjuk, hogy s 2 < 2, tehát a részletösszegek sorozata korlátos, és mivel s mooto övő, ezért koverges is, tehát valóba koverges a = sor, és összege em agyobb 2-él. 2 3

15 4. Műveletek végtele sorokkal A végtele sorokkal általába szereték úgy bái, mitha véges összegek leéek. Ez a gyakorlatba azoba em midig tehető meg. Hamarosa láti fogjuk, hogy mi az amibe másképp viselkedik egy végtele sor, mit egy a véges összeg, és mi az amibe em. Láti fogjuk például, hogy a zárójelek elhagyása változtathat a végtele sor összegé, sőt akár a kovergeciáját is megszütetheti. Ezért fotos végigézi, hogy mik azok a műveletek, melyek em vezetek ki a koverges sorok köréből, és összegükre úgy hatak, mit azt véges esetbe megszoktuk, és melyek azok a műveletek amik em, vagy em mide esetbe. Két koverges sor összege, és külöbsége is koverges, egy koverges sor kostasszorosa is koverges. 4.. Tétel (Két végtele sor összeadása) Ha a a és b koverges sorok, továbbá a a = A és b = B, akkor: ( ) ( ) a + b = (a + b ) = A + B. (2) 4.2. Megjegyzés A kivoás hasolóa működik Tétel (Végtele sor kostassal való szorzása) Ha adott a a koverges végtele sor, melyek összege A, és egy C kostas, akkor C a = Ca = Ca + Ca Ca +... = C A. (3) 4.4. Megjegyzés Fotos azoba megjegyezi, hogy : a b a b. Ugyais, ( ) a ( ) b = (a 0 + a a +...)(b 0 + b b +...) Ahhoz, hogy ezt végigszámoljuk a 0 -t végig kell szorozi, az összes b -es taggal, majd a -et is, és így tovább a tagokéti szorzás szerit. Ez kicsit lehetetle, hisz midkét "szummás" sorak végtele sok tagja va. A végtele sorok egymással törtéő szorzására több megoldást is fogok szemlélteti. Hogy köyebb legye elképzeli a a, és b sorok formális összeszorzásáál keletkező részletszorzatokat az alábbi égyzetes sémába redezzük: 4

16 a b a b 2 a b 3... a b... a 2 b a 2 b 2 a 2 b 3... a 2 b... a 3 b a 3 b 2 a 3 b 3... a 3 b a b a b 2 a b 3... a b... Ebből sokféleképpe képezhető végtele sor, így sokféleképpe értelmezhető a sorok szorzata. Azt, hogy milye sorredbe adjuk össze ezeket a szorzatokat, arra 3 módszert is mutatok. Az első az úgyevezett Cauchy-féle redezés. Ilyekor a részletszorzatokat a égyzetes séma átlós voalai meté redezzük, az alábbi ábra szerit: ábra: Cauchy-féle redezés Eek a redezési elvek az oka csupá ayi, hogy ha a két összeszorzott sor hatváysor alakú, akkor az átlók meté elhelyezkedő tagokba x kitevője ugyaaz, s így ezek összevohatóak. Erre a redezési típusra voatkozik a következő képlet: ( ) ( ) a b = c ahol c = a i b i 5

17 A második esetbe az alábbi ábrá lévő yilak meté adjuk össze a tagokat: Eél az esetél először is jelöljük a = a illetve a = b sor -edik szeletét A -el, illetve B -el: A = k= a k ; B = k= b k. Ha a részletszorzatokat úgy redezzük, hogy az -edik szorzat (A B ) az ( )-edikhez (A B ) képest bővül, azaz az a (b + b b ) + b (a + + a ) tagokat adjuk hozzá az A k B k szorzathoz, akkor az így kapott végtele sor előállítja a két végtele sor szorzatát, feltéve, hogy a két sor koverges. Erre a módszerre voatkozó képlet: ( ) ( ) ( ) a b = a b k + b a = k= k= Ez a képlet teljese azoos eredméyt ad, a harmadik módszer szeriti szorzatösszeadással. Amiek a képlete: ( b = k= a k + a ) b k k= 6

18 4.5. Tétel (Mertes tétele) [2] A k= a és k= b sorokat formálisa összeszorozva, és a részlet sorokat az első módszer szerit csoportosítva, ( ) ( ) a k b k illetve, a k b k = k= a kapott végtele sorok, még a zárójelek elhagyása eseté is kovergálak, és összegük, a ( ) ( ) a b értékét adja, ha a két koverges sor közül az egyik abszolút koverges Megjegyzés Azért beszélük formális szorzásról, mert a disztributivitás érvéyessége általába em bizoyítható, s így a formális szorzás em feltétleül jeleti a két sor tulajdoképpei szorzását. = k= Tagok elhagyása, és hozzáadása Ha egy végtele sor véges számú tagját elhagyjuk, vagy a sorhoz véges számú tagot hozzáaduk, azzal a sor kovergeciáját, vagy divergeciáját em változtatjuk meg. Ha a sor koverges volt, akkor természetese az összege változik Tétel Ha a = a végtele sor koverges, akkor mide k > eseté koverges a =k a sor is, és a = a + a a k + a. = Megfordítva: ha =k a mide k> eseté koverges, akkor a = a is az. =k Végtele sor zárójelezései A végtele sorokat szabad zárójelezi, de a zárójelek elhagyása em megegedett. Ez ugyais em csak a végtele sor összegét, haem kovergeciáját/divergeciáját is megváltoztathatja Defiíció A = a végtele sor zárójelezései a i i= = i a 7

19 alakú sorokat értjük, ahol = 0 < < 2 <... az idexek egy tetszőleges szigorúa mooto övő sorozata Példa (8 8) + (8 8) +... = 0, de ha elhagyjuk a zárójeleket: már diverges Tétel Egy koverges sort zárójelezve, sem a sor kovergeciája, sem a sor összege em változik. Továbbá em érvéyes a kommutativitás a végtele sorokra, ugyais, ha megváltoztatjuk a tagok sorredjét, a sor összege megváltozhat. Sőt koverges sorból diverges válhat. Vaak azoba olya sorok, melyekél ez em igaz. Ahol bátra megcserélhetjük a tagok sorredjét, az összeg, és a kovergecia azoba mégsem változik meg. Ilyeek az abszolút koverges sorok. 8

20 5. Abszolút, és feltételese koverges sorok 5.. Defiíció A k= u k sort abszolút koverges sorak hívjuk, ha a tagok abszolút értékeiből alkotott k= u k sor koverges Tétel Ha egy sor abszolút koverges, akkor közöséges értelembe véve is koverges. Bizoyítás. Legye ε > 0 tetszőleges. Ekkor található olya 0 természetes szám, hogy u + + u u m < ε, m > 0 Az összeg abszolút értékére voatkozó egyelőtleség szerit pedig: u + + u u m u + + u u m s így m > 0 eseté u + + u u m < ε s így a Cauchy-féle kovergecia kritérium szerit a sor koverges Tétel A a sor akkor, és csak akkor abszolút koverges, ha a a+ és a sorok midkette kovergesek Megjegyzés A a+ az a sor pozitív tagjaiból álló sort jeleti, a egatív előjelű tagokat ebbe az esetbe 0-ak tekitjük. Azaz: Tetszőleges x valós számra: { x ha x 0 x + = max(x, 0) = 0 ha x < 0 { 0 ha x 0 x = max( x, 0) = x ha x < 0 Bizoyítás. Ha a abszolút koverges, akkor az (5.2)-as tétel alapjá közöséges értelembe véve is koverges. Így a a+ és a sorok kovergeciája az a + = a + a 2 és a = a a 2 összefüggésekből, valamit a (4.) és a (4.2) és a (4.3)-es tételekből adódik. A megfordítás ugyaígy adódik, felhaszálva, hogy a = a + + a mide -re. 9

21 5.5. Defiíció Egy a +a sorból kiválasztott a s +a s2 + +a sk... sort, ahol s < s 2 < < s k <..., az eredeti sor egy részsoráak evezzük Tétel Ha az a + a a +... sor abszolút koverges, és az a () + a () a () +... a (2) + a (2) a (2) (4) a (ν) + a (ν) a (ν) részsorok összetétele, akkor e részsorok összegeiből alkotott sor abszolút koverges, és összege ugyaaz, mit az eredeti soré Tétel Ha a (4) alatti sorok abszolút kovergesek és a σ (ν) = a (ν) + a (ν) a (ν) +... összegekből álló ν= σ(ν) sor koverges, akkor a (4) alatti sorok bármely összetétele abszolút koverges Defiíció A koverges, de em abszolút koverges sorokat feltételese koverges sorokak evezzük Példa Az alteráló harmoikus sor feltételese koverges. = ( ) + = Érdemes megfigyeli, hogy az abszolút koverges sorokál a tagok sorredje felcserélhető, azaz érvéyes maradt a véges esetből ismert kommutativitás, azoba ha a sor csak feltételese koverges, akkor ez a tulajdoság már em igaz. Ezt modja ki a következő tételük is Tétel (Riema tétele) Ha a = a sor feltételese koverges, akkor bármely s szám eseté megadható olya átredezés, hogy az átredezett sor összege s. Sőt a sor átredezhető úgy is, hogy az átredezett sor részletösszegei plusz vagy miusz végtelebe tartsaak. 20

22 sor átredezett so- 5.. Példa Adjuk eljárást arra, hogy + = ( )+ ráak összege 2 legye. Mivel: = (5) 8 és = + (6) 7 Ezt a téyt felhaszálva, a (6) sorból vegyük ayi tagot, amelyek összege éppe túllépi a 2-t, majd vegyük a a (5)-ből ayi egatív tagot a sor elejéről, hogy az így kapott összeg éppe kisebb legye, mit 2. Ekkor ismét a (6) sor tagjaiból ayit vegyük, hogy kettőél éppe több legye az összeg, majd a (5)-ból megit ayit, hogy éppe visszalépjük a kettő elé, és így tovább. Kokrét számításokkal illusztrálhatjuk a fetieket, ha vázoljuk a kívát átredezést: Az abszolút koverges sorok idokolttá teszik,hogy a pozitív tagú sorok kovergeciájáak kérdésével alaposabba foglalkozzuk Defiíció A a végtele sor pozitív tagú, ha a 0, -re. Mivel a pozitív tagú sor részletösszegei mooto övekvő sorozatot alkotak, ezért teljesül a következő tétel: 5.3. Tétel Egy em egatív tagú sor, akkor, és csak akkor koverges, ha részletösszegeiek sorozata felülről korlátos. Ha egy emegatív tagú sor diverges, akkor az összege végtele. Az ilye sorál ugyais a részletösszegek mooto övekedő sorozatot alkotak, ez pedig akkor és csak akkor koverges, azaz véges határértékű, ha korlátos. A feti tétel szerit, egy emegatív tagú sorak, midig va összege; ez egy véges szám, ha a sor koverges, és végtele, ha a sor diverges. 2

23 6. Kovergecia kritériumok II. 6.. Mooto csökkeő tagú sorokra voatkozó kritériumok 6.. Tétel (Cauchy-féle itegrálkritérium) Ha az f(x) függvéy mooto fogyó és pozitív, akkor a f(k) sor és az f(x)dx k= improprius itegrál egyszerre kovergesek, vagy divergesek. Bizoyítás. Tetszőleges > k egész számra tekitsük az [k, ] itervallumak, a k, k +,..., egész számokkal törtéő felosztását.ha s illetve, S jelöli eek az f függvéyek ehhez a felosztáshoz tartozó alsó, illetve felső összegét, akkor: i=k+ f(i) = s k f(x)dx S = f(i), (7) hisze mivel f mooto fogyó, így a legkisebb értéke az [i, i] itervallumo f(i), legagyobb pedig f(i ). Mivel f pozitív, ezért az ω ω f(x)dx improprius itegrál létezik: vagy véges, vagy végtele. Ha az itegrál koverges (véges), akkor az f(x)dx a a sorozat korlátos. Ekkor a (7) első egyelőtlesége szerit az (s ) sorozat is korlátos, tehát a =a f() sor az (5.3) tétel szerit koverges. Ha viszot az itegrál diverges akkor az f(x)dx sorozat végtelehez tart. Ekkor a (7) második egyelőtleségéből az (S ) sorozat is a végtelehez tart, a tehát a =a f() sor diverges Példa Tekitsük a k= Eek az f(x) = x α α eseté: dx = x α u.. hiperharmoikus sort. k α függvéy [ felel meg, amely pozitív, és mooto fogyó. és ez véges az α > esetbe, végtele ( α)x α ] az α < esetbe, ezért tehát a hiperharmoikus sor koverges, ha α >, és diverges, ha α <. Ez utóbbi abból is látszóda, hogy ha α < eseté a sor majorása a harmoikus sorak. Kifejtve: y [ ] x α+ y dx = lim xα y x α dx = lim y α + i=k y α = lim y α α = α amiből az improprius itegrál koverges, így a tételük alapjá a sor is koverges. 22

24 6.3. Tétel (Kodezációs kritérium) Ha az (a ) sorozat pozitív, és mooto csökkeő, akkor = a és = 2 a 2 végtele sorok egyszerre kovergesek, vagy divergesek. Bizoyítás. Jelöljük a = a és = 2 a 2 sorok részletösszegeit s -el, és S -el. Állapodjuk meg, hogy s 0 = S 0 = 0. Mivel a 2 a i, i > 2 -re, ezért mide -re, és így S = S S = 2 a 2 (S k S k ) k= 2 + i=2 + a i = s 2 + s 2 (s 2 k+ s 2 k) = s 2 + s 2 k= Ebből következik, hogy ha a = 2 a 2 részletösszegei korlátosak, akkor a = a sor részletösszegei is azok. Hasolóa, a 2 a i mide i 2 -re, ezért S S = 2 a i=2 + a i = 2 (s 2 s 2 ) mide -re, azaz S = (S k S k ) 2 (s 2 k s 2 k ) = s 2 s. k= k= Ha tehát a = a sor részletösszegei korlátosak, akkor a = 2 a 2 részletösszegei is azok. Így alkalmazhatjuk az (5.3) tételt Példa A sor p > eseté koverges, míg p < eseté (l p) diverges. Alkalmazzuk rá a kodezációs kritériumot. A kodezációs kritérium szerit a sor, akkor és csak akkor koverges, amikor: 2 a 2 = = = Tehát, akkor és csak akkor ha p > Jermakov-kritérium 2 2 (l 2 ) = p (l 2) p. p 6.5. Tétel Legye a egy pozitív, mooto csökkeő sorozat, melyet az f(x) függvéy reprezetál, f(x) : [0, ) R +. A a { } { } koverges e x f(e x ) ϑ < f(x) ha, diverges f(x) mide kellőe agy x-re. 23

25 Bizoyítás. Az itegrálkritérium miatt a f(x) kovergeciája azzal ekvivales, hogy a f(x) koverges. Így az első egyelőtleségél elég azt 0 beláti, hogy az improprius itegrál koverges. Ekkor 0 < x 0 x eseté: Következésképpe: e x e xo f(t)dt = x x 0 e t f(e t )dt ϑ x e x [ x ( ϑ) f(t)dt ϑ f(t)dt e xo x 0 [ e x 0 ϑ f(t)dt ϑ x 0 e x 0 x 0 f(t)dt. x 0 f(t)dt. e x e xo e x x ] f(t)dt ] f(t)dt Így a baloldali itegrál, és az x x 0 f(t)dt, mide x > x 0 eseté kisebb, mit egy rögzített szám. A a sor tehát az itegrál-kritérium szerit koverges. A második egyelőtleséget teljesítő x > x -ek eseté azt kapjuk, hogy: e x e x f(t)dt = x x e t f(e t )dt x x f(t)dt. Összehasolítva az egyelőtleség jobb, és bal oldalát, kapjuk, hogy : e x x f(t)dt e x x f(t)dt. Eek az egyelőtleségek a jobb oldala egy kokrét δ > 0 meyiség, és mide > x -hez találuk olya k -t, melyre: J +k J = +k f(t)dt δ > 0, ahol J = f(t)dt. J em lehet korlátos, így a a se. Így a tétel állításait beláttuk Példa A kovergeciájáak elleőrzése a Jermakov-kritériummal: x l x[l(lx)] p e x f(e x e ) = x e x x(lx), így: ex f(ex ) = [l(lx)]p, és így p f(x) (lx) p e x f(e x ) lim x f(x) = 0, ha p >, =, ha p. Így tehát a Jermakov-kritérium alapjá a sor koverges, ha p >, és diverges, ha p. 24

26 6.7. Tétel (Dirichlet-kritérium) Tegyük fel, hogy (i) az (a ) sorozat mooto csökkeő, és ullához tart, és (ii) a = b sor részletösszegeiek sorozata korlátos. Ekkor a = a b sor koverges Megjegyzés A Dirichlet-kriterium speciális esetkét tartalmazza a Leibizkritériumot. (Legye b = ( ) ) A bizoyítás előtt be kell vezetük az u.. Abel-féle egyelőtleséget, mert a bizoyítás sorá fel fogjuk haszáli Tétel (Abel-féle egyelőtleség) Legye adott egy {u } sorozat, legye s = u + u u, és tegyük fel, hogy m, M úgy, hogy -re: m s M. Tegyük fel továbbá, hogy {λ } egy pozitív tagú mooto csökkeő sorozat. Ekkor mide -re feáll, hogy λ m λ i u i λ M (8) i= Bizoyítás. Alakítsuk át a (8)-be lévő összeget: λ u + λ 2 u λ u = = λ s + λ 2 (s 2 s ) + λ 3 (s 3 s 2 ) λ (s s 2 + λ (s s = = (λ λ 2 )s + (λ 2 λ 3 )s (λ λ )s + λ s. Ha az utolsó sorba s i -k helyett csökketéskét m-et, öveléskét pedig M-et íruk, és figyelembe vesszük, hogy kiemelés utá egy teleszkópikus összeg marad vissza, akkor valóba adódik, hogy mλ és Mλ alsó, ill. felső korlátja a i= λ iu i összegekek. Ezzel az Abel-egyelőtleséget beláttuk. Bizoyítás. Legye a b sor -edik részletösszege s, és tegyük fel, hogy s K mide -re. Legye ε > 0 adott. Mivel a 0, ezért választhatuk olya N idexet, hogy a < ε/k teljesüljö mide N-re. Ha N < m, akkor az Abel-egyelőtleség a (8) szerit: ε < ( K) a a b a m b m K a < ε, tehát a b a m b m < ε. Ezzel beláttuk, hogy a = a b sor kielégíti a Cauchy-kritériumot, tehát koverges. Felbotható olya külöbségek összegére, ahol az egymást követő párok kiullázzák egymást 25

27 6.0. Példa Bizoyítsuk be, hogy a si = sor koverges. lépés: Belátjuk, hogy az s részletösszeg sorozat korlátos. s = si + si si Eek a korlátossága egy trigoometrikus azoosságból adódik. si x + si 2x si x = cos x 2 2+ cos 2 si x 2 2 x, (x 2kπ, k Z) (9) Ezt beláthatjuk teljes idukcióval is, és a jobb oldal evezőjével végigszorozva, majd alkalmazva a 2 si α si β = cos(α β) cos(α + β) összefüggést, a bal oldalo egy teleszkópikus összeget kapuk, amelybe a megmaradó tagok éppe a (9) jobb oldalá a számlálóba lévő két taggal egyelőek. Tehát a (9) alkalmazásával adódik, hogy: s = si + si si = cos 2+ cos si /2 si = K, 2 azaz {s } valóba korlátos sorozat. Ezek utá alkalmazhatjuk a Dirichlet kritériumot: = si = = si sorra az u = si és a = / szereposztással. Így azoal adódik a sor kovergeciája. 6.. Tétel (Abel-kritérium) Tegyük fel, hogy az (a ) sorozat mooto, és korlátos, és a = b sor koverges. Ekkor a = a b sor is koverges. Bizoyítás. Feltehetjük, hogy az (a ) sorozat mooto csökkeő (ha em az, akkor áttérük a ( a ) sorozatra). Legye lim a = a. Ekkor (a a) mooto csökkeve ullához tart. Mivel a = b sor is koverges, ezért részletösszegeiek sorozata korlátos. Így az = (a a)b sor koverges a Dirichlet-kritérium szerit. Ha ehhez a sorhoz tagokét hozzáadjuk a koverges = a b sor tagjait, akkor megkapjuk a = a b sort, amely tehát a a (4.) és a (4.2) és a (4.3) tételek szerit koverges. 26

28 6.3. A háyados kritérium fiomabb alakjai Kummer-kritérium Az egyszerűbb kritériumok em elegedőek, a boyolultabb sorok kovergecia-vizsgálatához. Szerecsékre akadak, fiomabb, speciálisabb kritériumok ezekek a sorokak a vizsgálatára. Többek között ilye a következő kritérium is Tétel Tegyük fel, hogy a a csupa pozitív tagból álló végtele sor, és legye p egy pozitív számokból álló sorozat, és: ( ) ( ) a a α = lim if p p + lim sup p p + = β (20) a + a + Ha α > 0, akkor a a koverges. Ha a p diverges, és β < 0, akkor a a diverges. Bizoyítás. Legye s = k= a k, tegyük fel, hogy α > 0, és válasszuk r-et úgy, hogy r (0, α). Ekkor létezik olya N > melyre: Ezt átredezve kapjuk: p a a + p + > r, N. p a p + a + > ra +, N. (2) M > N eseté a (2) ez: M (p a p + a + ) > =N M =N ra + p N a N p M+ a M+ > r(s M s N ) p N a N p M+ a M+ + rs N > rs M p N a N + rs N r > s M Rögzített N mellett, a bal oldal felső korlátja s M, amiből következik a a kovergeciája. Most tegyük fel, hogy a p diverges, és β < 0, ekkor létezik olya N N, melyre: p a a + p + < 0, N Ezt átredezve: p a < p + a +, N. Így p a > p N a N, ha > N, és a > p N a N p, N. Mivel N rögzített, és p diverges, így a miorás-kritériumot felhaszálva következik a sor divergeciája. 27

29 Raabe-kritérium 6.3. Tétel Legye a a egy csupa pozitív tagból álló sorozat. Legye: ( ) ( ) a α = lim sup lim if a a = β. + a + Ha α >, akkor a a koverges, ha β < akkor a a diverges. Bizoyítás. Vegyük észre, hogy p = választással ez a Kummer kritérium, így a bizoyítása teljese hasolóa megy. Eszerit létezik olya r > 0, és N pozitív egész idex, melyre, ha s > N, akkor teljesül az alábbi egyelőtleség: ( ) a > + r. a + Ezt átredezve kapjuk, hogy a ( + )a + > ra +, N. Ezt N, N +,... idexekre alkalmazzuk, majd az így kapott egyelőtleségeket összeadjuk.így: Na N (N + )a N+ > ra N+, (N + )a N+ (N + 2)a N+2 > ra N+2, a ( + )a + > ra +. Az egyelőtleségeket összeadva, a bal oldal teleszkópikus összegkét viselkedik. Az így kapott összefüggésből, a bal oldalt felülről becsülve kapjuk, hogy: amit átalakítva: Na N > Na N ( + )a + > r Na N r > + k=n+. a k, > N. + k=n+ Ezutá midkét oldalt megöveljük a N k= a k összeggel, így: Na N r + N + a k > a k, > N. k= 28 k= a k,

30 Ie már látható, hogy mivel a bal oldalo álló szám, a jobb oldali részletösszegek felső korlátja,így a pozitív a k sor koverges. A divergeciára voatkozó feltételt hasolóa bizoyíthatjuk: ( ) a, N, a + ezt az összefüggést, átalakítva, majd ismét mit a kovergecia bizoyításáál felírjuk a N, N +,..., idexekre, és ezeket az egyelőtleségeket összeadjuk, és ( + )-el elosztva az egészet kapjuk, hogy: Na N + a +. Amire a miorás kritériumot alkalmazva kapjuk a divergeciát Példa Milye a eseté koverges, az alábbi sor:! (a + )(a + 2)... (a + ) Itt u + u = + mivel lim u + a++ u = így a Cauchy féle háyados kritérium em alkalmazható. A Raabe-féle kritériummal: ( ) a + + lim a = lim + + = a. Tehát a sor koverges, ha a >, és diverges, ha a <. a = eseté azt kapjuk, hogy: ( ) = + <, tehát a sor diverges Bertrad-kritérium 6.5. Tétel Legye a a egy csupa pozitív tagból álló sorozat. Legye: α = lim if ( ( ) ) l a a + ( ( ) ) a lim sup l = β. a + Ha α >, akkor a a koverges. Ha β <, akkor a a diverges. 29

31 Bizoyítás. Eél a kritériumál is köyű észrevei a kapcsolatot a Kummerkritériummal, jele esetbe p = l választással. amit átalakítva: l És tekitve azt, hogy: l a a + ( + ) l( + ) > 0 ( ( ) ) a + ( + ) l a + + > 0 ( + ) l + = ( + ) l( + ) = l( + )(+) Köyedé látható, hogy a lim if l ( ( a a + ) ) >, ami éppe a kritérium feltétele a kovergecia teljesülésére. A divergeciafeltétel bizoyítása: Ugyaeze elve, a Kummer-kritérium segítségével: ha egy bizoyos idextől kezdve teljesül, hogy: l a a + ( + ) l( + ) 0, Átredezve: ( ( ) ) a l + ( + ) l a Ahogy fetebb is láttuk: ( + ) l és mivel eek a határértéke, ezért: + = l( + )(+), Z + ( + ) l + <, Z+. Ie pedig már következik, hogy ha egy idextől kezdve teljesül, hogy ( ( ) ) a l, a + akkor a a diverges. 30

32 Gauss-kritérium 6.6. Tétel A = a sor két egymást követő tagjáak háyadosát írjuk ilye alakba: a a + = + α b p ; p >, b < K, akkor e sor α > eseté koverges, α eseté diverges. Bizoyítás. Kezdjük a bizoyítást az α > esettel, ekkor kellőe agy eseté: ha egatív tagú a b sorozat ( ) a = α + b q, q (, α) a + p vagy, ha pozitív tagú a b : ( ) a a + = α + b α. p Mivel midkét esetbe: ( ) a q > a + haszálva a Raabe-kritériumot azt kapjuk, hogy a = a koverges. Tegyük fel, hogy a = a koverges, és α =, haszáljuk a Bertrad kritériumot 6.5-tétel, így kapjuk, hogy: ( ( ) ) ( ( a l = l + a + + b ) ) = b l l p p p l Ebből azt kapjuk, hogy mivel 0, ha, a p = a diverges, így elletmodásra jutottuk, hisz a feltevésük az volt, hogy koverges a = a.tehát ha α = akkor a sor diverges. Ha a = a koverges, és α <, akkor elég agy eseté: ( ) a = α + b a + p itt ismét a Raabe-t felhaszálva immár elletmodsára jutuk, tehát a = a diverges. 3

33 6.4. Logaritmikus kritérium 6.7. Tétel Ha a u pozitív tagú sorba, bizoyos -től kezdve l u l α >, akkor az {u } sor koverges; ha azoba bizoyos -től kezdve akkor diverges, az {u } sor. l u l α, Bizoyítás. Először is lássuk a kovergecia-feltétel bizoyítását. A feltételik szerit ilyekor létezik, olya c R +, és N pozitív egész, hogy: l u l + c, N l u ( + c) l l u ( + c) l = l +c, / ( ) N mivel szig.mo.: u +c Ie pedig már látszik, hogy alkalmazhatjuk a majorás kritériumot, hisze a u.. hiperharmoikus sor c R + eseté koverges, így a u +c is koverges. A divergecia-feltételt teljese hasoló módo látjuk be. Ha egy adott N idextől kezdve teljesül, hogy: akkor l u l α, l u l, N, u, N. Itt a miorás-kritérium alapjá jutuk a divergeciára, hisze a harmoikus sorról tudjuk, hogy diverges. 32

34 Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék [] Ábrahám Róbert, Aalízis I., [2] Dr. Frey Tamás, Végtele sorozatok, sorok, és szorzatok, Budapest, 956, Taköyvkiadó vállalat [3] Szász Pál, A differeciál- és itegrálszámítás elemei I., Typotex kiadó, Budapest [4] Császár Ákos, Végtele sorok jegyzet (Budapest, 96) [5] Laczkovich Miklós, T.Sós Vera, Aalízis II., Nemzeti taköyvkiadó (2007) [6] Németh József, Előadások a végtele sorokról, Polygo, Szeged, [7] Szilágyi Tivadar, Végtele sorok, Hatváysorok, sztiv/8vs.pdf [8] Korad Kopp, Theory ad applicatios of ifiite series, [9] T.J.I a Bromwich, M.A. FRS, A itroductio to the theory of ifiite series (Lodo, 908) [0] lee/ira/itrorealaal-ch04.pdf [] Fratisek Duris, Ifiite series: Covergece tests (Bachelor thesis), (Bratislava,2009) [2] Thomas-féle kalkulus 3. (Typotex kiadó, Budapest,2007) 33